二次函数题型分类总结
二次函数题型总结【回顾与思考】
一、二次函数的定义
定义：一般地，如果
c
b
a
c
bx
ax
y,
,
(
2+
+
=是常数，)0
≠
a，那么y叫做x的二次函数.
（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式）
精典例题：
例1：在下列关系式中，y是x的二次函数的关系式是（）
A．2xy+x2=1 B．y2-ax+2=0 C．y+x2-2=0 D．x2-y2+4=0 考点：二次函数的定义．
分析：根据二次函数的定义对四个选项进行逐一分析即可，即一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
解答：解：A、2xy+x2=1当x≠0时，可化为的形式的形式，不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误；
B、y2-ax+2=0可化为y2=ax-2不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误；
C、y+x2-2=0可化为y=x2+2，符合一元二次方程的一般形式，故本选项正确；
D、x2-y2+4=0可化为y2=x2+4的形式，不符合一元二次方程的一般形式，故本选项错误．
故选C．
点评：本题考查的是二此函数的一般形式，即一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a 是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
例2：函数y=(m+3)x m2+m-4，当m= 时，它的图象是抛物线．
考点：二次函数的定义．
分析：二次函数的图象是抛物线的，由二次函数的定义列出方程与不等式解答即可．
解答：解：∵它的图象是抛物线，
∴该函数是二次函数，
∴，解得m=2或-3，m≠-3，∴m=2．
点评：用到的知识点为：二次函数的图象是抛物线；二次函数中自变量的最高次数是2，二次项的系数不为0．
例3：若y=x m-2是二次函数，则m=
考点：二次函数的定义．
分析：根据二次函数的定义列出关于m的方程，求出m的值即可．
解答：解：∵函数y=x m-2是二次函数，
∴m-2=2，
∴m=4．
故答案为4．
点评：本题考查了二次函数的定义，比较简单，属于基础题．
学以致用：
1、下列函数中，是二次函数的是 .
①y=x2－4x+1；②y=2x2；③y=2x2+4x；④y=－3x；
⑤y=－2x－1；⑥y=mx2+nx+p；⑦y =(4,x) ；⑧y=－5x。
2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+2t，则t＝4秒时，该物体所经过的路程为。
3、若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为。
4、若函数y=(m－2)x m －2+5x+1是关于x的二次函数，则m的值为。
二、二次函数的对称轴、顶点、最值
考点连接：如果解析式为顶点式：y=a(x－h)2+k，则对称轴为：，最值为：；
如果解析式为一般式：y=ax2+bx+c，则对称轴为：，最值为：；
如果解析式为交点式：y=(x-x1)(x-x2), 则对称轴为：，最值为：。
精典例题：
例1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为。
考点：二次函数图象与几何变换． 分析：利用二次函数图象的性质．
解答：解：经过原点，说明（0，0）适合这个解析式．那么m 2+2m-3=0，（m+3）（m-1）=0．解
得：m 1=-3，m 2=1．
点评：本题应用的知识点为：在函数图象上的点一定适合这个函数解析式．
例2．若抛物线y ＝ax 2
－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) A.13 B.10 C.15 D.14
考点：二次函数图象上点的坐标特征．
分析：由抛物线y=ax 2-6x 经过点（2，0），求得a 的值，再求出函数顶点坐标，求得顶点到坐
标原点的距离．
解答：解：由于抛物线y=ax 2-6x 经过点（2，0），则4a-12=0，a=3，
抛物线y=3x 2
-6x ，变形，得：y=3（x-1）2
-3，则顶点坐标M （1，-3）， 抛物线顶点到坐标原点的距离|OM|=
故选B ．
点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，先求解析式，再求顶点坐标，最后求距离．
学以致用：
1．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴
2．当n ＝______，m ＝______时，函数y ＝(m ＋n)x n
＋(m －n)x 的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.
3．已知二次函数y=mx 2
+(m －1)x+m －1有最小值为0，则m ＝ ______ 。
三、函数y=ax 2
+bx+c 的图象和性质
知识点：（1）①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；
②当0 （2）顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-= （3）①当0>a 时，在对称轴左边，y 随x 的增大而减小；在在对称轴右边，y 随x 的增大而 增大； ②当0 （4） y 轴与抛物线c bx ax y ++=2 得交点为(0,c ) 精典例题： 例1：（2002?十堰）抛物线y=-x 2 +2x+1的顶点坐标是____________，开口方向是____________ ，对称轴是___________． 考点：二次函数的性质． 分析：根据二次函数的性质解题． 解答：解：∵y=-x 2+2x+1=-（x 2-2x ）+1=-（x 2-2x+1-1）+1=-（x-1）2+2， ∴抛物线y=-x 2 +2x+1的顶点坐标是（1，2），开口方向是向下，对称轴是x=1． 点评：此题考查了二次函数的性质，顶点坐标、对称轴及开口方向． 例2：（2010?兰州）抛物线y=x 2 +bx+c 图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x 2 -2x-3，则b 、c 的值。 考点：二次函数图象与几何变换． 分析：易得新抛物线的顶点，根据平移转换可得原抛物线顶点，根据顶点式及平移前后二次 项的系数不变可得原抛物线的解析式，展开即可得到b ，c 的值． 解答：解：由题意得新抛物线的顶点为（1，-4）， ∴原抛物线的顶点为（-1，-1）， 设原抛物线的解析式为y=（x-h ）2 +k 代入得：y=（x+1）2 -1=x 2 +2x ， ∴b=2，c=0． 故选B ． 点评：抛物线平移不改变二次项的系数的值；讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看 顶点坐标是如何平移得到的即可． 学以致用： 1．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x ＝－2，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物 轴下方 轴的交点在，抛物线与轴上方，轴的交点在，抛物线与x y c x y c 00<> 线的解析式 。 2．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标： （1）y=12 x 2－2x+1 ； （2）y=－3x 2 +8x －2； （3）y=－14 x 2+x －4 3．把抛物线y=－2x 2 +4x+1沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。 4．某商场以每台2500元进口一批彩电。如每台售价定为2700元，可卖出400台，以每100元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出50台，那么每台定价为多少元即可获得最大利润？最大利润是多少元？ 四、函数y=a(x －h)2 的图象与性质 知识点回顾： 填表： 典型例题： 例1：抛物线y=x 2 -4x-3的图象开口 ，对称轴是 ，顶点坐标 ，函数y 有最 。 考点：二次函数的性质。 分析：二次函数的二次项系数a ＞0，可以确定抛物线开口方向和函数有最小值，然后利用 y=ax 2 +bx+c 的顶点坐标公式就可以得到对称轴，顶点坐标． 解答：解：∵二次函数的二次项系数a ＞0， ∴抛物线开口向上，函数有最小值， ∵y=x 2 -4x-3， ∴根据y=ax 2 +bx+c 的顶点坐标公式为 ，，对称轴是， 代入公式求值就可以得到对称轴是x=2，顶点坐标是（2，-7）． 故抛物线y=x 2 -4x-3的图象开口向上，对称轴是x=2，顶点坐标（2，-7），函数y 有最小值． 故填空答案：向上，x=2，（2，-7），小． 点评：本题主要是对抛物线一般形式中对称轴，顶点坐标的考查，是中考中经常出现的问题． 学以致用： 1．已知函数y=2x 2 ,y=2(x －4)2 ，和y=2(x+1)2 。 （1）分别说出各个函数图象的开口方、对称轴和顶点坐标。 （2）分析分别通过怎样的平移。可以由抛物线y=2x 2 得到抛物线y=2(x －4)2 和y=2(x+1)2 ？ 2．试写出抛物线y=3x 2 经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。 （1）右移2个单位；（2）左移2 3 个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。 3．二次函数y=a(x －h)2 的图象如图：已知a=12 ，OA ＝OC ，试求该抛物线 的解析式。 五、二次函数的增减性 知识点： (1). 0a >，当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大。 (2). 0a <，当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小。 典型例题： 例1：已知二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象如图： （1）求函数解析式； （2）写出对称轴，回答x 为何值时，y 随着x 的增大而减少？ 考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质． 分析：（1）根据图示知函数经过三点：（-1，0）、（4，0）、（0，-4），将其代入函数解析式，列出关于a 、b 、c 的三元一次方程组，然后解方程组即可； （2）根据图象求得该函数图象的对称轴，然后根据对称轴、函数图象回答问题． 解答：解：（1）根据图示知，该函数图象经过点（-1，0）、（4，0）、（0，-4）， ∴二次函数的解析式是：y=x 2 -3x-4； （2）根据图象知，二次函数y=x 2 -3x-4与x 轴的交点是（-1，0）、（4，0）， ∴对称轴是x= ， ∴根据图象知，当时，y 随着x 的增大而减小． 点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质．解答该题时，采用了“数形结合”的数学思想，要求学生具备一定的读图能力，能从图形中寻取关键性信息． 例2：（2010?呼和浩特）已知：点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）、C （x 3，y 3）是函数图象上 的三点，且x 1＜0＜x 2＜x 3则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 2＜y 3＜y 1 C ．y 3＜y 2＜y 1 D ．无法确定 考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 分析：对 ，由x 1＜0＜x 2＜x 3知，A 点位于第二象限，y 1最大，第四象限，y 随x 增大而增大，y 2＜y 3，故y 2＜y 3＜y 1． 解答：解：∵中k=-3＜0， ∴此函数的图象在二、四象限， ∵点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）、C （x 3，y 3）是函数 图象上的三点，且x 1＜0＜x 2＜x 3， ∴A 点位于第二象限，y 1＞0，B 、C 两点位于第四象限， ∵0＜x 2＜x 3，∴y 2＜y 3， ∴y 2＜y 3＜y 1． 故选B ． 点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，要学会比较图象上点的坐标． 学以致用： 1.二次函数y=3x 2 －6x+5，当x>1时，y 随x 的增大而 ；当x<1时，y 随x 的增大而 ； 当x=1时，函数有最 值是 。 2.已知函数y=4x 2 －mx+5，当x> －2时,y 随x 的增大而增大；当x< －2时，y 随x 的增大而减少；则当x ＝1时,y 的值为 。 3.已知二次函数y=x 2－(m+1)x+1，当x ≥1时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是 . 4.已知二次函数y=－12 x 2+3x+5 2 的图象上有三点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)且3 则y 1,y 2,y 3的大小关系为 . 六、二次函数的平移 知识点：只要两个函数的a 相同，就可以通过平移重合。将二次函数一般式化为顶点式y=a(x －h)2 +k ， 平移规律：左加右减，对x ；上加下减，直接加减，对y 。 典型例题： 例1：（2012?扬州）将抛物线y=x 2 +1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（ ） A ．y=（x+2）2 +2 B ．y=（x+2）2 -2 C ．y=（x-2）2 +2 D ．y=（x-2）2 -2 考点：二次函数图象与几何变换． 分析：直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 解答：解：将抛物线y=x 2+1先向左平移2个单位所得抛物线的函数关系式是：y=（x+2）2+1； 将抛物线y=（x+2）2 +1向下平移3个单位所得抛物线的函数关系式是：y=（x+2）2 +1-3，即y=（x+2）2 -2． 故选B ． 点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关 键。 例2：（1）已知抛物线y=2x2，把它向右平移p个单位，或向下平移q个单位，都能使得抛物线与直线y=x-4恰好有一个交点．求p、q的值； （2）把抛物线y=2x2向左平移p个单位，向上平移q个单位，则得到抛物线经过点（1，3），（4，9），求p、q的值； （3）把抛物线y=ax2+bx+c向左平移三个单位，向下平移两个单位后，所得的图象是经过点 的抛物线y=ax2，求原二次函数的解析式． 考点：二次函数图象与几何变换． 分析：（1）分为将抛物线向右平移和向下平移两种情况，设平移后抛物线的解析式，列方程组，消元成一元二次方程，使△=0即可得出答案， （2）首先得出抛物线y=2x2向左平移p个单位，向上平移q个单位后的解析式，再通过经过点（1，3），（4，9），列方程组求出结果， （3）根据物线y=ax2经过点得出解析式，然后逆向推理得出原解析式． 解答：解：（1）①当抛物线y=2x2向右平移p个单位时， 得到抛物线解析式为y=2（x-p）2， 联立， 消去y，得2x2-（1+4p）x+2p2+4， ∵抛物线与直线y=x-4恰好有一个交点， ∴△=（1+4p）2-8（2p2+4）=0， 解得， ②当抛物线y=2x2向下平移q个单位时， 得到抛物线解析式为y=2x2-q， 联立， 消去y，得2x2-x+4-q=0， ∵抛物线与直线y=x-4恰好有一个交点， ∴△=（-1）2-8（4-q）=0， 解得 故本题答案为： （2）当抛物线y=2x2向左平移p个单位时， 得到抛物线解析式为y=2（x+p）2， 当抛物线y=2（x+p）2，向上平移q个单位时， 得到抛物线解析式为y=2（x+p）2+q， ∵抛物线经过点（1，3），（4，9）， ∴ 解得：p=-2，q=1， （3）∵抛物线y=ax2经过点， ∴抛物线解析式为：， ∵抛物线y=ax2+bx+c向左平移三个单位，向下平移两个单位后得出抛物线解析式， ∴向右平移三个单位，向上平移两个单位即可得出原解析式为： 。 点评：本题考查了抛物线的平移的性质、抛物线解析式的确定、抛物线与直线交点问题以及解方程组等，综合性较强，难度适中． 学以致用： 1.抛物线y= －3 2 x2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得到的抛物线的关系式 为。 2.抛物线y= 2x2，，可以得到y=2(x+4}2－3。 3.将抛物线y=x2+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为。 4.如果将抛物线y=2x2－1的图象向右平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为。 5.将抛物线y=ax2+bx+c向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到y=2x2－4x－1则a ＝，b＝，c＝ . 6.将抛物线y＝ax2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，移动后的抛物线经过点(3，－1)，那么移动后的抛物线的关系式为 _. 七、函数的交点 1.抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为。 2.直线y=7x+1与抛物线y=x2+3x+5的图象有个交点。 八、函数的的对称 1.抛物线y=2x2－4x关于y轴对称的抛物线的关系式为。 2.抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线为y=2x2－4x+3，则a= b= c= 。 九、函数的图象特征与a、b、c的关系 典型例题： 例1：抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a，b，c的符号为（）A．a＜0，b＞0，c=0 B．a＜0，b＜0，c＞0 C．a＜0，b＜0，c=0 D．a＜0，b＞0，c＜0 考点：二次函数图象与系数的关系． 分析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 解答：解：由抛物线的开口方向向下可推出a＜0； 由抛物线与y轴的交点为原点可推出c=0； 因为对称轴在y轴左侧，对称轴为x=-， 又∵a＜0， ∴b＜0． 故选C． 点评：二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定交点． 例2：如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中： ①abc＞0； ②方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1，x2=3； ③a+b+c＞0； ④当x＞1时，y随着x的增大而增大． 正确的说法个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 考点：二次函数图象与系数的关系． 分析：根据抛物线的开口向上，对称轴在y轴的右边，与y轴的交点在y的负半轴上即可求出a、b、c的正负，即可判断①；根据抛物线与x轴的交点坐标即可判断②；把x=1代入抛物线即可判断③；求出抛物线的对称轴，根据图象即可判断④． 解答：解：∵抛物线的开口向上，对称轴在y轴的右边，与y轴的交点在y的负半轴上， ∴， c＜0， 即b＜0， ∴abc＞0，∴①正确； 根据图象可知抛物线与x轴的交点坐标是（-1，0），（3，0）， ∴方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1，x2=3，∴②正确； 把x=1代入抛物线得：a+b+c＜0，∴③错误； 对称轴是直线x=， 根据图象当x＞1时，y随x的增大而增大，∴④正确； ∴正确的个数有3个． 故选C． 点评：本题考查了二次函数与系数的关系的应用，主要考查学生对二次函数的图象与系数的关系的理解和运用，同时也考查了学生观察图象的能力，本题是一道比较典型的题目，具有一定的代表性，还是一道比较容易出错的题目． 学以致用： 1.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则a、b、c的符号为（） A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b>0,c=0 C.a>0,b<0,c=0 D.a>0,b<0,c<0 2.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则下列结论正确的是（） A．a+b+c> 0 B．b> -2a C．a-b+c> 0 D．c< 0 3.抛物线y=ax2+bx+c中，b＝4a，它的图象如右图，有以下结论： ①c>0；②a+b+c> 0 ③a-b+c> 0 ④b2-4ac<0 ⑤abc< 0； 其中正确的为（） A．①②B．①④C．①②③D．①③⑤ 4.当b<0是一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（） 5.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c，且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是图所示的( ) 6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么abc，b2－4ac， 2a＋b，a＋b＋c 四个代数式中，值为正数的有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 7.在同一坐标系中，函数y= ax2+c与y= c x (a A B C D 8.反比例函数y= k x 的图象在一、三象限，则二次函数y＝kx2-k2x-1c的图象大致为图中的（） 1x y O 1x y O 1x C y O 1x y O A B C D 9.反比例函数y= k x 中，当x> 0时，y随x的增大而增大，则二次函数y＝kx2+2kx的图象大致为图中的（） A B C D 10.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中： 正确的个数是（） ①a，b同号；②当x＝1和x＝3时，函数值相同；③4a＋b＝0; ④当y＝－2时，x的值只能取0； A．1 B．2 C．3 D．4 11.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限）则直线y＝ax＋bc不经过（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 十、二次函数与x轴、y轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系） ac b4 2- = ? ?>0 ?＝0 ?<0 0 2= + +c bx ax )0 (≠ a 方程有两个不相等的实数根 x x2 1 ， 方程有两个相等的 实数根x x2 1 = 方程没有实 数根c bx ax y+ + =2 )0 (≠ a 抛物物与x轴有两个交点 ） ， （ ，0 )0 ( 2 1x x B A 抛物物与x轴只有 一个交点)0 ( 1 ， x 抛物物与x轴 没有交点 x x x x AB 2 1 2 4 2 1 ) (- =+ 韦达定理： a c a b x x x x= - = + 2 1 2 1 ，（二者都可以用） 典型例题： 例1：（2012?滨州）抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是（） A．3 B． 2 C．1 D．0 考点：抛物线与x轴的交点． 分析：令抛物线解析式中x=0，求出对应的y的值，即为抛物线与y轴交点的纵坐标，确定出抛物线与y轴的交点坐标，令抛物线解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，求出方程的解有两个，可得出抛物线与x轴有两个交点，综上，得到抛物线与坐标轴的交点个数．解答：解：抛物线解析式y=-3x2-x+4， 令x=0，解得：y=4，∴抛物线与y轴的交点为（0，4）， 令y=0，得到-3x2-x+4=0，即3x2+x-4=0， 分解因式得：（3x+4）（x-1）=0， 解得：， ∴抛物线与x轴的交点分别为， 综上，抛物线与坐标轴的交点个数为3． 故选A 点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，以及一元二次方程的解法，其中令抛物线解析式中x=0，求出的y值即为抛物线与y轴交点的纵坐标；令y=0，求出对应的x的值，即为抛物线与x轴交点的横坐标． 例2：（2000?湖州）已知：抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为（1，-4）， （1）求抛物线的解析式； （2）求该抛物线与坐标轴的交点坐标． 考点：待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点． 分析：（1）可利用顶点公式把对应的值代入求解，得出a=1，b=-2，c=-3，所以y=x2-2x-3； （2）当y=0时，x2-2x-3=0，解方程可求得与x轴的交点为（-1，0），（3，0）；当x=0时，y=-3，即求得与y轴的交点坐标为（0，-3）． 解答：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为（1，-4） ∴ ∵a=1 ∴b=-2，c=-3 ∴y=x2-2x-3 （2）当y=0时，x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，即与x轴的交点为（-1，0），（3，0） 当x=0时，y=-3，即与y轴的交点坐标为（0，-3）． 点评：主要考查了二次函数解析式中系数与顶点之间的关系和二次函数与一元二次方程之间 的关系．要掌握顶点公式和利用解析式求坐标轴的交点的方法． 学以致用： 1.如果二次函数y＝x2＋4x＋c图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c＝（写 一个即可） 2.二次函数y＝x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为 3.抛物线y＝－3x2＋2x－1的图象与x轴交点的个数是( ) A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点 4.如图所示，二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两点，交y 轴于点C， 则△ABC 的面积为( ) A.6 B.4 C.3 D.1 5. 已知抛物线y ＝5x 2 ＋(m －1)x ＋m 与x 轴的两个交点在y 轴同侧，它们的距离平方等于为 49 25 ，则m 的值为( ) A.－2 B.12 C.24 D.48 6. 若二次函数y ＝(m+5)x 2 +2(m+1)x+m 的图象全部在x 轴的上方，则m 的取值范围是 7. 已知抛物线y ＝x 2 -2x-8， （1）求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点； （2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，且它的顶点为P ，求△ABP 的面积。 十一、函数解析式的求法 （一）、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax 2 +bx+c ，然后解三元方程组求解； [例1]：图像经过（1，-4），（-1，0），（-2，5），求二次函数的解析式。 【解析】：设二次函数的解析式为：c b a ++=χχγ2 ，依题意得： 40542a b c a b c a b c -=++??=-+??=-+? 解得：?? ???-=-==321c b a ∴322--=x x y 学以致用： 1．已知二次函数的图象经过A （0，3）、B （1，3）、C （－1，1）三点，求该二次函数的解析式。 2．已知抛物线过A （1，0）和B （4，0）两点，交y 轴于C 点且BC ＝5，求该二次函数的解析 式。 （二）、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式： y=a(x －h)2 +k 求解。 [例2]：图象顶点是（-2，3），且过（-1，5），求二次函数的解析式。 【解析】：设二次函数解析式为：y = a ( x – h )2 + k ， Θ 图象顶点是（-2，3）∴h =-2，k =3， 依题意得：5=a ( -1 + 2)2 +3，解得：a =2 ∴y = 2( x +2)2 + 3=11822 ++x x 学以致用： 3．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。 4．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P （2，0）点，求二次函数的解析式。 （三）、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a(x －x 1)(x －x 2)。 [例2]：图像与x 轴交于（-2，0），（4，0）两点，且过（1，-2 9 ），求二次函数的解析式。 【解析】：设二次函数解析式为：y = a ( x – 1χ) ( x – 2χ)． Θ图像与x 轴交于（-2，0），（4，0）两点， ∴1χ=-2，2χ=4 依题意得：- 2 9= a ( 1 +2) ( 1– 4) ∴a = 2 1 ∴ y = 21 ( x +2) ( x – 4)=4212--x χ． 学以致用： 5．二次函数的图象经过A （－1，0），B （3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。 6．已知x ＝1时，函数有最大值5，且图形经过点（0，－3），则该二次函数的解析式 。 7．抛物线y=2x 2 +bx+c 与x 轴交于（－1,0）、（3,0），则b ＝ ，c ＝ . 8．已知二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象与x 轴交于(2，0)、（4，0），顶点到x 轴的距离为3，求函数的解析式。 9．y= －x 2 +2(k －1)x+2k －k 2 ，它的图象经过原点，求①解析式 ②与x 轴交点O 、A 及顶点C 组成的△OAC 面积。 10．抛物线y= (k 2－2)x 2+m －4kx 的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= － 12 x+2上， 求函数解析式。 十二、二次函数应用 1、面积问题，主要利用各种图形的面积公式，如三角形面积＝底2 1??高 2、利润问题：利润＝销量?（售价－进价）－其他 （一）、二次函数的实际应用——利润最大(小)值问题 知识要点： 定价；（商品调价）；商品销售量1；销售量变化率;其他成本。 ◆ 单价商品利润=商品定价－商品售价1 ◆ △（价格变动量）=商品定价－商品售价2（或者直接等于商品调价）； ◆ 销售量变化率=销售变化量÷引起销售量变化的单位价格； ◆ 商品总销售量=商品销售量1±△×销售量变化率； ◆ 总利润（W ）=单价商品利润×总销售量－其他成本 其他成本 单位价格变动 销售量变化 商品销售量）商品售价（商品定价）总利润（-? ?±?-=]1[1W [例1]：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 解：设涨价（或降价）为每件x 元，利润为y 元， 1y 为涨价时的利润，2y 为降价时的利润 则：)10300)(4060(1x x y -+-= )60010(102 ---=x x 6250)5(102 +--=x 当5=x ，即：定价为65元时，6250max =y （元） )20300)(4060(2x x y +--= )15)(20(20+--=x x 6125)5.2(202 +--=x 当5.2=x ，即：定价为57.5元时，6125max =y （元） 综合两种情况，应定价为65元时，利润最大． 学以致用： 1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？ 2．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？ 3.某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表： 若日销售量y 是销售价x 的一次函数． ⑴求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式； ⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？ 【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点： ⑴在“当某某为何值时，什么最大(或最小、最省)”的设问中， “某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；⑵求解方法是依靠配方法或最值公式，而不是解方程． 4．（2006十堰市）市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30?元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y (千克)?与销售单价x (元) (30 x ）存在如下图所示的一次函数关系式． ⑴试求出y 与x 的函数关系式； ⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ ⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480 元，?现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x 的范围(?直接写出答案)． x （元） 15 20 30 … y （件） 25 20 10 … 二次函数知识点总结及中考题型,易错题总结 （一）二次函数知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数， 叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位， c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位， c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2y a x h k =-+与 2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2y a x h k =-+与 2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即 22424b ac b y a x a a -??=++ ???，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2 ()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为 2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当 2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时， y 有最大值2 44ac b a -． 一、二次函数常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：??? ??++22 B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ；∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。 （题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立） 小结．． ：关于x 的方程b ax =有无数解????==0 b a 二次函数专项复习经典试题集锦（含答案） 一、选择题： 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点 ),(a c b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2，且0+-c b a ，则一定有（ ） A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式 是532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） B D 6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（ ） A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x 7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若 c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（ ） A. 0>M ，0>N ，0>P B. 0 x 时，求使y ≥2的x 的取值围. 初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随 x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0． 【二次函数的定义】 （考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x2－4x+1；②y=2x2；③y=2x2+4x；④y=－3x； ⑤y=－2x－1；⑥y=mx2+nx+p；⑦y =(4,x) ；⑧y=－5x。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+2t，则t＝4 秒时，该物体所经过的路程为。 3、若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为。 4、若函数y=(m－2)x m －2+5x+1是关于x的二次函数，则m的值为。 6、已知函数y=(m－1)x m2 +1+5x－3是二次函数，求m的值。 【二次函数的对称轴、顶点、最值】 （技法：如果解析式为顶点式y=a(x－h)2+k，则最值为k； 如果解析式为一般式y=ax2+bx+c，则最值为4ac-b2 4a 1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为。 2．抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝，c＝ . 3．抛物线y＝x2＋3x的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线y＝ax2－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) B. 5．若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋c( ) A.开口向上，对称轴是y轴 B.开口向下，对称轴是y轴 C.开口向下，对称轴平行于y轴 D.开口向上，对称轴平行于y轴 6．已知抛物线y＝x2＋(m－1)x－1 4 的顶点的横坐标是2，则m的值是_ . 7．抛物线y=x2+2x－3的对称轴是。 8．若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝。 9．当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)x n＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________. 学生： 科目： 数 学 教师： 刘美玲 一、二次函数和特殊多边形形状 二、二次函数和特殊多边形面积 三、函数动点引起的最值问题 四、常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：?? ? ??++22B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此 抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ； ∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。 （题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立） 小结．． ：关于x 的方程b ax =有无数解? ?? ?==0 b a 7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴） （1）如图，直线1l 、2l ，点A 在2l 上，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得MN AM +之和最小。 （2）如图，直线1l 、2l 相交，两个固定点A 、B ，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得 AN MN BM ++之和最小。 （3）如图，B A 、是直线l 同旁的两个定点，线段a ，在直线l 上确定两点E 、F （E 在F 的左侧 ），使得四边形AEFB 的周长最小。 8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法 三角形的面积求解常用方法：如右图，S △PAB =1/2 ·PM ·△x=1/2 ·AN ·△y 9、函数的交点问题：二次函数（c bx ax y ＋＋＝2 ）与一次函数（h kx y ＋＝） （1）解方程组???h kx y c bx ax y ＋＝＋＋＝ 2可求出两个图象交点的坐标。 （2）解方程组???h kx y c bx ax y ＋＝＋＋＝ 2，即()02 ＝－＋－＋h c x k b ax ，通过?可判断两个图象的交点 的个数 有两个交点 ? 0＞? 初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 2 2 3x y -= 12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) A ． 都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B ． 都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 13．抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 14．把二次函数122 --=x x y 配方成为（ ） A ．2 )1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2 ++=x y D ．2)1(2 -+=x y 15．已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ． 1- 二次函数精讲基础题型 一认识二次函数 1、y=mx m2+3m+2 是二次函数，则m 的值为（ ） A 、0，-3 B 、0，3 C 、0 D 、-3 2、关于二次函数y=ax 2 +b ，命题正确的是（ ） A 、若a>0,则y 随x 增大而增大 B 、x>0时y 随x 增大而增大。 C 、若x>0时，y 随x 增大而增大 D 、若a>0则y 有最大值。 二简单作图 1在一个坐标系内做出2 x y =，12 +=x y ，12 -=x y ，2 )1(-=x y ，2 )1(+=x y 你发现了什么结论 2同样的在同一个坐标系内做出2 x y -=，2 2x y -=，12 --=x y ， 12+-=x y 2)1(--=x y ，2)1(+-=x y 的图像，你又发现了什么结论，并且与上一题的 图像比较的话，你又有什么样新的发现 3 已知抛物线y x x =-+1235 2 2，五点法作图。 2、已知y=ax 2 +bx+c 中a<0，b>0，c<0 ，△<0，画出函数的大致图象。 三，二次函数的三种表达形式，求解析式 1求二次函数解析式： （1）抛物线过（0，2），（1，1），（3，5）； （2）顶点M （-1，2），且过N （2，1）； （3）与x 轴交于A （-1，0），B （2，0），并经过点M （1，2）。 2 抛物线过（-1，-1）点，它的对称轴是直线x +=20，且在x 轴上截取长度为22的线段，求解析式。 3、根据下列条件求关于x 的二次函数的解析式 （1）当x=3时，y 最小值=-1，且图象过（0，7） （2）图象过点（0，-2）（1，2）且对称轴为直线x=2 3 （3）图象经过（0，1）（1，0）（3，0） （4）当x=1时，y=0;x=0时,y= -2，x=2 时，y=3 （5）抛物线顶点坐标为（-1，-2）且通过点（1，10） 三 图像与a,b,c 的符号之间的关系 1、二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象是抛物线，其开口方向由_________来确定。 2、 已知y=ax 2 +bx+c 的图象如下，则：a _____0，b _____0，c _____0，a+b+c_______0， a-b+c__________0。2a+b________0， ac b 42 -_________0 3．已知函数c bx ax y ++=2 的图象如图 1－2－11所示，给出下列关于系数a 、b 、 c 的不等式：①a ＜0，②b＜0，③c＞0，④2a ＋b ＜0，⑤a ＋b ＋c ＞0．其中正确的不等式的序号为___________- 4．已知抛物线c bx ax y ++=2 与 x 轴交点的横坐标为－1，则a ＋c=_________. 1 中考二次函数综合压轴题型归类 一、常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：?? ? ??++22B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定 此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ； ∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。 （题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立） 二次函数经典例题及答案 1.已知抛物线的顶点为P (- 4,—2)，与x轴交于A B两点，与y轴交于点C,其中B点坐标为(1 , 0)。 (1) 求这条抛物线的函数关系式； (2) 若抛物线的对称轴交x轴于点D,则在线段AC上是否存在这样的点Q,使得△ ADQ 1 2 9 . 135 y=2 x +4x - 2；存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2^5-9，-%'5 ) , Q (--^, -4) ?析 一2 25 试题分析：(1)根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a ( x+4) - 2，然后把点B的坐 标代入解析式求出a的值，即可得解； (2)先根据顶点坐标求出点D 的坐标，再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标，从而得 到OA OC AD的长度，根据勾股定理列式求出AC的长度，然后根据锐角三角形函数求出/ OAC勺正弦值与余弦值，再分① AD=QD时，过Q作QE1丄x轴于点E,根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ,再利用/ OAC勺正弦求出QE的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE,从而得到点Q的坐标；②AD=AQ时，过Q作QE2丄x轴于点E＞，利用/ OAC勺正弦求出QE2的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE，从而得到点Q的坐标；③AQ=DQ时，过Q作QE3丄x轴于点已，根据等腰三角形三线合一的性质求出AE 的长度，然后求出OE,再由相似三角形对应边成比例列式求出QE3的长度，从而得到点Q 的坐标. 试题解析：(1 )???抛物线顶点坐标为( 25 -4 , - 2), ???设抛物线解析式为 2 25 y=a (x+4) - 2 为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点 2020 年中考二次函数与几何图形 1.中考相似三角形 2.中考线段中的动点问题 目录 中考复习战略汇集 (1) 二次函数与几何图形 (2) 模式1：平行四边 形 (2) 模式2：梯 形 (4) 模式3：直角三角 形 (6) 模式4：等腰三角 形 (8) 模式5：相似三角 形 (10) 模拟题汇编之动点折叠问题 (11) 二次函数与几何图形 模式 1：平行四边形 分类标准：讨论对角线 例如：请在抛物线上找一点 p 使得 A 、B 、C 、P 四点构成平行四边形，则可分成 以下几种情况 （ （ （ 1）当边 AB 是对角线时，那么有 AP // BC 2）当边 AC 是对角线时，那么有 AB //CP 3）当边 BC 是对角线时，那么有 AC // BP 1 、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过 A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点. (1)求抛物线的解析式； (2)若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，点 M 的横坐标为 m ，△AMB 的面积为 S. 求 S 关于 m 的函数关系式，并求出 S 的最大值； (3)若点 P 是抛物线上的动点，点 Q 是直线 y=－x 上的动点，判断有几个位置能 使以点 P 、Q 、B 、0 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点 Q 的坐标. 2 、如图，抛物线 y x 2 2x 3与 x 轴相交于 A 、B 两点（点 A 在点 B 的左侧）， 与 y 轴相交于点 C ，顶点为 D ． （ （ 1）直接写出 A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴； 2）连结 BC ，与抛物线的对称轴交于点 E ，点 P 为线段 BC 上的一个动点，过 点 P 作 PF//DE 交抛物线于点 F ，设点 P 的横坐标为 m ． ① 用含 m 的代数式表示线段 PF 的长，并求出当 m 为何值时，四边形 PEDF 为 平行四边形？ ② 设△BCF 的面积为 S ，求 S 与 m 的函数关系． 人教版九年级下册数学 二次函数知识点总结教案 主讲人：李霜霜 一、教学目标： (1)了解二次函数的意义，掌握二次函数的图象特征和性质，能确定函数解析式，并能解决简单的实际问题． (2)通过练习及提问，复习二次函数的基础知识；通过对典型例题的分析，培养学生分析问题、解决问题、综合运用数学知识的能力；继续渗透数学思想． 二、教学重点、难点 教学重点：二次函数的图像，性质和应用 教学难点：运用二次函数知识解决较综合性的数学问题． 三、教学过程 复习巩固 （一）二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． （二）二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： （三）二次函数图象的平移 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 二次函数经典测试题及答案解析 一、选择题 1．如图，ABC ?为等边三角形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故可排除选项C 与D ；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，故选项B 符合题意，选项A 不合题意． 【详解】 根据题意得，点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故选项C 与选项D 不合题意； 点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值， ∴选项B 符合题意，选项A 不合题意． 故选B ． 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题． 2．二次函数y ＝x 2+bx 的对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是（ ） A ．0＜t ＜5 B ．﹣4≤t ＜5 C ．﹣4≤t ＜0 D ．t ≥﹣4 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出b ，确定二次函数解析式，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函 数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点，﹣1＜x ＜4时﹣4≤y ＜5，进而求解； 【详解】 解：∵对称轴为直线x ＝2， ∴b ＝﹣4， ∴y ＝x 2﹣4x ， 关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点， ∵﹣1＜x ＜4， ∴二次函数y 的取值为﹣4≤y ＜5， ∴﹣4≤t ＜5； 故选：B ． 【点睛】 本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键． 3．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ） A ．原数与对应新数的差不可能等于零 B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30 D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】 设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解． 【详解】 解：设原数为m ，则新数为2 1100 m ， 设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+， 易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时，y 有最大值．则B 错误，D 正确． 当y ＝21时，2 1100 m m - +＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误．二次函数知识点总结及中考题型总结
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