三角形的证明(二)经典讲义
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图2
图1
A
B C
D O O D C
B A 第二章三角形的证明
1．等腰三角形
一、主要知识点
1、 证明三角形全等的判定方法(SSS,SAS,ASA,AAS,证直角三角形全等除上述外还有HL)及全等三角形
的性质是对应边相等，对应角相等。 2、 等腰三角形的有关知识点。
等边对等角；等角对等边；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一）
3、 等边三角形的有关知识点。
判定：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形； 三条边都相等的三角形是等边三角形； 三个角都是60°的三角形是等边三角形； 有两个叫是60°的三角形是等边三角形。 性质：等边三角形的三边相等，三个角都是60°。
4、反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出 与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，
从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法
二、重点例题分析
例1: 如下图，在△ABC 中，∠B =90°，M 是AC 上任意一点（M 与A 不重合）MD ⊥BC ，交∠ABC 的平分线于点D ，求证：MD =M A .
例2 如右图，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，求证：AE =CD .
例3： 如图：已知AB=AE ，BC ＝ED ，∠B ＝∠E ，AF ⊥CD ，F 为垂足, 求证: ① AC ＝AD ； ②CF ＝DF 。
例4 如图1、图2，△AOB ，△COD 均是等腰直角三角形，∠AOB ＝∠COD ＝90o，
（1）在图1中，AC 与BD 相等吗？请说明理由（4分）
（2）若△COD 绕点O 顺时针旋转一定角度后，到达力2的位置，请问AC 与BD 还相等吗？为什么？
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例5 如图，在△ABC 中，AB=AC 、D 是AB 上一点，E 是AC 延长线上一点，且CE=BD ，连结DE 交BC 于F 。（1）猜想DF 与EF 的大小关系；（2）请证明你的猜想。
例6 证明：在一个三角形中至少有两个角是锐角.
2．直角三角形
一、主要知识点
1、直角三角形的有关知识。
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 2、互逆命题、互逆定理
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 二、典型例题分析
例1 ：说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假： （1）四边形是多边形；
（2）两直线平行，同旁内角互补； （3）如果ab=0,那么a=0,b=0；
（4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等 例2：如图，ABC ?中，3
5
90,12,,22
C C
D BD ∠=?∠=∠=
=，求AC 的长。
例3 ：如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m ，CD=9m ，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。
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C
A
D
B
例4：如图，一架2.5米长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AC 上，这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？
A 1
B A
例5 ：如图2-5所示．在等边三角形ABC 中，AE=CD ，AD ，BE 交于P 点，BQ ⊥AD 于Q ．求证：BP=2PQ ．
3.线段的垂直平分线
4.角平分线
一、主要知识点
1、 线段的垂直平分线。
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 2、 角平分线。
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 3、 逆命题、互逆命题的概念，及反证法
如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。
二、重点例题分析
例1：（1）在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交AB 于N ，交BC 的延长线于M ，∠A ＝0
40，求∠NMB 的大小
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（2）如果将（1）中∠A 的度数改为0
70，其余条件不变，再求∠NMB 的大小 （3）你发现有什么样的规律性？试证明之.
（4）将（1）中的∠A 改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改
例2：在△ABC 中，AB 的中垂线DE 交AC 于F ，垂足为D ，若AC=6，BC=4，求△BCF 的周长。
例3：如图所示，AC=AD ，BC=BD ，AB 与CD 相交于点E 。求证：直线AB 是线段CD 的垂直平分线。
A
C D E
B
例4：如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=1200
，D 、F 分别为AB 、AC 的中点，DE AB FG AC ⊥⊥，，
E 、G 在BC 上，BC=15cm ，求EG 的长度。
A
A B
C N M
A B C N
M A B
C
N
M
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例5:：如图所示，Rt △ABC 中，，D 是AB 上一点，BD=BC ，过D 作AB 的垂线交AC 于点E ，CD 交BE 于点F 。求证：BE 垂直平分CD 。
C
E
A D B
F
例6:：在⊿ABC 中，点O 是AC 边上一动点，过点O 作直线M N ∥BC ，与
F ，求证：OE=OF 例7、如图所示，AB>AC ，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，自D 作DE AB ⊥于E ，DF AC F ⊥于，求证：BE=CF 。
A
E
B M
C F
D
相应练习
1、 如图，在△ABC 中，AB=AC=BC ，AD 于Q 。求证：BP=2PQ
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2、 如图，△ABC 中，AB= AC ，P 、Q 、R 分别在AB 、BC 、AC 上，且BP=CQ ，BQ=CR 。 求证：点Q 在PR 的垂直平分线上。
3、 如图，△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，AD 的垂直平分线EF 交BC 的延长线于点F ，连接AF 。
求证：∠B=∠CAF
4、 已知：如图，A B ∥CD ，∠BAC 的角平分线与∠DCA 的角平分线交于点M ，经过M 的直线EF 与AB 垂直，
垂足为F ，且EF 与CD 交于E 求证：点M 为EF 的中点
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第二章三角形的证明单元训练题
一、精心选一选，慧眼识金（每小题3分，共30分）
1．如图1,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带（ ）去配.
A . ①
B . ②
C . ③
D . ①和② 2．下列说法中，正确的是（ ）.
A ．两腰对应相等的两个等腰三角形全等
B ．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等
C ．两锐角对应相等的两个直角三角形全等
D ．面积相等的两个三角形全等
3．如图2，AB ⊥CD ，△ABD 、△BCE 都是等腰三角形，如果CD =8cm ，BE =3cm ，那么AC 长为（ ）.
A ．4cm
B ．5cm
C ．8cm
D ．
34cm
4．如图3，在等边ABC ?中，,D E 分别是,BC AC 上的点，且BD CE =，AD 与BE 相交于点P ，则12∠+∠的度数是（ ）.
A ．0
45 B ．0
55 C ．0
60 D ．0
75
5．如图4，在ABC ?中，AB=AC ，0
36A ∠=，BD 和CE 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，且相交于点P. 在图4中，等腰三角形（不再添加线段和字母）的个数为（ ）. A ．9个 B ．8个 C ．7个 D ．6个
6．如图5，123,,l l l 表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）.
A ．1处
B ．2处
C ．3处
D ．4处 7．如图6，A 、C 、
E 三点在同一条直线上，△DAC 和△EBC 都是 等边三角形，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，有如下结 论：① △ACE ≌△DCB ；② CM ＝CN ；③ AC ＝DN. 其中，正确
结论的个数是（ ）.
A ．3个
B ．2个
C ． 1个
D ．0个
8．要测量河两岸相对的两点A 、B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C ，D ，使CD=BC ，再作出BF 的垂线DE ，使A ，C ，E 在同一条直线上（如图7），可以证明ABC ?≌
EDC ?，得ED=AB. 因此，测得DE 的长就是AB 的长，在这里判定
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ABC ?≌EDC ?的条件是( ).
A ．ASA
B ．SAS
C ．SSS
D ．HL
9．如图8，将长方形ABCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点E 的 位置，BE 交AD 于点F. 求证：重叠部分（即BDF ?）是等腰三角形. 证明：∵四边形ABCD 是长方形，∴AD ∥
BC
又∵BDE ?与BDC ?关于BD 对称，
∴ 23∠=∠. ∴BDF ?是等腰三角形.
请思考：以上证明过程中，涂黑部分正确的应该依次是以下四项中的哪两项？（ ）. ①12∠=∠；②13∠=∠；③34∠=∠；④BDC BDE ∠=∠ A ．①③ B ．②③ C ．②① D ．③④
10.如图9，已知线段a ，h 作等腰△ABC ，使AB ＝AC ，且 BC ＝a ，BC 边上的高AD ＝h . 张红的作法是：（1）作线段 BC ＝a ；（2）作线段BC 的垂直平分线MN ，MN 与BC 相 交于点D ；（3）在直线MN 上截取线段h ；（4）连结AB ， AC ，则△ABC 为所求的等腰三角形.
上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（ ）.
A . （1）
B . （2）
C . （3）
D . （4） 二、细心填一填，一锤定音（每小题3分，共30分）
1．如图10，已知，在△ABC 和△DCB 中，AC=DB ，若不增加任何字母与辅助线，要使 △ABC ≌△DCB ，则还需增加一个条件是____________.
2．如图11，在Rt ABC ?中，0
90,BAC AB AC ∠==，分别过点,B C 作经过点A 的直线的垂线段BD ，CE ，若BD=3厘米，CE=4厘米，则DE 的长为
_______.
3．如图12，P ，Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ，则∠ABC 等于_________度. 4．如图13，在等腰ABC ?中，AB=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若BCE ? 的周长为50，则底边BC 的长为_________. 5．在ABC ?中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得的锐角为0
50，则 底角B 的大小为________.
6．在《证明二》一章中，我们学习了很多定理，例如：①直角三角形两条直角边的平方和 等于斜边的平方；②全等三角形的对应角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④线段 垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；⑤角平分线上的点到这个角两边的 距离相等.在上述定理中，存在逆定理的是________.(填序号) 图8
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7．如图14，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm ，BC=10cm ，将△ABC 折叠，点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为________.
8．如图15，在ABC ?中，AB=AC ，0
120A ∠=，D 是BC 上任意一点，分别做DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，如果BC=20cm ，那么
DE+DF= _______cm.
9．如图16，在Rt △ABC 中，∠C =90°,∠B =15°，DE 是AB 的中垂线，垂足为D ，交BC 于点E ，若4BE =，则AC =_______ .
10．如图17，有一块边长为24m 的长方形绿地，在绿地旁边B 处有健身
器材， 由于居住在A 处的居民践踏了绿地，小颖想在A 处立一个标 牌“少走_____步，踏之何忍？”但小颖不知在“_____”处应填什么
数字，请你帮助她填上好吗？（假设两步为1米）？ 三、耐心做一做，马到成功（本大题共48分）
1．（7分）如图18，在?ABC 中，0
90ACB ∠=，CD 是AB 边上的高，
030A ∠=. 求证：AB= 4BD.
2．（7分）如图19，在?ABC 中，0
90C ∠=，AC=BC ，AD 平分CAB ∠ 交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，若AB=6cm. 你能否求出BDE ?的 周长？若能，请求出；若不能，请说明理由.
3．（10分）如图20，D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点， BE 与CD 相交于O 点. 现有四个条件：①AB ＝AC ；②OB ＝OC ；
③∠ABE ＝∠ACD ；④BE ＝CD .
(1)请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确．．的命题： 命题的条件是 和 ，命题的结论是 和 (均填序号). (2)证明你写出的命题. 已知： 求证：
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证明：
4．（8分）如图21，在ABC ?中，0
90A ∠=，AB=AC ，ABC ∠的 平分线BD 交AC 于D ，CE ⊥BD 的延长线于点E. 求证：1
2
CE BD =.
5．（8分）如图22，在?ABC 中，090C ∠=.
（1）用圆规和直尺在AC 上作点P ，使点P 到A 、B 的距离相等. （保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）当满足（1）的点P 到AB 、BC 的距离相等时，求∠A 的度数.
6．（8分）如图23，0
90AOB ∠=，OM 平分AOB ∠，将直角三角板的顶 点P 在射线OM 上移动，两直角边分别与OA 、OB 相交于点C 、D ，问 PC 与PD 相等吗？试说明理由.
四、拓广探索（本大题12分）
如图24，在?ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AB 于点N ， 交BC 的延长线于点M ，若0
40A ∠=. （1）求NMB ∠的度数； 图23
图21
图24
与等腰三角形有关的证明题
与等腰三角形有关的证明题 例1.如图，等腰△ABC中，AB＝AC，D是AB边上一点，E是AC延长线上一点，且BD＝CE，DE交BC于F。 求证：DF＝EF 分析：要证DF＝EF，只需设法证明DF与EF所在的三角形全等， 但由于DF所在的△DFB比EF所在的△EFC显然大，故应考虑添加 辅助线。 作DG∥AC，交BC于G，则∠DGB＝∠ACB 从而∠DGF＝∠ECF（等角的补角相等） 由AB＝AC，得∠B＝∠ACB 从而∠DGB＝∠B，DG＝BD＝CE 在△DFG与△EFC中，∠DGF＝∠ECF，∠DFG＝∠EFC（对顶角相等） 故∠GDF＝∠FEC 又DG＝CE，所以△DFG≌△EFC 所以DF＝EF 例2.如图，等腰△ABC中，AB＝AC，D是BC上任一点，DE⊥AB于E， DF⊥AC于F。 求证：为定值。 分析：所谓定值是指不论点D在底边BC的何处，DE＋DF的大小总是 等于已知的或隐含的某条线段的长，也就是说定值是一个常量。那么本题的 定值究竟是多少呢？我们可以考虑点D所在的特殊位置，当点D与点B重 合时，DE的长度为0，DF等于AC边上的高，可见，（DE＋DF）的定值是腰上的高，因此，作△ABC的高BG，然后只需证明DE＋DF＝BG即可。 要证，可在BG上截取GH＝DF，然后只需证BH＝DE。连接DH，则只需证明△BDE≌△DBH。易知四边形DFGH是矩形，从而DH∥AC，∠BDH＝∠C，∠BHD＝∠DHG＝90°＝∠BED。又AB＝AC，∠EBD＝∠ABC＝∠C，所以∠BDH＝∠EBD。所以∠EDB＝∠DBH。又BD为公共边，所以△BDE≌△DBH。 如果注意到高，联想到三角形面积，则 可采用如下简单的证法： 连接AD 则由，得： 又AB＝AC 边上的高＝定值
人教版八年级下册 第十六章 二次根式知识清单及典型题型练习 讲义(无答案)
二次根式知识清单及典型题型练习 姓名________ 1.二次根式：形如a （a ≥0）的式子，叫做二次根式。 ) )00x x ><中，二次根式有 个 二次根式有意义的条件： ①当__________时， 1 1 m +有意义；②当__________ x 有（ ）个．A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数 变式：已知x,y 都是实数,且满足5.011+-+-< x x y ,化简 1 1--y y =_________. 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 练．下列式子为最简二次根式的是( ) 3.二次根式的性质： （1）（a ）2=a （a ≥0）； （2 ） 利用二次根式的性质化简：①．若0x <，则x = ；②．若0,0a b <>，则 = ；2 = ；④若0xy ≠，=-成立的条件是 ；⑤若01x <<等于 ． ⑥= ；⑦3y =，x +y 的平方根=_____. 4.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 练：下列各组二次根式中是同类二次根式的是（ ） A ．2112与 B ．2718与 C ．3 13与 D ．5445与 变式：若最简二次根式____,____a b ==。 5.二次根式的运算： （1）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． a （a ＞0） ==a a 2 a -（a ＜0） 0 （a =0）；
（2）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． ab =a ·b （a≥0，b≥0）； b b a a = （a>0，b≥0） （特别应注意a 、b 的取值） 练：①使等式 ()()1111x x x x +-= -+g 成立的条件是 。 ②当x __________时， 22 x x x x =--有意义； ③计算： ( ) 483273_____________-÷=；33 23121418÷???? ? ?++-= 6、二次根式的大小比较（通常采用平方法，作差法，求倒法） 比较大小：①23- 32- ②53- 23+ ③76- 65- 变式：设25,3223-=-=-= c ，b a ,则a 、b 、c 的大小关系 7、在实数范围内分解因式 在实数范围内分解因式。（1）4x 2－3= ；（2）9y 4－4= 8、规律性问题 练：观察下列各式及其验证过程： ， 验证：； 验证:. （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4 4 15 =_________； （2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n 是整数)表示的等式，并给出验证过程. 变式： 已知，则a _________ 巩固练习： 1、下列根式中，最简二次根式为：（ ） A 0.2b B ．x 2 4- C ． x 4 D ．()x +42
等腰三角形的证明习题及答案
M E D C B A 等腰三角形 一、选择题 1. 如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（ ） （A ）32 （B ）33 （C ）34 （D ）36 2. 如图，⊿ABC 和⊿CDE 均为等腰直角三角形，点B,C,D 在一条直线上，点M 是AE 的中点，下列结论：①tan ∠AEC=CD BC ;②S ⊿ABC +S ⊿CDE ≧S ⊿ACE ;③BM ⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 3. 如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm 和6cm ，那么此三角形 的周长是 A ．15cm B ．16cm C ．17cm D ．16cm 或17cm 二、填空题 1. 边长为6cm 的等边三角形中，其一边上高的长度为________. 2. 等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为 . 3. 在等腰Rt △ABC 中，∠C =90°，AC ＝1，过点C 作直线l ∥AB ，F 是l 上的一点，且AB ＝AF ，则点F 到直线BC 的距离为 ． 4. 已知等边△ABC 中，点D,E 分别在边AB,BC 上，把△BDE 沿直线DE 翻折，使点B 落在点B ˊ处，DB ˊ,EB ˊ分别交边AC 于点F ，G ，若∠ADF=80o ，则∠EGC 的度数为 5. 如图6，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC 的角平分线交BC 边于点D ，AB=5，BC=6， 则AD=_______. 6．如图（四）所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠B=50°，则∠A=_______。
八年级二次根式教师讲义带答案
第五章二次根式 【知识网络】 知识点一：二次根式的概念 形如…（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被幵方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是J为二次根式的前提条件，如J，& I,二「’等是二次根式，而J ，丿厂■等都不是二次根式。 知识点二：取值范围 1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a± 0时，" 有意义，是 二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被幵方数大于 或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a< 0时, ■■ 没有 意义。 知识点三：二次根式二（』匚）的非负性 ^:）表示a的算术平方根，也就是说，门（二/ ）是一个非负数， 即Z 10 （“ _「）。 注：因为二次根式二）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数, 0的算术平方根是0,所以非负数（）的算术平方根是非负数，即「上 0 （），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类 似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0 ;若八」，则a=0,b=0 ;若“、-，则a=0,b=0。 知识点四：二次根式（厂）：的性质 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式）是逆用平方根的定义得出的结论。 上面的公式也可以反过来应用：若心：，则如：—w.
知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1化简爲「时，一定要弄明白被幵方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0,则等于a本身，即&二；若a是负数，则等于a的相反数-a, 2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，='一定有意义； 3、化简勺丁时，先将它化成’，再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六：、'与打的异同点 1不同点：二八与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而“'表示一个实数a的平方的算术平方根；在中^ ：|，而中a可以是正实数，0,负实数。但-、宀与都是非负数，即'，&兰°。因而它的运算的结果是有差别的，(亦尸，而 2、相同点：当被幵方数都是非负数，即时，―' 二扛；-「时，无 意义，而八 '. 知识点七：二次根式的运算 1. 二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母 中不含根号. (2) 注意知道每一步运算的算理； (3) 乘法公式的推广： 2. 二次根式的加减运算 先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质； 3. 二次根式的混合运算
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学习必备欢迎下载 不等式的证明方法 一、比较法 1. 求证： x2 + 3 > 3 x 证：∵ (x2 + 3) 3x = x2 3x ( 3 ) 2 ( 3 )2 3 (x 3 ) 2 3 0 2 2 2 4 ∴x2 + 3 > 3 x 2. 已知 a, b, m 都是正数，并且 a < b，求证：a m a b m b a m a b(a m) a( b m) m(b a) 证： m b b(b m) b(b m) b ∵ a,b,m 都是正数，并且a
相似三角形的判定及证明技巧讲义
- 1 - / 4 相似三角形（三） 知识点（一）：相似三角形的证明技巧 1.相似三角形的基本图形 2.相似三角形判定定理（3条） 3.相似三角形的具体解题方法 1.“三点定形法”：即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。 例1、已知:如图△ABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:AE?AB=AC?AF.（判断“横定”还是“竖定”？） 例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB吗？说明理由。 分析方法： 1）先将积式______________ 2）______________（“横定”还是“竖定”？） 练习1.已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。 求证：CD2=DE·DF。
A D E F B C
2.过渡法（或叫代换法） 有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明． (1)等量过渡法（等线段代换法） 遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。 例1：如图3，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线FE交BC的 延长线于E．求证：DE2＝BE·CE． - 2 - / 4 (2)等比过渡法（等比代换法） 当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代
二次根式拓展提高讲义及答案
二次根式拓展提高（讲义） 一、知识点睛 1． 理解二次根式的双重非负性，辨识四类典型形式． (1)若20x y z ++=，则_____x y _____z _____，，．=== (2)若出现2x -或x -，则x _____=． (3)若x 和x -同时存在，则x _____=． (4)2_______x =；2()=_______x ． 2． 根据数轴和线段的几何特征建等式． c b a C B A 如图，数轴上三点A ，B ，C 对应的实数分别为a ，b ，c ，若点A 与点B 关于点C 对称（即C 是线段AB 的中点），则线段AC =_______，BC =_______，因为AC =BC ，所以a ，b ，c 的数量关系是______________. 3． 完全平方公式在二次根式化简中的应用． (1)222_________a ab b ±+=； (2)若00m n ＞ ，＞，则 ()()22 22m mn n m mn n ++=++()2_________.m n =+= 4． 实数比较大小． (1)作差法 (2)形似法 (3)乘方法 (4)分母有理化 二、精讲精练 1．若x ，y 为实数，且220x y ++-=，则2013x y ?? ???的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2
2．已知212102 x y y ++++=，则y x =___________． 3．一个数的平方根是22+a b 和4a -6b +13，求这个数． 4．若a ，b 为实数，且满足()1110a b b +---=，则 20132012a b -=________． 5．若21--x 有意义，则x 的值为________． 6．化简()2 241121711a a a a +--+----=________． 7．若223y x x =-+--，则y x =________． 8．若224412-+-+=-x x y x ，则3x +4y =________． 9．当1<<4x 时，化简：2212816．x x x x -++-+ 10．实数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图所示： a b c 0 化简：()()323a c b a b a c +--++ -． 11．化简：()2 244123x x x -+- -．
高中数学全套讲义 选修1-2 证明方法中档 学生版
目录 目录 (1) 考点一分析法和综合法 (2) 课后综合巩固练习 (3)
考点一分析法和综合法 1．分析法 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法．用Q表示要证明的结论，则分析法可表示为： [Q?P1]→[P1?P2]→[P2?P3]→…→[得到一个明显的成立条件]． 2．综合法 一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可表示为： [P?Q1]→[Q1?Q2]→[Q2?Q3]→…→[Q n?Q]． 3．分析法和综合法的区别 综合法证明是“由因导果”，分析法证明是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．分析法便于寻找解题思路，而综合法便于叙述． 1．（2019春?滁州期末）只要证1020 +， 5，只要证：2125 <．这种证明方法是() A．反证法B．分析法C．综合法D．间接证法 2．（2018春?未央区校级期中）可选择的方法有以下几种，其中最合理的是() A．综合法B．分析法C．比较法D．归纳法3．（2018春?湖北期中）以下是解决数学问题的思维过程的流程图：
在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是( ) A ．①-分析法，②-反证法 B ．①-分析法，②-综合法 C ．①-综合法，②-反证法 D ．①-综合法，②-分析法 4．（2018春?龙华区校级期中）已知函数()|sin |f x x =的图象与直线(0)y kx k =>有且仅有三 个交点，交点的横坐标的最大值为α，2 1,34cos A B sin sin ααααα +==+令．则( ) A ．A B > B ．A B < C ．A B = D ．A 与B 的大小不确定 课后综合巩固练习 5．（2018春?龙岗区期末）分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a b c >>，且 0a b c ++=””索的因应是( ) A ．0a b -> B ．0a c -> C ．()()0a b a c --> D ．()()0a b a c --< 6．（2017春?菏泽期中）命题：“对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=”的证明过程：“44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos2θθθθθθθθθ-=-+=-=”应用了( ) A ．分析法 B ．综合法 C ．综合法与分析法结合使用 D ．演绎法 7．（2016?石景山区一模）德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整 数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即)2 n ；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即31)n +，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注:1可以多次出现），则n 的所有不同值的个数为( ) A ．4 B ．6 C ．32 D ．128 8．（2016春?邹平县校级期中）若a b c >>，则使11k a b b c a c +---恒成立的最大的正整数
等腰三角形及全等三角形的中难题证明
1、（1）如图表示长方形纸片ABCD沿对角线BD进行折叠后的情况，图中有没有关于某条直线对称的图形？如图，请作出对称轴；图中是否有相等的线段、相等的角（不含直角）？如有，请写出相等的线段、相等的角； （2）在（1）中，连接AC，那么AC与BD平行吗？为什么？ 2、如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC 上，BD=DF。证明： （1）CF=EB；（2）AB=AF+2EB. 3、在Rt三角形中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直于线段AB。 （1）试找出图中相等的线段，并加以证明； （2）若DE=1cm，BD=2cm.
4、如图，在Rt△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DF⊥AC于点F，且DE=DC.试比较BE 和FC的大小关系并说明理由。 5、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，求这个等腰三角形顶角的度数。 6、如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA。 （1)DE平分∠BDC吗？为什么？ （2）若点M在DE上，且DC=DM，那么ME与BD相等吗？请证明你的结论. 7、如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A 运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是。
8、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F． （1）求证：DE=EF； （2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC． 9、如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE，∠ABE=2∠C. 求证：AC-AB=2BE. 10、如图，D为等边△ABC内一点，且DB=DA，BP=BA，∠DBP=∠DBC，求∠BPD的大小.
三角形的证明讲义
小巨人学科教师辅导讲义
D C B A F E 121、等腰三角形的两边分别是7 cm 和3 cm ，则周长为 ____ 。 2、如图在△ABC 中，AB = AC ，AD ⊥AC ，∠BAC = 100°。求：∠1、∠B 的度数。 3、如图，已知∠D =∠C ，∠A =∠B ，且AE = BF 。求证：AD = BC 。 4、如图，在△ABC 中，D 为AC 上一点，并且AB = AD ，DB = DC ，若∠ C = 29°，求∠A 。 5.如图，在△ABC 中，AB = AC ，D 是BC 边上的中点，且DE ⊥AB ，DF ⊥ AC 。 求证：∠1 =∠2。 总结一下： 1、等腰三角形性质定理： （简称“等边对等角”）； 2、推论（三线合一）： 第二篇章 1、 如图，E 是△ABC 内的一点，AB = AC ，连接AE 、BE 、CE ，且BE = CE ，延长AE ，交BC 边于点D 。求证：AD ⊥BC 。 2、已知：如图，点D,E 在三角形ABC 的边BC 上,AD=AE,AB=AC,求证：BD=CE 3、已知：如图，在△ABC 中，∠B=∠C,求证：AB=AC （提示：构造两个全等三角形证明） 归纳：1、有两个角相等的三角形是______三角形。（简称“等角对等边”） 推理格式：∵∠B=∠C,∴___________(等角对等边) 2、反证法证明问题的一般步骤： 从结论的 _ 出发，先假设命题的结论 __ ，然后推出与定义、公理、已证定理或已知条件相 __ 的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为 ____ 。 1、用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。 2.如图，在△ABC 中，AB = AC ，DE ∥BC ，求证：△ADE 是等腰三角形。 321A B C D A B C D E F D C B A C B A E A B C D
最新二次根式的讲义汇总
专题一二次根式【知识点1】二次根式的概念：一般地，我们把形如.a _0（a 一0）的式子叫做二次根式。二次根式的实质是一个非负数数a的算数平方根。 【注】二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a必须是非负数。 例 1 下列各式1）L；,2）.飞,3） - -X22,4）、一4,5）L（-；）2,6）.,口,7）, a2—2a 1， 其中是二次根式的是_________ （填序号）. 例2使，x +“ ；x-2有意义的x的取值范围是（） A ,x > 0 B ,x 丰 2 C.x>2 D ,x > 0 且 2.[来源：学*科* 网Z*X*X*K]例 3 若y= .、X -5 + _ 5 -X +2009，则x+y= ______________ 练习1使代数式有意义的x的取值范围是（） x —4 A 、x>3 B x> 3 C x>4 D、x >3 且x丰4 练习2若x —1 - .1—x = （x y），则x —y 的值为（） A. —1 B . 1 C . 2 D . 3 例 4 若a—2|+5/^5 =0,贝U a2—b= ____________________ 。 例5 在实数的范围内分解因式：X4 - 4X 2 + 4= ________ ___________ 例6 若a、b为正实数，下列等式中一定成立的是（）： A、诟+ 品=^a2+b2; B、寸（a2+b2）2=a2+b2； C、（ .a + . b ）2= a2+b2; D、. （a—b）2=a—b; 【知识点2】二次根式的性质：（1）二次根式的非负性，■. a 一0（a 一0）的最小值是0;也就是说=（「：—?）是一个非负数，即二二0 注：因为二次根式=（，二I）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正
推理与证明讲义
1．1 归纳推理 【学习要求】 1．了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理． 2．了解归纳推理在数学发展中的作用． 【学法指导】 一，基础知识回顾： 归纳是推理常用的思维方法，其结论不一定正确，但具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养 1．归纳推理定义：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，我们将这种推理方式称为归纳推理． 2．归纳推理的思维过程大致是实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论． 3．归纳推理具有如下的特点：(1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般 的推理；(2)由归纳推理得到的结论不一定 正确；(3)归纳推理是一种具有创造性的推理． 二，问题探究 探究点一：归纳推理的定义 例1：在日常生活中我们常常遇到这样一些问题：看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时，我们会得出一个判断——天要下雨了；张三今天没来上课，我们会推断——张三一定生病了；谚语说：“八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯”等，像上面的思维方式就是推理，请问你认为什么是推理？ 答：根据一个或几个已知的命题得出另一个新的命题的思维过程就叫作推理． 变式迁移1：观察下面两个推理，回答后面的两个问题：(1)哥德巴赫猜想：6＝3＋3 8＝3＋5 10＝5＋5 12＝5＋7 14＝7＋7 16＝5＋11…… 1 000＝29＋971 1 002＝139＋863……猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和．(2)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．回答 ①以上两个推理在思维方式上有什么共同特点？②其结论一定正确吗？ 答：①共同特点：部分推出整体，个别推出一般．(这种推理称为归纳推理) ②其结论不一定正确． 小结 归纳推理定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)． 探究点二：归纳推理在数列中的应用 例2：在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n ，n ∈N *，猜想这个数列的通项公式，这个猜想正确吗？请说明理由． 解：在{a n }中，a 1＝1，a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝12＝24，a 4＝2a 32＋a 3＝25 ，…，所以猜想{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1.这个猜想是正确的，证明如下：因为a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n ，所以1a n ＋1 ＝2＋a n 2a n ＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12 ，所以数列??????1a n 是以1a 1＝1为首项，12为公差的等差数列，所以1a n ＝1＋(n －1)×12＝12n ＋12，所以通项公式a n ＝2n ＋1 变式迁移2：已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1(n ＝1,2,3，…) (1)求a 2，a 3，a 4，a 5； (2)归纳猜想通项公式a n . 解：(1)当n ＝1时，知a 1＝1，由a n ＋1＝2a n ＋1得a 2＝3， a 3＝7，a 4＝15，a 5＝31. (2)由a 1＝1＝21－1，a 2＝3＝22－1， a 3＝7＝23－1，a 4＝15＝24－1，a 5＝31＝25－1，可归纳猜想出a n ＝2n －1(n ∈N *)．
等腰三角形证明专题(汇编)
《等腰三角形》练习题 1、如图，AB=AC，BD=CD，AD=AE，∠BAD=26°，则∠AED=_______________ 2、如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=AE，BC=BF，则∠ECF=___________ 3、如图，点D是△ABC的边BC上一点，且AB=AC，AD=AE，∠BAD=30°，则∠EDC=__________ 4、如图，在△ABC中，AB=AC，AD=DC=BC，求∠A的度数． 5、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为CA延长线上一点，DE⊥BC，交线段AB于点F．请找出一组相等的线段（AB=AC除外）并加以证明． 6、如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A=50°时，求∠DEF的度数．
7、如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的角平分线，且BD=BE，∠A=100°，试求∠DEC的度数． 8、已知，如图△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD平分∠BAC． 9、如图，D是△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线交点，过D作与BC平行的直线，分别交AB、AC于E、F，求证：EB+FC=EF． 10、如图，△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G．求证GD=GE．
《等边三角形》练习题 1、已知，等边三角形ABC，D是AB上一点，DE⊥BC，垂足为E，EF⊥AC，垂足为F，FD⊥AB．求证：△DEF为等边三角形的理由； 2、已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．请你说明△DEF是正三角形． 3、如图，A、B、C三点在同一直线上，△ABM和△BCN是正三角形，P是AN中点，Q 是CM中点．求证：△BPQ是正三角形．
第一章三角形的证明复习资料
精品文档 《第1章三角形的证明》复习资料 知识点： 一、全等三角形的判定及性质 性质：全等三角形对应角相等、对应边相等 判定：①判定一般三角形全等：（SSS、SAS、ASA、AAS）. ②判定直角三角形全等独有的方法：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，即HL 二. 等腰三角形 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）. 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）． 推论：等腰三角形顶角平分线、底边中线、底边上的高互相重合（即“三线合 一”）． 等边三角形的性质及判定定理 性质：等边三角形的三个角都相等，每个角都等于 60°；等边三角形是轴对图形，有 3 条对称轴. 判定：(1)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形. 三.直角三角形 1. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 222a?bc。tp://w ww.xk =、b、c，则如果直角三角形的两直角边长和斜边分别为为a222a?bc，那么这个=a、b、c满足关系勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长三角形是直角三角形。常见的勾股数有：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）6，8，10；（4）8，15，17 2.含30°的直角三角形的边的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对应的直角边等于斜边的一半. 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 四. 线段的垂直平分线 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. 精品文档． 精品文档 . 垂直平分线上判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的 . 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等角平分线五. 的距离相等；角两边性质：角平分线上的点到 . 判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上
证明(三)经典讲义
证明（三）主要知识点： 一、三角形 按角分 三角形 按边分 二、四边形 1. 知识结构如下图 （1）弄清定义及四边形之间关系图1： （2）四边形之间关系图2： 四边形 正方形 两腰相等 有一个角是直角 直角梯形 平行四边形 矩形菱形 正 方 形 等腰梯形直角梯形 梯形 四边形 直角三角形 钝角三角形 三条边都不相等的三角形 等腰三角形 等边三角形（正三角形） 1
2、几种特殊的四边形的性质和判定： 2
3 3、一些定理和推论： 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 推论：夹在两平行线间的平行线段相等。 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 4、一些思想方法： ⑴方程思想：运用方程思想将一个几何问题化为一个方程的求解问题。 ⑵化归思想方法：解四边形问题时，常通过辅助线把四边形问题转化归为三角形问题来解决。梯形问题化为三角形、平行四边形来解决。 ⑶分解图形法:复杂的图形都是由简单的基本图形组成，故可将复杂图形分解成几个基本图形，从而使问题简单化。 ⑷构造图形法：当直接证明题目有困难时，常通过添加辅助线构造基本图形以达到解题的目的。 ⑸解证明题的基本方法：①从已知条件出发探索解题途径的综合法；②从结论出发，不断寻找使结论成立的条件，直至已知条件的分析法；③两头凑的方法，就是综合运用以上两种方法找到证明的思路（又叫分析—综合法）。 ⑹转化思想：就是将复杂问题转化，分解为简单的问题，或将陌生的问题转化成熟悉的问题来处理的一种思想。 5、注意： ⑴四边形中基本图形 ⑵梯形问题中作辅助线的常用方法(基本图形 ) ⑶菱形的面积公式：S=两条对角线积的一半。
等腰三角形证明以及辅助线做法
巧用“两线合一”构建且证明等腰三角形问题 学习了等腰三角形的三线合一后，笔者认为，可以根据学生的实际情况，补充“三线合一”的逆命题的教学，因为这种逆命题虽然不能作为定理用，但它在解题中非常常见的。掌握了它，可以为我们解题增加一种重要思路。它有以下几种形式： ????①一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形．（线段垂直平分线的性质）????②一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形． ????③一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形. ????因此，三角形“一边上的高、这边上的中线及这边所对角的平分线”三线中“两线合一”就能证明它是等腰三角形． 为了便于记忆，笔者简言之：两线合一，必等腰。 本文重点利用该逆命题作为一种思路正确地添加辅助线，构建等腰三角形且证明之来解决问题。 ????一、我们先来证明“三线合一”性质的逆命题三种情形的正确性： 证明①：已知:如图1，△ABC中，AD是BC边上的中线，又是BC边上的高。 求证：△ABC是等腰三角形。 分析：AD就是BC边上的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质，可以推出AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。具体证明过程略。 证明②：已知:如图1，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高。 求证：△ABC是等腰三角形。 分析：利用ASA的方法来证明△ABD≌△ACD，由此推出AB=AC得出△ABC是等腰三角形。具体证明过程略。 证明③：已知:如图2，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，?AD是BC边上的中线。 求证：△ABC是等腰三角形。 方法一： 分析：要证△ABC是等腰三角形就是要证AB=AC，直接通过证明这两条线段所在的三角形全等不行，那就换种思路，经验告诉我们，在有中点的几何证明题中常用的添辅助线的方法是“倍长中线法”（即通过延长三角形的中线使之加倍，以便构造出全等三角形来解决问题的方法），即延长AD到E点，使DE=AD，由此问题就解决了。 证明：如图2，延长AD到E点，使DE=AD，连接BE ?????在△ADC和△EDB中 ????????AD=DE ?????????∠ADC=∠EDB ????????CD=BD ?????∴△ADC≌△EDB ?????∴AC=BE,∠CAD=∠BED ?????∵AD是∠BAC的角平分线 ?????∴∠BAD=∠CAD ?????∴∠BED=∠BAD ?????∴AB=BE ????又∵AC=BE
相似三角形详细讲义
知识梳理 相似三角形的概念 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 相似用符号“∽”表示，读作“相似于”． 相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)． 相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注意： ①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易 找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对 应边成比例． 相似三角形的基本定理 定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原 三角形相似． 定理的基本图形： 用数学语言表述是：
BC DE // ， ADE ∽ABC ． 相似三角形的等价关系 (1)反身性：对于任一ABC 有ABC ∽ABC ． (2)对称性：若ABC ∽'''C B A ，则'''C B A ∽ABC ． (3)传递性：若ABC ∽C B A ''，且C B A ''∽C B A ，则ABC ∽C B A ． 三角形相似的判定方法 1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似． 2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似． 3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似． 4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．（在遇到两个三角形的三边都知道的情况优先考虑，把边长分别从小到大排列，然后分别计算他们的比值是否相等来判断是否相似） 6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用． (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． (3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似． 直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式 如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则有射影定理如下： （1）（AD ）2=BD ·DC ， （2）（AB ）2=BD ·BC ， （3）（AC ）2=CD ·BC 。 证明：在 △BAD 与△ACD 中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC ，又∵∠ BDA=∠ADC=90°，∴△BAD ∽△ACD 相似，∴ AD/BD ＝CD/AD ，即 （AD ）2=BD ·DC 。其余类似可证。 注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得： （AB ）2+（AC ）2=BD ·BC+CD ·BC =（BD+CD)·BC=（BC ）2， 即 （AB ）2+（AC ）2=（BC ）2。 这就是勾股定理的结论。 判断相似三角形的几条思路： 1 条件中若有平行线，可采用相似三角形的基本定理 2 条件中如果有一对等角，可再找一对等角（用判定1）或再找夹边成比例。（用判定2）3条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等（直角可以直接得出相似）4条件中若有一对直角，可考虑在找一对等角或证明斜边，直角边对应成比例。5条件中若
四边形证明(讲义及答案)
四边形证明（讲义） 知识点睛 菱形 精讲精练 1.如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接 CD．求证：四边形ABCD是菱形． O A E B C F D 2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°．AG∥CD，交BC于点G，E，F分别为AG， CD的中点，连接DE，FG，DG． （1）求证：四边形DEGF是平行四边形； （2）当点G是BC的中点时，求证：四边形ABGD是矩形． 3.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，O为AB的中点，连接DO并延长至点 E，使OE=DO，连接AE，BE． （1）求证：四边形AEBD是矩形； （2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形？请说明理由． O E D C B A A D F E B G C
4. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AB 于点E ，点F 在 DE 上，且AF =CE =AE ． （1）求证：四边形ACEF 是平行四边形； （2）当∠B 满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形？请说明理由． F E D C B A 5. 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延 长线于点F ，连接CF ．若 AB ⊥AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论． F E D C B 6. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 边上，且AE =AF ． （1）求证：BE =DF ； （2）连接AC ，交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM =OA ，连接EM ，FM ，则四边形AEMF 是什么特殊四边形？请证明你的结论． M O F E D C B A
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