(完整版)中考数学压轴题分类汇编：几何动点

中考数学分类汇编专题测试——动点问题

1．如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，在对称中心O 处有一钉子．动点P ，Q 同时从点

A 出发，点P 沿A

B

C →→方向以每秒2cm 的速度运动，到点C 停止，点Q 沿A D

→方向以每秒1cm 的速度运动，到点D 停止．P ，Q 两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设

x 秒后橡皮筋扫过的面积为2cm y ．

（1）当01x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式； （2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x 值；

（3）当12x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时POQ ∠的变化范围；

（4）当02x ≤≤时，请在给出的直角坐标系中画出y 与x 之间的函数图象．

[解] （1）当01x ≤≤时，2AP x =，AQ x =，21

2

y AQ AP x ==g ， 即2

y x =．

（2）当1

2

ABCD ABPQ S S =正方形四边形时，橡皮筋刚好触及钉子，

22BP x =-，AQ x =，()211222222x x -+?=?，4

3

x ∴=．

（3）当4

13

x ≤≤时，2AB =，

22PB x =-，AQ x =，

2223222

AQ BP x x y AB x ++-∴==?=-g ，

即32y x =-．

作OE AB ⊥，E 为垂足．

当4

23

x ≤≤时，22BP x =-，AQ x =，1OE =， BEOP OEAQ y S S =+梯形梯形12211122x x +-+=?+?32x =，即3

2

y x =．

90180POQ o

o

≤∠≤或180270POQ o

o

≤∠≤ （4）如图所示：

3

2

1 O

1 2 x

y

4

3

B C

P

O

D Q

A B

P

C

O

D

Q

A

y

3

2 1 O

1 2 x

2.如图,平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于A (3,0),B (0,3)两点, ,点C 为线段AB 上的一动点,过点C 作CD ⊥x 轴于点D . (1)求直线AB 的解析式; (2)若S 梯形OBCD ＝

43

3

,求点C 的坐标; (3)在第一象限内是否存在点P ,使得以P,O,B 为顶点的 三角形与△OBA 相似.若存在,请求出所有符合条件 的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.

[解] （1）直线AB 解析式为：y=3

3

-

x+3． （2）方法一：设点Ｃ坐标为（x ，33-

x+3），那么OD ＝x ，CD ＝3

3-x+3． ∴OBCD S 梯形＝

()2

CD CD OB ?+＝36

32

+-

x ． 由题意：3632+-

x ＝3

34，解得4,221==x x （舍去） ∴ Ｃ（２，

3

3

） 方法二：∵ 23321=?=

?OB OA S AOB ,OBCD S 梯形＝334，∴6

3=?ACD S ． 由OA=3OB ，得∠BAO ＝30°，AD=3CD ．

∴ ACD S ?＝

2

1

CD ×AD ＝223CD ＝63．可得CD ＝33． ∴ AD=１，OD ＝２．∴C （２，

3

3

）． （３）当∠OBP ＝Rt ∠时，如图

①若△BOP ∽△OBA ，则∠BOP ＝∠BAO=30°，BP=3OB=3，

∴1P （3，

3

3）． ②若△BPO ∽△OBA ，则∠BPO ＝∠BAO=30°,OP=

3

3

OB=1．

∴2P （1，3）．

当∠OPB ＝Rt ∠时

③ 过点P 作OP ⊥BC 于点P(如图)，此时△PBO ∽△OBA ，∠BOP ＝∠BAO ＝30° 过点P 作PM ⊥OA 于点M ．

方法一： 在Rt △PBO 中，BP ＝

21OB ＝23，OP ＝3BP ＝2

3．

∵ 在Rt △P ＭO 中，∠OPM ＝30°， ∴ OM ＝

21OP ＝43；PM ＝3OM ＝433．∴3P （4

3，43

3）．

方法二：设Ｐ（x ，33-

x+3），得OM ＝x ，PM ＝3

3

-x+3 由∠BOP ＝∠BAO,得∠POM ＝∠ABO ．

∵tan ∠POM==

OM

PM =x x 3

33

+-

，tan ∠ABOC=OB

OA =3．

∴33-

x+3＝3x ，解得x ＝43．此时，3P （4

3，43

3）． ④若△POB ∽△OBA(如图)，则∠OBP=∠BAO ＝30°，∠POM ＝30°． ∴ PM ＝

33OM ＝4

3

． ∴ 4P （

4

3，43）（由对称性也可得到点4P 的坐标）．

当∠OPB ＝Rt ∠时，点P 在ｘ轴上,不符合要求.

综合得，符合条件的点有四个，分别是：

1P （3，

33），2P （1，3），3P （43，433），4P （4

3，43）．

3．如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC 是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠ COA=60°，点P 为x 轴上的—个动点，点P 不与点0、点A 重合．连结CP ，过点P 作PD 交AB 于点D ． (1)求点B 的坐标；

(2)当点P 运动什么位置时，△OCP 为等腰三角形，求这时点P 的坐标； (3)当点P 运动什么位置时，使得∠C PD=∠OAB，且

AB BD =8

5

，求这时点P 的坐标。 [解] (1)作BQ ⊥x 轴于Q.

∵ 四边形ABCD 是等腰梯形, ∴∠BAQ ＝∠COA ＝60° 在Rt ΔBQA 中,BA=4,

∴BQ=AB ·sin ∠BAO=4×sin60°=32 AQ=AB ·cos ∠BAO=4×cos60°=2, ∴OQ=OA-AQ=7-2=5 ∵点B 在第一象限内, ∴点B 的的坐标为(5, 32)

(2)若ΔOCP 为等腰三角形,∵∠COP=60°,

此时ΔOCP 为等边三角形或是顶角为120°的等腰三角形 若ΔOCP 为等边三角形,OP=OC=PC=4,且点P 在x 轴的正半轴上, ∴点P 的坐标为(4,0)

若ΔOCP 是顶角为120°的等腰三角形,则点P 在x 轴的负半轴上,且OP=OC=4 ∴点P 的坐标为(-4,0) ∴点P 的坐标为(4,0)或(-4,0) (3)若∠CPD=∠OAB ∵∠CPA=∠OCP+∠COP 而∠OAB=∠COP=60°, ∴∠OCP=∠DPA 此时ΔOCP ∽ΔADP ∴

AP

OC AD OP = ∵8

5=AB

BD

∴2585==AB BD ,

AD=AB-BD=4-25=2

3 AP=OA-OP=7-OP ∴

OP OP -=742

3 得OP=1或6

∴点P 坐标为(1,0)或(6,0).

4． 已知：如图①，在Rt ΔABC 中，∠C=900，AC=4cm ，BC=3cm ，点P 由B 出发沿BA 方向

向点A 匀速运动，速度为1cm/s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为t （s ）（0

若PQ ∥BC ，则△APQ ∽△ABC ，∴

=AC

AQ AB AP

，∴5542t t -=，∴710=t ． （2）过点P 作PH ⊥AC 于H ． ∵△APH ∽△ABC ， ∴=BC

PH

AB

AP ，∴

=3PH

5

5t -，∴

t

PH 5

3

3-=，∴

t t t t PH AQ y 35

3

)533(221212+-=-??=??=

． （3）若PQ 把△ABC 周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ ．∴)24(32)5(t t t t -++=+-， 解得：1=t ．

若PQ 把△ABC 面积平分，则ABC APQ S S ??=2

1

， 即－25

3t ＋3t =3．

∵ t =1代入上面方程不成立，

∴不存在这一时刻t ，使线段PQ 把Rt △ACB 的周长和面积同时平分． （4）过点P 作PM ⊥AC 于Ｍ，PN ⊥BC 于N ，

若四边形PQP ′ C 是菱形，那么PQ ＝PC ． ∵PM ⊥AC 于M ，∴QM=CM ． ∵PN ⊥BC 于N ，易知△PBN ∽△ABC ． ∴

AB BP AC PN =， ∴5

4t

PN =， ∴5

4t PN =， ∴54t

CM QM ==，

∴

425454=++t t t ，解得：9

10

=t ． 图①

B

B

N

∴当9

10

=

t 时，四边形PQP ′ C 是菱形． 此时375

33=

-=t PM ， 9

854==t CM ， 在Rt △PMC 中，9

505816494922=+=

+=CM PM PC ， ∴菱形PQP ′ C 边长为9

505

．