三角形中线等分面积的应用

第5讲

例说三角形中线等分面积的应用

如图1，线段AD 是△ABC 的中线，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则S △ABD ＝

1

2

BD ·AE ，S △ADC ＝

1

2

DC ·AE ，因为BD ＝DC ，所以S △ABD ＝S △ADC 。因此，三角形的中线把△ABC 分成两个面积相等的三角形.利用这一性质，可以解决许多有关面积的问题。

一、求图形的面积

例1、如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积.

分析：因为E 、F 分别是BC 和CD 的中点，则连接CG 后，可知GF 、GE 分别是△DGC 、△BGC 的中线，而由S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ=

4

ab

，可得S △ＢＥＧ

=S △ＤＦＧ，所以△DGF 、△CFG 、△CEG 、△BEG 的面积相等，问题得解。 解：连接CG ，由E 、F 分别是BC 和CD 的中点，所以S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ=4

ab

，从而得S △ＢＥＧ

=S △ＤＦＧ，可得△DGF 、△CFG 、△CEG 、△BEG 的面积相等且等于

3

1

×=，因此S 四边形ＡＢＧＤ=ab －4×=。

例2、在如图3至图5中，△ABC 的面积为a ．

（1）如图2, 延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD =BC ，连结DA ．若△ACD 的面积为S 1，

则S 1=________（用含a 的代数式表示）； （2）如图3，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD =BC ，AE =CA ，连结DE ．若

△DEC 的面积为S 2，则S 2=__________（用含a 的代数式表示），并写出理由；

（3）在图4的基础上延长AB 到点F ，使BF =AB ，连结FD ，FE ，得到△DEF （如图6）．若阴影部分的面积为S 3，则S 3=__________（用含a 的代数式表示）．

发现：像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF （如图6），此时，我们称△ABC 向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的_______倍．

图1

图2

A

B

E

图4

D

A

B C F 图5 图3

A

B

应用：去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，

把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH

（如图5）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少m2？

分析：从第1个图可以发现AC就是△ABD的中线，第2个图通过连接DA，可得到△ECD

的中线DA，后面扩展的部分都可以通过这样的方法得到三角形的中线，从而求出扩展部分

的面积，发现规律。

解：（1）由CD=BC，可知AC就是△ABD的中线，中线AC将△ABD的分成两个三角形

△ABC、△ACD，这两个三角形等底等高，所以它们的面积相等；所以S1=a；

（2）若连接DA，则DA就是△ECD的中线，中线AD将△ECD分成△CDA、△EDA，它

们的面积相等；所以S2=2a；

（3）根据以上分析，可知△BFD、△CED、△EAF面积都为

2a；所以S2=6a；

发现：由题意可知扩展一次后的△DEF的面积是S△DEF=

S3+S△ABC=6a+a=7a；即扩展一次后的△DEF的面积是原来△ABC

面积的7倍。

应用：由以上分析可知

扩展一次后S总1=7a，

扩展二次后S总2=S总1=72a，

扩展三次后S总3=S总2=73a，

拓展区域的面积：（72－1）×10=480（m2）

说明：本题是从一个简单的图形入手，逐步向复杂的图形

演变，引导我们逐步进行探索，探索出有关复杂图形的相关结

论，这是我们研究数学问题的一种思想方法：从特殊到一般的思想。所以我们在平时的学习

中，要注意领会数学思想和方法，使自己的思维不断升华。

二、巧分三角形

例3、如图7，已知△ABC，请你用两种不同的方法把它分成面积之比为1:2:3的三个三

角形.

分析：可以把三角形先两等份，再把其中一个再两等份，所以联想到作三角形的中线。

解：方法1：取BC的中点E，然后在BE上取点D，使BDBE，则AD、AE把△ABC分成

面积之比为1:2:3的三个三角形（如图8）.

方法2：在BC边上截取DCBC，连结AD，然后取AB的中点P，连结BP、CP，则△PAC、

△PAB、△PBC的面积之比为1:2: 3（如图9）.

图6

D

E

A

B

C

F

H

M

图7 图8 图9

5432

1

C

B

A 2

1O 想一想：方法2中，这三个三角形的面积之比为什么是1:2:3？ 二、巧算式子的值

例2在数学活动中，小明为了求的值（结果用n 表示），设计了如图10所示的几何图形.请你利用这个几何图形求的值.

分析：由数据的特征：后面的数为前面一个数的，联想到将三角形的面积不断的平分，所以可以构造如图10的图形进行求解。

解：如图10，设大三角形的面积为1，然后不断的按顺序作出

各个三角形的中线，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，图中三角形除了最后一个小三角形，其余部分的面积为，

因此.

说明：此题运用“数形结合思想”，借助三角形的面积来求数的运算，简捷、巧妙.

三角形内角和定理及外角性质的应用

三角形三个内角的和等于180°，这是三角形内角和定理．

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，这是三角形外角性质．

三角形内角和定理及外角性质应用广泛，下面以例说明． 一、求三角形的内角

例2(08太原)在△ABC 中，∠B =40°，∠C =80°，则∠A 的度数为( ) A ．30° B ．40° C ．50° D ．60°

解：由三角形内角和定理，得∠A =180°-∠B -∠C =180°-40°-80°=60°，答案选D ． 例3(08东营)如图1，已知∠1=100°，∠2=140°，那么∠3=＿＿． 解：∠4=180°-∠1=180°-100°=80°， ∠5=180°-∠2=180°-140°=40°，

由三角形内角和定理，得

∠3=180°-∠4-∠5=180°-80°-40°=60°，答案选D ．图1

说明：在求出∠4=80°后，也可根据三角形外角性质，得∠2=∠4+∠3，所以∠3=∠2-∠4=140°-80°=60°．

二、判断三角形的形状

例1 (08陕西)一个三角形三个内角的度数之比为2:3:7，这个三角形一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形 解：设三个内角分别为2k ，3k ，5k ，由三角形内角和定理，得

2k +3k +5k =180°．解得k =15°，所以2k =30°，3k =45°，7k =105°，所以这个三角形是钝角三角形，答案选C ．

三、求角平分线的夹角

例4 (08沈阳)已知△ABC 中，∠A =60°，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点O ，则∠BOC 的度数为＿＿．

解：如图2，由BO 平分∠ABC ，得∠1=∠ABC ；

由CO 平分∠ACB ，得∠2=∠ACB ．

所以∠1+∠2=(∠ABC +∠ACB )=(180°-∠A )图2

=(180°-60°)=60°． 图10

D A

l 1l 2

B

C 21312C

B l 2l 1A

D E (a ∥b )

b a 12

212

1C B D

A 12四、求三角形的外角

例5 (08贵州)如图5，直线l 1∥l 2，AB ⊥l 1，垂足为D ，BC 与直线l 2相交于点C ，若∠1=30°，则∠2=＿＿＿．

解：如图6，延长AB 交l 2于点E ．

因为l 1∥l 2，由两直线平行，内错角相等，得∠BEC =∠3． 由AB ⊥l 1，得∠3=90°．所以∠BEC =90°．

由三角形外角性质，得∠2=∠BEC +∠1=90°+30°=120°．

图5 图6

说明：本题也可延长CB 交l 1于点F ，构造△FBD 进行求解，完成请同学们完成．

五、比较角的大小

例5 (08凉山)下列四个图形中∠2大于∠1的是()

A B C D

解：A 选项中，利用两直线平行，内错角相等及对顶角相等，可得∠1=∠2；B 选项，根据三角形的外角性质，可得∠2大于∠1．C 选项中的∠2与∠1的大小关系无法确定；D 选项中，由对顶角相等，可得∠1=∠2．答案选B ．

全等三角形水平测试（1）

薛建辉

一、试试你的身手

1．如图所示，沿直线AC 对折，△ABC 与△ADC 重合，则△ABC ≌__________，AB 的对应边是________，AC 的对应边是____________，∠BCA 的对应角是__________．

2．如图所示，△ACB ≌△DEF ，其中A 与D ，C 与E 是对应顶点，则CB 的对应边是________，∠ABC 的对应角是__________． 3．△ABC 和中，若，，则需要补充条件________可得到

4．如图所示，AB，CD相交于O，且AO＝OB，观察图形，图中已具备的另一相等的条件是________，联想到SAS，只需补充条件________，则有△AOC≌△________．

5．如图所示，有一块三角形镜子，小明不小心破裂成Ⅰ、Ⅱ两块，现需配成同样大小的一块．为了方便起见，需带上________块，其理由是__________．

6．如图所示，若只有AD⊥BD于点D这个条件，要证△ABD≌△ACD，则需补充的条件是________或__________或__________．

7．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，将△ABC绕着点A顺时针旋转40°后得到△ADE，则∠BAE 的度数为__________．

二、相信你的选择

1．下列说法：①全等三角形的形状相同；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长．面积分别相等，其中正确的说法为（）

Ａ．①②③④Ｂ．①③④Ｃ．①②④Ｄ．②③④

2．下列结论错误的是（）

Ａ．全等三角形对应角所对的边是对应边

Ｂ．全等三角形两条对应边所夹的角是对应角

Ｃ．全等三角形是一个特殊三角形

Ｄ．如果两个三角形都与另一个三角形全等，那么这两个三角形也全等

3．下面各条件中，能使△ABC≌△DEF的条件的是（）

Ａ．AB＝DE，∠A＝∠D，BC＝EFＢ．AB＝BC，∠B＝∠E，DE＝EF

０．AB＝EF，∠A＝∠D，AC＝DFＤ．BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF

4．在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠A＝∠D，若证△ABC≌△DEF，还要补充一个条件，错误的补充方法是（）

Ａ．∠B＝∠EＢ．∠C＝∠FＣ．BC＝EFＤ．AC＝DF

5．下列说法正确的是（）

Ａ．两边一角对应相等的两个三角形全等Ｂ．两角一边对应相等的两个三角形等Ｃ．两个等边三角形一定全等Ｄ．两个等腰直角三角形一定全等6．如图所示，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E．F，若BE＝CF，则图中全等三角形有（）Ａ．1对Ｂ．2对Ｃ．3对Ｄ．4对

7．如图，AB＝DB，BC＝BE，欲证△ABC≌△DBC，则需补充的条件是（）

Ａ．∠A＝∠DＢ．∠E＝∠CＣ．∠A＝∠CＤ．∠1＝∠2

三、挑战你的技能

1．如图，若∠DAB＝∠CBA，请你再添加一对相等的条件，使△ABD≌△CAB，并说明三角形全等的理由．

2．（1）完成下面的证明：

如图，AB＝AC，E，F分别是AC，AB的中点，那么△ABE≌△ACF．

证明：分别是，的中点，

，（）

，

在和中

．

（2）根据（1）的证明，若连结BC．请证明：△EBC≌△FCB．

3．如图，已知：BE＝DF，AE＝CF，AE∥CF，求证：AD∥BC．

4．如图，已知：CE⊥AD于E，BF⊥AD于F，（1）你能说明△BDF和△CDE全等吗？（2）若能，请你说明理由，若不能，在不用增加辅助线的情况下，请添加其中一个适当的条件，

这个条件是__________，来说明这两个三角形全等，并写出证明过程．

四、拓广探索

飞翔建筑公司在扩建二汽修建厂房时，在一空旷地上发现有一个较大的圆形土丘，经分析判断很可能是一座王储陵墓，由于条件限制，无法直接度量A，B两点间的距离，请你用学过的数学知识，按以下要求设计测量方案．

（1）画出测量方案

（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）

（3）计算AB的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）

参考答案：

一、1．△ADC，AD，AC，∠DCA2．EF，∠DFE3．

4．∠AOC=∠BOD，OC=OD，△BOD5．Ⅰ，有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等6．∠BAD=∠CAD，AB=AC，BD=CD7．100°

二、1．D 2．C 3．D 4．C 5．B 6．C 7．D

三、1．需要再添加的条件为：∠DBA=∠BAC（A S A）或∠DAC=∠CBD（A S A）或AD=BC（S A S）2．

（1）中点定义，

（2）

证明：，；又，分别为，的中点，，，，，在和中，．

3．证明：，，，

，，，．

在和中，，，．

4. （1）不能，（2）添加的条件为：BD=DC或DF=DE或BF=CE．选：BD=DC．

证明：，，，

三角形中线

三角形中线 1.三角形中线定义：连结三角形一个顶点和对边中点的线段； 2.三角形中线能将三角形分成面积相等的两部分； 3.三角形的三条中线必交于一点，该交点为三角形重心； 4.重心定理：三角形重心到一个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍； 5.三角形三条中线能将三角形分成面积相等的六部分； 6.解决三角形中线问题，常作的辅助线是倍长中线，塑造全等三角形，或平行四边形； 7.遇到三角形两条中线同时出现时，常需考虑三角形中位线：三角形中位线平行且等于第三边一半； 8.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 9.如果三角形一边中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形； 10.等边三角形顶角平分线，底边上的高，底边上的中线，互相重合； 重心，是三边上的中线的交点 垂心，是三边上的高线的交点 内心，是三个内角的平分线的交点 外心，是三边的垂直平分线的交点 三角形的五心 三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边距离的2倍，上述交点叫做三角形的重心，上述定理为重心定理。 外心定理三角形的三边的垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心。 垂心定理三角形的三条高交于一点，这点叫做三角形的垂心。 内心定理三角形的三内角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心。 旁心定理三角形的一内角平分线与另外两顶点处的外角平分线交于一点，这点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。 可以根据这些“心”的定义，得到很多重要的性质： （1）重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等； （2）外心扫三顶点的距离相等； （3）垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点构成的三角形的垂心； （4）内心、旁心到三边距离相等； （5）垂心是三垂足构成的三角形的内心，或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；（6）外心是中点三角形的垂心； （7）中心也是中点三角形的重心； （8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心。

三角形的中线与面积的三个重要结论

三角形的中线与面积的三个重要结论 三角形的中线与三角形的面积有着密切的关系，下面就来探讨一下这个话题. 一、三角形的中线与面积 1、三角形的一条中线与面积 如图1，AD 是三角形ABC 的中线，则ABD S 三角形=ACD S 三角形=2 1ABC S 三角形. 证明：因为AD 是三角形的中线，所以BD=CD ，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ， 则ABD S 三角形= 21×BD ×AE,ACD S 三角形=2 1×CD ×AE ，所以ABD S 三角形=ACD S 三角形， 所以ABD S 三角形=ACD S 三角形=21ABC S 三角形. 由此得到如下结论： 1、等底同高的两个三角形面积相等. 2、三角形的一条中线分原来三角形所成的两个三角形面积相等. 2、三角形的二条中线与面积 如图2，AD ，BE 是三角形ABC 的中线，则①BDF S 三角形=AEF S 三角形；②ABF S 三角形=CDFE S 四边形； ③ABF S 三角形=CDFE S 四边形=2BDF S 三角形=2AEF S 三角形=3 1ABC S 三角形. 证明：因为AD 、BE 是三角形的中线，所以ABD S 三角形=ACD S 三角形，ABE S 三角形=BCE S 三角形， 所以BDF S 三角形+ABF S 三角形=AEF S 三角形+CDFE S 四边形---（1）， AEF S 三角形+ABF S 三角形=BDF S 三角形+CDFE S 四边形——-（2），

（1）—（2）得 BDF S 三角形-AEF S 三角形=AEF S 三角形-BDF S 三角形，所以BDF S 三角形=AEF S 三角形； 因为BDF S 三角形+ABF S 三角形=AEF S 三角形+CDFE S 四边形，所以ABF S 三角形=CDFE S 四边形； 如图2，连接CF ，易得BDF S 三角形=CDF S 三角形=AEF S 三角形=CEF S 三角形, 所以ABF S 三角形=CDFE S 四边形=2BDF S 三角形=2AEF S 三角形= 31ABC S 三角形. 由此得到如下结论： 1、三角形的两条中线分原来三角形所成的四个图形中，对顶的两个图形面积相等. 2、三角形的两条中线分原来三角形所成的四个图形中，四边形的面积等于不对顶三角形面积的2倍. 3、三角形的三条中线与面积 如图3，AD ，BE,CF 是三角形ABC 的中线，设△BGD 的面积为1S ,△BGF 的面积为2S ,△AGF 的面积为3S ,△AGE 的面积为4S ,△CGE 的面积为5S ,△CGD 的面积为6S ，△ABC 的面积为S.则1S =2S =3S =4S =5S =6S =6 1S. 证明：因为AD 是三角形ABC 的中线，所以BD=CD ，因为三角形ABD 和三角形ACD 的高相同，所以三角形ABD 的面积和三角形ACD 的面积相等，即1S +2S +3S =4S +5S +6S . 因为三角形BGD 和三角形CGD 的高也是相同的，所以两个三角形的面积相等即1S =6S . 所以2S +3S =4S +5S .因为三角形BGF 和三角形AGF 的高相同，BF=AF ，所以AFh BFh 2 121 ，其中h 是点G 到AB 的距离，所以2S =3S ，同理可证4S =5S ，所以23S =24S ，所以3S =4S ， 所以2S =3S =4S =5S ，同理可证1S =2S =3S =6S .所以1S =2S =3S =4S =5S =6S .因为三角形ABC 的面积为S ，所以1S =2S =3S =4S =5S =6S = 6 1S. 由此我们得到如下结论： 三角形的三条中线分三角形成六个小三角形，则六个小三角形的面积相等，等于三角形面

三角形中线专题

中线：顶点到对边中点的连线段 第一、 中线等分面积； 1．能将一个三角形分成面积相等的两个三角形的一条线段是 ( ) A ．中线 B ．角平分线 C ．高线 D ．三角形的角平分线 2．如图，在△ABC 中，D 、E 分别为BC 上两点，且BD ＝DE ＝EC ，则图中面积相等的三角形 有（ ） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对（注意考虑完全，不要漏掉某些情况） 3．△ABC 的周长为16cm ，AB ＝AC ，BC 边上的中线AD 把△ABC 分成周长相等的两个三角形．若BD ＝3cm ，求AB 的长． 4．一块三角形优良品种试验田，现引进四个良种进行对比实验，需将这块土地分成面积相等的四块．请你制订出两种以上的划分方案． 第二、 中线提供了对应全等的一组边——倍长中线构造全等； 实例：△ABC 中 AD 是BC 边中线 D A B C N D C B A M F E D C B A 方式1：延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE 方式2：间接倍长 延长MD 到N ，使DN=MD ，连接CN 方式3：过点C 作CF ⊥AD 于F ，过点B 作BE ⊥AD 的延长线于E ； 【经典例题】 例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围

D C B A 例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE 例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 提示：倍长AD 至G ，连接BG ，证明ΔBDG ≌ΔCDA 三角形BEG 是等腰三角形 例4：已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠ 提示： 方法1：倍长AE 至G ，连结DG 方法2：倍长FE 至H ，连结CH 例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 提示：倍长AE 至F ，连结DF 证明ΔABE ≌ΔFDE （SAS ） 进而证明ΔADF ≌ΔADC （SAS ） 例6：在△ABC 中，AD 是△ABC 的中线，求证：AB+AC>2AD 【融会贯通】 第 1 题图 A B F D E C

三角形中线的应用例谈

三角形中线的应用例谈 三角形的中线是与三角形有关线段的重要线段。三角形的中线在解决和三角形面积有关的问题中常常发挥重要作用。 如图1，连接三角形ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫△ABC的边BC上的中线。∴BD=CD=BC . A E⊥BC 于E，即AE是△ABC的边BC上的高。同时AE也是△AB D、△ACD 的高。 根据三角形的面积公式，三角形ABC的面积为，即 . △AB D、△ACD的面积可表示为： ， ， 所以△AB D、△ACD的面积相等，都等于△ABC面积的一半。 结论一：三角形的一边的中线把这个三角形分成面积相等的两部分。

例1如图2，AD、BE是△ABC的两条中线。AD、BE交于G，试比较△BG D和△AGE面积的大小。 析解：因为AD、BE是△ABC的两条中线，根据结论一，三角形ADC的面积等于三角形ABC的面积的一半，三角形BCE的面积也 等于三角形ABC的面积的一半。所以=，所以 ，即.所以△BG D和△AGE 的面积相等。 引申：连接GC，则GD是三角形GBC的中线，GE是三角形AGC 的中线，根据上面结论一，有，，而， 所以， ，所以 结论二：连接三角形的中线的交点和这个三角形任意两个顶点所组成的三角形的面积等于这个三角形面积的. 例2 （2009贺州）如图3-1，正方形ABCD的边长为1，E、F 分别是AB、BC边上的中点，求图中阴影部分的面积。

分析：图中阴影部分是不规则四边形，须作辅助线转化为规则四边形或三角形。更重要的是要考虑中点的运用。 解：如图3-2，连接BD，则三角形BCD的面积= , 根据上述结论二，△BOD的面积等于△BCD的面积的， 即， ∴阴影部分的面积=. 点评：求不规则图形的面积往往是作辅助线转化为三角形加以分析。图中三角形BDO的面积是和三角形BDC的中线有关的，记住上面的两个结论，能够迅速巧妙的求解此题。

三角形中线等分面积应用

第5讲 例说三角形中线等分面积的应用 如图1，线段AD 是△ABC 的中线，过点A 作AE⊥BC，垂足为E ，则S △ABD ＝ 1 2 BD·AE，S △ADC ＝ 1 2 DC·AE，因为BD ＝DC ，所以S △ABD ＝S △ADC 。因此，三角形的中线把△ABC 分成两个面积相等的三角形.利用这一性质，可以解决许多有关面积的问题。 一、求图形的面积 例1、如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积. 分析：因为E 、F 分别是BC 和CD 的中点，则连接CG 后，可知GF 、GE 分别是△DGC 、△BGC 的中线，而由S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ= 4 ab ，可得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，所以△DGF、△CFG、△CEG、△BEG 的面积相等，问题得解。 解：连接CG ，由E 、F 分别是BC 和CD 的中点，所以S △ＢＣＦ=S △ＤＣＥ= 4 ab ，从而得S △ＢＥＧ=S △ＤＦＧ，可得△DGF、△CFG、△CEG、△BEG 的面积相等且等于 31×4ab =12 ab ，因此S 四边形ＡＢＧＤ =ab －4× 12ab =3 2ab 。 例2、在如图3至图5中，△ABC 的面积为a ． （1）如图2, 延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD =BC ，连结DA ．若△ACD 的面积为S 1， 则S 1=________（用含a 的代数式表示）； （2）如图3，延长△ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使CD =BC ，AE =CA ，连结 DE ．若△DEC 的面积为S 2，则S 2=__________（用含a 的代数式表示），并写出理由； （3）在图4的基础上延长AB 到点F ，使BF =AB ，连结FD ，FE ，得到△DEF （如图6）．若阴影部分的面积为S 3，则S 3=__________（用含a 的代数式表示）． 发现：像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF （如图6），此时，我们称△ABC 向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的_______倍． 图1 图 2 图 4 F 图5 图 3

三角形的中线与角平分线

一．选择题（共10小题） 1．（2016秋?阿荣旗期末）三角形一边上的中线把原三角形分成两个（）A．形状相同的三角形B．面积相等的三角形 C．直角三角形 D．周长相等的三角形 【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等． 【解答】解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形． 故选：B． 【点评】考查了三角形的中线的概念．构造面积相等的两个三角形时，注意考虑三角形的中线． 2．（2016秋?大安市校级期中）如图所示，在△ABC中，D，E，F是BC边上的三点，且∠1=∠2=∠3=∠4，AE是哪个三角形的角平分线（） A．△ABE B．△ADF C．△ABC D．△ABC，△ADF 【分析】根据三角形的角平分线的定义得出． 【解答】解：∵∠2=∠3， ∴AE是△ADF的角平分线； ∵∠1=∠2=∠3=∠4， ∴∠1+∠2=∠3+∠4，即∠BAE=∠CAE， ∴AE是△ABC的角平分线．

故选D． 【点评】三角形的角平分线是指三角形一个内角的平分线与对边交点连接的线段． 3．（2016春?蓝田县期中）如图，AE是△ABC的中线，D是BE上一点，若EC=6，DE=2，则BD的长为（） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据三角形中线的定义可得BE=EC=6，再根据BD=BE﹣DE即可求解．【解答】解：∵AE是△ABC的中线，EC=6， ∴BE=EC=6， ∵DE=2， ∴BD=BE﹣DE=6﹣2=4． 故选D． 【点评】本题考查了三角形的中线的定义，是基础题，准确识图并熟记中线的定义是解题的关键． 4．（2017?泰州）三角形的重心是（） A．三角形三条边上中线的交点 B．三角形三条边上高线的交点 C．三角形三条边垂直平分线的交点

三角形的三线及面积(讲义及答案)

三角形的三线及面积（讲义） 一、知识点睛： 1. 三角形的三线： （1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的________，叫做这个三角形的中线，三角形的三条中线_____________交于一点，这点称为三角形的__________． （2）在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的______叫做三角形的角平分线，三角形的三条角平分线________________交于一点，这点称为三角形的_________． （3）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的________叫做三角形的高线（简称三角形的高），三角形的三条高________________交于一点，这点称为三角形的________；锐角三角形的三条高线及垂心都在其________，直角三角形的垂心是________，钝角三角形的垂心和两条高线在其________． 如图，在△ABC 中，作出AC 边上的高线． C B A ________即为所求． 2. 面积问题： （1）处理面积问题的思路 ①_____________________________； ②_____________________________； ③_____________________________．

（2）处理面积问题方法举例 ①利用平行转移面积 2 C B A l 1 h h 如图，满足S △ABP =S △ABC 的点P 都在直线l 1，l 2上． ②利用等分点转移面积 两个三角形底相等时，面积比等于_____之比；高相等时，面积比等于_____之比． 二、精讲精练： 1. 如图，△ABC 的角平分线AD ，中线BE 交于点O ，则结论： ①AO 是△ABE 的角平分线；②BO 是△ABC 的中线．其中（ ） A ．①②都正确 B ．①②都不正确 C ．①正确，②不正确 D ．①不正确，②正确 A C D E O 2. 如图所示，在△ABC 中，BC 边上的高是_______，AB 边上的 高是_______；在△BCE 中，BE 边上的高是________，EC 边上的高是_________；在△ACD 中，AC 边上的高是________，CD 边上的高是________． E D A 3. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那 么这个三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．都有可能

三角形中线专题

中线：顶点到对边中点的连线段 第一、中线等分面积； 1．能将一个三角形分成面积相等的两个三角形的一条线段是 ( ) A．中线B．角平分线 C．高线D．三角形的角平分线 2．如图，在△ABC中，D、E分别为BC上两点，且BD＝DE＝EC，则图中面积相等的三角形有（） A．4对 B．5对 C．6对 D．7对（注意考虑完全，不要漏掉某些情况） 3．△ABC的周长为16cm，AB＝AC，BC边上的中线AD把△ABC分成周长 相等的两个三角形．若BD＝3cm，求AB的长． 4．一块三角形优良品种试验田，现引进四个良种进行对比实验，需将这块土地分成面积相等的四块．请你制订出两种以上的划分方案． 第二、中线提供了对应全等的一组边——倍长中线构造全等； 实例：△ABC中 AD是BC边中线 D A B C

N D B A M F E D B A 方式1：延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE 方式2：间接倍长 延长MD 到N ，使DN=MD ，连接CN 方式3：过点C 作CF ⊥AD 于F ，过点B 作BE ⊥AD 的延长线于E ； 【经典例题】 例1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围 例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE F C A D 例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 提示：倍长AD 至G ，连接BG ，证明ΔBDG ≌ΔCDA 三角形BEG 是等腰三角形 例4：已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠ F E C A F

2020七年级数学下册试题 9.微专题：巧用三角形的中线求长度和面积

9．微专题：巧用三角形的中线求长度和面积 ◆类型一求线段长 【方法点拨】由中线得线段相等，再结合中线这条公共边相等解题．如图，BD为△ABC的中线，则AD＝CD，C△ABD－C△BCD＝AB－BC. 1．如图，已知△ABC的周长为21cm，AB＝6cm，BC边上的中线AD＝5cm，△ABD的周长为15cm，求AC的长． ◆类型二求面积 【方法点拨】 (1)中线把三角形分成两个面积相等的三角形．如图①，若BD为△ABC的中线，则S△ABD＝S△BCD. 若DE为△BCD的中线，则S△BDE＝S△CDE＝1 2S△BCD＝ 1 4S△ABC. 图①图② (2)若题中有中点，求面积，要考虑在三角形中连接中线，利用①中的性质求解，如T4. (3)同一三角形被不同中线分成的三角形面积也相等．如图②，BD，AE均为△ABC的中线，则S△ABD ＝S△BCD＝S△ABE＝S△ACE＝1 2S△ABC. 2．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△AEC＝3cm2，则S△ABC＝________．

第2题图第3题图 3．如图，D、E分别是△ABC边AB、BC上的点，AD＝2BD，BE＝CE，设△ADC的面积为S1，△ACE 的面积为S2.若S△ABC＝12，则S1＋S2＝________． 4．如图①，已知AD为△ABC中BC边上的中线． (1)试说明：S△ADB＝S△ADC； (2)如图②，若O为AD的中点，连接BO和CO，设△ABC的面积为S，△ABO的面积为S1，用含S的代数式表示S1，并说明理由； (3)如图③，学校有一块面积为40m2的三角形空地ABC，按图③所示分割，其中点D、E、F分别是线段BC、AD、EC的中点，拟计划在△BEF内栽种花卉，其余地方铺草坪，则栽种花卉(阴影部分)的面积是________m2. 参考答案与解析 1．解：∵AB＝6cm，AD＝5cm，△ABD的周长为15cm，∴BD＝15－6－5＝4(cm)．∵AD是BC边

2017中考二轮专题复习《三角形中线等分面积问题的教学思考》

去伪存真，探求问题本质 —三角形中线等分面积问题的教学思考 三角形中线等分面积是义务教育教科书(苏科版)七年级下册数学一认识三角形专题中重要问题，它既是对三角形三边，三线(中线，角平分线，高线)关系的应用，同时也为后续三角形全等，相似等知识作铺垫.笔者在此以练习课的一道习题为例，通过两次解题教学的研究，谈谈自己在实践中一些体会与思考. 一、习题呈现 如图1，已知ABC ?,,,D E F 分别是,BC AD 和EC 的中点，ABC ?的面积为16，求BEF ?的面积. 二、第一次教学 1.看似很简单，学生为什么不会做 首先回顾三角形中线等分面积的性质，借助于图象直观讲解如图2，以点,,D E F 为中点为例，探究: ,,ABD EBD ADF S S S ???与ABC S ?的关系.学生较容易掌握到中线等分面积的结论.通过引导，图114EBD EDC ABC S S S ???==，由BF 是EC 的中线，得出18 EBF ABC S S ??=.运用三次中线等分面积的性质进行求解，学生看似将问题理解透彻了，笔者一周后又以相同问题做了一次反馈调查，能正确求解的同学不足三分之一，教学效果引起笔者深思. 2.反思失败之因 问题根源:学生没有领悟中线等分面积问题的实质，三角形的中线为何能等分面积?多数同学无法从复杂的图形中分离出简单图形的模型.七年级下学期，刚刚涉及到几何，大多数学生对于几何图形的辨析能力比较薄弱.在第一次教学中，学生缺乏理解与参与思考的立足点，整个教学过程是老师领着学生的思维在走，学生并没能形成有效的启发与思考，因而不能形成有效的教学. 三、第二次教学 3. 1教学更注重从形式到思想的点拨 提问1 从三角形的面积公式入手(学生容易得出三角形的面积大小是通过底和高这两个量决定的，为下面研究中线等分面积作铺垫)

(完整)三角形的高、中线与角平分线练习题及答案

7.1.2 三角形的高、中线与角平分线 1．以下说法错误的是（） A．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点 B．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点 C．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点 D．三角形的三条高可能相交于外部一点 2．如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，?那么这个三角形是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 3．如图1，BD=1 2 BC，则BC边上的中线为______，△ABD的面积=_____的面积． (1) (2) (3) 4．如图2，△ABC中，高CD、BE、AF相交于点O，则△BOC?的三条高分别为线段________．5．下列图形中具有稳定性的是（） A．梯形 B．菱形 C．三角形 D．正方形 6．如图3，AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5cm，AC=3cm，求△ABD?与△ACD的周长之差． 7．如图，∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，垂足为点D，且BD=CD．?可知哪些线段是哪个三角形的角平分线、中线或高？ 综合创新作业

8．（综合题）如图5，在等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分为15和6两部分，求该等腰三角形的腰长及底边长． 9．有一块三角形优良品种试验基地，如图所示，?由于引进四个优良品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的划分方案供选择（画图说明）． 10．（创新题）如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AD的中点，S△ABC=4cm2，求S△ABE． 11．（2004年，陕西）如图，在锐角△ABC中，CD、BE分别是 AB、AC上的高，?且CD、BE交于一点P，若∠A=50°，则∠ BPC的度数是（） A．150° B．130° C．120° D．100°

一、中线等分三角形面积

一、中线等分三角形面积 我们知道：对称轴平分轴对称图形的面积、过对称中心的直线平分中心对称图形的面积.下面研究的是“三角形的中线平分三角形面积”的用法. 解法归一：遇等分多边形面积题目时，最常用的方法是把多边形先转化为三角形，再借助中线等分三角形面积来解决. 例3 -1 -1 （1）你用三种不同的方法把图3-l-l①~图3-l -1③中△ABC的面积四等分． 图3-l-l①图3-l-1②图3-l-1③ 交流分享：三角形中线等分三角形面积！连续使用中线，可把一个三角形的面积n等分. （2）请你在图3-1-1④~3-1-1⑥中用三种不同的方法把梯形ABCD的面积二等分. 图3-l-2④图3-l -2⑤图3-l -2⑥ 交流分享：（1）先把多边形转化为三角形，再利用中线，可等分一个多边形的面积；（2）借助一腰中点，把梯形转化为一个与它面积相等的三角形，是梯形常用的辅助线之一. 例3-1-2 （1）如图3-1-2①，过点A画一条平分△ABC面积的直线；（2）如图3-1-2②，已知l1∥l2，点E、F在l1上，点G，H在l2上，试说明△EGO与△FHO面积相等的理由； （3）如图3-1-2③，点M在△ABC的边上，过点M画一条平分三角形面积的直线，写出画法．

图3-1-2①图3-1-2②图3-1-2③ 交流分享：解决（3）需要把（1）、（2）结合起来用.即从图中给定的一点等分图形的面积时，先用中线找出一种分割法，再在此基础上利用“平行线下的同底等高面积相等”进行等积转化，根据定点的不同，可得不同的面积等分线. 体验与感悟03-1 1、定义：“把一个平面图形的面积分成相等的两部分的直线叫做这个图形的一条面积等分线．” （1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的是__________； （2）平行四边形的一条面积等分线是________； （3）请你尝试用不少于三种方法画出下列图形面积等分线．

初中数学之三角形中线、高线、角平分线知识点

初中数学之三角形中线、高线、角平分线知识点 我们在学习三角形的时候，学到好多“线”，比如：中线、角平分线、垂线、高线等等。它们都是三角形里面比较重要的东西，也是比较重要的知识点。 如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=6，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差为多少？ 这道题题目比较简单，很容易得出答案是2。 三角形的中线

在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。且三条中线交于一点。这点称为三角形的重心。每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。 三角形中线性质定理：1、三角形的三条中线都在三角形内。 2、三角形的三条中线交于一点，该点叫做三角形的重心。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 4.三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4. 三角形的角平分线

三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。（这是三角形的角平分线与角平分线的区别） 角平分线线定理：定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，如：在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC注：定理2的逆命题也成立。三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。 三角形的高线

从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。线段的垂直平分线：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明 垂直平分线的性质：1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。 2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。 3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等。垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

三角形中线的巧用

三角形中线的巧用 边的知识： 三角形任意两边之和大于第三边 三角形任意两边之差小于第三边 角的知识： 三角形三个内角的和等于180° 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 三角形的任何一个外角大于和它不相邻的一个内角。 三角形线的知识： 三角形的中线、高、角平分线都是线段。 锐角三角形的三条高都在三角形的内部。 直角三角形的三条高,一条在三角形的内部，其他两条是直角边。 钝角三角形的三条高，一条在三角形的内部，其他两条在三角形的外部。 垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 角平分线性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。 三角形全等的知识： 全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等. 全等三角形的判断：SSS、SAS、ASA、AAS这四种。 三角形的中线是与三角形有关线段的重要线段。三角形的中线在解决和三角形面积有关的问题中常常发挥重要作用。 如图1，连接三角形ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫△ABC 的边BC上的中线。∴BD=CD=BC . A E⊥BC于E，即AE是△ABC的边BC上的高。同时AE也是△AB D、△ACD的高。 根据三角形的面积公式，三角形ABC的面积为，即. △AB D、△ACD的面积可表示为：

， ， 所以△AB D、△ACD的面积相等，都等于△ABC面积的一半。 结论一：三角形的一边的中线把这个三角形分成面积相等的两部分。 例1如图2，AD、BE是△ABC的两条中线。AD、BE交于G，试比较△BG D和△AGE 面积的大小。 析解：因为AD、BE是△ABC的两条中线，根据结论一，三角形ADC的面积等于三角形ABC的面积的一半，三角形BCE的面积也等于三角形ABC的面积的一半。所以 =，所以，即.所以△BG D和△AGE的面积相等。 引申：连接GC，则GD是三角形GBC的中线，GE是三角形AGC的中线，根据上面结论一，有，，而， 所以， ，所以 结论二：连接三角形的中线的交点和这个三角形任意两个顶点所组成的三角形的面积 等于这个三角形面积的. 例2 （2009贺州）如图3-1，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是AB、BC边上的中点，求图中阴影部分的面积。

中考数学专题练习三角形的角平分线、中线和高(含解析)

中考数学专题练习-三角形的角平分线、中 线和高（含解析） 一、单选题 1.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 2.已知AD是△ABC的中线，且△ABD比△ACD的周长大3cm，则AB与AC的差为（） A.2cm B.3cm C.4cm D.6cm 3.钝角三角形的高线在三角形外的数目有（） A.3 B.2 C.1 D.0 4.三角形的三条中线的交点的位置为（） A.一定在三角形内 B.一定在三角形外 C.可能在三角形内，也可能在三角形外 D.可能在三角形的一条边上 5.三角形的重心是（） A.三角形三条边上中线的交点 B.三角形三条边上高线的交点

C.三角形三条边垂直平分线的交点 D.三角形三条内角平分线的交点 6.如图，△ABC中BC边上的高为（） A.AE B.BF C.AD D.CF 7.下列说法正确的是（） A.三角形的中线就是过顶点平分对边的直线 B.三角形的三条角平分线的交点有可能在三角形外部 C.三角形的三条高线的交点必在三角形内部 D.以上说法都错 8.三角形的角平分线是（） A.射线 B.直线 C.线 段 D.线段或射线 9.三角形一边上的中线把原三角形分成两个（） A.形状相同的三角形 B.面积相等的三角形 C.直角三角形 D.周长相等的三角形 10.如图，在△ABC中，BD，CE分别为AC，AB边上的中线，BD△CE，若BD=4，CE=6，则△ABC的面积为（）

A.12 B.24 C.16 D.32 11.下列说法错误的是（）． A.锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点 B.钝角三角形有两条高线在三角形外部 C.直角三角形只有一条高线 D.任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线 12.如图，，垂足为D，，下列说法正确的是（） A.射线AC是的角平分线 B.直线BD是 的边AD上的高 C.线段AC是的中线 D.线段AD是 的边BC上的高 13.在下图中，正确画出AC边上高的是()