河北省邯郸市2017届高三数学下学期第一次模拟考试试题理 (1)

河北省邯郸市2017届高三数学下学期第一次模拟考试试题 理

第Ⅰ卷

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合{

}2230A x x x =--<，{

}2B x x =≥，则A

B =

A ．(]2,3

B ． []2,3

C ．(2,3)

D ．[)2,3 2.已知,a b ∈R ，i 为虚数单位，当(1)a bi i i +=-时，则

a bi

a bi

+=- A ．i B ． i - C ．1i + D ． 1i -

3.已知向量a ，b 满足||2=a ，||3=b ,()7-=a b a ，则a 与b 的夹角为 A ．

6

π

B ．

3

π

C ．

23π D ．56

π 4. 已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左焦点为F ,上顶点为B ，若直线c y x b =与FB 平行，则椭

圆C 的离心率为

A ．

12 B C D

5. 已知ABC ?的三个内角,,A B C 依次成等差数列,BC 边上的中线AD =,2AB =，则ABC S ?=

A ．3

B ．

C ．

D ．6

6.从5种主料中选2种，8种辅料中选3种来烹饪一道菜，烹饪方式有5种，那么最多可以烹饪出不同的菜的种数为

A ．18

B ． 200

C ． 2800

D ． 33600

7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 A ．8 B ．13

C ．21

D ．34

8. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，则过C M D ,,三点的抛物线与CD 围成阴影部分的面积是 A ． 23

B ． 43

C ． 2

D ． 83

9. 设{}n a 是公差为2的等差数列，2n n b a =，若{}n b 为等比数列，则12345b b b b b ++++= A ． 142 B ． 124 C ． 128 D ． 144 10. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为

A ．

B ．

C ．

D ．

11.

的正四面体ABCD （四个面都是正三角形），在侧棱AB 上任取一点P （与A B 、都不重合），若点P 到平面BCD 及平面ACD 的距离分别为,a b ，则41

a b

+的最小值为 A ． 72

B ． 4

C ．

92

D ．5

12.设(),()()()x

f x e f x

g x

h x ==-,且()g x 为偶函数, ()h x 为奇函数,若存在实数m ,当[]

1,1x ∈-时,不等式()()0mg x h x +≥成立,则m 的最小值为

A ．2211e e -+

B ． 221

e + C ．2211e e +- D ．22

11e e -+

M

A

C

B

D

M G

C

B

A

D

P

E

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13.已知函数41

,0()5log ,

x f x x

x x ?≤?

=-??>?，则[](3)f f -= __________________.

14. 已知函数(),0(1)2,1(1)1f x ax b f f =+<<-<-<,则2a b -的取值范围 是 .

15. 已知三个命题,,p q m 中只有一个是真命题．课堂上老师给出了三个判断： A ：p 是真命题；B ：p q ∨是假命题；C ：m 是真命题．

老师告诉学生三个判断中只有一个是错误的．那么三个命题,,p q m 中的真命题是_________．

16.已知点(,0)A a ，点P 是双曲线:C 2

214

x y -=右支上任意一点，若PA 的最小值为3，则

a =______________.

三、解答题

17.（本小题满分12分）已知,a b 分别是ABC ?内角,A B

的对边，且2

sin cos sin b A A B ，函

数22()sin cos sin sin 2,0,22A f x A x x x π??=-∈????

. （Ⅰ）求A ；

（II ）求函数()f x 的值域.

18.如图，在五棱锥P ABCDE -中，ABE ?是等边三角形，四边形BCDE 是直角梯形 且90DEB CBE ?∠=∠=， G 是CD 的中点，点P 在底面的射影落在线段AG 上. （Ⅰ）求证：平面PBE ⊥平面APG ; （II ）已知2AB =

,BC ,侧棱PA 与底面ABCD E 所成角为45?

，PBE S ?点M 侧棱PC 上，2C M M P =，求二面角

M AB D --的余弦值.

19.某校后勤处为跟踪调查该校餐厅的当月的服务质量，兑现奖惩，从就餐的学生中随机抽出100位学生对餐厅服务质量打分（5分制），得到如下柱状图：

（Ⅰ）从样本中任意选取2名学生，求恰好有一名学生的打分不低于4分的概率；

（Ⅱ）若以这100人打分的频率作为概率，在该校随机选取2名学生进行打分（学生打分之间相互独立）记X 表示两人打分之和，求X 的分布列和EX ；

（Ⅲ）根据（Ⅱ）的考评结果，后勤处对餐厅服务质量情况定为三个等级，并制定了对餐厅相应的奖惩方案，如下表所示.设当月奖金为Y （单位：元），求EY 。

20.已知F 为抛物线E :2

2(0)x py p =>的焦点,直线l :2

p

y kx =+

交抛物线E 于,A B 两点. （Ⅰ）当1k =，||8AB =时,求抛物线E 的方程;

（II ）过点

,A B 作抛物线E 的切线12,l l ,且12,l l 交点为P ,若直线PF 与直线l 斜率之和为3

2

-,求直线l 的斜率. 21.

已知函数2

()ln (0)f x x a x a =->的最小值是1.

（Ⅰ）求a ;

（II ）若关于x 的方程2()6()90x x f x e mf x me --+=在区间[1,)+∞有唯一的实根，求m 的取值范围. 请考生从22、23题中任选一题做答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所图题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。 22. （本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程

在平面直角坐标系xoy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C ，2C 的极坐标方程分别为2sin ρθ=

，cos 4πρθ??

-= ??

?

（Ⅰ）求1C 和2C 交点的极坐标；

（II ）直线l

的参数方程为：12

x y t ?=????=?? （t 为参数），直线l 与x 轴的交点为P ，且l 与1C 交于,A B 两点，求PA PB +.

23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x ax =-.

（Ⅰ）当2a =时，解不等式()1f x x >+； （II ）若关于x 的不等式1

()()f x f x m

+-<有实数解，求m 的取值范围.

2017年高三一模理科数学答案

一、选择题

1--5 D A C B C 6--10 C B D B A 10--12 C A 二、填空题 13. 32-

14. 35

(,)22

- 15. m

16. 1a a =-=或者三、解答题

17.解：

（Ⅰ）由已知及正弦定理易求得tan A =…………………2分

()0,A π∈3

A π

∴=

. …………………………………………………4分

（II

）21

()sin cos 2

f x x x x =

- …………………………………………………6分

1()sin(2)23f x x π∴=-- ……………………………………………………8分 因为0,

2x π??

∈????

所以 22333x πππ-≤-≤， ……………………………………………10分

即

21sin(2)42342

x π≤--+≤， 所以()f x

的值域为2,4

2??. ………………………………12分 18.解：（Ⅰ）取BE 中点F ，连接,AF GF ,由题易得,,A F G 三点共线， 过点P 作PO AG ⊥于O ，则PO ⊥底面ABCDE

BE ?平面ABCDE BE PO ∴⊥，

ABE ?是等边三角形

BE ∴AG ⊥ ………………………………2分 AG PO O =

BE ∴⊥平面PAG BE ?平面PBE ，

∴平面PBE ⊥平面APG . ……………………4分 （II ）连接PF ，

1

2

PBE S BE PF PF AF ?=?==

又

PAF ∠=45?

∴PF AF ⊥，

PF AF PF ∴⊥∴⊥底面ABCDE . ……………………………………………6分

O ∴点与F 点重合.

如图，以O 为原点，分别以,,OB OG OP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系. 易知底面ABCDE 的一个法向量(0,0,1)v = ……………………………………8分

(0,3,0),(1,0,0),C(1(1A B P PC -∴=

设平面ABM 的法向量(,

,)u x y

z =

2(1,3,0),(3AB BM BP PM ==+=-,

,0,0u AB u BM u AB u BM ∴⊥⊥∴?=?=

C

A

0203

33x x y z ?=?∴?-++=??

取x =3

1,2y z

=-=3(3,1,)2

u ∴=-，…………………………10分 因为二面角的法向量,u n 分别指向二面角的内外，

,u n 即为二面角的平面角332cos ,5

||||

u v

u v u v ?∴??=

=

=?. 所求二面角M AB D --的余弦值为

3

5

. ……………………………12分 19．解：（Ⅰ）设“从样本中任意选取2名学生，求恰好有一名学生的打分不低于4分”为事件

A.11

50502

10050

()0.5199

C C P A C ==≈………………..3分 （Ⅱ）4,5,6,7,8,9,10X =

(4)0.20.20.04(5)20.20.30.12

(6)20.20.30.30.30.21(7)20.30.320.20.20.26(8)20.20.30.30.30.21(9)20.20.30.12(10)0.20.20.04

P X P X

P X P X P X P X P X

==?===??===??+?===??+??===??+?===??===?=

()40.0450.1260.2170.2680.2190.12100.047E X =?+?+?+?+?+?+?= (9)

分

（Ⅲ）Y 的分布列为 ()10000.1620000.6830000.161680E Y =-?+?+?=…………………12分

20.解：（Ⅰ）联立222p y x x py

?

=+???=?

，消去x 得22

304p y py -+= ………………………………1分 依题设得||48,222

A B A B p p

AB y y y y p p p =+

++=++==∴= ………………………………3分 所以抛物线E 的方程为24x y =. …………………………………………4分

（II ）设22112211(,

),(,)22A x x B x x p p

联立222p y kx x py ?

=+???=?

，消去y 得222121220,2,x pkx p x x pk x x p --=∴+=?=- ……………6分

由212y x p =

得'1

y x p

= ，∴直线12,l l 的方程分别为 22121211,22x x y x x y x x p p p p

=

-=- ……………………………………8分 联立2

112

221212x y x x p p x y x x p p

?=-???

?=-??

得点P 的坐标为(,)2p

pk - ……………………………………10分

所以113,22PF k k k k k =-∴-+=-∴=-或12

所以直线l 的斜率为2k =-或 1

2

k =. ……………………………………………12分

21.解：（Ⅰ）解：

2

'22()2x x a x a f x x x x x

? -?

???=-== 且0x >，

所以，当0x <<

时，'()0f x <

，当x >'

()0f x >，…………2分

故min

()ln 2222

a a a a

f x f a ==-=-，

由题意可得

ln 1222a a a -=，即ln 10222a a a

--=…………………………3分 记()ln 1(0)222

a a a

g a a =-->，

则函数()g a 的零点即为方程ln 1222a a a

-=的根；

由于1()ln 22

a

g a '=-，故2a =时，(2)0g '=， 且02a <<时，()0g a '>，2a >时，()0g a '<，

所以2a =是函数()g a 的唯一极大值点，所以()(2)g a g ≤，又(2)0g =，………………4分 所以

2a =. ……………………5分(直接得2a =给3分).

（II ）由条件可得2

2()6()90x

x f x e

mf x e m -+=，令2()()(2ln )x x g x f x e x x e ==- ……….7分

则'

2

2

2

2

()(2)(2ln )(22ln )x

x

x g x x e x x e x x x e x

x

=-+-=+-

- 令2

2()22ln (1)r x x x x x x ==+--≥则2'

22222(1)()2220x r x x x x x x x

-=++->-=

≥ ………….9分

()r x 在区间[1,)+∞内单调递增()(1)g x g e ∴≥=.所以原问题等价于方程2690t mt m -+=在区间

[,)e +∞内有唯一解

当0?=时可得0m =或1m =，经检验1m =满足条件…………..11分

当0?>时可得

当0?>时可得0m <或1m >，方程2

690t mt m -+=有两个根，

22.解：（Ⅰ）（方法一）由1C ，2C 极坐标方程分别为2sin ρθ=，cos 4πρθ?

?

-

= ??

?

化为平面直角坐标系方程分为()2

2

11,20x y x y +-=+-=. …………………………2分

得交点坐标为()()0,2,1,1. ……………………………………………………3分 即1C 和2C 交点的极坐标

分别为2,,24ππ??? ?????

.………………………………………5分

（方法二）

解方程组2sin (1)cos (2)

4ρθ

πρθ=??

??

?-= ?????

所以2sin cos 4πθθ??

-

= ??

?

， ……………………………………………………2分

化解得cos 2sin 04πθ

θ?

?-= ??

?，即24ππθθ==或，

……………………………4分 所以1C 和2C 交点的极坐表分别为2,

24ππ??? ?????

. ……………………………5分 （II

）（方法一）由直线l 的参数方程：12

x y t ?=????

=?? （

t 为参数）， 可得y x =

+， …………………………………………………………6分 由圆1C 的方程为()2

2

11,

x y +-=

联立解得13

(),B()

22

A ……………………………8分 因为(P ，

所以4PA PB +=

=. ……………………

10分 （方法二）把直线l 的参数方程：212

x y t ?=????=?? （t 为参数），代入()2211,x y +-=

得2

2

11122t ????+-= ? ? ????

?，……………………………………………………………7分 即2

430t t -+=，124t t +=， ………………………………………………………………8分 所以4PA PB +=. …………………………………………………………………………10分

当时，得 ………………………………………………2分 当1,221x x x <->+ 得1

3

x <

……………………………………………………3分 综上所述，解集为1,(3,)3??

-∞+∞ ?

??

……………………………………………………5分 （II ）22224ax ax ax ax -+--≥---= ……………………………………………7分