专题15二次函数中最短路径问题(解析版)-2020-2021学年九年级数学上册常考题专练(人教版)

专题15二次函数中最短路径问题

【做题思路】：

一般在二次函数中，会求PA+PC的最小值，且点P为动点；对于这类问题，首先将动点所在直线作为“河”，根据“将军饮马问题”的作图步骤，作出图形。

【做题步骤】：

①首先找出“河”：动点所在直线就是“河”；

②选出其中一个特殊定点，做关于“河”的对称点；

③连接对称点与另一个定点；

④连线与河的交点即为动点所在位置，连线长度即为最短路径长（可以用两点之间距离公式）；

【变换类型】

求一个三角形的周长最短：周长就是三条线段相加，其中有一条线段是确定的，两条线段长随着动点运动而变化，那么只需要求出与动点相连两定点的线段最小值即可，也就是求两个线段的最小值。

【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：

①确定起点的最短路径问题-即已知起始结点，求最短路径的问题．

②确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．

③确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．

④全局最短路径问题-求图中所有的最短路径．

【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．

【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．

【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．

【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．

【十二个基本问题】

1．直线y＝2

3

x＋4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，

PC＋PD值最小时点P的坐标为（）

A．(－3，0)B．(－6，0)C．(－5

2

，0)D．(－

3

2

，0)

【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】

作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示．

直线y=2

3

x+4与x轴、y轴的交点坐标为A（﹣6，0）和点B（0，4），

因点C、D分别为线段AB、OB的中点，可得点C（﹣3，2），点D（0，2）．再由点D′和点D关于x轴对称，可知点D′的坐标为（0，﹣2）．

设直线CD′的解析式为y=kx+b，直线CD′过点C（﹣3，2），D′（0，﹣2），

所以

2=-3k+b

-2=b

?

?

?

，解得：

4

k=-

3

b=-2

?

?

?

??

，

即可得直线CD′的解析式为y=﹣4

3

x﹣2．

令y=﹣4

3

x﹣2中y=0，则0=﹣

4

3

x﹣2，解得：x=﹣

3

2

，

所以点P的坐标为（﹣3

2

，0）．故答案选C．

考点：一次函数图象上点的坐标特征；轴对称-最短路线问题．

2．如图，点P 是边长为1的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点，点M，N 分别是AB，BC 边上的中点，则MP+PN 的最小值是（ ）

A ．

1

2

B ．1

C

D ．2

【答案】B 【解析】 【分析】

先作点M 关于AC 的对称点M′，连接M′N 交AC 于P ，此时MP+NP 有最小值．然后证明四边形ABNM′为平行四边形，即可求出MP+NP=M′N=AB=1． 【详解】 解：如图

，

作点M 关于AC 的对称点M′，连接M′N 交AC 于P ，此时MP+NP 有最小值，最小值为M′N 的长． ∵菱形ABCD 关于AC 对称，M 是AB 边上的中点， ∴M′是AD 的中点， 又∵N 是BC 边上的中点， ∴AM′∥BN ，AM′=BN ， ∴四边形ABNM′是平行四边形， ∴M′N=AB=1，

∴MP+NP=M′N=1，即MP+NP 的最小值为1， 故选B ．

3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （2，3），点B （﹣2，1），在x 轴上存在点P 到A ，B 两点的距离之和最小，则P 点的坐标是 ．

【答案】（﹣1，0）．

【解析】

试题分析：作A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴于P，则此时AP+BP最小，求出C的坐标，设直线BC的解析式是y=kx+b，把B、C的坐标代入求出k、b，得出直线BC的解析式，求出直线与x轴的交点坐标即可．试题解析: 作A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴于P，则此时AP+BP最小，

，A点的坐标为（2，3），B点的坐标为（﹣2，1），

，C（2，﹣3），

设直线BC的解析式是：y=kx+b，

把B、C的坐标代入得：

21 {

23

k b

k b

-+=

+=-

解得

1 {

1 k

b

=-

=-

．

即直线BC的解析式是y=﹣x﹣1，

当y=0时，﹣x﹣﹣1=0，

解得：x=﹣1，

，P点的坐标是（﹣1，0）．

考点：1.轴对称-最短路线问题；2.坐标与图形性质．

4．如图，A（3,4），B（0,1），C为x轴上一动点，当△ABC的周长最小时，则点C的坐标为_________．

【答案】305?? ???

，

【解析】 【分析】

先作出点B 关于x 轴的对称点'B ，连接'AB 交x 轴于点C,再用待定系数法求出直线'AB 的解析式，进而求出点C 的坐标即可. 【详解】

先作出点B 关于x 轴的对称点'B ，连接'AB 交x 轴于点C,则点'B 的坐标为(0,1)-

由两点之间线段最短可知，'AB 的长即为AC BC +的长，因为AB 是定值，所以此时△ABC 的周长最小 设直线'AB 的解析式为y kx b =+ 将(3,4),'(0,1)A B -代入解析式得

341k b b +=??

=-? 解得531

k b ?

=

???=-? ∴直线'AB 的解析式为5

13

y x =- 当0y = 时，

5103x -=，解得35

x = ∴点3(,0)5

C

故答案为：305?? ???

，

.

【点睛】

本题主要考查周长的最小值，能够作出点B 的对称点，掌握待定系数法是解题的关键.

1．如图，已知直线y=

12x+1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线y= 1

2

x 2+bx+c 与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为（1，0）．在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM ﹣MC|的值最大，求出点M 的坐标__________.

【答案】31

-22

（，） 【解析】

分析:易得点A，0，1），那么把A，B 坐标代入y=

12

x 2

+bx+c 即可求得函数解析式,然后求出对称轴,找到C 关于对称轴的对称点B ，连接AB 交对称轴的一点就是M ．应让过AB 的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点M 坐标．

详解: ，1）将A，0，1，，B，1，0）坐标代入y=

12

x 2

+bx+c, 得11

02c b c =??

?++=??, 解得321

b c ?

=-???=?，

∴抛物线的解折式为y=

12x 2-3

2x+1， ∴抛物线的对称轴为x=32

， ∵B，C 关于x=3

2

对称， ∴MC=MB，

要使|AM -MC|最大，即是使|AM -MB|最大，

由三角形两边之差小于第三边得，当A，B，M 在同一直线上时|AM -MB|的值最大． 易知直线AB 的解析式为y=-x+1

∴由13

2y x x =-+??

?=??

， 得32

12x y ?=???

?=-??

， ∴M，

3

2，-12

，， 点睛: 本题综合考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，直线和抛物线的交点,求两条线段和或差的最值，要考虑做其中一点关于所求的点在的直线的对称点．

2．如图，抛物线y=﹣x 2﹣2x+3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，M 点在抛物线的对称轴上，当点M 到点B 的距离与到点C 的距离之和最小时，点M 的坐标为_____．

【答案】（﹣1，2）． 【解析】 【分析】

因为点B 关于对称轴的对称点为点A ，连接AC ，设直线AC 与对称轴x =，1的交点为M ，则此时MB +MC 的值最小，再求得点M 的坐标即可， 【详解】

∵抛物线y =，x 2，2x +3与x 轴交于A ，B 两点，令y =0，得，，x 2，2x +3=0，解得，x =，3或x =1，∴点A ，，3，0，，C ，0，3，，

设直线AC 的解析式为y =kx +b ，把A ，，3，0，，C ，0，3）分别代入直线y =kx +b ，得，

303k b b -+=??

=?，解得，1

3k b =??=?

，∴直线AC 解析式为y =x +3， 设直线AC 与对称轴x =，1的交点为M ，则此时MB +MC 的值最小， 把x =，1代入直线y =x +3得，y =2，∴M ，，1，2，，

即当点M 到点B 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为（﹣1，2，， 故答案为，，1，2，，

【点睛】

本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，轴对称﹣最短路线问题，求得直线AC 的解析式是解答本题的关键， 3．如图，已知直线1y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线2

12

y x bx c =

++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为(1,0)．在抛物线的对称轴上找一点M ，使AM MC -的值最大，求出点M 的坐标___

【答案】31,22??

- ??

? 【解析】 【分析】

找到C 关于对称轴的对称点B ，连接AB 交对称轴的一点就是M ．应让过AB 的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点M 坐标． 【详解】

解：将A （0，1）、B （1，0）坐标代入2

12

y x bx c =

++ 11

02c b c =???++=?? 解得321b c ?

=-

???=? ∴抛物线的解折式为213

-122y x x =

+ ∴抛物线的对称轴为x ＝3

2

，

∵B 、C 关于x=3

2

对称， ∴MC=MB ，

要使|AM -MC|最大，即是使|AM -MB|最大，

由三角形两边之差小于第三边得，当A 、B 、M 在同一直线上时|AM -MB|的值最大． 易知直线AB 的解析式为y=-x+1

321

x y x ?=?∴??=-+? ∴3212x y ?=????=-??

∴31,22M ??- ???

故答案为：31,22??

- ??

? 【点睛】

本题考查了抛物线与直线的问题，求两条线段和或差的最值，都要考虑做其中一点关于所求的点在的直线的对称点．

阅读材料：

例：说明代数式

的几何意义，并求它的最小值．

P （x ，0）是x 轴上

可以看成点P 与点A （0，1

P 与点B （3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA 与PB 长度之和，它的最小值就是PA ＋PB 的最小值．

设点A 关于x 轴的对称点为A′，则PA ＝PA′，因此，求PA ＋PB 的最小值，只需求PA′＋PB 的最小值，而点A′、B 间的直线段距离最短，所以PA′＋PB 的最小值为线段A′B 的长度．为此，构造直角三角形A′CB，因为A′C＝3，CB ＝3，所以

A′B＝

，即原式的最小值为．

根据以上阅读材料，解答下列问题：

（1）P（x，0）与点A（1，1）、点B 的距离之和．（填写点B的坐标）

（2）代数式

【答案】（1）B（2，3）或（2，－3）；（2）10．

【解析】

试题分析：（1

（2P （x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，再根据在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可．

试题解析：（1

的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（1，1）、点B（2，±3）的距离之和，故答案为：B（2，3）或（2，－3）；

（2

∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P（x，0）与点A（0，7）、点B（6，1）的距离之和，

如图所示：设点A关于x轴的对称点为A′，则PA=PA′，∴PA+PB的最小值，只需求PA′+PB的最小值，而点A′、B间的直线段距离最短，∴PA′+PB的最小值为线段A′B的长度，∵A（0，7），B（6，1），∴A′（0，﹣7），A′C=6，

A B'===，故答案为：10．

BC=8，∴10

考点：1．轴对称-最短路线问题；2．坐标与图形性质；3．探究型．

已知()()1,2,7,4A B ，M ，N 是x 轴上两动点（M 在N 左边），3MN =，请在x 轴上画出当AM MN NB ++的值最小时，M ，N 两点的位置．

【答案】见解析 【解析】 【分析】

作点A 关于x 轴的对称点()1,2'-A ，再将点B 向左平移3个单位得到点B '，连接A B ''，与x 轴的交点即为点M ，将A '向右平移3个单位得到点C ，连接CB ，与x 轴的交点即为N ．点M ，N 即为所求． 【详解】

如图，作点A 关于x 轴的对称点()1,2'-A ，再将点B 向左平移3个单位得到点B '，连接A B ''，与x 轴的交点即为点M ，将A '向右平移3个单位得到点C ，连接CB ，与x 轴的交点即为N ．点M ，N 即为所求．

【点睛】

本题主要考查了坐标与图形的性质和最短路线问题，准确计算是解题的关键．

1.如图1，抛物线2y ax bx =+与x 轴交于点A ，对称轴与抛物线交于点()2,2B -，与x 轴交于点C .

（1）求抛物线的解析式．

（2）点D 是y 轴上的动点，求DAB ?的最小周长．

（3）如图2，点P 是抛物线上一个动点，,PA PO 分别与BC 交于点,M N ．

①若动点P 在第一象限，问MC NC -的值是否发生变化．若不变，求出其值；若发生变化，请说明理由． ②若动点P 在第二象限，请给出①中类似的关于MC 与NC 长的结论（不必证明）．

【答案】（1）2

122

y x x =

-；（2）；（3）①MC NC －的值不发生变化，4MC NC －＝，理由见解析；②当点P 在第二象限时，有4NC MC －＝． 【解析】 【分析】

（1）将表达式写为顶点式，再利用待定系数法求解即可；

（2）取A 关于y 轴的对称点A '，连接BA '与y 轴交于点D ，此时ABD △的周长最小，再利用勾股定理计算即可； （3）①设()21,242P m m m m ?

?

-> ???

，利用待定系数法求出直线PO 、直线PA 的表达式，从而求出MC 、NC 计算即可；

②以①为基础求出MC 、NC 计算即可． 【详解】

解：（1）由题意，点()2,2B -是顶点，解析式可写为()2

22y a x =--，

又∵抛物线经过原点， ∴420a -=， ∴1

2

a =

，

∴解析式为()2

1222y x =

--，即2122

y x x =-； （2）由

2

1202

x x -=，得0x =，或4x =， ∴()4,0A ，

如图，取()4,0A 关于y 轴的对称点()4,0A '-，连接BA '与y 轴交于点D ，此时CD A D '=， ∴CD BD A D BD A B ''+=+=，

由“两点之间线段最短”可知，此时ABD △的周长最小，

最小周长等于AB A B '+==

（3）①MC NC －的值不发生变化，理由如下：

设()21,242P m m m m ??-> ???

，直线PO 为y kx =，直线PA 为y k x n '=+， 将P 点坐标代入直线PO ，得：2

122

km m m =-， ∴1

22

k m =

-， ∴直线PO 为122y m x ??=- ???

，

当2x =时，4y m =-， ∴4NC m =-，

将点,P A 的坐标代入直线PA ，得：2

12240

m m mk n

k n ?-=+???+='?'，

解得：1

2

k m '=

，2n m =-， ∴直线PA 为1

22

y mx m =

-， 当2x =时，2y m m m =-=-， ∴MC m =， ∴4MC NC －＝，

∴MC NC －的值不发生变化，4MC NC －＝； ②当点P 在第二象限时，有4NC MC －＝，理由如下： 以①为基础，当点P '在第二象限时，0m ＜，直线P O '为122y m x ??

=-

???

，直线P A '为122y mx m =-，

∴P O '与BC 的交点为()2,4N m -，P A '与BC 的交点为()2,M m -， ∴(4)NC m =--，MC m =-， ∴4NC MC －＝．

【点睛】

本题考查了二次函数的综合应用，一次函数及轴对称，熟练掌握待定系数法求表达式是解题的关键．

2．已知：抛物线()2

0y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-，与x 轴交于A 、B 两点，

与y 轴交于点C ，其中()30A -,、()0,2C -．

（1）求这条抛物线的函数表达式．

（2）在对称轴上是否存在一点P ，使得PBC ?的周长最小．若存在请求出点P 的坐标．若不存在请说明理由．

【答案】（1）224233y x x =+-；（2）存在，P(-1，4

3

-) 【解析】 【分析】

（1）将点()30A -,

，()0,2C -和对称轴公式代入即可求出a 、b 、c 的值，从而求出结论； （2）点A 、B 关于直线1x =-对称，连接AC 交直线1x =-于点P ，由对称的性质可得此时△PBC 的周长=PB ＋PC ＋BC= PA ＋PC ＋BC=AC ＋BC ，根据两点之间线段最短即可求出此时△PBC 的周长最小，利用待定系数法求出直线AC 的解析式，即可求出结论． 【详解】 解：（1）

函数()2

0y ax bx c a =++≠过点()30A -,

，()0,2C -，且对称轴为1x =-， 则：129302b

a a

b

c c ?-=-??

-+=??=-??

解得：23432a b c ?=??

?=?

?

=-??? 224

233

y x x ∴=

+- （2）答：存在

点A 、B 关于直线1x =-对称，连接AC 交直线1x =-于点P ， ∴PA=PB

此时△PBC 的周长=PB ＋PC ＋BC= PA ＋PC ＋BC=AC ＋BC 根据两点之间线段最短可得此时△PBC 的周长最小

设直线AC 为1y kx b =+，代入()30A -,

和()0,2C -得：

11

30

2k b b -+=??

=-?， 解得：1232

k b ?

=-?

??=-?，

∴直线AC 为：2

23y x =--

将1x =-代入2

23

y x =--中，

24(1)233

y =-?--=-

∴P （-1，4

3

-）

【点睛】

此题考查的是求二次函数的解析式和轴对称性质的应用，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式和轴对称的性质是解决此题的关键．

3．如图，已知直线33y x =-分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，抛物线2y x bx c =++经过A 、B 两点，点C 是抛物线与x 轴的另一个交点（与A 点不重合）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上求一点P ，使ABP ?的周长最小，并求出最小周长和P 点的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M ，使ABM ?为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M 的坐标.

【答案】（1）2

23y x x =+- ；

(2) （3）

存在，1(1M -

，2(1,M -，3(1,0)M -，4(1,1)M --. 【解析】 【分析】

（1）由直线解析式可求得A 、B 两点的坐标，根据待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）连接BC ，直线BC 与对称轴的交点即为点P.求出直线BC 的解析式，求出点P 的坐标，即可求解. （3）分MA=AB ，MB=AB ，MB=MA 三种情况进行讨论. 【详解】

解：（1）直线y 3x 3x ,y A,B =-分别交轴轴于两点

()()

1,0,0,3A B 可得∴-，

把A ，B 两点的坐标分别代入2

y x bx c =++得：102

33b c b c c ++==????=-=-??

解得

∴抛物线的解析式为2

23y x x =+-

(2)连接BC ，直线BC 与对称轴的交点即为点P.易求直线BC 的解析式为3y x =--，抛物线对称轴为直线1x =-，

当P(-1，-2). （3）存在，理由如下：

抛物线的对称轴为：()1,M 1,m :x =--假设存在满足题意讨论：

①当MA=AB 时，∵OA=1，OB=3:AB m ∴===解得((

12,1,M M --,

②当MB=AB 时， 34:0,6m m ===-解得（不合题意）

()31,0M -,

③当MB=MA :1m 解得==-

()41,1M --,

故共存在四个点

((()()

1234,1,,1,0,1,1ΔABM M M M M -----使为等腰三角形.

【点睛】

考查一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质等，注意分类讨论思想在解

二次函数压轴题最短路径问题

最短路径问题——和最小 【方法说明】 “和最小”问题常见的问法是，在一条直线上面找一点，使得这个点与两个定点距离的和最小（将军饮马问题）．如图所示，在直线l 上找一点P 使得PA ＋PB 最小．当点P 为直线AB ′与直线l 的交点时，PA ＋PB 最小． 【方法归纳】 ①如图所示，在直线l 上找一点B 使得线段AB 最小．过点A 作AB ⊥l ，垂足为B ，则线段AB 即为所求． ②如图所示，在直线l 上找一点P 使得PA ＋PB 最小．过点B 作关于直线l 的对称点B ′，BB ′与直线l 交于点P ，此时PA ＋PB 最小，则点P 即为所求． ③如图所示，在∠AOB 的边AO ，BO 上分别找一点C ，D 使得PC ＋CD ＋PD 最小．过点P 分别作关于AO ，BO 的对称点E ，F ，连接EF ，并与AO ，BO 分别交于点C ，D ，此时PC ＋CD ＋PD 最小，则点C ，D 即为所求． ` ④如图所示，在∠AOB 的边AO ，BO 上分别找一点E ，F 使得DE ＋EF ＋CF 最小．分别过点C ，D 作关于AO ， BO 的对称点D ′，C ′，连接D ′C ′，并与AO ，BO 分别交于点E ，F ，此时DE ＋EF ＋CF 最小，则点E ，F 即 为所求． l B A l A l l A l O B O B B O B O

⑤如图所示，长度不变的线段CD 在直线l 上运动，在直线l 上找到使得AC ＋BD 最小的CD 的位置．分别过点A ，D 作AA ′∥CD ，DA ′∥AC ，AA ′与DA ′交于点A ′，再作点B 关于直线l 的对称点B ′，连接A ′B ′与直线l 交于点D ′，此时点D ′即为所求． ⑥如图所示，在平面直角坐标系中，点P 为抛物线（y ＝14x 2 ）上的一点，点A （0，1）在y 轴正半轴．点P 在什么位置时PA ＋PB 最小过点B 作直线l ：y ＝－1的垂线段BH ′，BH ′与抛物线交于点P ′，此时PA ＋ PB 最小，则点P 即为所求． 1．（13广东）已知二次函数y ＝x 2 －2mx ＋m 2 －1． （1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式； （2）如图，当m ＝2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标； （3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点 P ，使得PC ＋PD 最短若P 点存在，求出P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由． $ l l

二次函数典型例题——最短路径

二次函数典型例题——最短路径 1、已知抛物线2:(1)1C y x m x =-++的顶点在坐标轴．．． 上． （1）求m 的值； （2）0>m 时，抛物线C 向下平移n （n > 0）个单位后与抛物线C 1：c bx ax y ++=2关于y 轴对称，且1C 过点（n ，3），求C 1的函数关系式； （3）03<<-m 时，抛物线C 的顶点为M ，且过点P （1，y 0）问在直线1-=x 上是否存在一点Q 使得△QPM 的周长最小，如果存在，求出点Q 的坐标， 如果不存在，请说明理由． （1）m 的值=1，-1，-3； （2）C 1的函数关系式：22y x x =+; （3）Q 的坐标4 (1,)3-. 2、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线211 24 y x =+ 的顶点为M ，直线2y x =，点()0P n ， 为x 轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线分别交抛物线211 24 y x =+和直线2y x =于点 A ，点 B . ⑴直接写出A ，B 两点的坐标（用含n 的代数式表示）； ⑵设线段AB 的长为d ，求d 关于n 的函数关系式及d 的最小值，并直接写出此时线段OB 与线段PM 的位置关系和数量关系； (3)已知二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为整数且0a ≠），对一切实数x 恒有x ≤y ≤21 24 x + ，求a ，b ，c 的值. 解：(1)21 (2)4 A n n +，，() B n n ， . (2) d =AB =A B y y -=21 24 n n -+. ∴ d =2112()48n -+=211 2()48 n -+ ∴ 当14n =时，d 取得最小值1 8 . 当d 取最小值时，线段OB 与线段PM 的位置 关系和数量关系是OB ⊥PM 且OB =PM . (如图10) (3) ∵ 对一切实数x 恒有 x ≤y ≤21 24 x + ， ∴ 对一切实数x ，x ≤2ax bx c ++≤21 24 x + 都成立. (0a ≠) ① 图10 x y 111 A P B M O

二次函数压轴题最短路径问题

最短路径问题——和最小 【方法说明】 “和最小”问题常见的问法是，在一条直线上面找一点，使得这个点与两个定点距离的和最小（将军饮马问题）．如图所示，在直线l 上找一点P 使得PA ＋PB 最小．当点P 为直线AB ′与直线l 的交点时，PA ＋PB 最小． l B A l 【方法归纳】 ①如图所示，在直线l 上找一点B 使得线段AB 最小．过点A 作AB ⊥l ，垂足为B ，则线段AB 即为所求． l A l ②如图所示，在直线l 上找一点P 使得PA ＋PB 最小．过点B 作关于直线l 的对称点B ′，BB ′与直线l 交于点P ，此时PA ＋PB 最小，则点P 即为所求． l B A ③如图所示，在∠AOB 的边AO ，BO 上分别找一点C ，D 使得PC ＋CD ＋PD 最小．过点P 分别作关于AO ，BO 的对称点E ，F ，连接EF ，并与AO ，BO 分别交于点C ，D ，此时PC ＋CD ＋PD 最小，则点 C ， D 即为所求． O B O B ④如图所示，在∠AOB 的边AO ，BO 上分别找一点E ，F 使得DE ＋EF ＋CF 最小．分别过点C ，D 作关于AO ，BO 的对称点D ′，C ′，连接D ′C ′，并与AO ，BO 分别交于点E ，F ，此时DE ＋EF ＋CF 最小，则点E ，F 即为所 求． B O B O ⑤如图所示，长度不变的线段CD 在直线l 上运动，在直线l 上找到使得AC ＋BD 最小的CD 的位置．分别过

点A ，D 作AA ′∥CD ，DA ′∥AC ，AA ′与DA ′交于点A ′，再作点B 关于直线l 的对称点B ′，连接A ′B ′与直线l 交于点D ′，此时点D ′即为所求． l l ⑥如图所示，在平面直角坐标系中，点P 为抛物线（y ＝1 4x 2）上的一点，点A （0，1）在y 轴正半轴．点P 在什么位置时PA ＋PB 最小过点B 作直线l ：y ＝－1的垂线段BH ′，BH ′与抛物线交于点P ′，此时PA ＋PB 最小，则点P 即为所求． 1．（13广东）已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2－1． （1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式； （2）如图，当m ＝2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标； （ 3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC ＋PD 最短若P 点存在，求出P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由． 【思路点拨】

二次函数速记口诀

二次函数速记口诀 二次方程零换y，二次函数便出现。 全体实数定义域，图像叫做抛物线。 抛物线有对称轴，两边单调正相反。 A定开口及大小，线轴交点叫顶点。 顶点非高即最低。上低下高很显眼。 如果要画抛物线，平移也可去描点， 提取配方定顶点，两条途径再挑选。 列表描点后连线，平移规律记心间。 左加右减括号，号外上加下要减。 二次方程零换y，就得到二次函数。 图像叫做抛物线，定义域全体实数。 A定开口及大小，开口向上是正数。 绝对值大开口小，开口向下A负数。 抛物线有对称轴，增减特性可看图。 线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。 如果要画抛物线，描点平移两条路。 提取配方定顶点，平移描点皆成图。 列表描点后连线，三点大致定全图。 若要平移也不难，先画基础抛物线， 顶点移到新位置，开口大小随基础。 二次函数与几何方法 分为：二次函数与线段及角、等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、

矩形、菱形、形、圆、面积等问题) 重要思想：①分类讨论→代表性题型：动态几何问题，存在性讨论问题; ②转化思想(待定系数) →代表性题型：面积问题，二函数图象与坐标轴的交点距离、二次函数与一次函数交点距离等; ③最短路径→代表性题型：利用二次函数的对称性求三角形的周长最小时点的坐标; ④尺规作图→代表性题型：二次函数中求出直角三角形与等腰三角形时点的坐标，采用直角三角板与圆规进行尺规作图分析; ⑤极端值思想→代表性题型：动态几何问题，动态函数问题; ⑥数形结合思想→代表性题型：函数与几何综合题。 二次函数的常见考法 (1)考查一些带约束条件的二次函数最值; (2)结合二次函数考查一些创新问题 二次函数的实际应用 在公路、桥梁、隧道、城市建设等很多方面都有抛物线型;生产和生活中，有很多“利润最大”、“用料最少”、“开支最节约”、“线路最短”、“面积最大”等问题，它们都有可能用到二次函数关系，用到二次函数的最值。 那么解决这类问题的一般步骤是： 第一步：设自变量; 第二步：建立函数解析式; 第三步：确定自变量取值围; 第四步：根据顶点坐标公式或配方法求出最值(在自变量的取值围)。

动点问题中的最值、最短路径问题(解析版)

专题01 动点问题中的最值、最短路径问题 动点问题是初中数学阶段的难点，它贯穿于整个初中数学，自数轴起始，至几何图形的存在性、几何图形的长度及面积的最值，函数的综合类题目，无不包含其中. 其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变，而其中又有一些技巧性很强的数学思想（转化思想），本专题以几个基本的知识点为经，以历年来中考真题为纬，由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法. 一、基础知识点综述 1. 两点之间，线段最短； 2. 垂线段最短； 3. 若A、B是平面直角坐标系内两定点，P是某直线上一动点，当P、A、B在一条直线上时，PA PB 最大，最大值为线段AB的长（如下图所示）； （1）单动点模型 ~ 作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位置. 如下图所示，P是x轴上一动点，求PA+PB的最小值的作图.

P是∠AOB内一点，M、N分别是边OA、OB上动点，求作△PMN周长最小值. 作图方法：作已知点P关于动点所在直线OA、OB的对称点P’、P’’，连接P’P’’与动点所在直线的交点M、N即为所求. O 5. 二次函数的最大（小）值 ()2 y a x h k =-+，当a>0时，y有最小值k；当a<0时，y有最大值k. 二、主要思想方法 利用勾股定理、三角函数、相似性质等转化为以上基本图形解答. （详见精品例题解析） ~ 三、精品例题解析 例1. （2019·凉山州）如图，正方形ABCD中，AB=12，AE=3，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为

专题09 二次函数中动点引起的最短路径及图形存在性问题(解析版)

专题09 二次函数中动点引起的最短路径及图形存在性问题 ·最短路径思路点拨： 1. 两点之间，线段最短； （1）单动点模型 作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位置. 如下图所示，P 是x 轴上一动点，求P A +PB 的最小值的作图. OA 、OB 上动点，求作△PMN 周长最小值. 作图方法：作已知点P 关于动点所在直线OA 、OB 的对称点P ’、P ’’，连接P ’P ’’ 与动点所在直线的交点M 、N 即为所求. 2. 垂线段最短； 3. 若A 、B 是平面直角坐标系内两定点，P 是某直线上一动点，当P 、A 、B 在一条直线上时，PA PB 最大，最大值为线段AB 的长（如下图所示）； O

利用三角形面积计算方法（铅垂高水平宽法或底乘高法或割补法等）列出方程求解 . ·平行四边形存在性问题 题型一、单动点周长最短及面积存在性问题 （2019·四川凉山州中考）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 的图象过点A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△P AC 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及△P AC 的周长；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得S △P AM ＝S △P AC ？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】见解析. 【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）， ∴ 3 930 a b c c a b c -+= ? ? = ? ?++= ? ，解得： 1 2 3 a b c =- ? ? = ? ?= ? ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3. （2）如图，连接PB、BC ∵点P在抛物线对称轴直线x＝1上，点A、B关于对称轴对称，P A＝PB，∴C△P AC＝AC+PC+P A＝AC+PC+PB ∴当C、P、B在同一直线上时，PC+PB＝CB最小， 由勾股定理得：AC BC ＝， ∴C△P AC 设直线BC解析式为y＝kx+3 把点B代入得：3k+3＝0，解得：k＝﹣1∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3， ∴y P＝﹣1+3＝2 ∴点P（1，2）使△P AC （3）存在满足条件的点M，使得S△P AM＝S△P AC．∵S△P AM＝S△P AC ∴点C和点M到直线P A距离相等 ∴CM∥P A， ∵A（﹣1，0），P（1，2）， 可得直线AP的解析式为：y＝x+1，

二次函数压轴题专题一 最短路径问题 (1)

二次函数压轴题专题一 最短路径问题——和最小 知识梳理 最短路径就是无论在立体图形还是平面图形中，两点间的最短距离，常涉及以下 两个方面： 1、两点之间，线段最短； 2、垂线段最短。 常用思考的方式： 1、把立体转化为平面； 2、通过轴对称寻找对称点。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等 变式问题考查。 例题导航 例1：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三 角形，使三角形周长最小. 例：如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B 的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 解：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E， 2.连接AE交河对岸与点M, 则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。 证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE, 所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB两地的距离为： AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在△ACE中，∵AC+CE＞AE, ∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。 例：如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，?要 A B a ··

在河边建一个抽水站，将河水送到A 、B 两地，问该站建在河边什么地方，?可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。 作法：作点B 关于直线 a 的对称点点C,连接AC 交直线a 于点D ，则点D 为建抽水站的位置。 证明：在直线 a 上另外任取一点E ，连接AE.CE.BE.BD, ∵点B.C 关于直线 a 对称,点D.E 在直线 a 上，∴DB=DC,EB=EC, ∴AD+DB=AD+DC=AC, AE+EB=AE+EC 在△ACE 中，AE+EC ＞AC, 即 AE+EC ＞AD+DB 所以抽水站应建在河边的点D 处， 常见问题归纳 “和最小”问题常见的问法是，在一条直线上面找一点，使得这个点与两个定点距离的和最小（将军饮马问题）．如图所示，在直线l 上找一点P 使得PA ＋PB 最小．当点P 为直线AB ′与直线l 的交点时，PA ＋PB 最小． 【方法归纳】 ①如图所示，在直线l 上找一点B 使得线段AB 最小．过点A 作AB ⊥l ，垂足为B ，则线段AB 即为所求． ②如图所示，在直线l 上找一点P 使得PA ＋PB 最小．过点B 作关于直线l 的对称点B ′，BB ′与直线l 交于点P ，此时PA ＋PB 最小，则点P 即为所求． ③如图所示，在∠AOB 的边AO ，BO 上分别找一点C ，D 使得PC ＋CD ＋PD 最小．过点P 分别作关于AO ，BO 的对称点E ，F ，连接EF ，并与AO ，BO 分别交于点C ，D ，此时PC ＋CD ＋PD 最小，则点C ，D 即为所求． l B A l l A l l B A l

最短路径模型

最短路径模型——旋转最值类 【典例1】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连结B′D，则B′D的最小值是（）． A．B.6 C.D.4 【典例2】如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF，连接CF 交BD于点G，连结BE交AG于点H，若正方形的边长是2，则线段DH长度的最小值 是 . H G A

【针对训练 】 1. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝1，点A ，C 分别在x 轴，y 轴上，当点A 在x 轴正半轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点O 的最大距离为（ ）. A B C ．1+ D ．3 2.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，E 是矩形内部的一个动点，且AE ⊥BE ，则线段CE 的最小值为（ ）. A ．32 B . C . D .4 3. 如图，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P 、Q 分别是边BC 和半圆上的运点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是（ ）. A .6 B .1 C .9 D .322 4.如图，AC ＝3，BC ＝5，且∠BAC ＝90°，D 为AC 上一动点，以AD 为直径作圆，连接BD 交圆于E 点，连CE ，则CE 的最小值为（ ）. A .213- B .213+ C .5 D .9 16 5．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 是BC 边上的动点，BF ⊥AE 交CD 于点F ，垂足为G ，连结CG ，则CG 的最小值为（ ）． A 1 B 1 C 1 D 1 6．如图，△ABC 、△EFG 是边长为2的等边三角形，点D 是边BC 、EF 的中点，直线AG 、FG 相交于点M ，当△EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是 A ．2 B 1 C D 1

北师大版初三数学下册二次函数中的最短路径问题

二次函数中的最短路径问题 教学目标：能利用轴对称解决二次函数中简单的最短路径问题，体会转化思想。 教学重点：利用轴对称将“最短路径问题”转化为“两点之间，线段最短”问题。 教学难点：确定最短路径的作图及说理。 教学过程： 一、复习回顾 课本原型：（七年级下册）如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？ 学生回顾基本解法：对称性基本依据：两点之间，线段最短。 二、例题分析15例：已知抛物线， ，OA的中点Ｐ出发，先到达对称轴上点F①若一个动22x yx22 点Ｍ从的位置，并求FA最后运动到点。确定使点M运动的总路径最短的点. 出这个最短路程的长，再Ex②若一个动点Ｍ从Ｐ出发，先到达轴上的点 运动的总。确定使点，最后运动到点到达抛物线的对称轴上点FAM. 、点E路径最短的点F的位置，并求出这个最短路程的长

y A x o (PF+AF) 点运功的路程是哪些线段的和？（1）M分析：最短作法是什么？使(PF+AF) 三点共线）F、A（利用对称性，使P、、P两点中哪个点关于对称轴的对称点简便？为什么？取 A 结合图形，怎样求(PF+AF)的最小值？ (PE+EF+FA) ）这里M点运功的路程是哪些线段的和？（2、求三条线段和的最小值作法是什么？（利用对称性，使P A四点共线）E、F、 P两点中哪个点关于对称轴的对称点简便？为什么？作A、结合图形求解。总结：对比这两个题的解法，找区别与联系。三、课堂练习 CB，的坐标分别为练习1：如图，在直角坐标系中，点A，三点的抛物线

的，，BC，过00（3，），（，3）A，0-1（，）上一动点．ll对称轴为直线，D为对称轴 1（）求抛物线的解析式；的坐标；D最小时点AD+CD）求当2（． 为半径作⊙A．3（）以点A为圆心，以AD 与⊙A相切；求证：当AD+CD的最小时，直线BD ，）1 （，：练习2如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为3的面积是， X轴上△AOB点在B3（1）求点B的坐标； （2）求过点A、O、B的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；

最短路径问题——和最小

最短路径问题——和最小 【典型例题】1、已知二次函数y＝x2－2mx＋m2－1． （1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式； （2）如图，当m＝2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC＋PD最短？若P点存在，求出P 点的坐标；若P点不存在，请说明理由．

2、如图，抛物线y ＝1 2 x 2＋bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）判断△ABC 的形状，证明你的结论； （3）点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC ＋MD 的值最小时，求m 的值．

3、已知，如图，二次函数y＝ax2＋2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两 点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：y＝ 3 3x＋3对称． （1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上； （2）求二次函数解析式； （3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN＋NM＋MK和的最小值．

5、如图，抛物线y ＝1 2(x -3)2-1与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点 C ，顶点为 D 了． （1）求点A ，B ，D 的坐标； （2）连接CD ，过原点O 作OE ⊥CD ，垂足为H ，OE 与抛物线的对称轴交于点E ，连接AE ，AD ．求证：∠AEO ＝∠ADC ； （3）以（2）中的点E 为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P ，过点P 作⊙E 的切线，切点为Q ，当PQ 的长最小时，求点P 的坐标，并直接写出点Q 的坐标．

专题15二次函数中最短路径问题(解析版)-2020-2021学年九年级数学上册常考题专练(人教版)

专题15二次函数中最短路径问题 【做题思路】： 一般在二次函数中，会求PA+PC的最小值，且点P为动点；对于这类问题，首先将动点所在直线作为“河”，根据“将军饮马问题”的作图步骤，作出图形。 【做题步骤】： ①首先找出“河”：动点所在直线就是“河”； ②选出其中一个特殊定点，做关于“河”的对称点； ③连接对称点与另一个定点； ④连线与河的交点即为动点所在位置，连线长度即为最短路径长（可以用两点之间距离公式）； 【变换类型】 求一个三角形的周长最短：周长就是三条线段相加，其中有一条线段是确定的，两条线段长随着动点运动而变化，那么只需要求出与动点相连两定点的线段最小值即可，也就是求两个线段的最小值。 【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括： ①确定起点的最短路径问题-即已知起始结点，求最短路径的问题． ②确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题． ③确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径． ④全局最短路径问题-求图中所有的最短路径． 【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”． 【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”． 【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等． 【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查． 【十二个基本问题】

1．直线y＝2 3 x＋4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点， PC＋PD值最小时点P的坐标为（） A．(－3，0)B．(－6，0)C．(－5 2 ，0)D．(－ 3 2 ，0) 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图所示． 直线y=2 3 x+4与x轴、y轴的交点坐标为A（﹣6，0）和点B（0，4）， 因点C、D分别为线段AB、OB的中点，可得点C（﹣3，2），点D（0，2）．再由点D′和点D关于x轴对称，可知点D′的坐标为（0，﹣2）． 设直线CD′的解析式为y=kx+b，直线CD′过点C（﹣3，2），D′（0，﹣2）， 所以 2=-3k+b -2=b ? ? ? ，解得： 4 k=- 3 b=-2 ? ? ? ?? ， 即可得直线CD′的解析式为y=﹣4 3 x﹣2． 令y=﹣4 3 x﹣2中y=0，则0=﹣ 4 3 x﹣2，解得：x=﹣ 3 2 ， 所以点P的坐标为（﹣3 2 ，0）．故答案选C．

二次函数动点问题典型例题

二次函数动点问题典型例题 等腰三角形问题 1. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx的对称轴为x=，且经过点A（2，1），点P是抛物线上的动点，P的横坐标为m（0＜m＜2），过点P作PB⊥x轴，垂足为B，PB 交OA于点C，点O关于直线PB的对称点为D，连接CD，AD，过点A作AE⊥x轴，垂足为E． （1）求抛物线的解析式； （2）填空： ①用含m的式子表示点C，D的坐标： C（，），D（，）； ②当m=时，△ACD的周长最小； （3）若△ACD为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标． 面积最大 1. 如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标． 2．已知：如图，直线y=3x+3与x轴交于C点，与y轴交于A点，B点在x轴上，△OAB是等腰直角三角形． （1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）若直线CD∥AB交抛物线于D点，求D点的坐标；

（3）若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标和△PAB的最大面积；若没有，请说明理由． 3. （2015?黔西南州）（第26题）如图，在平面直角坐标系中，平行 四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到 平行四边形A′B′OC′．抛物线y=﹣x2+2x+3经过点A、C、A′三点． （1）求A、A′、C三点的坐标； （2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△C′OD的面积； （3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M的坐标． 最短路径 1.（2014绵阳）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象过点 M（﹣2，），顶点坐标为N（﹣1，），且与x轴交于A、 B两点，与y轴交于C点． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标； （3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 2. （2014?泸州）如图，已知一次函数y1=x+b的图象l与二次函数y2=﹣x2+mx+b的图象C′都经过点B（0，1）和点C，且图象C′过点A（2﹣，0）． （1）求二次函数的最大值； （2）设使y2＞y1成立的x取值的所有整数和为s，若s是关于x的方程 =0的根，求a的值； （3）若点F、G在图象C′上，长度为的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于y轴，当四边形DEFG的面积最大时，在x轴上求点P，使PD+PE最小，求出点P的坐标． 平行四边形

中考专题复习—最短路径问题教案

中考专题复习—最短路 径问题教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

中考专题复习——路径最短问题 课题：中考中的最短路径问题 教学目标：1、利用“垂线段最短”原理确定最短路径 2、利用“两点之间，线段最短”原理确定最短路径 3、让学生学会把立体图形展开平面图形确定最短路径 4、让学生熟悉构建“对称模型”确定最短路径 二教学重点与难点 重点：1、利用“垂线段最短”和“两点之间，线段最短”原理确定最短路径 2、把立体图形转化平面图形之后确定最短路径 3、构建“对称模型”确定最短路径 难点：把立体图形转化平面图形及利用对称性确定最短路径 三、教学过程 知识回顾：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”。“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱 形、矩形、正方形、圆、坐标轴、抛物线等。 利用“垂线段最短”原理确定最短路径 1、平面图形 例题1：如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的 一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为_____________ 2、立体图形（展开成平面图形） 例题2：如图，圆锥的底面半径为1，母线长为6，一只蚂蚁要从底面 圆周上一点B出发，沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC 上，问它爬行的最短路线是多少？ 二、利用“两点之间，线段最短”原理确定最短路径 1：立体图形（展开成平面图形） 例题3：如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁 在点 A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径 是。 练习（1）已知圆柱的轴截面ACBD,底面直径AC=6, 高为12cm，今有一蚂蚁 沿圆柱侧面从A点爬到B点觅食，问它爬过的最短距离应是 ____________ （2）如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A 点出发，绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是 ___________ . 2：平面图形（建立“对称模型”） A B C D A B A B B A 2

二次函数最短路径问题

例题：已知:二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,其中A点坐标为(-3,0),与y轴交于点C,点D(-2,-3)在抛物线上.(1) 求抛物线的解析式;(2) 抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值; 步骤：1：找对称点。2：连线求直线。3：求线段的长度或交点（利用勾股定理） 二次函数综合题 例题：（2013滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c 经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点． （1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式； （2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值． 跟踪练习： 1．（2015?甘肃武威）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△P AB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （2015湖南）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形P AOC的周长最小？若存在，求出四边形P AOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．例题：已知:二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,其中A点坐标为(-3,0),与y轴交于点C,点D(-2,-3)在抛物线上.(1) 求抛物线的解析式;(2) 抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值; 步骤：1：找对称点。2：连线求直线。3：求线段的长度或交点（利用勾股定理） 二次函数综合题 例题：（2013滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c 经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点． （1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式； （2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值． 跟踪练习： 1．（2015?甘肃武威）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M． （1）求抛物线的解析式和对称轴； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△P AB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （2015湖南）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形P AOC的周长最小？若存在，求出四边形P AOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．

中考二次函数压轴题解题技巧

中考二次函数压轴题———解题技巧 二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，我们的学生大部分都难以在有限时间内完全解答出来，最主要的原因是对解题思路以及方向上没有做到大体的定位。经多番研究比较，发现26题基本设有三小问，第一问基础为主（3到4分），多为求解析式、坐标轴上坐标、系数、顶点，第二问为中等档次（4分），多以求线段长度类、面积类、三角形形状判断、四边形形状、全等、相似，第三问区分度较大，拉开距离的小问（4到5分），多以动点类结合，构成四边形、三角形，此问涉及面广，有多种情况。压轴题出题方向多与几何图形紧密结合，出题范围广，但万变不离其宗，抓住其中关键性质，利用好代数式，80%的分值可以拿到手，现将压轴题的各种解法思路罗列出来，望各位同学有针对性的去查漏补缺，做到1得2拿3取半。 几个自定义概念： ① 三角形基本模型：有一边在X 轴或Y 上，或有一边平行于X 轴或Y 轴的三角形称为三角形基本模型。 ② 动点（或不确定点）坐标“一母示”：借助于动点或不确定点所在函数图象的解析式，用一个字母把该点坐标表示出来，简称“设横表纵”。如：动点P 在y=2x+1上， 就可设 P （t, 2t+1）.若动点Ｐ在ｙ＝2 321x x -+，则可设为P （t ，2 321t t -+）当然若动点M 在X 轴上，则设为（t, 0）.若动点M 在Ｙ轴上，设为()t ，0 ③ 动三角形：至少有一边的长度是不确定的，是运动变化的。或至少有一个顶点是运动，变化的三角形称为动三角形。 ④ 动线段：其长度是运动，变化，不确定的线段称为动线段。 ⑤ 定三角形：三边的长度固定，或三个顶点固定的三角形称为定三角形。 ⑥ 定直线：其函数关系式是确定的，不含参数的直线称为定直线。如：63-=x y 。 ⑦ X 标，Y 标：为了记忆和阐述某些问题的方便，我们把横坐标称为x 标，纵坐标称为y 标。 ⑧ 直接动点：相关平面图形（如三角形，四边形，梯形等）上的动点称为直接动点，与之共线的问题中的点叫间接动点。动点坐标“表示”是针对直接动点坐标而言的。 1.求证“两线段相等”的问题： 借助于函数解析式，先把动点坐标用一个字母表示出来； 然后看两线段的长度是什么距离（即是“点点”距离，还是“点轴距离”，还是“点线距离”，再运用两点之间的距离公式或点到x 轴（y 轴）的距离公式或点到直线的距离公式，分别把两条线段的长度表示出来，分别把它们进行化简，即可证得两线段相等。 ２、“平行于y 轴的动线段长度的最大值”的问题： 由于平行于y 轴的线段上各个点的横坐标相等（常设为t ），借助于两个端点所在的函数图象解析式，把两个端点的纵坐标分别用含有字母t 的代数式表示出来，再由两个端点的高低情况，运用平行于y 轴的线段长度计算公式 -y y 下 上或 21y y -，把动线段的长度就表示成为一个自变量为t ，且开口向下的二次函数解析式，利用二次函数的 性质，即可求得动线段长度的最大值及端点坐标。 3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题：

二次函数压轴题最短路径问题

最短路径问题一一和最小 【方法说明】 “和最小”问题常见的问法是，在一条直线上面找一点，使得这个点与两个定点距离的和最小（将军 饮马问题）?如图所示，在直线 丨上找一点P 使得P%PB 最小?当点P 为直线AB 与直线丨的交点时，PA + PB 最小. B -r | P , B' B 4 P . B' ③如图所示，在/ AOB 勺边AO B0上分别找一点 C D 使得PO C 戻PD 最小?过点P 分别作关于 AO BO 的对称点E ，F ，连接EF,并与AO B0分别交于点C, D,此时PO C 戻PD 最小，则点C D 即为所求. ④如图所示，在/ AOB 勺边AO BO 上分别找一点 E F 使得D 可EF + CF 最小?分别过点 C , D 作关于AO BO 的对称点D ； C ；连接DC,并与AO BC 分别交于点E, F ,此时DE^EF + CF 最小，则点E, F 即为所求. ⑤如图所示，长度不变的线段 CD 在直线丨上运动，在直线丨上找到使得AO BD 最小的CD 的位置?分别过 点A , D 作AA// CD DA// AC AA 与 DA 交于点A ；再作点B 关于直线丨的对称点B',连接A'B 与直线丨交于 【方法归 纳】 在直线 丨上找一点B 使得线段AB 最小?过点A 作AB1丨，垂足为B,则线段AB 即为所求. 在直线 ②如图所示， 点P ，此时PA^ PB 最小，则点P 即为所求. 丨上找一点P 使得PA^ PB 最小?过点B 作关于直线丨的对称点B'，BB'与直线丨交于 B F B

点D ,此时点D 即为所求. 1 ⑥如图所示，在平面直角坐标系中，点 P 为抛物线(y = 4X 1 2)上的一点，点A ( 0, 1)在y 轴正半轴.点P 在什么位置时PA+PB 最小？过点B 作直线I : y =— 1的垂线段BH, BH 与抛物线交于点 P ,此时PA+ PB 最小，则点P 即为所求. 【思路点拨】 (1) 由二次函数的图象经过坐标原点 0(0，0)，直接代入求出 m 的值即可; 1 (13广东)已知二次函数 y = x 2 — 2m 灶卅一1. (1) 当二次函数的图象经过坐标原点 0(0, 0)时，求二次函数的解析式； (2) 如图，当m= 2时，该抛物线与y 轴交于点C ,顶点为D 求C 、D 两点的坐标； (3) 在(2)的条件下，x 轴上是否存在一点 P ,使得PO PD 最短？若P 点存在，求出P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由 . B B B'