第9章 弯曲应力与弯曲变形综述

Engineering Mechanics

（第3版）

普通高等教育“十一五”国家级规划教材

高等教育出版社

第9章弯曲应力与弯曲变形

9.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力

9.2 横力弯曲时梁横截面上的正应力

9.3 弯曲切应力简介

9.4 弯曲变形的概念

9.5 梁的挠曲线近似微分方程

9.6 用积分法求弯曲变形

9.7 用叠加法求弯曲变形

9.8 梁的刚度校核

9.9 提高梁强度和刚度的措施

小结

思考题

第9章 弯 曲 应 力 与 弯 曲 变 形 9.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力 9.1.1 梁的纯弯曲

前一章讨论了梁弯曲时梁横截面上的内力——剪力和弯矩。但要解决梁的强度问题，必须进一步了解横截面上应力的分布规律。剪力和弯矩是横截面上分布内力的

合成结果。切应力对应的内力为剪力，正应力对应的内力为弯矩。

梁（或某段梁）的各个横截面上仅有弯矩而无剪力，从而仅有正应力而无切应力的弯曲，称为纯弯曲。而横截面上同时存在弯矩和剪力，即既有正应力又有切应力的弯曲称为横力弯曲或剪切弯曲。

例如，图9 - 1a 所示简支梁。由图可知梁的CD 段为纯弯曲，AC 和DB 段为横力弯曲。

图9 – 1

y

a a

F

F B

x

z

A C (a)

D x

F S

F

F

(c)

a a

F F

B C

D (b)

A F A F B

(d)

Fa

M

x

9.1.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力

研究纯弯曲时梁横截面上的正应力，需从几何、物理和静力关系等三方面考虑。 由以上试验结果可作如下假设：原为平面的横截面变形后仍保持为平面，且仍垂直于变形后梁的轴线，只是绕横截面内某一轴旋转一角度。这就是弯曲变形的平面假设。

1. 变形几何关系

取截面具有纵向对称轴（例如矩形截面）的等直梁，在其侧面画两条横向直线mm 及nn ，并在横向线间靠近顶面和底面画两条纵向线段aa 与 bb （图9 – 2a ）。然后在梁的纵向对称面内两端施加一对等值、

反向的力偶，作梁的纯弯曲变形试验（图9 – 2b ）。 a a b b m m

n

n

(a) (b)

m

m n

n

y ρ M e

M e O'

O' b'

b'

a' a' d θy

y

z b'

中性轴

中性层

对称轴

(c)

图9 – 2

b'

a a ''

b b ''可观察到：

（1）横向直线变形后仍为直线，且仍然垂直于已经变成弧线的 和 ，只是相对旋转了一个角度。 （2）靠近顶面的纵向线段aa 缩短，靠近底面的纵向线段bb 伸长。

设想梁由无数纵向线段组成，所有纵向线段只受到轴向拉伸或压缩，相互之间无挤压。弯曲变形后上侧线段缩短、下侧线段伸长，由变形的连续性可知，其间必有一层线段长度不变，称该层为中性层。中性层和横截面的交线，称为中性轴（图9 – 2c ），变形时横截面绕其中性轴转动。

y

y

z b'

中性轴

中性层

纵向对称轴

(c)

图9 – 2

b'

在对称弯曲的情况下，梁的变形对称于纵向对称面。因而中性轴必垂直于横截面内的纵向对称轴。用横截面m -m 和n -n 从梁中切出长为d x 的微段（图9-2b ）。设截面m -m 与n -n 之间的相对转角为d θ，中性层 的曲率半径为ρ。取轴y 和z 轴分别沿横截面的对称轴和中性轴（图9 – 2c ）。距中性层为y 处的纵向线段bb 原长为d x ，它等于ρd θ，变形后 弧线的长度为（ρ+y ）d θ。纵向线段bb 的线应变为

o o ''b b ''

()d d d y y

ρθρθερθ

ρ

+-=

=

（a ）

对于确定截面ρ是常量，可见各纵向线段的应变与它到中性轴的距离 y 成正比。

(b)

m

m n

n

y ρ

M e

M e O'

O' b'

b'

a' a' d θ

①参阅刘鸿文. 简明材料力学（第2版）. 北京：高等教育出版社，2008.

2

z z I I a A

'=+z I 'z '

——截面对于与 z 轴平行的任一轴 （9 – 6）

的惯性矩；

a ——该两轴之间的距离；

A ——截面的面积。

由平行轴定理可知，在所有平行轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小。

其中I z ——截面对于其形心轴z 的惯性矩；

另外，同一截面对于两相互平行的轴的惯性矩并不相同。当其中一轴是截面的形心轴时，它们之间的关系由惯性矩的平行轴定理①给出，即

弯曲变形、应力状态概念练习

第七章练习 （弯曲变形） 一 选择题 24．如图所示变截面杆，用积分法求挠曲线方程时应分（ ）段积分。 A ．2； Ｂ．3； Ｃ．3； Ｄ．4。 25．如13题图所示变截面杆，用积分法求挠曲线方程时共有（ ）个积分常数。 A ．2； Ｂ．4； Ｃ．6； Ｄ．8。 二 填空题 1．如图所示，用积分法求图示梁的变形时，所应满足的边界条 件是 A 截面挠度为零， C 截面挠度等于CB 杆伸长 。 2．提高梁弯曲刚度最有效的措施是 增加支座 ，减少跨长 。 三. 简答题 1. 静不定结构如图所示，试对每一结构分别选取一种基本静定系，写出相应的变形协调方程。 第八章练习 （应力状态，强度理论） 一 选择题 1．轴向拉伸构件，按四个强度理论中的（ ）强度理论计算的相当应力相同。 A .第一和第二； B . 第三和第四； C .第一和第三； D . 第一、第二、第三和第四。 2．圆轴受扭时，轴表面各点处于（ ）。 A . 单向应力状态； B . 二向应力状态； C . 三向应力状态； D . 各向等应力状态。 题25图 题1图 （a ） （b ）

3．等截面杆受轴向拉力作用，如图所示，A 、B 、C 三点的应力状态（ ）。 A . 各不相同； B . 相同； C . 仅A 、C 两点的应力状态相同； D . 仅B 、C 两点的应力状态相同。 4．图示某危险点的应力状态，其主应力1σ和最大切应力为（ ）。 A ．120MPa ，30 MPa ； Ｂ．130 MPa, 80 MPa ； Ｃ．150MPa ，60 MPa ； Ｄ．140 MPa,, 80MPa 。 5．按照第三强度理论，如图所示应力状态的相当应力是为（ ）MPa 。 A ．100； Ｂ．80； Ｃ．60； Ｄ．120。 6．对于一个微分单元体，下列结论中（ ）是错误的。 A ．正应力最大的面上切应力必为零； Ｂ．切应力最大的面上正应力必为零； Ｃ．正应力最大的面与切应力最大的面相交成450角； Ｄ．正应力最大的面与正应力最小的面必互相垂直。 7．两单元体的分别如图（a ）（b ）所示，且σ与τ的数值相等，由第三强度理论比较两者的危险程度，则（ ）。 A ．（a ）为平面应力状态，（b ）为空间应力状态，两者无法比较； Ｂ．应力状态图（b ）较图（a ）危险； Ｃ．两者的危险程度相同； Ｄ．应力状态图（a ）较图（b ）危险。 8．以下结论中（ ）是正确的。 A ．第一、二强度理论主要用于塑性材料； Ｂ．第三、四强度理论主要用于脆性材料； Ｃ．第一强度理论主要用于单向应力状态； Ｄ．第四强度理论可用于塑性屈服的任何应力状态。 9． 图示应力单元，已知σx = 40MPa,σy = 40MPa,τxy = 20MPa ，应力单元的主应力大小为 （ ）。 A ．σ1 = 40MPa ，σ2= 0，σ3=－40MPa ； B ．σ1 = 60MPa ，σ2= 20 MPa ，σ3=0 ； Ｃ．σ1 = 80MPa ，σ2= 0，σ3=－80MPa ； Ｄ．σ1 = 100MPa ，σ2= 60 MPa ，σ3=0 。 题3图 题4图 题5图 单位MPa （a ） （b ）

纯弯梁的弯曲应力测定

纯弯梁的弯曲应力测定实验报告 使用设备名称与型号 同组人员 实验时间 1、 实验目的 1.测定梁纯弯曲时横截面上的正应力大小及分布规律，并与理论值比较，以验证弯曲正应力公式。 2.观察正应力与弯矩的线性关系。 3.了解电测法的基本原理和电阻应变仪的使用方法。 2、 实验设备与仪器 1.弯曲梁实验装置和贴有电阻应变片的矩形截面钢梁。 2.静态数字电阻应变仪YJ28A-P10R（见附录四）和载荷显示仪。 3.直尺。 3、 实验原理 梁纯弯曲时横截面上的正应力公式为σ= ，式中M为作用在横截面上的弯矩，Y为欲求应力点到中性轴Z的距离，I z为梁横截面对中性轴的惯性矩。本实验采用矩形截面钢梁，实验时将梁的支承及载荷情况布置如图6-1所示，梁的CD段为纯弯曲，在梁的CD段某截面不同高度（四等分点）处贴五片电阻应变片，方向平行梁轴，温度补偿片粘贴梁上不受力处，当纯弯梁受载变形时，利用电阻应变仪测出各应变片的应变值（即梁上各纵向应变值）ε实。由于纵向纤维间不互相挤压，故根据单向应力状态的虎克定律求出应力σ实=Eε实。E为梁所用材料的弹性模量。为了减少测量误差，同时也可以验证正应

力与弯矩的线性关系，采用等量加载来测定沿高度分布的各相应点的应变，每增加等量的载荷 F，测定各点相应的应变一次，取应变增量的平均值 ε实。求出各应力增量 σ实=E ε实，并与理论值 σ理= 进行比较，其中 M= Fa.，从而验证理论公式的正确性。

图6-1纯弯梁示意图 4、 实验操作步骤 1.将梁放在实验装置的支座上。注意应尽量使梁受平面弯曲，用尺测量力作用点的位置及梁的截面尺寸。 2.在确保梁的最大应力小于材料的比例极限σp前提下，确定加载方案。 3.将梁上各测点的工作应变片逐点连接到应变仪的A、B接线柱上，而温度补偿片接在B、C接线柱上。按电阻应变仪的使用方法，将应变仪调整好。 4.先加载至初载荷，记录此时各点的应变值，然后每次等量增加载荷 ΔF，逐次测定各点相应的应变值，直到最终载荷终止。卸载后，注意记录各测点的零点漂移。 5.检查实验数据是否与离开中性轴的距离成正比，是否与载荷成线形关系，结束工作。 5、 实验结果及分析计算 1、 实验数据 12345

第9章弯曲应力与弯曲变形习题解答

第9章 弯曲应力与弯曲变形 习题解答 题9 – 1 试计算下列各截面图形对z 轴的惯性矩I z （单位为mm ）。 解：（a ）mm 317400 250500350200 400250250500350≈?-???-??= c y ()()4 932 3mm 107314002502003171240025050035025031712500350?≈??? ? ????-+?-??? ? ????-+?=.I Z （b ）mm 431550 400800500375 550400400800500≈?-???-??= c y ()()4 1032 3mm 1054615504003754311255040080050040043112800500?≈??? ? ????-+?-??? ? ????-+?=.I Z （c ）()mm 306020206050 6020102060=?+???+??= c y ()()4 63 2 3mm 103616020503012602020601030122060?=??? ? ????-+?+? ?? ? ????-+?=.Z I (a) (b) (c) 题9-1图

题9–2 悬臂梁受力及截面尺寸如图所示。设q = 60kN/m ，F = 100kN 。试求（1）梁1 – 1截面上A 、B 两点的正应力。（2）整个梁横截面上的最大正应力和最大切应力。 解：（1）求支反力 kN 220100260=+?=A F （↑） m kN 32021001260?=?+??=A M （ ） （2）画F S 、M 图 （3）求1-1截面上A 、B 两点的正应力 m kN 1305016011001?=??+?=.M F M

工程力学习题库-弯曲变形

第8章 弯曲变形 本章要点 【概念】平面弯曲，剪力、弯矩符号规定，纯弯曲，中性轴，曲率，挠度，转角。 剪力、弯矩与荷载集度的关系；弯曲正应力的适用条件；提高梁的弯曲强度的措施；运用叠加法求弯曲变形的前提条件；截面上正应力分布规律、切应力分布规律。 【公式】 1. 弯曲正应力 变形几何关系：y ερ = 物理关系：E y σρ = 静力关系：0N A F dA σ==?，0y A M z dA σ==?，2z z A A EI E M y dA y dA σρ ρ == =?? 中性层曲率： 1 M EI ρ = 弯曲正应力应力：，M y I σ= ，max max z M W σ= 弯曲变形的正应力强度条件：[]max max z M W σσ=≤ 2. 弯曲切应力 矩形截面梁弯曲切应力：b I S F y z z S ??=* )(τ，A F bh F S S 2323max ==τ 工字形梁弯曲切应力：d I S F y z z S ??=* )(τ，A F dh F S S ==max τ 圆形截面梁弯曲切应力：b I S F y z z S ??=* )(τ，A F S 34max =τ 弯曲切应力强度条件：[]ττ≤max

3. 梁的弯曲变形 梁的挠曲线近似微分方程：()''EIw M x =- 梁的转角方程：1()dw M x dx C dx EI θ= =-+? 梁的挠度方程：12()Z M x w dx dx C x C EI ??=-++ ??? ?? 练习题 一. 单选题 1、 建立平面弯曲正应力公式z I My /=σ,需要考虑的关系有（ ）。查看答案 A 、平衡关系,物理关系，变形几何关系 B 、变形几何关系，物理关系，静力关系； C 、变形几何关系，平衡关系，静力关系 D 、平衡关系, 物理关系，静力关系； 2、 利用积分法求梁的变形，不需要用到下面那类条件（ ）来确定积分常 数。 查看答案 A 、平衡条件 B 、边界条件 C 、连续性条件 D 、光滑性条件 3、 在图1悬臂梁的AC 段上，各个截面上的（ ）。 A ．剪力相同，弯矩不同 B ．剪力不同，弯矩相同 C ．剪力和弯矩均相同 D ．剪力和弯矩均不同 图1 图2 4、 图2悬臂梁受力，其中（ ）。 A ．A B 段是纯弯曲，B C 段是剪切弯曲

第9章 弯曲应力与弯曲变形综述

Engineering Mechanics （第3版） 普通高等教育“十一五”国家级规划教材 高等教育出版社

第9章弯曲应力与弯曲变形 9.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力 9.2 横力弯曲时梁横截面上的正应力 9.3 弯曲切应力简介 9.4 弯曲变形的概念 9.5 梁的挠曲线近似微分方程 9.6 用积分法求弯曲变形 9.7 用叠加法求弯曲变形 9.8 梁的刚度校核 9.9 提高梁强度和刚度的措施 小结 思考题

第9章 弯 曲 应 力 与 弯 曲 变 形 9.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力 9.1.1 梁的纯弯曲 前一章讨论了梁弯曲时梁横截面上的内力——剪力和弯矩。但要解决梁的强度问题，必须进一步了解横截面上应力的分布规律。剪力和弯矩是横截面上分布内力的 合成结果。切应力对应的内力为剪力，正应力对应的内力为弯矩。 梁（或某段梁）的各个横截面上仅有弯矩而无剪力，从而仅有正应力而无切应力的弯曲，称为纯弯曲。而横截面上同时存在弯矩和剪力，即既有正应力又有切应力的弯曲称为横力弯曲或剪切弯曲。 例如，图9 - 1a 所示简支梁。由图可知梁的CD 段为纯弯曲，AC 和DB 段为横力弯曲。 图9 – 1 y a a F F B x z A C (a) D x F S F F (c) a a F F B C D (b) A F A F B (d) Fa M x

9.1.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力 研究纯弯曲时梁横截面上的正应力，需从几何、物理和静力关系等三方面考虑。 由以上试验结果可作如下假设：原为平面的横截面变形后仍保持为平面，且仍垂直于变形后梁的轴线，只是绕横截面内某一轴旋转一角度。这就是弯曲变形的平面假设。 1. 变形几何关系 取截面具有纵向对称轴（例如矩形截面）的等直梁，在其侧面画两条横向直线mm 及nn ，并在横向线间靠近顶面和底面画两条纵向线段aa 与 bb （图9 – 2a ）。然后在梁的纵向对称面内两端施加一对等值、 反向的力偶，作梁的纯弯曲变形试验（图9 – 2b ）。 a a b b m m n n (a) (b) m m n n y ρ M e M e O' O' b' b' a' a' d θy y z b' 中性轴 中性层 对称轴 (c) 图9 – 2 b' a a '' b b ''可观察到： （1）横向直线变形后仍为直线，且仍然垂直于已经变成弧线的 和 ，只是相对旋转了一个角度。 （2）靠近顶面的纵向线段aa 缩短，靠近底面的纵向线段bb 伸长。

案例-弯曲变形与强度.

台湾丰原高中礼堂坍塌事故原因分析 建筑物坍毁是工程事故发展的最终阶段，因此所有坍塌事故均属于恶性事故。按照《建筑结构设计统一标准》(GB 68—84、GB 50068—2001)和结构抗震设计“小震不坏，中震可修，大震不倒”三准则的要求，所有坍塌事故，包括地震灾后的坍塌事故，都属于责任事故，应该追究当事人责任。只有经过分析鉴定，确认事故原因存在设计安全水准以外的意外因素时，才能界定为天灾，豁免当事人责仟。下面列举的坍塌事故都是近年来发生在国内外的引起全社会关注的恶性事故，并且都是人为过失事故。说明在所有工程事故中，人为过失事故占了很大比例，值得警惕! 1．案例背景 该礼堂位于一栋19．5m×49．5m的两层长方形建筑的第2层(底层为教室)，层高6m，平面如图1所示。屋顶结构由跨度19．5m、中心间距4．5m的钢桁架承重。桁架端部高125cm，跨中高135cm，次桁架起纵向支撑的作用，并与主桁架相连接构成整体，由40cm×60cm的钢筋混凝土柱与纵向连系梁组成纵向排架支承，并在⑤～⑧轴处从联系梁则面悬挑出一很大的钢筋混凝土雨篷。屋盖系统如图2所示。 图1 中学礼堂平面图图2 礼堂顶层结构简图 施工过程中，由于某种原因，在底层教室完工后，曾有10个月的停工间隙期，因而在第2层楼面以上的钢筋混凝土立柱中，存在施工缝的处理问题。 该建筑于1975年1月竣工。由于出现严重的屋面渗漏现象，在1983年6月对屋面进行返修。返修时，为了改善屋面的保温隔热性能，在屋顶上增加了一个蓄水保温系统。 1983年8月24日，该礼堂屋顶结构发生坍塌。虽然事故的前一天曾经下过雨，但在事故发生的时候，并未在结构上施加任何临时额外荷载，坍毁前也没有出现异兆。 2．可用于事故原因分析的线索 （1）节点连接的施工质量问题 台湾技术学院的C．Y．林教授经过现场考察认为，结构系统的坍毁很可能是始于下弦拉杆的某一焊接头断裂，或者是由于垂直杆与斜撑杆的螺栓接头松

三、梁弯曲的内力、变形、应力

目录 引言 (2) 一杆件受拉压的内力、应力、变形 (2) 1.1轴向拉压的内力、轴力图 (2) 1.2 轴向拉压杆横截面上的应力 (5) 1.3 轴向拉压杆横截面上的变形 (7) 1.4 圣维南原理 (9) 1.5 工程结构实例分析 (11) 二圆轴扭转 (15) 2.1、扭转的力学模型及ANSYS建模 (15) 2.2、圆轴扭转时，横截面上的内力偶矩------扭矩 (15) 2.3、圆轴扭转时，横截面上的应力、强度条件 (15) (1) 横截面上的切应力 (15) (2) 极惯性矩与抗扭截面系数 (15) 三、梁弯曲的内力、变形、应力 (20) 3.1 梁的弯曲内力、变形 (20) 3.2 弯曲应力 (27) 3.3 工程实例： (31) 四、压杆稳定 (35) 4.1、压杆稳定的概念 (35) 4.2、临界压力 (35) 4.3、三类压杆的临界载荷 (36) 4.4、压杆稳定性计算 (36) 4.5 工程实例4 (38)

引 言 《材料力学》是机械、土木类工科学生重要的技术基础课，其计算方法和思想在工程计算中应用非常广泛。为了使学生对课内知识体系有一个比较清晰的感性认识，锻炼学生的求真精神和实践动手能力，进一步培养学生的综合创造力，兴趣小组的学生们在教师的指导下基于ANSYS 有限元分析软件对《材料力学》的某些知识点进行数值计算与模拟，得到相关的数据、云图或动画，从而对理论公式进行形象验证，更开阔了学生的视野，提高了学生的CAE 水平。 本研究内容包括三部分： （1）对《材料力学》课程中的基本内容，包括拉压、剪切、扭转、弯曲的内力、应力、变形、压杆稳定、动载荷、疲劳强度、圣维南原理等重要理论知识点情况通过ANSYS 进行分析，得到内力、变形、应力、应变相关的数据、云图或动画； （2）对重要知识点的典型例题通过ANSYS 进行计算，并与理论计算结果进行对比验证。 （3）对《材料力学》理论知识能够解决的典型工程实际问题进行建模、分析与计算。 一 杆件受拉压的内力、应力、变形 1.1轴向拉压的内力、轴力图 在工程结构和机械中，发生轴向拉伸或压缩的构件是很常见的。 在轴向外力作用下，杆件横截面上唯一的内力分量是轴力N F 轴向拉压杆件的受力特点：作用于杆件上的合外力的作用线与杆件轴线重合，杆件变形是沿轴线方向的延长或缩短。 对如图1-1a 所示的两端受轴向外力p F 作用的杆件，用一假想平面沿任意横截面将杆截为两段，由任一部分的平衡方程0=∑F ,可求得截面上的轴力 N F =p F (如图1-1b)

10弯形矫正讲解

钳工工艺一体化授课计划

讲授新课：（工艺知识） 定义：将坯料弯成所需要形状的加工方法，称为弯形。 一、弯形 1．弯形概述 弯形是使材料产生塑性变形，因此只有塑性好的材料才能进行弯形。钢板弯形后它的外层材料伸长，内层材料缩短，而中间有一层材料弯形后长度不 变，则称为中性层。 弯形虽然是塑性变形，但也有弹性变形，为抵消材料的弹性变形，弯形过程中应多弯一些。 2．弯形坯料长度的计算 坯料经弯形后，只有中性层的长度不变，因此计算弯形工件坯料长度时，可按中性层的长度进行计算。但当材料弯形后，中性层并不在材料的正中，而是偏向内层材料一边。实验证明，中性层的实际位置与材料的弯曲半径r和枋料的厚度t有关。 钢板弯曲前后 a)弯曲前 b)弯曲后弯形时中性层位置当材料厚度不变时．弯形半径越大，变形越小，中性层的位置就越接近材料厚度的几何中心。弯形的情况不同时，中性层的位置也不同。 表为中性层系数x0的值。从表中r/t的比值中可以看出，当弯形半径r≥16t 时，中性层在材料的中间(即中性层与几何中心重合)。在一般情况下，为简化计算，当r/t≥8时，可取x0=0.5进行计算。

弯形的形式有多种，图中a 、b 、c 为内面带圆弧的制件，d 是内为直角的制件。 内面带圆弧制件的坯料长度等于直线部分(不变形部分)与圆弧中性层长度(弯形部分)之和。圆弧部分中性层长度的计算式为： A=π（r+ x0t ）?180a 式中A ——圆弧部分中性层长度，mm ； r ——弯形半径，mm ； z 。——中性层位置系数； t ——材料厚度(或坯料直径)，mm ； a ——弯形角(即弯形中心角)，单位(°)。 内面弯形成不带圆弧的直角制件时，其坯料长度的计算可按弯形前后坯料的体积不变，采用A=0.5t 的经验公式求出。 例1厚度t=4mm 的钢板坯料，弯成图中的制件，若弯形角a=120°，内弯形半径r=16 mm ，边长l 1=60mm 、l 2=120 mm ，求坯料长度L 是多少? 解：r/t=6／4 得x 0=O.41 因为 L= l 1+ l 2+A A=π（r+ x 0t ）? 180a =3.14×(16+0.41×4) × ??180120 =36．93mm 所以 L= l 1+ l 2+A

第七章梁弯曲时变形

第七章 梁弯曲时的变形 §7?1 概 述 图7?1所示的简支梁，任一横截面的形心即轴线上的点在垂直于x 轴方向的线位移，称为挠度，用y 表示；横截面绕中性轴转动的角度，称为该截面的转角，用θ表示，如图中C 截面转过的角度θ即为C 截面的转角。 )(x f y = （7?1） 称为挠曲线方程。 )(d d tan x f x y '== ≈θθ （7?2） 称为转角方程。 §7?2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 在小变形情况下，梁的挠曲线为一平坦的曲线，挠曲线近似微分方程为 EI x M x y )(d d 2 2± = （7?3） 式中的正负号取决于2 2d d x y 与)(x M 的正负号的规定。在如图11?2所示的坐标系中，y 轴以向下为正，当M (x )>0时，梁的挠曲 的符号关系如图11?2所示。这样，在图示坐标系中，)(x M 与2 2d d x y 的符号总是相反，所以式（7?3）中应取负号，即：

EI x M x y ) (d d 2 2- = （7?4） 对该挠曲线近似微分方程进行积分，可求得任一截面的挠度及转角。 当梁为等截面直梁时，弯曲刚度EI 为常数，对式（7?4）积分一次，得 []?+-== C x x M EI x y d )(1d d θ （7?5） 再积分一次，可得 ()[]??++- =D Cx x x M EI y 2 d 1 （7?6） 以上两式中，C 、D 为积分常数，可通过梁的边界条件及变形连续条件确定。例如在简支梁（图7?3a ）中，A 、B 支座处的挠度都等于零；在悬臂梁（图7?3b ）中，固定端处挠度和转角都等于零。积分常数C 、D 确定后，代入式（7?5）、（7?6），便可求得梁的转角方程和挠曲线方程，进而可求得梁上任一横截面的转角和挠度。 EI ，试 解b ），弯矩方程为： （a ） （2）建立梁的挠曲线近似微分方程 由式（7?4）得： EI x l F EI x M x y ) ()(d d 2 2-= -= （b ） （3）对微分方程二次积分 积分一次，得： ??? ??+-== C Fx Flx EI x y 2211d d θ （c ） 再积分一次，得： ? ?? ??++-= D Cx Fx Flx EI y 32 61211 （d ） （4）利用梁的边界条件确定积分常数 在梁的固定端，横截面的转角和挠度都等于零，即： 0=x 时，0=y ，0=θ 代入式（c ）、（d ），求得C =0，D =0。

弯曲应力与变形1

课程: 材料力学教者： 第30,31,32课时(3.22,3.26) 课程内容或课题： 1．梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导 2．熟练弯曲正应力强度条件的建立和相应的计算 目的要求： 1．掌握梁纯弯曲时横截面上正应力计算公式的推导过程，理解推导中所作的基本假设2．理解横力弯曲正应力计算仍用纯弯曲公式的条件和近似程度 3．掌握弯曲正应力强度条件的建立和相应的计算 重点难点： 1.纯弯曲梁横截面上正应力公式的分析推导 2.横力弯曲横截面上正应力的计算，最大拉应力和最大压应力的计算 3.弯曲的强度计算 教学形式、手段： 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考 教学过程： 一：导入新课 二：授新 1、几个基本概念 ⑴平面弯曲和弯曲中心 变形后梁轴线的位移方向沿着加载方向的弯曲情况，称为平面弯曲。

图6-1 怎样加载才能产生平面弯曲？ 若梁的横截面有对称平面时，载荷必须作用在次对称平面内，才能发生平面弯曲。 图6-2 若梁的横截面没有对称平面时，载荷的作用线必须通过截面的弯曲中心。 什么叫弯曲中心？ 当载荷的作用线通过横截面上某一点特定点时，杆件只产生弯曲而无扭转。这样的特定点称为弯曲中心。 图6-3 关于弯曲中心位置的确定及工程上常见图形的弯曲中心位置。

图6-4 ①具有两个对称轴或反对称的截面，如工字形、圆形、圆环形、空心矩形截面等，弯曲中心与形心（两对称轴的交点）重合，如图6-4(a),(b),(c)所示。 ②具有一个对称轴的截面，如槽形和T形截面，弯曲中心必在对称轴上，如图6-4(d)、(e)所示。 ③如果截面是由中线相交于一点的几个狭长矩形所组成，如L形或T形截面，则此交点就是弯曲中心，如图6-4(e)、(f) ④不对称实心截面的弯曲中心靠近形心。这种截面在荷载作用线通过形心时也将引起扭转，但由于这种截面的抗扭刚度很大，弯曲中心与形心又非常靠近，故通常不考虑它的扭转影响。 ⑵纯弯曲和横力弯曲 图6-5 平面弯曲时，如果某段梁的横截面上只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为纯弯曲；如果梁的横截面上既有弯矩又有剪力，则这种弯曲称为横力弯曲。 ⑶中性层和中性轴

弯曲变形分析

弯曲变形分析 弯曲过程中，当坯料上作用有外弯曲力矩时，坯料的曲率半径发生变化。 图1表示板弯曲变形区(ABCD部分)内切向应力的变化情况。弯曲过程中内区 (靠近曲率中心一侧)切向受压，外区(远离曲率中心一侧)受拉。 根据变形程度，弯曲过程可分为三个阶段： 1)弹性弯曲。在变形开始时变形程度较小，坯料变形区应力最大的内、 外表面的材料没有产生屈服，变形区内材料仅为弹性变形。此时的切向应力 分布如图3-1a所示。 2)弹-塑性弯曲。随着变形的增大，坯料变形区内、外表面材料首 先屈服，进入塑性变形状态。随着变形的进一步增大，塑性变形由表面向中 心逐步扩展。切向应力分布如图3-1b。 3)纯塑性弯曲。变形到一定程度，整个变形区的材料完全处于塑性变形 状态。切向应力分布如图3-11c。 弯曲变形过程 在压力机上采用压弯模具对板料进行压弯是弯曲工艺中运用最多的方法。弯曲变形的过程一般经历弹性弯曲变形、弹-塑性弯曲变形、塑性弯曲变形三个阶段。现以常见的V 形件弯曲为例，如图1 所示。板料从平面弯曲成一定角度和形状，其变形过程是围绕着弯曲圆角区域展开的，弯曲圆角区域为主要变形 区。 弯曲开始时，模具的凸、凹模分别与板料在 A 、B 处相接触。设凸模在 A 处施加的弯曲力为 2F （见图 1 a ）。这时在 B 处（凹模与板料的接触支点则产生反作用力并与弯曲力构成弯曲力矩M = F·（L 1 /2），使板料产生弯曲。在弯曲的开始阶段，弯曲圆角半径r 很大，弯曲力矩很小,仅引起材料的弹性弯曲变形。

图1 弯曲过程 随着凸模进入凹模深度的增大，凹模与板料的接触处位置发生变化，支点 B 沿凹模斜面不断下移，弯曲力臂 L 逐渐减小，即 L n < L 3 < L 2 < L 1 。同时弯曲圆角半径 r 亦逐渐减小，即 r n < r 3 < r 2 < r 1 ，板料的弯曲变形程度进一步加大。 弯曲变形程度可以用相对弯曲半径 r/t表示，t为板料的厚度。 r/t越小，表明弯曲变形程度越大。一般认为当相对弯曲半径r/t>200时，弯曲区材料即开始进入弹-塑性弯曲阶段，毛坯变形区内（弯曲半径发生变化的部分）料厚的内外表面首先开始出现塑性变形，随后塑性变形向毛坯内部扩展。在弹-塑性弯曲变形过程中，促使材料变形的弯曲力矩逐渐增大，弯曲力臂L继续减小，弯曲力则不断加大。 凸模继续下行，当相对弯曲半径 r/t<200时，变形由弹 -塑性弯曲逐渐过渡到塑性变形。这时弯曲圆角变形区内弹性变形部分所占比例已经很小，可以忽略不计，视板料截面都已进入塑性变形状态。最终，B 点以上部分在与凸模的V形斜面接触后被反向弯曲，再与凹模斜面逐渐靠紧，直至板料与凸、凹模完全贴紧。 若弯曲终了时，凸模与板料、凹模三者贴合后凸模不再下压，称为自由弯曲。若凸模再下压，对板料再增加一定的压力，则称为校正弯曲,这时弯曲力将急剧上升。校正弯曲与自由弯曲的凸模下止点位置是不同的，校正弯曲使弯曲件在下止点受到刚性镦压，减小了工件的回弹（进一步论述见本章第 3.2.2节）。

测试题-弯曲应力(答案)

班级： 学号： 姓名： 《工程力学》弯曲应力测试题 一、判断题（每小题2分，共20分） 1、弯曲变形梁，其外力、外力偶作用在梁的纵向对称面内，梁产生对称弯曲。 （ √ ） 2、铁路的钢轨制成工字形，只是为了节省材料。 （ × ） 3、为了提高梁的强度和刚度，只能通过增加梁的支撑的办法来实现。 （ × ） 4、中性轴是中性层与横截面的交线。 （ √ ） 5、最大弯矩M max 只可能发生在集中力F 作用处，因此只需校核此截面强度是否满足梁的 强度条件。 （ × ） 6、大多数梁只进行弯曲正应力强度校核，而不计算弯曲切应力，这是因为他们横截面上只有正应力存在。 （ × ） 7、抗弯截面系数仅与截面形状和尺寸有关，与材料种类无关。 （ √ ） 8、矩形截面梁，若其截面高度和宽度都增加一倍，则强度提高到原来的16倍。 （ × ） 9、在梁的弯曲正应力公式中，I z 为梁截面对于形心轴的惯性矩。 （ √ ） 10、梁弯曲最合理的截面形状，是在横截面积相同条件下W z 值最大的截面形状。 （ √ ） 二、单项选择题（每小题2分，共20分） 1、材料弯曲变形后（ B ）长度不变。 A ．外层 B ．中性层 C ．内层 2、梁弯曲时横截面上的最大正应力在（ C ）。 A. 中性轴上 B. 对称轴上 C. 离中性轴最远处的边缘上 3、一圆截面悬臂梁，受力弯曲变形时，若其它条件不变，而直径增加一倍，则其最大正 应力是原来的（ A ）倍。 A. 8 1 B. 8 C. 2 D. 21 4、图示受横力弯曲的简支梁产生纯弯曲变形的梁段是（ D ） A. AC 段 B. CD 段 C. DB 段 D. 不存在 5、由梁弯曲时的平面假设，经变形几何关系分析得到（ C ） A. 中性轴通过截面形心 B. 梁只产生平面弯曲；

材料力学的习地的题目册标准详解-第6章弯曲变形

第六章弯曲变形 一、是非判断题 1．梁的挠曲线近似微分方程为EIy’’=M（x）。（√）2．梁上弯矩最大的截面，挠度也最大，弯矩为零的截面，转角为零。（×）3．两根几何尺寸、支撑条件完全相同的静定梁，只要所受载荷相同，则两梁所对应的截面的挠度及转角相同，而与梁的材料是 否相同无关。（×）4．等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的曲率最大值发生在转角等于零的截面处。（×）5．若梁上中间铰链处无集中力偶作用，则中间铰链左右两侧截面的挠度相等，转角不等。（√）6．简支梁的抗弯刚度EI相同，在梁中间受载荷F相同，当梁的跨度增大一倍后，其最大挠度增加四倍。（×）7．当一个梁同时受几个力作用时，某截面的挠度和转角就等于每一个单独作用下该截面的挠度和转角的代数和。（√）8．弯矩突变的截面转角也有突变。（×） 二、选择题 1. 梁的挠度是（D） A 横截面上任一点沿梁轴线方向的位移 B 横截面形心沿梁轴方向的位移 C横截面形心沿梁轴方向的线位移

D 横截面形心的位移 2. 在下列关于挠度、转角正负号的概念中，（B）是正确的。 A 转角的正负号与坐标系有关，挠度的正负号与坐标系无关 B 转角的正负号与坐标系无关，挠度的正负号与坐标系有关 C 转角和挠度的正负号均与坐标系有关 D 转角和挠度的正负号均与坐标系无关 3. 挠曲线近似微分方程在（D）条件下成立。 A 梁的变形属于小变形 B 材料服从胡克定律 C 挠曲线在xoy平面内 D 同时满足A、B、C 4. 等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的最大曲率发生在（D）处。 A 挠度最大 B 转角最大 C 剪力最大 D 弯矩最大 5. 两简支梁，一根为刚，一根为铜，已知它们的抗弯刚度相同。跨中作用有相同的力F，二者的（B）不同。 A支反力 B 最大正应力 C 最大挠度 D最大转角6. 某悬臂梁其刚度为EI，跨度为l，自由端作用有力F。为减小最大挠度，则下列方案中最佳方案是（B） A 梁长改为l /2，惯性矩改为I/8 B 梁长改为3 l /4，惯性矩改为I/2 C 梁长改为5 l /4，惯性矩改为3I/2 D 梁长改为3 l /2，惯性矩改为I/4 7. 已知等截面直梁在某一段上的挠曲线方程为： y(x)=Ax2(4lx - 6l2-x2)，则该段梁上（B）

弯曲应力计算

第7章弯曲应力 7.1 引言 前一章讨论了梁在弯曲时的内力——剪力和弯矩。但是，要解决梁的弯曲强度问题，只了解梁的内力是不够的，还必须研究梁的弯曲应力，应该知道梁在弯曲时，横截面上有什么应力，如何计算各点的应力。 在一般情况下，横截面上有两种内力——剪力和弯矩。由于剪力是横截面上切向内力系的合力，所以它必然与切应力有关；而弯矩是横截面上法向内力系的合力偶矩， F时，就必然有切应力τ；所以它必然与正应力有关。由此可见，梁横截面上有剪力 Q 有弯矩M时，就必然有正应力 。为了解决梁的强度问题，本章将分别研究正应力与切应力的计算。 7.2 弯曲正应力 7.2.1 纯弯曲梁的正应力 由前节知道，正应力只与横截面上的弯矩有关，而与剪力无关。因此，以横截面上只有弯矩，而无剪力作用的弯曲情况来讨论弯曲正应力问题。 在梁的各横截面上只 有弯矩，而剪力为零的弯 曲，称为纯弯曲。如果在 梁的各横截面上，同时存 在着剪力和弯矩两种内 力，这种弯曲称为横力弯 曲或剪切弯曲。例如在图 7-1所示的简支梁中，BC 段为纯弯曲，AB段和CD 段为横力弯曲。 分析纯弯曲梁横截面 上正应力的方法、步骤与 分析圆轴扭转时横截面上 切应力一样，需要综合考 虑问题的变形方面、物理 方面和静力学方面。图7-1 变形方面为了研究与横截面上正应力相应的纵向线应变，首先观察梁在纯弯曲时的变形现象。为此，取一根具有纵向对称面的等直梁，例如图7-2(a)所示的矩形截

面梁，并在梁的侧面上画出垂直于轴线的横向线m -m 、n -n 和平行于轴线的纵向线d -d 、b -b 。然后在梁的两端加一对大小相等、方向相反的力偶e M ，使梁产生纯弯曲。此时可以观察到如下的变形现象。 纵向线弯曲后变成了弧线''a a 、''b b , 靠顶面的aa 线缩短了，靠底面的bb 线伸长了。横向线m -m 、n -n 在梁变形后仍为直线，但相对转过了一定的角度，且仍与弯曲了的纵向线保持正交，如图7-2(b)所示。 梁内部的变形情况无法直接观察，但根据梁表面的变形现象对梁内部的变形进行如下假设： (1) 平面假设 梁所有的横截面变形后仍为平面．且仍垂直于变形后的梁的轴线。 (2) 单向受力假设 认为梁由许许多多根纵向纤维组成，各纤维之间没有相互挤压，每根纤维均处于拉伸或压缩的单向受力状态。 根据平面假设，前面由实验观察到的变形现象已经可以推广到梁的内部。即梁在纯弯曲变形时，横截面保持平面并作相对转动，靠近上面部分的纵向纤维缩短，靠近下面部分的纵向纤维伸长。由于变形的连续性，中间必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短，这层纤维称为中性层(图7-3)。中性层与横截面的交线称为中性轴。由于外力偶作用在梁的纵向对称面内因此梁的变形也应该对称于此平面，在横截面上就是对称于对称轴。所以中性轴必然垂直于对称轴，但具体在哪个位置上，目前还不能确定。 考察纯弯曲梁某一微段dx 的变形(图7-4)。设弯曲变形以后，微段左右两横截面的相对转角为d θ，则距中性层为y 处的任一层纵向纤维bb 变形后的弧长为 θy ρb'b')d (+= 式中，ρ为中性层的曲率半径。该层纤维变形前的长度与中性层处纵向纤维OO 长度相等，又因为变形前、后中性层内纤维OO 的长度不变，故有 θρO'O'OO bb d === 由此得距中性层为y 处的任一层纵向纤维的线应变 ρ y θρθρθy)(ρbb bb b'b'ε=-+=-=d d d (a)

弯曲时的内力和应力

一、填空题： 1 的作用。 3、矩形截面梁弯曲时，其横截面上的剪力作用线必然________于外力并通过截面________。 5、梁弯曲时，任一横截面上的弯矩可通过该截面一侧（左侧或右侧）的外力确定，它等于该一侧所有外力对________ 力矩的代数和。 7、用截面法确定梁横截面上的剪力时，若截面右侧的外力合力向上，则剪力为______。 9、将一悬臂梁的自重简化为均布载荷，设其载荷集度为q，梁长为L，由此可知在距固定端L/2处的横截面上的剪力 为_________，固定端处横截面上的弯矩为__________。 10、在梁的集中力偶左、右两侧无限接近的横截面上，剪力相等，而弯矩则发生_______，_________值等于梁上集中 力偶的力偶矩。 11、剪力图和弯矩图是通过________和___________的函数图象表示的。 18、在梁的某一段内，若无分布载荷q（X）的作用，则剪力图是__________于X轴的直线。 19、在梁的弯矩图上，某一横截面上的弯矩有极值（极大值或极小值），该极值必发生在对应于剪力___________的横 截面上。 21、梁在发生弯曲变形的同时伴有剪切变形,这种平面弯曲称为__________弯曲。 24、梁在弯曲时的中性轴，就是梁的___________与横截面的交线。 28、梁弯曲时,横截面中性轴上各点的正应力等于零,而距中性轴________处的各正应力为最大。 29、梁弯曲变形后，以中性层为界，靠__________边的一侧纵向纤维受压力作用,而靠__________边的一侧纵向纤维受 拉应力作用。 31、等截面梁内的最大正应力总是出现在最大___________所在的横截面上。 32、在平面弯曲的情况下，梁变形后的轴线将成为一条连续而光滑的平面曲线，此曲线被称为_______。 33、梁在平面弯曲变形时的转角，实际上是指梁的横截面绕其________这条线所转动的角度。 二、判断题： 1、以弯曲为主要变形的杆件，只要外力均作用在过轴的纵向平面内，杆件就有可能发生平面弯曲。（） 3、梁发生平面弯曲时，其轴线必然弯成位于外力作用面内的平面曲线。（） 4、通常将安装在车床刀架上的车刀简化为悬臂梁。（） 5、梁横截面上的剪力，在数值上等于作用在此截面任一侧（左侧或右侧）梁上所有外力的代数和。（） 6、用截面法确定梁横截面的剪力或弯矩时，若分别取截面以左或以右为研究对象，则所得到的剪力或弯矩的符号通常 是相反的。（） 9、梁的最大弯矩值必定出现在剪力为零的截面处。（） 10、在简支梁上有一移动的集中载荷作用，要使梁内产生的弯矩为最大，此集中载荷并不一定作用在梁跨度中央。（） 11、梁上某一横截面的弯矩等于作用于此截面任一侧（左侧或右侧）梁上所有外力对截面形心力矩的代数和，利用此 规律，可不列出平衡方程，就能直接确定横截面弯矩值的大小。（） 14、若梁某段内各横截面上的弯矩均为零，则该段内各横截面上的剪力也均为零。（） 17、在梁某一段内的各个横截面上的，若剪力均为零，则该段内的弯矩必为常量。（） 20、梁的弯矩图上某一点的弯矩值为零，该点所对应的剪力图上的剪力值也一定为零。（） 23、从左向右检查所绘剪力图的正误时，可以看出，凡集中力作用处，剪力图发生突变，突变值的大小与方向和集中 力相同，若集中力向上，则剪力图向上突变，突变值为集中力大小。（） 24、在梁上集中力偶作用处，其弯矩图有突变，而所对应的剪力图为水平线，并由正值变为负值或由负值变为正值， 但其绝对值是相同的。（） 30、梁弯曲时，梁内有一层既不受拉又不受压的纵向纤维就是中性层。（） 35、弯曲正应力公式是由矩形截面梁推导出的，故只适用于纯弯曲，而不适用于横力弯曲。（） 三、选择题： 1、工程实际中产生弯曲变形的杆件，如火车机车轮轴、房屋建筑的楼板主梁，在得到计算简图时，需将其支承方式简 化为：（）

第7章_梁的弯曲变形分析

第7章 梁的弯曲变形与刚度 7.1 梁弯曲变形的基本概念 7.1.1 挠度 在线弹性小变形条件下，梁在横力作用时将产生平面弯曲，则梁轴线由原来的直线变为纵向对称面内的一条平面曲线，很明显，该曲线是连续的光滑的曲线，这条曲线称为梁的挠曲线（图7-2）。 梁轴线上某点在梁变形后沿竖直方向的位移（横向位移）称为该点的挠度。在小变形情况下，梁轴线上各点在梁变形后沿轴线方向的位移（水平位移）可以证明是横向位移的高阶小量，因而可以忽略不计。 挠曲线的曲线方程： )(x w w = （7-1） 称为挠曲线方程或挠度函数。实际上就是轴线上各点的挠度，一般情况下规定：挠度沿y 轴的正向（向上）为正，沿y 轴的负向（向下）为负（图7-4）。 必须注意，梁的坐标系的选取可以是任意的，即坐标原点可以放在梁轴线的任意地方，另外，由于梁的挠度函数往往在梁中是分段函数，因此，梁的坐标系可采用整体坐标也可采用局部坐标。 7.1.2 转角 梁变形后其横截面在纵向对称面内相对于原有位置转动的角度称为转角（图7-3）。 转角随梁轴线变化的函数： )(x θθ= （7-2） 称为转角方程或转角函数。 由图7-3可以看出，转角实质上就是挠曲线的切线与梁的轴线坐标轴x 的正方向之间的夹角。所以有：x x w d ) (d tan = θ,由于梁的变形是小变形，则梁的挠度和转角都很小，所以θ和θtan 是同阶小量，即：θθtan ≈，于是有： 图7-2 梁的挠曲线 图7-3 梁的转角 ) (x

x x w x d ) (d )(= θ （7-3） 即转角函数等于挠度函数对x 的一阶导数。一般情况下规定：转角逆时针转动时为正，而顺时针转动时为负（图7-4）。 需要注意，转角函数和挠度函数必须在相同的坐标系下描述，由式（7-3）可知，如果挠度函数在梁中是分段函数，则转角函数亦是分段数目相同的分段函数。 7.1.3 梁的变形 材料力学中梁的变形通常指的就是梁的挠度和转角。但实际上梁的挠度和转角并不是梁的变形，它们和梁的变形之间有联系也有本质的差别。 如图7-5（a ）所示的悬臂梁和图7-5（b ）所示的中间铰梁，在图示载荷作用下，悬臂梁和中间铰梁的右半部分中无任何内力，在第二章曾强调过：杆件的内力和杆件的变形是一一对应的，即有什么样的内力就有与之相应的变形，有轴力则杆件将产生拉伸或压缩变形，有扭矩则杆件将产生扭转变形，有剪力则杆件将产生剪切变形，有弯矩则杆件将产生弯曲变形。若无某种内力，则杆件也没有与之相应的变形。因此，图示悬臂梁和中间铰梁的右半部分没有变形，它们将始终保持直线状态，但是，悬臂梁和中间铰梁的右半部分却存在挠度和转角！ 事实上，材料力学中所说的梁的变形，即梁的挠度和转角实质上是梁的横向线位移以及梁截面的角位移，也就是说，挠度和转角是梁的位移而不是梁的变形。回想拉压杆以及圆轴扭转的变形，拉压杆的变形是杆件的伸长l ?，圆轴扭转变形是截面间的转角?，它们实质上也是杆件的位移，l ?是拉压杆一端相对于另一端的线位移，而?是扭转圆轴一端相对于另一端的角位移，但拉压杆以及圆轴扭转的这种位移总是和其变形共存的，即只要有位移则杆件一定产生了变形，反之只要有变形就一定存在这种位移（至少某段杆件存在这种位移）。但梁的变形与梁的挠度和转角之间就不一定是共存的，这一结论可以从上面对图7-5（a ）所示的悬臂梁和图7-5（b ）所示的中间铰梁的分析得到。 图7-4 梁的挠度和转角的符号 x x (a) 正的挠度和转角 (b) 负的挠度和转角 (a) 悬臂梁的变形 (b)中间铰梁的变形 图7-5 挠度和转角实质上是梁的位移 无变形