圆锥曲线知识点总结版
圆锥 曲线的方程与性质 1．椭圆 （1）椭圆概念 平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。 椭圆的标准方程为： 22 221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或 122 22=+b x a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。 注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222b a c =-； ②在22221x y a b +=和22 221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位 置，只要看2 x 和2 y 的分母的大小。例如椭圆22 1x y m n +=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。 （2）椭圆的性质 ①范围：由标准方程22 221x y a b +=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里； ②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称。 所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原
点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心； ③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ， a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在22Rt OB F ?中， 2||OB b =，2||OF c =，22||B F a =，且2222222||||||OF B F OB =-，即222c a b =-； ④离心率：椭圆的焦距与长轴的比c e a =叫椭圆的离心率。∵0a c >>，∴ 01e <<，且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆。当且仅当a b =时，0c =，两焦点重合，图形变为圆，方程为222x y a +=。 2．双曲线 （1）双曲线的概念 平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（12||||||2PF PF a -=）。 注意：①式中是差的绝对值，在1202||a F F <<条件下；12||||2PF PF a -=时为双曲线的一支； 21||||2PF PF a -=时为双曲线的另一支（含1F 的一支）；②当122||a F F =时，12||||||2PF PF a -=表示两条射线； ③当122||a F F >时，12||||||2PF PF a -=不表示任何图形；④两定点12,F F 叫做双曲线的焦点，12||F F 叫做焦距。 （2）双曲线的性质
圆锥曲线-直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线位置关系 一、基础知识： （一）直线与椭圆位置关系 1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点） 2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定， 下面以直线y kx m =+和椭圆：()22 2210x y a b a b +=>>为例 （1）联立直线与椭圆方程：222222 y kx m b x a y a b =+??+=? （2）确定主变量x （或y ）并通过直线方程消去另一变量y （或x ），代入椭圆方程得到关于主变量的一元二次方程：() 2 22 2 22b x a kx m a b ++=，整理可得： ()22 222222220a k b x a kxm a m a b +++-= （3）通过计算判别式?的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系 ① 0?>?方程有两个不同实根?直线与椭圆相交 ② 0?=?方程有两个相同实根?直线与椭圆相切 ③ 0?>为例： （1）联立直线与双曲线方程：22 2 2 22 y kx m b x a y a b =+?? -=?，消元代入后可得： ()()2 2222222220b a k x a kxm a m a b ---+= （2）与椭圆不同，在椭圆中，因为2 2 2 0a k b +>，所以消元后的方程一定是二次方程，但双曲线中，消元后的方程二次项系数为2 2 2 b a k -，有可能为零。所以要分情况进行讨论
圆锥曲线教学设计
圆锥曲线 一、教学内容分析 圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质属性,它是无数次实践后的高度抽象.恰当地利用定义解题,许多时候能以简驭繁.因此,在学习了椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程、几何性质后,再一次强调定义,学会利用圆锥曲线定义来熟练的解题”。 二、学生学习情况分析 我所任教班级的学生参与课堂教学活动的积极性强，思维活跃，但计算能力较差，推理能力较弱，使用数学语言的表达能力也略显不足。 三、设计思想 由于这部分知识较为抽象,如果离开感性认识,容易使学生陷入困境,降低学习热情.在教学时,借助多媒体动画,引导学生主动发现问题、解决问题,主动参与教学,在轻松愉快的环境中发现、获取新知,提高教学效率. 四、教学目标 1.深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义，能灵活应用定义解决问题;熟练掌握焦点坐标、顶点坐标、焦距、离心率、准线方程、渐近线、焦半径等概念和求法;能结合平面几何的基本知识求解圆锥曲线的方程。 2.通过对练习,强化对圆锥曲线定义的理解，提高分析、解决问题的能力;通过对问题的不断引申,精心设问,引导学生学习解题的一般方法。 3.借助多媒体辅助教学,激发学习数学的兴趣.
五、教学重点与难点: 教学重点 1.对圆锥曲线定义的理解 2.利用圆锥曲线的定义求“最值” 3.“定义法”求轨迹方程 教学难点: 巧用圆锥曲线定义解题 六、教学过程设计 【设计思路】 (一)开门见山，提出问题 一上课，我就直截了当地给出—— 例题1:(1) 已知A(-2，0)，B(2，0)动点M满足|MA|+|MB|=2，则点M的轨迹是( )。 (A)椭圆(B)双曲线(C)线段(D)不存在 (2)已知动点M(x，y)满足(x1)2(y2)2|3x4y|，则点M的轨迹是( )。 (A)椭圆(B)双曲线(C)抛物线(D)两条相交直线 【设计意图】
圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)基础知识及常用结论
圆锥曲线必背口诀(红字为口诀)-椭圆 一、椭圆定义 定点为焦点，定值为长轴.（定值=2a ） 椭圆.定点为焦点，定直线为准线，定值为离心率.（定值=e ） 定点为短轴顶点，定值为负值. （定值2k e 1=-） 二、椭圆的性质定理 长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理① 准线方程准焦距，a 方、b 方除以c ② 通径等于 2 e p ，切线方程用代替③ 焦三角形计面积，半角正切连乘b ④ 注解： 1长轴2a =，短轴2b =，焦距2c =，则：222a b c =+ 2准线方程：2 a x c = （ a 方除以c ） 3椭圆的通径 d ：过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距
离称为椭圆的通径.（通径22 c b 2b 2a c a d 2ep =??==） 过椭圆上00x y (,)点的切线方程，用00x y (,)等效代替椭圆方程得到. 等效代替后的是切线方程是：0022x x y y 1a b += 4、焦三角形计面积，半角正切连乘b 焦三角形：以椭圆的两个焦点12F F ,为顶点，另一个顶点P 在椭圆上的三角形称为焦三角形.半角是指12F PF θ=∠的一半. 则焦三角形的面积为：2 S b 2 tan θ = 证明：设1PF m =，2PF n =，则m n 2a +=由余弦定理： 222m n 2mn 4c cos θ+-?= 22224a 4b m n 4b ()=-=+- 即：2 2mn 2mn 4b cos θ-?=-，即：22b 1mn (cos )θ=+. 即：2 122b mn PF PF 1||||cos θ==+ 故：12 F PF 1S m n 2sin θ=??△2 2 12b b 211sin sin cos cos θθθθ=? ?=?++ 又：22221222 sin cos sin tan cos cos θθ θ θ θθ = =+ 所以：椭圆的焦点三角形的面积为122 F PF S b 2tan θ ?=. 三、椭圆的相关公式 切线平分焦周角，称为弦切角定理① 1F 2F O x y P m n
2013-2014学年高三数学二轮复习导学案：专题6《圆锥曲线》
课题： 专题 6 圆锥曲线 班级 姓名： 一：高考趋势 回顾 2008～ 2013 年的高考题， 在填空题中主要考查了椭圆的离心率和定义的运用，在解答题中 2010、 2011、 2012 年连续三年考查了直线与椭圆的综合问题，难度较高． 在近四年的圆锥曲线的考查中抛物线和双曲线的考查较少且难度很小，这与考试说明中 A 级要求相符合． 预测在 2014 年的高考题中： (1) 填空题依然是以考查圆锥曲线的几何性质为主，三种圆锥曲线都有可能涉及． (2) 在解答题中可能会出现圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还有可能涉及简单的轨迹方程的求解． 二：课前预习 x 2 ＋y 2 ＝ 1 的离心率 e ＝ 10 ，则 m 的值是 ________． 1．若椭圆 5 m 5 2．若抛物线 2 ＝ 2x 上的一点 M 到坐标原点 O 的距离为 3，则 M 到该抛物线焦 y 点的距离为 ________． 3．双曲线 2x 2－y 2＋6＝ 0 上一个点 P 到一个焦点的距离为 4，则它到另一个焦点 的距离为 ________． 2 2 x ＋ y ＝ 1 的左焦点为 F ，直线 x ＝ m 与椭圆相交于点 A 、 B.当△ FAB 的 4．椭圆 4 3 周长最大时，△ FAB 的面积是 ________． 5．已知椭圆 x 2 y 2 2 ＋ 2＝ 1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、 F 2，离心率为 e ，若椭圆 a b PF 1 上存在点 P ，使得 PF 2＝ e ，则该椭圆离心率 e 的取值范围是 ________． 6．设圆锥曲线 Γ的两个焦点分别为 F 1 ，F 2.若曲线 Γ上存在点 P 满足 |PF 1|∶ |F 1 F 2 |∶ |PF 2|＝ 4∶ 3∶2，则曲线 Γ的离心率等于 ________． 三：课堂研讨 2 2 y 1．已知双曲线 x － ＝ 1，椭圆与该双曲线共焦点，且经过点 (2,3)． (1)求椭圆方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为 A ， B ，右焦点为 F ，直线 l 为椭圆的右准线， N 为 l 上的一动点，且在 x 轴上方，直线 AN 与椭圆交于点 M. ①若 AM ＝ MN ，求∠ AMB 的余弦值； ②设过 A ，F ， N 三点的圆与 y 轴交于 P ， Q 两点，当线段 PQ 的中点为 (0,9) 时，求这个圆的方程． 备 注
67基础 知识讲解 直线与圆锥曲线
直线与圆锥曲线 【学习目标】 1．知识与技能： 通过实例了解椭圆、抛物线、双曲线的共同特征；掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，能够把研究直线与圆锥曲线的位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题． 2．过程与方法： 通过对圆锥曲线共同特征及点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力． 3．情感态度与价值观： 通过对圆锥曲线共同特征及点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生解决问题和分析问题的能力． 【要点梳理】 要点一：圆锥曲线的共同特征 椭圆、抛物线、双曲线都是由不同的平面截一个圆锥面得到的，统称为圆锥曲线，从方程的形式看，三种曲线方程都是二次的，它们具有某些共同特征． 圆锥曲线的共同特征： 圆锥曲线上的点到一个定点F与它到一条定直线l的距离之比为定值e．当0<<1 e时，圆锥曲线是椭圆；当1 e时，圆锥曲线是抛物线．e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线 e 时，圆锥曲线是双曲线；当=1 的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线．可以把它看作圆锥曲线的第二定义． 要点诠释： （1）注意点F不在直线l上，即点F在直线l外．
（2）椭圆、双曲线的准线方程分别如下表所示： 证明过程： （以焦点在x 轴的椭圆和双曲线为例） 已知点P 到定点F ()0c ，的距离与它到定直线2 a l x c =：的距离之比为常数()=,0c e a c a c a >≠且，求点 P 的轨迹． 解法步骤如下： （1）设点：设动点()P x y ，． （2）列式：由题意可知 PF e d =() 2 2 2 x c y c a a x c += （3）化简：由上式可得 ()()2 2 2 2 2 2 2 2 +=a c x a y a a c ① 当0a c >>即1e <时，令()222=0b a c b > ，方程①可化为222222+=b x a y a b ，等式两边同除以22a b ，可 得22 221x y a b +=，即焦点在x 轴上的椭圆． 当0c a >>即1e >时，令()222=0b c a b > ，方程①可化为222222=b x a y a b ，等式两边同除以22a b ，可得
2019届二轮复习 圆锥曲线 学案 (全国通用)
第九讲 圆锥曲线 一、知识方法拓展： 1、直线系方程 若直线1111:0l a x b y c ++=与直线2222:0l a x b y c ++=相交于P ，则它们的线性组合()()1112220a x b y c a x b y c λμ+++++=（,R λμ∈，且不全为0）（*）表示过P 点的直线系。当参数,λμ为一组确定的值时，（*）表示一条过P 点的直线。 特别地，当0λ=时，（*）式即2220a x b y c ++=； 当0μ=时，（*）式即1110a x b y c ++=。 对于12,l l 以外的直线，我们往往只在（*）式中保留一个参数，而使另一个为1. 又若1l 与2l 平行，这时（*）式表示所有与1l 平行的直线。 2、圆锥曲线的第二定义（离心率、准线方程等） 圆锥曲线的统一定义为：平面内到一定点F 与到一条定直线l (点F 不在直线l 上） 的距离之比为常数e 的点的轨迹: 当01e <<时, 点的轨迹是椭圆， 当 1e >时, 点的轨迹是双曲线， 当 1e =时, 点的轨迹是抛物线， 其中e 是圆锥曲线的离心率c e a = ，定点F 是圆锥曲线的焦点， 定直线l 是圆锥曲线的准线，焦点在X 轴上的曲线的准线方程为2 a x c =±。 3、圆锥曲线和直线的参数方程 圆2 2 2 x y r +=的参数方程是cos sin x r y r θ θ=?? =? ，其中θ是参数。 椭圆22 221x y a b +=的参数方程是cos sin x a y b θθ =??=?，其中θ是参数，称为离心角。
双曲线22 221x y a b -=的参数方程是sec tan x a y b θθ =??=?，其中θ是参数。 抛物线2 2y px =的参数方程是2 22x pt y pt ?=?=?，其中t 是参数。 过定点()00,x y ，倾斜角为α的直线参数方程为00cos sin x x t y y t α α=+??=+? ，t 为参数。（关注几 何意义）。 4、圆锥曲线的统一极坐标方程 以圆锥曲线的焦点（椭圆的左焦点、双曲线的右焦点、抛物线的焦点）为极点，过极点引相应准线的垂线的反向延长线为极轴，则圆锥曲线的统一极坐标方程为 1cos ep e ρθ = -，其中e 为离心率，p 是焦点到相应准线的距离。 二、热身练习： 1、（07武大）如果椭圆()222210x y a b a b +=>> 那么双曲线22221x y a b -=的 离心率为（ ） （A （B ）2 （C （D ） 54 【答案】C 【解析】圆锥曲线的离心率c e a = ， 椭圆中：2 2 2 c a b =-∴222 2 34 a b e a -==，得22 4a b = 双曲线中：2222 2254c a b e a a +=== ，得e = C 。
(完整版)圆锥曲线知识点+例题+练习含答案(整理)
圆锥曲线 一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。 其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意：||221F F a >表示椭圆；||221F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹； （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质： 3．常用结论：（1）椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两 点，则2ABF ?的周长= （2）设椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线 交椭圆于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ 二、双曲线：
（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹。 其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意：a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。 ||221F F a =表示两条射线；||221F F a >没有轨迹； （2）双曲线的标准方程、图象及几何性质： 中心在原点，焦点在x 轴上 中心在原点，焦点在y 轴上 标准 方程 )0,0(122 22>>=-b a b y a x )0,0(122 22>>=-b a b x a y 图 形 顶 点 )0,(),0,(21a A a A - ),0(),,0(21a B a B - 对称轴 x 轴，y 轴；虚轴为b 2，实轴为a 2 焦 点 )0,(),0,(21c F c F - ),0(),,0(21c F c F - 焦 距 )0(2||21>=c c F F 222 b a c += 离心率 )1(>= e a c e （离心率越大，开口越大） 渐近线 x a b y ± = x b a y ± = 通 径 22b a （3）双曲线的渐近线： ①求双曲线122 2 2 =-b y a x 的渐近线，可令其右边的1为0，即得022 2 2 =-b y a x ， 因式分解得到0x y a b ±=。 ②与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222y x ； （4）等轴双曲线为222t y x =-2
江苏省宿迁市高中数学第二章圆锥曲线与方程第14课时曲线与方程1导学案无答案苏教版选修
第14课时曲线与方程 【学习目标】 1?了解曲线方程的概念 2 ?能根据曲线方程的概念解决一些简单问题 【问题情境】 前面我们用f(x,y)=O或y=f(x)来表示一条曲线，例如直线的方程，圆的方程以及圆锥曲线 的方程，那么什么是曲线的方程？ 1、曲线的方程，方程的曲线 在直角坐标系中，如果某曲线 C (看作点的集合或适合某种条件的点轨迹)上的点与一 个二元方程f (x, y)=0的实数解建立了如下关系： (1)曲线C上的点的坐标都是___________________ ? (2) ________________________________________________ 以方程f( x, y)=0的解(x,y)为坐标的点都在_______________________________________________ ，那么，方程f (x, y)=0叫做曲 线C的方程，曲线C叫做方程f(x, y)=0的曲线. 1.点与曲线 如果曲线C的方程是f(x,y)=0，那么点P(x o, y o)在曲线C上的充要条件是f (x o, y o)=0 ? 【合作探究】 问题1:观察下表中的方程与曲线，说明它们有怎样的关系？
问题2…若曲线C的方程为k x2+2x+(1+k) y+3=0,(k € R),则曲线C过定点_____________ 问题3.方程x2+xy-x=0表示的曲线是 ________________ . 问题4?至俩个坐标轴距离相等的点所满足的方程是_____________________ .
例1?判断下列结论的对错，并说明理由： (1)过点A ( 3,0 )且垂直于x轴的直线的方程为x=3; (2)到x轴距离为2的点轨迹方程为y=2; (3)到两坐标轴距离乘积等于k的点的轨迹方程为xy=k. 例2. (1)判断点(2,2迈),(3,1)是否在圆x2y216上； (2)已知方程为x2y225的圆过点C ( *''7 , m ,求m的值. 例3.设圆C： (x 1)2y2 1，过原点0作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹 方程. 变式：过P( 2,4 )作两条相互垂直的直线「J,若l i交x轴于A点，交y轴于B点, 求线段AB的中点M的轨迹方程. 例4?已知一座圆拱桥的跨度是36m圆拱高为6m,以圆拱所对的弦AB所在直线为x轴，AB的垂直 y 平分线为y轴，建立直角坐标系x O y (如图)，求圆拱的方程.*
直线与圆锥曲线
直线与圆锥曲线 考情分析： 本节内容是高中数学的重要内容之一，也是历年高考尝试新题的板块，各种解题方法在这里表现得比较充分，尤其是在近几年高考的新课程卷中.平面向量与解几融合在一起，综合性很强，题目多变，解法灵活多样，能充分体现高考的选拔功能. 1、考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程、直线的位置关系，此类题大都属中、低档题，以选择、填空题的形式出现，每年必考. 2、二次曲线的基础知识，直线与二次曲线的普通方程、参数方程，以及普通方程与参数方程的互化，常以选择题、填空题的形式出现属于中档题. 3、有关直线与圆、直线与圆锥曲线的综合题，多以解答题的形式出现，这类题主要考查学生几何知识与代数知识的综合应用，对学生分析问题、解决问题的能力要求较高. 二、考点整合 1、第一部分内容：直线的倾斜角、斜率，直线的方程，两条直线的位置关系；简单的线性规划及其实际应用；曲线和方程、圆的方程. 2、第二部分内容包括椭圆、双曲线、抛物线的定义、性质，以及它们与直线的位置关系的判定，弦长的有关计算、证明等，本部分内容为高考命题的热点. 3、椭圆、双曲线、抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质. 4、椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线，它们的统一性如下： （1）从方程的形式看：在直角坐标系中，这几种曲线的方程都是二元二次方程，所以它们属于二次曲线； （2）从点的集合（或轨迹）的观点看：它们都是与定点和定直线距离的比是常数e 的集合（或轨迹），这个点是它们的焦点，定直线是它们的准线.只是由于离心率e 取值范围的不同，而分为椭圆（10<e ）和抛物线（1=e ）三种曲线； （3）这三种曲线都是由平面截圆锥面得到的截线. 5、坐标法是研究曲线的一种重要方法，本节进一步研究求曲线方程的一般方法，利用曲线的方程讨论曲线的几何性质，以及用坐标法证明简单的几何问题等. 6、椭圆、双曲线、抛物线是常见的曲线，利用它们的方程及几何性质，可以解决一些简单的实际问题；利用方程可以研究它们与直线的交点、相交弦等有关问题. 解析几何的综合问题，主要是以圆锥曲线为载体，考查直线与圆锥曲线的有关性质以及函数、方程、不等式、三角、向量等知识.考查的数学思想有数形结合的思想、分类整合的思想、换元的思想、等价转化的思想等.常见题型有求曲线方程，由方程研究性质以及定值、最值、范围、探索性问题等.这类题目一般难度较大，常作高考题中的压轴题. 三、典例精讲： 例 1 （1）由动点P 向圆12 2 =+y x 作两条切线、PB PA ，切点分别为、B A ， ο60=∠APB ，则动点P 的轨迹方程为______________________. （2）设直线022:=++y x l 关于原点对称的直线为/ l ，若/ l 与椭圆14 2 2 =+y x 的交 点为、B A ，点P 为椭圆上的动点，则使得PAB ?的面积为2 1的点P 的个数为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 （3）已知双曲线的中心在原点，离心率为3，它的一条准线与抛物线x y 42 =的准
圆锥曲线第二定义学案
圆锥曲线第二定义练习学案 1.过抛物线x 4y 2=的焦点F 作直线交抛物线于A （11y x ，）、B （22y x ，），若6x x 21=+，求|AB|的长。 2. 设椭圆22 22b y a x +=1（a>b>0）的右焦点为1F ，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长度等于F 1到准线l 1的距离，求椭圆的离心率。 3. 双曲线13 y x 2 2 =-的右支上一点P ，到左焦点F 1与到右焦点F 2的距离之比为2：1，求点P 的坐标。 4.点P 在椭圆 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P 的横坐标为_______ 5. 抛物线上的两点A 、B 到焦点的距离和是5，则线段AB 的中点到轴的距离为 6. 椭圆内有一点，F 为右焦点，在椭圆上有一点M ，使 之值最小，则点M 的坐标为_______ 7. 已知椭圆)0b a (1b y a x 22 22>>=+，21F F 、分别是左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2=90°，求椭圆的离心率e 的取值范围。 8. 已知点A （32，-），设点F 为椭圆112 y 16x 2 2=+的右焦点，点M 为椭圆上一动点，求|MF |2|MA |+的最小值，并求此时点M 的坐标。 9.椭圆x 2/25+y 2 /9=1上有一点P ，如果它到左准线的距离为5/2，那么P 到右焦点的距离是 。 10. F 2是椭圆x 2/a 2+y 2/b 2=1(a ＞b>0)的右焦点，P(x 0,y 0)是椭圆上任一点，则|PF 2|的值为： A. ex 0-a B. a-ex 0 C. ex 0-a D.e-ax 0 11.过抛物线y 2=4x 的焦点的一条直线交抛物线于A 、B 两点，若线段的中点的横坐标为3，则|AB|= 。 12. 已知椭圆方程为x 2/b 2+y 2/a 2=1(a>b>0)，求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得以它 们的交点为顶点的四边形面积最大，并求相应的四边形的顶点坐标。 13. 已知椭圆x 2/4+y 2/3=1内有一点P(1,-1)，F 为右焦点，椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|值最小，求点M 的坐标
圆锥曲线基础知识
圆锥曲线 1.圆锥曲线的两个定义： （1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．6 21=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）方程 8表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点) 0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）?{ cos sin x a y b ??==（参数方程，其中?为参数），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。如（1）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____（答：11(3,)(,2)22 ---U ）；（2）若R y x ∈,，且62322=+y x ， 则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是___2） （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。如（1）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2 214 x y -=）；（2）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=） （3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2,y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程 1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是__（答：)23,1()1,(Y --∞）
《圆锥曲线的参数方程》教学案
2.3《圆锥曲线的参数方程》教学案 一、教学目标： 知识与技能：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义 过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识. 二、重难点： 教学重点：圆锥曲线参数方程的定义及方法 教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 三、教学方法： 启发、诱导发现教学. 四、教学过程： (一)、复习引入： 1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程. (1)圆222r y x =+参数方程?? ?==θ θ sin cos r y r x (θ为参数) (2)圆2 2 02 0r y y x x =+-)\()(参数方程为：?? ?+=+=θ θ sin cos r y y r x x 00 (θ为参数) 2．写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程. 3．能模仿圆参数方程的推导，写出圆锥曲线的参数方程吗？ (二)、讲解新课： 1.椭圆的参数方程推导：椭圆 12 22 2=+ b y a x 参数方程 ?? ?==θ θ sin cos b y a x (θ为参数)，参数θ的几何意义是以a 为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X 轴正半轴的夹角 2.双曲线的参数方程的推导：双曲线12 22 2=- b y a x 参数方程 ?? ?==θ θ tan sec b y a x (θ为参数)
. 3.抛物线的参数方程：抛物线Px y 22 =参数方程?? ?==Pt y Pt x 222 (t 为参数)，t 为以抛物线上一点(X ，Y)与其顶点连线斜率的倒数. (1)、关于参数几点说明： A.参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义. B.同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样 C.在实际问题中要确定参数的取值范围 (2)、参数方程的意义： 参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中x ，y 分别为曲线上点M 的横坐标和纵坐标. (3)、参数方程求法：(A)建立直角坐标系，设曲线上任一点P 坐标为),(y x ；(B)选取适当的参数；(C)根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P 坐标与参数的函数式；(D)证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程 (4)、关于参数方程中参数的选取：选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单.与运动有关的问题选取时间t 做参数；与旋转的有关问题选取角θ做参数；或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等. 4、椭圆的参数方程常见形式：(1)、椭圆122 22=+b y a x 参数方程 ?? ?==θ θsin cos b y a x (θ 为参数)；椭圆 2 2 221(0)y x b a b a +=>>的参数方程是 c o s s i n (2x b y a θθθθ==≤≤π? 为参数，且0）. (2)、以0 ( ,)y x 为中心焦点的连线平行于x 轴的椭圆的参数方程是 00 cos sin ({x a y b x y θθ θ= +=+为参数）. (3)在利用???==θθ sin cos b y a x 研究椭圆问题时，椭圆上的点的坐标可记作(acos θ，bsin θ). (三)、巩固训练
高考数学一轮 圆锥曲线的综合问题(学案)
§9.8圆锥曲线的综合问题 ★知识梳理★ 1.直线与圆锥曲线C 的位置关系： 将直线l 的方程代入曲线C 的方程，消去y 或者消去x ，得到一个关于x （或y ）的方程ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)交点个数： ①当 a ＝0或a≠0，⊿＝0 时,曲线和直线只有一个交点；②当 a≠0,⊿>0时,曲线和直线有两个交点；③ 当⊿<0 时,曲线和直线没有交点。 (2) 弦长公式： 2.对称问题： 曲线上存在两点关于已知直线对称的条件：①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直（得出斜率）②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点（⊿>0）③曲线上两点的中点在对称直线上。 3.求动点轨迹方程： ①轨迹类型已确定的,一般用待定系数法；②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的,一般用直接法；③一动点随另一动点的变化而变化，一般用代入转移法。 ★重难点突破★ 重点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式；掌握弦中点轨迹的求法； 理解和掌握求曲线方程的方法与步骤，能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值 难点：轨迹方程的求法及圆锥曲线的有关范围与最值问题 重难点：综合运用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题 1.体会“设而不求”在解题中的简化运算功能 ①求弦长时用韦达定理设而不求;②弦中点问题用“点差法”设而不求. 2.体会数学思想方法（以方程思想、转化思想、数形结合思想为主）在解题中运用 问题1：已知点1F 为椭圆15 92 2=+y x 的左焦点，点)1,1(A ，动点P 在椭圆上，则||||1PF PA +的最小值为 . 点拨：设2F 为椭圆的右焦点，利用定义将||1PF 转化为||2PF ，结合图形， ||||6||||21PF PA PF PA -+=+，当2F A P 、、共线时最小，最小值为2-6 ★热点考点题型探析★ 考点1直线与圆锥曲线的位置关系 题型1：交点个数问题 [例1 ] 设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ） A ．[－ 21，2 1 ] B ．[－2，2] C ．[－1，1] D ．[－4，4] 【解题思路】解决直线与圆锥曲线的交点个数问题的通法为判别式法 [解析] 易知抛物线2 8y x =的准线2x =-与x 轴的交点为Q (－2 , 0)， 于是，可设过点Q (－2 , 0)的直线l 的方程为(2)y k x =+， 4)(1 ||1||212212122x x x x k x x k AB ?-+?+=-?+=
圆锥曲线与方程导学案(整理版)
曲线与方程 1．理解曲线的方程、方程的曲线； 2．求曲线的方程． 复习1：画出函数22y x = (12)x -≤≤的图象． 复习2：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线，并写出其方程． 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一： 到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程． 问题：能否写成y x =，为什么？ 新知：曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0F x y =之间， 如果具有以下两个关系： 1．曲线C 上的点的坐标，都是 的解； 2．以方程(,)0F x y =的解为坐标的点，都是 的点， 那么，方程(,)0F x y =叫做这条曲线C 的方程； 曲线C 叫做这个方程(,)0F x y =的曲线． 注意：1? 如果……，那么……； 2? “点”与“解”的两个关系，缺一不可； 3? 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法； 4? 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的． 试试： 1．点(1,)P a 在曲线2250x xy y +-=上，则a =___ ． 2．曲线220x xy by +-=上有点(1,2)Q ，则b = ． 新知：根据已知条件，求出表示曲线的方程． ※ 典型例题 例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数(0)k k >的点的轨迹方程式是xy k =±． 变式：到x 轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是50y -=吗？ 例2设,A B 两点的坐标分别是(1,1)--，(3,7)，求线段AB 的垂直平分线的方程． 变式：已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是(0,3)A ，(2,0)B -，(2,0)C ．中线AO （O 为原点）所在直线的方程是0x =吗？为什么？ 反思：BC 边的中线的方程是0x =吗？ 小结：求曲线的方程的步骤： ①建立适当的坐标系，用(,)M x y 表示曲线上的任意一点的坐标； ②写出适合条件P 的点M 的集合{|()}P M p M =； ③用坐标表示条件P ，列出方程(,)0f x y =； ④将方程(,)0f x y =化为最简形式； ⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． ※ 动手试试 练1．下列方程的曲线分别是什么？ (1) 2x y x = (2) 22 2x y x x -=- (3) log a x y a = 练2．离原点距离为2的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？ ※ 当堂检测
直线与圆锥曲线的位置关系专题复习
直线与圆锥曲线的位置关系 一.知识网络结构： 2. 直线与圆锥曲线的位置关系： ⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。 ⑵.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到ax2 bx c 0。 ① .若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合； 当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。 ② .若a 0，设b2 4ac。a . 0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。 b. 0时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。 c. 0时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。 二.常考题型解读：题型一：直线与椭圆的位置关系： 2 2 例1.椭圆—J 1上的点到直线X 2y .2 0的最大距离是（） 16 4 A.3 B. ,11 C. 2 2 D. . 10 2 2 例2.如果椭圆—y 1的弦被点（4,2）平分，则这条弦所在的直线方程是（） 36 9 A. x 2y 0 B. x 2y 4 0 C. 2x 3y 12 0 D. x 2y 8 0 题型二：直线与双曲线的位置关系： 例3.已知直线L:y kx 1与双曲线C:x2 y2=4。 ⑴若直线L与双曲线C无公共点，求k的范围；⑵若直线L与双曲线C有两个公共点，求k 的范围； ⑶若直线L与双曲线C有一个公共点，求k的范围；⑷若直线L与双曲线C的右支有两个公共点，求k的范围；⑸若直线L与双曲线C的两支各有一个公共点，求k的范围。 题型三：直线与抛物线的位置关系： 例4.在抛物线y2 2x上求一点P,使P到焦点F与P到点A（3,2）的距离之和最小。
