本讲知识点属于计算大板块内容,其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程,可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到,需要进行适当的变形,或者先进行一部分运算,使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分,列项与通项归纳是密不可分的,所以先找通项是裂项的前提,是能力的体现,对学生要求较高。
分数裂项
一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分,使拆分后的项可前后抵消,这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项,常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时,要仔细的观察每项的分子和分母,找出每项分子分母之间具有的相同的关系,找出共有部分,裂项的题目无需复杂的计算,一般都是中间部分消去的过程,这样的话,找到相邻两项的相似部分,让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数,即
1a b ?形式的,这里我们把较小的数写在前面,即a b <,那么有1111()a b b a a b
=-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数,即:
1(1)(2)n n n ?+?+,1(1)(2)(3)
n n n n ?+?+?+形式的,我们有: 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)
n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)
n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征:
(1)分子全部相同,最简单形式为都是1的,复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的,但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
(2)分母上均为几个自然数的乘积形式,并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
(3)分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算:
常见的裂和型运算主要有以下两种形式:
分数裂项计算
教学目标
知识点拨
(1)
11
a b a b
a b a b a b b a
+
=+=+
???
(2)
2222
a b a b a b
a b a b a b b a
+
=+=+
???
裂和型运算与裂差型运算的对比:
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”,裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,同时还有转化为“分数凑整”型的,以达到简化目的。
【例 1】
11111
1223344556
++++=
?????
。
【巩固】
111
...... 101111125960 +++
???
【巩固】
2222 109985443 ++++=????
L
【例 2】1111 11212312100 ++++
++++++
L L
L
公式的变式
1 122
1
+++=
?-
…n n n()
当n分别取1,2,3,……,100时,就有
1 1
2 12 1
12
2 23
1 123
2 34
1 1234
2 45
1 12100
2 100101
=
?
+=
?
++=
?
+++=
?
+++=
?
…
例题精讲
1
111211231
12100
2122232342991002100101
21121231341991001100101
211212131314199110011001101
211101
++++++++++=?+?+?++?+?=??+?+?++?+?=?-+-+-++-+-=?-……………()()() =?
==2100
101
200101
199101 求和公式推导:
S1=1+2+3+4+5
+ S1=5+4+3+2+1
【例 3】 111113355799101
++++=????L
【巩固】 计算:111125133557
2325???++++= ???????L
【巩固】 2512512512512514881212162000200420042008
+++++?????L
【巩固】 计算:3245671255771111161622222929
++++++=??????
3×13×(12?15
)+?
【例 4】 计算:11111111()1288244880120168224288
+++++++?= 方法一:
=(12×4+14×6+16×8+18×10+110×12+112×14+114×16+116×18)×128 =12×(12?14+?+114?116+116?118)×128
方法二: =[18×(1+13+16+110+115+121+128+136)]×128 =16×(22+26+212+220+230+242+256+272) =16×(21×2+22×3+23×4+24×5+25×6+26×7+27×8+28×9) =16×2×(1?12+12?13+?+18?19
)
【巩固】 11111111612203042567290
+++++++=_______
【巩固】 11111113610152128
++++++= 一项隔一项来拆项
=1+1×(1?1)+1+1×(1?1)+1+1×(1?1)+1
【巩固】 计算:1111111112612203042567290
--------= =12?(12?13)??(19?110
)
【巩固】 11111104088154238
++++= 。 =1×(1?1+1?1+?1?1)
【例 5】
7
4.50.16
1111
18
13153563 13 3.75 3.2
3
?+
??
?+++=
?
??-?
&
【例 6】计算:
11111
123420
261220420
+++++
L
=(1+2+?+20)+(1?
1
2
+
1
2
?
1
3
+?+
1
20
?
1
21
)
【巩固】计算:
11111 20082009201020112012
1854108180270
++++= 。
【巩固】计算:11224
26153577
++++=____。
【巩固】计算:1111111 315356399143195 ++++++
【巩固】计算:1511192997019899 2612203097029900
+++++++=
L.
=1?
1
+1?
1
+?+1?
1
=99?(
1
2
+
1
6
+?+
1
9900
)
【例 7】
111 123234789 +++
??????
L
【巩固】计算:
111 1232349899100 +++
??????
L
【巩固】计算:
1111
135246357202224
++++
????????
L
=
1
4
×(
1
1×3
?
1
3×5
+
1
2×4
?
1
4×6
+?+
1
20×22
?
1
22×24
)
【巩固】
9998971
12323434599100101
++++
????????
L
=1?
1
1×2×3
+1?
2
2×3×4
+1?
3
3×4×5
+?1?
99
99×100×101
【例 8】
11111 123423453456678978910 +++???++
???????????????
=
1
3
×(
1
1×2×3
?
1
2×3×4
+?+
1
7×8×9
?
1
8×9×10
)
【例 9】计算:
5719
1232348910
+++=
??????
L.
=
2+3
1×2×3
+
3+4
2×3×4
+?+
9+10
8×9×10
【例 10】
123456 121231234123451234561234567 +++++
?????????????????????
=1?1
+
3
?
1
+
4
?
1
+?+
7?
1
1×2×3×4×5×6×7
【巩固】计算:2399
3!4!100!
+++=
L .
【例 11】
23450
1(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(1250) ++++
?++?++++?+++++++?+++
L
L L
=2×1
2
×(1?
1
1+2
)+3×
1
3
(
1
1+2
?
1
1+2+3
)+?+50×
1
50
×(
1
1+2+?+49
?
1
1+2+?+50
【巩固】
2310
1
112(12)(123)(1239)(12310) ----
?++?++++++?++++
L
L L ()
【例 12】56677889910 56677889910 +++++ -+-+
?????
【巩固】365791113
57612203042
++++++
=
3
+
6
+
5
+
3+4
+
4+5
+
5+6
+
6+7
【巩固】计算:132579101119 3457820212435 ++++++++=
=1
3
+
3
4
+
2
5
+
5
7
+
7
8
+
4+5
4×5
+
3+7
3×7
+
3+8
3×8
+
5+7+7
5×7
【巩固】12379111725 3571220283042 +++++++
【巩固】111112010263827 2330314151119120123124
+++++++++
10
119
=
17?7
17×7
26
120
=
30?4
30×4
38
123
=
41?3
41×3
27
124
=
31?4
31×4
【巩固】计算:
5791113151719 1
612203042567290 -+-+-+-+
【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算