高中数学竞赛专题讲座---代数极值
代数极值
很长时间以来,代数极值问题一直是国内外数学竞赛中的热点问题,以下我们就来讨论这类问题的解法.
一、条件极值问题
例1 设非负实数12,,,n a a a 满足121n a a a +++= ,求
1
2
21311
111n
n
n
n a a a a a a a a a a -+
++
++++++++++ 的最小值.
解:给所求式中的每一个分式分配一个常数1,通分后,再将12n a a a +++ 用常数1代换, 得
121
21
1
1()
21122n n
a a a a a a a a +++++=
=
+++-- ,同理,
2
132
2112n
a a a a a +=
++++- ,……,
11
2112n
n n
a a a a -+=+++- ,令1
11n
i
n
i i j
j a y a a
===
-+
∑
∑,则1
2
222222n
y n a a a +=
+++--- .
为了利用柯西不等式,注意到1
1
(2)221n n
i i i i a n a n ==-=-=-∑∑,则1
1
1
11(21)(2)22n
n n
i i i i i
i
n a a a ===-=-?--∑
∑∑
2
2
1
n i n =??= ?
∑….∴2221n y n n +-…
,即222121n n y n n n -=--….当且仅当 121n a a a n
====
时,上式等号成立.从而,y 有最小值
21
n n -.
评注: 通过添加常数1,再代换常数1使原本复杂的式子简单化,为运用柯西不等式创造了条件. 例2 设1xy =,且0x y >>.求
2
2
x y x y
+-的最小值.
解:由于0x y >>,可设(0)x y y y =+??>,
则
22
2
2
()2()2
x y x y xy
y x y
x y y
+-+?+=
=
--?….
当且仅当y ?=
即2
2
x y =
=
.因此2
2
x y x y
+-
的最小值为评注:引进增量起到了降元的作用. 例3 设,,a b c 为正数,且1abc =,求
11121
21
21
a b c +
+
+++的最小值. 解:设,,(,,)x y z a b c x y z R y
z
x
+
===∈,则
11121
21
21
222y z x a b c y x
z y
x z
+
+=
+
+
++++++.
由柯西不等式得,[(2)(2)(2)]222y
z
x
y y x z z y x x z y x
z y
x z ?
?+++++?+
+
?+++??
2
()x y z ++….
从而,
2
()
1222[(2)(2)(2)]
y z x x y z y x
z y
x z
y y x z z y x x z +++
+
=++++++++…
,即
111121
21
21
a b c +
+
+++….
当且仅当1a b c ===时去等号.故所求最小值为1.
评注:本题直接运用柯西不等式有困难,通过分时代换后则显得比较容易.当然也可先证明
2
3
2
2
2
333
121
a a a
b
c +++…
而得到最小值.
二、多元函数极值问题
例4 设,x y R ∈,求函数22(,)6214672f x y x y xy x y =+---+的最小值. 解:22(,)(7)5(2)3f x y x y y =--+-+,故9,2x y ==时,min 3f =. 评注:配方法是解与二次函数有关最值问题的常用方法.
例5 已知非负实数12,,,n x x x 满足1
12
n
i i x =∑…
,求121
(,,,)(1)n
n i
i f x x x x ==
-∏ 的最小值.
解:当1221,,,,n n n x x x x x --+ 都为定值时,由于111(1)(1)1()n n n n n n x x x x x x -----=-++,
可见,1n n x x --越大,上式的值越小.为此,令11(1,2,,2),,0i i n n n n x x i n x x x x --'''==-=+= , ① 则1111,0n n n n n n n n x x x x x x x x ----''''+=+?=<.∴12121(1)(1)(1)(1)(1)(1)n n x x x x x x -'''------ … 其中121212
n n x x x x x x '''+++=+++ …
.再进行形如①的变换2n -次,即可得
12121(1)(1)(1)1()2
n n x x x x x x --->-+++ …,其中等号当1231,02
n x x x x =
==== 时取得.
∴所求最小值为
12
.
评注:解多元函数最值问题常用逐步调整法.先将函数看作关于其中一个变量的函数,将其它变量看作常数,再对其它变量用同样方法,最终转化为一元函数. 再看一个逐步调整法的例子.
例6 给定实数25a >.对于满足条件5
5
1
1
1i i i i
x a x ==?=∑∑
的所有正实数组12345(,,,,)x x x x x ,试求
{}{}
1234512345m ax ,,,,m in ,,,,x x x x x x x x x x 的最值.
解:由对称性,设12345x x x x x 剟剟,由齐次性,设152341,,,,[1,]x x u x x x u ==∈,
2342342341
1
1
1(,,)(1)(1)a f x x x x x x u u x x x ==+++++++
+2
111++++…,
3,10
u
∴-,
2
.
另一方面,将
34
,
x x看作常数,
2342
2
(,,)(,,0)
a f x x x x
x
β
αγαβγ
==?++>.
2
x>时,f为凸函数,
在
2
1
x=或
2
x u
=时取得最大值.同理,f在
34
,1
x x=或u时取得最大值.
设f取得最大值时,
234
,,
x x x中有k个为u,3k
-个为1,0,1,2
k=.
此时,
1
(31)(31)
k
f ku k u k
u u
=+-+++-++=
22
2
(1)3(1)(4)(41)
u u u u
k k
u u u
--++
-++.f为开口向下的抛物线,对称轴为
3
2
k=,故1
k=或2时,f取得最大值.
234
21
(,,)(23)(3)6()13
a f x x x u u
u u
∴=++=++
(21)
=+
,
∴
u
∴=
{}
{}
12345
12345
m ax,,,,
m in,,,,
x x x x x
x x x x
x
2
2
,
2
??
?
?
??
∈
??
?
???
??
??
.
三、无理函数极值问题
例7
求函数()
f x=-.
解:
由于()
f x=-
=-.
令2
(3,2),(0,1),(,)
A B P x x,则()
f x PA PB
=-.于是,问题转化为在抛物线2
y x
=上求一点P,使PA PB
-最大.
因点A在抛物线下方,点B在抛物线上方,故直线A B和抛物线必相交,交电由方程组
2
121
030
y x
y
x
?=
?
?--
=
?
--
?
确定,消去y,得2
330
x x
--=.由于关于x的二次方程的常数项为负,则方程必有负根.又三角形两边之差小于第三边,所以,当P点位于负根所对应的交点位置时,()
f x
有最大值AB=
评注:本题不必求出交点坐标,从图中也可以看到PA PB
-
例8
求函数()2
f x x
=+.
解:由于()22f x x x =+=+
,可令1,[,]2
2
22
x ππ
θθ-
=
∈-
,
则1
2
2
x θ=
+
.于是5()()11sin()2
2
f x
g θθθθ?==++
=+
+,其中arcsin
?=.
因为[,]
22
ππ
θ∈-
,故[arcsin ,arcsin
]2
2
ππθ?+∈-
+
,从而sin()[θ?+∈-
,
即7()[1]2
g θ∈-,故m in m ax 7()1()2
f x f x =-=
.
评注:三角换元也是解无理函数最值的好方法,常借助于辅助角公式.
例9 求函数y =
的最小值．
解：先求定义域(,0][2,)-∞?+∞，注意到两个根号内的函数在(,0]-∞上都递减，在[2,)+∞上都递增，故原函数亦如此．故min m in{(0),(2)}1y f f ==．当0x =时取到最小值．
评注:运用单调性,简单巧妙.
例10 求函数y =
解:（构造法）：y =(,1)P x 到定点(1,0),(1,0)A B -的距离
之和，故min y =
解法二:y =
≥=≥，当
0x =时，两等号同时成立，故min y =．
例11 对实数x ，求函数48148)(22----=x x x x x f 的最大值．
解：)(x f 的定义域为[6，8]，22)4(168)(--=-=x x x x u ，当6=x 时，12max =u ；
2
2
)
7(14814)(---=---=x x x x v ，当6=x 时，0max =v ，从而当6=x 时)(x f 有最大值3212=．
解法二：)(x f 定义域为[6，8]，令28)(x x x u -=，4814)(2--=x x x v ，x v u 64822-=-．
126480],8,6[≤-≤∴∈x x ， 1202
2
≤-≤∴v u
……（1）．v u y -= ，v y u +=∴代入（1）得：
1222
≤+vy y
，易知0≥y ，0)
7(12
≥--=
x v ……（2）1222
2
≤+≤∴vy y
y
，32≤∴y ，当6=x 时
（1）、（2）同时取等号．故)(x f 有最大值3212=．
解法三：)(x f 的定义域为[6，8]，6
86)6(8)(-+
-=
--
-=x x x x x x x f ，
x -8 ，6
1-+
x x
在[6，8]上是减函数，从而当6=x 时)(x f 有最大值3212=．
评注：联想思维是数学问题解决的重要思维方式，解法一运用知识点：“若)()()(x v x u x f +=，)(),(x v x u 同时在0x x =处取得最大值，则)(x f 在0x x =处取得最大值；解法二运用不等式的放缩法求解；解法三运用知识点“若)(x f 在闭区间[a,b ]上为单调函数，则)(x f 在端点处取得最值”． 四、分式函数极值问题
例12 设,,x y z 是不全为零的实数,求
2
2
2
2xy yz x y z
+++的最大值.
解
:
)
222xy yz ?
???
?
?
+=+
? ?
?
? ? ??
????
?
2222222
11112222a a x y by z x b y z a b a b ??????+++=+++ ? ? ???????
….令1122a b a b =
+=,解得
5
a b ==
.
所以222
2()2
xy yz x y z +++…
.
当且仅当105x z ==时等号成立.
故
2
2
2
2xy yz x y z
+++
2
评注:本题对分子或分母直接运用均值不等式显然达不到目标,∴引入参数,a b 作为待定系数进行代换,再运用均值不等式进行处理,表面上好象增加了变量,实际上却使本来较难解决的问题得以顺利解决.
例13 对所有,,a b c R +∈,
a b c +
+
.
解:
作代换x y z =
=
=
,则,,(0,)x y z ∈+∞.从而,2
2
2
8a
x a bc
=
+,
即
2
2
181
bc x a
=
-.同理,
2
2
2
2
18181,
1ac ab y
b
z
c
-=
-=
.将以上三式相乘,
得2221
11111512x y z ??????
---= ?
? ???????.若1x y z ++<,则01,01,01x y z <<<<<<. 故2
2
2
222222
111(1)(1)(1)111x y z x y z
x y z ??---????---= ? ? ???????22
2
2
[()
]
x x x y z
2
->∑∏
2
2
2
[()(2)]
y z x y z x y z
x y z
+++=
∏
512x y z
=.矛盾.所以1x y z ++….从而,
当a b c ==时,所求最小值为1.
评注:通过整体代换将问题转化为条件最值问题,即在2221
11111512x y z ??????
---= ?
? ???????成立的条件下,求x y z ++的最小值.可先从极端情况探求最小值,再运用反证法进行证明.
例14 已知,,a b c R +∈,求
938432a b c b c
c a
a b
+
+
+++的最小值.
解:对分母进行代换,令3,84,32b c x c a y a b z +=+=+=, 则111131111,,386216
4616
12
a x y z
b x y z
c x y z =-
+
+
=
-
+
=
+
-
.
故9141914961
38432861648a b c y x z x
z y b c
c a
a b x y x z y
z ??????+
+
=
++++
+- ? ? ?+++??????.由均值不等式得 上式1116147
46128616
48
48
?+?+?-
=….当且仅当2,3y x z x ==时等号成立.∴当10,21a c b c ==时,
所求最小值为
4748
.
评注:对于分子与分母均为齐次的分时最值问题,一般最易想到运用柯西不等式处理,但有时很难直接
奏效,此时,进行分母代换时比较明智的选择.
例15 设,,a b c 为正实数,且abc a c b ++=,求2
2
2
2231
1
1
p a b c =-
+
+++的最大值.
解:设tan ,tan ,tan a b c αβγ===,,,(0,
)2
π
αβγ∈.由abc a c b ++=,得1a c b ac
+=-,
即tan tan()βαγ=+,从而βαγ=+.故2222cos 2cos ()3cos p αγγ=-++
2cos 21cos(22)13cos ααγγ=+-+-+2
2sin sin(2)3cos γαγγ=++ 2
2
102sin 3cos 33sin 2sin 3
γγγγ
+=-+剟.因此,当12,sin 2
3
π
αγγ+=
=
,
即2
4
a b c =
==
,m ax 103
p =
.
评注:巧妙地运用三角函数的公式与性质,可以顺利解决许多分式最值问题.
高中数学竞赛专题讲座：三角函数与向量
高中数学竞赛专题讲座：三角函数与向量 一、三角函数部分 1．(集训试题)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别记为a 、b 、c(b ≠1)，且 A C ， A B sin sin 都是方程log b x=log b (4x-4)的根，则△ABC （B ） A ．是等腰三角形，但不是直角三角形 B ．是直角三角形，但不是等腰三角形 C ．是等腰直角三角形 D ．不是等腰三角形，也不是直角三角形 解：由log b x=log b (4x-4)得：x 2-4x+4=0，所以x 1=x 2=2，故C=2A ，sinB=2sinA ， 因A+B+C=180°，所以3A+B=180°，因此sinB=sin3A ，∴3sinA-4sin 3A=2sinA ， ∵sinA(1-4sin 2A)=0，又sinA ≠0，所以sin 2A= 41，而sinA>0，∴sinA=2 1. 因此A=30°,B=90°,C=60°。故选B 。 2．（2006吉林预赛）已知函数y=sinx+acosx 的图象关于x=5π/3对称，则函数y=asinx+cosx 的图象的一条对称轴是（C ） A ．x=π/3 B ．x=2π/3 C ．x=11π/6 D ．x=π 3．2006年南昌市）若三角形的三条高线长分别为12,15,20,则此三角形的形状为( B ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．形状不确定 4．（2006年南昌市）若sin tan a θθ=+,cos cot b θθ=+,则以下诸式中错误的是( B ) A ．sin θ= 11+-b ab B ．cos θ=1 1+-a ab C ．tan cot θθ+=) 1)(1(21)1(2++-+++b a ab b a D ．tan cot θθ-=)1)(1()2)((++++-b a b a b a 5．（2006安徽初赛）已知△ABC 为等腰直角三角形，∠C = 90°，D 、E 为AB 边上的两个点，且点D 在AE 之间， ∠DCE = 45°，则以AD 、DE 、EB 为边长构成的三角形的最大角是 （ ） A ．锐角 B ．钝角 C ．直角 D ．不能确定 6．（2006陕西赛区预赛）若3 3sin cos cos sin ,02θθθθθπ-≥-≤<，则角θ的取值范围是(C) A ．[0, ]4 π B ．[,]4 ππ C ．5[, ]4 4ππ D ．3[,)42 ππ 7．（2006年江苏）在△ABC 中，1tan 2A =，310 cos 10 B =．若△AB C 的最长边为1，则最短边的长为 （ D ） A ．455 B ．355 C ．255 D ．5 5 8．(2005年浙江)设2)(1=x f ，x x x f 2cos sin )(2+=，x x x f 2cos 2 sin )(3+=，24sin )(x x f =，上述函数中，周期函数的个数是（ B ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【解】： 2)(1= x f 是以任何正实数为周期的周期函数；)(2x f 不是周期函数。 因为x sin 是以π21=T 为周期 的周期函数, x 2cos 是以222π =T 为周期的周期函数, 而1T 与2T 之比不是有理数，故)(2x f 不是周期函数。 )(3x f 不是周期函数。 因为2sin x 是以π221=T 为周期的周期函数, x 2cos 是以2 22π =T 为周期的周期函数,
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高中数学竞赛专题讲座（解析几何） 一、基础知识 1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0
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高中数学竞赛专题试题讲座——数列 一、选择题部分 1．（2006年江苏）已知数列{}n a 的通项公式2 2 45 n a n n =-+，则{}n a 的最大项是（ B ） ()A 1a ()B 2a ()C 3a ()D 4a 2（2006安徽初赛）正数列满足()231221,10,103n n n t a a a a a n --===≥，则100lg ()a = （ ） A 、98 B 、99 C 、100 D 、101 3. （2006吉林预赛）对于一个有n 项的数列P=(p 1，p 2，…，p n )，P 的“蔡查罗和”定义为s 1、s 2、…s n 、的算术平均值，其中s k =p 1+p 2+…p k (1≤k≤n )，若数列(p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为 （ A ） A. 2007 B. 2008 C. 2006 D. 1004 4．(集训试题)已知数列{a n }满足3a n+1+a n =4(n ≥1)，且a 1=9，其前n 项之和为S n 。则满足不等式|S n -n-6|<125 1 的最小整数n 是 （ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 解：由递推式得：3(a n+1-1)=-(a n -1)，则{a n -1}是以8为首项，公比为- 3 1 的等比数列， ∴S n -n=(a 1-1)+(a 2-1)+…+(a n -1)= 3 11] )31 (1[8+--n =6-6×(-31)n ，∴|S n -n-6|=6×(31)n <1251，得：3n-1 >250，∴满足条件的最小整数n=7，故选C 。 5．(集训试题)给定数列{x n }，x 1=1，且x n+1= n n x x -+313，则 ∑=2005 1 n n x = （ ） A ．1 B ．-1 C ．2+3 D ．-2+3 解：x n+1= n n x x 3 3 133 - +，令x n =tan αn ，∴x n+1=tan(αn +6 π), ∴x n+6=x n , x 1=1，x 2=2+3, x 3=-2-3, x 4=-1, x 5=-2+3, x 6=2-3, x 7=1，……，∴有 ∑===2005 1 11n n x x 。故选A 。 6、（2006陕西赛区预赛）已知数列{}{}n n a b 、 的前n 项和分别为n A ，n B 记
高中数学竞赛专题讲座---复数
复 数 专题一 复数与数列 复数数列的题目主要体现对复数运算的规律性的把握． 例1 设数列 ,,,,21n z z z 是首项为48，公比为)26(4 1 i +的等比复数列． （1）求4z ． （2）将这个数列中的实数项，不改变原来的次序，从首项开始，排成 ,,,,21n a a a ，试求3a ． （3）求无穷级数 ++++n a a a 21的和． 解：（1）)6sin 6(cos 2 1)26(41ππi i r +=+= ．i r z 2124834==． （2）使r 为实数的最小自然数是6，数列 ,,,,21n a a a 是首项为48，公比为6 r 的等比数列．所以 4 3 3= a ． （3）这个级数是公比8 1 6 - ==r 的无穷等比级数，从而和3 128 ) 8 1(148= --=． 例2 今定义复数列 ,,,,21n a a a 如下，n n ka a a i a i a +=+=+=+1121,31,1（)2≥n ，k 为正的常数．问复数n a 的辐角的正切与哪一个值最接近？（当∞→n 时） 分析：寻求n a 的一般式，再注意取极限的方法以及相关讨论． 解：1+n a 的辐角记作θ，212111)1(a k k k a ka a a n n n n --+++++=+= ． （1）当1=k 时，i n n a a n a n )31()1(211+-+=+-=+，所以)(13 1tan ∞→→+-=n n n θ． （2）当1≠k 时，21111 1)1(a k k k a a n n n --++--=k k k k k n n n ---++ --=-13)13(1111 ∴)()10(1)1(1 3313)13(1tan 1∞→?? ? ??<<>+-→---+=-n k k k k k k k n n n θ． 例3 （1）设在复数列 ,,,,10n z z z 之间有如下关系：),3,2,1)((11 =-=--+n z z z z n n n n α，其中)1(≠αα是常复数．当1,010==z z 时，试将n z 的值用α表示． （2）若（1）中的i 31+=α，求在圆10||=z （z 是复数）的内部总共含有n z 的个数． 解：（1）αα=-=-)(0112z z z z ,2 1223)(αα=-=-z z z z (1) 211)(----=-=-n n n n n z z z z α α 于是，从1≠α得，α α--=11n n z ．
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