Z2、圆锥曲线与解析几何b1、直线与双曲线,位置关系
基础达标演练
一、选择题
1．直线20x y -=与双曲线2
2
14
y x -=的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切
C ．相离
D ．不确定 2．直线3120x y -+=与双曲线2
2
19
x y -=的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切
C ．相离
D ．不确定 3．若直线2y x k =+与双曲线221x y -=相切，则k =（ ）
A
．
C
． D
4．若直线y x k =+与双曲线2
2
18y x -=的右焦点，则这条直线和这条双曲线的交点的坐标是（ ） 选项缺失
【解析】AAC
【例6】过双曲线上任一点P （非顶点）的切线交准线于Q ，F 为此准线对应的焦点，求证：PF QF ⊥． 解答 如图4-2-2，设双曲线的方程为22
221x y a b -=，点P 的坐标为()00,x y ． 过点P 的切线的方程为
00221x x y y a b
-=．① 准线的方程为
2
a x c
=
（其中c ． 由方程①、②得到点Q 的坐标为()2200,b x c a c cy ??- ? ???
． 准线对应的焦点为(),0F c ． 直线PF ，QF 的斜率分别为
00PF y k x c
=-， ()
200020QF
b x
c cy c x k a y c c --==-， 所以1PF QF k k ?=-，
所以PF QF ⊥．
圆锥曲线知识点整理
高二数学圆锥曲线知识整理 解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。 在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。 1、三种圆锥曲线的研究 （1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：? ?????>=0e ,e d |PF ||P ，其中 F 为定点，d 为P 到定直线的距离，如图。 因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。 当0
直线和椭圆(圆锥曲线)常考的题目型
直线和圆锥曲线常考题型 运用的知识： 1、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =-；两条直线垂直，则直线所在的向量120v v = 2、韦达定理：若一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a +=-=。 3、中点坐标公式：1212 ,y 22 x x y y x ++= =，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。 4、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上， 则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， AB = 或者AB = 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 : 14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范围 例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。 设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。 由2(1)y k x y x =+??=?消y 整理，得2222(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得 2 2 4 2 (21)4410k k k ?=--=-+> 即2 1 04 k << ② 由韦达定理，得：2122 21 ,k x x k -+=-121x x =。 则线段AB 的中点为22 211 (,)22k k k --。
【高考精品复习】第九篇 解析几何 第8讲 直线与圆锥曲线的位置关系
第8讲 直线与圆锥曲线的位置关系 【高考会这样考】 1．考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入和设而不求的思想． 2．高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用． 【复习指导】 本讲复习时，应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系．会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题． 基础梳理 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程． 即??? Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0， 消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ＞0?直线与圆锥曲线C 相交； Δ＝0?直线与圆锥曲线C 相切； Δ＜0?直线与圆锥曲线C 无公共点． (2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行． 2．圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长 直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．
高中数学 选修1-1 18.直线与双曲线的位置关系
18.直线与双曲线的位置关系 教学目标 班级_____姓名________ 1.了解直线与双曲线的位置关系. 2.掌握双曲线中弦长问题的解法. 教学过程 一、直线与双曲线的位置关系. 1.直线与双曲线的位置关系. （1）相交：①有两个交点:交点在双曲线同一支或交点在双曲线两支上； ②有一个交点；（直线与渐近线平行时） （2）相切：直线与双曲线相切，只有一个交点.（直线只能与双曲线的一支相切） （3）相离：直线与双曲线无交点. 2.分析直线与双曲线的位置关系. （1）通过斜率分析.（已知直线恒过定点） （2）通过?分析.（注意特殊情况） 3.弦长公式. 设直线方程m kx y +=，直线与双曲线相交，两交点分别为),(11y x A ，),(22y x B . 则 （1）2122124)(1||x x x x k AB -+?+=（联立方程，消y ，应用韦达定理）； （2）2122124)(11||y y y y k AB -+?+ =（联立方程，消x ，应用韦达定理）. 二、例题分析. 1.直线与双曲线的位置关系. 例1：已知双曲线C ：122 2 =-y x ，直线l 过点P )1,1(，当斜率k 为何值时，直线l 与双曲线C ：（1）有一个公共点；（2）有两个公共点；（3）无公共点.
2.双曲线中的弦长问题. 例2：双曲线的两条渐近线的方程为x y 2±=，且经过点)32,3(-，若过双曲线的右焦点F 且倾斜角为 60的直线交双曲线于A 、B 两点，求AB 弦长. 作业：已知斜率为2的直线l 在双曲线12 32 2=-y x 上截得的弦长为4，求直线l 的方程.
高考数学-直线和椭圆(圆锥曲线)常考题型
高考数学 直线和圆锥曲线常考题型 运用的知识： 1、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =-；两条直线垂直，则直线所在的向量120v v =r r g 2、韦达定理：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a +=-=。 3、中点坐标公式：1212,y 22 x x y y x ++= =，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。 4、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上， 则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， AB = 或者AB = 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 : 14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范围 解： 14m m ≤≠且。 例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。 设直线:(1)l y k x =+，0k ≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。 由2 (1)y k x y x =+?? =?消y 整理，得2222 (21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得 2242(21)4410k k k ?=--=-+> 即2 1 04 k << ② 由韦达定理，得：212221 ,k x x k -+=-121x x =。 则线段AB 的中点为22211 (,)22k k k -- 。 线段的垂直平分线方程为：2 21112()22k y x k k k --=--
直线和圆锥曲线的位置关系
聚焦考点直线和圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系是历年高考命题的热点；试题具有一定的综合性，覆盖面大，不仅考查“三基”掌握的情况，而且重点考查学生的作图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算，以及运用数学知识分析问题和解决问题的能力。在近几年的高考中，每年风格都在变换，考查思维的敏捷性，在探索中求创新。 具体来说，这些问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点，如直线被圆锥曲线截得的弦长、弦中点问题，垂直问题，对称问题。与圆锥曲线性质有关的量的取值范围等是近几年命题的新趋向。 纵观近几年高考和各类型考试，可以发现： 1．研究直线与圆锥曲线位置关系的问题，通常有两种方法：一是转化为研究方程组的解的问题，利用直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题（包括公共点个数、与交点坐标有关的问题）转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题；二是运用数形结合，迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系。 2．涉及弦长问题，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，利用差分法较为简便。 3．充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用。灵活应用数形结合的思想、函数思想、等价转化思想、分类讨论思想解题。 热点透析 题型1：直线与圆锥曲线的交点个数问题
例1已知双曲线C:2x2－y2=2与点P(1，2) (1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点. (2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在. 解:(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得 (2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0 .(*) (ⅰ)当2－k2=0,即k=±时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点 (ⅱ)当2－k2≠0,即k≠±时 Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k) ①当Δ=0,即3－2k=0,k=时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点. ②当Δ＞0,即k＜,又k≠±, 故当k＜－或－＜k＜或＜k＜时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点. ③当Δ＜0，即k＞时，方程(*)无解，l与C无交点.
怎样学好圆锥曲线
怎样学好圆锥曲线（解析几何的高考热点与例题解析）圆锥曲线将几何与代数进行了完美结合.借助纯代数的解决手段研究曲线的概念和性质及直线与圆锥曲线的位置关系，从数学家笛卡尔开创了坐标系那天就已经开始. 高考中它依然是重点，主客观题必不可少，易、中、难题皆有.为此需要我们做到： 1.重点掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质.这些都是圆锥曲线的基石，高考中的题目都涉及到这些内容. 2.重视求曲线的方程或曲线的轨迹，此处作为高考解答题的命题对象难度较大.所以要掌握住一般方法：定义法、直接法、待定系数法、相关点法、参数法等. 3.加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习.此处一直为高考的热点.这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决.这样加强了对数学各种能力的考查. 4.重视对数学思想、方法进行归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程. (1)方程思想 解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理，就简化解题运算量. (2)用好函数思想方法 对于圆锥曲线上的一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线的长度及a,b,c,e之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效. (3)掌握坐标法 坐标法是解决有关圆锥曲线问题的基本方法.近几年都考查了坐标法，因此要加强坐标法的训练. 考点一求圆锥曲线方程 求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查学生识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求同学们熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题。 解决这类问题常用定义法和待定系数法。 ●思路方法：一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤。 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. 定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，
专题直线与圆、圆锥曲线知识点
专题 直线与圆、圆锥曲线 一、直线与方程 1、倾斜角与斜率：1 21 2tan x x y y k --= =α 2、直线方程：⑴点斜式：()00x x k y y -=- ⑵斜截式：b kx y += ⑶两点式： 121121y y y y x x x x --=-- ⑷截距式：1x y a b += ⑸一般式：0=++C By Ax 3、对于直线： 222111:,:b x k y l b x k y l +=+=有：⑴???≠=?21 2 121//b b k k l l ； ⑵1l 和2l 相交12k k ?≠；⑶1l 和2l 重合???==?2 12 1b b k k ；⑷12121-=?⊥k k l l . 4、对于直线： 0:, 0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 有：⑴???≠=?122 11 22121//C B C B B A B A l l ；⑵1l 和2l 相交1221B A B A ≠?； ⑶1l 和2l 重合?? ?==?1 2211 221C B C B B A B A ；⑷0212121=+?⊥B B A A l l . 5、两点间距离公式： ()()21221221y y x x P P -+-= 6、点到直线距离公式： 2 2 00B A C By Ax d +++= 7、两平行线间的距离公式： 1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 平行，则2 2 21B A C C d +-= 二、圆与方程 1、圆的方程：⑴标准方程：()()2 2 2 r b y a x =-+-其中圆心为(,)a b ，半径为r . ⑵一般方程：02 2=++++F Ey Dx y x . 其中圆心为(,)22 D E - - ，半径为r = 2、直线与圆的位置关系 直线0=++C By Ax 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:
2020年普通高考数学一轮复习第34讲直线与圆锥曲线的位置关系精品学案
2020年普通高考数学科一轮复习精品学案 第34讲直线与圆锥曲线的位置关系 一?课标要求： 1 ?通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想； 2 ?掌握直线与圆锥曲线的位置关系判定及其相关问题。 二.命题走向 近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置，且选择、填空也有涉及，有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等。分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法，对称的方法及韦达定理等。 预测2020年高考： 1 ?会出现1道关于直线与圆锥曲线的位置关系的解答题； 2 ?与直线、圆锥曲线相结合的综合型考题，等轴双曲线基本不出题，坐标轴平移或平移化简方程一般不出解答题，大多是以选择题形式出现。 三?要点精讲 1 .点M(x0, y0)与圆锥曲线C: f(x , y)=0的位置关系 2 ?直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点。
9 直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究。因为 方程组解的个数与交点的个数是一样的。 直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离?对于抛物线来说，平行于对称 轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双 曲线只有一个交点，但并不相切?这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为： i 殳直线；血+By+c=o,圆ft 曲线C ：虬爲y)=0, 消去y （或消古丈）得匕 az a -bbzH-c=0, A=b 2 -4ac, a^0_ ⑴相交： (2)A<0 ? 相离; ⑶A=0?相切. 注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件， 但不是充分条件. 3 ?直线与圆锥曲线相交的弦长公式 设直线l :y=kx+n ，圆锥曲线:F(x,y)=0，它们的交点为 P i (x i ,y 1) , P 2 (x 2,y 2), 且由 F (X ，y) 0 ，消去 厂ax 2+bx+c=0 (0) , △ =b 2 — 4ac 。 y kx n 则弦长公式为： d=J (x , X 2)2 (% y 2)2=" k 2)% x ?)2 = 。 | PF | 焦点弦长： e (点P 是圆锥曲线上的任意一点， F 是焦点，d 是P 到相应于焦 d 点F 的准线的距离，e 是离心率)。 四?典例解析 r j\x+By + C=0 由/ 琳 y ）=0
2021新高考数学二轮总复习专题突破练25直线与圆及圆锥曲线含解析
专题突破练25 直线与圆及圆锥曲线 1.(2020全国Ⅱ,理19)已知椭圆C 1: x 2a + y 2b =1(a>b>0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合,C 1的中心 与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ,B 两点,交C 2于C ,D 两点,且|CD|=4 3|AB|. (1)求C 1的离心率; (2)设M 是C 1与C 2的公共点.若|MF|=5,求C 1与C 2的标准方程. 2. 已知圆O :x 2+y 2=4,点A (√3,0),以线段AB 为直径的圆内切于圆O ,记点B 的轨迹为Γ. (1)求曲线Γ的方程; (2)直线AB 交圆O 于C ,D 两点,当B 为CD 的中点时,求直线AB 的方程. 3.(2019全国Ⅰ,理19)已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为3 2的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P. (1)若|AF|+|BF|=4,求l 的方程; (2)若AP ????? =3PB ????? ,求|AB|.
4.(2020山东威海一模,20)已知椭圆x2 a2+y2 b2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P(-1,3 2 )是椭圆上 一点,|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项. (1)求椭圆的标准方程; (2)若A为椭圆的右顶点,直线AP与y轴交于点H,过点H的另一条直线与椭圆交于M,N两点,且S△HMA =6S△PHN,求直线MN的方程. 5.(2020重庆名校联盟高三二诊,19)已知椭圆C:x2 a2+y2 b2 =1(a>b>0),F1,F2为椭圆的左、右焦点,P(1,√2 2 ) 为椭圆上一点,且|PF1|=3√2 2 . (1)求椭圆的标准方程; (2)设直线l:x=-2,过点F2的直线交椭圆于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l、直线AB于M,N两点,当∠MAN最小时,求直线AB的方程.
解析几何-- 圆锥曲线的概念及性质
4.2 解析几何-- 圆锥曲线的概念及性质 一、选择题 1．(2010·安徽)双曲线方程为x 2 －2y 2 ＝1，则它的右焦点坐标为 ( ) A. ????22，0 B.????52，0 C.??? ?62，0 D ．(3，0) 解析：∵原方程可化为x 21－y 2 1 2＝1，a 2＝1， b 2＝12， c 2＝a 2＋b 2＝32， ∴右焦点为????6 2 ，0. 答案：C 2．(2010·天津)已知双曲线x 2 a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个 焦点在抛物线y 2 ＝24x 的准线上，则双曲线的方程为 ( ) A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2 108－y 2 36＝1 D.x 2 27－y 2 9 ＝1 解析：∵渐近线方程是y ＝3x ，∴b a ＝ 3.① ∵双曲线的一个焦点在y 2＝24x 的准线上， ∴c ＝6.② 又c 2＝a 2＋b 2，③ 由①②③知，a 2＝9，b 2＝27， 此双曲线方程为x 29－y 2 27＝1. 答案：B
4．(2010·辽宁)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝() A．4 3 B．8 C．8 3 D．16 解析：解法一：AF直线方程为： y＝－3(x－2)， 当x＝－2时，y＝43，∴A(－2,43)． 当y＝43时代入y2＝8x中，x＝6， ∴P(6,43)， ∴|PF|＝|P A|＝6－(－2)＝8.故选B. 解法二：∵P A⊥l，∴PA∥x轴． 又∵∠AFO＝60°，∴∠F AP＝60°， 又由抛物线定义知P A＝PF， ∴△P AF为等边三角形． 又在Rt△AFF′中，FF′＝4， ∴F A＝8，∴P A＝8.故选B. 答案：B 5．高8 m和4 m的两根旗杆笔直竖在水平地面上，且相距10 m，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为() A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线 解析：如图1，假设AB、CD分别为高4 m、8 m的旗杆，P点为地面上观察两旗杆 顶端仰角相等的点，由于∠BPA＝∠DPC，则Rt△ABP∽Rt△CDP，BA P A DC PC ，从而 PC＝2P A.在平面APC上，以AC为x轴，AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图2)，则A(－5,0)，C(5,0)，设P(x，y)，得(x－5)2＋y2＝2(x＋5)2＋y2 化简得x2＋y2＋50 3 x＋25＝0，显然，P点的轨迹为圆．
巩固练习直线与双曲线的位置关系文基础
【巩固练习】 一、选择题 1．双曲线2233x y -=的渐近线方程是( ) A ．3y x =± B ．1 3y x =± C ．y = D ．y x = 2．椭圆22214x y m +=与双曲线22 212 x y m -=有相同的焦点，则m 的值是( ) A ．±1 B ．1 C ．－1 D ．不存在 3．已知双曲线方程为22 1205 x y -=，那么它的半焦距是( ) A ．5 B ．2.5 C. D. 4．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于( ) A ．－14 B ．－4 C ．4 D. 14 5. 已知双曲线的两个焦点为F 1(0)、F 20)，P 是此双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2，则该双曲线的方程是( ) A. 22123x y -= B. 22132x y -= C. 2 214x y -= D ．2 2 14y x -= 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( ) A ．16 B ．18 C ．21 D ．26 二、填空题 7．已知双曲线22 1124 x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是________．
8．过点P (3,0)的直线l 与双曲线4x 2－9y 2＝36只有一个公共点，则这样的直线l 共有________条． 9．已知双曲线22 221x y a b -= (a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，点P 在双曲线右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线离心率e 的最大值为________． 10．设一个圆的圆心在双曲线22 1916 y x -=的上支上，且恰好经过双曲线的上顶点和上焦点，则原点O 到该圆圆心的距离是________． 三、解答题 11.已知双曲线的中心在原点，焦点为F 1 ，F 2（0，），且离心率2e =，求双曲线 的标准方程及其渐近线． 12．设双曲线C ：1:)0(1222 =+>=-y x l a y a x 与直线相交于两个不同的点A 、B ；求双曲线C 的离心率e 的取值范围： 13．设双曲线22 22b y a x -=1（0
第1讲 直线与圆、圆锥曲线的方程与性质
第1讲直线与圆、圆锥曲线的方程与性质 [选题明细表] 知识点、方法题号 直线与圆2,3,13 圆锥曲线的定义与标准方程的应用1,7,8,9,14 圆锥曲线的几何性质5,10,11,16 圆锥曲线的离心率4,6,12,15 一、选择题 1.(2019·武汉模拟)已知F1(-3,0),F2(3,0),若点P(x,y)满足|PF1|- |PF2|=6,则P点的轨迹为( D ) (A)椭圆(B)双曲线 (C)双曲线的一支(D)一条射线 解析:F1(-3,0),F2(3,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=6, 因为|F1F2|=6,则点P的轨迹是一条射线.故选D. 2.过点(0,1)的直线l被圆(x-1)2+y2=4所截得的弦长最短时,直线l 的斜率为( A ) (A)1 (B)-1 (C) (D)- 解析:点(0,1)在圆(x-1)2+y2=4内,要使得过点(0,1)的直线l被圆(x-1)2+y2=4所截得的弦长最短,则该弦以(0,1)为中点,与圆心和(0,1)
的连线垂直,而圆心和(0,1)连线的斜率为=-1,所以所求直线斜率为1,故选A. 3.(2019·合肥三模)已知直线l:x-y-a=0与圆C:(x-3)2+(y+)2=4交于点M,N,点P在圆C上,且∠MPN=,则实数a的值等于( B ) (A)2或10 (B)4或8 (C)6±2(D)6±2 解析:由∠MPN=可得∠MCN=2∠MPN=. 在△MCN中,CM=CN=2,∠CMN=∠CNM=, 可得点C(3,-)到直线MN,即直线l:x-y-a=0的距离为2sin=1. 所以=1,解得a=4或8.故选B. 4.(2019·临沂三模)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆x2+(y-2)2=2所截得的弦长为2,则双曲线C的离心率为( B ) (A) (B)2 (C)(D)2 解析:双曲线C:-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x, 由对称性,不妨取y=x,即bx-ay=0. 圆x2+(y-2)2=2的圆心坐标为(0,2),半径为, 则圆心到渐近线的距离d==1,
高考圆锥曲线解题技巧总结
第五篇 高考解析几何万能解题套路 解析几何——把代数的演绎方法引入几何学，用代数方法来解决几何问题。 与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等，在圆锥曲线的综合应用中经常见到。 第一部分：基础知识 1.概念 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向； （2）在椭圆中，a 最大，222 a b c =+，在双曲线中，c 最大，222c a b =+。 2.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0）， 四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。 （2）双曲线（以22221x y a b -=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时， 称为等轴双曲线，其方程可设为22,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2a x c =±； ⑤离 心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大；⑥两条渐近线：b y x a =±。 （3）抛物线（以22(0)y px p =>为例）：①范围：0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦 点(,0)2 p ，其中p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线2p x =-； ⑤离心率：c e a =，抛物线?1e =。
直线与双曲线位置关系典例精析
直线和双曲线的位置关系 一、要点精讲 1．直线和双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离. 2．弦长公式：设直线 y kx b 交双曲线于 P 1 x 1 , y 1 ， P 2 x 2 , y 2 ， 则 P 1P 2 x 1 x 2 1 k 2 1 k 2 x 1 x 2 2 4x 1 x 2 ， 或 P 1P 2 y 1 y 2 1 1 1 1 y 1 y 2 2 4y 1 y 2 k 0 ． k 2 k 2 二、基础自测 1．经过点 P 1 ,2 且与双曲线 4x 2 y 2 1仅有一个公共点的直线有（ ） 2 (A)4 条 (B) 3 条 (C) 2 条 (D) 1 条 2．直线 y= kx 与双曲线 4x 2 y 2 16 不可能（ ） （ A ）相交 （ B ）只有一个交点 （ C ）相离 （ D ）有两个公共 点 3．过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线 y 2 x 2 的通径长是 16 1 9 (A) 9 (B) 9 (C)9 (D)10 4 2 4 ． 若 一 直 线 l 平 行 于双 曲 线 的 一 条 渐 近线 ， 则 l 与 双 曲线 的公 共 点 个 数 为 ． 解：与双曲线渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个公共点，应注意直线与 双曲线不是相切 5．经过双曲线 x 2 y 2 8 的右焦点且斜率为 2 的直线被双曲线截得的线段的长
是． 6．直线l在双曲线x 2y21上截得的弦长为4，且l的斜率为 2，求直线l的方程．32 三、典例精析 题型一：直线与双曲线的位置关系 1.如果直线y kx 1 与双曲线 x 2y 2 4 没有公共点，求k的取值范围．有两个公共点呢？ 解，所以△ =(b )240 ，所以 b 2 ，e c a2b2 1 ( b )2 5 ，故选D. a a a a a 2．(2010 ·安徽 )若直线 y＝kx＋2与双曲线 x2－ y2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是() A.15 ,15 B. 0,15 C.15 ,0 D.15 ,1 33333 y＝kx＋ 2， 1k 20 2216k2 4 1k210 0 解：由 得 (1－ k )x －－＝，∴，解 x2－y2＝ 64kx 10 0x1x20 x1x20 15 得－3 平面解析几何（直线和圆的方程、圆锥曲线）专题 17.0 圆锥曲线几何性质 如果涉及到其两“焦点”，优先选用圆锥曲线第一定义；如果涉及到其“焦点”、“准线”或“离心 率”，优先选用圆锥曲线第二定义；此外，如果涉及到焦点三角形的问题，也要重视焦半径和三角形中正余弦定理等几何性质的应用? PF t +PF2| =2a》￡沪2方程为椭圆， 椭圆方程的第一定义：PF1- PF2 =2a F I F2无轨迹， PF1 - PF2 =2a = F t F2以F"F2为端点的线段 |PF t _PF2| =2aYF t F2方程为双曲线 双曲线的第一定义：PF1 _PF2 =2a - F1F 2无轨迹 PF i -PF 2 =2a=F i F2以F i,F 2的一个端点的一条射线 圆锥曲线第二定义（统一定义）：平面内到定点F和定直线|的距离之比为常数e的点的轨迹.简言之就是“ e=点点距（数的统一）”，椭圆，双曲线，抛物线相对关系（形的统一）如右图. 点线距 当0 e 1时，轨迹为椭圆； 当e =1时，轨迹为抛物线； 当e -1时，轨迹为双曲线； 当e =0时，轨迹为圆（e =￡，当c =0, a =b时）. a 圆锥曲线的对称性、圆锥曲线的范围、圆锥曲线的特殊点线、圆锥曲线的变化趋势 b =?,1 —e2、双曲线中b . e2 -1 . a a 圆锥曲线的焦半径公式如下图： 特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其“顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几 何性质”，尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点 17.1圆锥曲线中的精要结论: .其中e=c，椭圆中 a a ex a— ex 解析几何专题03圆锥曲线的定义、方程及几何性质 学习目标 （1）理解圆锥曲线的定义，并能正确运用圆锥曲线的定义解决一些简单的问题； （2）掌握圆锥曲线的标准方程，并能熟练运用“待定系数法”求圆锥曲线的方程； （3）能根据圆锥曲线的方程研究圆锥曲线的一些几何性质（尤其是焦点、离心率以及双曲线的渐近线等）。 知识回顾及应用 1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆 (2)双曲线 (3)抛物线 2．圆锥曲线的方程 (1)椭圆的标准方程 (2)双曲线的标准方程 (3)抛物线的标准方程 3．圆锥曲线的几何性质 (1)椭圆的几何性质 (2)双曲线的几何性质 (3)抛物线的几何性质 4．应用所学知识解决问题： 【题目】已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），并且经过点53 (,)22 -， 求椭圆的方程。 答案：22 1106 x y + = 【变式1】写出适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）离心率14 e b = =,焦点在x 轴上； （2）4,a c ==焦点在y 轴上； （3）10,a b c +== 答案：（1）22116x y +=；（2）22 116y x +=；（3）2213616x y + =或2213616 y x +=。 【变式2】写出适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）3a b =,且经过点(3,0)P ； （2）经过两点3(2-。 答案：（1）22 19x y +=或221819y x +=；（2）2214 x y +=。 问题探究（请先阅读课本，再完成下面例题） 【类型一】圆锥曲线的方程 例1．已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆 和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．求这三条曲线的方程。 解：设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p = 24y x ∴= 抛物线方程为: 由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1 对于椭圆，1222a MF MF =++(2 2 2222211321 a a b a c ∴=+∴=+=+∴=-=+∴= 椭圆方程为： 对于双曲线，1222a MF MF '=-= 2222221321 a a b c a '∴='∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为： 练习：1.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为 2 。过1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，那么C 的方程为 。 答案：22 1168 x y + =求圆锥曲线的方程主要采用“待定系数法” 。需要注意的是在求解此类问题时应遵循“先定位，再定量”的原则。注意：当“焦点所在轴不定”时，要有“分类讨论”意识， 直线与双曲线的位置关系和抛物线及其标准方程 知识点1：直线与双曲线的位置关系 1.直线与双曲线的位置关系的判断 设直线y=kx+b ，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)联立消去y 得Ax 2+Bx+C=0（a≠0），Δ=B 2 － 4AC 。 若A=0即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若Δ>0,直线与双曲线相交，有两个交点； 若Δ=0，直线与双曲线相切，有一个交点； 若Δ<0，直线与双曲线相离，无交点； 直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。 2.弦长问题 设直线l:y=kx+n ，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1 (x 1,y 1)，P2 (x 2,y 2)， 且由，消去y→ax 2 +bx+c=0（a≠0），Δ=b 2 －4ac 。 k 为直线斜率） 例题选讲： 例1：直线l ：y ＝kx ＋1与双曲线C ：2x 2 －y 2 ＝1的右支交于不同的两点A 、B ．求实数 k 的取值范围； 解 (1)将直线l 的方程y=kx+1代入双曲线C 的方程2x 2 -y 2 =1后，整理得(k 2 -2)x 2 +2kx+2=0.① 依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点， 故????? k 2－2≠0， Δ＝(2k )2 －8(k 2 － 2)>0，－2k k 2－2>0， 2k 2 －2>0. 解得k 的取值范围是－2 例3：已知椭圆C 1的方程为x 2 4 ＋y 2 ＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而 C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点． (1)求双曲线C 2的方程； (2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB → >2 (其中O 为原点)，求k 的取值范围． 解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2 b 2＝1， 则a 2 ＝4－1＝3，c 2 ＝4，由a 2 ＋b 2 ＝c 2 ，得b 2 ＝1， 故C 2的方程为x 2 3 －y 2 ＝1. (2)将y ＝kx ＋2代入x 2 3－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2 －62kx －9＝0. 由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得 ??? 1－3k 2 ≠0. Δ＝(－62k )2 ＋36(1－3k 2 ) ＝36(1－k 2 )>0. ∴k 2≠13 且k 2 <1. ① 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－9 1－3k 2. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2 ＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2 ＋73k 2－1 . 又∵OA →·OB → >2，得x 1x 2＋y 1y 2>2， ∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解得13 最新高中数学奥数竞赛试题直线和圆，圆锥曲线 课后练习 1．已知点A 为双曲线122=-y x 的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右支上，ABC ?是等边三角形，则ABC ?的面积是 （A ） 33 （B ）2 33 （C ）33 （D ）36 2．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5 4 35+=x y 的距离中的最小值是 （A ）17034 （B ）8534 （C ）201 （D ）30 1 3．若实数x, y 满足(x + 5)2+(y – 12)2=142，则x 2+y 2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 4．直线13 4=+y x 椭圆191622=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 5．设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y ＋b ＝0和曲线bx 2＋ay 2＝ab 的图形是 A B 6．过抛物线y 2＝8(x ＋2)的焦点F 作倾斜角为60o 的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点，则线段PF 的长等于 A ． 3 16 B ． 3 8 C ． 3 3 16 D ．38 7．方程 13 cos 2cos 3sin 2sin 2 2=-+-y x 表示的曲线是 A. 焦点在x 轴上的椭圆 B. 焦点在x 轴上的双曲线 C. 焦点在y 轴上的椭圆 D. 焦点在y 轴上的双曲线 8．在椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 中，记左焦点为F ，右顶点为A ，短轴上方的端点为B 。 若该椭圆的离心率是 2 1 5-，则ABF ∠= 。 9．设F 1，F 2是椭圆14 92 2=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1| : |PF 2|＝2 : 1，则 三角形?PF 1F 2的面积等于______________．平面解析几何(直线和圆的方程圆锥曲线)专题
解析几何专题03圆锥曲线的定义方程及几何性质
直线与双曲线位置关系
16全国高中数学竞赛讲义-直线和圆、圆锥曲线(练习题)
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