高考高三数学一轮复习专题专题 不等式
专题四 不等式
江苏省苏州实验中学徐贻林
【课标要求】 1．课程目标
(1) 不等关系：了解现实世界和日常生活中的一些不等关系．
(2) 一元二次不等式：能从实际情境中抽象出一元二次不等式；了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；掌握一元二次不等式的解法．
(3) 二元一次不等式组与简单线性规划问题：能从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题；并能加以解决（一般的最优整数解问题不作要求）．
(4) ≤
2a b +（a ≥0，b ≥0）≤2
a b
+（a ≥0，b ≥0）；能用基本不等式证明简单不等式（指只用一次基本不等式即可解决的问题）；能
用基本不等式求解简单的最大（小）值问题（指只用一次基本不等式即可解决的问题）．
2．复习要求
（1）不等式是作为描述、刻画现实世界中不等关系的一种数学模型介绍给学生的，复习中要淡化解不等式的技巧性要求，突出不等式的实际背景及其应用，注意不要偏重于从数学到数学的纯理论探讨．
（2）求解一元二次不等式，首先可求出相应方程的根，然后根据相应函数的图象求出不等式的解；也可以运用代数的方法求解．复习中，应注意融入算法的思想，让学生更加清晰地认识不等式求解过程．
（3）不等式有丰富的实际背景，二元一次不等式组是刻画平面区域的重要工具．刻画区域是解决线性规划问题的一个基本步骤，复习中应注意从实际背景中抽象出二元一次不等式组．
（4）线性规划是优化模型之一．教师应引导学生体会线性规划的基本思想，用图解法解决一些简单的线性规划问题，不必引入过多名词．简单的线性规划问题指约束条件不超过四个（x ≥0也看作一个约束条件）的线性目标函数的最大（小）值问题．实际问题中经常会涉及最优整数解问题，复习中可向学生作一些介绍，但在训练和考查中不作要求．
3．复习建议
（1）重视数学思想方法的复习
① 在复习不等式的解法时，加强等价转化思想的训练力度．
② 加强分类讨论思想的复习．在解不等式或证不等式的过程中，如遇到含有参的问题，这时可能要对参数进行不重不漏的讨论．
③ 加强函数与方程思想在不等式中的应用训练． ④ 在不等式的证明中，要加强化归思想的复习． (2) 强化不等式的应用
在复习时应用加强这方面知识和能力的训练，提高应用意识，总结不等式的应用规律，如在实际问题应用中，主要有构造不等式求解或构造函数求函数的最值等方法，在求最值时要注意等号成立的条件，避免不必要的错误，同时还要注意实际情况的限制．
【典型例题】 例1（填空题）
（1）若2
1
2x +≤21
()4
x -，则函数2x y =的值域是． 解析：21
2x
+≤2421()24x x --=，22142230x x x x +≤-+-≤，，31x -≤≤，1
28
y ≤≤． （2）已知函数2,
0;
()2,
0x x f x x x +?=?-+>?≤．
则不等式2()f x x ≥的解集是．
解析：依题意22
0,
0,00112112x x x x x x x x x ??≤>≤≤<≤?≤≤+?--?
?-+≥??
≥或或． （3）已知函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点(1,3)-和(1,1)两点，若01c <<，则a 的取值范围是．
解析：由题意得3,
2,2,021,121a b c a c c a a a a b c -+=?+==-<-<<
++=?
，．
（4）不等式组2222323,
20x x x x x x ?-->--??+-
的解集为__________________．
解析：2
223013,13,,13(2)(1)01020x x x x x x x x x x ?--<-<<-<
??<->+->?
?????．
（5）若关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集，则实数a 的取值范围是． 解析：设()2f x x ax a =--，则关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集
()3f x ?≤-在(),-∞+∞上能成立()min 3f x ?≤-．
（6）已知||(a b c a +<-，b ，c ∈R ），给出下列不等式：①a b c <--；②a b c >-+；
③a b c <-；④||||a b c <-；⑤||||a b c <--．其中一定成立的不等式是（注：把成立的不等式的序号都填上）．
解析：∵||a b c c a b c b c a b c +<-?<+<-?-+<<--，∴①②是正确的．
∵||||a b -≤||a b +c <-，∴||a ≤||b c -，∴④正确．令3a =，1b =-，4c =-，满足条件，但31(3)4a b c =<-=-+-=-，||3|||1|(3)2a b c =<--=----=不能成立，∴③，⑤是错误的．
（7）若,,0a b c >且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是．
解析：2()a b c ++＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ≥222412a ab ac bc +++=，当且仅当b ＝c 时取等号．或者2()a b c ++＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝12＋2()b c -≥12，当且仅当b ＝c 时取等号．
（8）定义在(0,)()()()()f x f x f y f xy +∞+=的函数满足，且1()0x f x ><时，若不等式
()f f f a ≤+对任意,(0,)x y ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是．
解：依题设12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，则2
1
1x x >．根据题意有212111()()()()x f x f x f x f x x -=-?
=221111
()(()())()0x x
f x f x f f x x -+=->(1()0x f x ><时)．所以12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >．从而函数()f x 在(0,)+∞单调递减，所以不等式
()(f f f a f f ≤+?≤?
≥
即a ≤
≥，从而a 又0a >，
所以0a ． （9）已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z =11 ()()x y x y ++的最小值为． 解析：z =11()()x y x y ++=1y x xy xy x y +++=21()222x y xy xy xy xy xy xy +-++ =+-， 令t ＝xy , 则210()24x y t xy +<=≤=，由2()f t t t =+在10,4?? ??? 上单调递减，故当t =14时，2 ()f t t t =+ 有最小值334，所以当12x y ==时z 有最小值254． （10）三个同学对问题“关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立， 求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路． 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”． 乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”． 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是． 解析：由2x ＋25＋|3x －52x |≥225 ,112|5|ax x a x x x x ≤≤?≤++-，而2510x x x x + ≥=，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；且2|5|0x x -≥，等号当且仅当 5[1,12]x =∈时成立；所以，2min 25 [|5|]10a x x x x ≤+ +-=，等号当且仅当5[1,12]x =∈时成立；故(,10]a ∈-∞． 例2 已知命题22:46:210(0)p x q x x a a -≤-+-≥>，．若非p 是q 的充分不必要 条件，求a 的取值范围． 解：{}:46102|102p x x x A x x x ?->><-=><-，，或．，或． {}22:21011|11q x x a x a x a B x x a x a -+-≥≥+≤-=≥+≤-，，或，记，或． 而p q A ??∴，?B ，即12110,030a a a a -≥-?? +≤∴<≤??>? ． 例3已知适合不等式2435x x p x -++-≤的x 的最大值为3，求p 的值． 解：因为x 的最大值为3，故x -3<0，原不等式等价于24(3)5x x p x -+--≤， 即2 242x x x p x --≤-+≤+，则22520(1){ 320(2) x x p x x p -+-≤-++≥，设（1）（2）的根分别为 12213443(),()x x x x x x x x >>、、，则2433x x ==或．若23x =，则9-15+p -2=0，p =8．若43x =， 则9-9+p +2=0,p =-2．当a =-2时，原方程组无解，所以p =8． 例４一变压器的铁芯截面为正十字型,为保证所需的磁通量, 要求十字应具有2的 面积，应如何设计十字型宽x 及长y ，才能使其外接圆的周长最短，这样可使绕在铁芯上的铜线最节省． 解：设2,y x h =+ 由条件知：2 4x xh += 即h = 设外接圆的半径为R ，即求R 的最小值， 222222 2 2224(2)2(22),2()510(02)25, 8R x h x x hx h R f x x x x R R x =++=++∴===+<<∴≥=， 等号成立时，22510 2,8x x x =?=∴当2x =时R 2最小，即R 最小，从而周长l 最小，此时 2,21x cm y h x cm ==+=． 例5已知函数()f x 在R 上有定义，对任何实数0a >和任何实数x ，都有()()f ax af x =． （Ⅰ）证明()00f =； （Ⅱ）证明(),0, ,0.kx x f x hx x ≥?=? 其中k 和h 均为常数； （Ⅲ）当（Ⅱ）中的0k >时，设()() ()1 (0)g x f x x f x = +>，讨论()g x 在()0,+∞内的单调性并求极值． 证明:（Ⅰ）令0x =，则()()00f af =，∵0a >，∴()00f =. （Ⅱ）利用已知条件()()f ax af x =得，当0x >时,()(1)(1)f x f x xf =?=，取(1)k f =，则有()(0)f x kx x =>． 当0x <时,()(()(1))()(1)f x f x x f =-?-=--, 取(1)h f =--，则有()(0)f x hx x =<．∴ (),0, ,0kx x f x hx x ≥?=? 成立． （Ⅲ）当0x >时，()()()11g x f x kx f x kx =+=+，22 1()x g x kx -'= ．令()0g x '=，得11x x ==-或； 当(0,1)x ∈时，()<0g x '，∴()g x 是单调递减函数；当[1,)x ∈+∞时，()>0g x '， ∴()g x 是单调递增函数；∴当1x =时，函数()g x 在()0,+∞内取得极小值1 (1)g k k =+． 例6已知函数()2f x x x =+． (1)数列{}n a 满足:10a >，()1n n a f a +'=，若111 12n i i a =<+∑对任意的n N ∈恒成立，试求1a 的取值范围； (2)数列{}n b 满足:11b =，()1n n b f b +=()n N ∈，记1 1n n c b =+，k S 为数列{}n c 的前k 项和，k T 为数列{}n c 的前k 项积，求证17 10n k k k k T S T =< +∑ ． 解：(1)因为()21f x x '=+，所以121n n a a +=+．于是()1121n n a a ++=+，110a +>，{}1n a +为等比数列，所以()1 1112 n n a a -+=+，从而1 1111112n n a a -?? = ?++?? ．所以 1 1 1n i n a == +∑2111111111121 1112112 2 212 n a a a -??++++ 11n n n n b c b b ==++,12 2311 1 n n n n b b b T b b b b ++==, 1(1)n n n b b b +=+, 111n n b b +=11n b -+，1 11n n n c b b +=-． A B C D S 即有12 11 11111 1k k k k S b b b b b ++= -++ -=- ． 由()11k k k b b b +=+，显然0n b >，知21k k b b +>，即 2111 k k b b +<．因为1231,2,3b b b ===，所以111 112n n k k k k k k T S T b ==+=<+∑∑22421 111 117616210666 16 k -+++++<+=-． 【新题备选】 1．已知ABC ?的三边长,,a b c 满足2b c a +≤，2c a b +≤，求 b a 的取值范围． 解：设a x b =，c y a =，则121210,0 x y x y x y x x y <+≤??<+≤? ?<+??>>?， 作出平面区域（如图），由图知： 21 (,)33 A ，31(,)22C ， ∴ 2332x <<，即2332 b a <<． 2．四棱锥S -ABCD 的所有棱长均为1米,一只小虫从S 点出发沿四棱锥的棱爬行,若在每一顶点处选择不同的棱都是等可能的.设小虫爬行n 米后恰好回到S 点的概率为n P (1)求2P 、3P 的值; (2)求证:131(2,)n n P P n n N ++=≥∈ (3)求证:2365 > (2,)24 n n P P P n n N -+++≥∈… 解:(1)2P 表示从S 点到A (或B 、C 、D )点,然后再回到S 点的概率, 所以2111111111 434343433 P =?+?+?+?=；因为从S 点沿SA 棱经过B 点或D 点,然后再回到S 点的概率为1111()243318???=，所以312 4189 P =?=．(2)设小虫爬 行n 米后恰好回到S 点的概率为n P ，那么1n P -表示爬行n 米后恰好没回到S 点的概率，则此时小虫必在A (或B 、C 、D )点，所以()11 13 n n P P +?-=，即131(2,)n n P P n n N ++=≥∈．(3) 由131n n P P ++=,可得1111()434n n P P +? ?-=-- ?? ?,从而2 1114123n n P -??=+- ???，所以 y x O 1 A B C D 1- 1- 2 12y x += 1x y =+ 2x y += 1x y += 1y x =+ 23112=+4163n n P P P -+++? (1) 11165 +>163324n n -??-??--?? ??????? ． 3．设函数f (x )=log b 2 2212x x ax -++(b >0且b ≠1)， （1）求f (x )的定义域； （2）当b >1时，求使f (x )>0的所有x 的值． 解 （1）∵x 2－2x ＋2恒正，∴f (x )的定义域是1＋2ax >0，即当a ＝0时，f (x )定义域是R ．当a ＞0时，f (x )的定义域是（－ 1 2a ，+∞）；当a ＜0时，f (x )的定义域是（－∞，－1 2a ）．（2）当b >1时，在f (x )的定义域内，f (x )>0?22212x x ax -++>1?x 2－2x +2>1+2ax ?x 2 －2(1+a )x +1>0，其判别式Δ=4(1+a )2－4=4a (a +2)，①当Δ<0时，即－2 －2(1+a )x +1>0， ∴f (x )>0?x <－ 1 2a ．②当Δ=0时，即a =－2或0时，若a =0,f (x )＞0?(x －1)2>0?x ∈R 且x ≠1．若a =－2,f (x )＞0?(x +1)2＞0?x ＜14 且x ≠－1． ③当△＞0时，即a ＞0或a ＜－2时，方程x 2－2(1+a )x +1=0的两根为 x 1=1+a ,x 2=1+a ．若a ＞0，则x 2＞x 1＞0＞－ 1 2a ， ∴()01f x x a >?>+1 12x a a -<<+ 若a <－2，则121 2x x a <<-，∴f (x )＞0?x ＜1+a 或1+a ＜x ＜ － 12a ．综上所述：当－2＜a ＜0时，x 的取值集合为{x |x ＜－12a }；当a =0时，x ∈R 且x ≠1，x ∈R ，当a =－2时，{x |x ＜－1或－1＜x ＜1 4 }；当a ＞0时，x ∈{x |x ＞ 1+a 或－ 1 2a ＜x ＜1+a }；当a ＜－2时，x ∈{x |x ＜1+a 或 1+a ＜x ＜－ 1 2a }． 4．设()f x 是定义在[-1,1]上的奇函数，且对任意a ,b ∈[-1,1]，当a +b ≠0时，都有 ()() 0f a f b a b +>+. （1）若a >b ，试比较()f a 与()f b 的大小； （2）解不等式：11()()24 f x f x -<-； （3）证明：若－1≤c ≤2，则函数g (x )=f (x -c )和h (x )=f (x -c 2) 存在公共定义域，并求出这个公共定义域. 解：（1）任取x 1，x 2∈[－1,1]，当x 1＜x 2时，由奇函数的定义和题设不等式，得 2112122121()() ()()()()()0()f x f x f x f x f x f x x x x x +--=+-=->+-∴f (x )是增函数，a ,b ∈[-1,1] ， 且a >b ，∴f (a )＞f (b )． （2）因为f (x )是[-1,1]上的增函数，∴1 1()()2 4 f x f x -<-等价于111211141124x x x x ? -≤-≤?? ? -≤-≤?? ?-<-?? 1524x ?-≤≤； （3）设函数g (x )与h (x )的定义域分别为P 和Q ，则P ＝[c -1,c +1],Q =[c 2-1,c 2+1], ∵－1≤c ≤2,∴(c 2-1)-(c +1)=(c +2)(c +1) ≤0,即21c -≤c ＋1.又c 2＋1＞c -1，所以g (x )定义域与h (x )定义域交集非空．当－1≤c ＜0，或1＜c ≤2时，c (c -1)>0,这时公共定义域为[21c -,c +1] 当0≤c ≤1时，c (c -1)≤0，这时公共定义域为[c -1,c 2+1]． 【专题训练】 一、填空题： 1．设满足不等式 (2) 23 a x x -<+的解集为A ，且1A ?，则实数a 的取值范是． 2．已知12,x x 是关于x 的方程22104x ax a a -+-+ =的两个实根，那么1212 x x x x +的最大值为。 3．若关于x 的不等式|1||2|x x a -++≤有解，则实数a 的取值范围是________. 4．当01x ≤≤时，31 12 ax x -≤恒成立，则实数a 的取值范围为． 5. 设M 是△ABC 内一点，且23AB AC =BAC ＝30o，定义f (M )＝(m ，n ，p )， 其中m 、n 、p 分别是△MBC 、△MCA 、△MAB 的面积，若f (M )＝(12，x ，y )，则14 x y + 的最小值为． 6. 若实数2,23,,12 y x y y x y x x ≤+=-满足且则 的取值范围是． 7. 已知点(,)P a b Q 与点（1，0）在直线2310x y -+=的两侧，则下列说法： （1）2310a b -+>； （2）0a ≠时， b a 有最小值，无最大值； （3 ）,M R M *?∈>恒成立 （4）0a >且1a ≠,0b >时, 则 1b a -的取值范围为（-12 ,)(,)33 ∞-?+∞ 其中正确的是（把你认为所有正确的命题的序号都填上）． 8. 在4×□＋9×□=60的两个□中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上和． 9. 关于x 的不等式：2－x 2>|x －a |至少有一个负数解，则a 的取值范围是． 10. 已知,41x y R x y xy +∈+=，且，则的最大值为． 11. 若实数a ,b ,c 满足2222242()4,a b a b c c ab c +++=+则的最大值为． 12．函数221 ()1 x x f x x ++=+的值域为． 13．设m 为实数，若22 250(,) 30{(,)|25}0x y x y x x y x y mx y ?? -+≥?? ??-≥?+≤??????+≥?? ? ，则m 的取值范围是_____________． 14．把数列一次按第一个括号一个数,按第二个括号两个数,按第三个括号三个数,按第四 个括号一个数…,循环分为(1),(3,5),(7,9,11),(13),(15,17),(19,21,23),(23) …,则第50个括号内各数之和为_____． 二、解答题 15.解关于x 的一元二次不等式2(3)30x a x a -++>． 16．二次函数2()f x ax bx c =++的图象开口向下，且满足,,a b c -是等差数列， (),,a b a c -是等比数列，试求不等式()0f x ≥的解集． 17．已知二次函数f (x )的二次项系数为a (a <0)，且不等式f (x )＞－2x 的解集为(1，3)． （1）若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的根，求f (x )的解析式； （2）若f (x )的最大值为正数，求a 的取值范围． 18．对于在区间[m ，]n 上有意义的两个函数()f x 与()g x ，如果对任意的x ∈[m ，]n ，均有|()()|f x g x -≤1，则称()f x 与()g x 在区间[m ，]n 上是接近的，否则是非接 近的．设1()log (3)a f x x a =-与21 ()log (0a f x a x a =>-，1)a ≠是区间[2a +，3]a +上的两个函数． （1）求a 的取值范围； （2）讨论1()f x 与2()f x 在区间[2a +，3]a +上是否是接近的． 19．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架.三角形支架如图，要求∠ACB =60°，BC 长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米.为了广告牌稳固，要求AC 的长度越短越好，求AC 最短为多少米？且当AC 最短时，BC 长度为多少米？ 20．已知()lg(1),()2lg(2)(,f x x g x x t t R t =+=+∈是参数）． （1）当t =－1时，解不等式：f(x)≤g(x)； （2）如果当x ∈[0,1]时，f(x)≤g(x)恒成立，求参数t 的取值范围． 【专题训练参考答案】 1．(,8]-∞-；2．14 ；3．3a ≥；4．[13,22 -]；5．18；6．[—1，0] 7．（3）（4）； 8．6、４；9．（－9 4，2）；10． 116；11．１；12． 1322?? ???? ，；13．403m ≤≤； 14． 392． 15．解：∵2(3)30x a x a -++>，∴()()30x x a --> ⑴当3,3a x a x <<>时或，不等式解集为{}3x x a x <>或； ⑵当3a =时，不等式为()2 30x ->，解集为{}3x x R x ∈≠且； ⑶当3,3a x x a ><>时或，不等式解集为{}3x x x a <>或； 16．解：由已知条件得2 02() 0a b a c b a a c b ?=-+? ?=?-??≠? 023a b a c a 由方程f (x )＋6a ＝0得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0．② 因为方程②有两个相等的根，所以△＝(2＋4a )2－4a ·9a ＝0，即 5a 2－4a －1＝0，解得a ＝1或－15．由于a ＜0，所以舍去a ＝1．将a ＝－1 5代入①得：f (x )的解析式f (x )＝ －15x 2－65x －3 5 ． (2)由f (x )＝ax 2－2(1＋2a )x ＋3a ＝a (x － 12a a )2－241 a a a ．及a ＜0，可得f (x )的最大值为－241a a a ．由241 0a0 a a a ?? ???解得 a ＜－2 或－2 ＜a ＜0． 故当f (x )的最大值为正数时，实数a 的取值范围是(－∞，－2 )(－2 ，0)． 18．解：（1）∵0a >且1a ≠，当x ∈[2a +，3]a +时，要使函数1()log (3)a f x x a =-有意义，∴230a a +->，即1a <． ①要使函数21 ()log a f x x a =-有意义，∴20a a +->，即a ∈R ． ②．由①和②得01a <<，即为a 的取值范围． （2）要判断1()f x 与2()f x 在区间[2a +，3]a +上是否是接近的，只须检验12|()()|f x f x -≤1在区间[2a +，3]a +上是否恒成立． ∵12|()()|f x f x -1 |log (3)log |a a x a x a =---|log (3)()|a x a x a =--， 设|log (3)()|1a x a x a --≤，则1-≤log (3)()a x a x a --≤1， 即1-≤22log (43)a x ax a -+≤１， ③ 设2222()43(2)g x x ax a x a a =-+=--，抛物线()g x 开口向上，且对称轴为2x a =．∵01a <<，∴02223a a a <<<+<+，∴函数()g x 在区间[2a +，3]a +上是增函数．设2a +≤1x 2x <≤3a +，则12()()g x g x <，∵01a <<， ∴12log ()log ()a a g x g x >．设22()log (43)a h x x ax a =-+，则()h x 在区间[2a +，3]a +上是减函数，∴max [()](2)log (44)a h x h a a =+=-，min [()](3)log (96)a h x h a a =+=-．∴③式成立的充要条件是：44, log (44)1,1log (96)1,96a a a a a a a a -≥?-≤?? ?? ??-≥--≤?? ? 40,50a a ? <≤?? ? ?<≤ ??(0a ?∈ ，． ∴当(0a ∈ 时，1()f x 与2()f x 在区间[2a +，3]a +上是接近的； 当a ∈，1)时，1()f x 与2()f x 在区间[2a +，3]a +上是非接近的． 19．解：设BC =a ，(a ＞1)，AB =c ，AC =b ，1 2 b c -=.2222cos60c a b ab =+-?. 将12c b =-代入得2221()2b a b ab -=+-，代简得21 (1)4 b a a -=-．∵a >1， ∴a -1>0 ．2213(1)22344(1)22114(1) a a a b a a a a --+-+ = ==-++≥---． 当且仅当314(1)a a -= -时，取“= ”号，即1a =b 有最小值2． 答：AC 最短为(2米，此时，BC 长为(1米． 20．解：（1）t ＝－1时，f(x)≤g(x)，即为lg(1)2lg(21) x x +≤-，此不等式等价于2 102101(21)x x x x +>? ? ->??+≤-? 解得x ≥54，∴原不等式的解集为｛x |x ≥54｝ ． (2) x ∈[0,1]时，f(x)≤g(x)恒成立, ∴x ∈[0,1]时，210201(2)x x t x x t +>?? +>??+≤+? 恒成立，∴x ∈[0,1] 时，1022x t x t x ?+>?>-?? ≥-?恒成立，即x ∈[0,1] 时，2t x ≥- 恒成立，于是转化为求2x -（ x ∈[0,1] ）的最大值问题．令u =x =u 2 －1，由x ∈[0,1]，知 u ∈ ．∴ 2x -2（u 2－1）＋u =2117 2()48u --+，当u =1，即x =0 时， 2x -有最大值为1．∴t 的取值范围是t ≥1． 初一不等式难题,经典题训练（附答案） 1． 已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰好是1，2，3，则a 的取值范围是_______ 2． 已知关于x 的不等式组0 521 x a x ->?? -≥-?无解，则a 的取值范围是_________ 3． 若关于x 的不等式(a-1)x-2 a +2>0的解集为x<2，则a 的值为（ ） A 0 B 2 C 0或2 D -1 4． 若不等式组2 20 x a b x ->?? ->?的解集为11x -<<，则2006()a b +=_________ 5． 已知关于x 的不等式组的解集41320 x x x a +?>+? ??+- 7． 不等式组951 1 x x x m +<+?? >+?的解集是2x >，则m 的取值范围是（ ） A. 2m ≤ B. 2m ≥ C. 1m ≤ D. 1m f 8.不等式()()20x x x +-<的解集是_________ 9.当a>3时，不等式ax+2<3x+b 的解集是，则b=______ 10.已知a,b 为常数，若ax+b>0的解集是1 3 x <,则的0bx a -<解集是（ ） A. 3x >- B 3x <- C. 3x > D. 3x < 11.如果关于x 的不等式组的整70 60x m x n -≥?? -? p 数解仅为1，2，3，那么适合不等式组的整数(m,n)对共 有（ ）对 A 49 B 42 C 36 D 13 12.已知非负数x,y,z 满足123 234 x y z ---==，设345x y z ω=++，求的ω最大值与最小值 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取 高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?? ???? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=- -.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤.226,182 m n m n mn +?≤ ≤∴≤.由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤.281 29,22 n m n m mn +?≤ ≤∴≤.由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为 （ ） A ．0 B ．1 C ．32 D ．2 【答案】D 高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 1、（02京皖春1）不等式组???<-<-0 30 122x x x 的解集是（ ） A ．｛x ｜－1＜x ＜1} B ．｛x ｜0＜x ＜３} C ．｛x ｜0＜x ＜1} D ．｛x ｜－1＜x ＜３} 2、（01河南广东1）不等式 3 1 --x x >0的解集为（ ） A ．{x |x <1} B ．{x |x >3} C ．{x |x <1或x >3} D ．{x |1 基本不等式专题 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2（2）若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(222b a b a ab +≤ +≤ （5）若*,R b a ∈，则22111 22b a b a ab b a +≤+≤≤+ （6），、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； （7）)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时, “ =”号成立. （1）若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有： 22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ 专题 基本不等式 【一】基础知识 基本不等式：)0,0a b a b +≥>> （1）基本不等式成立的条件： ； （2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 （1）()24a b ab +≤(),a b R ∈；（2）)+0,0a b a b ≥>>； 【二】例题分析 【模块1】“1”的巧妙替换 【例1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则41x y +的最小值为 . 【变式1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则4x x y +的最小值为 . 【变式2】（2013年天津）设2,0a b b +=>， 则 1||2||a a b +的最小值为 . 【例2】（2012河西）已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b +的最小值为 . 【变式】已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b ab ++的最小值为 . 【例3】已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为 . 【例4】已知正数,x y 满足21x y +=，则 8x y xy +的最小值为 . 【例5】已知0,0a b >>，若不等式 212m a b a b +≥+总能成立，则实数m 的最大值为 . 【例6】（2013年天津市第二次六校联考）()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为直角三角形，则 2212a b +的最小值为 . 【例7】（2012年南开二模）若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则 11a b +的最小值为 . 【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足 120PF PF ?=，则2 2214e e +的最小值为 【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则11x y +的最小值是（ ） A ．6 B ．5 C ．3+ D ． 【例10】已知函数()4141 x x f x -=+，若120,0x x >>，且()()121f x f x +=，则()12f x x +的最小值为 . 一元一次不等式培优专题训练一 例1 1、 用“>”或“<”填空，并在题后括号内注明理由： (1)∵a >b,∴a －m ________b －m (2)∵a >2b,∴2 a ________ b (3)∵4a >5a,∴a ________0 (4)∵2x －1<9,∴x ________5 2、不等号填空：（1）、x 为任意有理数，x －3____x －4.（2）若a ＜0，b ＜0，则a ·b ____ab 2. 变式训练：（七中实验）若b a <，则2ac 2bc ；若22bc ac <，则a b （填不等号） ； 例2、不等式（组）的解法：1、不等式1 高三数学专题精练：不等式 一、选择题（10小题，每题5分） 1.设x ，y 满足约束条件?? ? ??≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数z=ax+by （a>0， b>0）的值是最大值为12，则23a b +的最小值为( ). A.625 B.38 C. 3 11 D. 4 2.若不等式组034 34x x y x y ≥??+≥??+≤? 所表示的平面区域被直线4 3 y kx =+分为面积 相等的两部分，则k 的值是（A ）73 （B ） 37 （C ）43 （D ） 34 3.“”是“ 且”的 A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4、若不等式f （x ）＝2ax x c --＞0的解集{}|21x x -<<，则函数y ＝f （－x ）的图象为（ ） 5.设,x y 满足24, 1,22,x y x y x y +≥?? -≥??-≤? 则z x y =+ （A ）有最小值2，最大值3 （B ）有最小值2，无最大值 （C ）有最大值3，无最小值 （D ）既无最小值，也无最 B 大值 6.已知D 是由不等式组20 30 x y x y -≥?? +≥?，所确定的平面区域，则圆 224x y +=在区域D 内的弧长为 [ ] A 4π B 2 π C 34π D 32π 7.设变量x ，y 满足约束条件：3 123x y x y x y +≥?? -≥-??-≤? .则目标函数z=2x+3y 的最 小值为 （A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）23 8.在平面直角坐标系中，若不等式组101010x y x ax y +-≥?? -≤??-+≥? （α为常数）所表示 的平面区域内的面积等于2，则a 的值为 A. -5 B. 1 C. 2 D. 39.不等式对任意x 实数恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ． (,1][4,) -∞-+∞ B ．(,2][5,)-∞-+∞ C ．[1,2] D ．(,1][2,)-∞+∞ 10.已知0,0a b >>，则112ab a b ++ ） A ．2 B ．22 C ．4 D ．5 二、填空题（5个题，每题4分） 11.若0x >，则2x x +的最小值为. 2313x x a a +--≤- 2017-2018全国卷I -Ⅲ高考真题 数学 不等式选修专题 1.(2017全国卷I,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集； （2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 【答案解析】 解：（1）当1a =时，()24f x x x =-++，是开口向下，对称轴12 x = 的二次函数． ()211121121x x g x x x x x >??=++-=-??-<-?，，≤x ≤，， 当(1,)x ∈+∞时，令242x x x -++= ，解得x =()g x 在()1+∞， 上单调递增，()f x 在()1+∞，上单调递减 ∴此时()()f x g x ≥ 解集为1? ?? ． 当[]11x ∈-， 时，()2g x =，()()12f x f -=≥． 当()1x ∈-∞-， 时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且()()112g f -=-=． 综上所述，()()f x g x ≥ 解集1?-??? ． （2）依题意得：242x ax -++≥在[]11-， 恒成立． 即220x ax --≤在[]11-， 恒成立． 则只须()()2211201120 a a ?-?-??----??≤≤，解出：11a -≤≤． 故a 取值范围是[]11-， ． 2.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知0a >，222ba b +==2.证明： （1）()22()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤. 【答案解析】 3.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│. （1）求不等式f （x ）≥1的解集； （2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--??=--< 《基本不等式》同步测试 一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若 a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ） A ．21a a +> B ．2 111 a <+ C ．296a a +> D ．2 lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ． 1 2 Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a 3. 设x >0,则1 33y x x =-- 的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．332- Ｃ．3-23 Ｄ．－1 4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( ) A. 10 B. 63 C. 46 D. 183 5. 若x , y 是正数，且 14 1x y +=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值 116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116 6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ） A ．2222a b c ++≥ B ．2 ()3a b c ++≥ C ． 11123a b c + + ≥ D ．3a b c ++≤ 7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ） A ． 114x y ≤+ B ．111x y +≥ C ．2xy ≥ D ．1 1xy ≥ 8. a ,b 是正数，则 2,, 2 a b ab ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b ab ab a b +≤≤ + Ｃ． 22ab a b ab a b +≤≤+ Ｄ．22 ab a b ab a b +≤≤ + 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2 p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．4y x x =+ Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<< 第2讲 不等式与线性规划 考情解读 1.在高考中主要考查利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考查求最值问题，线性规划主要考查直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题.2.多与集合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式呈现，属中档题． 1．四类不等式的解法 (1)一元二次不等式的解法 先化为一般形式ax 2 ＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2 ＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)简单分式不等式的解法 ①变形?f x g x >0(<0)?f (x )g (x )>0(<0)； ②变形? f x g x ≥0(≤0)?f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. (3)简单指数不等式的解法 ①当a >1时，a f (x ) >a g (x ) ?f (x )>g (x )； ②当0a g (x ) ?f (x ) 高考数学专题练习：不等式与线性规划 1。若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n ＜0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A 。? ? ???1，43 B 。? ???? 12，43 C 。? ? ???1，74 D 。? ?? ??12，74 答案 D 解析 当n 为奇数时,要满足2n (1－a )＜3n －1恒成立, 即1－a ＜13× ? ????32n 恒成立,只需1－a ＜13×? ????321,解得a ＞1 2； 当n 为偶数时,要满足2n (a －1)＜3n －1恒成立, 即a －1＜13× ? ????32n 恒成立,只需a －1＜13×? ????322,解得a ＜7 4。 综上,12＜a ＜7 4,故选D 。 2。已知a >0,b ＞0,且a ≠1,b ≠1,若log a b ＞1,则( ) A 。(a －1)(b －1)＜0 B 。(a －1)(a －b )＞0 C 。(b －1)(b －a )＜0 D 。(b －1)(b －a )＞0 答案 D 解析 取a ＝2,b ＝4,则(a －1)(b －1)＝3＞0,排除A ；则(a －1)(a －b )＝－2＜0,排除B ；(b －1)(b －a )＝6＞0,排除C,故选D 。 3。设函数f (x )＝??? x 2－4x ＋6，x ≥0， x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A 。(－3,1)∪(3,＋∞) B 。(－3,1)∪(2,＋∞) C 。(－1,1)∪(3,＋∞) D 。(－∞,－3)∪(1,3) 答案 A 解析 f (1)＝3。由题意得??? x ≥0，x 2－4x ＋6>3或??? x <0， x ＋6>3， 解得－3 基本不等式 基本不等式知识 1．（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2≥+ （2）若R b a ∈,，则2 22b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2．（1）若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） （3）若*,R b a ∈，则2 2??? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3．若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 4．若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 5．若,,,+∈R c b a a b c c b a 3333≥++， 33abc c b a ≥++（当且仅当c b a ==时取等） 应用一 直接求最值 例1 求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x （3）（理科）已知+∈R y x ,，且满足232x y =，则x y +的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．6 D ．4 （4）已知+∈R c b a ,,且满足132=++c b a ，则c b a 31211++的最小值为 （5）若b a ,是不相等的正数，b a y b a x +=+=,2 ，则y x ,的大小关系是 （6）若,0,0>>b a 且,72=++b a ab 则b a +的最小值是 技巧一 凑项 例1 已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值 1．函数y ＝log 2(x ＋1x －1 ＋5)(x >1)的最小值为( ) A ．－3 B ．3 C ．4 D ．－4 技巧二 凑系数 例2 当40< 不等式计算专项练习 一、解答题 1．解不等式组，并且把解集在数轴上表示出来. 2．求不等式组的整数解. 3．计算下列不等式（组）： （1）x-＜2-. （2）-2≤≤7 （3）； （4） 4．已知：y1=x+3，y2=－x+2，求满足下列条件时x的取值范围：（1）y1＜y2 （2）2y1－y2≤4 5．解不等式组： 6．求下列不等式组的解集 7．（1）计算：（-2）-2×|-3|-（）0 （2）解不等式组： 8．解不等式组，并指出它的所有整数解． 9．解不等式组：，并写出该不等式组的整数解． 11．解不等式组并写出的所有整数解. 12．(1)解方程：. (2)求不等式组：. 13．求不等式组的整数解． 14．（1）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组： 15．求不等式组的非负整数解． 16．解不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来 （1）； （2） 17．（1）解不等式组 （2）在（1）的条件下化简：|x+1|+|x-4| 18．已知关于x，y的方程组的解为正数． （1）求a的取值范围； （2）化简|-4a+5|-|a+4|． 19．（1）解不等式2-＞+1，并把它的解集在数轴上表示出来； （2）求不等式组的整数解． 20．解不等式组：． 21．解不等式组 22．解不等式组，并把它们解集表示在数轴上，写出满足该不等式组的 所有整数解． 23．解不等式组：；在数轴上表示出不等式组的解集，并写出它的整数 解． 24．解不等式组：． 25．解不等式组 26．解不等式组 ) 27．当x 是不等式组 的正整数解时，求多项式（1﹣3x ）（1+3x ）+（1+3x ） 2 +（﹣x 2）3÷x 4的值． 28．解方程与不等式组： 解方程：；解不等式组： 29．解不等式组． 30．解不等式组，并写出不等式组的整数解. 31．（1）解不等式组: (2)解方程： 32．解不等式组： . 33．解不等式组，并在数轴上表示它的解集． 34．（1）解方程： ; （2）解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来． 不等式 (必修5P80A3改编)若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋1)x －m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是________. 解析 由题意知Δ＝[(m ＋1)]2＋4m ＞0.即m 2＋6m ＋1＞0， 解得m ＞－3＋22或m ＜－3－2 2. 答案 (－∞，－3－22)∪(－3＋22，＋∞) (2016·全国Ⅱ卷)若x ，y 满足约束条件???x －y ＋1≥0， x ＋y －3≥0，x －3≤0， 则 z ＝x －2y 的最小值为 ________. 解析 画出可行域，数形结合可知目标函数的最小值在直线x ＝3与直线x －y ＋1＝0的交点(3，4)处取得，代入目标函数z ＝x －2y 得到－5. 答案 －5 (2016·全国Ⅲ卷)设x ，y 满足约束条件???2x －y ＋1≥0， x －2y －1≤0，x ≤1， 则z ＝2x ＋3y －5的最小值为_____. 解析 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由题意可知， 当直线y ＝－23x ＋53＋z 3过点A (－1，－1)时，z 取得最小值，即z min ＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10. (2017·西安检测)已知变量x ，y 满足???2x －y ≤0， x －2y ＋3≥0，x ≥0， 则z ＝(2)2x ＋y 的最大值为________. 解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示.令m ＝2x ＋y ，由图象可知当直线y ＝－2x ＋m 经过点A 时，直线y ＝－2x ＋m 的纵截距最大，此时m 最大，故z 最大.由?????2x －y ＝0，x －2y ＋3＝0，解得?????x ＝1，y ＝2， 即A (1，2).代入目标函数z ＝(2)2x ＋y 得，z ＝(2)2×1＋2＝4. 答案 4 (2016·北京卷)若x ，y 满足???2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0， 则2x ＋y 的最大值为( ) A.0 B.3 C.4 D.5 解析 画出可行域，如图中阴影部分所示， 令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，当直线y ＝－2x ＋z 过点A (1，2)时，z 最大，z max ＝4. 答案 C (2016·山东卷)若变量x ，y 满足???x ＋y ≤2， 2x －3y ≤9，x ≥0， 则x 2＋y 2的最大值是( ) 不等式专题练习题 一、知识内容 不等式是高中数学的重要内容之一，不等式的性质是解证不等式的基础；两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理（教材中称为基本不等式，通常称均值不等式）及其变形在不等式的证明和解决有关不等式的实际问题中发挥着重要的作用；线性规划是运筹学的一个重要分支，在实际生活中有着广泛的应用． 二、核心思想方法 解不等式是研究方程和函数的重要工具，不等式的概念、性质涉及到求函数最大（小）值，实数大小比较，求参数的取值范围等；不等式的综合题主要是不等式与集合、函数、数列、三角函数、解析几何、导数等知识的综合，综合性强，难度较大，是高考命题的热点，也是高考复习的难点；均值不等式的证明最终是利用了配方法，使用该不等式的核心方法则是整体思想方法，就是对哪两个正数使用定理，例如下面练习题的第5题是对2,a b使用不等式，而不是对,a b使用不等式；线性规划的核心方法是数形结合和转化的思想方法，在具体转化上涉及到面积、截距（目标函数为二元一次多项式）、距离（目标函数含二元二次多项式）、斜率（目标函数为分式）等几何意义，分别如下面练习题的第9、22、23、24题． 三、高考命题趋势 本专题的高考命题热点可从以下两个方面去把握： 1．以客观题形式命题：不等式的性质和解不等式问题多以一个选择题的形式出现，且多与集合、简易逻辑、函数知识相结合，难度较低；均值不等式是历年高考的重点考查内容，考查方式多变，在客观题中出现，一般只有一个选择或填空，考查直接，难度较低；线性规划问题是近几年高考的一个新热点，在考题中主要以选择、填空形式出现，且设问也是灵活多变，每年高考必有一题．四个注意问题：（1）命题者有时把线性规划问题和均值不等式结合在一起，提高了难度，例如下面练习题的第8、28题．（2）线性规划的约束条件中含有参数的，例如下面练习题的第7、9题．（3）均值不等式的凑定值技巧，一是关注消元，而是关注整体代入思想方法，分别如下面练习题的第17、18题．（4）克服思维定势，有些题目很象是利用基本不等式的，其实只是解出未知数代入化简的， 专题20 不等式训练 【训练目标】 1、掌握不等式的性质，能利用不等式的性质，特殊值法等判断不等式的正误； 2、熟练的解一元二次不等式，分式不等式，绝对值不等式，对数不等式，指数不等式，含根式的不等式； 3、掌握分类讨论的思想解含参数的不等式； 4、掌握恒成立问题，存在性问题； 5、掌握利用基本不等式求最值的方法； 6、掌握线性规划解决最优化问题； 7、掌握利用线性规划，基本不等式解决实际问题。 【温馨小提示】 在高考中，不等式无处不在，不论是不等式解法还是线性规划，基本不等式，一般单独出现的是线性规划或基本不等式，而不等式的解法则与集合、函数、数列相结合。 【名校试题荟萃】 1、若实数且，则下列不等式恒成立的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据函数的图象与不等式的性质可知：当时，为正确选项，故选C． 2、已知，，则（） A. B. C. D. 【答案】A 3、，设，则下列判断中正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】令，则，故选B 4、若，且，则下列不等式成立的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 . 5、袋子里有大小、形状相同的红球个，黑球个（）.从中任取个球是红球的概率记为.若将红球、黑球个数各增加个，此时从中任取个球是红球的概率记为；若将红球、黑球个数各减少个，此时从中任取个球是红球的概率记为，则（） A. B. C. D. 【答案】D 6、若，，则下列不等式错误的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 因为，，所以，，故A、B正确；由已知得， ，所以，所以C错误；由，得，，所以 成立，所以D正确．故选C． 不等式专题训练1 1.若a ＞0，b ＞0，a+b=2，则下列不等式不恒成立的是（ ） A ．ab ≤1 B ．a 2+b 2≥2 C ． + ≤ D ．+≥2 2.已知变量x ，y 满足，则的取值范围为（ ） A ．[0，] B ．[0，+∞） C ．（﹣∞，] D ．[﹣，0] 3.以下结论正确的是（ ） A ．若a ＜b 且c ＜d ，则ac ＜bd B ．若ac2＞bc2，则a ＞b C ．若a ＞b ，c ＜d ，则a ﹣c ＜b ﹣d D ．若0＜a ＜b ，集合A={x|x=}，B={x|x=}，则A ?B 4.设x ，y 满足约束条件30,0,20,x y a x y x y --≤?? -≥??+≥? 若目标函数z x y =+的最大值为2，则实数a 的 值为（ ） A ．2 B ．1 C ．1- D ．2- 5.已知集合()12 2|log 12,| 21x A x x B x x ??+?? =+≥-=≥????-?? ? ? ,则 A B =I （ ） A.()1,1- B.[)0,1 C.[]0,3 D.? 6.若实数x ，y 满足，则z=x ﹣2y 的最小值为（ ） A ．﹣7 B ．﹣3 C ．1 D ．9 7.设a ，b ∈R + ，且a ≠b ，a+b=2，则必有 （ ） A ．1≤ab ≤ B ．＜ab ＜1 C ．ab ＜＜1 D ．1＜ab ＜ 8.若a ，b ，c 为实数，且a ＜b ＜0，则下列命题正确的是（ ） A ．a 2 ＞ab ＞b 2 B ．ac 2 ＜bc 2 C ． D ． 9.如果实数x 、y 满足，目标函数z=kx+y 的最大值为12，最小值3，那么实数k 的值为（ ） A ．2 B ．﹣2 C ． D ．不存在 10.若点（2，﹣3）不在不等式组表示的平面区域内，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，0） B ．（﹣1，+∞） C ．（0，+∞） D ．（﹣∞，﹣1） 11.设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=2x+5y 的最小值为（ ） 全 国高中数学竞赛专题-不等式 证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的 性质分类罗列如下： 不等式的性质：.0,0<-?<>-?≥b a b a b a b a 这是不等式的定义，也是比较法的依据. 对一个不等式进行变形的性质： （1）a b b a （对称性） （2）c b c a b a +>+?>（加法保序性） （3）.0,;0,bc ac c b a bc ac c b a >?>> （4）*).(,0N n b a b a b a n n n n ∈>>?>> 对两个以上不等式进行运算的性质. （1）c a c b b a >?>>,（传递性）.这是放缩法的依据. （2）.,d b c a d c b a +>+?>> （3）.,d b c a d c b a ->-?<> （4）.,,0,0bc ad d b c a c d b a >>? >>>> 含绝对值不等式的性质： （1）.)0(||2 2 a x a a x a a x ≤≤-?≤?>≤ （2）.)0(||2 2 a x a x a x a a x -≤≥?≥?>≥或 （3）|||||||||||| b a b a b a +≤±≤-（三角不等式）. （4）. ||||||||2121n n a a a a a a +++≤+++ 证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法.因此，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。 1．比较法（比较法可分为差值比较法和商值比较法。） （1）差值比较法（原理：A － B ＞0 A ＞ B ．） 例1 设a, b, c ∈R +，(完整版)初一不等式难题-经典题训练(附答案)
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