常微分方程初等解法和求解技巧毕业论文
目 录
摘 要 .............................................................. I 关键词 ............................................................. I Abstract ........................................................... I Key words .......................................................... I
1.前 言 (1)
2.常微分方程的求解方法 (1)
2.1常微分方程变量可分离类型解法 (1)
2.1.1直接可分离变量的微分方程 (2)
2.1.2可化为变量分离方程 (2)
2.2常数变易法 (9)
2.2.1一阶线性非齐次微分方程的常数变易法 (9)
2.2.2一阶非线性微分方程的常数变易法 (10)
2.3积分因子法 (16)
3.实例分析说明这几类方法间的联系及优劣 (17)
3.1几个重要的变换技巧及实例 (18)
3.1.1变dx
dy 为dy dx ............................................... 18 3.1.2分项组合法组合原则 (19)
3.1.3积分因子选择 (20)
参考文献 (21)
致 (22)
常微分方程初等解法及其求解技巧
摘要
常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中.求解常微分的问题，常常通过变量分离、两边积分，如果是高阶的则通过适当的变量代换，达到降阶的目的来解决问题.本文就是对不同类型的常微分方程的解法及其求解技巧的系统总结：先介绍求解常微分方程的几种初等解法，如变量分离法，常数变易法，积分因子法等，在学习过程中，通过对不同类型的方程求解，揭示常微分方程的求解规律.然后介绍几类方程求解中的变换技巧及规律，并通过实例来分析这几类方法之间的联系及优劣，从而能快速的找到最佳解法.
关键词
变量分离法常数变易法积分因子变换技巧
Elementary Solution and Solving Skills of Ordinary
Differential Equation
Abstract
Ordinary differential equations are important components of calculus and used extensively for the studies on specific issues. Ordinary differential equations are often resolved by the means of variable separation and both sides integral. If they are higher-order ones, we can reduce their order by proper variable substitution to solve this problem. This essay aims at concluding systematically the methods of different types of differential equations and its resoling skills. First of all, I’d would like to introduce several basic resolutions of differential equations, such as variable separation, constant threats, points factor, etc. In the process of learning, I’d like to reduce the law of resolving ordinary differential equations by resolving different types of equations. Then, we describe several equations resolutions and for transformation techniques and its laws, and we also analyze the advantages and disadvantages and connections by using the examples of these methods to be able to find the best solution quickly.
Key words
Variable separation; constant threats; points factor; transform techniques
1.前 言
数学发展的历史告诉我们，300年来数学分析是数学的首要分支，而微分方程又是数学分析的心脏，它还是高等分析里大部分思想和理论的根源.人所共知，常微分方程从它产生的那天起, 就是研究自然界变化规律、研究人类社会结构、生态结构和工程技术问题的强有力工具.它的发展历史也是跟整个科学发展史大致同步的.
现在，常微分方程在很多学科领域有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性质的研究、化学反应稳定性的研究等.这些问题都可以转化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题.常微分方程具有广泛的社会实践性，无论是在各类学科领域上，还是在实际生产生活中，都有举足轻重的作用．它所涉及围之广，致使前人对它做了很深入的研究．应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它现有的理论也还远远不能满足需要，还有待进一步的发展，使这门学科的理论更加完善.
微分方程是表达自然规律的一种自然的数学语言.它从生产实践与科学技术中产生，而又成为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具.人们在探求物质世界某些规律的过程中，一般很难完全依靠实验观测认识到该规律，反而是依照某种规律存在的联系常常容易被我们捕捉到，而这种规律用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程，而一旦求出方程的解，其规律则一目了然.所以我们必须能够求出它的解.常微分方程的初等解法,既是常微分方程理论中有自身特色的部分，也与实际问题密切相关；恰当对初等解法进行归类，能正确而又敏捷地判断一个给定的方程属于何种类型，从而能按照所介绍的方法进行分解.
总之，常微分方程属于数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据这重要位置，学好常微分方程基本理论与方法对进一步学习研究数学理论与实际应用均非常重要，因此本文对常微分方程的初等解法进行了简要归纳和分析，主要讨论变量分离方程，非恰当微分方程，线性微分方程，同时结合具体的实例，展示了初等解法在解题过程中的应用及其求解过程中的变换技巧和律.
2.常微分方程的求解方法
2.1常微分方程变量可分离类型解法
定义 1 如果一阶微分方程具有形式)()(y g x f dx dy =，则该方程称为可分离变量微
分方程.若设0)(≠y g ，则可将方程化为dx x f y g dy )()(=.即将两个变量分离在等式两端.
其特点是：方程的一端只含有y 的函数与dy ，另一端只含有x 的函数与dx .对于该类程，我们通常采用分离变量的方法来处理。
2.1.1直接可分离变量的微分方程]
1[
形如 )()(y g x f dx dy = (2.1)
的方程称为变量分离方程.分别是,x y 的连续函数.
例2.1 求解032=++y
x e dy dx y 的通解. 解 将变量分离得dx e dy ye x y 32=--,两边积分得c e e x y 6
1312132+=-,因而通解为 c e e x y =--3232（c 为任意常数）.
2.1.2可化为变量分离方程
而有些方程虽然不是变量分离方程，但是可以通过适当的变量代换，转换为分离变量方程. （变量代换的思想）
对于新方程应用分离变量的方法，求出通解后再带回原变量就可以得到其通解.如何寻求恰当的变量代换将给定的方程化为分离变量方程，没有一般的方法，但是对于一些特殊类型的方程，这种变量代换却有固定的形式.下面介绍几类这样的方程.
类型1：齐次方程[2]
形如 ??
? ??=x y g dx dy (2.2)
的方程，称为齐次微分方程，这里()u g 是u 的连续函数,对方程(2.1)做变量变换 x y u =
(2.3)
即ux y =，于是
u dx du x dx dy += (2.4)
将(2.3),(2.4)代入（2.2），则原方程变为
)(u u dx
du ?=+， 整理后，得到 x
u u dx du -=)(?
(2.5)
方程(2.5)是一个变量分离方程.可按前面(2.1)的方法求解，然后代回原来的变量，便得到(2.2)的解.
注 该类型还可以推广到形如
()??? ??+=x y f x g x y dx dy . 例2.2 解方程dx
dy xy dx dy x y =+22. 解 原方程化为
22)(y dx
dy x xy =-且x y ≠， 即 1-??? ??=x
y x y dx dy ， 于是，令x y u =，即xu y =，将dx du u dx dy +=代入该方程，得1
2-=+u u dx du x u ，整理即有 1
12-=--=u u u u u dx du x ， 分离变量，得
x
dx du u u =-1 )0(≠u ， 两边积分得，1ln ln ln c x u u +=-，将x y u =代回来，得)ln()ln(11y c c x x
y x y =??=， 所以 x y ce y = (c 为任意常数),
另外0=u ，即0=y 也是原方程的解,但此解包含于通解0=c 之中. 故方程的通解为
.y
x y ce =
类型2： 形如
(完整版)常微分方程发展简史——解析理论与定性理论阶段3常微分
第三讲 常微分方程发展简史——解析理论 与定性理论阶段 3、常微分方程解析理论阶段：19世纪 19世纪为常微分方程发展的解析理论阶段. 作为微分方程向复数域的推广, 微分方程解析理论是由Cauchy 开创的. 在Cauchy 之后,重点转向大范围的研究。 级数解和特殊函数 这一阶段的主要结果之一是运用幂级数和广义幂级数解法, 求出一些重要的二阶线性方程的级数解, 并得到极其重要的一些特殊函数. 常微分方程是17、18世纪在直接回答物理问题中兴起的. 在着手处理更为复杂的物理现象, 特别是在弦振动的研究中, 数学家们得到了偏微分方程. 用变量分离法解偏微分方程的努力导致求解常微分方程的问题. 此外, 因为偏微分方程都是以各种不同的坐标系表出的, 所以得到的常微分方程是陌生的, 并且不能用封闭形式解出. 为了求解应用分离变量法与偏微分方程后得到的常微分方程, 数学家们没有过分忧虑解的存在性和解应具有的形式, 而转向无穷级数的方法. 应用分离变量法解偏微分方程而得到的常微分方程中最重要的是Bessel 方程. 222 ()0x y xy x n y '''++-= 其中参数n 和x 都可以是复的. 对Bessel 来说, n 和x 都是实的. 此方程的特殊情形早在1703年Bernoulli Jacobi 给Leibnitz 的信中就已提到, 后来Bernoulli Daniel 、Euler 、Fourier 、Poisson 等都讨论过此问题. 对此方程的解的最早的系统研究是由Bessel 在研究行星运动时作出的. 对每个n , 此方程存在两个独立的基本解, 记作()n J x 和()n Y x , 分别称为第一类Bessel 函数和第二类Bessel 函数, 它们都是特殊函数或广义函数（初等函数之外的函数）. Bessel 自1816年开始研究此方程, 首先给出了积分关系式 20 ()cos(sin ).2n q J x nu x u du ππ=-? 1818年Bessel 证明了()n J x 有无穷多个零点. 1824年, Bessel 对整数n 给出了递推关系式 11()2()()0n n n xJ x nJ x xJ x +--+= 和其他的关于第一类Bessel 函数的关系式. 后来又有众多的数学家（研究天体力学的数学家）独立地得到了Bessel 函数及其表达式和关系式. Bessel 为微分方程解析理论作出了巨大贡献。 解析理论中另一重要内容是Legendre 方程的级数解和Legendre 多项式方面的结果. 1784年, Legendre 研究了Legendre 方程2 (1)20x y xy y λ'''-++=, 给出了幂级数形式的解, 得到
常微分方程的初等解法与求解技巧
师大学本科毕业论文（设计） 常微分方程的初等解法与求解技巧 姓名娟 院系数学与计算机科学学院 专业信息与计算科学 班级12510201 学号1251020126 指导教师王晓锋 答辩日期 成绩
常微分方程的初等解法与求解技巧 容摘要 常微分方程在数学中发挥着举足轻重的作用，同时它的应用在日常生活里随处可见，因此掌握常微分方程的初等解法与求解技巧是非常必要的.本论文主要论述了其发展、初等解法与求解技巧，前者主要有变量分离、积分因子、一阶隐式微分方程的参数表示，通过举例从中总结出其求解技巧，目的是掌握其求解技巧. 【关键词】变量分离一阶隐式微分方程积分因子求解技巧
Elementary Solution and Solving Skills of Ordinary Differential Equation Abstract Ordinary differential equations take up significant position in mathematics, and at the same time, the application of it can be seen everywhere in our daily life, therefore, it’s necessary to grasp the elementary solution of ordinary differential equations and solving skills. This paper mainly introduced the definition of ordinary differential equations, elementary solution method and solving skills, the former mainly included the separation of variables, integral factor, a parameter-order differential equations implicit representation, by way of examples to sum up their solving skills, the purpose is to master the skills to solve. 【Key Words】the separation of variables the first order implicit differential equation integrating factor solution techniques
Word编写论文十大技巧
Word编写论文十大技巧 现在正是大学毕业生完成毕业设计、撰写毕业论文的时候，大家往往要苦熬一个多月才能完成自己的毕业论文。现在大家主要都是用Microsoft Word来编辑论文(不论各位用哪个版本，基本功能都是一致的，以下简称Word)。如果不能充分Word的一些强大功能，大家在撰写和编辑较长篇幅的科技论文的时候，可能经常要为不断地调整格式而烦恼。在这里我把自己以前使用Word的经验和教训总结一下，以求抛砖引玉。一篇论文应该包括两个层次的含义：内容与表现，内容是指文章作者用来表达自己思想的文字、图片、表格、公式及整个文章的章节段落结构等，表现则是指论文页面大小、边距、各种字体、字号等。相同的内容可以有不同的表现，例如一篇文章在不同的出版社出版会有不同的表现；而不同的内容可以使用相同的表现，例如一个期刊上发表的所有文章的表现都是相同的。这两者的关系不言自明。笔者认为，论文“表现”的编辑，是一个非常费时费力的工作。如果在写论文之前，做了各方面的准备，并按照一定的规律来编写和排列，会起到事半功倍的效果；否则，会给你带来无穷无尽的痛苦。笔者根据自己写硕士论文的体验，向各位提供如下建议，供大家参考。 1、用好样式编写论文，一定要使用样式，除了Word原先所提供的标题、正文等样式外，还可以自定义样式。如果你发现自己是用选中文字
然后用格式栏来设定格式的，一定要注意，想想其他地方是否需要相同的格式，如果是的话，最好就定义一个样式。对于相同排版表现的内容一定要坚持使用统一的样式，这样做能大大减少工作量和出错机会。如果要对排版格式（文档表现）做调整，只需一次性修改相关样式即可。使用样式的另一个好处是可以由 Word 自动生成各种目录和索引。一般情况下，不论撰写学术论文或者学位论文，相应的杂志社或学位授予机构都会根据其具体要求，给论文撰写者一个清楚的格式要求。比如，要求宋体、小四，行间距17磅等等。这样，论文的撰写者就可以在撰写论文前对样式进行一番设定，这样就会很方便的编写论文了。如笔者用Microsoft Office Word XX进行样式设计如下图：2、使用交叉引用设置编号一定不要自己敲编号，推荐使用交叉引用，否则手动输入的编号极可能给你文章的修改带来无穷的后患。标题的编号可以通过设置标题样式来实现，表格和图形的编号通过设置题注的编号来完成。在写“参见第x章、如图x所示”等字样时，不要自己敲编号，应使用交叉引用。这样做以后，当插入或删除新的内容时，所有的编号和引用都将自动更新，无需人力维护。并且可以自动生成图、表目录。3、对齐一定不要用手动敲空格来达到对齐的目的。只有英文单词间才会有空格，中文文档没有空格。所有的对齐都应该利用标尺、制表位、对齐方式和段落的缩进等来进行。如果发现自己手动
常微分方程的初等解法_论文
(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！) 1．常微分方程的基本概况 1.1.定义： 自变量﹑未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数，自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。 1.2.研究对象： 常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动﹑演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理﹑化学﹑生物﹑工程﹑航空﹑航天﹑医学﹑经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程。如牛顿运动规律、万有引力﹑能量守恒﹑人口发展规律﹑生态总群竞争﹑疾病传染﹑遗传基因变异﹑股票的涨伏趋势﹑利率的浮动﹑市场均衡价格的变化等。对这些规律的描述﹑认识和分析就归结为对相应的常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学各个领域。 1.3.特点： 常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。 1.4.应用： 现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。
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如何用Word编辑参考文献 每个需要写毕业论文的朋友都会发现，修改文献是一件非常痛苦的事情，虽然现在也有很多软件可以编排参考文献，其实word本身就可以。 采用合适的编辑方法会方便地做到整齐,规范,自动排序和交叉引用。 1.以尾注的方式插入第一个参考文献。 将光标定位于word文档中将要插入参考文献的位置，按“插入/引用/脚注和尾注”。出现一菜单，选择“尾注”，“文档结尾”，编号格式为“1,2,3”。按“插入”按钮。 2.按要求的格式输入参考文献内容。 这时你会发现文本中的序号“1”字是上标格式的，这是你所希望的。但尾注中的“1”也是上标格式的，这不是你希望的。其余的格式也不合你愿，别急。用鼠标在最左侧处选中尾注中的序号“1”，按快捷键“ctrl+shift+=”就可以使序号不再是上标，或用鼠标右击，出现一菜单，选择“字体”，在第二张菜单中去掉“效果”栏中“上标”前面的“√”。 3.说明： 序号周围有似隐似现的框，这表示所插入手稿的尾注是一种“域”，不必理会它。 插入第二个尾注的方法是同样的。Word会根据所在位置的前后自动排序。 在第一个参考文献的前面有一条横线，你会发现无法删除。它叫“尾注分隔符”。 4. 去除“尾注分隔符” 我们一般的编辑界面叫“页面视图”，选择“视图/普通”进入普通视图。 按“视图/脚注”，此时编辑界面分为两个部分，下面的编辑框是尾注编辑框。 选择尾注编辑框中的“尾注”下拉框，选择“尾注分隔符”，出现一条横线，选择该横线，删除它，再选择“尾注延续分隔符”，也会出现一条横线(这是尾注分页时会出现的很长的横线)，选择该横线，删除它。关闭后，再按“视图/页面”切换回来。
一阶线性微分方程的研究与应用毕业论文
阶线性微分方程的研究与应用 摘要：本文分析了一阶线性微分方程的几种初等解法类型以及应用，总结出了这些不同类型方程可借助变量变换或积分因子化成变量分离方程和恰当方程两种类型，从而归纳了一阶微分方程的求解问题以及应用领域。 矢键i司：变量变换积分因子变量分离方程恰当方程 引言 对于一阶微分方程的初等解法，通常我们把他们归结为方程的积分问题，虽然一般的一阶方程没有初等解法，但是对于一些有限的有初等解法的类型，它们却反映了实际问题中出现的微分方程的相当部分，因此，掌握这些类型方程的解法还是有重要实际意义的，下面我们就对这些类型方程的解法一作以总结。 微分方程 微分方程就是联系着自变量、未知函数及其导数的尖系式，形如 般)” 的方程，称为一阶线性微分方程。 1、变量变换方法 形如的方程，称为变量分离方程，这里的(1?1) f(x))g(y)分别x, y的连续函数. 如果g(y) 土0,我们将(1?1)改写成二f(x)dx,两边积分得，gCy) (1-2) 其中c任意常数。 例1求方程 ￡=pa)y 的通解，其中P(X)是X的连续函数。 解将变量分离，得到
—=p(x)dx y 两边积分，即得 In |y|= / p(x) dx+ C 这里c是任意常数，由对数定义，即有 lyl y= g/ p(x)dx+c 土gCgJ p(x)dx 求解方程生一￥ dx y
将变量分离，得到 y d y=?x d x, 两边积分，即得 因而，通解为 这里c是任意正常数。或者解出y,写出显函数形式的解 y= dy y | . y 例3求解方程〒=-+tan- dx X X y dy du 解这是齐次微分方程，以?二u及子二X —+U代入，则原方程变为 K dx dx du I A+u=u+anu du tan u dx X 将上式分离变量，即有 cot udu =— x 两边积分，得到
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(整理)常微分方程发展简史经典阶段
第一讲 常微分方程发展简史——经典阶段 一、引 言 Newton 和Lebinitz 创立的微积分是不严格的, 18世纪的数学家们一方面努力探索微积分严格化的途径, 一方面往往又不顾基础问题的困难而大胆前进, 大大地扩展了微积分的应用范围, 尤其是与力学的有机结合, 当时几乎所有的数学家也是力学家. Newton 和Lebinitz 都处理过与常微分方程有关的问题. 微积分的产生的一个重要的动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求. 一般地, 认识规律 很难完全靠实验观测认识清楚,因为人们不太可能观测到运动的全过程. 运动是服从一定的客观规律的, 物质运动与瞬时变化率之间有着紧密的联系, 而这种联系, 用数学语言表述出来, 即抽象为某种数学结构, 其结果往往形成一个微分方程, 一旦求出其解或研究清楚其动力学行为, 运动规律就一目了然了. 在微分方程模型建立过程中, 平衡原理扮演着重要的角色. 微分方程模型通常均是建立在平衡原理基础之上的.``平衡"是我们在现实生活中随处可见的现象. 如：物理学中的能量守恒和动量守恒等定律以及力的平衡等都是在描述物理中的一些平衡现象. 再如考虑一段时间内（或一定范围内）物质的变化,容易发现这段时间内物质的改变量与它的增加量和减少量之差也处于平衡的状态, 这种平衡规律称为物质平衡.所谓平衡原理是指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配.注意发掘实际问题中的平衡原理无疑应该是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题. 作为例子, 我们介绍著名的Malthus 模型, 它是最简单的生态学模型, 也是本书中唯一的线性模型. 给定一个种群, 我们的目的是确定种群的数量是如何随着时间而发展变化的. 为此,我们作出如下假设: 模型假设: 121()H 初始种群规模已知00()x t x =，种群数量非常大,世代互相重叠,因此种群的数量可以看作是连续变化的； 221()H 种群在空间分布均匀,没有迁入和迁出 (或迁入和迁出平衡)； 321()H 种群的出生率和死亡率为常数,即不区分种群个体的大小、年龄、性别等. 421()H 环境资源是无限的. 确定变量和参数: 为了把问题转化为数学问题, 我们首先确定建模中需要考虑的变量和参数: t: 自变量， x(t): t 时刻的种群密度, b: 瞬时出生率, d: 瞬时死亡率. 模型的建立与求解: 考查时间段[,]t t t +? (不失一般性, 设0t ?>), 由物质平衡原理,在此时间段内种群的数量满足: t t ?+时刻种群数量 – t 时刻种群数量 = t ?内新出生个体数 – t ?内死亡个体数,
常微分方程的初等解法
常微分方程的初等解法
1．常微分方程的基本概况 1.1.定义： 自变量﹑未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数，自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。 1.2.研究对象： 常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动﹑演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理﹑化学﹑生物﹑工程﹑航空﹑航天﹑医学﹑经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程。如牛顿运动规律、万有引力﹑能量守恒﹑人口发展规律﹑生态总群竞争﹑疾病传染﹑遗传基因变异﹑股票的涨伏趋势﹑利率的浮动﹑市场均衡价格的变化等。对这些规律的描述﹑认识和分析就归结为对相应的常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学各个领域。 1.3.特点： 常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。 1.4.应用： 现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。 2.一阶的常微分方程的初等解法
毕业论文不可不知的几个技巧
毕业论文不可不知的几个技巧 简单地说，毕业论文就是大学生毕业前提交的一份具有一定学术价值的文章，是对大学所学知识以及自身工作、社交、学习能力的一次总结和提高，学校重点通过毕业论文来考察大学生掌握知识的程度以及分析问题和解决问题的能力。毕业论文写作过程一般分为以下几个阶段: 1.题目选择; 2.课题调研; 3.文献检索与应用; 4.撰写论文; 5.论文答辩。 毕业论文通常由题目、摘要、目录、引言、正文、结论、参考文献和附录等部分构成。对于本科生，论文字数一般在5000至20000字之间，同时对于论文打印和排版的格式也有着十分严格的要求。表1列出了常见论文写作的格式要求。 很多时候，我们写文章都是先在Word中写好后再排版，但对于毕业论文这种篇幅较长的文章，这样做往往效率不高。下面的实战通过先制定论文格式，再动笔写论文的方式进行，相信你会觉得这种方式对你的论文写作更有帮助。 1.页面设置 按照表1的要求及论文打印的需要(要预留装订线距离以及设置行间距)进行页面设置。第一步:在菜单中依次选择“文件→页面设置”，调用出“页面设置”对话框。在“页边距”选项卡中分别做以下设置:“上:3.7cm，下:1.7cm，左:1.0cm，右:1.4cm，装订线:1.35cm”(注意:具体的页面设置，不同学校的要求可能不同)。 第二步:选择“纸张”选项卡，将“纸张大小”设置为“16开”。第三步:选择“文档网格”选项卡，将对应选项设置为“每行:32个字符，跨度:12.75磅，每页:21行，跨度:27.45
磅”。 2.设置样式 设置好样式之后，在写作过程中，你就能很方便地设置字体大小等格式而不用麻烦地每次重复格式设置的繁琐工作。第一步:选择“格式→样式和格式”，可以看到Word的右边会出现一个设置窗口。第二步:按照表1的格式要求“正文每章标题用三号黑体居中打印”，进行设置。点击“新样式”，弹出“新建样式”设置窗口，将对应项目设置为:“名称:正文每章标题，格式:黑体、三号，居中”。这样就设置好了一个样式，以后每当要输入每章标题时，只需要在样式选择中选择“正文每章标题”，之后输入标题，即可按照设置后的样式在输入文字的同时自动设置好标题的格式了。同时，你也可以在输入标题后，选择输入的标题文字，再在样式中选择“正文每章标题”来进行标题的样式套用。按照上面的方法，你可以逐一对论文中不同格式的部分进行设置，在写作中方便的调用。 3.文章的分节 我们通常在写论文详细内容之前先写好论文的提纲，也可以说是分好论文的章节。第一步:写好论文的提纲(即每章标题，每小节标题等)。第二步:在分章处和分节处插入“分节符”。用鼠标将光标定位在论文两章的交接处，选择“插入→分隔符”，在弹出的分隔符设置窗口中，选择“分节符类型”为“下一页”，这样即可在分章节的同时另起一页继续下一章的内容，而不用敲入多次回车键来通过插入换行符使下一章另起一页(如果是两小节之间，这里的“分节符类型”要选择“连续”，因 为我们一般不需要在两个小节之间分页)。
微分方程在经济方面的应用.
目录 摘要.................................................................................................................... I Abstract................................................................................................................ I I 第1章绪论 (1) 1.1 课题研究背景及目的 (1) 1.2 研究现状 (1) 1.3 研究方法 (1) 1.4 研究内容 (2) 第2章经济学中常用微分方程的解法 (3) 2.1 微分方程的简介 (3) 2.2经济中常用微分方程的解法 (3) 第3章三个经济模型 (8) 3.1价格调整模型 (8) 3.2蛛网模型 (9) 3.3Logistic模型 (10) 第4章微分方程在经济的两个分析中的应用 (12) 4.1边际分析 (12) 4.2弹性分析 (12) 结语 (14) 参考文献............................................................................... 错误！未定义书签。附录................................................................................... 错误！未定义书签。致谢................................................................................... 错误！未定义书签。
一阶常微分方程解法总结
第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )() (=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、 xy dx dy = 解：当0≠y 时，有 xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(112 12 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)(12 12 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有 dy y N y Q dx x P x M ) () ()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(2 2 =-+-dy x y dx y x 解：当0)1)(1(2 2 ≠--y x 时，有 dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ； 当0)1)(1(2 2 =--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(2 2 为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如 )(x y g dx dy = 解法：令x y u =，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得到
毕业论文的排版方法(最全)
如何用Word 编辑参考文献 每个需要写毕业论文的朋友都会发现，修改文献是一件非常痛苦的事情，虽然现在也有很多软件可以编排参考文献，其实word 本身就可以。 采用合适的编辑方法会方便地做到整齐,规范,自动排序和交叉引用。 1. 以尾注的方式插入第一个参考文献。 将光标定位于word 文档中将要插入参考文献的位置，按“插入/引用/脚注和尾注”。出现一菜单，选择“尾注”，“文档结尾”，编号格式为“1,2,3 ”。按“插入”按钮。 2. 按要求的格式输入参考文献内容。 这时你会发现文本中的序号“ 1 ”字是上标格式的，这是你所希望的。但尾注中的“ 1 也是上标格式的，这不是你希望的。其余的格式也不合你愿，别急。用鼠标在最左侧处选中尾注中的序号“ 1”，按快捷键“ ctrl+shift+= ”就可以使序号不再是上标，或用鼠标右击，出现一菜单，选择“字体”，在第二张菜单中去掉“效果”栏中“上标”前面的“ √”。 3. 说明：序号周围有似隐似现的框，这表示所插入 手稿的尾注是一种“域”，不必理会它。插入第二个尾注的方法是同样的。Word 会根据所在位置的前后自动排序。 在第一个参考文献的前面有一条横线，你会发现无法删除。它叫“尾注分隔符”。 4. 去除“尾注分隔符” 我们一般的编辑界面叫“页面视图”，选择“视图/普通”进入普通视图。 按“视图/脚注”，此时编辑界面分为两个部分，下面的编辑框是尾注编辑框。选择尾注编辑框中的“尾注”下拉框，选择“尾注分隔符”，出现一条横线，选择该横线，删除它，再选择“尾注延续分隔符”，也会出现一条横线（这是尾注分页时会出现的很 长的横线），选择该横线，删除它。关闭后，再按“视图/页面”切换回来。
常微分方程在数学建模中的应用论文
毕业论文 论文题目：常微分方程在数学建模中的应用姓名： 学科专业： 指导教师： 完成时间：
常微分方程是数学理论（特别是微积分）联系实际的重要工具，它不仅与几何学、力学、电子技术、自动控制、星际航行、甚至和化学、生物学、农业以及经济学都有着密切的联系。本文结合实践背景，建立数学模型，并利用所得结果去解释某些实际问题。 关键字常微分方程、人口预测模型、市场价格模型、混合溶液的数学模型、震动模型
第一章人口预测模型 第二章市场价格模型 第三章混合溶液的数学模型第四章震动模型
绪论 当我们描述实际对象的某些特性随时间（或空间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来性态，研究它的控制手段时，通常要建立对象的动态模型。建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其他对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实际对象，就可以进行描述、分析、预测或控制了。 事实上在微分方程课程中，解所谓应用题时我们遇到简单的建立动态模型问题，例如“一质量为m的物体自高h处自由下落，初速度是零，设阻力与下落速度的平方成正比，比例系数为k，求下落速度随时间的变化规律。”又如“容器内有盐水100L,内含盐10kg,令以3L/min的速度从一管放进净水，以2L/min的速度从另一管抽出盐水，设容器内盐水浓度始终是均匀的，求容器内含盐量随时间变化规律。”本文讨论的是常微分方程在数学建模中的应用。
第一章 人口预测模型 由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型. 例1（马尔萨斯（Malthus ）模型） 英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r ,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型. 解 设时刻t 的人口为)(t N ,把)(t N 当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在t 到t t ?+时间段内,人口的增长量为 t t rN t N t t N ?=-?+)()()(, 并设0t t =时刻的人口为0N ,于是 ?????==． ， 00)(d d N t N rN t N 这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为 )(00e )(t t r N t N -=, 此式表明人口以指数规律随时间无限增长. 模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为91006.3?,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样19610=t ,901006.3?=N ,02.0=r ,于是 )1961(02.09e 1006.3)(-?=t t N . 这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数.因为,这期间
毕业论文写作排版技巧—WORD长篇文档排版技巧
引言毕业论文写作指南：人人网公共主页——CNKI知网论文检测主页君系列教程 毕业论文写作排版技巧 ——Word2003长篇文档排版 2013年12月
目录 Word 2003 长篇文档排版技巧（1） (2) 一、设置纸张和文档网格 (3) 二、设置样式 (5) 三、查看和修改文章的层次结构 (13) 四、对文章的不同部分分节 (16) 五、为不同的节添加不同的页眉 (18) 六、在指定位置添加页码 (21) 七、插入目录 (24) 八、小结 (26) Word 2003 长篇文档排版技巧（2） (27) 一、预留装订线区域 (29) 二、设置节和页眉页脚 (29) 三、添加不同内容的页眉 (31) 四、添加不同类型的页码 (37)
五、双面打印设置 (42) 六、小结 (46) 八招挽回受损Word文档 (47) 一、自动恢复尚未保存的修改 (47) 二、手动打开恢复文件 (48) 三、“打开并修复”文件 (48) 四、从任意文件中恢复文本 (49) 五、禁止自动宏的运行 (50) 六、创建新的Normal模板 (51) 七、转换文档格式 (52) 八、显示混乱的解决 (52) Word 2003 长篇文档排版技巧（1） 要点： （1）制作长文档前，先要规划好各种设置，尤其是样式设置；（2）不同的篇章部分一定要分节，而不是分页。
下面就看看如何制作一篇几十页的长文档。这份报告要求的格式是：A4纸；要有封面和目录；单面打印；除封面和目录外，每页的页眉是报告的题目；页码一律在页面底端的右侧，封面和目录没有页码，目录之后为第1页。 一、设置纸张和文档网格 写文章前，不要上来就急于动笔，先要找好合适大小的“纸”，这个“纸”就是Word中的页面设置。从菜单中选择【文件】|【页面设置】命令，显示“页面设置”对话框，选择【纸张】选项卡，如图1所示。
常微分方程解题方法总结.doc
常微分方程解题方法总结 来源：文都教育 复习过半， 课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍 . 接下来， 如何将零散的知 识点有机地结合起来， 而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆， 使知识自成 体系，建议将知识点进行分类系统总结 . 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴， 他强调读 书要“由薄到厚、由厚到薄”，对同学们的复习尤为重要 . 以常微分方程为例， 本部分内容涉及可分离变量、 一阶齐次、 一阶非齐次、 全微分方程、 高阶线性微分方程等内容， 在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多， 遇到具体的题 目不知该如何下手， 这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法 . 下面以表格的形 式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询 . 常微分方程 通解公式或解法 ( 名称、形式 ) 当 g( y) 0 时，得到 dy f (x)dx ， g( y) 可分离变量的方程 dy f ( x) g( y) 两边积分即可得到结果； dx 当 g( 0 ) 0 时，则 y( x) 0 也是方程的 解 . 解法：令 u y xdu udx ，代入 ，则 dy 齐次微分方程 dy g( y ) x dx x u g (u) 化为可分离变量方程 得到 x du dx 一 阶 线 性 微 分 方 程 P ( x)dx P ( x) dx dy Q(x) y ( e Q( x)dx C )e P( x) y dx
伯努利方程 解法：令 u y1 n，有 du (1 n) y n dy ， dy P( x) y Q( x) y n（n≠0,1）代入得到du (1 n) P(x)u (1 n)Q(x) dx dx 求解特征方程：2 pq 三种情况： 二阶常系数齐次线性微分方程 y p x y q x y0 二阶常系数非齐次线性微分方程 y p x y q x y f ( x) (1)两个不等实根：1, 2 通解： y c1 e 1x c2 e 2x (2) 两个相等实根：1 2 通解： y c1 c2 x e x (3) 一对共轭复根：i , 通解： y e x c1 cos x c2 sin x 通解为 y p x y q x y 0 的通解与 y p x y q x y f ( x) 的特解之和. 常见的 f (x) 有两种情况： x （ 1）f ( x)e P m ( x) 若不是特征方程的根，令特解 y Q m ( x)e x；若是特征方程的单根，令特 解 y xQ m ( x)e x；若是特征方程的重根， 令特解 y*x2Q m (x)e x； （2）f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x]
浅谈微分方程的起源与发展史
浅谈微分方程的起源与发展史 摘要:微分方程起源于17世纪，简单的微分方程分别是牛顿、莱布尼茨和伯努利从几何和力学问题上解决的问题。这些早期发现开始于1690年，这逐渐导致一些特殊的微分方程的“特殊技能”的发展。虽然这些特殊的技术只适用于相对较少的情况下，但是他们可以解决许多微分方程在力学和几何中的问题，所以，他们的研究具有非常重要的现实意义。这些特殊的方法和问题，将有助于我们解决很多问题。 引言：很多的科学问题是需要人们根据事物的变化率来确定事物的特征。比如，我们可以 试着用已知的速度或加速度来计算粒子的位置，又比如，一些放射性物质可能是已知的衰变率，这就要求我们在一个给定的时间内确定材料的总量。通过这些例子，我们可以发现，如果知道自变量、未知函数以及函数的导数（或者微分）组成的关系式，得到的就是微分方程。最后再通过微分方程求出未知函数。 关键字：微分方程起源发展史 一、微分方程的思想萌芽 微分方程就是联系着自变量，未知函数以及其导数的关系式。微分方程理论的发展是跟随着微积分理论的建立发展起来的，一般地，客观世界的时间要服从一定的客观规律，这种连接，用数学语言表达，即是抽象为微分方程，一旦获得或研究的解决方案是明确的空气动力学行为，变量之间的规律是一目了然的。例如在物体运动中，唯一的计算就与瞬间速度之间有着紧密的联系，其结果往往形成一个微分方程，一旦求出解或研究清楚气动力学行为，就明确的掌握了物体的运动规律。 1.1微分方程的起源：微分方程起源于17世纪，简单的微分方程分别是牛顿、莱布 尼茨和伯努利从几何和力学问题上解决的问题。这些早期发现开始于1690年，这逐渐导致一些特殊的微分方程的“特殊技能”的发展。 1.2微分方程在实际问题中的应用：运用微分方程理论解决一些实际问题，即根 据生物学，物理学，化学，几何学等学科的实际问题及相关知识建立微分方程，讨论该方程解的性质，并由所得的解或解的性质反过来解释该实际过程。物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系描述的,但是在实际问题中往往不能直接写出反映运动规律的函数,却比较容易建立这些变量与他们的导数之间的关系式,即微分方程。只有一个自变量的微分方程称为常微分方程,简称微分方程。 例1 传染病模型 传染病（瘟疫）经常在全世界各地流行，假设传染病传播期间其他地区的总 x，在t时的健康人数为)(t y，染病人数不变，为常数n，最开始的染病人数为 人数为)(t x。 因为总人数为常数n
浅谈常微分方程的数值解法及其应用[文献综述]
毕业论文文献综述 信息与计算科学 浅谈常微分方程的数值解法及其应用 一、前言部分 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解.牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解. 后来瑞士数学家雅各布?贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论. 微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法.微分方程也就成了最有生命力的数学分支.总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程.在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程，如人口发展模型、交通流模型等.因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的. [1] “常微分方程”是理学院数学系所有专业学生的重要专业基础课之一，也是工科、经济等专业必学内容之一.其重要性在于它是各种精确自然科学、社会科学中表述基本定律和各种问题的根本工具之一，换句话说，只要根据实际背景，列出了相应的微分方程，并且能（数值地或定性地）求出这种方程的解，人们就可以预见到，在已知条件下这种或那种“运动”过程将怎样进行，或者为了实现人们所希望的某种“运动”应该怎样设计必要的装置和条件等等.例如，我们要设计人造卫星轨道，首先，根据力学原理，建立卫星运动的微分方程，列出初始条件，然后求出解，即卫星运行轨道.随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，微分方程的应用范围更广泛. [2]从数学自身的角度看，微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展.从这个角度说，微分方程变成了数学的中心. [3]总之，微分方程从它诞生起即日益成为人类认识并进而改造自然、社会的有力工具，成为数学科学联系实际的主要途径之一.文章就常微分的数值解法以及应用展开简单的论述。 二、主体部分 2.1微分方程概念介绍
常微分方程的发展史
常微分方程的发展史 摘要：20世纪以来,随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展,也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）.70年代随着数学向化学和生物学的渗透,出现了大量的反应扩散方程. 从“求通解”到“求解定解问题”数学家们首先发现微分方程有无穷个解.常微分方程的解会含有一个或多个任意常数,其个数就是方程的阶数.偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数,其个数随方程的阶数而定.命方程的解含有的任意元素（即任意常数或任意函数）作尽可能的变化,人们就可能得到方程所有的解,于是数学家就把这种含有任意元素的解称为“通解”.在很长一段时间里,人们致力于“求通解”. 关键词：常微分方程，发展，起源 正：常微分方程是由用微积分处理新问题而产生的，它主要经历了创立及解析理论阶段、定性理论阶段和深入发展阶段。17 世纪，牛顿(I.Newton ，英国，1642-1727)和莱布尼兹(G.W.Leibniz ，德国，1646-1716)发明了微积分，同时也开创了微分方程的研究最初，牛顿在他的著作《自然哲学的数学原理机(1687年)中，主要研究了微分方程在天文学中的应用，随后微积分在解决物理问题上逐步显示出了巨大的威力。但是，随着物理学提出日益复杂的问题，就需要更专门的技术，需要建立物理问题的数学模型，即建立反映该问题的微分方程。1690 年，雅可比·伯努利(Jakob Bernouli，瑞士，1654-1705)
提出了等时间题和悬链线问题．这是探求微分方程解的早期工作。雅可比·伯努利自己解决了前者。翌年，约翰伯努利(Johann Bernouli ，瑞士，1667-1748)、莱布尼兹和惠更斯（C.Huygens ，荷兰，1629-1695)独立地解决了后者。 有了微分方程，紧接着就是解微分方程，并对所得的结果进行物理解释，从而预测物理过程的特定性质．所以求解就成为微分方程的核心，但求解的困难很大，一个看似很简单的微分方程也没有普遍适用的方法能使我们在所有的情况下得出它的解。因此，最初人们的注意力放在某些类型的微分方程的一般解法上。 1691 年，莱布尼兹给出了变量分离法。他还把一阶齐次方程使其变量分离。1694 年，他使用了常数变易法把一阶常微分方程化成积分。 1695 年，雅可比·伯努利给出著名的伯努利方程。莱布尼兹用变换，将其化为线性方程。约翰和雅可比给出了各自的解法，其本质上都是变量分离法。 1734 年，欧拉(L.Euler，瑞士，1707-1783)给出了恰当方程的定义。他与克莱罗(A.C. Clairaut，法国，1713-1765)各自找到了方程是恰当方程的条件，并发现：若方程是恰当的，则它是可积的。那么对非恰当方程如何求解呢？1739 年克莱罗提出了积分因子的概念，欧拉确定了可采用积分因子的方程类属。这样，到 18 世纪 40 年