假设检验及方差分析
实验四 假设检验
实验目的：通过此实验熟练掌握如何利用假设检验工具根据不同条件
选择相应检验工具进行检验，有助于学习者理解假设检验的过程及结果
实验要求：能够运用Excel 对总体均值进行假设检验，学会针对实际
背景提出原假设和备择假设来检验实际问题，并根据检验结果作出符合统计学原理和实际情况的判断和结论，加深对统计学方法的广泛应用背景的理解
假设检验与区间估计两者之间存在密切的关系，二者用的是同一个样本、同一个统计量、同一种分布，所以也可以用区间估计进行假设检验，两者结论是一致的。在Excel 中进行假设检验，除可按区间估计过程用公式和逆函数计算外，还备有专用的假设检验工具，包括Z —检验工具、T —检验工具和F —检验工具。使用这些工具，可以直接根据样本数据进行计算，一次给出检验统计量、单尾和双尾临界值以及小于或等于临界值的概率等所需要的数值。实验四主要介绍假设检验工具的使用。
一、假设检验的一般过程
假设检验主要是根据计算出的检验统计量与相应临界值比较，作出拒绝或接受原假设的决定。
根据全国汽车经销商协会报道，旧车的平均销售价格是10192美元。堪萨斯城某旧车经销处的一名经理检查了近期在该经销处销售的100辆旧车。结果样本平均价格是9300美元，样本标准差是4500美元。在0.05的显著性水平下，检验H 0：10192≥μ H 1：10192<μ。问：假设检验的结论是什么？这名经理接下来可能会采取什么行动？
本例由于样本容量比较大，其均值近似服从正态分布，总体方差未知，需要用样本标准差来代替，选择T 统计量进行检验。T 统计量的计算公式如下：
单击任一空单元格，输入“=(9300-10192)/(4500/SQRT(100))”，回车确认，得出t 统计量为-1.982。单击另一空单元格，输入“=TINV(0.025,99)”，
回车确认，得出t分布的右临界值为2.276。因为276
-，所以不拒绝
.1<
.2
982
原假设，认为此旧车经销处旧汽车平均销售价格不小于10192美元。那么接下来这名经理会采取什么相应行动？（请读者思考）。
本例主要介绍了假设检验的一般过程，利用Excel的公式和函数求出相应的统计量值和临界值，最后作出结论。
二、假设检验工具的使用
接下来介绍如何使用Excel的假设检验工具。使用这一工具应该注意二点：第一，由于现实世界和生活中大量的数据服从正态分布，Excel的假设检验工具是按正态总体设计的（以下各例未特殊说明，认为其服从或近似服从正态分布）；第二，Excel的假设检验工具主要用于检验两总体之间有无显著差异。具体来讲，Z—检验工具是对方差或标准差已知的两总体均值进行差异性检验；T—检验工具是对方差和标准差未知的两总体均值进行差异性检验，其中包括等方差假设检验、异方差假设检验和成对双样本检验；F—检验工具是对总体的标准差进行检验。
（一）Z—检验工具的使用
国际航空运输协会对商务旅行者进行调查以确定大西洋两岸过关机场的等级分数。假定：要求50名商务旅行者组成的随机样本给迈阿密机场打分，另50名商务旅行者组成的随机样本给洛杉机机场打分，最高等级为10分。两个样本数据如下：
迈阿密机场得分数据：
64687763381048 7875958438554 4484562599848 995978310896
洛杉机机场得分数据：
109678798107657 35687108478699 53189685461098 3279531035108
假定两总体的等级标准差已知（这里用样本标准差代替总体标准差），分别为2.16和2.37。问：在5%的显著性水平下，迈阿密机场和洛杉机机场的平均等级有无差异？
将数据分别输入到Excel表中（A2:A51；B2:B51），在“工具”菜单中选择“数据分析”选项，从其“分析工具”列表中选择“Z—检验：双样本
平均差检验”，回车进入该工具对话框，如图4-1所示。
图4-1 Z —检验工具对话框
◆ 在“变量1和变量2”的区域框中，分别输入“A1:A51”和“B1:B51”
（数据区域）。
◆ “假设平均差(P)框”中，输入“0”。
◆ “变量1的方差和变量2的方差”框中，分别输入“4.68”和“5.63”
（总体方差）。
◆ 单击“标志(L)”复选框（因为数据区域有列标题）；“α(A)”框中
要求输入显著性水，本例按默认设置0.05即可。 ◆ 本例选择“输出区域”设置框，在其中输入“C1”。
完成以上操作后，回车确认，在指定的区域给出计算结果，见表4-1。
表4-1 Z —检验计算结果
结果解释与分析： 1、“平均”为样本均值；“已知协方差”指总体方差；“观察值”为样本个数。
2、表中给出的Z 统计量为：2
22
1
2
12121)
()(n n x x z σσμμ+
---=
3、将Z 统计量与临界值相比，本例采用双尾比较96.184.0<-，所以只能不拒绝原假设，认为两机场等级评分没有差异。当然，也可以将显著性水平与P 值比较，如果P 值大于显著性水平则不拒绝原假设。
（二）T —检验工具的使用
1、假定两总体的方差相同
大学人员安排委员会公布了大学毕业生首次任职薪水数据下表列出了会计专业和财政专业样本每年薪水数据：（单位：千美元）
会计 财政 28.8 26.3 25.3 23.6 26.2 25.0 27.9 23.0 27.0 27.9 26.2 24.5 28.1 29.0 24.7 27.4 25.2 23.5 29.2
26.9
29.7 26.2
29.3 24.0
采用0.05的显著性水平，检验会计专业和财政专业毕业生首次任职平均年薪是否存在差异？
将数据分别输入到Excel表中（A2:A13；B1:B13），在“工具”菜单中选择“数据分析”选项，从其“分析工具”列表中选择“t—检验：双样本等方差假设”，回车进入该工具对话框，如图4-2所示。
图4-2 “t—检验：双样本等方差假设”对话框
将各子对话框进行相应设置后（具体可参照Z—检验），回车确认，在指定的区域给出计算结果，见表4-2。
表4-2 “t—检验：双样本等方差假设”结果
结果解释与分析：
（1）合并方差是两样本方差的加权平均数，其计算公式为：
（2）df为“自由度”。本例t检验统计量的自由度为12+12-2=22。
（3）t Stat是t检验统计量，其计算公式为：
（4）将t统计量与临界值比较，本例采用双尾检验，2.23>2.07（0.04<0.05），所以拒绝原假设，认为会计专业和财政专业毕业生首次任职的平均年薪存在显著差异。
2、假定两总体的方差不相同
现有两种新旧软件包，为了评价新软件包的优点，随机抽取了24个系统分析人员作为样本。其中，12个分析人员用旧软件包来开发指定信息系统，另外12个人用新软件包来开发，得到其开发使用时间（数据如下表）。在5%的显著性水平下，问：新软件包是否可以缩短完成项目的平均时间。
旧软件包新软件包
299315
360200
276214
310263
340334
388344
277282
365307
281290
315288
378318
310 301
这是一个两总体均值的假设检验问题，用1μ表示“使用旧软件包开发指定系统所需的平均时间”，2μ表示“使用新软件包开发指定系统所需的平均时间”。则此问题转变为：
H 0：021≤-μμ H 1：021>-μμ
假设两总体的方差不相同，则应从“分析工具”列表中选择“t —检验：双样本异方差假设”，回车进入该工具对话框，如图4-3所示。
图4-3“t —检验：双样本异方差假设”对话框
将各子对话框进行相应设置后，回车确认，在指定的区域将给出计算结果，如表4-3所示。
结果解释与分析：
（1）自由度df 计算公式为：
df=()()
???
? ??-+-???? ??+1/1//2222212121222121n n s n n s n s n s 表4-3 “t —检验：双样本异方差假设”结果
（2）t 统计量的公式计算为：
t=
2
22
1
2
1
2121)
()(n s n s x x +
---μμ
（3）将t 统计量与临界值相比，本例为单尾检验2.16>1.72（0.02<0.05），所以拒绝原假设，认为新软件包开发指定系统的时间要少于旧软件包。
3、基于成对数据的t 检验
在使用T —检验工具的介绍中，上面两个例子其样本都是独立样本。然而在可能情况下采用相关样本，可以进一步提高效率。当然其检验方式也有所不同。
每月读书俱乐部成员进行了一项调查以确信是否其成员用于看电视的时间比读书时间多（《辛辛那提问询报》，1991年11月21日）。假定：从这次调查对象中抽取了一个小样本，得到了每周收看电视小时数和每周读书小时数的数据，数据如下表。
应答者 看电视 读书 d 1 10 6 4 2 14 16 -2 3 16 8 8 4 18 10 8 5 15 10 5 6 14 8 6 7
10
14
-4
8 12 14 -2 9 4 7 -3 10 8 8 0 11 16 5 11 12 5 10 -5 13 8 3 5 14 19 10 9 15
11
6
5
*d 列为应答者看电视与读书的时间差
问：在0.05的显著性水平下，能否得出每月读书俱乐部成员每周用于收看电视比用于读书的时间平均来说要多的结论？
对于成对数据的检验，“分析工具”列表中也提供了相应检验工具，选择“t —检验：成对二样本均值分析”，打开其对话框，如图4-4所示。
将各子对话框进行相应设置后，回车确认，在指定的区域将给出计算结果，如表4-4所示。
图4-4 “t —检验：成对二样本均值分析”对话框
结果解释与分析：
（1）此分析方法的原理实际上是对d 列数据进行t 检验，问题转化为： H 0：0≤d μ H 1：0>d μ
（2）df 自由度=15-1=14，t Stat 为检验统计量，其计算公式为： t=
n
s d n 1
0-- 其中d ,2
1-n s 分别为n d d d ,,,21 的样本均值和样本
方差。
（3）泊松相关系数应为“皮尔逊相关系数”，反映两组数据线性相关程度。
（4）将t Stat 统计量与临界值相比，本例为单尾检验 2.23>1.76（0.02<0.05），所以拒绝原假设，认为每月读书俱乐部成员每周用于收看电视比用于读书的时间平均来说要多。
表4-4 “t —检验：成对二样本均值分析”结果
（三）F —检验工具
在上例中，假设两个总体，即旧软件包和新软件包开发指定系统所需时间的方差不同，接下来，在0.05的显著性水平下检验这一结论是否正确，需要用到F —检验工具。
从“分析工具”列表中选择“F —检验：双样本方差”，回车进入该工具对话框，如图4-5所示。
图4-5 “F —检验：双样本方差”对话框
将各子对话框进行相应设置后，回车确认，在指定的区域将给出计算结果，如表4-5所示。
表4-5 “F —检验：双样本方差”结果
结果解释与分析： 1、“F —检验工具”的原假设和备择假设分别为： H 0：21σσ< H 1：21σσ≥
2、因为两个样本容量相同，所以F 检验的第一自由度和第二自由度相同，都为11。
3、F 统计量的计算公式为：
F=
22
22
2
121
σσs s
4、如果原假设H 0：2121σσσσ>=或，则F 统计量的计算公式变为：
F=
2
121
22
22
σσs s ，其值为表4-5中F 统计量的倒数，当然临界值也要改变。
5、将F 统计量与临界值相比，0.83>0.35，所以拒绝原假设，认为新软件包开发指定系统所需时间的方差不小于旧软件包。
实验五方差分析
实验目的：熟练使用“方差分析”工具在假设检验的基础上，对影响均值的各个因素进行分析。
实验要求：对房产分析的结果能够作出正确合理的解释，包括对“SUMMAY”部分，方差分析部分从而判断该因素各水平是否对观测变量有显著影响，并作出相应的决策。
实验四介绍了假设检验，其中用了较多的篇幅介绍了两个总体之间均值的显著性检验，实际中还会遇到多个总体均值的检验问题。如果按实验四的方法两两进行检验，将十分麻烦，并且部分总体有差别能否表明有总的差别，仍有待解决。方差分析（Analysis of variance，简称ANOV A）能够解决多个均值是否相等的检验问题，其由于在分析时将所有的样本资料结合在一起，从而使检验的稳定性增强，并且可以节省大量的时间。方差分析作为一种实用、有效的分析方法在实践中被广泛的应用。
本部分主要介绍如何使用Excel中的数据分析工具进行方差分析。
一、单因素方差分析
单因素方差分析是在事物变化的若干因素中，只就某一特定因素分析，其它因素尽可能不变。
对从事营销的人员进行一项调查，以研究他们的职业道德标准观念。假定下表是从研究中所获得的数据（高分表示道德标准高），如表5-1所示。在0.05的显著性水平下，检验三组人员的观念是否存在显著差异。
表5-1 研究数据
将数据输入表单后，在“工具”菜单中选择“数据分析”选项，从其“分析工具”列表中选择“方差分析：单因素方差分析”，回车进入该工具对话框，如图5-1所示。
图5-1 “方差分析：单因素方差分析”对话框
◆在“输入区域(I)”框中，输入数据所在的区域，本例为A1:C7。
◆“分组方式”按默认的列；因有列标题，所以选择“标志位于第一
行(L)”的复选框。
◆ )(A α要求输入显著性水平，本例按默认设置即可。 ◆ 输出选项本例选择“新工作表(P)”（因输出内容比较多）。 完成以上设置后，回车确认，结果见表5-2。
表5-2 “方差分析：单因素方差分析”输出结果
结果解释与分析：
1、SS 表示平方和。组间SS （用SSA 表示），计算公式为：()
()
∑-=∑∑-====k
i i i k i i
n j i x x n x x SSA 1
2
11
2
k k
i i i k i i
n j ij n n n n n
x n n
x x +++=∑=
∑∑=
=== 211
11
,；组内
SS （用SSE 表示），计算公式为：()
∑∑-===k i i
n j i ij x x SSE 11
2
2、df 为自由度。SSA 的自由度为k-1，其中k 为因素水平的个数，SSE 的自由度为n-k 。
3、MS 为平均平方。组间MS （用MSA 表示），计算公式为：1
-=k SSA
MSA ；组内MS （用MSE 表示），计算公式为：k
n SSE
MSE -=
。 4、F 统计量为：),1(~k n k F MSE
MSA
F --=
5、将F 统计量的值与给定显著性水平的临界值相比，本例7>3.68，所以拒绝原假设，认为三种营销人员观念有差异。也可以将给出的P 检验值与显著性水平比较，结论相同。
二、无重复（无交互作用）双因素的方差分析
双因素方差分析的内容是在影响事物变化的各种因素中选定两个因素，就其不同水平进行交叉的全面检测，分析究竟是一个因素在起作用，还是两个因素都起作用，或是两个因素的影响都不起作用。进行双因素分析时，其各因素的不同水平可以重复测试（有交互作用），也可以不重复测试（无交互作用）。本部分介绍无重复（交互作用）双因素分析。
有四个品牌的彩电在五个地区销售，为分析彩电的品牌(因素A)和销售地区(因素B)对销售量是否有影响，对每个品牌在各地区的销售量取得以下数据，见表5-3。
表5-3 不同品牌的彩电在各地区的销售量数据
试分析品牌和销售地区对彩电的销售量是否有显著影响（显著性水平为0.05）？
从“分析工具”列表中选择“方差分析：无重复双因素分析”，回车进入该工具对话框，如图5-2所示。
图5-2 “方差分析：无重复双因素分析”对话框
◆在“输入区域(I)”框中输入数据所在的区域，本例为A2:F6，并选定“标志(L)”复选框。
◆)(A α取默认值0.05。
◆在输出选项中，选择“新工作表”。
完成以上设置后，回车确认，结果见表5-4。
结果解释与分析：
1、行为因素A ，列为因素B 。各因素和误差项的（离差）平方和计算公式分别为：
()
∑∑-===k i r
j i x x SSA 112
.；()
∑∑-===k i r
j j x x SSB 11
2
.；()
∑∑+--===k i r
j j i ij x x x x SSE 11
2
..
2、三个平方和的自由度（df ）分别是： 因素A 的离差平方和SSA 的自由度为 k-1 因素B 的离差平方和SSB 的自由度为 r-1 随机误差平方和SSE 的自由度为 (k-1)×(r-1)
3、因素A 、B 以及误差项的均方（MS ），计算公式分别为：
1-=
k SSA MSA ；1
-=r SSB
MSB ；)1)(1(--=r k SSE MSE
4、因素A 和因素B 的检验统计量（F 统计量），计算公式分别为：
())1)(1(,1~---=
r k k F MSE MSA F A ；())1)(1(,1~---=r k r F MSE
MSB
F B 5、将各因素检验统计量与给定显著性水平下的临界值相比（或P 值与
显著性水平相比）：F A =18.11>3.49（0.00<0.05）；F B =2.10<3.26（0.14>0.05）。说明彩电的品牌对销售量有显著的影响作用，销售地区对彩电的销售量没有显著影响。
表5-4 “方差分析：无重复双因素分析”结果
三、可重复（有交互作用）双因素的方差分析
在有些情况下，需要对因素间的交互效应做检验，这时需要进行“可重复双因素方差分析”，即每个因素必须重复取样至少2次以上。
在0.05的显著性水平，检验不同燃料（因素A ）、不同推进器（因素B ）下的火箭射程是否有显著差异？交互作用是否显著？实验数据见表5-5。
表5-5 实验数据
从“分析工具”列表中选择“方差分析：可重复双因素分析”，回车进入该工具对话框，如图5-3所示。
◆在“输入区域(I)”要求输入数据所在的区域，本例为“A2:D10”。
◆“每一样本的行数(R)”，即重复实验的次数，本例为“2”。
◆)
取默认值0.05。
(A
◆在输出选项中，选择“新工作表”。
完成以上设置后，回车确认，结果见表5-5，5-6。
图5-3“方差分析：可重复双因素分析”对话框
表5-5 基本统计数据
SUMMARY B1 B2 B3 总计
A1
计数 2 2 2 6
求和110.80 97.40 126.10 334.30
平均55.40 48.70 63.05 55.72
方差15.68 112.50 10.13 68.91
A2
计数 2 2 2 6
求和91.90 104.60 100.00 296.50
平均45.95 52.30 50.00 49.42
方差19.84 6.48 5.12 14.56
A3
计数 2 2 2 6
求和118.40 144.10 79.90 342.40
平均59.20 72.05 39.95 57.07
方差 1.62 2.64 1.13 209.89
A4
计数 2 2 2 6
求和147.30 109.20 90.10 346.60
平均73.65 54.60 45.05 57.77
方差9.24 25.92 26.65 181.97
表5-6 基本统计数据（续表）
总计
计数8 8 8
求和468.40 455.30 396.10
平均58.55 56.91 49.51
方差120.09 113.42 90.39
表5-7 方差分析表
差异源 SS df MS F P-value F crit 样本 261.67 3 87.22 4.42 0.03 3.49 列 370.98 2 185.49 9.39 0.00 3.89 交互 1768.69 6 294.78 14.93
0.00
3.00
内部 236.95 12 19.75
总计
2638.30
23
结果解释与分析：
1、方差分析表将差异来源分为样本、列、交互、内部四项，其中：“样本”是指按行排列的四种燃料；“列”是指按列排列的三种推进器；“交互”是指燃料和推进器的交互作用；“内部”是指随机误差。
2、因素A 、因素B 、交互作用以及误差项的（离差）平方和SS 的计算公式分别为：
()
∑∑-∑====k
i r
j i t
s x
x SSA 112
1..；
()
∑∑-∑====k i r j j t
s x
x SSB 112
1
..；
()
∑∑+--===k i r
j j i ij x x x x t SSAB 11
2
.....
3、四个平方和的自由度（df ）分别是： 因素A 的离差平方和SSA 的自由度为 k-1 因素B 的离差平方和SSB 的自由度为 r-1
交互作用的离差平方和SSAB 的自由度为(k-1)×(r-1) 随机误差平方和SSE 的自由度为rk×(t-1)
4、因素A 、B 、交互作用以及误差项的均方（MS ），计算公式分别为：
1-=
k SSA MSA ；1
-=r SSB
MSB ；)1)(1(--=r k SSAB MSAB ；1)-rk(t SSE MSE =
5、因素A 、B 以及交互效应的检验统计量（F 统计量），计算公式分别
为：
())1(,1~--=
t rk k F MSE
MSA
F A ；
())1(,1~--=
t rk r F MSE
MSB
F B ；
())1(),1)(1(~---=
t rk k r F MSE
MSA
F AB 6、将因素A 、B 以及交互效应的检验统计量与给定显著性水平下的临界值相比（或P 值与显著性水平相比）：F A =4.42>3.49（0.03<0.05）；F B =9.39>3.89（0.00<0.05）；F AB =14.93>3.00（0.00<0.05）。所以在0.05的显著水平下，拒绝原假设，认为不同燃料或不同推进器的射程有显著差异，即燃料和推进器对射程的影响是显著的。并且交互作用的效应也是高度显著的，从基本统计数据表（表5-5）中可以看出，A 4与B 1或A 3与B 2的搭配使
火箭射程较其它水平的搭配要远得多，在实际中我们就选择最优的搭配方式来实施。
3[1]3总体方差的假设检验
§3 检验母体方差 3.1 检验正态母体的方差 ——2 χ检验 母体),(~2σμN X ，2 ,σμ均未知，试对 2 σ与2 0σ有无显著差异作假设检验. ①在母体上作 假设 ?=2 020:σσH 2021:σσ≠H ②检验统计量 )1( ~ )1(22 02 2 --=*n S n H χσχ ③给定显著水平α，如图存在 )1(22 1-- n α χ 和)1(2 2 -n αχ，使 2 )}1({)}1({2 2 222 12α χχχ χαα = ->=-<- n P n P 故取拒绝域 } )1()1(),,,{(2 2 222 12 21->-<=- n n x x x W n αα χχχ χ或
④决策：当抽样结果是 W x x x n ∈),,,(21 时，拒绝0 H ，认为2 σ与2 0σ有 显著差异；否则接受0 H ，认为2 σ与20 σ无 显著差异. 例3.3.1 某细纱车间纺出的一种细纱支数的标准差2.10=σ，现从某日纺出的一批细纱中随机抽出16缕进行支数测 量，算得子样标准差1.2* =s ，问：纱的均 匀度有无显著变化（取05.0=α）？假定 母体分布是正态的。 解: 设该日纺出的纱的支数 ),(~2 σμN X ，2 ,σμ均未知， 作假设?=2.1:20σH 2.1:21 ≠σH 检验统计量)1(~ )1(22 22 --= *n S n H χσ χ 给定显著水平α，拒绝域为 } )1()1(),,,{(2 2 222 1221->-<=-n n x x x W n ααχχχχ或
这时16=n ，2.10=σ，1.2* =s ，从而94.452 =χ，又05.0=α，查表得 262.6)15()1(975.02 1==-- χχ α n ， 488.27)15()1(025.02 ==-χχαn ， 可见)1(2 2 ->n αχχ，故应拒绝0H ，认为 这天细纱的均匀度有显著变化。 例3.3.2 ),(~2 σμN X ， 2 ,σμ均未知， 当45>n ，作如下假设检验 ?=2 2 0:σσH 2021:σσ≠H 检验统计量取为2 02 2 )1(σχ *-= S n ，证明：给 定显著水平α，则拒绝域为 } )1(2)1({})1(2)1({2 22 2ααχχu n n u n n W ---≤-+-≥= . 证明：作假设?=2020:σσH 2 021:σσ≠H ， 0H 成立时检验统计量
案例库 项目八假设检验 回归分析与方差分析
项目八假设检验、回归分析与方差分析 实验3 方差分析 实验目的学习利用Mathematica求单因素方差分析的方法. 基本命令 1.调用线性回归软件包的命令< 中,向量Y是因变量,也称作响应变量.矩阵X称作设计矩阵, ?是参数向量??是误差向量? ????????DesignedRegress也是作一元和多元线性回归的命令, 它的应用范围更广些. 其格式与命令Regress的格式略有不同: DesignedRegress[设计矩阵X,因变量Y的值集合, RegressionReport ->{选项1, 选项2, 选项3,…}] RegressionReport(回归报告)可以包含:ParameterCITable(参数?的置信区间表???? ?PredictedResponse (因变量的预测值), MeanPredictionCITable(均值的预测区间), FitResiduals(拟合的残差), SummaryReport(总结性报告)等, 但不含BestFit. 实验准备—将方差分析问题纳入线性回归问题 在线性回归中, 把总的平方和分解为回归平方和与误差平方和之和, 并在输出中给出了方差分析表. 而在方差分析问题 中, 也把总的平方和分解为模型平方和与误差平方和之和, 其方法与线性回归中的方法相同. 因此只要把方差分析问题转化为线性模型的问题, 就可以利用线性回归中的设计回归命令DesignedRegress 做方差分析. 单因素试验方差分析的模型是 ?? ? ??==+=. ,,2,1;,,2,1,),,0(~,2s j n i N Y j ij ij ij j ij ΛΛ独立各εσεεμ (3.1) 上式也可改写成 ?? ? ??===+-+==+=.,,2,1;,,2,1,),,0(~; ,,3,2,)(, ,,2,1,2111111s j n i N s j Y n i Y j ij ij ij j ij i i ΛΛΛΛ独立各εσεεμμμεμ (3.2) 给定具体数据后, 还可(2.2)式写成线性模型的形式: 多元统计分析第三章假设检验与方差分析 第3章 多元正态总体的假设检验与方差分析 从本章开始，我们开始转入多元统计方法和统计模型的学习。统计学分析处理的对象是带有随机性的数据。按照随机排列、重复、局部控制、正交等原则设计一个试验，通过试验结果形成样本信息（通常以数据的形式），再根据样本进行统计推断，是自然科学和工程技术领域常用的一种研究方法。由于试验指标常为多个数量指标，故常设试验结果所形成的总体为多元正态总体，这是本章理论方法研究的出发点。 所谓统计推断就是根据从总体中观测到的部分数据对总体中我们感兴趣的未知部分作出推测，这种推测必然伴有某种程度的不确定性，需要用概率来表明其可靠程度。统计推断的任务是“观察现象，提取信息，建立模型，作出推断”。 统计推断有参数估计和假设检验两大类问题，其统计推断目的不同。参数估计问题回答诸如“未知参数θ的值有多大?”之类的问题,而假设检验回答诸如“未知参数θ的值是0θ吗?”之类的问题。本章主要讨论多元正态总体的假设检验方法及其实际应用，我们将对一元正态总体情形作一简单回顾，然后将介绍单个总体均值的推断， 两个总体均值的比较推断，多个总体均值的比较检验和协方差阵的推断等。 3.1一元正态总体情形的回顾 一、 假设检验 在假设检验问题中通常有两个统计假设（简称假设）,一个作为原假设（或称零假设），另一个作为备择假设（或称对立假设），分别记为0H 和1H 。 1、显著性检验 为便于表述，假定考虑假设检验问题：设1X ，2X ，…,n X 来自总体),(2 σμN 的样本，我们要检验假设 100:,:μμμμ≠=H H （3.1） 原假设0H 与备择假设1H 应相互排斥，两者有且只有一个正确。备择假设的意思是，一旦否定原假设0H ，我们就选择已准备的假设1H 。 当2 σ已知时，用统计量n X z σ μ -= 正态总体均值及方差的假设检验表： 单正态总体均值及方差的假设检验表(显著性水平α) 1 a n ～N (0,1)2 01 a S n ～t 2 2 02 1 0n i n i a ～ 2或 2 21 2 n 2 2n 2 21 n 20 ～ 22 21 1 2 n 2 21n 21 1 n 2 212 12 n n ～N (0,1) 2 1 2 11W S n n ～ 2 , 22 1122 122 n S n S n n 22 22 21112 2 1 2 1i i n i i a a n ～12,F n n 2 或 2 2 221 n S n ～21,1n 1 2或 2 Z =ξ-η～N (a 1-a 2，21σ+2 2σ)，Z i =ξi -ηi . 2 21 2 Z n ) 2 1 S n ～ 2 单正态总体均值及方差的区间估计(置信度1-α) 已知 1 a n ～N (0,1)0 1 1 , n n u u n n 1 a S n ～t , 1 1 t t n n 2 02 1 n i n i a ～ 001 122, 12 2 i i i i n n a a 20 ～ 21 ,12 2 n 2个正态总体均值差及方差比的区间估计(置信度1-α) 12 212 12 a n n ～N (0,1) 2212 12 u n n 112 11W a S n n 22 n t 1 22 12 11W n n t S n n )2 a ξ-12 ,1 ,2 2 n n A F A 2 112 222 2 11n S n S ～ 2 2 21112W n S n S n n 212 1212 2 2 1 n i i n i i n a A n a ，2 122 2 21111n n S B n n S ． （注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。可复制、编制，期待你的好评与关注） 实验四 假设检验 实验目的：通过此实验熟练掌握如何利用假设检验工具根据不同条件 选择相应检验工具进行检验，有助于学习者理解假设检验的过程及结果 实验要求：能够运用Excel 对总体均值进行假设检验，学会针对实际 背景提出原假设和备择假设来检验实际问题，并根据检验结果作出符合统计学原理和实际情况的判断和结论，加深对统计学方法的广泛应用背景的理解 假设检验与区间估计两者之间存在密切的关系，二者用的是同一个样本、同一个统计量、同一种分布，所以也可以用区间估计进行假设检验，两者结论是一致的。在Excel 中进行假设检验，除可按区间估计过程用公式和逆函数计算外，还备有专用的假设检验工具，包括Z —检验工具、T —检验工具和F —检验工具。使用这些工具，可以直接根据样本数据进行计算，一次给出检验统计量、单尾和双尾临界值以及小于或等于临界值的概率等所需要的数值。实验四主要介绍假设检验工具的使用。 一、假设检验的一般过程 假设检验主要是根据计算出的检验统计量与相应临界值比较，作出拒绝或接受原假设的决定。 根据全国汽车经销商协会报道，旧车的平均销售价格是10192美元。堪萨斯城某旧车经销处的一名经理检查了近期在该经销处销售的100辆旧车。结果样本平均价格是9300美元，样本标准差是4500美元。在0.05的显著性水平下，检验H 0：10192≥μ H 1：10192<μ。问：假设检验的结论是什么？这名经理接下来可能会采取什么行动？ 本例由于样本容量比较大，其均值近似服从正态分布，总体方差未知，需要用样本标准差来代替，选择T 统计量进行检验。T 统计量的计算公式如下： )1(~1 0--= -n t n s x t n μ 单击任一空单元格，输入“=(9300-10192)/(4500/SQRT(100))”，回车确认，得出t 统计量为-1.982。单击另一空单元格，输入“=TINV(0.025,99)”，回车确认，得出t 分布的右临界值为2.276。因为276.2982.1<-，所以不拒绝原假设，认为此旧车经销处旧汽车平均销售价格不小于10192美元。那么接下来这名经理会采取什么相应行动？（请读者思考）。 本例主要介绍了假设检验的一般过程，利用Excel 的公式和函数求出相应的统计量值和临界值，最后作出结论。 二、假设检验工具的使用 接下来介绍如何使用Excel 的假设检验工具。使用这一工具应该注意二点：第一，由于现实世界和生活中大量的数据服从正态分布，Excel 的假设检验工具是按正态总体设计的（以下各例未特殊说明，认为其服从或近似服从正态分布）；第二，Excel 的假设检验工具主要用于检验两总体之间有无显著差异。具体来讲，Z —检验工具是对方差或标准差已知的两总体均值进行差异性检验；T —检验工具是对方差和标准差未知的两总体均值进行差异性检验，其中包括等方差假设检验、异方差假设检验和成对双样本检验；F —检验工具是对总体的标准差进行检验。 （一）Z —检验工具的使用 国际航空运输协会对商务旅行者进行调查以确定大西洋两岸过关机场的等级分数。假定：要求50名商务旅行者组成的随机样本给迈阿密机场打分，另50名商务旅行者组成的随机样本给洛杉机机场打分，最高等级为10分。两个样本数据如下： 迈阿密机场得分数据： 6 4 6 8 7 7 6 3 3 8 10 4 8 7 8 7 5 9 5 8 4 3 8 5 5 4 4 4 8 4 5 6 2 5 9 9 8 4 8 9 9 5 9 7 8 3 10 8 9 6 洛杉机机场得分数据： 10 9 6 7 8 7 9 8 10 7 6 5 7 3 5 6 8 7 10 8 4 7 8 6 9 9 5 3 1 8 9 6 8 5 4 6 10 9 8 3 2 7 9 5 3 10 3 5 10 8 假定两总体的等级标准差已知（这里用样本标准差代替总体标准差）， 教学单元案例： 参数估计与假设检验 北京化工大学 李志强 教学内容：统计量、抽样分布及其基本性质、点估计、区间估计、假设检验、方差分析 教学目的：统计概念及统计推断方法的引入和应用 （1）理解总体、样本和统计量等基本概念；了解常用的抽样分布； （2）熟练掌握矩估计和极大似然估计等方法； （3）掌握求区间估计的基本方法； （4）掌握进行假设检验的基本方法； (5) 掌握进行方差分析的基本方法； （6）了解求区间估计、假设检验和方差分析的MA TLAB 命令 。 教学难点：区间估计、假设检验、方差分析的性质和求法 教学时间：150分钟 教学对象：大一各专业皆可用 一、统计问题 引例 例1 已知小麦亩产服从正态分布，传统小麦品种平均亩产800斤，现有新品种产量未知，试种10块，每块一亩，产量为： 775,816,834,836,858,863,873,877,885,901 问：新产品亩产是否超过了800斤？ 例2 设有一组来自正态总体),(2 σμN 的样本0.497, 0.506, 0.518, 0.524, 0.488, 0.510, 0.510, 0.512. (i) 已知2 σ=0.012，求μ的95%置信区间； (ii) 未知2σ，求μ的95%置信区间； (iii) 求2σ的95%置信区间。 例3现有某型号的电池三批, 分别为甲乙丙3个厂生产的, 为评比其质量, 各随机抽取5 只电池进行寿命测试, 数据如下表示, 这里假设第i 种电池的寿命),(.~ 2σμi i N X . (1) 试在检验水平下,检验电池的平均寿命有无显著差异? (2) 利用区间估计或假设检验比较哪个寿命最短. 实验四 假设检验 实验目的：通过此实验熟练掌握如何利用假设检验工具根据不同条件 选择相应检验工具进行检验，有助于学习者理解假设检验的过程及结果 实验要求：能够运用Excel 对总体均值进行假设检验，学会针对实际 背景提出原假设和备择假设来检验实际问题，并根据检验结果作出符合统计学原理和实际情况的判断和结论，加深对统计学方法的广泛应用背景的理解 假设检验与区间估计两者之间存在密切的关系，二者用的是同一个样本、同一个统计量、同一种分布，所以也可以用区间估计进行假设检验，两者结论是一致的。在Excel 中进行假设检验，除可按区间估计过程用公式和逆函数计算外，还备有专用的假设检验工具，包括Z —检验工具、T —检验工具和F —检验工具。使用这些工具，可以直接根据样本数据进行计算，一次给出检验统计量、单尾和双尾临界值以及小于或等于临界值的概率等所需要的数值。实验四主要介绍假设检验工具的使用。 一、假设检验的一般过程 假设检验主要是根据计算出的检验统计量与相应临界值比较，作出拒绝或接受原假设的决定。 根据全国汽车经销商协会报道，旧车的平均销售价格是10192美元。堪萨斯城某旧车经销处的一名经理检查了近期在该经销处销售的100辆旧车。结果样本平均价格是9300美元，样本标准差是4500美元。在0.05的显著性水平下，检验H 0：10192≥μ H 1：10192<μ。问：假设检验的结论是什么？这名经理接下来可能会采取什么行动？ 本例由于样本容量比较大，其均值近似服从正态分布，总体方差未知，需要用样本标准差来代替，选择T 统计量进行检验。T 统计量的计算公式如下： 单击任一空单元格，输入“=(9300-10192)/(4500/SQRT(100))”，回车确认，得出t 统计量为-1.982。单击另一空单元格，输入“=TINV(0.025,99)”， 云南大学滇池学院 方差分析与假设检验实验报告二 学生姓名：方炜学号：20092123080专业：软件工程 一、实验目的和要求： 1、初步了解SPSS的基本命令； 2、掌握方差分析和假设检验。 二、实验内容： 1、为比较5中品牌的合成木板的耐久性，对每个品牌取4个样本作摩擦试验测量磨损量，得以下数据： （1）它们的耐久性有无明显差异？ （2）有选择的作两品牌的比较，能得出什么结果？ 2、将土质基本相同的一块耕地分成5块，每块又分成均等的4小块。在每块地内把4个品 种的小麦分钟在4小块内，每小块的播种量相同，测得收获量如下： 考察地块和品种对小麦的收获量有无显著影响？并在必要时作进一步比较。 3、为了研究合成纤维收缩率和拉伸倍数对纤维弹性的影响进行了一些试验。收缩率取0，4， 8，12四个水平；拉伸倍数取460，520，580，640四个水平，对二者的每个组合重复作两次试验，所得数据如下： （1）收缩率，拉伸倍数及其交互作用对弹性有无显著影响？ （2）使弹性达到最大的生产条件是什么？ 三、实验结果与分析： 1、运行结果截图： 1、结果分析： （1）、Sig<0.05，耐久性有明显差异 （2）、由样本分析，品牌3分为一类；品牌1，2，5分为一类；品牌4分为一类。而品牌3和品牌4差距最大，品牌3的耐久性最差，品牌4的耐久性最好。 2、运行结果截图： 2、结果分析： （1）、地块（A组）Sig>0.05对小麦的收获量无显著影响，品种（B组）Sig<0.05对小麦的收获量有显著影响。 （2）、由图得，地块4最适合种小麦，地块1最不适合种小麦；而品种2的小麦收获量最大，品种4的小麦收获量最小。 3、运行结果截图： 假设检验和方差分析 目录 一．正态总体均值的检验 (1) 1.单个总体 (1) 2.两个总体 (2) 3.成对数据的t 检验 (3) 二．正态总体方差的检验——方差齐次检验 (3) 三．方差分析 (4) 1.单因素方差分析 (4) 2.均值的多重比较 (6) 3.方差分析前提的三个条件： (8) 4.双因素方差分析 (9) 一．正态总体均值的检验 R 中函数为：t.test() ，使用格式为： t.test(x, y = NULL, alternative = c("two.sided", "less", "greater"), mu = 0, paired = FALSE, var.equal = FALSE, conf.level = 0.95, ...) 其中，x 、y 是由数据构成的向量（如果只提供x ，则作单个正态总体的均值检验；提供x 和y 做两个总体的均值检验）。alternative 表示备择假设，two.sided （缺省）表示双边检验（10:H μμ≠），less 表示单边检验（10:H μμ<），greater 表示单边检验（10:H μμ>）。mu 表示原假设0μ，conf.level 是置信水平，即1α-，通常是0.95。var.equal 是逻辑变量，若var.equal=T 表示认为两样本方差相同，若var.equal=F 表示认为两样本。paired 是逻辑变量，表示是否进行配对样本t 检验，默认为不配对。 注意：假设检验的基本思想是：为了检验一个“假设”是否成立，就现假定这个“假设”是成立的。从这个假定也看产生的后果，如果导致一个不合理的现象出现，那么就表明原先的假定不成立，如果没有导出不合理的现象发生，则不能拒绝原来的假设，称原假设是相容的。这里的“不合理”，并不是形式逻辑中的绝对矛盾，而是基于人们实践中广泛采用的一个原则：小概率事件在一次观察中可以认为基本不会发生。 选择备择假设的原则：事先有一定信任度或者出于某种考虑是否要加以“保护”。 1.单个总体 例1：某种元件的寿命x （小时），服从正态分布2 (,)N μσ，其中μ，2σ均未知，16只原件的寿命（单位：小时）如下，问是否有理由认为元件的平均寿命大于225小时。 第七章 假设检验与方差分析 习题答案 一、名词解释 用规范性的语言解释统计学中的名词。 1. 假设检验：对总体分布或参数做出某种假设，然后再依据抽取的样本信息，对假设是否正确做出统计判断，即是否拒绝这种假设。 2. 原假设：又叫零假设或无效假设，是待检验的假设，表示为 H 0，总是含有等号。 3. 备择假设：是零假设的对立，表示为 H 1，总是含有不等号。 4. 单侧检验：备择假设符号为大于或小于时的假设检验。 5. 显著性水平：原假设为真时，拒绝原假设的概率。 6. 方差分析：是检验多个总体均值是否相等的一种统计分析方法。 二、填空题 根据下面提示的内容，将适宜的名词、词组或短语填入相应的空格之中。 1. u ，n x σμ0 -，标准正态； ),(),(2/2/+∞--∞n z n z σ σ αα 2. 参数检验，非参数检验 3. 弃真，存伪 4. 方差 5. 卡方， F 6. 方差分析 7. t ，u 8. n s x 0 μ-，不拒绝 9. 单侧，双侧 10．新产品的废品率为5% ，0.01 11．相关，总变异，组间变异，组内变异 12．总变差平方和=组间变差平方和+组内变差平方和 13．连续，离散 14．总体均值 15．因子，水平 16．组间，组内 17．r-1，n-r 18. 正态，独立，方差齐 三、单项选择 从各题给出的四个备选答案中，选择一个最佳答案，填入相应的括号中。 1．B 2．B 3. B 4．A 5． C 6． B 7． C 8． A 9． D 10． A 11． D 12． C 四、多项选择 从各题给出的四个备选答案中，选择一个或多个正确的答案，填入相应的括号中。 1.AC 2．A 3.B 4.BD 5. AD 五、判断改错 对下列命题进行判断，在正确命题的括号内打“√”；在错误命题的括号内打“×”，并在错误的地方下划一横线，将改正后的内容写入题下空白处。 1. 在任何情况下，假设检验中的两类错误都不可能同时降低。 ( × ) 样本量一定时 2. 对于两样本的均值检验问题，若方差均未知，则方差分析和t 检验均可使用，且两者检验结果一致。 ( √ ) 3. 方差分析中，组间离差平方和总是大于组内离差平方和。( × ) 不一定 4. 在假设检验中，如果在显著性水平0.05下拒绝了 00:μμ≤H ，则在同一水平一定可以拒绝假设00:μμ=H 。( × ) 不一定 5. 为检验k 个总体均值是否显著不同，也可以用t 检验，且与方差分析相比，犯第一类错误的概率不变。（ × ） 会增加 6. 方差分析中，若拒绝了零假设，则认为各个总体均值均有显著性差异。( × ) 不完全相等 六、简答题 根据题意，用简明扼要的语言回答问题。 1. 假设检验与统计估计有何区别与联系？ 【答题要点】 假设检验是在给定显著性水平下，计算出拒绝域，并根据样本统计量信息来做出是否拒 项目八 假设检验、回归分析与方差分析 实验1 假设检验 实验目的 掌握用Mathematica 作单正态总体均值、方差的假设检验, 双正态总体的均值差、方差比的假设检验方法, 了解用Mathematica 作分布拟合函数检验的方法. 基本命令 1.调用假设检验软件包的命令< §3 检验母体方差 3.1检验正态母体的方差——2 χ检验 母体),(~2σμN X ，2 ,σμ均未知，试对 2 σ与2 0σ有无显著差异作假设检验. ① 在 母体上作 假设 ?=2 2 0:σσH 2 021:σσ≠H ②检验统计量)1( ~ )1(2 20 2 20 --=*n S n H χσχ ③给定显著水平α，如图存在 )1(22 1-- n α χ 和)1(2 2 -n αχ，使 2 )}1({)}1({2 2 22 2 12α χχχ χαα = ->=-<- n P n P 故取拒绝域 } )1()1(),,,{(2 2 222 1221->-<=-n n x x x W n ααχχχχ或 ④决策：当抽样结果是 W x x x n ∈),,,(21 时，拒绝0H ，认为2 σ与20σ有 显著差异；否则接受0H ，认为2 σ与20 σ无 显著差异. 例3.3.1 某细纱车间纺出的一种细纱支数X 的标准差2.10=σ，现从某日纺出的一批细纱中随机抽出16缕进行支数 测量，算得子样标准差1.2*=s ，问：纱的 均匀度有无显著变化（取05.0=α）？假 定母体X 的分布是正态的。 解: 设该日纺出的纱的支数 ),(~2 σμN X ，2 ,σ μ均未知， 作假设?=2202.1:σH 2 21 2.1:≠σH 检验统计量)1(~ )1(22 022 --=*n S n H χσχ 给定显著水平α，拒绝域为 } )1()1(),,,{(2 2 222 1221->-<=-n n x x x W n ααχχχχ或 这时16=n ，2.10=σ，1.2* =s ，从而 94.452 =χ，又05.0=α，查表得 262.6)15()1(22975 .02 1==-- χχαn ， 488.27)15()1(22 025 .02 ==-χχαn ， 可见)1(2 2->n αχχ，故应拒绝0H ，认为 这天细纱的均匀度有显著变化。 例3.3.2 ),(~2 σμN X ， 2 ,σμ均未知， 当45>n ，作如下假设检验 ?=2020:σσH 2021:σσ≠H 检验统计量取为2 02 2 )1(σχ*-= S n ，证明：给 定显著水平α，则拒绝域为 } )1(2)1({})1(2)1({2 22 2ααχχu n n u n n W ---≤-+-≥= . 证明：作假设?=2020:σσH 2 021:σσ≠H ， 0H 成立时检验统计量 T检验及其与方差分析的区别 假设检验是通过两组或多组的样本统计量的差别或样本统计量与总体参数的差异来推断他们相应 的总体参数是否相同。 t 检验：1.单因素设计的小样本（n＜50）计量资料 2.样本来自正态分布总体 3.总体标准差未知 4.两样本均数比较时，要求两样本相应的总体方差相等 ?根据研究设计t检验可由三种形式： –单个样本的t检验 –配对样本均数t检验(非独立两样本均数t检验) –两个独立样本均数t检验 （1）单个样本t检验 ?又称单样本均数t检验(one sample t test),适用于样本均数与已知总体均数μ0的比较,其比较目的是检验样本均数所代表的总体均数μ是否与已知总体均数μ0有差别。 ?已知总体均数μ0一般为标准值、理论值或经大量观察得到的较稳定的指标值。 ?单样t检验的应用条件是总体标准 未知的小样本资料( 如n<50),且服从正态分布。 （2）配对样本均数t检验 ?配对样本均数t检验简称配对t检验(paired t test),又称非独立两样本均数t检验,适用于配对设计计量资料均数的比较,其比较目的是检验两相关样本均数所代表的未知总体均数是否有差别。 ?配对设计(paired design)是将受试对象按某些重要特征相近的原则配成对子，每对中的两个个体随机地给予两种处理。 ?应用配对设计可以减少实验的误差和控制非处理因素，提高统计处理的效率。 ?配对设计处理分配方式主要有三种情况： ①两个同质受试对象分别接受两种处理，如把同窝、同性别和体重相近的动物配成一对，或把同性别和年龄相近的相同病情病人配成一对； ②同一受试对象或同一标本的两个部分，随机分配接受两种不同处理，如例资料； ③自身对比(self-contrast)。即将同一受试对象处理（实验或治疗）前后的结果进行比较，如对高血压患者治疗前后、运动员体育运动前后的某一生理指标进行比较。 （3）两独立样本t检验 两独立样本t 检验(two independent samples t-test)，又称成组t 检验。 ?适用于完全随机设计的两样本均数的比较,其目的是检验两样本所来自总体的均数是否相等。 ?完全随机设计是将受试对象随机地分配到两组中，每组对象分别接受不同的处理，分析比较处理的效应。或分别从不同总体中随机抽样进行研究。 ?两独立样本t检验要求两样本所代表的总体服从正态分布N(μ1，σ12)和N(μ2，σ22)，且两总体方差σ12、σ22相等,即方差齐性(homogeneity of variance, homoscedasticity)。 ?若两总体方差不等,即方差不齐，可采用t’检验,或进行变量变换,或用秩和检验方法处理。 t 检验中的注意事项 1.假设检验结论正确的前提作假设检验用的样本资料，必须能代表相应的总体，同时各对比组 具有良好的组间均衡性,才能得出有意义的统计结论和有价值的专业结论。这要求有严密的实验设计和抽样设计,如样本是从同质总体中抽取的一个随机样本,试验单位在干预前随机分组,有足够的样本量等。 2.检验方法的选用及其适用条件,应根据分析目的、研究设计、资料类型、样本量大小等选用适当 的检验方法。t 检验是以正态分布为基础的，资料的正态性可用正态性检验方法检验予以判断。 若资料为非正态分布，可采用数据变换的方法，尝试将资料变换成正态分布资料后进行分析。 项目八 假设检验、回归分析与方差分析 实验3 方差分析 实验目的 学习利用Mathematica 求单因素方差分析的方法. 基本命令 1.调用线性回归软件包的命令< 第3章 多元正态总体的假设检验与方差分析 从本章开始，我们开始转入多元统计方法和统计模型的学习。统计学分析处理的对象是带有随机性的数据。按照随机排列、重复、局部控制、正交等原则设计一个试验，通过试验结果形成样本信息（通常以数据的形式），再根据样本进行统计推断，是自然科学和工程技术领域常用的一种研究方法。由于试验指标常为多个数量指标，故常设试验结果所形成的总体为多元正态总体，这是本章理论方法研究的出发点。 所谓统计推断就是根据从总体中观测到的部分数据对总体中我们感兴趣的未知部分作出推测，这种推测必然伴有某种程度的不确定性，需要用概率来表明其可靠程度。统计推断的任务是“观察现象，提取信息，建立模型，作出推断”。 统计推断有参数估计和假设检验两大类问题，其统计推断目的不同。参数估计问题回答诸如“未知参数的值有多大?”之类的问题,而假设检验回答诸如“未知参数的值是吗?”之类的问题。本章主要讨论多元正态总体的假设检验方法及其实际应用，我们将对一元正态总体情形作一简单回顾，然后将介绍单个总体均值的推断， 两个总体均值的比较推断，多个总体均值的比较检验和协方差阵的推断等。 3.1一元正态总体情形的回顾 一、 假设检验 在假设检验问题中通常有两个统计假设（简称假设）,一个作为原假设（或称零假设），另一个作为备择假设（或称对立假设），分别记为和。 1、显著性检验 为便于表述，假定考虑假设检验问题：设1X ，2X ，…,n X 来自总体),(2 σμN 的样本，我们要检验假设 100:,:μμμμ≠=H H （3.1） 原假设0H 与备择假设1H 应相互排斥，两者有且只有一个正确。备择假设的意思是，一旦否定原假设0H ，我们就选择已准备的假设1H 。 管理工程学院硕士生《应用统计方法》课程作业 I 假设检验与方差分析 一、假设检验：(配对均值检验) 1、某药厂最近研制出一种新的降压药，为了验证其疗效，选择15个高血压病人进行实验。数据表是服药前后的血压值。选用适当的统计方法验证该药是否有效。 patient 1 2 3 4 5 6 7 8 before 115 135 127 130 103 90 101 104 after 109 120 125 130 105 94 90 100 patient 9 10 11 12 13 14 15 before 109 89 120 113 118 130 120 after 90 90 110 103 100 121 108 二、方差分析： 1、对于硅酸盐水泥的抗折强度，用四种不同的配方方法收集了以下数据： 配方法抗折强度 1 3129 3000 2865 2890 2 3200 3300 2975 3150 3 2800 2900 2985 3050 4 2600 2700 2600 2765 （1）检验配方法影响水泥砂浆强度的假设。 （2）选择一种比较方法对均值进行比较。 2、纺织厂有很多织布机，设每台机器每分钟织出同样的布，为了研究这一假设， 随机选取5台织布机并测定它们在不同时间的产量，得出数据：织布机产量 1 14.0 14.1 14. 2 14.0 14.1 2 13.9 13.8 13.9 14.0 14.0 3 14.1 14.2 14.1 14.0 13.9 4 13.6 13.8 14.0 13.9 13.7 5 13.8 13. 6 13.9 13.8 14.0 （1）说明为什么这是一种随机效应实验。织布机的产量相等吗？ 《数理统计》课内实验报告 学生姓名:张学阳1009300132 及学号： 学院: 理学院 班级: 数学101 课程名称：数理统计 实验题目:假设检验、方差分析、回归分析 指导教师 王亮红讲师 姓名及职称： 郭新辰教授 韩玉副教授 2012年11月13日 目录 一、实验目的 (1) 二、实验内容 (1) 三、实验要点及说明 (2) 四、实现方法 (2) 五、实验结果 (3) 六、源程序清单 (4) 七、思考及总结 (5) 一、实验目的 1. 掌握假设检验、方差分析、回归分析的概念； 2. 学会利用Matlab软件实现对实验数据的假设检验、方差分析、回归分析等统计分析方法。 二、实验内容 1. 某种零件的尺寸方差为2 1.21 σ=，对一批这类零件检查6件得尺寸数据（单位：毫米）为： 32.56 29.66 31.64 30.00 21.87 31.03 设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是32.50毫米（显著性水平0.05 α=）。 2. 按照规定，每100克罐头番茄汁中，维生素C的含量不得少于21毫克，现从某厂生产的一批罐头中抽取17个，测得维生素C 的含量（单位：毫克）如下： 22 21 20 23 21 19 15 13 16 23 17 20 29 18 22 16 25 已知维生素C的含量服从正态分布，试检验这批罐头的维生素含量是否合格（显著性水平0.025 α=）。 4．为寻求适应某地区的高产油菜品种，今选了五种不同品种进行试验，每一品种在四块试验田上得到在每一块田上的亩产量如下： 问题：试分析不同品种的平均亩产量是否有显著差异？若存在显著性差异，哪个品种的亩产量高？并给出参数的估计值。 (均值、方差、置信区间) 三、实验要点及说明 对于问题1和问题2首先判断属于标准差已知还是未知的检验，然后根据检验统计量判断是否落入拒绝域，再判断是否合理。 四、实现方法 1.总体),1.1(~2μN X ，待检验的原假设0H 与备择假设1H 分别为 5.32:0=μH vs 8:1≠μH 这是一个双边检验问题，检验的拒绝域为 }|{|/2-1αμμ≥ 取显著水平,05.0=α查表知96.1975.0=μ，具体数据可由Matlab 求解。 2.这是一个关于均值的单边的假设检验问题。原假设是 21:0≥μH vs 21:1<μH 由于标准差未知，故采用t 检验，其拒绝域为 1)}-(n t |t {|α≤ 显著性水平0.025α=，可以查表和通过Matlab 计算得到相应的数值。 4.若取0 5.0=α，由Matlab 求解得到P 值为0.0162，由于P 值小于 α，故拒绝原假设。下面是参数估计 T检验及其与方差分析 的区别 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 T检验及其与方差分析的区别 假设检验是通过两组或多组的样本统计量的差别或样本统计量与总体参数的差异来推断他们相应的总体参数是否相同。 t 检验：1.单因素设计的小样本（n＜50）计量资料 2.样本来自正态分布总体 3.总体标准差未知 4.两样本均数比较时，要求两样本相应的总体方差相等 ?根据研究设计t检验可由三种形式： –单个样本的t检验 –配对样本均数t检验(非独立两样本均数t检验) –两个独立样本均数t检验 （1）单个样本t检验 ?又称单样本均数t检验(one sample t test),适用于样本均数与已知总体均数μ0的比较,其比较目的是检验样本均数所代表的总体均数μ是否与已知总体均数μ0有差 别。 ?已知总体均数μ0一般为标准值、理论值或经大量观察得到的较稳定的指标值。 ?单样t检验的应用条件是总体标准未知的小样本资料( 如n<50),且服从正态分布。（2）配对样本均数t检验 ?配对样本均数t检验简称配对t检验(paired t test),又称非独立两样本均数t检验,适用于配对设计计量资料均数的比较,其比较目的是检验两相关样本均数所代表的未知总体均数是否有差别。 ?配对设计(paired design)是将受试对象按某些重要特征相近的原则配成对子，每对中的两个个体随机地给予两种处理。 ?应用配对设计可以减少实验的误差和控制非处理因素，提高统计处理的效率。 ?配对设计处理分配方式主要有三种情况： ①两个同质受试对象分别接受两种处理，如把同窝、同性别和体重相近的动物配成一对，或把同性别和年龄相近的相同病情病人配成一对； ②同一受试对象或同一标本的两个部分，随机分配接受两种不同处理，如例资料； ③自身对比(self-contrast)。即将同一受试对象处理（实验或治疗）前后的结果进行比较，如对高血压患者治疗前后、运动员体育运动前后的某一生理指标进行比较。 （3）两独立样本t检验 两独立样本t 检验(two independent samples t-test)，又称成组t 检验。 ?适用于完全随机设计的两样本均数的比较,其目的是检验两样本所来自总体的均数是否相等。 ?完全随机设计是将受试对象随机地分配到两组中，每组对象分别接受不同的处理，分析比较处理的效应。或分别从不同总体中随机抽样进行研究。 ?两独立样本t检验要求两样本所代表的总体服从正态分布N(μ1，σ12)和N(μ2，σ 2)，且两总体方差σ12、σ22相等,即方差齐性(homogeneity of variance, 2 homoscedasticity)。 ?若两总体方差不等,即方差不齐，可采用t’检验,或进行变量变换,或用秩和检验方法处理。 t 检验中的注意事项 1.假设检验结论正确的前提作假设检验用的样本资料，必须能代表相应的总最新多元统计分析第三章 假设检验与方差分析
正态总体均值及方差的假设检验表
假设检验与方差分析
数理统计--参数估计、假设检验、方差分析(李志强) (3)
假设检验及方差分析
方差分析与假设检验实验报告二
8.假设检验和方差分析
07第七章 假设检验与方差分析 习题答案
假设检验项目假设检验回归分析与方差分析
3.3总体方差的假设检验
T检验及其与方差分析的区别
假设检验、回归分析及方差分析
多元正态总体的假设检验和方差分析
假设检验与方差分析的作业
假设检验、方差分析、回归分析
T检验及其与方差分析的区别