高中数学竞赛数论部分
初等数论简介
绪言：在各种数学竞赛中大量出现数论题，题目的内容几乎涉及到初等数论的所有专题。 1． 请看下面的例子：
（1） 证明：对于同样的整数x 和y ，表达式2x+3y 和9x+5y 能同时被整除。(1894年首届匈牙利 数学竞赛第一题) （2） ①设n Z ∈，证明213
1n
-是168的倍数。
②具有什么性质的自然数n ，能使123n ++++能整除123n ???？（1956年上海首届数学竞赛第一题）
（3） 证明：3
231
122
n
n n ++-对于任何正整数n 都是整数，且用3除时余2。（1956年北京、天津市首届数学竞赛第一题）
（4） 证明：对任何自然数n ，分数214
143
n n ++不可约简。（1956年首届国际数学奥林匹克竞赛第一题）
（5） 令(,,
,)a b g 和[,,
,]a b g 分别表示正整数,,
,a b g 的最大公因数和最小公倍数，试证：
[][][][]()()()()
2
2
,,,,,,,,,,a b c a b c a b b c c a a b b c c a =??（1972年美国首届奥林匹克数学竞赛第一题）
这些例子说明历来数论题在命题者心目中首当其冲。 2.再看以下统计数字：
（1）世界上历史最悠久的匈牙利数学竞赛，从1894~1974年的222个试题中，数论题有41题，占18.5%。 （2）世界上规模最大、规格最高的IMO （国际数学奥林匹克竞赛）的前20届120道试题中有数论13题，占10.8% 。 这说明：数论题在命题者心目中总是占有一定的分量。如果将有一定“数论味”的计数型题目统计在内，那么比例还会高很多。
3.请看近年来国内外重大竞赛中出现的数论题：
(1)方程3
2
3
652x x x y y ++=-+的整数解(,)x y 的个数是（ ）
A 、 0
B 、1
C 、3
D 、无穷多
（2007全国初中联赛5）
（2）已知,a b 都是正整数，试问关于x 的方程()2
1
02
x
abx a b -+
+=是否有两个整数解？ 如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明。
（2007全国初中联赛12） （3）①是否存在正整数,m n ，使得(2)(1)m m n n +=+？
②设(3)k k ≥是给定的正整数，是否存在正整数,m n ，使得()(1)m m k n n +=+？ （2007全国初中联赛14）
（4）关于,x y 的方程22
229x xy y ++=的整数解(,)x y 得组数为（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、无穷多
（2009全国初中联赛5） （5）已知12345,,,,a a a a a 是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b 是 关于x 的方程()()()()12345()
2009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为
（2009全国初中联赛8） （6）已知正整数a 满足3192191a +，且2009a <，求满足条件的所有可能的正整数a 的和。
（2009全国初中联赛12） （7）n 个正整数12,,
,n a a a 满足如下条件：1212009n a a a =<<<=；且12,,,n a a a 中任意1n -个不同的
数的算术平均数都是正数，求n 的最大值。
（2009全国初中联赛14） (8)在一列数123,,,x x x …中，已知11x =，且当2k
≥时，11214()44k k k k x x ---????
=+--????????
（取整符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数，例如
[][]2.62,0.20==）则2010x 等于（ ）
A 、 1
B 、 2
C 、 3
D 、 4 （2010全国初中联赛4） （9）求满足2
2
282p p m m ++=-的所有素数P 和正整数m 。
（2010全国初中联赛13）
（10）从1,2,,2010…这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？ （2010全国初中联赛14）
（11）设四位数abcd 满足3
3
3
3
110a b c d c d ++++=+，则这样的四位数的个数为 （2011全国初中联赛10）
（12）已知关于x 的一元二次方程2
0x cx a ++=的两个整数根恰好比方程2
0x ax b ++=的两个根都大1，求a+b+c 的值
（2011全国初中联赛11）
（13）若从1,2,3,,n …中任取5个两两互素的不同的整数12345,,,,a a a a a 其中总有一个整数是素数，求n 的最大值。 （2011全国初中联赛13） （14）把能表示成两个正整数平方差的这种正整数，从小到大排成一列：
12,,n a a a …，例如221213a =-=，222325a =-=，……那么2007a =
（2007福建省高一数学竞赛12）
（15）求最小的正整数n ，使得集合{1,2,3,,2007}…的每一个n 元子集中都有2个元素（可以相同），它们的和是2的幂。
（2007福建省高一数学竞赛14） （16）两条直角边长分别是整数a 和b(其中b<1000)，斜边长是b+1的直角三角形有（ ） A 、20个 B 、21个 C 、22个 D 、43个
（2008福建省高一数学竞赛5） （17）设x 、
y 为非负整数，使得2x y +是5的倍数，x y +是3的倍数，且299x y +≥，则75x y +的最小值为
（2008福建省高一数学竞赛11） （18）正整数1212a a a ≤≤≤…中，若任意三个都不能成为三角形的三边长，则12
1
a a 的最小值是 （2008福建省高一数学竞赛12）
（19）设{1,2,3,,}S n =…（n 为正整数），若S 得任意含有100个元素的子集中必定有两个数的差能被25整除，求n 的最大值。 （2008福建省高一数学竞赛17） （20）设
[]x 是不超过x 的最大整数，则1235003333log log log log ????????++++????????…=
（2009福建省高一数学竞赛11）
（21）已知集合M 是集合{1,2,3,,2009}S =…的含有m 个元素的子集，且对集合M 的任意三个元素x,y,z 均有x+y 不能整除z ，求m 的最大值。
（2009福建省高一数学竞赛17） （22）已知a,b,c 为正整数，且1c b a >>>，111
()()()a b c c a b
-
--为整数，则a+b+c= （2011福建省高一数学竞赛12）
（23）正整数500n ≤，具有如下性质：从集合{1,2,,500}…中任取一个元素m ，则m 整除n 的概率是1
100
，则n 的最大值是
（2008福建省预赛12） （24）设()f x 施周期函数，T 和1是()f x 的周期且01T
<<，证明：
（1）若T 为有理数，则存在素数P ，使
1
p
是()f x 的周期；
（2）若T 为无理数，则存在各项均为无理数的数列
{}n a 满足10n m a a >>>，
（n=1,2, …）且每个n a 都是()f x 的周期 （2008全国高中联赛加试二） （25）方程[]
9
2
x x
=
的实数解事 （其中[]x 表示不超过x 的最大整数） （2009福建初赛9）
（26）设}
1,1,2,,2010i x i ∈
=…，令123420092010S x x x x x x =++…
（1）S 能否等于2010？证明你的结论； （2）S 能取到多少个不同的整数值？
（2009福建初赛14）
（27）设,k l 是给定的两个正整数，证明：有无穷多个正整数m k ≥，使得k
m C 与l 互素。 （2009全国高中联赛加试三） （28）已知集合{}230
123777A x x a
a a a =
=+?+?+?，其中{}0,1,2,3,4,5,6i a ∈，0,1,2,3i =，且30a ≠，
若正整数,m n A ∈，且2010,m n m n +=>，则符合条件的正整数m 有 个。 （2010福建预赛6） （29）将方程[]3
34x
x -?=的实数解从小到大排列得12,,k x x x …，则3333123k x x x x +++…的值为
（2010福建预赛8） （30）设k 是给定的正整数，1
2
r k =+，记(1)()(1)()()[],()(())l l f r f r r r f r f f r -===，2l ≥。证明：存在正整
数m ，使得()
()m f
r 为一个整数。这里，[]x 表示不小于实数x 的最小整数。
（2010全国高中联赛加试二） （31）已知正整数x,y,z 满足条件(14)(14)(14)xyz
x y z =---，且28x y z ++<，则222x y z ++的最大值为
（2011福建预赛7）
（32）证明：对任意整数4,n ≥存在一个n 次多项式1
110()n
n n f x x a x a x a --=+++…具有如下性质：
（1）011,,,n a a a -…均为正整数；
（2）对任意正整数m ，及任意(2)k k ≥个互不相同的正整数12,,,k r r r …均有12()()()()k f m f r f r f r ≠… （2011全国高中联赛加试二）
（33）证明：存在无穷多个正整数n ，使得2
1n +有一个大于2n
（2008第49届IMO.3）
（34）设n 是一个正整数，12,,(2)k a a a k ≥…是集合{}1,,n …中互不相同的整数，使得对于1,,1i k =-…都有n 整
除1(1)i i a a +-。
证明：n 不整除1(1)k a a - （2009第50届IMO.1）
本资料主要介绍中学代数课程里未能深入谈到的整数的性质及其应用，初等数论的解题过程通常不涉及很多的基础知识，重要的是机智和灵活。本资料除打上“*”的是少数内容外，初二年以上的学生均可学习掌握。
为叙述方便，本资料中的字母均表示整数。交有Z ，N*，Z*分别表示整数集，正整数集和非零整数集。
整数的概念、分类、自然数两种理论（基数理论，序数理论）
基数用于表示“多少”：将所有有限集分类，使所含元素个数一样多的集合成为同一类，对每一类用一个记号来表示它们（这一类的集合）所含元素个数一样多这个共同特征。这个记号就是一个自然数。
公理化的方法：对已有的知识进行深入的分析，选择其中一些基本关系作为不定义的概念，一些基本性质作为不加证明的公理，建立起公理系统。然后由所建立的公理系统出发，应用形式逻辑的方法，来给出其它有关概念的定义，并证明各种命题。
序数表示“第几”*（peano 定理）如果非空集合N*中的某些元素之间有一个基本关系“直接后继”（元素a 的直接后继记为a ’），且N*满足以下条件：
1．**
1,N a N ?∈?∈，必有1a '≠
2．()**,a b a b a N b N ''=?=∈∈ 3．
()
**,a b a b a N b N ''=?=∈∈
4．N*的子集M 若具有下面的性质 定理1 带余除法
设a Z ∈，*
b Z ∈则有且只有一对整数q 与r ，使得a bq r =+其中0<
r b ≤
定义1、定理1中的q 与r 分别称a 除以b 的不完全商与最小非负余数，简称商和余数。
定义2、定理1中的0r =时（即a bq =时）就称a 为b 的倍数，b 是a 的约数（或因数）a 能被b 整除，b 整除a ，记作b
a
性质1、① 0是任何数的倍数（0除外）； ② 1±是任何数的约束；
③ *
a Z a a ∈?； ④
b a
b a b a b a
?-???-????；
⑤
0b a b a a ??
?≤?
≠??； ⑥ b a a b a b ???=±???
； ⑦ *
b a
bc ac c Z ????∈??； ⑧ b a b ac c Z ??
??∈??； ⑨
a b a c b c ??
????； ⑩ 1
1,2,3,
,i
n
i i i i b a k Z b k a i n =?
?
∈???=?
∑
公式1、1
221()()n
n
n n n n x y x y x x y xy y -----=-++++ *()n N ∈ 公式2、1
221()()n
n
n n n n x y x y x x y xy y -----=+-++- （n 是正偶数） 公式3、1
221()()n
n
n n n n x y x y x
x y xy y ----+=+-+
-+ （n 是正奇数）
（以上三个公式中的,x y 可以是任意实数）
例1、设9999b =（31位数）9999a =(1984位数)，求证b a 。
例2、设a c
ab cd -+求证a c ad bc -+。
定义3、能被2整除的数称偶数，不能被2整除的数称奇数。 性质2、用“0”代表偶数，“1”代表奇数，则有
① 0+0=0,0+1=1，1+0=1,1+1=0 ②0?0=0,0?1=0,1?0=0,1?1=1 ③奇数个奇数的和还是奇数 ④任意个奇数之积是奇数 *例3、设
,p q 都是正奇数，且2p q =+，求证q p p q q p ++
注意：奇偶分类在处理很多问题时有用。求末位数问题： 令()G a 表示a 的末位数，则有 性质3、①[]()()()G a b G G a G b +=+
②[]()()()G a b G G a G b ?=?
③()()m
m
G a
G G a ??=??
④任一自然数的正整数次幂的末位数有周期变化的规律。 例4、 求1988
17
的末位数
例5、 ①设,n R 为自然数，求证4()()R n
n G a
G a +=；
②设n 为自然数，求证44
()()n
G a G a =
例6、67
67(67
)G
性质4、①设b 为奇数，c 为偶数，则()()c
b
G a G a =
②设b 为偶数，c 为奇数（1c >）则4
()()c
b G a G a =
③设b 为偶数，c 为偶数，则4()()c
b G a
G a =
④设b 为奇数，c 为奇数，（1c >）则()()c
b b G a
G a =
例7、求19
19
19
(22)n
G 个
*例8、求2
11
1213
a
=的末两位数。
例9、设1237,,,a a a a 是1,2,3,
,7这七个自然数的任何一种次序的排列， 求证：1237(1)(2)(3)
(7)a a a a ----总是一个偶数。
例10、某班有49位同学，坐成七行七列，每个座位的前、后、左、右的座位叫做它的“邻座”，要让这49位同学中的每一位都换到他邻座上去，问这种调换座的方案能否实现？ 作为本节内容的结束，请注意以下两个重要的命题：
① 在(2)m m ≥个相邻整数中，有且只有一个数能被m 整除。 ② 若整数1g >，则任一正整数a 能够唯一表示为1
110n
n n n a a g a g a g a --=++
++
这里,0i a Z n ∈≥，且0<,0,1,2,3,,i a g i n ≤=
习题：
1. 用票面为3分和5分的邮票可以支付任何n （整数7n >）分的邮资。
2. 把十个数码0，1,2,3,4……，9任意两两搭配，组成没有重复数码的5个两位数，求证这样5个两位数的和是9的
倍数。 3. 设
10,10p a b p c d --，求证：p ad bc -
4. 设a 是奇数，求证：28
1a -
5. 证明：各位数码全是1的数中，有且只有一个是平方数。
6. 证明：前n 个自然数和的个位数码不能是2,4,7,9
7. 设a Z ∈，求证(1)(2)(3)1a a a a ++++时奇数的平方。
8. 设10n
a k =?，n 为自然数，k 是非负整数，求证：(1)(3)(7)(9)a a a a ++++的末三位数是189。 9. 证明：整数a 能够表示成两个整数平方和的充要条件是2a 也具有相同性质。
10. 设整数,,,,x a b c d 互不相等，且()()()()4x a x b x c x d ----=，求证4x a b c d =+++ 11. 设2
n ，求证4216411n n ++。
12. 设32*()5
551()n
n n f n n N =+++∈，证明：当且仅当4n 时，13()f n 。
13. 已知0n ≥，求证：3
321n
n +
14. 证明：在任意n 个整数中，总可以找到(1)k k n ≤≤个整数，使它们的和是n 的倍数。 15. 能否把1,1,2,2,3,3,
,1986,1986这些数排成一行，
使得两个1之间夹着一个数，两个2之间夹着两个数，……，两个1986之间夹着1986个数？请证明你的结论
（首届全国数学冬令营竞赛试题五）
16. 设正整数d 不等于2,5,13，证明集合
{}2,5,13,d 中可以找到两个不同元素,a b 使1ab -不是完全平方数 （第
27届IMO ）
定义1、若,1,2,
,,2i d
a i n n =≥就称d 是这几个数的公因数；
定义2、(2)n n ≥个不全为零的整数i a 的公因数中的最大数叫做这几个整数的最大公因数，记12(,,)n a a a
性质一：12(,,)1n a a a ≥
定义3、若12(,,)1n a a a =，则称12,,
n a a a 互素（互质）
定义4、若,1,2,
,,2i
a m i n n =≥，则称m 是i a 的公倍数；
定义5、非零整数的一切正的公倍数中的最小正数叫最小公倍数，记[]12,,n a a a
定理1、若,,a b c 不全为零，且a bq c =+则(,)(,)a b b c = 性质二：1212(,,
,)(,,)n n a a a a a a =
定理2、若(,)c a c a b c b ??
????
定理3、若整数,a b 不全为零，则存在整数,x y 使得(,)ax by a b += 性质三：*
m N ∈，(,)(,)ma mb m a b = 性质四：若(,)1a c =，则(,)(,)ab c b c = 定理4、若,a
k b k ，则[],a b k
定理5、若,a b 是同号整数，则[](),,a b a b ab =
例1、 形如221(0)n
n
F n =+≥的数称费尔马数，求证(,)1i j F F =，这里,i j 都是非负整数，且i j ≠
例2、 设*
*
,,a N b N ∈∈且a b ≠，证明(21,21)1(,)1a
b
a b --=?= 例3、 已知(,)1a b =，求证(,)1ab a b += 例4、 设()f x 使非零整系数多项式，()()6263f f ，，求证()66f
例5、
求证[](,
,)(,)a b a b a b +=
例6、
设*
m N ∈，证明：当且仅当[],m a b =
时，,1m m
a b
??
= ??
? 例7、 已知12,,
,n a a a 是两两互素的正整数，求证：[]12123
,,,n n a a a a a a a =
例8、 求证平方数的正因数有奇数个，非平方数的正因数有偶数个。 例9、
有一百盏电灯，排成一行，自左向右，编号1,2,3,
,99,100。每灯由一拉线开关控制，最初灯全关着。
另有一百个学生顺次走过，第k 个学生把凡是编号为k 的倍数的电灯开关拉一下，(1,2,3,,100)k =问：100个
学生全部过去之后，有哪几个编号的灯还亮着？ 习题：
1、设k a 表示各位数码都是1的k （k N ∈）位数，求证：
(,)1m n a a =的充要条件是(,)1m n =，这里*,m n N ∈，且m n ≠
2、设00ax by +是形如ax by +（,a b 不全为0）的数中最小正数。 求证：（1）00
ax by ax by ++； （2）00(,)ax by a b +=
3、设(,)1x y =，求证(,)12x y x y +-=或
4、设(,),(,)a b d a b d '''==，求证(,,,)aa ba ab bb dd '''''=
5、已知：,a b 为非零自然数，n N ∈
求证：（1）(,)(,)n
n
n
a b a b =；（2）[,][,]n
n
n
a b a b = 6、设*
a Z ∈，证明：数列,2,3,,a a a na 中n 的倍数共有(,)n a 个。
7、设a Z ∈，求证6(1)(21)a a a ++
8、已知：126
n x x x ++
+，求证3
33126n x x x ++
+
9、设n 是奇数，,n a b n a b +-，求证(,)n a b
10、设(,10)1a =，证明：各位数码全是1的数中有a 的倍数 11、求证(,,)((,),)a b c a b c =
本节的定义、定理、性质较为繁杂，为便于记忆，整理成以下图式：
自然数集的进一步分类：素数、合数、1 定义 如果大于1的整数p 恰有两个正因数1与P ，就说P 是素数，如果正整数N*有多于两个的正因数，就说N*
是合数。
例1：证明：对任给的正整数N*，总可找到N*个相邻的合数。 定理一：任一整数N*的最小因数P （P>1）是素数（N*>1） 定理二：素数有无限多个。
定理三：若N*是合数，P （P>1）是N*的最小正因数，则p ≤
以上的例子和定理分别刻画了素数的某些分布特征和判断素数的方法。 定理四：若,1,2,3,
,i a Z i n ∈=，P 是素数，12n p a a a 则P 整除某个i a
定理五：（唯一分解定理）每个大于1的整数，都可唯一地分解成素因数（不计因数的顺序）的积。 推论：任一大于1的整数a 可以唯一分解成12
12k k a p p p αα
α=这里i p 是相异的素数，i α是正整数。有时为了表
述方便，允许0i α=，上式称为a 的标准分解式。
例2、设21()m
m N +∈是素数，求证：m 是2的非负整数次幂。 定理六：若,a b 得标准分解式为12
12n n a p p p αα
α=，12
12n n b p p p βββ=，
则12
12(,)n r r
r
n a b p p p =?，12
12[,]n n a b p p p δδδ=?。
这里min(,)i i i r αβ=，max(,)i i i δαβ= ，1,2,,i n =、
例3、求证[,,](,,)a b c ab bc ca abc =
定理七：若a 的标准分解式为1
2
12
n
n a p p p ααα=，则a 的一切正因数的个数1
()(1)n
i i a τα==+∏，a 的一切正因
数的和为11
1
()1i n
i i i p a p ασ+=-=-∏。
例4、证明形如41()n n N -∈的素数有无限个。 哥德巴赫于1742年在和欧拉的通信中提出的猜想：
1． 每个大于5的偶数都是两个奇素数之和 2． 每个大于8的奇数都是三个奇素数之和
1973年5月《中国科学》杂志刊出陈景润研究G 氐猜想的结果：
“任一充分大的偶数是一个素数和另一个素数的和，后者或为素数，或仅另两个素数的乘积。” 此定理被简称为“1+2”当然离“1+1”还有一段距离，不过这已经是当今最优成果了。 习题： 1、 设p 是异于3的奇素数，求证2241p -
2、 设
,p q 是素数，且5p q >>，求证44240p q -
3、 设整数,,a b c 都大于1，证明[(,),(,)]([,],)a c b c a b c =
4、 求证：2
2
[,,](,)(,)(,)(,,)[,][,][,]a b c a b b c c a a b c a b b c c a = 5、 设,a n 都是大于1，1n
a -是素数，求证：2a =，且n 是素数
6、 从1到100这100个自然数中，任意选出51个数，求证其中至少有两个数，它们中的一个是另一个的倍数。
7、 设,,(,)1a b N a b ∈=，证明(,)()();()()()a b a b ab a b τττσσσ==
8、 证明：形如32n +的素数有无限多个。
9、 设2n >，证明：在n 与!n 之间至少有一个素数。 10、设n p 是表示由小到大排列的第n 个素数，证明
22n
n p <
定义 给定正整数m ，如果用它除任意两个整数a,b ，所得余数相同，就说a,b 对于模m 同余，记作()mod a b m ≡。
若所得余数不同，就说a,b 对于模m 不同余，记作()mod a b m ≡。
定理与性质
例1 正整数a 能被9整除的充要条件是a 的各个数码之和能被9整除。 例2 设110=n n a a a a a -???，求证：()()0121110mod n
n a a a a a n ?-+???+-≡。
例3 求正整数a 能被7正处的充要条件。 例4 设4444
4444
的各个数码之和为a ，a 的各个数码之和为b ，求b 的各个数码之和为c 。
例5 一环形公路上有几个汽车站，海拔高度只有5米和10米两种，若相邻两站的海拔高度相等，则
称连接它们的公路是水平的；如果两相邻汽车站海拔高度不等，则称相连公路是有坡的。有一旅行者坐汽车环行东路一周，发现水平公路的段数与有坡公路的段数相等，求证4整除n 。
例6 设()1234n n n n n
P n N =+++∈，问：怎样的n 使得10|n P 。
例7 求证：任何整数1214
,,,x x x ???都不能满足方程
44412141599
x x x ++???+=。
习题
1. 设()mod a b n ≡，求证：()(),,a m b m =。
2. 设()5
mod10a ≡，求证：()225mod100a ≡。
3. 设ABCDE 是按逆时针方向排列的五角棋盘，从A 沿逆时针方向移动棋子，第K 次移动K 步，证明无论移动多少次，C 、E 处永远不可能停留棋子。
4. 设a b Z ∈、，P 是素数，求证()()mod p
p p a b a b p +≡+。
5. 证明()()()2
2
2140mod360n
n
n --≡。
6. 设,n a N ∈，2|a ，求证()221mod 2n
n a +≡。
7. 已知()4mod9n ≡，求证n 不能表为3个立方数的和。 8. 已知()7
mod8n ≡，求证n 不能表为3个平方数的和。
9．求出一个整数能被101（或37）整除的充要条件。 10．求下列各数的末两位数：7
77和9
99。 11．记07a ≤<，且()10
1010
mod7a ≡，求a 。
12．已知792|1345ab c ，求a 、b 、c 。 补充题：
1. （1）有几个住鞥书，其积为n ，其和为零。求证4 | n 。 （2）设4 | n ，求证：可以找出几个整数，使其积为n ，其和为零。
（十八届全苏中学生竞赛）
2. 设a ，b ，c 是三个互不相等的正整数，求证：在3
3
a b ab -，3
3
b c bc -，3
3
c a ca -三个数中，至少有一个数能被10整除。
（86. 全国初中联赛，二试，四）
3. 把19,20，…，79,80诸数连写成数A=192021…7980，试证1980 | A 。
4. 试求所有能被11整除的三位数，且除得之商等于被除数中各数字的平方和。 （二届IMO 1960）
若方程或方程组中未知数的个数多于方程的个数，它们的解又限制为正整数、整数、有理数或其它类别的数，则称此方程或方程组为不定方程。不定方程常联系到一些有趣的问题。竞赛中也时有所见。
例1 在等式537850x yz ?=中还原数学x, y, z 。（1987年全俄中学生竞赛题） 例2 解方程
xyz zyx xzyyx ?=。（1978年广东省中学数学竞赛题）
例3 求方程w
2
+2+2+2=20.625x y z 满足条件：>>>w x y z 的整数解。（1979年湖南省中学数学竞赛题）
定义1 设x 为任一实数，[]x 表示不超过x 的最大整数。
函数
[]x 称数论函数，也称高斯函数、阶梯函数等。数论问题是竞赛中的热门课题，而[]x 则是热门中的热门。
由定义，显然有①[]x Z ∈；②[][]1x x x ≤<+。
定义2
{}[]x x x =-称为x 的小数部分，显然{}0
1x ≤<。
例1 计算
。 例2 求,n N
∈。
例3 解方程[]2x x =。
例4 已知方程
[]1
3122x x +=-
，求所有根的和。（1987年初中联考）
习题
1. 56157
85x x +-??
=???
?。 2.
210x ?-+=?。 3.
[]33
x x -=。（英斯科第20届奥林匹克数学竞赛题）
有时也常令[][)=,0,1x x αα-∈通过对α的讨论来解题。
例5 方程[]2440510
x x -+=的实数解的个数是（ ）。（1985美国数学竞赛题）
(A) 0 ;
(B) 1 ;
(C) 2 ;
(D) 3 ;
(E) 4 .
例6 记
[]x 表示不超过x
的最大整数，设n 是自然数，且
()2
2
I=1n n ++-，那么（ ）。（1986年全国初中联考）
（A ）I > 0 ;
（B ）I < 0 ; （C ）I = 0 ;
（D ）当n 取不同的值时，以上三种情况都有可能出现
例7 求正数x ，使得
[]{}
2
x x x =?。
性质1 []x 是不减函数。
性质2
[][]x m x m +=+当且仅当m Z ∈时成立。
性质3 对任意实数x 、y ，有
[][][][][]+1x y x y x y ≤+≤++。
性质4 设m 、n 为正整数，在数列1，2，…，（n-1），n 中，m 的倍数有n m ????
??个。
定理 设p 为一素数，在n! 中p 的方次数等于
21r r n n n p p p ∞
=??????=++????????????
∑
例8 在1000!的十进制展开中，以多少个0为结尾？ 例9 求证方程
[][][][][][]248163212345x x x x x x +++++=无实数解。
例10 设N 为一正整数，问方程[]()
2
22
x x x x ??-=-??在区间1x N ≤≤中有多少个解？（1982年瑞典数学竞
赛题）
例11
试决定
1980
的小数点前一位数字和后一位数字。（1980年芬兰等欧洲四国数学竞赛题）
例12 在整数列
222121980198019801980???????????????
??????，，，中，含有多少个互不相等的自然数？（1980苏联列宁格勒中学生数学竞赛试题）
习题
1．
设M
=N （其中1x ≥）。则一定有（ ）
（1985年北京市中学生数学竞赛高一年试题）
（A ）M>N ; (B) M=N ; (C) M ．设1988S ?=++++?，那么的值是 3． ①找出一个实数x ，满足 {}11x x ?? +=? ???； ②证明，满足上述等式的x 都不是有理数。 4． 设n N ∈，计算和 +1=0+22k k k n ∞ ??????∑。（1968第十届IMO ） 5． 设a , b 为互素的正整数，求证：()()()1112+++2b a a b a a b b b ---?????? ???=????????????。 6． 求所有自然数n , 使得22min 1991n k k ????+= ???????，这里2n k ??????表示不超过2 n k 的最大整数，N 是自然数集。 （1991年中国数学奥林匹克） 若方程或方程组中未知数的个数多于方程的个数，它们的解又限制为正整数、整数、有理数或其它类别的数，则称此方程或方程组为不定方程。不定方程联系到一些有趣的问题。竞赛中也时有所见。 例1．在等式中还原数字x,y,z.(1987全俄中学生竞赛题) 例2．解方程： 例3．求方程222220.625w x y z +++=满足条件：w x y z >> >的整数解。 （1979年湖南省中学数学竞赛题） 定理1 设 ,,,(,),','a b c Z a b d a a d b b d ∈===，则线性不定方程+=ax by c 有整数解的充要条件是d c 。在 有整数解的情形下，如果 x x =， y y =是一组整数解，那么该方程的一切整数解（简称通解）可以写成 例 4 求方程 719213x y +=的整数解。 例5 今有物，不知其数（百个以下）。三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二。问物几何？（该题目出自1600年前的《孙子算经》） “三岁孩儿七十稀，五留廿一事尤奇，七度上元重相会，寒食清明便可知。” 注：该诀出自宋朝周密，“上元”指15，“寒食清明”指105，每年冬至至次年清明正好105天。 “三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。” 注：该诀出自明朝程大位《算法统宗》。 定理2 勾股不定方程222 x y z +=满足 ()000,1x y z x y >>>=、、、，|z y 的一切整数解可表示为22 222x a b y ab z a b ?=-?=??=+? ，这里0a b >>，(),1a b =，,a b 中一个为奇数，另一个为偶数。 例6 设n N ∈，证明方程22n x y z +=有正整数解。 例7 证明不定方程444 x y z +=没有正整数解。 费马猜想：整数2n >时，方程n n n x y z += 无正整数解是数论中的一个着名的难题。1760年欧拉证明了n = 3 的 情形。1828年勒让德余狄里赫勒各自证明了n = 5的情形。1840年拉梅证明n = 7的情形。库莫尔于1844年首创“理想数论”，并利用这个工具一举证明了n 是小于100的奇素数但除去n=37,59,67的情形.1892年米利曼诺夫证明了n=37的情形。1978瓦格斯塔夫借助大型电子计算机证明了2 < n < 125000的情形。…………29岁的讲师又对此做出了重大发展，然而至今还无法宣布此猜想是一条定理。 例8 确定（并加以证明）方程22222 a b c a b ++=所有的整数解。（1976年美国竞赛题） 例9 证明方程3 3 3 3990x y z xyz ++-=只有唯一的有理数解。 例10 正整数a 与b 使得1ab +整除2 2 a b +。求证22 1 a b ab ++是某个正整数的平方。（1988年第29届IMO ） 习题 1. 不定方程2 2 5671987m mn n -+=是否有整数解？ 2. 方程x y z n ++=有多少组正整数解？ 3. 求方程2pq qr rp pqr ++-=的整数解（,,0p q r >）。 4. 求方程 3xy xz yz z y x ++=的整数解。 历年全国高中数学联赛试题及答案 1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题。 2．全卷答案必须做在答题纸卷Ⅰ、卷Ⅱ的相应位置上，做在试题卷上无效,考试时不 能使用计算器。 参考公式：二次函数图象的顶点坐标是。 温馨提示：请仔细审题，细心答题，答题前仔细阅读答题纸上的“注意事项”。 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1．2的相反数是（▲） A．-2 B．2 C．- D． 2．下列计算正确的是（▲）A．Ｂ．9 =3 Ｃ．3-1= -3 Ｄ．2 +3= 5 3．据交通运输部统计，2013年春运期间，全国道路、水路、民航、铁路运送旅客总量超过了3400000000人次，该数用科学记数法可表示为（▲） A．B．C． D． 4．如图是由个相同的正方体搭成的几何体，则其俯视图是（▲） 5．使分式无意义的的值是（▲） A. B. C. D. 6．如图，已知,若, ，则等于（▲） A．B．C．D． 7．市委、市政府打算在2015年底前，完成国家森林城市创建．这是小明随机抽取我市10个小区所得到的绿化率情况，结果如下表： 小区绿化率（%） 20 25 30 32 小区个数 2 4 3 1 则关于这10个小区的绿化率情况，下列说法错误的是（▲） A．中位数是25% B．众数是25% C．极差是13% D．平均数是26．2% 8．将一个半径为R，圆心角为90°的扇形围成一个圆锥的侧面（无重叠），设圆锥底面半径为r，则R与r的关系正确的是（▲） A．R＝8r B．R＝6r C．R＝4r D．R＝2r 9．甲、乙两车分别从相距的两地同时出发，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示，则下列结论不正确的是( ▲) A．甲车的平均速度为； B．乙车行驶小时到达地,稍作停留后返回地； C．经小时后,两车在途中相遇； D．乙车返回地的平均速度比去地的平均速度小。 10．如图，为等边三角形，点的坐标为，过点作直线交于点，交于，点在反比例函数＜的图象上，若和（即图中两阴影部分）的面积相等，则值为（▲）A．B．C．D． 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本大题有6小题，每题4分，共24分） 11．分解因式：= ▲。 12．一个不透明的袋中装有除颜色外其他均相同的2个红球和3个黄球，从中随机摸出一个 高中数学竞赛中数论问题的常用方法 数论是研究数的性质的一门科学,它与中学数学教育有密切的联系.数论问题解法灵活,题型丰富,它是中学数学竞赛试题的源泉之一.下面介绍数论试题的常用方法. 1.基本原理 为了使用方便,我们将数论中的一些概念和结论摘录如下: 我们用),...,,(21n a a a 表示整数1a ,2a ,…,n a 的最大公约数.用[1a ,2a ,…,n a ]表示1a ,2a ,…,n a 的 最小公倍数.对于实数x ,用[x ]表示不超过x 的最大整数,用{x }=x -[x ]表示x 的小数部分.对于整数 b a ,,若)(|b a m -,,1≥m 则称b a ,关于模m 同余,记为)(mod m b a ≡.对于正整数m ,用)(m ?表示 {1,2,…,m }中与m 互质的整数的个数,并称)(m ?为欧拉函数.对于正整数m ,若整数m r r r ,...,,21中任何两个数对模m 均不同余,则称{m r r r ,...,,21}为模m 的一个完全剩余系；若整数)(21,...,,m r r r ?中每一个数都与m 互质,且其中任何两个数关于模m 不同余,则称{)(21,...,,m r r r ?}为模m 的简化剩余系. 定理1 设b a ,的最大公约数为d ,则存在整数y x ,,使得yb xa d +=. 定理2(1)若)(mod m b a i i ≡,1=i ,2,…,n ,)(m od 21m x x =,则 1 1n i i i a x =∑≡2 1 n i i i b x =∑； (2)若)(mod m b a ≡,),(b a d =,m d |,则 )(mod d m d b d a ≡； (3)若b a ≡,),(b a d =,且1),(=m d ,则)(mod m d b d a ≡； (4)若b a ≡(i m mod ),n i ,...,2,1=,M=[n m m m ,...,,21],则b a ≡(M mod ). 定理3(1)1][][1+<≤<-x x x x ； (2)][][][y x y x +≥+； (3)设p 为素数,则在!n 质因数分解中,p 的指数为 ∑≥1 k k p n . 定理4 (1)若{m r r r ,...,,21}是模m 的完全剩余系,1),(=m a ,则{b ar b ar b ar m +++,...,,21}也是模 m 的完全剩余系； (2)若{)(21,...,,m r r r ?}是模m 的简化剩余系,1),(=m a ,则{)(21...,,m ar ar ar ?}是模m 的简化剩余系. 定理5(1)若1),(=n m ,则)()()(n m mn ???=. (2)若n 的标准分解式为k k p p p n ααα (2) 121=,其中k ααα,...,21为正整数,k p p p ,...,21为互不相 概率统计 1、（2009一试8）某车站每天8 00~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为 一旅客820∶【答案】27 【解析】旅客候车的分布列为 候车时间的数学期望为10305070902723361218 ?+?+?+?+?= 2、（2010一试6）两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 【答案】 12 17 3、（2012一试8）某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示） 【答案】 61 243 【解析】用k P 表示第k 周用 A 种密码的概率,则第k 周末用A 种密码的概率为 1k P -.于是,有11(1),3k k P P k N *+=-∈,即1111()434k k P P +-=--由11P =知，14k P ? ?-???? 是首项为34，公 比为13-的等比数列.所以1131()443k k P --=-，即1311()434k k P -=-+，故761243 P = 4、（2014一试8）设D C B A ,,,是空间四个不共面的点，以 2 1 的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则B A ,可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率是__________. 【答案】 3 4 2221219B C D -?-=点相连，且与，中至少一点相连，这样的情况数为（）（） 22(3)AB AD DB 无边，也无CD 边，此时AC,CB 相连有2种情况，，相连也有2种情况， ,,,,AC CB AD DB A B 但是其中均相连的情况被重复了一次，故可用折线连接的情况数为 222+2-1=7. 483++==.644以上三类情况数的总和为329748，故A,B 可用折线连接的概率为 5、（2015一试5）在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为. 【答案】 2 55 【解析】设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意选出3条棱的方法共有3 12C =220种. 下面考虑使3条棱两两异面的取法数，由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向.可先取定AB 方向的棱，这有4种取法.不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能，当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH. 由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求的概率为82 22055 =. 高中数学竞赛数论部分文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08] 初等数论简介 绪言：在各种数学竞赛中大量出现数论题，题目的内容几乎涉及到初等数论的所有专题。 1．请看下面的例子： （1） 证明：对于同样的整数x 和y ，表达式2x+3y 和9x+5y 能同时被整除。(1894年首 届匈牙利 数学竞赛第一题) （2） ①设n Z ∈，证明2131n -是168的倍数。 ②具有什么性质的自然数n ，能使123n ++++能整除123n ???（1956年上海首 届数学竞赛第一题） （3） 证明：3231 122 n n n ++-对于任何正整数n 都是整数，且用3除时余2。（1956年 北京、天津市首届数学竞赛第一题） （4） 证明：对任何自然数n ，分数 214 143 n n ++不可约简。（1956年首届国际数学奥林匹 克竞赛第一题） （5） 令(,, ,)a b g 和[,, ,]a b g 分别表示正整数,,,a b g 的最大公因数和最小公倍数， 试证：[][][][]()()()() 2 2 ,,,,,,,,,,a b c a b c a b b c c a a b b c c a =??（1972年美国首届奥林匹克数学竞赛第一题） 这些例子说明历来数论题在命题者心目中首当其冲。 2.再看以下统计数字： （1）世界上历史最悠久的匈牙利数学竞赛，从1894~1974年的222个试题中，数论题有41题，占18.5%。 （2）世界上规模最大、规格最高的IMO （国际数学奥林匹克竞赛）的前20届120道试题中有数论13题，占% 。 历年全国高中数学联赛二试几何题汇总 2007 联赛二试 类似九点圆 如图，在锐角?ABC 中，AB 不定方程 不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数的取值范围是受某些限制（如整数、正整数或有理数）的方程.不定方程是数论的一个重要课题，也是一个非常困难和复杂的课题. 1．几类不定方程 （1）一次不定方程 在不定方程和不定方程组中，最简单的不定方程是整系数方程 )0,0(,0≠>=++b a c by ax 通常称之为二元一次不定方程.一次不定方程解的情况有如下 定理. 定理一：二元一次不定方程c b a c by ax ,,,=+为整数.有整数解的充分必要条件是c b a |),(. 定理二：若00,,1),(y x b a 且=为①之一解，则方程①全部解为at y y bt x x -=+=00,. （t 为整数）。 （2）沛尔)(pell 方程 形如12 2 =-dy x （*d N ∈，d 不是完全平方数）的方程称为沛尔方程. 能够证明它一定有无穷多组正整数解；又设),(11y x 为该方程的正整数解),(y x 中使d y x +最小的 解，则其的全部正整数解由111111111[()()]2)()] n n n n n n x x x y x x ?=+-?? ??=-?? （1,2,3, n =）给 出. ①只要有解),(11y x ，就可以由通解公式给出方程的无穷多组解. ②n n y x , 满足的关系：1(n n x y x y +=+；112 11222n n n n n n x x x x y x y y ----=-?? =-? ， （3）勾股方程2 2 2 z y x =+ 这里只讨论勾股方程的正整数解，只需讨论满足1),(=y x 的解，此时易知z y x ,,实际上两两互素. 这种z y x ,,两两互素的正整数解),,(z y x 称为方程的本原解，也称为本原的勾股数。容易看出y x ,一奇一偶，无妨设y 为偶数，下面的结果勾股方程的全部本原解通解公式。 定理三：方程2 2 2 z y x =+满足1),(=y x ，2|y 的全部正整数解),,(z y x 可表为 2222,2,b a z ab y b a x +==-=，其中，b a ,是满足b a b a ,,0>>一奇一偶，且 第1届I M O 1.求证(21n+4)/(14n+3)对每个自然数n都是最简分数。 2.设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解： (a)A=√2；(b)A=1；(c)A=2。 3.a、b、c都是实数，已知cosx的二次方程 acos2x+bcosx+c=0, 试用a,b,c作出一个关于cos2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当a=4,b=2,c=-1时比较cosx和cos2x的方程式。 4.试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。 5.在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N， (a.)求证AF、BC相交于N点； （b.)求证不论点M如何选取直线MN都通过一定点S； (c.)当M在A与B之间变动时，求线断PQ的中点的轨迹。 6.两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q 上。 第2届IMO 1.找出所有具有下列性质的三位数N：N能被11整除且N/11等于N的各位数字的平方和。 2.寻找使下式成立的实数x： 4x2/(1-√(1+2x))2<2x+9 3.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成n等份（n为奇数），令为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证： tan=4nh/(an2-a). 初等数论简介 绪言：在各种数学竞赛中大量出现数论题，题目的内容几乎涉及到初等数论的所有专题。 1． 请看下面的例子： （1） 证明：对于同样的整数x 和y ，表达式2x+3y 和9x+5y 能同时被整除。(1894年首届匈牙利 数学竞 赛第一题) （2） ①设n Z ∈，证明213 1n -是168的倍数。 ②具有什么性质的自然数n ，能使123n ++++ 能整除123n ??? ？（1956年上海首届数学竞赛第一题） （3） 证明：3 231 122 n n n + +-对于任何正整数n 都是整数，且用3除时余2。（1956年北京、天津市首届数学竞赛第一题） （4） 证明：对任何自然数n ，分数 214 143 n n ++不可约简。（1956年首届国际数学奥林匹克竞赛第一题） （5） 令(,,,)a b g 和[,,,]a b g 分别表示正整数,,,a b g 的最大公因数和最小公倍数，试证： [][][][]()()()() 2 2 ,,,,,,,,,,a b c a b c a b b c c a a b b c c a =??（1972年美国首届奥林匹克数学竞赛第一题） 这些例子说明历来数论题在命题者心目中首当其冲。 2.再看以下统计数字： （1）世界上历史最悠久的匈牙利数学竞赛，从1894~1974年的222个试题中，数论题有41题，占18.5%。 （2）世界上规模最大、规格最高的IMO （国际数学奥林匹克竞赛）的前20届120道试题中有数论13题，占10.8% 。 这说明：数论题在命题者心目中总是占有一定的分量。如果将有一定“数论味”的计数型题目统计在内，那么比例还会高很多。 3.请看近年来国内外重大竞赛中出现的数论题： (1)方程323652x x x y y ++=-+的整数解(,)x y 的个数是（ ） A 、 0 B 、1 C 、3 D 、无穷多 （2007全国初中联赛5） （2）已知,a b 都是正整数，试问关于x 的方程()2 1 02 x abx a b -++=是否有两个整数解？ 如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明。 （2007全国初中联赛12） 1988年全国高中数学联赛试题 第一试(10月16日上午8∶00——9∶30) 一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)： 1．设有三个函数，第一个是y=φ(x )，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象及第二个函数的图象关于x +y=0对称，那么，第三个函数是( ) A ．y=－φ(x ) B ．y=－φ(－x ) C ．y=－φ－1(x ) D ．y=－φ－ 1(－x ) 2．已知原点在椭圆k 2x 2+y 2－4kx +2ky +k 2－1=0的内部，那么参数k 的取值范围是( ) A ．|k |>1 B ．|k |≠1 C ．－1 数论部分 2018A 四、（本题满分50分）数列{}n a 定义如下：1a 是任意正整数，对整数1≥n ，1+n a 与∑=n i i a 1 互 素，且不等于n a a a ,.,,21 的最小正整数，证明：每个正整数均在数列{}n a 中出现。 ★证明：显然11=a 或者12=a .下面考虑整数1>m ，设m 有k 个不同的素因子，我们对k 归纳证明 m 在{}n a 中出现.记n n a a a S +++= 21，1≥n . 1=k 时，m 是素数方幂，记αp m =，其中0>α，p 是素数.假设m 不在{}n a 中出现.由于{}n a 各 项互不相同，因此存在正整数N ，当N n ≥时，都有αp a n >.若对某个N n ≥，n S p |/，那么αp 与 n S 互素，又n a a a ,.,,21 中无一项是αp ，故有数列定义知αp a n ≤+1，但是αp a n >+1，矛盾！ 因此对每个N n ≥，都有n S p |.又1|+n S p ，可得1|+n a p ，从而1+n a 与n S 不互素，这与1+n a 的定义矛盾！ 假设2≥k ，且结论对1-k 成立.设m 的标准分解为k k p p p m αα α 2121=.假设m 不在{}n a 中出现，于 是存在正整数/N ，当/ N n ≥时，都有m a n >.取充分大的正整数 121,,-k βββ ，使得 n N n k a p p p M k /1211121max ≤≤->=-βββ . 我们证明，对/ N n ≥，有M a n ≠+1. 对于任意/ N n ≥，若n S 与k p p p 21互素，则m 与n S 互素，又m 在n a a a ,.,,21 中均未出现，而 m a n >+1，这与数列的定义矛盾，因此我们得到：对于任意/N n ≥，n S 与k p p p 21不互素*， ⑴若存在i （11-≤≤k i ），使得n i S p |，则()1,1=+n n S a ，故1|+/n i a p ，从而M a n ≠+1（因为M p i |）。 ⑵若对每个i （11-≤≤k i ），均有n i S p |/，则由*知，必有n k S p |.于是1|+/n k a p ，进而1|++/n n k a S p ，即1|+/n k S p .故由*知：存在0i （110-≤≤k i ），使得1|0+n i S p ，再由n n n a S S +=+1及前面的假设n i S p |/，可知1|0+/n i a p ，故M a n ≠+1。 第1届I M O 1.? 求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。 2.??设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：? (a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。 3.?a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程 a cos2x + b cos x + c = 0, 试用a,b,c作出一个关于 cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当 a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。 4.? 试作一直角三角形使其斜边为已知的 c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。 5.? 在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N， ??? (a.) 求证 AF、BC相交于N点； ?? （b.) 求证不论点M如何选取直线MN 都通过一定点 S； ??? (c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。 6.? 两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。 第2届IMO 1.? 找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。 2.? 寻找使下式成立的实数x： 4x2/(1 - √(1 + 2x))2 ?< ?2x + 9 3.? 直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成 n 等份（n为奇数），令?为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证： tan ? = 4nh/(an2 - a). 4.? 已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。 5.? 正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。X是对角线AC上任意一点，Y是B'D'上任意一点。 a.求XY中点的轨迹； b.求(a)中轨迹上的、并且还满足 ZY=2XZ的点Z的轨迹。 6.? 一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。令V1为圆锥的体积，V2为圆柱的体积。 ??? (a).? 求证：V1不等于 V2； ??? (b).? 求V1/V2的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般。 7.? 等腰梯形ABCD，AB平行于DC，BC=AD。令AB=a,CD=c，梯形的高为 h。X点在对称轴上并使得角BXC、AXD都是直角。试作出所有这样的X点并计算X到两底的距离；再讨论在什么样的条件下这样的X点确实存在。 第3届IMO 1.? 设a、b是常数，解方程组 x + y + z = a; ? ? x2 + y2 + z2 = b2; ? ? xy=z2 并求出若使x、y、z是互不相同的正数，a、b应满足什么条件？ 2.? 设a、b、c是某三角形的边，A 是其面积，求证： a2 + b2 + c2>= 4√3 A. 并求出等号何时成立。 3.? 解方程 cos n x - sin n x = 1, 其中n是一个自然数。 4.? P是三角形ABC内部一点，PA交BC于D，PB交AC于E，PC交AB于F，求证AP/PD, 高中数学竞赛 数论 剩余类与剩余系 1.剩余类的定义与性质 (1)定义1 设m 为正整数，把全体整数按对模m 的余数分成m 类，相应m 个集合记为：K 0,K 1,…,K m-1,其中K r ={qm+r|q ∈Z,0≤余数r ≤m-1}称为模m 的一个剩余类(也叫同余类)。K 0,K 1,…,K m-1为模m 的全部剩余类. (2)性质(ⅰ)i m i K Z 1 0-≤≤=Y 且K i ∩K j =φ(i ≠j). (ⅱ)每一整数仅在K 0,K 1,…,K m-1一个里. (ⅲ)对任意a 、b ∈Z ，则a 、b ∈K r ?a ≡b(modm). 2.剩余系的定义与性质 (1)定义2 设K 0,K 1,…,K m-1为模m 的全部剩余类，从每个K r 里任取一个a r ，得m 个数a 0,a 1,…,a m-1组成的数组，叫做模m 的一个完全剩余系,简称完系. 特别地,0,1,2,…,m -1叫做模m 的最小非负完全剩余系.下述数组叫做模m 的绝对最小完全剩余系:当m 为奇数时,2 1 ,,1,0,1,,121,21--+----m m m ΛΛ;当m 为偶数时,12 ,,1,0,1,,12,2--+-- m m m ΛΛ或2,,1,0,1,,12m m ΛΛ-+-. (2)性质(ⅰ)m 个整数构成模m 的一完全剩余系?两两对模m 不同余. (ⅱ)若(a,m)=1，则x 与ax+b 同时遍历模m 的完全剩余系. 证明:即证a 0,a 1,…,a m-1与aa 0+b, aa 1+b,…,aa m-1+b 同为模m 的完全剩余系, 因a 0,a 1,…,a m-1为模m 的完系时,若aa i +b ≡aa j +b(modm),则a i ≡a j (modm), 矛盾!反之,当aa 0+b, aa 1+b,…,aa m-1+b 为模m 的完系时,若a i ≡a j (modm),则有 aa i +b ≡aa j +b(modm),也矛盾! （1981年~2019年） 2019A 5、在1,2,3, ,10中随机选出一个数a ，在1,2,3,,10----中随机选出一 个数b ，则2a b +被3整除的概率为 ． 答案： 37100 解析：首先数组(),a b 有1010100 ?=种等概率的选法． 考虑其中使2a b +被3整除 的选法数N ．①若a 被 3 整除，则b 也被 3 整除．此时,a b 各有3种选法，这样的(),a b 有 339?=组． 若a 不被 3 整除，则()21mod3a ≡，从而()1mod3b ≡-．此时a 有7 种选法，b 有4种选法，这样的(),a b 有7428?=组． 因此92837N =+=．于是所求概率为 37 100 。 2019A 三、（本题满分 50 分）设m 为整数，2m ≥．整数数列12,,a a 满足：12,a a 不 全为零，且对任意正整数n ，均有21n n n a a ma ++=-．证明：若存在整数,r s , (2r s >≥ )使得1r s a a a ==，则r s m -≥． 解析：证明：不妨设12,a a 互素（否则，若()12,1a a d =>，则12,1a a d d ?? = ?? ?互素，并且用 12 ,,a a d d 代替12,, a a ，条件与结论均不改变）． 由数列递推关系知()234mod a a a m ≡≡≡ ． ① 以下证明：对任意整数3n ≥，有()()2123mod n a a a n a m m ≡-+-????． ② ………10 分 事实上，当3n =时②显然成立．假设n k =时②成立（其中k 为某个大于2的整数），注意到①，有()212mod k ma ma m -≡，结合归纳假设知 ()()()2 1122221232mod k k k a a ma a k a m ma a a k a m +-≡-≡+--=-+-???????? ，即1n k =+时②也成立．因此②对任意整数3n ≥均成立． ………………20 分 2016年~2018年全国高中数学联赛一试试题分类汇编 10、计数问题、概率与统计部分 2018A 3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是偶数的概率为 ◆答案：10 9 ★解析：先考虑def abc +为奇数时，abc ，def 一奇一偶，①若abc 为奇数，则c b a ,,为5,3,1的排列，进而f e d ,,为6,4,2的排列，这样共有3666=?种；②若abc 为偶数，由对称性得，也有3666=?种，从而def abc +为奇数的概率为 101!672=，故所求为10 91011=- 2018B 3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是奇数的概率为 ◆答案：10 1 ★解析：由def abc +为奇数时，abc ，def 一奇一偶，①若abc 为奇数，则c b a ,,为5,3,1的排列，进而f e d ,,为6,4,2的排列，这样共有3666=?种；②若abc 为偶数，由对称性得，也有3666=?种，从而def abc +为奇数的概率为 101!672=。 2017A 6、在平面直角坐标系xOy 中，点集{}1,0,1,|),(-==y x y x K ，在K 中随机取出三个点，则这三个点中存在两点距离为5的概率为 ◆答案： 7 4 ★解析：由题意得K 有9个点，故从中取出三个点共有8439=C 种。 将K 中的点按右图标记为O A A A ,,,,821 ，其中有8对点之间的距 离为5，由对称性，考虑取41,A A 两点的情况，则余下的一个点有 7种取法， 这样有5687=?个三点组（不考虑顺序）。对每个i A （8,,2,1 =i ），K 中恰有53,++i i A A 竞赛中的数论问题的思考方法 一. 条件的增设 对于一道数论命题，我们往往要首先排除字母取零值或字母取相等值等“平凡”的情况，这样，利用字母的对称性等条件，往往可以就字母间的大小顺序、整除性、互素性等增置新的条件，从而便于运用各种数论特有手段。 1. 大小顺序条件 与实数范围不同，若整数x ，y 有大小顺序x 2010年全国高中数学联赛 一 试 一、填空题（每小题8分，共64分，） 1. 函数x x x f 3245)(---= 的值域是 . 2. 已知函数x x a y sin )3cos (2 -=的最小值为3-，则实数a 的取值范围是 . 3. 双曲线12 2 =-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 . 4. 已知}{n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，其中 3522113,,1,3b a b a b a ====，且存在常数βα,使得对每一个正整数n 都有βα+=n n b a log ， 则=+βα . 5. 函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a a x f x x 在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区 间上的最小值是 . 6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 7. 正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin . 8. 方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解（x ,y ,z ）的个数是 . 二、解答题（本题满分56分） 9. （16分）已知函数)0()(2 3 ≠+++=a d cx bx ax x f ，当10≤≤x 时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值. 10.（20分）已知抛物线x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中21x x ≠且 421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ?面积的最大值. 11.（20分）证明：方程02523 =-+x x 恰有一个实数根r ，且存在唯一的严格递增正整数数列}{n a ，使得 +++=3215 2 a a a r r r . 初等数论中的几个重要定理 基础知识 定义（欧拉(Euler)函数）一组数称为是模的既约剩余系，如果对任意的，且对于任意的，若＝1，则有且仅有一个是对模 的剩余，即。并定义中和互质的数的个数， 称为欧拉（Euler）函数。 这是数论中的非常重要的一个函数，显然，而对于，就是1,2，…，中与互素的数的个数，比如说是素数，则有。 引理：；可用容斥定理来证（证明略）。 定理1：（欧拉（Euler）定理）设＝1，则。 分析与解答：要证，我们得设法找出个相乘，由个数我们想到中与互质的的个数：，由于＝1，从而 也是与互质的个数，且两两余数不一样，故 （），而（）＝1，故。 证明：取模的一个既约剩余系，考虑，由于与互质，故仍与互质，且有，于是对每个都能找到唯一的一个，使得，这种对应关系 是一一的，从而，。 ，，故。证毕。 这是数论证明题中常用的一种方法，使用一组剩余系，然后乘一个数组组成另外一组剩余系来解决问题。 定理2：（费尔马（Fermat）小定理）对于质数及任意整数有。 设为质数，若是的倍数，则。若不是的倍数，则 由引理及欧拉定理得，，由此即得。 定理推论：设为质数，是与互质的任一整数，则。 定理3：（威尔逊（Wilson）定理）设为质数，则。 分析与解答：受欧拉定理的影响，我们也找个数，然后来对应乘法。 证明：对于，在中，必然有一个数除以余1，这是因为则好是的一个剩余系去0。 从而对，使得； 若，，则，，故对于，有。即对于不同的对应于不同的，即中数可两两配对，其积除以余1，然后有，使，即与它自己配对，这时，，或，或。 除外，别的数可两两配对，积除以余1。故。 定义：设为整系数多项式（），我们把含有的一组同余式 （）称为同余方组程。特别地，，当均为的一次整系数多项式时，该同余方程组称为一次同余方程组.若整数同时满足： ，则剩余类（其中）称为同余方程组的一个解，写作 定理4：（中国剩余定理）设是两两互素的正整数，那么对于任意整数，一次同余方程组，必有解，且解可以写为： 这里，，以及满足，（即为对模的逆）。 中国定理的作用在于它能断言所说的同余式组当模两两互素时一定有解，而对于解的形式并不重要。 定理5：（拉格郎日定理）设是质数，是非负整数，多项式 是一个模为次的整系数多项式（即），则同余方程至多有个解（在模有意义的情况下）。 定理6：若为对模的阶，为某一正整数，满足，则必为的倍数。 以上介绍的只是一些系统的知识、方法，经常在解决数论问题中起着突破难点的作用。另外还有一些小的技巧则是在解决、思考问题中起着排除情况、辅助分析等作用，有时也会起到 全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编 专题20函数真题汇编与预赛典型例题 1．【2019年全国联赛】已知正实数a满足，则的值为. 【答案】 【解析】 由. . 2．【2018年全国联赛】设f（x）是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[0，1]上严格递减，且满足，则不等式组的解集为. 【答案】 【解析】由f（x）为偶函数及在[0，1]上严格递减知，f（x）在[-1，0]上严格递增，再结合f（x）以2为周期可知，[1，2]是f（x）的严格递增区间. 注意到. 所以. 而，故原不等式组成立当且仅当. 3．【2017年全国联赛】设为定义在R上的函数，对任意实数x有.当0≤x＜7时，.则的值为____________。 【答案】 【解析】 由题得，所以函数的周期为7， . 故答案为： 4．【2016年全国联赛】设正实数u、v、w均不等于1.若，则 的值为________. 【答案】 【解析】 令 .则: . 故. 从而， . 5．【2015年全国联赛】设为不相等的实数.若二次函数 满足 ，则 的 值为______. 【答案】4 【解析】 由已知条件及二次函数图像的轴对称性得 . 故答案为：4 6．【2014年全国联赛】若正数a ，b 满足2362log 3log log ()a b a b +=+=+，则11 a b += ． 【答案】108 【解析】 试题分析：设2 32362log 3log log ()2 ,3,6t t t a b a b t a b a b --+=+=+=?==+=? 11a b a b ab ++= 23610823 t t t --==?． 考点：指数与对数运算． 7．【2014年全国联赛】设集合中的最大、最小元素分别为M 、m ，则 的值为 ___________. 【答案】 【解析】 由 ，知 .历年全国高中数学联赛试题及答案
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