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第三章导数和微分答案

高等数学II 练习题第三章导数与微分

________系_______专业班级姓名______ ____学号_______

习题3.1 导数的概念

一．选择题

1．设()f x 在x a =的某邻域内有定义，()f x 在x a =可导的充分必要条件是（ C ）（A ）0

1lim (()())h h f a f a h

→+

-存在（B ）0

(2)()

lim

h f a h f a h h

→+-+存在

（C ）0

()()

lim

h f a f a h h

→--存在（D ）0

()()

lim

h f a h f a h h

→+--存在

2．设()f x 是可导函数，且0

(1)(1)

lim

12x f f x x

→--=-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线

斜率为（ B ）（A ）1- （B ）2- （C ）6 （D ）1 3. 设()f x 在x 处可导，,a b 为常数，则0

()()

lim

x f x a x f x b x x

?→+?--?=?

（ B ）

（A ）()f x ' （B ）()()a b f x '+ （C ）()()a b f x '- （D ）

()2

a b f x +'

4. 函数在点0x 处连续是在该点0x 处可导的条件（ B ）（A ）充分但不是必要（B ）必要但不是充分（C ）充分必要（D ）既非充分也非必要 5．设曲线22y x x =+-在M 点处的切线斜率为3，则点M 的坐标为（ B ）（A ）(0,1) （B ）(1,0) （C ）(0,0) （D ）(1,1)

6.设函数()|sin |f x x =，则()f x 在0x =处（ B ）（A ）不连续（B ）连续，但不可导

（C ）可导，但不连续（D ）可导，且导数也连续二．填空题

1．设()f x 在0x 处可导，000

(3)()

lim

h f x h f x h

→+-= 。 2．设()f x 在0x =处可导，且(0)0f =，则0

()lim x f x x

→= 。 3．设0()2f x '=-，则0

00lim

(2)()

x x

f x x f x →=-- 。

4．设()(1)(2)(2009)f x x x x x =--- ，则(0)f '= 。

5．已知物体的运动规律为2

s t t =+（米），则物体在2t =秒时的瞬时速度为。

03()f x '

(0)f '1

42009!-5/m s

6．曲线cos y x =上点1(,)32

π处的切线方程为；法线方程为。

7．若2

1sin ,0()0,0

x x f x x x ?≠?=??=?

，则(0)f '= ，()2f π'= 。

三．计算题

设函数,0()12,0a

x f x x x b x ?≥?

=+??+

在0x =处可导，求a b 、。

四．证明题

（1）如果()f x 为偶函数，且(0)f '存在，证明(0)0f '=。

（2）证明：双曲线2

xy a =上任一点处的切线与两坐标轴构成三角形的面积为定值。

高等数学II 练习题第三章导数与微分

________系_______专业班级姓名______ ____学号_______

1232y x π?=-

-+??

332y x π?=-+???12

4π-0

000

()0(0)(0)(0)(0)lim (2),(0),(0)lim 1()0(0)(0)(0)lim ()lim (1)(0)lim ()lim 222x x x x x x f x x f f f a

f x b b f a f a a b x

f x x f f a f f x a x f f x a b -

-+-+

→→-++→→-→→====+=====+''==''==-=-+''=====-解：因为在处连续，故，而，所以。

因为在处可导，故，而，，所以。

000()()()()(0)()(0)()(0)(0)lim lim lim (0)(0)(0)(0)(0)(0)0x x x f x f x f x f x f f x f f x f f f x x x f f f f f -

-+?→?→?→-+

=-?--?-?-''===-=-?-??'''''===证明：因为为偶函数，所以，又因为

，而因为存在，故，所以。

000

0222

(,),(),

(2,0)(0,2),12222a x y y x a a

y y x x x

x x a

x x a S x a x ='=-

=??=证明：设双曲线上的任意一点为，则，

又因为所以双曲线在该点的切线方程为故它与两坐标轴的交点分别为，

所以三角形的面积为，为定值。

习题3.2 求导法则（一）

一．选择题

1．下列函数中，导数为

，(0,)x ∈+∞（其中k 为大于零的常数）的函数有（ D ）

（A ）ln()x k + （B ）ln k x （C ）ln k x

（D ）ln

x k

已知ln(y x =+，则y '= （ A ）（A

）

（B

）

+ （C

）（D

x +

3. ()f x '=，则

(ln cos )

df x dx

= （ C ）

（A

）

（B

）1tan 3x （C

）x （D

二．填空题

．(

x '

= ；

1(x -'= 。

．'

'= 。 3．'= ； '= 。

4．1()32x '=+ ； 1

()32x '=- 。

()ln(32)x '-= ； ()l n 32x '-= 。 5．()(2sec )sin x x '+= ； 1

sin ()x e -'= 。 6．sin cos x x x '??= ?

+??

.； ()2

tan cos x x x '= 。 7．ln tan 2θρ=，ρ'= ；11x y x

-=+，y '=

。 8．ln(sec tan )w t t =+，w '= 。

9．设()sin f x x =，则[()]f f x '= ；[()]f f x '= ；

{[()]}f f x '= 。 2310

10x 5

3x x -

--+3

22(1)x x --+2142x -?? ???1

12x -22(32)x --+2

2x -

-22(32)x --2-1sin 211cos x e x

x -2tan 2cos 1x x ++()2cos sin 1

cos x x x x x -++22sin cos x x x x +2

(1)x -+1

sec cos t t 或

1sin θsin(cos )

x cos(sin )x cos(sin

)cos x x ?

10．设()()ln 3x

f x =，则(1)f '= ；[(1)]f '= 。 11．设sin ,0(),

x x f x x x

≥?，则当0x <时, ()f x '= ；当0x >时, ()f x '=

；当0x =时, ()f x '= 。 12．已知ln cot y x =，则4

|x y π

'= 。三．求下列各函数的导数 1．2

1sin

u e -= 2．3sec (ln )y x =

3．34

ln(cos 2)y x x =+ 4．

ln x y x

．2

2ln cos x

y e

x =+?

四．设()f x 可导，求下列函数的导数： 1．()()x

f x y f e e

2．22

(sin )cos ()y f x f x =+

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________系_______专业班级姓名______ ____学号_______

ln 3ln(ln 3)?0cos x 112-

1sin

21sin 2

1112sin cos 21

sin

u e

v v v e v v

--?

?????'=?-??- ? ? ?

??????=??2

13sec (ln )(sec(ln )tan(ln ))13sec (ln )tan(ln )y x x x x

x x x

'=???=?

1(1(1)

(2))(2

x x x x y x

+-?--+'=

112ln 22ln cos (sin )

1cos (2ln cos tan )x x

x y e x x e x x x e x x x '=?+?+??-+=+-23

1(34cos 2(sin 2)2)

cos 238cos 2sin 2cos 2y x x x x x

x x x

x x

'=+?-?+-=+()()()()()()(()()())x x f x x f x f x x x x y f e e e f e e f x e f e e f e f x '''=??+??''=??+?2

(sin )(2sin )cos 2cos ()(sin ())()

sin 2(sin )()sin 2()

y f x x x f x f x f x x f x f x f x ''=??+

'?-?''=?-?

习题3.3 求导法则（二）

一．选择题

1．由方程sin 0y y xe +=所确定的曲线()y y x =在(0,0)点处的切线斜率为（ A ）（A ）1- （B ）1 （C ）

1 （D ）2

2．设函数()y y x =由方程2

2ln 40y x y x ++=确定，则dy dx

= （ C ）

（A ）

2(ln )

y x x -?+（B ）

2ln y x x

（C ）

2ln y x x

- （D ）

2ln (1)

y x x x

3．设由方程(sin )(1cos )

x a t t y a t =-??

=-?所确定的函数为()y y x =，则在2

t π

=处的导数为（ B ）

（A ）1- （B ）1 （C ）0 （D ）12

二．填空题

1．设tan()r r θ=+，则

d θ= 。

．设ln arctan y x =，则y '= 。

3．设cos ,(02)sin x a t t y b t

π=?≤≤?

=?，则dy dx = 。三．求下列各函数的导数 1

．y =

．3arctan 3x

y =

3．2

y x e

e =+++。

csc ()r θ-+x y x y +-2

cos sin b t b x a t a y -=-11ln (ln ln sin ln(1))221111(cos )2sin 2(1)11cos ()2sin 2(1)x x x x x

y x x e x e y x y x x e x

e y y x x e =++-'=+--'∴=+--解：两边取对数得

两边对求导

得12ln 3ln ln(1)ln(2)ln(2)3

131

213(2)3(2)

3112

(

)3ln 3.

13(2)

3(2)

u u x x x x x u u x x

x x y u x x x x =

=--+--+'=+

--+'∴=+--

+--+解：设两边取对数得：

两边对求导()(

)

ln ln 2

1(2ln )(2ln 1)

x x

x x e

e x x x x

x x

==+?

=+解：

4．已知y 是由方程1sin()1xy y x

=-所确定的函数. 求：

（1）y '；（2）0|x y ='。

5．设sin cos t t

x e t y e t

?=?=?，求d y d x ，3

t dy dx π

。

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习题3.4 高阶导数

一．选择题

1．若2

ln y x x =, 则y ''= （ D ）（A ）2ln x （B ）2ln 1x + （C ）2ln 2x + （D ）2ln 3x + 2.设(),x

y f u u e ==，,则

d y dx

= （ B ）

（A ）2()x

f u '' （B ）2()()u f u uf u '''+（C ）2

()e f u '' （D ）()()uf u uf u ''+

3．设cos x y e x =, 则(4)

= （ B ）

（A ）4cos x

e x （B ）4cos x

e x - （C ）2cos x

e x （D ）2cos x

e x - *4．设2

sin

y x =，则()

n y

= （ A ）

202(1)cos()()0()1cos()

1()cos()(),1()cos()1

cos()()

1(1)(1)cos 011

01,|2

(1)0cos 011x y x xy y xy y x y xy y x y xy y x y y x x xy x xy y x x y y ='--'+-=-----'==-++---?-+'==-===-??+解：两边对求导得：所以当时，所

以33d d /d (cos sin )d d /d (sin cos )1(d |2d 22

t t y y t e t t y x x x t e t t x y e y

x π

π=--===++-∴== 解：

（A ）]2

)1(2sin[21π

-+-n x n （B ）]2

)

1(2cos[2

-+-n x n

（C ）]2

)

1(2sin[21π

-++n x n （D ）]2

)

1(2sin[2π

-+n x n

5. 设x xe y =，则=)(n y （ A ）（A ）)(n x e x + （B ）)(n x e x - （C ）)(2n x e x + （D ）nx xe 二．填空题

１．设φφcos =r ，则r '= ；r ''= 。

2. 设=z 2

te ,则z '＝；z ''＝。

*3．设)1ln(2

x x y ++=,则y '

y ''＝。 *4. 设y xe y +=1，则y '= ； y ''= 。 5．设12-+=x n e x y ,则)(n y = 。

6. 设2530(22)(1)y x x =--，则(40)y = ；(41)y = 。

三．计算题

1．设函数)(x y y =由方程e xy e y =+所确定，求)0(y ''.

2．设)(x f ''存在，求下列函数y 的二阶导数

y d

（1）)(x

e f y = （2）)](ln[x f y =

cos sin φφφ-2sin cos φφφ--2

22(32)t

t t e +2

2(12)t

t e +3

(1)x x -

-+11y

y e

xe -23(2)(1)y y y y e e xe xe --5

240!?21

!2n

x n e -+0223211

0132

0(1).0(2)()22()

()

121(0)10,1|.(0)y

y y y y y y

y y x y x e y y xy y e x x e y y e y y y xy e y y y e y e x y e x

e x e e x y y e e ='''++=---∴=-+''''''''??+?+++=---''+-+''=-=-++-??+''===-=+解：方程两边同时对求导得：，方程(1)两边再对求导得：，所以，，当时，所以2

d ()d d x x x x x x x

y f e e x

'=?解：2d 1

()

d ()

y f x x f x ='解：

四、验证函数x b x a y ln sin ln cos +=满足方程02=+'+''y y x y x

高等数学II 练习题第三章导数与微分

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习题3.5 函数的微分

一．选择题 1. 设x y sin ln =，则dy = （ C ）

（A ）

dx sin

（B ）dx x cot （C ）

x d sin

)(sin （D ）

x d sin

)(

2. 设()f u 可导，且()x y f e =，则dy = （ B ）（A ）()x

f e dx ' （B ）()x

f e de ' （C ） ()x

x f e de '????

（D ） ()x x

f e e dx '????

二．填空题

1．已知x x y -=2

，计算在2=x 处

（1）当1.0=?x 时，=?y ， dy = ；

111

(sin ln )cos ln (cos ln sin ln )

1111(cos ln sin ln )((sin ln )cos ln )

(cos ln sin ln sin ln cos ln )1(()cos ln ()sin ln )

(()cos ln ()y a x b x b x a x x x x y b x a x b x a x x

b x a x b x a x a b x b a x x

x y xy y a b x b a '=-?+?=-''=-

=-++=-

++-'''∴++=-++- 解：2

sin ln )(cos ln sin ln )(cos ln sin ln )0

cos ln sin ln 0

x b x a x a x b x y a x b x x y xy y +

-++='''=+++=所以函数满足方程0.313d 0.3x 或

（2）当001.0=?x 时,y ?= ， dy = 。 2．函数2

1arcsin

x y -=在2

=x 处的一次近似式为

。

3．函数)1cos(-=-x e y x 在0=x 处的一次近似式为

。

4．求下列函数的微分

（1）2(2sin )d θθ=

（2）(ln(cos

d =

dx （3）2(ln (1))d x -=

（4）22(tan (12))d x += 2dx

（5）()()1t d t

?=-

（6）1

((arctan ))d f x = （7）(ln(d x +

=（8）(ln sec tan )d x x +=

（9）设x x f ln )(=，则

()(sin x df x df 5．将适当的函数填入下列括号内,使等号成立。 (1) ()1;1d dx x

+ (2) (

)3;d

xdx = (3) (

);d

(4) ()sin ;d xdx ω=

(5) ()2;x d

e dx -= (6) (

)2sec 3.d xdx =

三．求下列函数或隐函数的导数与微分 1．y x y arctan +=，求y '与dy 。

0.0030013d 0.003x 或1()3

y x π

=-++(sin 1cos1)cos1y x =-+2(2sin cos )d θθθθθ+12

tan 2x

2ln(1)d 1x x

x ---222

4tan(12)sec (12)x x ++2

()(1)()

d (1)t t t t t ??'-+-21

(arctan

)

d 1f x

x x '-+2

(tan sec )d x x x +cos cot sin

x x

x =ln(1)x C ++2

x C +1cos w x C

+1tan 33

x C

212

11111 1.

11d (

1)d .

12d d d ,d (

1)d .

y x y y y y

y x y

y x y y x +'''=+=

++=+=+=+解：方法两边同时对求导得，，所以所以方法两边求微分得: 所以

．设arctan ln

a y x

=+y '与0|x dy =。

3．arcsin tan 2x y x x =+, 求dy 。

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习题3.6 导数和微分在经济中的简单应用

一．选择题

1．设生产x 个单位的总成本函数为12

9)(2

x C +

=，则生产6个单位时边际成本是（ A ）

（A ）1 （B ）2 （C ）6 （D ）12

2．设某产品的总利润函数为)(x L ，则生产0x 个单位时的边际利润是（ C ）（A ）

0)(x x L （B ）

x dL )( （C ）

)(x x dx

x dL = （D ）

??x x L dx d )( 3．设某种商品需求量Q 对价格p 的函数关系为()(,P Q f p ka k a ==为常数）则需求量Q 对价格p 的弹性是（ A ）

（A ）ln p a - （B ）a ln （C ）1ln p ka a + （D ）1+p ka

222

1()()

2()

12.220,d |d .

x a x a x a x a y x x a x a a x a a a

x a

x a x a

x y y x a

=-+--????'=?-+?

? ?++????

??+ ?

+--'==-

解：当时，

故arcsin arcsin ln arcsin arcsin ln arcsin arcsin 2

arcsin 2

11()arcsin )arcsin ),

11arcsin )2sec 2.1d [arcsin )2sec 2]d .

x x x x x x

x e x e x x x

x x x

y x

x x x x

y x

x x x x x

='∴=+

'∴=+

+∴=+

+ 解

4．设需求函数)(P Q Q =（Q 是需求量，P 是价格），则需求弹性=η （ D ）（A ）

)

()(P Q P P Q ' （B ）

)

()(P PQ P Q ' （C ）

)

()(P Q P PQ ' （D ）)

()(P Q P Q P '-

5．设某商品的需求函数为()Q f p =，需求弹性函数为()()

()

p f p f p η'=，如已求得

1()0.65p η=-，2() 1.25p η=-，则下列论述正确的有（ A ）（A ）当1p p =时，价格适当上涨总收益增加；（B ）当1p p =时，价格适当下跌总收益增加；（C ）当2p p =时，价格适当上涨总收益增加；（D ）当2p p =时，价格适当下跌总收益减少； 6. 设某产品在200元的价格水平下的需求价格弹性0.12η=-，它说明价格在200元的基础上上涨1%时，需求量将下降（ B ）（A ） 0.12 （B ）0.12% （C ）12% （D ）12

7．设总成本函数为()C Q ，总收益函数为()R Q ，边际成本函数为M C ，边际收益函数为M R ，假设当产量为0Q 时，可以取得最大利润，则在0Q Q =处，必有（ B ）（A ）M R M C < （B ） MC MR = （C ）M R M C > （D ）以上都不对 8．设某商品的需求函数为2

()10P Q P e

-=，则当6P =时，需求弹性为（ B ）

（A ）--53e （B ）3- （C ）35e - （D ）-

9．已知需求函数0.4()2P Q P e -=，则当10P =时，需求弹性为（ B ）（A ）4

2e - （B ）4- （C ）0.4- （D ）4

2e 二．应用题

1．设某产品的销量Q 与价格P 之间的关系为Q P 01.01650-=（元），求收益函数及当

100=Q （件）时的总收益与边际收益

2．设生产某产品的固定成本为60000元，可变成本为每件20元，价格函数为601000

Q p =-

其中Q 为销量，设供销平衡，求：

()(16500.01)(100)(16500.01100)100164900()16500.02(100)16500.021001648

R Q PQ Q Q R R Q Q

R ==-=-??='=-'=-?=解：

（1）边际利润；

（2）当10=p 元时价格上涨%1，收益增加（还是减少）的百分数？

3．设某商品的需求函数为P Q 5100-=，如需求弹性小于1-，求商品价格的P 取值范围。

高等数学II 练习题第三章导数与微分

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习题3.7 综合练习（一）

一．选择题

1．若()y f x =有反函数()x g y =，并且(2)3f =，(2)5f '=，则（ C ）（A ）(3)5g '= （B ）(2)5g '= （C ）1(3)5

g '= （D ）1(2)5

g '=

2. 若2

()arctan f x x =，则000

()()

lim x f x f x x x

?→--?=? （ D ）

（A ）

11x

+ （B ）

020

21x x

-+ （C ）

21x x

-+ （D ）

040

21x x

3．已知2

2)(x

a x x f -='，则

=-dx

x a df )

（ B ）

(1)()6000020(60)60000204060000

10001000()40500(2)1050000,600001000()600001000(600002000)600002000()()600001000600001000Q

L Q PQ Q Q Q Q Q

L Q P Q Q P R P PQ P P ER P P P P R P EP R P P P

E R E P =--=---=--'∴=-===-==---'=

--解:当时，，，

，

400000.850000

101%0.8%P P ==

=∴=，

当时，价格上涨收益增加。

5()(5)11005100510050(10,20]

E Q P P P Q P E P Q P P Q P P '==?-=-<---=-≥∴∈ 解：

（A ）2- （B ）x

x 2- （C ）2

a --

（D ）2

a --

二．填空题 1．已知36)

2()(lim

000

=+-→x

x x f x f x ，则==0

x x dy

。 2．当=a 时，两曲线2ax y =，x y ln =

3．若)(x f 在(,)-∞+∞内有一阶连续导数且0)0(=f ，则当=A 时，

()

,0(),0f x x g x x

A x ?≠?

=??=?

在(,)-∞+∞内连续。 4．若()()()x a b

a b x y b x a

=??，则dy = 。

5．曲线ln 1xy y +=在点(1,1)处的切线方程为

。

6．2

(())y x x ??=+, 则y '= , x

dy de = 。 7．若uv e v u =+，则dv du = ，du dv

= 。

8．用箭头???、

、表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系，可微可导连续极限存在

9．设x

x f +=

11)(且0()3f x =，则='))((0x f f ；0(())f f x '= 。

10．设))(cos()(cos x f x f y ?=，且f 可导则y '= 。三．计算题

1．设()x x x a a a y arccos 12-+= （其中0>a ，1≠a 为常数），试求dy 。

9dx -

2e '(0)f ()()()(ln )x a b a b x a b a dx b x a b x -+230x y +-=2(())'(())(1'())x

x x x x x e ?????-+++(1)(1)u v u v e v v u u e u v ++----或(1)

(1)u v u v

e v v u u e u v ++----或2(())'(())(1'())x x x x x ?????+++???18

116

'(cos )sin cos(())(cos )sin(())'()

f x x f x f x f x f x --22d ln d ln 2)arccos()d (ln d )d x x x x

x x

y a a x a a a x a a x a x

=+-??+-??=-

解：

2．设21cos ,0()0

x x f x x

x x ?>?

=??≤?

，求()f x '。

4．已知)11ln(t

t y -+= , 求)

(n y

。

高等数学II 练习题第三章导数与微分

________系_______专业班级姓名______ ____学号_______

习题3.8 综合练习（二）

一．选择题

1．设)(x f y -=，则='y （ D ）（A ）)(x f ' （B ）)(x f '- （C ）)(x f -' （D ）)(x f -'- 2．已知 2

12arctan

x y -=，则y '= （ C ）（A ）

112

(B)

1x + (C)

+x (D) 12

-x

3．已知)ln arcsin(x x y =，则y '= （ C ）

200

111111cos sin ()cos sin ,0

'()2,00(0)lim ()lim 20

sin 1(0)lim ()lim (cos

)0()x x x x x x f x x x x x x x x x x f f x x x f f x x

x f x -

++-

→→+→→?-?-=+>?=?

''====''==+

=解：当时，不存在

所以当时，不可导。()

()

(1)!(ln )(1)

(1)!(1)!(1)![ln(1)]

(1)

,[ln(1)]

(1)

[ln(1)ln(1)][ln(1)]

[ln(1)]

(1)!(1)!(1)

((1)

(1)

n n n

n n n n n

n n

n n n n n n

n x x

n n n t t t t t y t t t t n n n t t -----=----∴+=--=--=-

+--∴=+--=+----=-+

=+- 解：

111)![(1)

]

(1)

n n

t t ---+

（A ）x ln (B)

)

ln (1ln x x x x - (C)

)

ln (1ln 1x x x -+ (D)

ln )ln (12

--x x x

4．设函数()f u 可导，2()y f x =当自变量x 在1x =-处取得增量01.x ?=-时，相应的函数的增量y ?的线性主部为01.，则1()f '= （ D ）（A ）1- （B ）01. （C ）1 （D ）05. 二．填空题

1. ()2x

= ；()2x '= ；()x x '= 。

2. ()2log x '= ； ()log 2x '= ；(

log x x '

3．()sin (1)x x '+= ；(e '=

4．2{[ln()]}f x a '+= ；2{[ln ()]}f x a '+= ； 2{[l n ()]}

f x a '+= ； 2{[ln()]}f x a '+= 。 5．设)(x f 有连续的导数，0)0(=f ，且b f =')0(，若函数()sin ,0(),0f x a x

x F x x

A x +?≠?

=??=?

在0=x 处连续，则常数A = 。

三、计算题：

1．设2

()x y x e

=+，求0

x y ='

2．试讨论函数2

()||f x x x x =-的连续性和可导性。

2ln 2x 2x (ln 1)x

x x +2ln 2ln x x -ln 2x sin sin (1)(cos ln(1))1x x x x x x ++++2

2(ln (

))f x a x a

'++2(ln())(ln())f x a f x a x a '+++2

2(ln())f x a x a

'++222(ln())x f x a x a '++a b +13220

()(1)

321

|3x x

x y x e e y ---='=+-'∴=解：322232

2,132,1(),01,()23,01,032,0(0)(0)(0)0,(1)(1)(1)0,()0,1(0)(0)0,()0(1)1x x x x x x f x x x x f x x x x x x x x x x f f f f f f f x x x f f f x x f f +-+-

+-+??-≥->??'=-<<=-<

解：函数在定义域上连续。下面讨论在点处的可导性，

在处可导，，(1)1,()1f x x -=-∴=在处不可导。

．设sin ln

y x

=+，求y '。

4．已知?

??+-=2323x x f y ，2

arctan )(x x f ='，求0|=x dx dy 。

sin 84sin sin 2(1),31sin ),(cos ln )

48(1)311sin )(cos ln )48(1)1x x x u x x v x x u v x x x x x x x y x x x x x x x

==+='=+=++'=+++++-解：令用对数求导法得：所以2

02323(32)(32)3

arctan 32(32)1232arctan (32)32123|arctan(1)3244x x x x y x x x x x y ππ=-?+--???'=? ?++??-??= ?++??'∴=?-=?=

解：

高数第三章一元函数的导数和微分

第三章一元函数的导数和微分【字体：大中小】【打印】 3.1 导数概念一、问题的提出 1.切线问题割线的极限位置——切线位置如图，如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT，直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即切线MT的斜率为 2.自由落体运动的瞬时速度问题

二、导数的定义设函数y=f（x）在点的某个邻域内有定义，当自变量x在处取得增量Δx（点仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量；如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数y=f（x）在点处可导，并称这个极限为函数 y=f（x）在点处的导数，记为即其它形式关于导数的说明：在点处的导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。如果函数y=f（x）在开区间I内的每点处都可导，就称函数f（x）在开区间I内可导。对于任一，都对应着f（x）的一个确定的导数值，这个函数叫做原来函数f（x）

的导函数，记作注意： 2.导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近函数. 导数定义例题：例1、115页8 设函数f（x）在点x=a可导，求：（1）【答疑编号11030101：针对该题提问】（2）【答疑编号11030102：针对该题提问】

三、单侧导数 1.左导数： 2.右导数：函数f（x）在点处可导左导数和右导数都存在且相等. 例2、讨论函数f（x）=|x|在x=0处的可导性。【答疑编号11030103：针对该题提问】解

闭区间上可导的定义：如果f（x）在开区间（a，b）内可导，且及都存在，就说f（x）在闭区间[a，b]上可导. 由定义求导数步骤：例3、求函数f（x）=C（C为常数）的导数。【答疑编号11030104：针对该题提问】解例4、设函数【答疑编号11030105：针对该题提问】解

第三章导数与微分习题解答

P61 习题3-1 1、根据定义求导数： (1)cos y x = 00000cos()cos lim 2sin sin 22lim sin()sin 22lim 2 sin 2lim sin()lim 22 sin x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x ?→?→?→?→?→+?-'=?+?++?--=???+=-???=-+?=- 12 (2)y x = 112 2 012()lim lim lim 12x x x x x x y x x ?→?→?→-+?-'=?==== (3)y = 033 223 2 2 2(lim lim lim lim x x x x x x y x ?→?→?→?→+?'=?==== =(4)x y a = 001lim lim x x x x x x x a a a y a x x +???→?→--'==?? 设t x =?，则 01 lim t x t a y a t →-'= 再设t s a =，则log a t s =，于是 11 1 1 110 1 1lim log 1lim log 1 lim log [1(1)] 1log ln x s a x s s a x s s a x a x s y a s a s a s a e a a →→--→--'===+-== 2、

0000000()()(1)lim [(()]() lim () x x f x x f x x f x x f x x f x ?→-?→-?-?+-?-=--?'=- 00000000000000000000000()()(2)lim ()()()()lim ()()()()lim lim ()()()()lim lim ()[()]2() x x x x x x f x x f x x x f x x f x f x f x x x f x x f x f x f x x x x f x x f x f x x f x x x f x f x f x ?→?→?→?→?→?→+?--??+?-+--?=?+?---?=+??+?--?-=-??''=--'= 000()(3)lim ()lim (0)(0)lim (0) x x x f x x f x x f x f x f →?→?→?=?+?-=?'= 00001001 (4)lim [()()]1 ()() lim 1() n n n f x f x n f x f x n n f x →∞→+-+-='= 3、证： ()f x 为偶函数且(0)0f =，则 00000(0)(0)(0)lim ()(0) lim ()(0) lim ()(0) lim ()(0) lim (0)x x x x x f x f f x f x f x f x f x f x f x f x f x f - - - - + -?→?→?→?→-?→++?-'=??-=?-?-=?-?-=--?-?-=--?'=- 又()f x 在0x =处可导，则 (0)(0)f f -+''= 即(0)(0)f f ++''=- 所以(0)0f +'= 故(0)0f '=。 4、证：（1）设()f x 为可导的奇函数，则： 0000()()()lim ()()lim ()() lim [()]() lim ()x x x x f x x f x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x ?→?→?→-?→-+?--'-=?--?+=?-?-=-?+-?-=-?'= 所以()f x '为偶函数。（2）设()f x 为可导的偶函数，则：

03第三章-导数与微分

第三章导数与微分一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求 1. 理解导数和微分的概念及其几何意义，会用导数（变化率）描述一些简单的实际问题. 2.熟练掌握导数和微分的四则运算法则和基本初等函数的求导公式. 3.熟练掌握复合函数、隐函数以及由参数方程所确定的函数的一阶导数的求法. 4.了解高阶导数的概念，熟练掌握初等函数的二阶导数的求法. 5.了解可导、可微、连续之间的关系. 重点导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的二阶导数的求法. 难点求复合函数和隐函数的导数的方法. （二）内容提要 1.导数的概念 ⑴导数设函数)(x f y =在点0 x 的某一邻域内有定义，当自变量x 在点0 x 处有增量)0(≠??x x ，x x ?+0 仍在该邻域内时，相应地，函数有增量)()(0 x f x x f y -?+=?，若极限 000 0()()lim lim x x f x x f x y x x ?→?→+?-?=?? 存在，则称)(x f 在点0 x 处可导，并称此极限值为)(x f 在点0 x 处的导数，记为)(0 x f '，也可记为0 00 0d d d d , ,)(x x x f x x x y x x y x y ===' '或，即 x x f x x f x y x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim )(00000. 若极限不存在，则称)(x f y =在点0 x 处不可导. 若固定0 x ，令x x x =?+0 ，则当0→?x 时，有0x x →，所以函数)(x f 在点0 x 处的导数)(0 x f '也可表示为 00 ) ()(lim )(x x x f x f x f x --='→.

经济数学(导数与微分习题与答案)

第三章函数的导数与微分习题 3－1 1. 根据定义求下列函数的导数: (1) x y 1 = (2)x y cos = (3)b ax y +=(a ,b 为常数) (4)x y = 解(1)因为 00()()'lim lim x x y f x x f x y x x ?→?→?+?-==?? =x x x x x ?-?+→?1 1lim 0=01lim ()x x x x ?→-+?=21 x - 所以 21 y x '=- . (2) 因为00cos()cos 'lim lim x x y x x x y x x ?→?→?+?-==?? 02sin()sin 22 lim sin x x x x x x ?→??-+==-? 所以sin y x '=- (3) 因为 00[()][]'lim lim x x y a x x b ax b y x x ?→?→?+?+-+==?? =x x a x ??→?0lim =a 所以y a '= (4) 因为 00'lim lim x x y y x x ?→?→?-==?? = )(lim 0x x x x x x +?+??→? lim x ?→== 所以 y '= . 2. 下列各题中假定)(0' x f 存在, 按照导数的定义观察下列极限, 指出A 表示什么? (1) A x x f x x f x =?-?-→?)()(lim 000 (2) A x x f x =→)(lim 0(其中0)0(=f 且)0(' f )存在) (3) A x f tx f x =-→)0()(lim 0(其中)0(' f 存在)

第三章导数与微分习题及答案

第三章导数与微分同步练习一、填空 1、若[]1cos 1)0()(lim =--→x f x f x x ，则)0(f '= 。 2、设)100()3)(2)(1()(----=x x x x x x f ，则)0(f '= 。 3、若)(x e f y -=，且x x x f ln )(='，则 1 =x dx dy = 。 4、若)()(x f x f =-，且3)1(=-'f ，则)1(f '= 。 5、设某商品的需求函数是Q=10-0.2p ，则当价格p=10时，降价10%，需求量将。 6、设某商品的需求函数为：Q=100-2p ，则当Q=50时，其边际收益为。 7、已知x x y ln =，则)10(y = 。 8、已知2arcsin )(),232 3( x x f x x f y ='+-=，则：0 =x dx dy = 。 9、设1 111ln 2 2++-+=x x y ，则y '= 。 10、设方程y y x =确定y 是x 的函数，则dy = 。 11、已知()x ke x f ='，其中k 为常数，求()x f 的反函数的二阶导数=22dy x d 。二、选择 1、设f 可微，则=---→1 ) 1()2(lim 1 x f x f x （） A 、)1(-'-x f B 、)1(-'f C 、)1(f '- D 、)2(f ' 2、若2)(0-='x f ，则=--→) ()2(lim 000 x f x x f x x （） A 、 41 B 、4 1 - C 、1 D 、-1 3、设?? ???=≠=0001arctan )(x x x x x f ，则)(x f 在0=x 处（） A 、不连续 B 、极限不存在Ｃ、连续且可导Ｄ、连续但不可导４、下列函数在[]1,1-上可微的有（）Ａ、x x y sin 3 2+= Ｂ、x x y sin =

【方明亮、郭正光】【高等数学第一学期】第03章微分中值定理与导数的应用习题详解

第三章微分中值定理与导数的应用习题3-1 1.解：（1）虽然()f x 在[1,1]-上连续，(1)(1)f f -=，且()f x 在(1,1)-内可导。可见，()f x 在[1,1]-上满足罗尔中值定理的条件，因此，必存在一点ξ(1,1)∈-，使得()0f ξ'=，即： 22 120(21) ξ ξ-=+ ，满足，0ξ=；（2）虽然()f x 在[1,1]-上连续，(1)(1)f f -=，但()f x 在(1,1)-内0x =点不可导。可见，()f x 在[1,1]-上不满足罗尔中值定理的条件，因此未必存在一点ξ(1,1)∈-，使得 ()0f ξ'=. 2.因为函数是一初等函数，易验证满足条件. 3．解：令3 3arccos arccos(34)y x x x =-- ，2y '=，化简得 0,C y y '=∴=（C 为常数），又(0.5)y π=，故当0.50.5x -≤≤，有()y x π=。 4．证明：显然(),()f x F x 都满足在0,2π??????上连续，在0,2π?? ??? 内可导 ()cos ,()1sin f x x F x x ''==-且对任一0,2x π?? ∈ ??? ，()0F x '≠，(),()f x F x ∴满足柯西中值定理条件。 (0)121(0)22f f F F πππ??- ???=??-- ???，而sin cos ()cos 242()1sin 1cos sin 242x x f x x x F x x x ππππ????-- ? ? '????==='-????--- ? ????? ，令()1()12 f x F x π'= '-，即tan 1422 x ππ ??-=- ???，此时 2arctan 142x ππ?? ??=-- ???????显然0,2x π??∈ ???，即 2arctan 10,4 22πππξ?????? ?=--∈ ? ?????????，

【典型例题】第三章一阶微分方程的解的存在定理

第三章一阶微分方程的解的存在定理例3-1 求方程 22y x dx dy += 满足初始条件0)0(=y 的解的逐次逼近)(),(),(321x y x y x y ，并求出h 的最大值，其中h 的意义同解的存在唯一性定理中的h 。解函数2 2 ),(y x y x f +=在整个平面上有意义，则在以原点为中心的任一闭矩形区域 b y a x D ≤≤,:上均满足解的存在唯一性定理的条件，初值问题?????=+=0 )0(22y y x dx dy 的解在],[h h -上存在唯一，其中)(max ),, min(22),(y x M M b a h D y x +==∈。因为逐次逼近函数序列为 ?-+=x x n n dx x y x f y x y 0 ))(,()(10，此时，2 200),(,0,0y x y x f y x +===，所以 0)(0=x y ， ?=+=x x dx x y x x y 03 2 02 13 )]([)(， | 63 3)]([)(7 032 12 2x x dx x y x x y x +=+=?， ?? +++=+=x x dx x x x x dx x y x x y 0 14 1062 2 223)3969 18929()]([)( 59535 20792633151173x x x x +++=。现在求h 的最大值。因为 ),, min(2 2b a b a h += 对任给的正数b a ,，ab b a 22 2 ≥+，上式中，当 b a = 时， 2 2b a b +取得最大值

a ab b 21 2= 。此时，)21,min()2, min(a a ab b a h ==，当且仅当a a 21 = ，即22==b a 时，h 取得最大值为 2 2 。评注：本题主要考查对初值问题的解的存在唯一定理及其证明过程的基本思想（逐次逼近方法）的理解。特别地，对其中的b y a x D y x f M M b a h D y x ≤≤==∈,:),,(max ),, min(),(等常数意义的理解和对逐次逼近函数列? -+=x x n n dx x y x f y x y 0 ))(,()(10的构造过程的理解。例3-2 证明下列初值问题的解在指定区间上存在且唯一。 1） 2 1 0,0)0(cos 2 2≤ ≤=+='x y x y y ，。 2） 32 2 )2 1 (0,0)0(≤≤=+='x y y x y ，。 | 证 1）以原点为中心作闭矩形区域1,2 1 :≤≤ y x D 。易验证2 2 cos ),(x y y x f +=在区域D 上满足解的存在唯一性定理的条件，求得 2cos m ax 22),(=+=∈x y M D y x ，则2 1 )21,21min(==h 。因此初值问题 ?? ?=+='0 )0(cos 2 2y x y y 的解在]21,21[- 上存在唯一，从而在区间]2 1 ,0[上方程 cos 22， x y y +='满足条件0)0( =y 的解存在唯一。 2）以原点为中心作闭矩形区域b y a x D ≤≤,:。易验证x y y x f +=2 ),(在D 上满足解的存在唯一性定理的条件，并求得 22),(m ax b a x y M D y x +=+=∈，

高等数学练习题第二章导数与微分

高等数学练习题第二章导数与微分系专业班学号第一节导数概念一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在，h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（ 3 π ，21）处的切线方程为03 123=- -+π y x ，法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系，可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠? 极限存在。二、选择题 1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x x f x ) (lim 0→= [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点 x 处连续是在该点 x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要（B ）必要但不是充分（C ）充分必要（D ）即非充分也非必要 4．设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ]

导数与微分习题及答案

第二章导数与微分 (A) 1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ?+0时，相应函数的改变量=?y ( ) A ．()x x f ?+0 B ．()x x f ?+0 C ．()()00x f x x f -?+ D ．()x x f ?0 2．设()x f 在0x 处可，则()()=?-?-→?x x f x x f x 000lim ( ) A ．()0x f '- B ．()0x f -' C ．()0x f ' D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dx dy ( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( ) A ．左导数存在； B ．右导数存在； C ．左右导数都存在 D ．有定义 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在 7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．6 8．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( ) A ．()x f e B ．()()x f e x f '' C ．()()()[]x f x f e x f ''' D ．()()[](){} x f x f e x f ''+'2 9．若()???≥+<=0 ,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( ) A ．2=a ，1=b B ． 1=a ，2=b C ．2-=a ，1=b D ．2=a ，1-=b

导数与微分练习题答案

高等数学练习题第二章导数与微分第一节导数概念一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在，h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（ 3π，2 1 ）处的切线方程为03 123=- -+π y x ，法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系，可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠ ? 极限存在。二、选择题 1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x x f x ) (lim 0→= [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点0x 处连续是在该点0x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要（B ）必要但不是充分（C ）充分必要（D ）即非充分也非必要 4．设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ] （A ）(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0) (D) (1,1)

高等数学(同济大学版)第三章练习(含答案)

第三章微分中值定理与导数的应用一、要求： 1、罗尔定理，拉格朗日定理应用； 2、洛必达法则； 3、函数单调性、极值、最值、凹凸性、拐点的判断，函数图形的描绘； 4、简单不等式证明； 5、最值在实际问题中的应用。二、练习 1. 在区间 [ 1,1] 上满足罗尔定理条件的函数是 ( ). A. 1 B. f ( x ) | x | C. f ( x) 1 x 2 D. f ( x ) x 2 2 x 1 . f ( x) x 2 2. 函数 f ( x) arctan x 在 [ 0 ,1] 上满足拉格郎日中值定理的值是 ( ). A. 4 B. 4 1 C. 1 D. 4 . 1 1 3. 4 设函数 f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 3) ，则方程 f ( x ) 0 有个零点，这些零点所在的范围是；. 3. 设函数 f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 3) ，则方程 f ( x ) 0 有个零点，这些零点所在的范围是 . 4. 函数 f ( x ) ln x x 2在(0, ) 内的零点的个数为 . e 5. 曲线 6. 函数 y xe x 的拐点，凹区间，凸区间 . y ln x 1 x 2 的单调区间 . 7. 曲线 f ( x) e x 的渐近线为 . x 1 8. 计算： 5 x 4 x 1 1 (1 2 （2） lim ( cos x ) （1） lim x 1 x x ) （3） lim tan 2 x x 1 x e 1 x 0 arctan x x (1 x 2 )1 / 3 1 ； 1 （ 4） lim ；（5） lim （6） lim (csc x ) ； x 0 x ln(1 2 x 2 ) x cos x 1 x 0 x （ 7） lim x 3 (sin 1 1 sin 2 ) ；（） lim (tan x ) 2 x ；（ 9） lim x ； e x x 2 x 8 x ln x x 2 9. 证明 2 arctan x arcsin 2 x x 1 . 2 1 x

导数与微分练习题答案

高等数学练习题第二章导数与微分第一节导数概念一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在，h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（ 3 π ，21）处的切线方程为03 123=- -+π y x ，法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系，；可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠ ? 极限存在。二、选择题 1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x x f x ) (lim 0→= [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点 x 处连续是在该点 x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要（B ）必要但不是充分（C ）充分必要（D ）即非充分也非必要 4．设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ]

高等数学第三章导数与微分

第三章导数与微分一、导数概念与定义 A 、导数的概念 a 、设函数y=f （x ）在点0x 处的某临域内有定义，当自变量x 在0x 处取得变量△x （△x ≠0）时，函数取得相应增量。即△y=f （0x +△x ）-f （0x ）若△y 与△x 之比当△x →0时极限存在，即000()()lim x f x x f x x ?→+?-?存在，，则称函数在点0x 处可导，0x 为()y f x =的可导点，并称此极限为函数在点0x 处的导数。法线的斜率为1k ，切线的斜率为k b 、若0 000()()()lim x x f x f x f x x x →-'=→不存在，则称()f x 在0x 处不可导或不存在导数，0x 为()f x 的不可导点。 ※特别是当上述极限为无穷大时，此时导数不存在，或称()f x 在点0x 处的导数无穷大。导数()f x '也可记为0|x x dy dx =或0()|f x x x x d d = c 、函数的左导数与右导数 0000()()()lim x f x f x f x x x --→-'=→ 0000 ()()()lim x f x f x f x x x ++→-'=→ ※分段函数的分段点处考虑左导右导，其余正常求导时直接求()f x ' B 、导数的几何意义曲线在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()y y f x x x '-=- 曲线在点00(,())x f x 处的发现方程为0001()()y y x x f x --= -' C 、函数的可导性与连续性的关系函数()y f x =在0x 处可导，则在0x 处连续；但函数()y f x =在0x 处连续，在点0x 不一定可导。二、求导法则 A 、代数和的求导法则，积的导数、商的导数 ① ()u v u v '''+=+ ② ()u v u v v u '''?=+ ③ ()cu cu ''= ④ ()au bv au bv '''±=± ⑤ ()u v w s t u vwst uv wst uvw st uvws t uvwst ''''''????=++++ 即n 个因子乘积的导数一定为n 项，且每项均为n 个因子的乘积，第i 项的第i 个因子求导，其余不变 ⑥ 2()u u v v u v v ''-'= B 、反函数的导数

第三章导数与微分习题

一、选择题 1. 设()0f x x =在点处可导且(0)0f =，则极限0 () lim x f x x →= '.(0).0.1.A f B C D 不存在 2. 函数()f x 在0x 点连续是()f x 在0x 点可导的 ....A B C D 充分条件必要条件充分必要条件无关条件 3. 设()f x 在0x 处可导，且有h 000 1 lim (2)()4h f x h f x →=--，则'()f x = .4.2.2.A B C D --4 4. 设函数()f x 在1x =处可导，且极限h 0(12)(1)1 lim 2 f h f h →+-=，则'(1)f = 1111 (2244) A B C D -- 5. 函数2,0 (),0 x x f x x x ?，则()f x 在0x =处 ....A B C D 不连续连续但不可导可导无定义 8. 曲线x y x e =+在0x =处的切线方程是 .210.220 .10.20 A y x B y x C y x D y x --=--=--=--= 9. 过点(1,3)且切线斜率为2x 的曲线方程()y f x =应满足关系 '''''' .2.2.2(1)3.2(1)3 A y x B y x C y x f D y x f ====== 且且 10. 直线l 和x 轴平行，且与曲线x y x e =-相切，则切点是 .(1,1).(1,1).(0,1).A B C D -(0,-1) 11. 与曲线3235y x x =+-相切且与直线6210x y +-=平行的直线方程是 .360.360 .360.360 A x y B x y C x y D x y ++=++=-+=-+= 12. 设()f x 在0x 点附近可导且在0x 点二阶可导，则极限''000(2)() lim x f x x f x x ?→-?-=? '''''''' 00001.().2().2().()2 A f x B f x C f x D f x - 13. 设()f u 是可微函数，则(cos 2)df x = ''' ' .2(cos 2).2(cos 2).2sin 2(cos 2).2sin 2(cos 2)A f x dx B f x dx C xf x dx D xf x dx -- 14. 设()()u x v x 与均为可微函数，则()d uv =

3第三章微分中值定理与导数的应用习题解答

第三章微分中值定理与导数的应用答案 §3.1 微分中值定理 1．填空题（１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是 π π -4．（２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中． 2．选择题（１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ B ）． A ．必要条件 B ．充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件（２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ C ）． A . x e x f =)( B. ||)(x x f = C. 2 1)(x x f -= D. ????? =≠=0 ,00 ,1sin )(x x x x x f （３）若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成立（ B ）． A ． ),() ()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξ B ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间 C ． 211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ D ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ 3．证明恒等式：)(2 cot arctan ∞<<-∞= +x x arc x π ．证明：令x arc x x f cot arctan )(+=，则011 11)(2 2=+-+='x x x f ，所以)(x f 为一常数．设c x f =)(，又因为(1)2 f π = ，故 )(2 c o t a r c t a n ∞<<-∞=+x x arc x π ． 4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中12a x x << 3x b <<，证明:在),(31x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf ．证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在),(211x x ∈ξ，使0)(1='ξf ．同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ．又)(x f '在],[21ξξ上符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ．

第三章导数与微分习题

第三章导数与微分 §3.1导数的概念习题3－1 1. 一个螺丝钉从400米的高空下坠，它下落t 时刻对地面的高度 400162+-=t S 求：（1）在前4秒内螺丝钉下落的平均速度。（2）在第四秒时的瞬时速度。 2. 假设一场流行性感冒突然爆发，患流感的人数 322100t t n -= 其中t 是流感爆发后的天数，求（1） 20天后多少人会得流感？（2）在20天后由于流感而生病的人的发病率为多少？ 3. 自变量取哪些值时，抛物线2x y =与3x y =的切线平行？ 4. 求在抛物线2x y =上点3=x 处的切线方程。 §3.2 导数习题3－2 1. 根据导数的定义求下列函数在指定点的导数。（1） x y =，在4=x 处（2） x x y 62+=,在2=x 处（3） x y cos =，在4π =x 处 2. 根据导数的定义求下列函数的导数。（1） 21 x y =

（2） 2ln =y 3. 已知 )(a f '存在，求下列极限。（1）h a f h a f h )()(lim 0 -+→ （2）h a f h a f h )()(lim 0--→ （3）h h a f h a f h )()(lim 0--+→ 4. 在曲线3x y =上哪一点的切线平行于直线0112=--x y ，哪一点的法线平行于直线0112=-+x y ？ 5. 求22x y -=在点)1,1(处的切线和法线方程。 6. 函数???-+=,13,1)(2x x x f 1 10≥<≤x x ；在点1=x 处是否可导？为什么？ 7. 证明函数? ??-=,12,)(x x x f +∞<≤<≤x x 110；在点1=x 处连续，但不可导。 8. 在抛物线2x y =哪一点的切线有下列性质。（1）平行于OX 轴。（2）与OX 轴构成 45度角。 9. 求下列函数的导数。（1） 4x y = （2） 32x y = （3） x y 1= （4） 532 2x x x y ?= （5） x x y = 10. 设0)0(=f ，)0('f 存在，求x x f x )(lim 0→。

03第三章导数与微分

页脚内容1 第三章导数与微分一、本章学习要求与内容提要（一）学习要求 1.理解导数和微分的概念及其几何意义，会用导数（变化率）描述一些简单的实际问题. 2.熟练掌握导数和微分的四则运算法则和基本初等函数的求导公式. 3.熟练掌握复合函数、隐函数以及由参数方程所确定的函数的一阶导数的求法. 4.了解高阶导数的概念，熟练掌握初等函数的二阶导数的求法. 5.了解可导、可微、连续之间的关系. 重点导数的概念及其几何意义，计算导数的方法，初等函数的二阶导数的求法. 难点求复合函数和隐函数的导数的方法. （二）内容提要 1.导数的概念 ⑴导数设函数)(x f y =在点0x 的某一邻域内有定义，当自变量x 在点0x 处有增量)0(≠??x x ，x x ?+0仍在该邻域内时，相应地，函数有增量)()(00x f x x f y -?+=?，若极限

页脚内容2 存在，则称)(x f 在点0x 处可导，并称此极限值为)(x f 在点0x 处的导数，记为)(0x f '，也可记为 00 0d d d d , , )(x x x f x x x y x x y x y ===' '或，即 x x f x x f x y x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim )(00000. 若极限不存在，则称)(x f y =在点0x 处不可导. 若固定0x ，令x x x =?+0，则当0→?x 时，有0x x →，所以函数)(x f 在点0x 处的导数)(0x f '也可表示为 00 0) ()(lim )(x x x f x f x f x --='→. ⑵左导数与右导数 ①函数)(x f 在点0x 处的左导数 )(0x f -'＝x x f x x f x y x x ?-?+=??- - →?→?) ()(lim lim 0000 . ②函数)(x f 在点0x 处的右导数 )(0x f +'＝x x f x x f x y x x ?-?+=??+ + →?→?) ()(lim lim 000 0. ③函数)(x f 在点0x 处可导的充分必要条件是)(x f 在点0x 处的左导数和右导数都存在且相等．

第三章导数和微分答案

高等数学II 练习题第三章导数与微分 ________系_______专业班级姓名______ ____学号_______ 习题3.1 导数的概念一．选择题 1．设()f x 在x a =的某邻域内有定义，()f x 在x a =可导的充分必要条件是（ C ）（A ）0 1lim (()())h h f a f a h →+ -存在（B ）0 (2)() lim h f a h f a h h →+-+存在（C ）0 ()() lim h f a f a h h →--存在（D ）0 ()() lim h f a h f a h h →+--存在 2．设()f x 是可导函数，且0 (1)(1) lim 12x f f x x →--=-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为（ B ）（A ）1- （B ）2- （C ）6 （D ）1 3. 设()f x 在x 处可导，,a b 为常数，则0 ()() lim x f x a x f x b x x ?→+?--?=? （ B ）（A ）()f x ' （B ）()()a b f x '+ （C ）()()a b f x '- （D ） ()2 a b f x +' 4. 函数在点0x 处连续是在该点0x 处可导的条件（ B ）（A ）充分但不是必要（B ）必要但不是充分（C ）充分必要（D ）既非充分也非必要 5．设曲线22y x x =+-在M 点处的切线斜率为3，则点M 的坐标为（ B ）（A ）(0,1) （B ）(1,0) （C ）(0,0) （D ）(1,1) 6.设函数()|sin |f x x =，则()f x 在0x =处（ B ）（A ）不连续（B ）连续，但不可导（C ）可导，但不连续（D ）可导，且导数也连续二．填空题 1．设()f x 在0x 处可导，000 (3)() lim h f x h f x h →+-= 。 2．设()f x 在0x =处可导，且(0)0f =，则0 ()lim x f x x →= 。 3．设0()2f x '=-，则0 00lim (2)() x x f x x f x →=-- 。 4．设()(1)(2)(2009)f x x x x x =--- ，则(0)f '= 。 5．已知物体的运动规律为2 s t t =+（米），则物体在2t =秒时的瞬时速度为。 03()f x ' (0)f '1 42009!-5/m s

第三章 导数和微分答案

高数第三章一元函数的导数和微分

第三章导数与微分习题解答

03第三章-导数与微分

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第三章 导数与微分 习题及答案

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高等数学练习题第二章导数与微分

导数与微分习题及答案

导数与微分练习题答案

高等数学(同济大学版)第三章练习(含答案)

导数与微分练习题答案

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第三章 导数与微分习题

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