二次函数复习专题讲义

第1-3讲 二次函数全章综合提高

【知识清单】 ※一、网络框架

※二、清单梳理

1、一般的，形如2

(0,,,)y ax bx c a a b c =++≠是常数的函数叫二次函数。例如

22221

2,26,4,5963

y x y x y x x y x x =-=+=--=-+-等都是二次函数。注意：系数a

不能为零，,b c 可以为零。

2、二次函数的三种解析式（表达式）

2(0)0=00=0000000y ax a y a y a y a x y x x y x a x y x x y x ?=≠????

><>????

<<>??最小值最大值概念：形如的函数简单二次函数图像：是过（0,0）的一条抛物线

对称轴：轴性质最值：当时，；当时，当时，在对称轴左边（即）,随的增大而减小。在对称轴右边（即）,随的增大而增大。

增减性当时，在对称轴左边（即）,随的增大而增大。在对称轴右边（即）,随的增大而减小。二次函数2222(0)004242440=0=440y ax bx c a a a b ac b a a b x a ac b ac b a y a y a a a ????????

??????????=++≠?><>最小值最大值概念：形如的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。开口方向：，开口向上；，开口向下。图像：是一条抛物线顶点坐标：（-,）对称轴：-最值：当时，，当时，一般二次函数性质：当时，在对称轴左增减性：22022b b x y x x y x a a b b a x y x x y x a a ?????????????

??

?????????????????<>??????????<<>????????????????边（即-）,随的增大而减小。在对称轴右边（即-）,随的增大而增大。当时，在对称轴左边（即-）,随的增大而增大。在对称轴右边（即-）,随的增大而减小。待定系数法求解析式应用与一元二次方程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题????

????

???????????????????

??

????

①一般式：2

(0,,,)y ax bx c a a b c =++≠是常数

②顶点式：2

()(,,0)y a x h k a h k a =-+≠为常数，且，顶点坐标为(,)h k

③交点式：1212()()(0,,)y a x x x x a x x x =--≠其中是抛物线与轴的交点的横坐标 3、二次函数的图像位置与系数,,a b c 之间的关系 ①a ：决定抛物线的开口方向及开口的大小。当0a

>时，开口方向向上；当0a <时，开

口方向向下。||a 决定开口大小，当||a 越大，则抛物线的开口越小；当||a 越小，则抛物线的开口越大。反之，也成立。 ②c ：决定抛物线与

y 轴交点的位置。当0c >时，抛物线与y 轴交点在y 轴正半轴（即x

轴上方）；当0c <时，抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴（即x 轴下方）；当0c =时，抛物

线过原点。反之，也成立。

③ a b 和：共同决定抛物线对称轴的位置。当02b a -

>时，对称轴在y 轴右边；当02b

a

-<时，对称轴在y 轴左边；当02b

a

-

=（即当0b =时）对称轴为y 轴。反之，也成立。 ④特别：当1x

=时，有y a b c =++；当1x =-时，有y a b c =-+。反之也成立。

4、二次函数2

()y a x h k =-+的图像可由抛物线2

y ax =向上（向下），向左（向右）平移而得到。具体为：当0h >时，抛物线2

y ax =向右平移h 个单位；当0h <时，抛物线2

y ax =向左平移h -个单位，得到2

()y a x h =-；当0k >时，抛物线2

()y a x h =-再向上平移k 个

单位，当0k <时，抛物线2()y a x h =-再向下平移k -个单位，而得到2()y a x h k =-+的

图像。

5、抛物线2

(0)y ax bx c a =++≠与一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠的关系：

①若抛物线2

(0)y ax bx c a =++≠与

x

轴有两个交点，则一元二次方程

20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实根。

②若抛物线2

(0)y ax bx c a =++≠与

x

轴有一个交点，则一元二次方程

20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实根（即一根）。

③若抛物线2

(0)y ax bx c a =++≠与

x

轴无交点，则一元二次方程

20(0)ax bx c a ++=≠没有实根。

6、二次函数2

(0,,,)y ax bx c a a b c =++≠是常数的图像与性质

【考点解析】

考点一：二次函数的概念

【例1】下列函数中是二次函数的是（ ）

2.81A y x =+ .81B y x =-- 8.C y x =

23

.4D y x

=- 【解析】根据二次函数的定义即可做出判断，A 中2

81y x =+符合2

(0)y ax bx c a =++≠的形式，所以是二次函数，,B C 分别是一次函数和反比例函数，D 中右边23

4x

-不是整式，显然不是二次函数。 【答案】A

【例2】已知函数2

2

34(2)3(1)m m y m

m x mx m -+=--++是二次函数，则m =_____。

【解析】根据二次函数的定义，只需满足两个条件即可“二次项系数不为零，且x 的最高次

数为2”。故有2220342

m m m m ?-≠??-+=??，解得0212m m m m ≠≠??==?且或，综上所述，m 取1。

【答案】1 【针对训练】 1、若函数22

(2)m y m x

mx -=-+是二次函数，则该函数的表达式为__________y =。

考点二：待定系数法在求解二次函数解析式中的应用

【例1】已知点()8,a 在二次函数2

ax y =的图象上，则a 的值是（）

2.A 2.-B .C 2± 2.±D

【解析】因为点()8,a 在二次函数2

ax y =的图象上，所以将点()8,a 代入二次函数2

ax y =中，可以得出3a 8=，则可得2=a ，

【答案】.A

【例2】（2011，）若二次函数c bx ax y ++=2

的x 与y 的部分对应值如下表，则

当

1-=x 时，y 的值为（ ）

5.A 3.-B 13.-C 27-

【解析】设二次函数的解析式为()k h x a y +-=2

，因为当4-=x 或2-时，3=y ，

由抛物线的对称性可知

3-=h ，5=h ，所以()532++=x a y ，把()3,2-代入得，

2-=a ，所以二次函数的解析式为()5322++-=x y ，当3=x 时，27-=y 。

【答案】C 【针对训练】

1、(2002年)过()0,1-,()0,3,()2,1三点的抛物线的顶点坐标是（ ）

.A ()2,1 2.(1,)3

B ()5,1.-

C 14.(2,

)3D

2、无论m 为何实数，二次函数2

x y =()m x m +--2的图象总是过定点（ ）

()3,1.A ()0,1.B ()3,1.-C ()0,1-D

【例3】（2010，一模）如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数c bx ax y ++=2

的图象顶点为

()2,2.--A ，且过点()2,0B ，则y 与x 的函数关系式为（ ）

.A 22+=x y .B ()222+-=x y .C ()222--=x y .D ()222-+=x y

【解析】设这个二次函数的关系式为()222

-+=x a y ，将

()2,0B 代入得

()22022

-+=，解得：1=a ，故这个二次函数的关系式是()222

-+=x y ，

【答案】

D

【针对训练】

考点三：二次函数的图像与性质的综合应用（与系数,,a b c 的关系）

【例1】（2012，）已知二次函数b x a y -+=2

)1()0(≠a 有最小值1，则a 、b 的大小关系

为（ ）

.A b a > .B b a < .C b a = .D 不能确定

【考点】涉及二次函数顶点坐标和最值

【解析】因为二次函数b x a y -+=2

)1()0(≠a 有最小值1，所以0>a ，1=-b ，1-=b ，

所以b a

>。

【答案】.A 【针对训练】

1、二次函数1422

--=x x y 的最小值是 。

2、（2013，）二次函数3)1(22

+--=x y 的图象的顶点坐标是（ ）

.A )31(， .B )31(，- .C )31(-， .D )31(--，

3、抛物线)2(--=x x y 的顶点坐标是（ ）

.A )11(--， .B )11(，

- .C )11(， .D )11(-，

高考复习专题：函数的基本性质专题复习

高考复习专题：函数的基本性质专题复习 求函数定义域的常用方法：无论什么函数，优先考虑定义域 1偶次根式的被开方式非负；分母不为0；零指数幂底数不为零；对 数真数大于0且底数大于0不等于1；tanx 定义域? ?? ? ??∈+≠ Z k k x x ,2ππ 2复合函数的定义域：定义域是x 的范围，f 的作用范围不变 1.y=x x x -+||)1(0 2.y= 2 3 2 53 1 x x -+- 3.y= x x x x -+-||2 32 4.y x x = --1 5 1 1 5.(21) log x y -= 6.)3lg(-=x y 7.x x y 2 = 8.2lg 2 1x y = 9. 02 )45() 34lg()(-++=x x x x f 训练： 1、函数y=)34(log 25.0x x -的定义域为__________. 2、f(x)的定义域是[-1，1]，则f(x+1)的定义域是 3、若函数f(x)的定义域是[－1，1]，则函数) (log 2 1 x f 的定 义域是（ ） A ．]2,21[ B ．]2,0( C ．),2[+∞ D ．]2 1 ,0( 4、已知2()f x 的定义域为[1,1]-，则)(x f 的定义域为 ，(2)x f 的定义域为 5、已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是 （ ）

A.[]052 ， B.[]-14， C.[]-55， D.[]-37， 6、函数1 2 1)(-+ += x x x f 的定义域是 .（用区间表示）． 7、已知函数 1 )(2+=x x f 的定义域是} 2,1,0,1{-，则值域 为 ． 8、函数 ) (x f y =的定义域是[1，2]，则 ) 1(+=x f y 的定义域 是 ． 9、下列函数定义域和值域不同的是（ ） （A ）15)(+=x x f （B ）1)(2+=x x f （C ）x x f 1)(= （D ）x x f = )( 10、已知函数) (x f y = 的图象如图1所示，则函数的 定义域是（ ） (A) [－2,0] (B) ]5,1[]0,2[ - (C) [1,5] (D) ] 5,1[]0,2[ - 11、若函数y=lg(4－a ·2x)的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．(0，+∞) B ．(0，2) C ．(-∞，2) D ．(-∞，0) 12、为何值时，函数 347 2+++= kx kx kx y 的定义域为 R ． 一次函数法 1. 已知函数()23{|15}f x x x x N x =-∈∈≤≤，则函数的值域为 二次函数法（配方法） 2. 求下列函数值域： ]5,1[,42∈+-=x x x y y =

克和千克解决问题教学设计

第八单元克和千克解决实际问题 一、教学内容：课本第104页例3和做一做。 二、教学目标： 知识技能：进一步感受并认识质量单位千克和克，确立千克和克的质量概念，牢固掌握克与千克之间的关系。 过程与方法：学生通过实践活动，掌握用秤称物体质量的方法，能够根据物体实际情况选择合适的质量单位进行表达和交流。。 情感、态度与价值观：让学生在实践活动中，体会数学与生活的密切联系，增强学习数学的兴趣，学会与他人合作交流，建立积极的数学学习情感。 三、教学重点：运用克和千克的知识解决简单的生活问题。 四、教学难点：掌握用秤称物体质量的方法。 五、教学准备：小黑板、主题图、盘秤、苹果。 六、教学过程：1、复习引入：填空。 （1）称比较轻的物品的质量，常用（）作单位，称比较重的物品的质量，常用（）作单位。“千克”可以用符号（）表示。 （2）填上适当的数或单位。 一筐苹果重20（）一个乒乓球约重（）一只鸭子约重2（） 5只鸭子大约重（） 2、探究新知 （1）教学例3 王奶奶摘了20个苹果，估计一下大约重多少千克①读题 知道了什么？要求什么？②怎样解答 先思考，再和同桌交流③汇报交流。 苹果有大有小，要根据大小来估计 4个苹果大约重1千克 如果4个苹果重1千克，这些苹果重多少千克呢？ 20÷4＝5（千克）

5个中等个儿的苹果大约重1千克。 如果5个苹果重1千克，这些苹果重多少千克呢？20÷5＝4（千克）（2）解答正确吗？ ①你有什么办法检验吗？分组讨论②交流方法。用秤称一下，看是不是有4个或5个重1千克的苹果。③学生称一称。 3、巩固练习 （1）做一做 估计24个梨大约重多少千克。先独立练习， 再集体交流，说说自己是怎样想的。（2）练习二十第9题 调查一下500克鸡蛋有几个。估一估65个鸡蛋约重多少千克。先独立练习再集体交流，说说自己是怎样估计的。作业设计： 练习册中相应的练习题。 七、板书设计 克和千克解决实际问题 王奶奶摘了20个苹果，估计一下大约重多少千克。如果4个苹果重1千克，这些苹果重多少千克呢？ 20÷4＝5（千克） 如果5个苹果重1千克，这些苹果重多少千克呢？ 20÷5＝4（千克）答：如果4个苹果重1千克，这些苹果大约重5千克。如果5个苹果重1千克，这些苹果大约重4千克。

函数导入课讲义

学情分析 基础较好，对于知识灵活运用需要训练课题一次函数导入专题 学习目标与考点分析学习目标：1、对于一次函数的性质和图像的熟练运用和把握 2、理解一次函数与二元一次方程组的联系 3、理解一次函数和正比例函数的联系和区别 考点分析：1、一次函数的性质和图像的把握 2、正比例函数的性质和一次函数的区别 学习重点重点：1、一次函数性质和图像的理解 2、正比例函数图像与一次函数图像区别 学习方法讲练结合练习巩固 学习内容与过程 一、知识点梳理 一次函数 （一）函数 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有 唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。 *判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式 6、函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 7、描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）； 第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。 8、函数的表示方法 列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

高一数学函数专项训练题(含答案)

20XX 年秋高一数学第一学期函数压轴训练题 1．（本小题满分12分）已知x 满足不等式2112 2 2(log )7log 30x x ++≤，求2 2()log log 42 x x f x =?的最大值与最小值及相应x 值． 2.（14分）已知定义域为R 的函数2()1 2x x a f x -+= +是奇函数 （1）求a 值； （2）判断并证明该函数在定义域R 上的单调性； （3）若对任意的t R ∈，不等式2 2 (2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围； 3. （本小题满分10分）已知定义在区间(1,1)-上的函数2 ()1ax b f x x +=+为奇函数,且12 ()25f =. (1) 求实数a ,b 的值； (2) 用定义证明:函数()f x 在区间(1,1)-上是增函数； (3) 解关于t 的不等式(1)()0f t f t -+<. 4. (14分)定义在R +上的函数f(x)对任意实数a,b +∈R ,均有f(ab)=f(a)+f(b)成立，且当x>1时,f(x)<0， (1)求f(1) (2)求证：f(x)为减函数。 (3)当f(4)= -2时，解不等式1)5()3(-≥+-f x f 5.（本小题满分12分）已知定义在[1，4]上的函数f(x)＝x 2 -2bx+4 b (b ≥1)， (I)求f(x)的最小值g(b)； (II)求g(b)的最大值M 。

6.（12分）设函数()log (3)(0,1)a f x x a a a =->≠且，当点(,)P x y 是函数()y f x =图象上的点时，点(2,)Q x a y --是函数()y g x =图象上的点. （1）写出函数()y g x =的解析式； （2）若当[2,3]x a a ∈++时，恒有|()()|1f x g x -…，试确定a 的取值范围； （3）把()y g x =的图象向左平移a 个单位得到()y h x =的图象，函数1()22()()()2h x h x h x F x a a a ---=-+，（0,1a a >≠且）在1[,4]4的最大值为54，求a 的值. 7. （12分）设函数124()lg ()3 x x a f x a R ++=∈. （1）当2a =-时，求()f x 的定义域； （2）如果(,1)x ∈-∞-时，()f x 有意义，试确定a 的取值范围； （3）如果01a <<，求证：当0x ≠时，有2()(2)f x f x <. 8. （本题满分14分）已知幂函数(2)(1) ()()k k f x x k z -+=∈满足(2)(3)f f <。 （1）求整数k 的值，并写出相应的函数()f x 的解析式； （2）对于（1）中的函数()f x ，试判断是否存在正数m ，使函数()1()(21)g x mf x m x =-+-，在区间 []0,1上的最大值为5。若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。 9. （本题满分14分）已知函数1 ()(0x f x a a -=>且1)a ≠ （Ⅰ）若函数()y f x =的图象经过()4,3P 点，求a 的值； （Ⅱ）当a 变化时，比较1 (lg )( 2.1)100 f f -与大小，并写出比较过程； （Ⅲ）若(l g )100f a =，求a 的值．

高考数学(精讲+精练+精析)专题2_2 函数的基本性质试题 文(含解析)

专题2.2 函数的基本性质试题 文 【三年高考】 1. 【2016高考新课标2文数】已知函数f (x )（x ∈R ）满足f (x )=f (2-x )，若函数y =|x 2 -2x -3| 与y =f (x ) 图像的交点为（x 1,y 1），(x 2,y 2)，…，（x m ,y m ），则 1 =m i i x =∑（ ） (A)0 (B) m (C) 2m (D) 4m 【答案】B 2．【2016高考浙江文数】已知函数()f x 满足：()f x x ≥且()2,x f x x ≥∈R .（ ） A.若()f a b ≤，则a b ≤ B.若()2b f a ≤，则a b ≤ C.若()f a b ≥，则a b ≥ D.若()2b f a ≥，则a b ≥ 【答案】B 【解析】由已知可设2(0)()2(0)-?≥?=?

对数函数及其性质(讲义及答案)

对数函数及其性质（讲义） ?知识点睛 一、对数函数的定义 一般地，函数（）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，+∞)． 二、对数函数的图象和性质 1.对数函数y = log a x （a>0，且a≠1）的图象和性质： 01 图象 定义域(0，+∞) 值域R 性质 ①过定点(1，0)，即x=1 时，y=0 ②在(0，+∞)上是减函数②在(0，+∞)上是增函数2. ①y = log a x ，②y = log b x ，③y = log c x ，④y = log d x ， 则有0 log b x > log c x > log d x ． 3.反函数 y = log a x 与y =a x互为反函数，其中a>0，且a≠1；互为反

1

3 log x 2 log 0.5 (3x - 2) 4 - x 2 1 a ? 精讲精练 1. 直接写出下列函数的定义域： （1） y = log 3 (x - 2) ； （2） y = ； （3） y = ； （4） y = 1 + ． ln(x +1) 2. （1）已知 f (x ) 的定义域为[0，1]，则函数 y = f (log 1 (3 - x )) 的 2 定义域是 ； （2） 已知函数 f (x ) = log 1 (2 - log 2 x ) 的值域是(-∞，0)，则它 2 的定义域是 ； （3） 函数 f (x ) = log (x 2 + 6x +13) 的值域是 ． 2 3. 已知 a >0，且 a ≠1，则函数 y = a x 与 y = log (-x ) 的图象只可 能是（ ） A ． B ． C ． D ．

(新)高一数学函数专题训练(一)

函数专题训练（一） 一、选择题 1．(文)若函数f(x)的定义域是[0,4]，则函数g(x)＝f (2x )x 的定义域是( ) A ．[0,2] B ．(0,2) C ．(0,2] D ．[0,2) (理)(2013·湖北荆门期末)函数f(x)＝1x ln(x 2－3x ＋2＋－x 2－3x ＋4)的定义域为( ) A ．(－∞，－4]∪(2，＋∞) B ．(－4,0)∪(0,1) C ．[－4,0)∪(0,1] D ．[－4,0)∪(0,1) 2．(文)(2012·江西文，3)设函数f(x)＝????? x 2＋1，x ≤1，2x ，x>1.则f(f(3))＝( ) A.15 B ．3 C.23 D.139 (理)已知函数f(x)＝??? 2x ＋1，x ≤0，f (x －3)，x>0， 则f(2014)等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－3 D ．3 3．已知函数f(x)＝??? 2x ＋1，x<1，x 2＋ax ，x ≥1， 若f[f(0)]＝4a ，则实数a 等于( ) A.12 B.45 C ．2 D ．9 4．(2013·银川模拟)设函数f(x)＝??? x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x<0， 则不等式f(x)>f(1)的解集是( A ．(－3,1)∪(3，＋∞) B ．(－3,1)∪(2，＋∞) C ．(－1,1)∪(3，＋∞) D ．(－∞，－3)∪(1,3) 5．(文)函数f(x)＝22x －2 的值域是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,0)∪(0，＋∞)C ．(－1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) (理)若函数y ＝f(x)的值域是[12，3]，则函数F(x)＝f(x)＋1f (x ) 的值域是( ) A ．[12，3] B ．[2，103] C ．[52，103] D ．[3，103] 6．a 、b 为实数，集合M ＝{b a ，1}，N ＝{a,0}，f 是M 到N 的映射，f(x)＝x ，则a ＋b

(完整版)函数的基本性质详细知识点及题型分类(含课后作业)

《函数的基本性质》专题复习 （一）函数的单调性与最值 ★知识梳理 一、函数的单调性 1、定义： 设函数的定义域为，区间 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是 ，称为的 。 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是 ，称为的 。 2、单调性的简单性质： ①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内： 增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。 3、判断函数单调性的方法步骤： 利用定义证明函数f (x )在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ○ 1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1)(x f y =I I )(x f y =

克和千克解决问题

第二课时解决问题 【教学内容】 《义务教育教科书数学》（人教版）二年级下册第104页情境图及做一做。 本课是学生应用已学的质量单位的知识，通过估量解决实际问题。在解决问题的过程中，不仅巩固建立1千克的质量观念，而且培养学生的估测的意识，帮助学生积累估量的经验，形成估测策略。 【教学目标】 1.通过实践、观察和推算的活动，能够根据物体的实际情况选择合适的质量单位进行表达和交流，进一步培养学生的估测能力。 2.在实践活动中，进一步感受质量单位，建立千克与克的质量观念，体会数学与生活的密切联系。 【重点】 进一步建立克和千克的质量观念，通过估测解决问题 【难点】 灵活运用估量的方法解决问题，形成估测策略。 【课前设计】 小调查： 1.调查了解一些常见物品的轻重。 2.估计1千克苹果和梨的数量。

3.课前调查1千克鸡蛋有多少个。 【课堂设计】 一.谈话引入，经验交流 （1）师生共同回顾上节课学习的质量单位 （2）全班交流 学生代表汇报自己调查了1千克苹果、梨和鸡蛋各有多少个。 （3）质疑 师：怎么答案不相同，问题出在哪里？谁的调查是对的？老师也带来了一些苹果，我们称称看。（老师拿出课前准备的大小两份不同的苹果，指名上台称一称。）师：4个苹果1千克，5个苹果也是1千克，为什么？ 学生自由发言，小结：看来苹果的大小不同，结果也就不同。所有大家课前的调查都应该是对的，只是调查的苹果大小不一样。 师：这是王奶奶摘的20个苹果，它们大约重多少千克？今天我们一起来帮王奶奶解决这个问题。 【设计意图：结合上节课所学内容布置了课后小调查，从生活情境引入新课的学习，能使学生体验到生活与数学的密切联系，感受生活中处处有数学，增强学习和应用数学的信心。】 二、分析问题，探究解决 师：出示题目：王奶奶摘了20个苹果，估计一下大约

函数性质综合运用(讲义)

函数性质综合运用（讲义） ?课前预习 1.填空： ①如果我们将方程组中的两个方程看作是两个函数，则方程组的解恰好对应 两个函数图象的__________________；方程x2+3x-1=2x+1的根对应两个函数图象交点的__________． 特别地，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根是二次函数______________的图象与______交点的横坐标．当?＞0时，二次函数图象与x轴有_____个交点；当?=0时，与x轴有_____个交点；当?＜0时，与x轴______交点． ②y=2x+1与y=x2+3x+1的交点个数为__________． 2.借助二次函数图象，数形结合回答下列问题： ①当a＞0时，抛物线开口_____，图象以对称轴为界，当x_____时，y随x 的增大而增大；该二次函数有最____值，是_______； ②当a＜0时，抛物线开口____，图象以对称轴为界，当x_____时，y随x的 增大而增大；该二次函数有最___值，是______． ③已知二次函数y=x2+2x-3．当-5＜x＜3时，y的取值范围为__________；当 1＜x≤5时，y的取值范围为__________． 注：二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为 2 4 () 24 b a c b a a --，． ?知识点睛

a b c k ???? ?? ????? ?????? ???????①坐标代入表达式，得方程或不等式表达式与坐标②借助表达式设坐标①判断，，，等字母符号函数图象与性质②借助图象比大小、找范围 ③图象平移：左加右减，上加下减 将方程、不等式转化为函数，函数与方程、不等式数形结合，借助图象分析 ?????????????????? ??????????????? ?? 第一步：设坐标 利用所在函数表达式或坐标间关系横平竖直第二步：坐标相减竖直线段：纵坐标相减，上减下水平线段：横坐标相减，右减左表达线段长①倾斜程度不变借助相似，利用竖直线段长表达斜放置②倾斜程度变化 ? 精讲精练 1. 抛物线y =ax 2+bx +c 上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如表所示． y 轴的右侧；③抛物线一定经过点(3，0)； ④在对称轴左侧，y 随x 增大而减小；⑤一元二次方程ax 2+bx +c =4的解为x =-1或x =2．由表可知，正确的说法有______个． 2. 已知二次函数y =(x -h )2+1（h 为常数），在自变量x 的值满足1≤x ≤3的情况 下，与其对应的函数值y 的最小值为5，则h 的值为（ ） A ．5或1 B ．-1或5 C ．1或-3 D ．1或3 3. 已知二次函数y =ax 2-bx -2（a ≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点(-1，0)， 当a -b 为整数时，ab 的值为（ ） A ．34或1 B ．14或1 C ．34或12 D ． 14或34 4. 二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，图象过点(-1，0)，对称 轴为直线x =2．给出下列结论：①4a +b =0；②9a +c ＞3b ；③8a +7b +2c ＞0；④

2014高中数学抽象函数专题

2014高三数学专题 抽象函数 特殊模型和抽象函数 特殊模型 抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数 f(x)=x n f(xy)=f(x)f(y) [或) y (f )x (f )y x (f =] 指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [) y (f )x (f )y x (f =-或 对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )y x (f -=或 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x) 正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1) y (f )x (f )y x (f -+= + 余切函数 f(x)=cotx ) y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-= + 一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为 11≤≤-x 。 解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ?的定义域问题，相当于解内函数()x ?的不等式问题。 练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()? ?? ? ? ?-x f 3log 2 1 的定义域。 例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。 []11log ,13 评析： 已知函数()()x f ?的定义域是A ，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数()x ?的值域。

新课标人教版二年级下册数学 8 克和千克——解决问题教学设计

克和千克的解决问题 教学内容：教材第104页例3及相关内容。 教学目标： 1、进一步感受质量单位，建立千克与克的质量观念，牢固掌握克与千克之间的关系。 2、学生在观察和推算的活动中，能够根据物体的实际情况选择合适的质量单位进行表达和交流，进一步培养学生的估量能力。 3.让学生在活动中，体会数学与生活的密切联系，增强学习数学的兴趣；学会与他人合作交流，建立积极的数学学习情感。 教学重点：进一步建立克和千克的质量观念，通过估量解决问题。 教学难点：灵活运用估量的方法解决问题，形成估测策略。 教学过程： 一、谈话引入 1、上节课我们认识了什么质量单位？它们之间有什么关系？ 2、今天我们继续学习《克和千克的解决问题》 3、同学们，你们平时都喜欢吃水果吗？哪你们都喜欢吃什么水果呢？ 4、同学们，你能说出下面苹果的重量吗？

二、探究新知 1、出示例题3：王奶奶摘了20个苹果，估计一下大约重多少千克。 2、题目中告诉了我们哪些信息？（王奶奶摘了20个苹果。）提出了什么问题？（这些苹果大约重多少千克？） 3、怎么解决呢？ 谈话：苹果有大有小，我们已经知道大个的苹果大约4个1千克，中等的苹果大约5个1千克，看来这个问题不能一概而论，而要根据苹果的大小来估计。我们分组进行，第一、二两组解决如果4个苹果1千克，20个大约重多少千克，第三、四两组的解决如果5个苹果1千克，20个大约重多少千克。 4、学生分组解决问题。 5、汇报交流。 如果4个苹果重1千克，这些苹果重多少千克？这道题用什么方法计算？为什么？ 列式：20÷4=5（千克） 答：如果4个苹果重1千克，这些苹果大约重5千克。

高中数学函数基本性质专项讲义及练习

专题 函数基本性质 考点精要 会运用函数图像理解和研究函数的性质． 热点分析 主要考查函数的性质及运用 知识梳理 1．函数的单调性： 设函数y=f （x ）的定义域为A ，区间M A ?．如果取区间M 中的任意两个值x 1，x 2，设改变量210x x x ?=->，则当21()()0y f x f x ?=->时，就称函数y=f （x ）在区间M 上是增函数，当21()()0y f x f x ?=-<时，就称函数y=f （x ）在区间M 上是减函数． 如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性．（区间M 称为单调区间） 函数的单调性是函数的一个重要性质，在给定区间上，判断函数增减性，最基本的方法就是利用定义：在所给区间内任取x 1，x 2,当x 1 < x 2时判断相应的函数值f （x 1）与f （x 2）的大小． 利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法，教材中所有基本初等函数的单调性都是图象观察得到的．对于[]()y f x φ=型复合形式的函数的增减性，可换过换元，令()u x φ=，然后分别根据()u x φ=，()f f u =在相应区间上的增减性进行判断，一般规律是：“同则增，异则减”，即内外层函数的单调性相同（同增或同减）则[]()y f x φ=为增；内外层函数的单调性相反（内增外减或内减外增）则 []()y f x φ=为减．其本质源于复合函数求导的连锁法则以及函数单调性与其导函 数符合的关系． 此外，利用导数研究函数的单调性，更是一种非常重要的方法，是“大规大法”，由导数正负与单调性的关系及两函数和、差、积、商的求导法则可以推出许多判定函数单调性的简单技巧．

(推荐)高中数学会考专题集锦-函数的概念与性质专题训练

函数的概念与性质专题训练 一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分 答案 1、映射f ：X →Y 是定义域到值域的函数，则下面四个结论中正确的是 A 、Y 中的元素不一定有原象 B 、X 中不同的元素在Y 中有不同的象 C 、Y 可以是空集 D 、以上结论都不对 2、下列各组函数中，表示同一函数的是 A 、||2x y x y ==与 B 、2 lg lg 2x y x y ==与 C 、23) 3)(2(+=--+= x y x x x y 与 D 、10 ==y x y 与 3、函数1+=x y 的定义域是 A 、( ,+) B 、[1,+ ） C 、[0,+] D 、(1,+) 4、若函数y f x =()的图象过点(0，1), 则y f x =+()4的反函数的图象必过点 A 、（4，—1） B 、（—4，1） C 、（1，—4） D 、（1，4） 5、函数)10(≠>+=+=a a b ax y b a y x 且与函数的图像有可能是 A B C D 6、函数241x y --=的单调递减区间是 A 、 ?? ? ? ?∞-2 1, B 、 ?? ????+∞,21 C 、 ?? ? ???- 0,21 D 、 ?? ????2 1,0 7、函数f(x)()R x ∈是偶函数，则下列各点中必在y=f(x)图象上的是 A 、())(,a f a - B 、())(,a f a -- C 、())(,a f a --- D 、())(,a f a -- 8、如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最大值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是 x y O x y O x y O x y O

高考数学(精讲 精练 精析)专题 函数的基本性质试题(江苏)(含解析)

专题2 函数的基本性质 【三年高考】 1. 【2016高考江苏11】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1-)上， ,10, ()2 ,01, 5 x a x f x x x +-≤

试题分析：对于①，若令(1,1)P ，则其伴随点为1 1(,)22P '-，而11(,)22 P '-的伴随点为(1,1)--，而不是P ，故①错误；对于②，设曲线(,)0f x y =关于x 轴对称，则(,)0f x y -=与方程(,)0f x y =表示同一曲线， 其伴随曲线分别为2222( ,)0y x f x y x y -=++与 2222 (,)0y x f x y x y --=++也表示同一曲线，又曲线2222( ,)0y x f x y x y -=++与曲线 2222 (,)0y x f x y x y --=++的图象关于y 轴对称，所以②正确；③设单位圆上任一点的坐标为(cos ,sin )P x x ，其伴随点为(sin ,cos )P x x '-仍在单位圆上，故②正确；对于④，直线 y kx b =+上任一点P (,)x y 的伴随点是'P 2222 ( ,)y x x y x y -++，消参后点'P 轨迹是圆，故④错误.所以正确的为序号为②③. 考点：对新定义的理解、函数的对称性. 【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．本题新概念“伴随”实质是一个变换，一个坐标变换，只要根据这个变换得出新的点的坐标，然后判断，问题就得以解决． 3．【2016高考山东理数改编】已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3 ()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时， ()()f x f x -=-；当12x > 时，11 ()()22 f x f x +=- .则f (6)= ． 【答案】2 【解析】 试题分析：当12x > 时，11()()22f x f x +=-,所以当1 2 x >时，函数()f x 是周期为1 的周期函数，所以(6)(1)f f =，又函数()f x 是奇函数，所以()3 (1)(1)112f f ??=--=---=?? ． 考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数. 【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等. 4．【20XX 年高考北京理数】设函数33,()2,x x x a f x x x a ?-≤=?->? .

《克和千克的认识解决问题》教案

第2课时解决问题 【教学内容】 解决问题（教材第104页内容）。 【教学目标】 1.培养学生学习数学的兴趣，使之逐渐养成用数学知识来解决生活中遇到的问题，进而形成主动研究数学问题、学习数学的良好习惯。 2.通过学生对所学知识的练习过程，使他们形成良好的知识结构，提高动手操作能力及运用知识的技巧。 3.使学生进一步感受重量（质量）单位与生活的密切联系，熟练掌握克和千克之间的关系，并能准确地选择合适的质量单位。 【重点难点】 1.熟练掌握克和千克之间的关系。 2.准确地选择合适的质量单位。 【情景导入】 1.谈话引入。 数学来源于生活，在生活中处处有数学，处处应用到数学的知识。今天，我们就来上一节数学练习课，重点运用所学的知识解决一些实际问题。 2.揭示课题。 【新课讲授】 1.知识回顾。 师：请大家回忆一下，上节课我们学习了克和千克哪些方面的知识。 生1：我认识了克和千克。 生2：我认识了秤。 生3：我会用秤称物品的轻重。 生4：我知道1千克=1000克。 师：生活中的哪些物品的质量约重1克。 生1：一枚2分的硬币重约1克。

生2：一枚图钉重约1克。 生3：一个乒乓球重约1克。 生4：2枚曲别针重约1克。 …… 师：生活中的哪些物品的质量重约1千克呢？ 生1：一袋白糖重约1千克。 生2：一条鱼重约1千克。 生3：4袋牛奶重约1千克。 生4：2瓶矿泉水重约1千克。 …… 师：通过上面的知识回顾，说明大家对上节课学习的知识掌握得很好。 下面我们就来运用所学习的知识解决一些实际问题。 2.强化练习。 （1）填一填。 6千克=（）克 4000克=（）千克 师：请同学们先独立思考，再说一说你是怎样想的。 学生填写答案，小组交流。 师：谁来说一说你是怎么做的？又是怎么想的？ 生1：6千克=6000克，4000克=4千克。我是这样想的，因为1千克=1000克，6千克就等于6个1000克，就是6000克；4000克里有4个1000克，所以是4千克。 生2：我是这样想的。因为千克和克的进率是1000，所以由“千克”转化成“克”，在数字后面添3个0并以“克”作单位；由克转化成“千克”，把数字末尾的三个0去掉，并以“千克”作单位。所以6千克=6000克，4000克=4千克。 师：真聪明！这两种方法都很好。 （2）在（）里填上合适的质量单位。

高一数学函数练习题

高一数学函数练习题 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】

高一数学第二章函数练习题 一、选择题 1、设集合A 和集合B 都是自然数集合N ，映射B A f →:把集合A 中的元素 n 映射到集合B 中的元素n n +2，则在映射f 下，象20的原象是 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 2、已知不等式为2733 1<≤x ，则x 的取值范围 （A ）321<≤- x （B ）32 1 <≤x （C ）R （D ） 31 21<≤x 3、函数1 1 2 -=x y 在定义域上的单调性为 （A ）在()1,∞-上是增函数，在()+∞,1上是增函数 （B ）减函数 （C ）在()1,∞-上是减增函数，在()+∞,1上是减函数 （D ）增函数 4、函数x x x f -+= 11)(的定义域为A ，函数)]([x f f y =的定义域为B ，则 （A ）B B A = （B ）B A ? （C ）B B A = （D ）B A = 5、若函数)(x f 的图象经过)1,0(-，那么)4(+x f 的反函数图象经过点 (A))1,4(- (B))4,1(-- (C))1,4(-- (D))4,1(- 6、下列式子或表格 ①)1)(1(log 1>-+-=a x a y a x ②x y 2=，其中}3,2,1,0{∈x ,}4,2,0{∈y ③122=+y x ④)0(122≥=+y y x ⑤

其中表示y 是x 的函数的是 （A ）①②③④⑤ （B ）②③⑤ （C ）③④ （D ）④⑤ 7、已知函数)(x f y =的反函数)(1 x f -的定义域为]1,0[，那么函数 ))((R m m x f y ∈+=的值域是 （A ）]1,[m m -- （B ）]0,1[- （C ）]1,0[ （D ）R 8、已知函数1)()(32+-+=x a a ax x f 在]1,(--∞上递增，则a 的取值范围是 （A ）3≤a （B ）33≤≤-a （C ）30≤a ，且1≠a )的图象必经过点 (A)(0，1) (B)(1，1) (C) (2， 0) (D) (2，2) 11、下列函数中值域为()∞+， 0的是 (A) x y -=21 5 (B) x y -? ? ? ??=131 (C) 121-?? ? ??=x y (D) x y 21-= 12、甲乙二人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到中点改为跑步，而乙则是先跑步到中点改为骑自行车，最后两人同时到达B 地，又知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快，并且二人骑车速度均比跑步速度快。若某人离开A 地的距离S 与所用时间t 的函数关系可用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙各

必修1函数的基本性质专题复习(精心整理)

必修 1 《函数的基本性质》专题复习 （一）函数的单调性与最值 ★知识梳理 1.函数的单调性定义： 设函数的定义域为，区间 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增区间 如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调减函数，称为的单调减区间 2.函数的最大（小）值 设函数的定义域为 如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最大值； 如果存在定值，使得对于任意，有恒成立，那么称为的最小值。 ★热点考点题型探析 考点1 函数的单调性 【例】试用函数单调性的定义判断函数2()1 f x x =-在区间（1，+∞）上的单调性. )(x f y =A A I ?I 1x 2x 21x x <)()(21x f x f <)(x f y =I I )(x f y =I 1x 2x 21x x <)()(21x f x f >)(x f y =I I )(x f y =)(x f y =A A x ∈0A x ∈)()(0x f x f ≤) (0x f )(x f y =A x ∈0A x ∈)()(0x f x f ≥) (0x f )(x f y =

【巩固练习】证明：函数2()1 x f x x = -在区间（0，1）上的单调递减. 考点2 函数的单调区间 1.指出下列函数的单调区间： （1）|1|y x =-； （2）22||3y x x =-++. 2. 已知二次函数2()22f x x ax =++在区间(-∞，4)上是减函数，求a 的取值范围.

【巩固练习】 1．函数26y x x =-的减区间是（ ）. A . (,2]-∞ B. [2,)+∞ C. [3,)+∞ D. (,3]-∞ 2．在区间（0，2）上是增函数的是（ ）. A. y =－x +1 B. y C. y = x 2－4x ＋5 D. y =2x 3. 已知函数f (x )在-1∞（，）上单调递减，在[1+∞，） 单调递增，那么f (1)，f (－1)，f 之间的大小关系为 . 4.已知函数)(x f 是定义在]1,1[-上的增函数,且)31()1(x f x f -<-,求x 的取值范围. 5. 已知二次函数2()22f x ax x =++在区间(-∞，2)上具有单调性，求a 的取值范围.

高中数学竞赛讲义_几个初等函数的性质

几个初等函数的性质 一、基础知识 1．指数函数及其性质：形如y =a x (a >0, a ≠1)的函数叫做指数函数，其定义域为R ，值域为（0，+∞），当01时，y =a x 为增函数，它的图象恒过定点（0，1）。 2．分数指数幂：n m n m n n n m n m n n a a a a a a a a 1 ,1,,1 = ===--。 3．对数函数及其性质：形如y =log a x (a >0, a ≠1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+∞）， 值域为R ，图象过定点（1，0）。当01时，y =log a x 为增函数。 4．对数的性质（M>0, N >0）； 1）a x =M ?x =log a M(a >0, a ≠1)； 2）log a (M N )= log a M+ log a N ； 3）log a （ N M ）= log a M- log a N ；4）log a M n =n log a M ；， 5）log a n M =n 1 log a M ；6）a loga M =M; 7) log a b =a b c c log log (a ,b ,c >0, a , c ≠1). 5. 函数y =x +x a （a >0）的单调递增区间是(]a -∞-,和[)+∞,a ，单调递减区间为[) ,a -和(] a ,0。（请读者自己用定义证明） 6．连续函数的性质：若a 0. 【证明】 设f (x )=(b +c )x +bc +1 (x ∈(-1, 1))，则f (x )是关于x 的一次函数。 所以要证原不等式成立，只需证f (-1)>0且f (1)>0（因为-10， f (1)=b +c +bc +a =(1+b )(1+c )>0， 所以f (a )>0，即ab +bc +ca +1>0. 例2 （柯西不等式）若a 1, a 2,…,a n 是不全为0的实数，b 1, b 2,…,b n ∈R ，则（∑=n i i a 1 2 ）·（ ∑=n i i b 1 2 ） ≥( ∑=n i i i b a 1)2，等号当且仅当存在∈μR ，使a i =i b μ, i =1, 2, …, n 时成立。 【证明】 令f (x )= （∑=n i i a 1 2）x 2 -2( ∑=n i i i b a 1 )x + ∑=n i i b 1 2=∑=-n i i i b x a 1 2)(, 因为 ∑=n i i a 1 2>0，且对任意x ∈R , f (x )≥0， 所以△=4(∑=n i i i b a 1)-4（ ∑=n i i a 1 2）( ∑=n i i b 12)≤0. 展开得（ ∑=n i i a 1 2）( ∑=n i i b 1 2)≥( ∑=n i i i b a 1 )2。 等号成立等价于f (x )=0有实根，即存在μ，使a i =i b μ, i =1, 2, …, n 。