北京市年中考数学试题及解析

２０18年北京市高级中等学校招生考试

数学试卷

姓名

准考证号 考场号

座

位号 考生须知

1. 本试卷共８页,共三道大题，２8道小题，满分1００分，考试时间１20分钟．

2. 在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号.

3. 试卷答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效.

4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答,其他试题用黑色字迹签字笔作答.

5. 考试结束，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回. 一、选择题（本题共16分,每小题2分)

第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个. １． 下列几何体中，是圆柱的为( ）

２. 实数a ,b ,c 在数轴上的对应点的位置如图所示,则正确的结论是( )

(A)＞4a （B ）＞0b c - （Ｃ）＞0ac (D ）＞0c a +

3. 方程式??

?=-=-14

833

y x y x 的解为（ )

(A)??

?=-=21y x （B)???-==21y x （C ）???=-=12y x (D)?

??-==12

y x

4. 被誉为“中国天眼”的世界上最大的单口径球面射电望远镜F ＡST 的反射面总面积相当于35个标准足球场的总面积.已知每个标准足球场的面积为7140ｍ2，则FAST 的反射面总面积约为

（ ）

（A ）2

3

1014.7m ? （Ｂ)2

4

1014.7m ? （Ｃ)2

5

105.2m ? (Ｄ)2

6

105.2m ? 5． 若正多边形的一个外角是o

60，则该正多边形的内角和为( )

(A)o

360 （Ｂ）o

540 (C)o

720 （Ｄ）o

900

６． 如果32=-b a

，那么代数式b a

a

b a b a -????

? ??-+222的值为( )

(A)3 (Ｂ）32 (C ）33 (Ｄ)34 7. 跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分,运动员起跳后的竖直高度y (单位：m ）与水平距离x （单位：ｍ)近似满足函数关系

()02≠=+=a c bx ax y ．下图记录了某运动员起跳后的x 与y 的三组数据,根据上述函数模型和

数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时,水平距离为（ ）

(A ）10ｍ （B)15m (C ）20m （D ）2２.5m

8. 上图是老北京城一些地点的分布示意图.在图中,分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向建

立平面直角坐标系,有如下四个结论:

①当表示天安门的点的坐标为()0,0,表示广安门的点的坐标为()3,6--时，表示左安门的点的坐标为()6,5-;

②当表示天安门的点的坐标为()0,0,表示广安门的点的坐标为()6,12--时，表示左安门的点的坐标为()12,10-；

③当表示天安门的点的坐标为()1,1,表示广安门的点的坐标为()5,11--时,表示左安门的点的坐标为()11,11-；

④当表示天安门的点的坐标为()5.1,5.1，表示广安门的点的坐标为()5.7,5.16--时,表示左安门

的点的坐标为(),5.16,5.16-.

上述结论中，所有正确结论的序号是( ）

(A)①②③ （B)②③④ (C)①④ (D)①②③④ 二、填空题(本题共16分,每小题2分)

９． 右图所示的网络是正方形网格,BAC ∠ DAE ∠．（填“>”，“=”或“<”）

1０. 若x 在实数范围内有意义,则实数x 的取值范围是 ．

11. 用一组a ，b ,c 的值说明命题“若＜b a ,则＜bc ac ”是错误的,这组值可以是=a ，

=b ,=c .

12. 如图,点A ,B ,C ，D 在⊙O 上，CB CD =，?=∠30CAD ，?=∠50ACD ,则

=∠ADB .

13. 如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 的中点,连接DE 交对角线AC 于点F ，若4=AB ，

3=AD ，则CF 的长为 .

１4． 从甲地到乙地有A ，B ，Ｃ三条不同的公交线路.为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从

甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了50０个班次的公交车,收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据,统计如下:

早高峰期间，乘坐(填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车,从甲地到乙地“用时不超过４5分钟”的可能性最大.

1５. 某公园划船项目收费标准如下:

船型两人船（限乘

两人）

四人船（限乘

四人)

六人船（限乘

六人）

八人船(限乘八

人）

每船租金(元/小

时）

9０1００１3０１5０某班18名同学一起去该公园划船,若每人划船的时间均为1小时，则租船的总费用最低为元．

1６. 20１7年，部分国家及经济体在全球的创新综合排名、创新产出排名和创新效率排名情况如图所示，中国创新综合排名全球第２2，创新效率排名全球第.

三、解答题(本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分,第２7,28题，每小

题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.

已知:直线l及直线l外一点P．

求作：直线PQ ,使得PQ ∥l . 作法：如图，

①在直线l 上取一点A ,作射线PA ,以点A 为圆心，AP 长为半径画弧,交PA 的延长线于点B ； ②在直线l 上取一点C （不与点A 重合）,作射线BC ，以点C 为圆心，CB 长为半径画弧，交BC 的延长线于点Q ;

③作直线PQ .所以直线PQ 就是所求作的直线. 根据小东设计的尺规作图过程,

（１)使用直尺和圆规,补全图形；(保留作图痕迹）

（2)完成下面的证明.

证明:∵=AB ，=CB ,

∴PQ ∥l ( )（填推理的依据）.

１８.计算：４si ｎ4５°+(π－2)０

－ +∣－1∣

1９.解不等式组：

2０.关于x 的一元二次方程ax 2＋b ｘ+1＝0.

（1）当ｂ=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况;

（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的ａ,b 的值,并求此时方程的根.

21.如图，在四边形ABCD中,AB//DC，AB＝AＤ，对角线ＡC，BD交于点Ｏ，AC平分∠ＢＡD,过点C作ＣE⊥AB交AB的延长线于点Ｅ，连接OＥ.

（1)求证:四边形ＡＢCＤ是菱形;

(2)若AB=5，BD=2,求ＯE的长.

22．如图,AB是⊙O的直径,过⊙Ｏ外一点P作⊙O的两条切线ＰC,ＰD，切点分别为Ｃ，D,连接O Ｐ,ＣD.

(1)求证：ＯP⊥CＤ;

(2)连接AＤ,BＣ，若∠DAＢ＝50°,∠CBA = 70°,ＯA=2，求OP的长.

23.在平面直角坐标系xOy中,函数y=(x＞0)的图象G经过点A(４，１)，直线L:y=+b与图象G 交于点B,与y轴交于点Ｃ

（1)求ｋ的值;

(２）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象G在点A,B之间的部分与线段OＡ，OＣ,BC围成的区域（不含边界）为w.

①当b=-1时,直接写出区域W内的整点个数;

②若区域W内恰有4个整点,结合函数图象,求b的取值范围.

24.如图，Q是AB与弦AＢ所围成的图形的内部的一定点，P是弦AB上一动点，连接ＰQ并延长交于点C，连接AＣ.已知ＡB=6ｃｍ，设A，P两点间的距离为xcm,P，C两点间的距离为y1cｍ,A，C两点间的距离为y2cｍ.

小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1,y2,随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小腾的探究过程,请补充完整：

(1)按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1,y２与ｘ的几组对应值;

x/cm 0 1 ２ 3 4 5 ６

y１/cm ５.62 4．６7 3.７6 2.6５ 3.18 4.37

y2/cm ５.6２ 5.59 5.53 5.42 5.１9 4．７3 4．１１

（２)在同一平面直角坐标系ｘOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1）并画出（x,y2)函数ｙ1，y2的图象；

(3)结合函数图象，解决问题:当△APＣ为等腰三角形时,ＡＰ的长度约为ｃm.

2５.某年级共有３00名学生.为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据(成绩)进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息.

a.A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x<5０，50≤x<60，60≤x<７0,70≤x<80，８

0≤x＜90,90≤ｘ≤100)：

b.A课程成绩在70≤ｘ<8０这一组的是：

79.5

70?７１71 7１76 76 77?78 78.５７８.5 79 ７9?7９?

c.A,B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下:

课程平均数中位数众数

Ａ７5.８m ８４.5

B ７2.2 70 83

根据以上信息,回答下列问题：

(１)写出表中m的值;

(２)在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分,Ｂ课程成绩为71分,这名学生成绩排名更靠前的课程是(填"A"或"B")，理由是,

(3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩跑过7５．8分的人数.

26.在平面直角坐标系ｘOy中，直线y＝４X+4与x轴ｙ轴分别交于点A，B,抛物线y=aｘ2+bx－3a 经过点A将点B向右平移5个单位长度，得到点C.

（1）求点Ｃ的坐标；

(2)求抛物线的对称轴;

(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围

２7.如图,在正方形ＡBCD中,E是边AB上的一动点(不与点A，B重合）,连接ＤE,点Ａ关于直线DE 的对称点为F,连接EF并延长交ＢC于点G,连接DG,过点Ｅ作EＨ⊥ＤE交ＤG的延长线于点H,连接BＨ.

(1)求证:ＧF=GC;

(２)用等式表示线段BＨ与ＡＥ的数量关系,并证明.

28.对于平面直角坐标系元xOy中的图形M，N，给出如下定义:P为图形Ｍ上任意一点,Q为图形Ｎ上任意一点，如果Ｐ,Ｑ两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形M,N间的"闭距离"，记作d(M,N).

已知点A(-2，6),Ｂ(-2,-2),C（６，－2)．

(1）求ｄ(点0，△ＡＢC);

(2)记函数y=kx(－1≤x≤1，k≠0)的图象为图形G.若ｄ(Ｇ，△ABC)=１，直接写出k的取值范围;

(3)⊙Ｔ的圆心为T(t,0)，半径为1.若d（⊙Ｔ，△ABC)=1,直接写出t的取值范围．

2０18年北京市高级中等学校招生考试

参考答案

一、选择题

１-5:ABＤＣＣ6-８:ABD

二、填空题

９、＞10、x≥011、1;2；0１2、7０13、10 3

１４、C １５、380 16、３三、解答题