第六章 定积分及其应用
习题6-1 定积分的概念
下列定积分:利用定积分的定义计算.1
?2
1;
)1(-dx x
[]等分个分点,把区间中插入在闭区间解:n n 12,1.10-- ,211210=<<<<<=--n n x x x x x
.3)1(2Δn n x i =--= ).,,2,1(31n i i n
x i =+-=
[],所以因为中取右端点为在每个区间
x x f i n
x ξx x i i i i =+-==-)(.31,.210.3
)31(ΔΔ)(111∑∑∑===?+-==n
i i n i i i n i i n
i n x ξx ξf .2
)1(939393Δ)(212121+?+-=+-=+-=∑∑∑===n n n i n i n x ξf n i n
i i n
i i 即{})Δ(232)1(93lim Δ)(lim .312102
10
n i i n i n
i i λx max λn n n x ξf xdx ≤≤∞→=→-==?????
?+?+-==∑?其中?1
0.)2(dx e x
[]等分个分点,把区间中插入在闭区间解:n n 11,0.10-
,101210=<<<<<=-n n x x x x x
.1Δn x i = ).,,2,1(0n i n
i n i x i ==+=
[],所以因为中取右端点为在每个区间
x i i i i e x f n
i x ξx x ===-)(.,.210.1ΔΔ)(111∑∑∑===?==n
i n
i i n i ξi n i i n
e x e x ξ
f i
.1
)1(1)(1
Δ)(111211
--?=
++++=
-=∑n n
n
n n
n n
n
i n
i i e e e n
e e e e n
x ξf 即{})Δ(11
)
1(1lim Δ)(lim .3111101
00
n i i n n
n i n
i i λx
x max λe e e e n x ξf dx e ≤≤∞
→=→=-=--?==∑?其中,说明下列等式:
利用定积分的几何意义.2
;12110?=x xd )( ;412102
?=-πx d x )(
?-=π
πx sinxd ;)(03 ??-=20
22
.24ππ
πx cosxd x cosxd )(
角形的面积,故表示如图所示的直角三
)解:(?1
021x xd
.x xd 1212
1
21
0=??=
? ?-102
4112圆的面积,故表示如图所示)(x d x
.41411102
2?=??=-ππx d x ?-π
πx x sinxd 轴上方为正面积,的面积,其中表示如图所示阴影部分
)(3轴下方为负面积,故x ?-=π
πx sinxd .0
?-2224π
πx cosxd 倍,面积的的面积,它是第一象限表示如图所示阴影部分
)(??-=20
22
.2πππx cosxd x cosxd 故
习题6-2 定积分的性质
积分的大小:比较下列各题中的两个.2
;,11
0421021dx x I dx x I ??==)( ;,22
1422
121dx x I dx x I ??==)(
;)(ln ,ln 34
332431dx x I dx x I ??==)( ;)1ln(,41
02101dx x I dx x I ??+==)(
.)1(,51
021
01dx x I dx e I x ??+==)( ,
只有有限个成立的解:)"(",10)1(42x x x x =≥∴≤≤ ,,42是连续函数又x x .,211
04102I I dx x dx x >>??即故
是连续函数,
,又只有有限个成立的4242,)"(",21)2(x x x x x x =≤∴≤≤ .,212
142
12I I dx x dx x <?即故
是连续函数,
,又33)(ln ,ln )(ln ln ,1ln ,43)3(x x x x x x <∴>∴≤≤ .
,)(ln ln 214
334
3I I dx x dx x <?即故
.
,)1ln(),
10()1ln(,0)0()()(10),10(111
)(,)1ln()()4(211
01
0I I dx x dx x x x x f x f x f x x x
x f x x x f ><+∴≤<<+=<≤≤<<-+=
'-+=??即即单调递减,故时,故当则设.,1,)1(,0)5(21I I e x x x n l x x >∴<+∴<+>时
[],证明:上连续在及设)(,)()(3b a b a x g x f .< [].0)(,0)(,0)(,)1(>≡/≥?b
a dx x f x f x f
b a 则且上,若在
[][].0)(,,0)(,0)(,)2(≡=≥?x f b a dx x f x f b a b
a 上,则在且上,若在
[][]).
()(,,)()(),()(,)3(x g x f b a dx x g dx x f x g x f b a b
a b
a ≡=≤??上,在则
且上,若在
[]?≥∴≥b
a dx x f x f
b a ,
0)(,0)(,)1(上,在证明:
,假设?=b
a dx x f 0)(上,
知在由],[)2(b a ,0)(≡x f 矛盾,
这与0)(≡/x f .0)(?>∴b
a dx x f ,假设反证法0)())(2(≡/x f ,则至少存在一点
],[b a ξ∈,使得0)(≠ξf ,0)(≥x f ,0)(>∴ξf []上连续,在b a x f ,)( 的区间
包含ξ∴
,],[],[21b a c c ? ,可设0)(>x f ],[21c c x ∈
,
易知:
?>21
0)(c c dx x f , ,,而??≥≥1
2
0)(0)(c a
b
c dx x f dx x f ????>++=∴b
a c a c c b
c dx x f dx x f dx x f dx x f 1
2
1
2
.
0)()()()(
矛盾,这与?=b
a dx x f 0)(
[].0)(,≡∴x f b a 上,假设不成立,即在
,令)()()()3(x f x g x F -=,],[)()(b a x x g x f ∈≤ .0)(≥∴x F
,且???=-=b a b a b
a dx x f dx x g dx x F 0)()()( ,0)()2(≡x F 知由
).()(x f x g ≡即
习题6-3 微积分的基本公式
计算下列各导数:.1
;113
02dt t dx d x ?+)( ;11242
2
dt t dx d x x ?+)( ?x x dt t πdx d cos sin 2
)cos()3( ;133116222
3x x x x +=?+=)()原式解:(
??
?
???+-+=??4
2
0022112x x t dt t dt dx d )原式( ??+-+=2
4020211x x t dt dx d t dt dx d x x x x 2)(114)(112
2324?+-?+= ;12144
83x
x x x +-+= []
??-=x x dt t πdt t πdx
d cos 0sin 0
2
2)cos()cos()3(原式 ??-=x x dt t πdx
d dt t πdx d sin 0
2cos 02)cos()cos( [][]x x πx x πcos )(sin cos )sin ()(cos cos 22--= [][].cos )(sin cos sin )(cos cos 22x x πx x π--= 计算下列各积分:.2
a a
x x dx x x 023
02
|)21()3(1-=-?)(2321a a -=
8
21
|)3131()1(2213342
1
2=-=+-?x x dx x x )( 6
7|)2132()()1(30122
30
12
1
1
-=+=+=+??x x dx x x dx x x )(
???-+=π
ππ
π
dx x nxdx si dx x 2020)sin (sin 11)(4|cos |cos 20=+-=π
ππx x 6
17|31|)21()(12213102201021
2=+=+=???x x dx x xdx dx x f )( :3求下列极限.
;lim )1(0
2
x dt e x t x ?→ .sin )sin (lim )2(0320220??→x x x dt
t t dt t
;11lim )1(00
2
===→e e
x x 原式解: 3
2
02
20
3
2
02
20
sin 2lim sin sin sin 2lim )2(x
x x dt t x
x x dt t x
x x
x ??=?=??→→原式3
020
sin 2lim x
dt
t x
x ?→=
.3
2
3sin 2lim 22
==→x x x .)(0cos 500dx
dy
x y y dt t dt e .x
y
t
的导数所确定的隐函数求由方程==+??
求导,得对解:原方程左、右两边x
0cos =+x dx dy e y .1
sin cos cos -=-=∴x x e x dx dy y
.)(602
的极值求函数?-=x
t dt te x f .
2
)(x xe
x f -='解: ,
令02
=-x xe
0=x 得极值点 01)0(>=''f .f x f x 0)0()(0==∴有极小值时函数
[](),证明函数内可导且上连续,在
在设0)(,,)(.7<'x f b a b a x f ().0)(,)(1)(<'-=?x F b a dt t f a
x x F x
a
内的一阶导数在 2
)()())(()(a x dt
t f a x x f x F x
a ---=
'?证明:
)()
())(())((2
x ξa a x a x ξf a x x f ≤≤----= )
())(()()(x ηξa
x ξx ηf a x ξf x f <<--'=--=
,
0,0,0)(>->-<'a x ξx ηf .0)(<'∴x F
习题6-4 定积分的换元积分法
计算下列定积分:.1
;
02
121)3cos()3sin()1(33
=-=+-=+?πππ
ππx dx πx 解:
;169
21)49(81)49()49(41)49()2(1
2212
31
2
3=+-=++=+-----??x x d x x dx ;3
1cos 31cos cos cos sin )3(2032
02202=-=-=??ππ
πφφd φφd φφ
;2
)2sin 4121(22cos 1sin )cos 1()4(000202πθθθd θθd θθd θπ
πππ=-=-==-???
;23
2)2(31)2(2212)5(2
023
22202202=--=---=-??x x d x dx x x
;1)6(21
02dx x x -?
,cos ),2
0(sin tdt dx π
t t x =≤≤=令
.16
4sin 41812
141241cos cos cos 20
2022
02
20
2
20
2
πt t dt
t os4c dt t sin tdt t sin tdt t t sin π
π
πππ
=-=-===??=????)()(原式;45)7(1
1
?--x
xdx
;2
,45,452dt t
dx t x t x -=-==-则令
;6
1)53(8185)2(45133
131322=-=-=--=??t t dt t dt t t
t 原式
;1)8(4
1?+x
dx
,2,,2tdt dx t x t x ===则令
;23ln 22)1ln (2)111(2122
1
2
12
1-=+-=+-=+=??t t dt t t tdt 原式
;
2
121)]21([)(21)9(1102101
02
2
2
---=-=--=??--e e t d e dt te t
t t
;
212ln 2)ln 1(2)ln 1()ln 1(ln 1ln ln 1)10(2
1
2
12121212
1-+=+=++=+=+???-x x d x x
x
d x x dx .4
1arctan )2arctan(1)2(54)11(1
2122
1
22πx x dx x x dx ==+=++=++------?? ;3
2)31(31)sin 3sin 31
(21)cos 3(cos 212cos cos )12(22
22
22=--=
+=+=---??π
π
ππππx x dx x x xdx x .3
4)(cos 3
2
)(cos 3
2
cos cos cos cos sin cos )sin (cos sin cos )cos 1(cos cos cos )13(20
2
3
02
2
3
20
02
200
2
22
22
222
3
=-=-=?+-==-?=-------?
??
?
?
?
?πππππππππππ
πx x x
d x x d x xdx x dx x x dx
x x dx x x dx x x .22sin 2sin 2cos 2cos 2cos 2cos 22cos 1)14(2
20
2
20
00
20=-=-===+?????πππππππ
π
π
x x dx x dx x dx
x dx x dx x 列定积分:利用函数奇偶性计算下.2
;1arcsin 121
2
12
2
dx x
x ?--)()(.12sin )2(5
52432dx x x x x ?-++ 为偶函数,故)
(解:2
2
1arcsin )()1(x
x x f -=
;324arcsin 32arcsin 21arcsin 2321032
1
022102
2πx x arcsin d x dx x
x ===-=??)()()(原式.01
2sin )()2(2
43
2=++=为奇函数,故原式x x x x x f 证明下列各题:
.3
;)0(11)1(1
1
21
2??>+=+x
x x x
dx x dx ;)1()1()2(1
01
0dx x x dx x x m
n
n
m
??-=-
.cos 2cos )3(20
10010
dx x dx x π
π
??=
右边;左边令证明:=+=+=+-=-==???x
x x x dx t dt t dt t dt t dx t x 1
12
112112
2211111,
1
,1)1( 右边;
左边,则令=-=-=--=-=-==-???dx x x dt t t dt t t dt dx t x t x n
m
n
m
n
m
1
01
00
1)1()1()()1(,
,11)2(
,cos cos cos )3(2
1020
10
010
xdx xdx xdx ππππ
???+=
则令,,dt dx t πx -=-=
,cos cos )(cos cos 20
10
20
10
02
10
2
10
xdx tdt dt t xdx πππππ?
???==-= .cos 2cos cos cos 20
102010
2010
010
xdx xdx xdx xdx ππππ
????=+=故
习题6-5 定积分的分部积分法
计算下列定积分:.1
);1(4
14
121121ln 21)21(ln ln )2(2
1
2212
12121+=-=?-==???e x
e dx x x x x x xd xdx x e e e e
e
;
2sin 2)cos (cos )cos (sin )3(2020202020πx πdx x x x x xd xdx x π
π
π
π
π
-=+-=---=-=???
不定积分例题 例1、设)(x f 的一个原函数是x e 2-,则=)(x f ( ) A 、x e 2- B 、2-x e 2- C 、4-x e 2- D 、4x e 2- 分析:因为)(x f 的一个原函数是x e 2- 所以)(x f ='=-)(2x e 2-x e 2- 答案:B 例2、已知?+=c x dx x xf sin )(,则=)(x f ( ) A 、x x sin B 、x x sin C 、x x cos D 、x x cos 分析:对?+=c x dx x xf sin )(两边求导。 得x x xf cos )(=,所以= )(x f x x cos 答案:C 例3、计算下列不定积分 1、dx x x 23)1(+ ? 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+? 分析:利用基本积分公式积分运算性质进行积分,注意在计算时,对被积函数要进行适当的变形 解:1、dx x x 23)1 (+?dx x x x )12(3++ =? c x x x dx x dx x xdx +-+=++=? ??22321ln 22112 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+?dx x dx e x ??+=2sin 1)3(c x e x +-+=cot 3ln 1)3( 例4、计算下列积分
1、dx x x ?-21 2、dx e e x x ?+2) 1( 分析:注意到这几个被积函数都是复合函数,对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法,在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ?=,设法将对x 求积分转化为对)(x u ?=求积分。 解:1、dx x x ?-21c x x d x +--=---=?2221)1(1121 2、dx e e x x ?+2) 1(c e e d e x x x ++-=++=?11)1()1(12 例5、计算?+xdx x sin )1( 分析:注意到这些积分都不能用换元积分法,所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用的函数及u ,v '的选择可以参照下列步骤①凑微分,从被积函数中选择恰当的部分作为dx v ',即dv dx v =',使积分变为?udv ;②代公式,?udv ?-=vdu uv ,计算出dx u du '=;③计算积分?vdu 解:?+xdx x sin )1(???--=+=x x xd xdx xdx x cos cos sin sin ?+-+-=---=c x x x x x xdx x x cos sin cos cos )cos cos (
第六章 定积分的应用 本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题,其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式,而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法。 一、教学目标与基本要求: 使学生掌握定积分计算基本技巧;使学生用所学的定积分的微元法(元素法)去解决各种领域中的一些实际问题; 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等) 二、本章各节教学内容及学时分配: 第一节 定积分的元素法 1课时 第二节 定积分在几何学上的应用 3课时 第三节 定积分在物理学上的应用 2课时 三、本章教学内容的重点难点: 找出未知量的元素(微元)的方法。用元素法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法 6.1定积分的微小元素法 一、内容要点 1、复习曲边梯形的面积计算方法,定积分的定义 面积A ?∑=?==→b a n i i i dx x f x f )()(lim 1 ξλ 面积元素dA =dx x f )( 2、计算面积的元素法步骤: (1)画出图形; (2)将这个图形分割成n 个部分,这n 个部分的近似于矩形或者扇形; (3)计算出面积元素; (4)在面积元素前面添加积分号,确定上、下限。 二、教学要求与注意点 掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。用元素法解决一个实际问题的步骤。 三、作业35 6.2定积分在几何中的应用
一、内容要点 1、在直角坐标系下计算平面图形的面积 方法一 面积元素dA =dx x x )]()([12??-,面积 A = x x x b a d )]()([12??-? 第一步:在D 边界方程中解出y 的两个表达式)(1x y ?=,)(2x y ?=. 第二步:在剩下的边界方程中找出x 的两个常数值a x =,b x =;不够时由)(1x ?)(2x ?=解出, b x a ≤≤,)()(21x y x ??≤≤,面积S =x x x b a d )]()([12??-? 方法二 面积元素dA =dy y y )]()([12??-,面积 A = y y y d c d )]()([12??-? 第一步:在D 边界方程中解出x 的两个表达式)(1y x ?=,)(2y x ?=. 第二步:在剩下的边界方程中找出y 的两个常数值c y =,d y =;不够时由)(1y ?)(2y ?=解出, d y c ≤≤,)()(21y x y ??≤≤,面积S =y y y d c d )]()([12??-? 例1 求22-=x y ,12+=x y 围成的面积 解?????+=-=1 222x y x y ,1222+=-x x ,1-=x ,3=x 。当31<<-x 时1222+<-x x ,于是 面积?--=+-=--+=3 1 313223 210)331 ()]2()12[(x x x dx x x 例2 计算4,22-==x y x y 围成的面积 解 由25.0y x =,4+=y x 得,4,2=-=y y ,当42<<-y 时 45.02+ 济南大学2013~2014学年第二学期课程考试试卷(A 卷) 课 程 高等数学A (二) 考试时间 2014 年 6 月 24 日 ………………注:请将答案全部答在答题纸上,直接答在试卷上无效。……………… 一、填空题(每小题2分,共10分) (1) 微分方程044=+'-''y y y 的通解为 . (2) 极限=+-→22)1,0(),(1lim y x xy y x . (3) 设二元函数)sin(y x z +=,则=z d . (4) 幂级数∑∞ =+131n n n x n 的收敛半径为 . (5) 设函数)(x f 是以π2为周期的周期函数,在区间),[ππ-上的表达式为x x f =)(,则)(x f 的傅里叶级数在π=x 处收敛于 . 二、选择题(每小题2分,共10分) (1) 极限=→x xy y x )sin(lim )2,0(),( (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 不存在. (2) 二元函数),(y x f 在点),(00y x 处的全微分存在是它在该点两个一阶偏导数都存在的 (A) 充分条件. (B) 必要条件. (C) 充分必要条件. (D) 既非充分也非必要条件. (3) 若),(y x f z =在),(00y x 处取得极大值,令),()(0y x f y g =. 则 (A) )(y g 在0y 取得最大值. (B) )(y g 在0y 取得极大值. (C) 0y 是)(y g 的驻点. (D) 以上都不对. (4) 下列级数中,绝对收敛的是 (A) ∑∞=+--111)1(n n n n . (B) ∑∞=-1)1(n n n . (C) ∑∞=-12)1(n n n . (D) ∑∞ =-1)1(n n n . (5) 微分方程x e y y y -=-'-''42的特解形式应设为 (A) x e Ax -2. (B) x e Ax -+)4(2. (C) x Axe -. (D) x Ae -. 三、计算题(每小题8分,共40分) (1) 设2 23cos xy y x z -=,求x z ??,y z ??,22x z ??和y x z ???2. 高等数学(上)模拟试卷一 一、 填空题(每空3分,共42分) 1 、函数lg(1)y x = -的定义域是 ; 2、设函数20() 0x x f x a x x ?<=?+≥?在点0x =连续,则a = ; 3、曲线45y x =-在(-1,-4)处的切线方程是 ; 4、已知3()f x dx x C =+? ,则()f x = ;5、21lim(1)x x x →∞-= ; 6、函数32()1f x x x =-+的极大点是 ; 7、设()(1)(2)2006)f x x x x x =---……(,则(1)f '= ; 8、曲线x y xe =的拐点是 ;9、201x dx -?= ; 10、设32,a i j k b i j k λ=+-=-+r r r r r r r r ,且a b ⊥r r ,则λ= ; 11、2 lim()01x x ax b x →∞--=+,则a = ,b = ; 12、311lim x x x -→= ;13、设 ()f x 可微,则()()f x d e = 。 二、 计算下列各题(每题5分,共20分) 1、011lim()ln(1)x x x →-+2 、y =y '; 3、设函数()y y x =由方程xy e x y =+所确定,求0x dy =; 4、已知cos sin cos x t y t t t =??=-?,求dy dx 。 三、 求解下列各题(每题5分,共20分) 1、421x dx x +? 2、2sec x xdx ?3 、40?4 、2201dx a x + 四、 求解下列各题(共18分): 1、求证:当0x >时,2 ln(1)2x x x +>- (本题8分) 2、求由,,0x y e y e x ===所围成的图形的面积,并求该图形绕x 轴旋 《高等数学》考研辅导练习4 不定积分 1. 求()x f x e -=在R 上的一个原函数。 2. 已知2 2 2 (sin )cos tan f x x x '=+,求()01f x x <<。 3. 设 2 ()f x dx x C =+?,则2(1)xf x dx -=? 。 4. 计算 3。 5。 计算。 6. 计算 71 (2) dx x x +?。 7。 计算。 8. 计算 21 13sin dx x +?。 9。 计算172 2 1sin cos dx x x ? 。 10. 计算 () 2 2 sin cos x dx x x x +?。 11. 计算 ()()2 ln ()ln ()()()()f x f x f x f x f x dx ''''++?。 12. 设()arcsin xf x dx x C =+? ,则 1 () dx f x =? 。 13. 设2 2 2(1)ln 2 x f x x -=-,且(())ln f x x ?=,求()x dx ??。 14. 计算arctan 23/2(1)x xe dx x +?。 15. 计算x 。 16. 计算 1sin 22sin dx x x +?。 17. 计算ln t tdt α ? 。 18. 计算()ln n x dx ?。 《高等数学》考研辅导练习5 定积分 1.设02 ()2 l kx x f x l c x l ? ≤≤??=??<≤??,求0 ()()x x f t dt Φ=?。 2. 设1 ()2()f x x f x dx =+? ,则()f x = 。 3. 计算 {}2 23 min 2,x dx -? 。 4. 已知()f x 连续,且满足()()1f x f x -=,则 2 2cos 1()x dx f x π π-+?= 。 题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 (8小题,共26分) 得分 阅卷人 1. 4)(2 x dt t f x =? ,则=?dx x f x 40)(1( ) A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2.设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续,则函数 dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有( )个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3. =+? dx x x 3 1 ( ) A .18 B . 3 8 C . 1 D .0 4.设 )(x ?''在[b a ,]上连续,且a b =')(?,b a =')(?,则 ?='''b a dx x x )()(??( ) (A )b a - (B )21(b a -) (C ))(2 1 22b a + (D ))(2 122 b a - 5. 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、3 23xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 23xdx --? 6.sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ,上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-? B 、2 sin xdx π ? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7.2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 . 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数,且已知,,则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、1 2 二、填空 (2小题,共5分) 得分 阅卷人 高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 :求下列不定积分1.知识点:。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析:!利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数,由积分表中的公式(2)可解。 解: (2)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (3)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。:解. (4)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (5)思路:观察到后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解: (6)★★思路:注意到,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解: 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解: (8)★思路:分项积分。 解: (9)★★思路:?看到,直接积分。 解: (10)★★思路: 裂项分项积分。解: (11)★解: (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法:指数不变,底数相乘。显然。 解: (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解: (14)★★思路:被积函数,积分没困难。 解: (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分。 解: (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分。 解: () 17★思路:不难,关键知道“”。 :解. ()18★思路:同上题方法,应用“”,分项积分。 解: ()19★★思路:注意到被积函数,应用公式(5)即可。 解: ()20★★思路:注意到被积函数,则积分易得。 解: 、设,求。2★知识点:。考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析::。即可1直接利用不定积分的性质解::等式两边对求导数得 、,。求的原函数全体设的导函数为3★知识点:。仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析:。连续两次求不定积分即可解:,由题意可知:。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点:。考查原函数(不定积分)与被积函数的关系思路分析:。只需验证即可解:,而、,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点:属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。 思路分析:求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解:设曲线方程为,由题意可知:,; 又点在曲线上,适合方程,有, 所以曲线的方程为 、,:问6一物体由静止开始运动,经秒后的速度是★★(1)在秒后物体离开出发点的距离是多少?济南大学2013——2014高等数学(二)A试卷
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