拓扑空间

拓扑空间

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上圖為三點集合{1,2,3}上四個拓撲的例子和兩個反例。左下角的集合並不是個拓撲空間，因為缺少{2}和{3}的聯集{2,3}；右下角的集合也不是個拓撲空間，因為缺少{1,2}和{2,3}的交集{2}。

拓扑空间是一种数学结构，可以在上頭形式化地定義出如收敛、连通、连续等概念。

拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用，是一个居于中心地位的、统一性的概念。

拓扑空间有独立研究的价值，研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。

目录

[隐藏]

? 1 定义

o 1.1 例子

? 2 拓扑之间的关系

? 3 连续映射

? 4 等價定义

o 4.1 闭集

o 4.2 邻域

o 4.3 闭包运算

o 4.4 开核运算

o 4.5 网

? 5 拓扑空间的例子

? 6 拓扑空间的构造

?7 拓扑空间的分类

o7.1 分离性

o7.2 可数性

o7.3 连通性

o7.4 紧性

o7.5 可度量化

?8 拥有代数结构的拓扑

空间

?9 拥有序结构的拓扑空

间

?10 历史

?11 参考书目

[编辑]定义

拓撲空間是一個集合?X，和一個包含?X?的子集族?τ，其滿足如下公理：

1. 空集和?X?都屬於?τ。

2. τ?內任意个集合的並集都仍然會屬於?τ。

3. τ?內任意两個集合的交集也仍然會屬於?τ。

滿足上述公理的集族?τ?即稱為?X?的拓撲。X?內的元素通常稱做「點」，但它們其實可以是任意的元素。裡面的「點」為函數的拓撲空間稱為「函數空間」。τ?內的集合稱為開集，而其在?X?內的補集則稱為閉集。一個集合可能是開放的、封閉的、非開非閉或亦開亦閉。

[编辑]例子

1. X?=?{1,2,3,4}?和?X?內兩個子集組成的集族

?τ?=?{?,?X}?會形成一個平庸拓扑（简体中文）

／密著拓撲（繁体中文）。

2. X?=?{1,2,3,4}?和?X?內六個子集組成的集族

?τ?=?{?,{2},{1,2},{2,3},{1,2,3},{1,2,3,4}}?會形成

另一個拓撲。

3. X?=??（整數集合）及集族?τ?等於所有的有限整

數子集加上???自身不是一個拓撲，因為（例如）

所有不包含零的有限集合的聯集是無限的，但不是

???的全部，因此不在?τ?內。

[编辑]拓扑之间的关系

同一个空间可以拥有不同的拓扑，有些是有用的，有些是平庸的，这些拓扑之间可以形成一种偏序关系。当拓扑的每一个开集都属于拓扑时，我们说拓扑比拓扑更细，或者说拓扑比拓扑更粗。

仅依赖于特定开集的存在而成立的结论，在更细的拓扑上依然成立；类似的，仅依赖于特定集合不是开集而成立的结论，在更粗的拓扑上也依然成立。

最粗的拓扑是由空集和全集两个元素构成的拓扑，最细的拓扑是离散拓扑，这两个拓扑都是平庸的。

在有些文献中，我们也用大小或者强弱来表示这里粗细的概念。

拓扑空间上的一个映射，如果它对于每个开集的原像都仍然是开集，那么我们称这个映射是连续的。这个定义符合我们关于连续映射不会出现破碎或者分离的直观印象。

同胚映射是一个连续的双射，并且它的逆映射也连续。两个拓扑空间之间存在同胚映射，则称这两个空间是同胚的。从拓扑学的观点上来讲，同胚的空间是等同的。

拓扑空间作为对象，连续映射作为态射，构成了拓扑空间范畴，它是数学中的一个基础性的范畴。试图通过不变量来对这个范畴进行分类的想法，激发和产生了整个领域的研究工作，包括同伦论、同调论和K-理论。

虽然利用开集来定义拓扑空间是最常见的定义方法，但我们仍然可以通过其他的多种方式来定义拓扑空间。这些不同的定义方式都是等价的。这些不同的拓扑空间的定义连同各自连续映射的定义，从范畴论的角度看，都定义了同一个范畴即拓扑空间范畴。

[编辑]闭集

利用德·摩根律，和上面定义中关于开集的公理相对偶的，我们引入下述关于闭集的公理。

集合X上的子集族，它们满足如下的公理：

?C1：空集和全集X都属于。

?C2：中的任意多个子集的交集仍然属于。

?C3：中的任意有限多个子集的并集仍然属于。

集族中的元素称为集合X上的闭集。我们也可以直接利用闭集来定义连续映射：映射f是连续的，当且仅当，f对任何闭集的原像也是闭集。

[编辑]邻域

我们考虑集合X上的一个映射，其中P(P(X))指集合X的幂

集的幂集。我们假设将X中的点x映射为X的子集族，即有。对任意的，如果上述的满足如下公理：

?N1：集族不空，并且中任何一个集合都包含点x。

?N2：集族中的一个集合N，如果有，则集合

U也属于集族。

?N3：集族中任意两个集合的交集仍在中。

?N4：集族中的任意一个集合N，存在中的另一个集

合U，使得U包含于N，且对于U中的任意点y，有U

属于集族。

那么，我们称集族的元素为点x的邻域，而集族(即点x的所有邻域)称为点x的邻域系统。

可以直接利用邻域来定义出映射在某一点连续：映射是在点x是连续的，当且仅当，对y点的任何一个邻域V，都存在x点的一个邻域U，使得。而连续映射即点点连续的映射。

类似的，拓扑也可以通过点和集合间的接近关系来定义。

[编辑]闭包运算

我们考虑集合X的幂集P(X)上的一元运算。

称为一个拓扑空间，当且仅当，运算c满足下述的库拉托夫斯基闭包公理：

?K1：；

?K2：；

?K3：；

?K4：。

运算c被称为闭包运算，集合X上的闭集是闭包运算的不动点。

利用闭包运算也可以定义连续映射：映射f是连续的，当且仅当，对任意的集合A，

成立。

[编辑]开核运算

我们还可以建立和闭包运算相对偶的开核运算，然后通过开核运算建立起拓扑空间。我们考虑集合X的幂集P(X)上的一元运算。运算o满足下述的开核公理：

?I1：；

?I2：；

?I3：；

?I4：。

运算o被称为开核运算，集合X上的开集是开核运算的不动点。

和闭包运算相对偶，利用开核运算也可以定义连续映射：映射f是连续的，当且仅当，对任意的集合A，成立。

[编辑]网

网的目的在推广序列及极限，网的收性称作Moore-Smith收敛。其关键在於以有向集合代替自然数集。

空间X上的一个网是从有向集合A映至X的映射。

若存在，使得对每个x的邻域U都存在，使得，则称网收敛至x。

几乎所有点集拓扑学的基本概念都能表述作网的收敛性，请参阅主条目网

?实数集R构成一个拓扑空间：全体开区间构成其上的一组

拓扑基，其上的拓扑就由这组基来生成。这意味着实数

集R上的开集是一组开区间的并（开区间的数量可以是

无穷多个。从许多方面来说，实数集都是最基本的拓扑

空间，并且它也指导着我们获得对拓扑空间的许多直观

理解；但是也存在许多“奇怪”的拓扑空间，它们有悖于

我们从实数集获得的直观理解。

?更一般的，n维欧几里得空间R n构成一个拓扑空间，其上的开集就由开球来生成。

?任何度量空间都可构成一个拓扑空间，如果其上的开集由开球来生成。这中情况包括了许多非常有用的无穷维空间，如泛函分析领域中的Banach空间和希尔伯特空间。?任何局部域都自然地拥有一个拓扑，并且这个拓扑可以扩张成为这个域上的向量空间。

?除了由全体开区间生成的拓扑之外，实数集还可以赋予另外一种拓扑—下限拓扑（lower limit topology）。这种拓扑的开集由下列点集构成—空集、全集和由全体半开区间[a,b)生成的集合。这种拓扑严格地细于上面定义的欧几里得拓扑；在这种拓扑空间中，一个点列收敛于一点，当且仅当，该点列在欧几里得拓扑中也收敛于这个点。

这样我们就给出了一个集合拥有不同拓扑的示例。

?流形都是一个拓扑空间。

?每一个单形都是一个拓扑空间。单形是一种在计算几何学中非常有用的凸集。在0、1、2和3维空间中，相应的单形分别是点、线段、三角形和四面体。

?每一个单纯复形都是一个拓扑空间。一个单纯复形由许多单形构成。许多几何体都可以通过单纯复形—来建立模型，参见多胞形（Polytope）。

?扎里斯基拓扑是一种纯粹由代数来定义的的拓扑，这种拓扑建立在某个环的交換环谱之上或者某个代数簇之上。

对R n或者C n来说，相应扎里斯基拓扑定义的闭集，就是由全体多项式方程的解集合构成。

?线性图是一种能推广图的许多几何性质的拓扑空间。

?泛函分析中的许多算子集合可以获得一种特殊的拓扑，在这种拓扑空间中某一类函数序列收敛于零函数。

?任何集合都可以赋予离散拓扑。在离散拓扑中任何一个子集都是开集。在这种拓扑空间中，只有常数列或者网是收敛的。

?任何集合都可以赋予平庸拓扑。在平庸拓扑中只有空集和全集是开集。在这种拓扑空间中，任和一个序列或者网都收敛于任何一个点。这个例子告诉我们，一个序列或者网可能不会收敛于唯一的一个点。

?有限补拓扑。设X是一个集合。X的所有有限子集的补集

加上空集，构成X上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为

有限补空间。有限补空间是这个集合上最小的T1拓扑。

?可数补拓扑。设X是一个集合。X的所有可数子集的补集

加上空集，构成X上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为

可数补空间。

?如果Γ是一个序数，则集合[0, Γ]是一个拓扑空间，该拓扑

可以由区间(a, b]生成，此处a和b是Γ的元素。[编辑]拓扑空间的构造

?拓扑空间的任何一个子集都可以被赋予一个子空间拓扑，

子空间拓扑中的开集是全空间上的开集和子空间的交。

?对任何非空的拓扑空间族，我们可以构造出这些拓扑空间

的积上的拓扑，这种拓扑称为积拓扑。对于有限积来说，

积空间上的开集可以由空间族中各个空间的开集的积生

成出来。

?商拓扑可以被如下地定义出来：若X是一个拓扑空间，Y

是一个集合，如果f : X→Y是一个满射，那么Y获得

一个拓扑；该拓扑的开集可如此定义，一个集合是开的，

当且仅当它的逆像也是开的。可以利用f自然投影确定

下X上的等价类，从而给出拓扑空间X上的一个等价关

系。

?Vietoris拓扑

[编辑]拓扑空间的分类

依据点和集合分离的程度、大小、连通程度、紧性等，拓扑空间可以进行各种各样的分类。并且由于这些分类产生了许多不同的术语。

[编辑]分离性

详细资料请参照分离公理。有些术语在老的文献中采用了不同地定义方式，请参照分离公理的历史

[编辑]可数性

?可分的：空间是可分的，当它拥有一个可数的稠密子集。

?林德勒夫：空间是林德勒夫的，如果每一个开覆盖都有一

个可数子覆盖。

?第一可数：空间是第一可数的，如果任何一个点都有一个

可数的局部基。

?第二可数：空间是第二可数的，如果空间拥有一个可数的

基。

第二可数空间总是可分的；第一可数空间总是林德勒夫的。

[编辑]连通性

?连通：空间X是连通，当且仅当它不是两个无交的非空开

集的并。等价地，一个空间是连通的，当且仅当该空间

的闭开集（既开又闭的集合）只有空集和全空间两者。

?局部连通：一个空间是局部连通的，当且仅当该空间的每

个点都有一个特殊的局部基，这个局部基由连通集构成。

?完全不连通：空间是完全不连通的，当且仅当不存在多于

一个点的连通子集。

?道路连通：空间X是道路连通的，当且仅当对空间的任意

两点x和y，存在从x到y道路p，也即，存在一个连续

映射p: [0,1] →X，满足p（0）= x且p（1）= y。道路

连通的空间总是连通的。

?局部道路连通：一个空间是局部道路连通的，当且仅当该

空间的每个点都有一个特殊的局部基，这个局部基由道

路连通集构成。一个局部道路连通空间是连通的，当且

仅当它是道路连通的。

?单连通：一个空间X是单连通的，当且仅当它是道路连通

且每个连续映射都与常数映射同伦。

?可缩：一个空间X是可缩的，当且仅当它同伦等价到一点。

?超连通：一个空间是超连通的，当且仅当任两个非空开集

的交集非空。超连通蕴含连通。

?极连通：一个空间是极连通的，当且仅当任两个非空闭集

的交集非空。极连通蕴含道路连通。

?平庸的：一个空间是平庸的，当且仅当其开集只有本身与

空集。

[编辑]紧性

一个空间是紧的，当且仅当任何开覆盖都有有限的子覆盖，详细资料请参照紧集。[编辑]可度量化

可度量性意味着可赋予空间一个度量，使之给出该空间的拓扑。目前已有许多版本的度量化定理，其中最着名的是Urysohn度量化定理：一个第二可数的正则豪斯多夫空间可被度量化。由此可导出任何第二可数的流形皆可度量化。

对於任一类代数结构，我们都可以考虑其上的拓扑结构，并要求相关的代数运算是连续映射。例如，一个拓扑群G乃是一个拓扑空间配上连续映射

（群乘法）及（反元素），使之具备群结构。

同样地，可定义拓扑向量空间为一个赋有拓扑结构的向量空间，使得加法与纯量乘法是连续映射，这是泛函分析的主题；我们可以类似地定义拓扑环、拓扑域等等。结合拓扑与代数结构，往往可以引出相当丰富而实用的理论，例如微分几何探究的主齐性空间。在代数数论及代数几何中，人们也常定义适当的拓扑结构以简化理论，并得到较简明的陈述；如数论中的局部域（一种拓扑域），伽罗瓦理论中考虑的Krull 拓扑（一种特别的拓扑群），以及定义形式概形所不可少的I-进拓扑（一种拓扑环）等等。

拓扑空间也可能拥有自然的序结构，例子包括：

?谱空间（spectral space）上的序结构。

?特殊化预序：定义。常见於计

算机科学。

[编辑]历史

参见拓扑学。

?John L. Kelley, General Topology (GTM 27).

Springer-Verlag. ISBN 0387901256.

?James R. Munkres, Topology (second edition). Prentice

Hall; ISBN 0131816292.

?点集拓扑学初步/ 江泽涵著. - 上海: 上海科学技术出版社,

1979年1月。

?点集拓扑学基础/ 吴东兴著. - 北京: 科学出版社, 1981年

3月。

?点集拓扑学原理/ 鲍姆著;蒲思立译. - 北京: 人民教育出

版社, 1981年6月。

?一般拓扑学/ 李普舒茨著;陈昌平等译. - 上海: 华东师大

出版社, 1982年1月。

?一般拓扑学/ 凯莱著;吴丛，吴让泉译. - 北京: 科学出版社,

1982年5月。

?拓扑学引论/ 本特·门德尔森著;陈明蔚译. - 南宁: 广西人

民出版社, 1983年1月。

?基础拓扑学/ 阿姆斯特朗著;孙以丰译. - 北京: 北京大学

出版社, 1983年1月。

?点集拓扑学/ 方嘉琳编著. - 沈阳: 辽宁人民出版社, 1983

年4月。

?拓扑学的基础和方法/ 野口宏著;郭卫中，王家彦译. - 北

京: 科学出版社, 1986年3月。

?拓扑学初步/ 苏步青著. - 上海: 复旦大学出版社, 1986年

4月。

?拓扑学基础教程/ 曼克勒斯著;罗嵩龄等译. - 北京: 科学

出版社, 1987年8月。

?基础拓扑学/ 何伯和，廖公夫著. - 北京: 高等教育出版社,

1991年1月。

?一般拓扑学专题选讲/ 蒋继光著. - 成都: 四川教育出版社,

1991年3月。

?拓扑学导论/ 鲍里索维奇等著;盛立人等译. - 北京: 高等

教育出版社, 1992年9月。

?基础拓扑学讲义/ 尤承业编著. - 北京: 北京大学出版社,

1997年. ISBN 7-301-03103-3.

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《点集拓扑学》复习题

《点集拓扑》复习题 一、概念叙述 1、拓扑空间 2、邻域、邻域系 3、集合A 的凝聚点 4、闭包 5、基 子基 6、子空间 7、（有限）积空间 8、隔离子集 9、连通集 10、连通集 11、连通分支 12、局部连通空间 13、1A 空间 14、2A 空间 15、可分空间 16、Lindeloff 空间 17、i T 空间（1,2,3,4i =） 18、正则空间 19、正规空间 20、紧致空间 21、可数紧空间 22、列紧空间 23、序列紧空间 24、局部紧空间 二、判断题 1、有限集不可能有聚点 （ ） 2、拓扑空间X 的子集A 是闭集的充要条件是A A = （ ） 3、如果A B ?≠?，则A B A B ?=? （ ） 4、设Y 是拓扑空间X 的子空间，A 是Y 的子集，则A 在Y 中的导集是A 在X 中的导集与Y 的交。 （ ） ５、若:f X Y →是同胚映射，则()f X Y = （ ） ６、离散空间中任意子集的导集都是空集 （ ） ７、拓扑空间中每个连通分支都是既开集又是闭集 （ ） ８、度量空间必是2A 空间 （ ） ９、在l R 中，(],a b 是开集 （ ） １０、映射:f X Y →是连续映射的?若拓扑空间Ｘ中序列{}i x 收敛于 x X ∈，则扑拓空间Ｙ中相应序列(){}i f x 收敛于()f x （ ） １１、设Ｘ为拓扑空间，Ｃ为连通分支，Ｙ是Ｘ的一个连通子集，则Y C ? （ ） １２、2A 空间必为可分空间 （ ） １３、正则且正规空间必为0T 空间 （ ） １４、紧致空间的闭子集必为它的紧致子集 （ ） １５、设Ｘ是一个拓扑空间，A X ?，则点x 是集合Ａ的一个凝聚点 ?在{}A x -中有一个序列收敛于x （ ） １６、度量空间也是拓扑空间 （ ） １７、如果一个空间中有每个单点集都是闭集，那么这个空间必是离散空间 （ ） １８、拓扑空间X 是一个连通空间当且仅当X 中不存在既开又闭的非空真子集. ( ) 19、若拓扑空间中的子集A 是连通集，则它的闭包A 也是一个连通集。

《点集拓扑学》第3章§33商空间

§3.3商空间 本节重点:掌握商空间、商拓扑、商映射的定义． 将一条橡皮筋的两个端点“粘合”起来，我们便得到了一个像皮圈；将一块正方形的橡皮块一对对边上的点按同样的方向两两‘粘合”起来，我们便得到了一个橡皮管，再将这个橡皮管两端的两个圆圈上的点按同样的方向两两“粘合”起来，我们又得到了一个橡皮轮胎……这种从一个给定的图形构造出一个新图形的办法可以一般化． 我们在第一章中讨论过等价关系和商集的概念．所谓商集乃是在一个集合中给定了一个等价关系之后将相对于这个等价关系而言的等价类所构成的集合，通俗地说便是分别将每一个等价类中的所有的点“粘合”为一个点后得到的集合．在定义1.5.6中我们也曾说起过在一个集合X中给定了一个等价关系R之后，从集合X到商集X/R有一个自然的投射p：X→X/R，它是一个满射．注意到了这一点，下面引出商拓扑和商空间的概念的方式便显得顺理成章了． 定义3.3.1设（X，T）是一个拓扑空间，Y是一个集合，f:X→Y是一个满射．容易验证(请自行验证)Y的子集族． 是Y的一个拓扑．我们称为Y的（相对于满射f而言的）商拓扑． 容易直接验证在上述定义的条件下，Y的一个拓扑是Y的商拓扑当且仅当在拓扑空间（Y，）中FY是一个闭集的充分必要条件是（F）是X中的一个闭集． 定理3.3.1且设（X，T）是一个拓扑空间，Y是一个集合，f:X→Y是一个满射．则 （1）如果是Y的商拓扑，则f:X→Y是一个连续映射； （2）如果是Y的一个拓扑，使得对于这个拓扑而言映射f是连续的，则这也就是说商拓扑是使映射f连续的最大的拓扑． 证明（1）根据定义自明． （2）如果U∈，由于满射f对于Y的拓扑而言连续，故因此U∈．这证明． 定义3.3.2设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y．我们称映射f为一个商映射，如果它是一个满射并且Y的拓扑是对于映射f而言的商拓扑． 根据定理3.3.1可见商映射是连续的．下面的这个定理告诉我们如何利用商映射来验证一类映射的连续性． 定理3.3.2设X，Y和Z都是拓扑空间，且f:X→Y是一个商映射．则映射g：Y→Z连续当且仅当映射gof:X→Z连续． 证明由于商映射f连续，故当g连续时gf连续． 另一方面，设gf连续，若W∈，则．然而 所以根据商拓扑的定义．这便证明了g连续． 为了应用定理3.3.2，如何知道一个拓扑空间的拓扑是相对于从另一个拓扑空间到它的一个满射而言的商拓扑便成了一个有意思的问题．我们在这里只给出一个简单的必要条件．为此先陈述开映射和闭映射的定义． 定义3.3.3设X和Y是两个拓扑空间．映射f: X→Y称为一个开映射（闭映射），如果对于X中的任何一个开集（闭集）U，象集f(U)是Y中的一个开集（闭集）．定理3.3.3设X和Y是两个拓扑空间．如果映射f: X→Y是一个连续的满射，并且是一个开映射（闭映射），则Y的拓扑便是相对于满射f而言的商拓扑． 证明我们证明当f是开映射的情形．设Y中的使f连续的拓扑为,商拓扑为 如果V∈，由于映射f连续，，因此V∈．并且．

《点集拓扑》§2.4 导集,闭集,闭包

§2.4 导集，闭集，闭包 本节重点： 熟练掌握凝聚点、导集、闭集、闭包的概念； 区别一个点属于导集或闭包的概念上的不同； 掌握一个点属于导集或闭集或闭包的充要条件； 掌握用“闭集”叙述的连续映射的充要条件． 如果在一个拓扑空间中给定了一个子集，那么拓扑空间中的每一个点相对于这个子集而言“处境”各自不同，因此可以对它们进行分类处理． 定义 2.4.1设X是一个拓扑空间，A X．如果点x∈X的每一个邻域U中都

有A中异于x的点，即U∩（A-{x}）≠，则称点x是集合A的一个凝聚点或极限点．集合A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集，记作d（A）．如果x∈A并且x不是A的凝聚点，即存在x的一个邻 域U使得U∩（A-{x}）＝，则称x为A 的一个孤立点． 即:(牢记)

在上述定义之中，凝聚点、导集、以及孤立点的定义无一例外地都依赖于它所在的拓扑空间的那个给定的拓扑．因此，当你在讨论问题时涉及了多个拓扑而又谈到某个凝聚点时，你必须明确你所谈的凝聚点是相对于哪个拓扑而言，不容许产生任何混淆．由于我们将要定义的许多概念绝大多数都是依赖于给定拓扑的，因此类似于这里谈到的问题今后几乎时时都会发生，我们不每次都作类似的注释，而请读者自己留心． 某些读者可能已经在诸如欧氏空间中接触过刚刚定义的这些概念，但绝不要以为对欧氏空间有效的性质，例如欧氏空间中凝聚点的性质，对一般的拓扑空间都有效．以下两个例子可以帮助读者澄清某些不正确的潜在印象． 例2.4.1 离散空间中集合的凝聚点和导集． 设X是一个离散空间，A是X中的一个任意子集．由于X中的每一个单点集都是开集，因此如果x∈X，则X有一个邻域{x}，使得

《点集拓扑讲义》第三章-子空间(有限)-积空间-商空间-学习笔记

！！！！！！！！！！！！ 第3章子空间（有限）,积空间，商空间在这一章中我们介绍通过已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种惯用的办法．为了避免过早涉及某些逻辑上的难点，在§3.2中我们只讨论有限个拓扑空间的积空间，而将一般情形的研究留待以后去作． §3.1子空间 本节重点：掌握度量子空间、拓扑空间子空间的概念，子空间的拓扑与大空间拓扑之间的关系以及子空间的闭集、邻域、基、导集、闭包与大空间相应子集之间的关系及表示法． 讨论拓扑空间的子空间目的在于对于拓扑空间中的一个给定的子集，按某种“自然的方式”赋予它一个拓扑使之成为一个拓扑空间，以便将它作为一个独立的对象进行考察．所谓“自然的方式”应当是什么样的方式？为回答这个问题，我们还是先从度量空间做起，以便得到必要的启发． 考虑一个度量空间和它的一个子集．欲将这个子集看作一个度量空间，必须要为它的每一对点规定距离．由于这个子集中的每一对点也是度量空间中的一对点，因而把它们作为子集中的点的距离就规定为它们作为度量空间中的点的距离当然是十分自然的．我们把上述想法归纳成定义： 定义3.1.1 设（X，ρ）是一个度量空间，Y是X的一个子集.因此，Y×Y X×X．显然：Y×Y→R是Y的一个度量（请自行验证）．我们称Y的度量，是由X的度量ρ诱导出来的度量.度量空间（Y，ρ）称为度量空间（X，ρ）的一个度量子空间．

我们常说度量空间Y是度量空间X的一个度量子空间，意思就是指Y是X的一个子集，并且Y的度量是由X的度量诱导出来的．我们还常将一个度量空间的任何一个子集自动地认作一个度量子空间而不另行说明．例如我们经常讨论的：实数空间R中的各种区间（a，b），[a，b]，（a，b]等；n＋1维欧氏空间 中的 n维单位球面: n维单位开、闭球体: 以及n维单位开、闭方体和等等，并且它们也自然被认作是拓扑空间（考虑相应的度量诱导出来的拓扑）． 定理3.1.1 设Y是度量空间X的一个度量子空间．则Y的子集U是Y中的一个开集当且仅当存在一个X中的开集V使得U＝V∩Y． 证明由于现在涉及两个度量空间，我们时时要小心可能产生的概念混淆．对于x∈X（y∈Y），临时记度量空间X（Y）中以x（y）为中心以ε＞0为 半径的球形邻域为，. 首先指出：有=∩Y. 这是因为z∈X属于当且仅当z∈Y且(z,y)<ε. 现在设U∈，由于Y的所有球形邻域构成的族是Y的拓扑的一个基，U可以表示为Y中的一族球形邻域，设为A的并．于是

《点集拓扑讲义》第三章 子空间(有限),积空间,商空间 学习笔记

第3章子空间（有限）,积空间，商空间在这一章中我们介绍通过已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种惯用的办法．为了避免过早涉及某些逻辑上的难点，在§3.2中我们只讨论有限个拓扑空间的积空间，而将一般情形的研究留待以后去作． §3.1子空间 本节重点：掌握度量子空间、拓扑空间子空间的概念，子空间的拓扑与大空间拓扑之间的关系以及子空间的闭集、邻域、基、导集、闭包与大空间相应子集之间的关系及表示法． 讨论拓扑空间的子空间目的在于对于拓扑空间中的一个给定的子集，按某种“自然的方式”赋予它一个拓扑使之成为一个拓扑空间，以便将它作为一个独立的对象进行考察．所谓“自然的方式”应当是什么样的方式？为回答这个问题，我们还是先从度量空间做起，以便得到必要的启发． 考虑一个度量空间和它的一个子集．欲将这个子集看作一个度量空间，必须要为它的每一对点规定距离．由于这个子集中的每一对点也是度量空间中的一对点，因而把它们作为子集中的点的距离就规定为它们作为度量空间中的点的距离当然是十分自然的．我们把上述想法归纳成定义： 定义3.1.1 设（X，ρ）是一个度量空间，Y是X的一个子集.因此，Y×Y X×X．显然：Y×Y→R是Y的一个度量（请自行验证）．我们称Y的度量，是由X的度量ρ诱导出来的度量.度量空间（Y，ρ）称为度量空间（X，ρ）的一个度量子空间．

我们常说度量空间Y是度量空间X的一个度量子空间，意思就是指Y是X的一个子集，并且Y的度量是由X的度量诱导出来的．我们还常将一个度量空间的任何一个子集自动地认作一个度量子空间而不另行说明．例如我们经常讨论的：实数空间R中的各种区间（a，b），[a，b]，（a，b]等；n＋1维欧氏空间 中的 n维单位球面: n维单位开、闭球体: 以及n维单位开、闭方体和等等，并且它们也自然被认作是拓扑空间（考虑相应的度量诱导出来的拓扑）． 定理3.1.1 设Y是度量空间X的一个度量子空间．则Y的子集U是Y中的一个开集当且仅当存在一个X中的开集V使得U＝V∩Y． 证明由于现在涉及两个度量空间，我们时时要小心可能产生的概念混淆．对于x∈X（y∈Y），临时记度量空间X（Y）中以x（y）为中心以ε＞0为 半径的球形邻域为，. 首先指出：有=∩Y. 这是因为z∈X属于当且仅当z∈Y且(z,y)<ε. 现在设U∈，由于Y的所有球形邻域构成的族是Y的拓扑的一个基，U可以表示为Y中的一族球形邻域，设为A的并．于是

点集拓扑学拓扑知识点

(点集拓扑学拓扑)知识点

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第4章 连通性重要知识点 本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉 及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间． §4．1 连通空间 本节重点: 掌握连通与不连通的定义. 掌握如何证明一个集合的连通与否? 掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。 我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R 中的两个区间（0，l ）和［1，2）， 尽管它们互不相交，但它们的并（0，1）U ［l ，2）＝（0，2）却是一个“整体”；而另外两 个区间（0，1）和（1，2），它们的并（0，1）U （1，2）是明显的两个“部分”．产生上述 不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0，l ）有一个凝聚点1在［1，2）中；而对 于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用 术语来区别这两种情形． 定义4．1．1设A 和B 是拓扑空间X 中的两个子集．如果 ?=???)()(A B B A 则称子集A 和B 是隔离的． 明显地，定义中的条件等价于?=?B A 和 ?=?A B 同时成立，也就是说，A 与B 无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点． 应用这一术语我们就可以说，在实数空间R 中，子集（0，1）和（1，2）是隔离的， 而子集（0，l ）和[1，2) 不是隔离的． 又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个 无交的子集都是隔离的． 定义4．1．2 设X 是一个拓扑空间．如果X 中有两个非空的隔离子集A 和B 使得X=A ∪B ，则称X 是一个不连通空间；否则，则称X 是一个连通空间． 显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间． 定理4．1．1设X 是一个拓扑空间．则下列条件等价： （l ）X 是一个不连通空间； （2）X 中存在着两个非空的闭子集A 和B 使得A ∩B=? 和 A ∪B ＝ X 成立； （3） X 中存在着两个非空的开子集A 和B 使得A ∩B=? 和 A ∪B ＝ X 成立； （4）X 中存在着一个既开又闭的非空真子集． 证明（l ）蕴涵（2）: 设（1）成立．令A 和B 是X 中的两个非空的隔离子集使得 A ∪ B ＝X ，显然 A ∩B=?，并且这时我们有 B B B A B B A B X B B =???=??=?=)()()( 因此B 是X 中的一个闭子集；同理A 也是一个X 中的一个闭子集．这证明了集合A 和B 满足条件（2）中的要求． （2）蕴涵（3）．如果X 的子集A 和B 满足条件（2）中的要求，所以A 、B 为闭集， 则由于这时有A ＝B /和B=A '，因此A 、B 也是开集，所以A 和B 也满足条件（3）中的要

拓扑空间的紧性

? 久别重逢的 std::bad_alloc MSTC 月刊第三期（十周年特辑） ? Klein Bottle 拓扑空间的紧性 by pluskid, on 2011-07-26, in Mathematics 29 comments 参加暑期讨论班其中有一场是我讲，第一次这样子讲数学的东西，有点紧张，于是先在这里整理一下。内容大致是拓扑空间的紧性。 关于空间的紧性，我们在之前的分析中已经见过了：例如在实数轴上的有界闭区间就是典型的紧集，紧集具有很多优良的性质，比如我们知道在有界闭区间上的连续函数一定是一致连续的，并且能取到最大值和最小值。所以，在将空间的概念推广到一般的拓扑空间之后，我们也希望将紧性这一优良性质也带到拓扑空间中来。为此，我们需要找到什么是紧集最本质的东西。在实数轴上的紧集 ，有如下的一些等价刻画： 1. 是有界闭集 2. 的任意无限子集必存在极限点 3. 中的任意序列必有收敛子列 4. 的任意开覆盖必有有限子覆盖 其中第一条无法在拓扑空间中使用，因为“有界”的概念无法定义。第二或者第三条曾经被认为是实质性的，但是后来由于 Tychonoff 定理，人们发现最后一条才是真正好的定义，因此将其作为拓扑空间紧性的定义，而第二条和第三条分别被叫做“极限点紧（Limit point compact ）”和“序列紧（Sequencially compact ）”。下面是正式内容，在给出定义之前，我先给出一个提纲： 首先当然是要给出拓扑空间紧性的定义。 接下来当然是会举一些例子，一方面是把枯燥的定义从抽象中拉回来，另一方面也是非常重要的是给出紧空间的存在性的证据，因为定义总是可以随便给的，这样子我可以给出具有任意优良性质的定义来，然而所定义的东西如果是不存在的话，相关的一切性质其实都是空谈。 然后我们将介绍从已有的紧空间构造新的紧空间的方法：包括集合的交、并、补，以及子空间、商空间和积空间——这一系列都是标准套路。在这里将会出现一个大定理，就是刚才提到的 Tychonoff 定理。 接下来将暂时中断一下，讨论一下稍微具体一点的度量空间中的紧性。因为度量空间更加具体一些，所以能得到的性质也更丰富一些。最后我们将简要介绍一些将非紧空间（non-compact space ）转化为紧空间（compactification ，紧化）的初步知识。 啊，不过，由于一次报告是两个人一起讲的，这次我大致负责前半部分，因此从度量空间的紧性开始那部分内容就不列在这里了。定义 1：设 是一个集合，它的一族子集 如果满足 则称为 为 的一个覆盖，或 覆盖 。特别地，如果 是一个拓扑空间，而且每个 ， 都是 中的开集，则称 为 的一个开覆盖。 定义 2：拓扑空间 称为紧的，如果它的任意开覆盖有有限子覆盖。 其实根据这个定义里的描述，也可以看出紧性之所以好的一些端倪了，不精确地说，利用紧性我们可以把无限的东西转化为有限的情况来处理。我们最熟悉的紧空间的例子应该就是 中的闭区间了，在数学分析中已经证明过它是紧的。其他我们还可以举一些简单的例子，比如： 任意由有限点集所构成的拓扑空间是紧的。因为无论在它上面给怎么样的拓扑，它所有的开集的个数总是有限的，所以任意开覆盖本身就是有限覆盖了。具有余有限拓扑（cofinite topology ）的空间是紧的。因为假设 是具有 cofinite topology 的空间 的一个开覆盖，从 中任选一个非空的元素 ，由 cofinite topology 的定义，知道 只有有限个元素 ，对于每一个 ， 可以找到一个 使得 ，这样， 就是 的开覆盖 的一个有限子覆盖。 非紧空间的例子也很好举，例如 上的区间 就不是紧的，因为我们可以构造一个开覆盖 ，它的任意一个有限子集族总是无法覆盖 。 有了基本的例子之后，下面我们来讨论如何从已有的紧空间构造新的紧空间。从集合的角度来看，构造新的集合常用的操作有 、 ，从空间的角度来看则有子空间（）、商空间（）、积空间（ ），下面我们就依次讨论在这些操作下紧性是否能得到保持。 首先是紧空间的交集，因为任意拓扑空间的交集上，最自然的拓扑就是这一系列包含映射所诱导的始端拓扑（Initial Topology ），如果这些拓扑空间互相之间没有什么关系的话，讨论起来就比较复杂了，通常我们会讨论所有要取交的拓扑空间是一个大的拓扑空间的子空间的情况，这个时候它们的交集实际上就是子空间的一种特殊情况，所以我们放到讨论子空间的紧性的时候再讨论。 其次是并集。任意多个并的情况显然是不对的，例如 上可数个紧集 ， 的并集是 本身，并不是紧的。不过有限个的情况表现还是良好的。 命题 1：若 是空间 的有限个紧子集，则它们的并也是紧的。 证明：记 。设 是 的任一开覆盖，则显然它也是每一个 ， 的开覆盖，因此对于每个 ，存在 的一个 有限子集族 仍然覆盖 。令 则显然 是 的一个有限子集族，并且它仍然覆盖 。 接下来我们讨论拓扑子空间的紧性。一个紧空间的子空间是否一定是紧的呢？显然不一定，明显的反例是紧空间 的子空间 ，但是如果限制到闭子集的话，就 可以做到了： 定理 1：紧空间的闭子集是紧的。 注意这里我们称一个空间的子集是紧的，实际上是在说这个子集配上子空间拓扑之后是一个紧空间。在证明这个定理之前，我们先给一个方便的验证子空间紧性的判定定理：

《点集拓扑学》第7章§7.1紧致空间

第7章　紧致性 §7.1　紧致空间 本节重点： 掌握紧致子集的定义及判断一个子集是紧致子集的方法．（这些方法哪些是充要条件）； 掌握紧致性是否是连续映射可保留的，是否是可遗传的、有限可积的． 在§5.3中，我们用关于开覆盖和子覆盖的术语刻画了一类拓扑空间，即Lindeloff空间．现在来仿照这种做法，即将Lindeloff空间定义中的“可数子覆盖”换成“有限子覆盖”，以定义紧致空间．读者在数学分析中早已见过的Heine－Borel定理断言：实数空间R的任何一个子集为有界闭集的充分必要条件是它的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖．（在§7.3中我们将要推广这个定理．）因此我们现在作的事也应当在意料之中． 定义7.1.1　设X是一个拓扑空间．如果X的每一个开覆盖有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个紧致空间． 明显地，每一个紧致空间都是Lindeloff空间．但反之不然，例如包含着无限但可数个点的离散空间是一个Lindeloff空间，但它不是一个紧致空间． 例7.1.1　实数空间R不是一个紧致空间．这是因为如果我们设 A＝{（－n，n）R|b∈Z+},则A的任何一个有限子族 { },由于它的并为 (-max{},max{}) 所以不是R的一个子覆盖．因此R的开覆盖A没有任何一个有限子覆盖． 定义7.1.2　设X是一个拓扑空间，Y是X中的一个子集,如果Y作为X的子空间是一个紧致空间，则称Y是拓扑空间X的一个紧致子集． 根据定义，拓扑空间X中的一个子集Y是X的紧致子集意味着每一个由子空间Y中的开集构成的Y的开覆盖有一个有限子覆盖，这并不明显地意味着由X中的开集构成的每一个Y的覆盖都有有限子覆盖．所以陈述以下定理是必要的． 定理7.1.1　设X是一个拓扑空间，Y是X中的一个子集．则Y是X的一个紧致子集当且仅当每一个由X中的开集构成的Y的覆盖都有有限子覆盖．（此定理表明开覆盖中的开子集可以是X的，也可以是Y的）

点集拓扑学练习题(第二章)(答案)

练习（第二章）参考答案： 一.判断题（每小题2分） 1. 集合X的一个拓扑有不只一个基，一个基也可以生成若干个拓扑（X ） 2. 拓扑空间中任两点的距离是无意义的.（V ） 3. 实数集合中的开集，只能是开区间，或若干个开区间的并.（X ） 4. 「、T2是X的两个拓扑，则T i UT是一个拓扑.（X ） 5. 平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。（V ） 6. 从（X, T i）至U（X, T2）的恒同映射必是连续的。（X ） 7. 从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射（V ） 8. 设T i,T2是集合X的两个拓扑，则「T2不一定是集合X的拓扑（X ） 9. 从拓扑空间X到平庸空间丫的任何映射都是连续映射（V ） 10. 设A为离散拓扑空间X的任意子集，则d A （V ） 11. 设A为平庸空间X （X多于一点）的一个单点集，则d A （X ） 12. 设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集，则d A X （V ） 二.填空题：（每空格3分） 1、X二Z+,T二{ZZ …乙…},其中 乙={n,n+1,n+2, -}, 贝S包含3的所有开集为Z1,Z2,Z s 包含3的所有闭集为乙,Z4,Z5,Z6,...

包含3的所有邻域为Z1,Z2,Z3,{1} Z3 设A二{1,2,3,4,5} 则 A 的导集为{1,2,3,4} , A 的闭包为{1,2,3,4,5}

2、设X为度量空间,x € X,则d ({x} ) =_ 3、在实数空间R中，有理数集Q的导集是_____ R ____ . 4、x d(A)当且仅当对于x的每一邻域U有 _______________ ; _______ 答案：U (A {x}) 5、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则d(A)= _____ — A= ； 答案：X ；X 6、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则d(A)= ______ — A= ; 答案：X ；X 7、设X {1,2,3} , X 的拓扑T {X, ,{2},{2,3}},则X 的子集 A {1,2}的内部 为____________ ；_______ 答案：{2}

第一章距离空间与拓扑空间

第一章距离空间与拓扑空间 1、 1）下面证明d 满足距离需满足的三个条件。 ①0),(≥y x d 显然，且0),(=y x d 当且仅当0||sup =?y x 与0|''|sup =?y x 当且仅当在D 上y x =。 ②),(),(x y d y x d =显然。③ ),(),(|) ''||''sup(||)||sup(||''|sup ||sup ),(y z d z x d y z z x y z z x y x y x y x d +=?+?+?+?≤?+?=2）D 中点列}{n x 按距离收敛当且仅当}{n x 与}'{n x 一致收敛。3）设D x n ?}{，满足]1,0[C x n ∈且]1,0['C x n ∈，是Cauchy 列。 则εε??>?|)()(|],1,0[,,,,0t x t x t N n m N m n 。从而}{n x 在]1,0[上一致收敛，且其极限函数)(t x 是]1,0[上的连续函数。 同理，}'{n x 在]1,0[上一致收敛，故该函数序列}{n x 的求导运算与极限运算可交换顺序，从而)('t x 就是}'{n x 的极限函数，且)('t x 是]1,0[上的连续函数。 在不等式中令∞→m ，则 ε2|)(')('||)()(|,],1,0[≤?+?>∈?t x t x t x t x N n t n n 。即n x 在D 中趋向于x 。从而D 是完备的。 4、补充最大模原理：在区域内不恒为常数的解析函数的模的最大值只能在边界达到。 ①0),(≥y x d ，且0),(=y x d 当且仅当0||max ||max 1 ||1 ||=?=?=≤y x y x t t 当且仅当 y x =。 ②),(),(x y d y x d =显然。③ ) ,(),(|) ||(|max ||max ),(1 ||1 ||y z d z x d y z z x y x y x d t t +=?+?≤?===5、可以。 例：取}6.5,8.2,0{=X ，按照R 上的距离成为一个距离空间。显然，

拓扑空间、开集、闭集、闭包、聚点、邻域

第一章拓扑空间与拓扑不变量 数学分析中的连续函数的定义与和值域都是欧氏空间（直线、平面或空间）或是其中的一部分。本章将首先把连续函数的定义域和值域的主要特征抽象出来用以定义度量空间，将连续函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间的连续映射。然后将两者再度抽象，给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射。随后逐步提出拓扑空间的一些基本问题如邻域、开集、闭集、闭包、聚点、导集、内部、边界、序列、极限等。进一步引入紧致性、连通性、可数性与分离性等重要的拓扑不变性 §1.1拓扑空间、开集、闭集、聚点、闭包、邻域 一、问题的引入 数学分析里我们知道，在连续函数的定义中只涉及距离这个概念，定义域是一维欧氏空间,即实数空间，两点之间的距离d(x,y)=|x-y|,即两两实数之差的绝对值,定义域是n维欧氏空间，两点x=(x1 ,x2,…，x n),Y=(y1,y2,…，y n) 之间的距离 d(x,y)= 。 无论是几维空间，它的距离都有下面的性质： 1. d(x,y)≥0 , ?x,y∈n R; 2. d(x,y) = 0 ?x = y ; 3. d(x,y) = d(y,x) ?x,y∈n R; 4. d(x,z) ≤d(x,y) + d(y,z) , ?x,y,z∈n R; 这些性质反映了距离的特征。 将n R推广为一般的集合，我们由距离可以抽象出度量以及度量空间的定义。（一）度量空间 1.定义 定义1 设X是一个集合，ρ：X×X→R ,如果对于任何x,y,z∈X,有 ①（正定性）ρ（x,y）≥0 并且ρ (x,y) = 0 ?x = y ； ②（对称性）ρ (x,y) = ρ (y,x) ； ③（三角不等式）ρ (x,z) ≤ρ (x,y) + ρ (y,z) 则称ρ是集合X中的一个度量。

《拓扑学导论》第2 章拓扑空间及其基本概念

《拓扑学导论》第2章 拓扑空间及其基本概念 （作业题） 1、分别定义1ρ,2ρ:n R ×n R →R 为),(1y x ρ|}{|max 1i i n i y x ?=≤≤和),(2y x ρ = 1 ||n i i i x y =?∑. 证明: 1ρ,2ρ都是集合n R 上的度量. 2、设),(ρX 为度量空间,分别定义1ρ,2ρ:→×X X R 为),(1y x ρ),(1),(y x y x ρρ+=, 并且. 试证明: X y x ∈,???>≤=1 ),(11),() ,(),(2y x y x y x y x ρρρρ当当1ρ,2ρ都是X 上的度量. 3、设:f n R →R 是一映射,我们称在是连续的,如果f n R ∈?0x n R , 0>?ε, 0>?δ,使得),(δx B x ∈?时, 恒有 εx f 开于n R . 4、设X 是一个度量空间，A X ?，试证: (1) 是IntA A 所包含的所有开集的并集; (2) A 是所有含A 的闭集的交. 5、若A 是度量空间X 的稠密子集,O 为X 中开集, 证明:O A O I ? 6、证明: 度量空间中任何子集的导集都是闭集. 7、 证明:集合上的任意两个拓扑的交也是上的一个拓扑. 集合上两个拓扑的并一定是上一个拓扑吗? 为什么? X X X X 8、设(,是拓扑空间,G , 则)X T ∈T x G ?∈, 有()G x ∈U . 反之, 若U 为其中任意点的邻域,则U 必为中开集. X 9、设是拓扑空间, F 为中的闭集的全体,则F 满足条件: (F1) (,)X T X φ, ；(F2) 若, , 则X ∈F 1F 2F ∈F 12F F ∈U F ；(F3) 若{}, 则. F λλ∈Λ?F F λλ∈Λ∈U F 10、设(,是一个拓扑空间,)X T A X ?, 则 (i) A ∈T 当且仅当0A A =；(ii) A 等于包含A 的一切闭集的交. 11、设(,是有限余拓扑空间,)X T A X ?,求证:,A A A X A ?=?? 当为有限集，当为无限集. 12、 设是拓扑空间, 对于(,)X T A X ??,对应着一个o A , 称为内核算子. 求证内核算子满足条件: o i A A =（）(I1) ； (I2) o X X =o A A ?； (I3) o o o A A =（）； (I4) o o o A B A B =I I （）, (?A ,). B X ?13、设为实数集, 赋予右序拓扑,R [01]A =，,求o A ,'A 和A .

拓扑学习题

一、选择题. 1、在实数空间中，有理数集Q 的内部o Q 是（A ） A 、?； B 、Q ； C 、R Q -； D 、R . 2、在实数空间中，有理数集Q 的边界Q ?是（D ） A 、?； B 、Q ； C 、R Q -； D 、R . 3、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，则下列关系正确的是（A ） A 、()()()d A B d A d B =； B 、A B A B -=-； C 、()()()d A B d A d B =； D 、A A =. 4、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，则下列关系错误的是（C ） A 、()()()d A B d A d B =； B 、A B A B =； C 、()()()d A B d A d B =； D 、A A =. 5、平庸空间的任一非空子集为（D ） A 、开集； B 、闭集； C 、既开又闭； D 、非开非闭. 6、离散空间的任一子集为（C ） A 、开集； B 、闭集； C 、既开又闭； D 、非开非闭. 7、设{1,2,3}X =，{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T X =?是X 的拓扑，则X 的子空间{1,3}A =的拓扑为（B ） A 、{,{1},{3},{1,3}}T =?； B 、{,,{1}}T A =?； C 、{,,{1},{3},{1,3}}T X =?； D 、{,,{1}}T X =?. 8、设{1,2,3}X =，{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T X =?是X 的拓扑， 则X 的子空间{2,3}A =的拓扑为（B ） A 、{,{3},{2,3}}T =?； B 、{,,{2},{3}}T A =?； C 、{,,{2},{3},{2,3}}T X =?； D 、{,,{3}}T X =?. 9、设126X X X X =???…是拓扑空间126,,,X X X …的积空间，p 是X 到1X 的投射，则p 是（D ） A 、单射； B 、连续的单射； C 、满的连续闭映射； D 、满的连续开映射. 10、设R 是实数空间， Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（B ）

(点集拓扑学拓扑)知识点

第4章连通性重要知识点 本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用?这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间. § 4. 1连通空间 本节重点：掌握连通与不连通的定义. 掌握如何证明一个集合的连通与否？ 掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。 我们先通过直观的方式考察一个例子?在实数空间R中的两个区间（0, I）和］1, 2）, 尽管它们互不相交，但它们的并（0, 1）U :1, 2） = （0, 2）却是一个“整体”；而另外两个区间（0, 1）和（1, 2）,它们的并（0, 1）U （1, 2）是明显的两个“部分”.产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0, I）有一个凝聚点1在］1, 2）中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中. 我们通过以下的定义，用 术语来区别这两种情形. 定义4. 1. 1设A和B是拓扑空间X中的两个子集.如果 （A - B）（B - A）二?一 则称子集A和B是隔离的. 明显地，定义中的条件等价于 A r B =、和B r A二.一同时成立，也就是说，A 与B无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点. 应用这一术语我们就可以说，在实数空间R中，子集（0, 1）和（1, 2）是隔离的， 而子集（0, I ）和［1 , 2）不是隔离的. 又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个 无交的子集都是隔离的. 定义4. 1. 2设X是一个拓扑空间.如果X中有两个非空的隔离子集A和B使得X=A U B,则称X 是一个不连通空间；否则，则称X是一个连通空间. 显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间. 定理4. 1. 1设X是一个拓扑空间.则下列条件等价： （1）X是一个不连通空间； （2）X中存在着两个非空的闭子集A和B使得A A B= ?一和A U B = X成立； （3）X中存在着两个非空的开子集A和B使得A A B= ?一和A U B = X成立； （4）X中存在着一个既开又闭的非空真子集. 证明（I）蕴涵（2）:设（1）成立.令A和B是X中的两个非空的隔离子集使得 A U B = X，显然A A B= ?_ ,并且这时我们有 B = B 一X = B「（A 一B）=（B 一A）一（B 一B）= B 因此B是X中的一个闭子集；同理A也是一个X中的一个闭子集.这证明了集合A和B 满足条件（2）中的要求. （2）蕴涵（3）.如果X的子集A和B满足条件（2）中的要求，所以A、B为闭集，则由于

拓扑空间与连续映射

定义2.2.1 例2.2.5 作业 §2.2拓扑空间与连续映射 本节重点:拓扑与拓扑空间的概念,并在此空间上建立起来的连续映射的概念. 注意区别:拓扑空间的开集与度量空间开集的异同；连续映射概念的异同. 现在我们遵循前一节末尾提到的思路，即从开集及其基本性质（定理2.1.2）出发来建立拓扑空间的概念． 定义2.2.1 设X是一个集合，T是X的一个子集族．如果T满足如下条件： （l）X，∈T； （2）若A，B∈T，则A∩B∈T ； （3）若则称T是X的一个拓扑． 如果T是集合X的一个拓扑，则称偶对（X，T）是一个拓扑空间，或称集合X是一个相对于拓扑T而言的拓扑空间；此外T的每一个元素都叫做拓扑空间（X，T）或X中的一个开集．即：A∈T A是开集 （此定义与度量空间的开集的性质一样吗） 经过简单的归纳立即可见，以上定义中的条件（2）蕴涵着：有限多个开集的交仍是开集，条件（3）蕴涵着：任意多个开集的并仍是开集． 现在首先将度量空间纳入拓扑空间的范畴． 定义2.2.2 设（X，ρ）是一个度量空间·令为由X中的所有开集构成的集族．根据定理2.1.2，（X，）是X的一个拓扑．我们称为X的由度量ρ诱导出来的拓扑．此

外我们约定：如果没有另外的说明，我们提到度量空间（X，ρ）的拓扑时，指的就是拓扑；在称度量空间（X，ρ）为拓扑空间时，指的就是拓扑空间（X，） 因此，实数空间R，n维欧氏空间（特别，欧氏平面），Hilbert空间H都可以 叫做拓扑空间，它们各自的拓扑便是由例2.1.1，例2.1.2和例2.1.3中定义的各自的度量所诱导出来的拓扑． 例2.2.1 平庸空间． 设X是一个集合．令T ={X，}．容易验证，T是X的一个拓扑，称之为X的平庸拓扑；并且我们称拓扑空间（X，T）为一个平庸空间．在平庸空间（X，T）中，有且仅有两个开集，即X本身和空集． 例2.2.2 离散空间． 设X是一个集合．令T =P（X），即由X的所有子集构成的族．容易验证，T是X的一个拓扑，称之为X的离散拓扑；可知，在离散空间（X，T）中，X的每一个子集都是开集． 例2.2.3 设X＝{a，b，c}．令T ={，{a}，{a，b}，{a，b，c}}． 容易验证，T是X的一个拓扑，因此（X，T）是一个拓扑空间．这个拓扑空间既不是平庸空间又不是离散空间． 例2.2.4 有限补空间． 设X是一个集合．首先我们重申：当我们考虑的问题中的基础集自明时，我们并不每次提起．因此在后文中对于X的每一个子集A，它的补集X－A我们写为．令 T ={U X|是X的一个有限子集}∪{} 先验证T是X的一个拓扑： （1）X∈T (因为=)；另外，根据定义便有∈T． （2）设A，B∈T如果A和B之中有一个是空集，则A∩B∈T,假定A和B都不是空集．这 时是X的一个有限子集，所以A∩B∈T ．

《点集拓扑学》第3章 §3.1 子空间

第3章子空间（有限）,积空间，商空间 在这一章中我们介绍通过已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种惯用的办法．为了避免过早涉及某些逻辑上的难点，在§3.2中我们只讨论有限个拓扑空间的积空间，而将一般情形的研究留待以后去作． §3.1子空间 本节重点：掌握度量子空间、拓扑空间子空间的概念，子空间的拓扑与大空间拓扑之间的关系以及子空间的闭集、邻域、基、导集、闭包与大空间相应子集之间的关系及表示法． 讨论拓扑空间的子空间目的在于对于拓扑空间中的一个给定的子集，按某种“自然的方式”赋予它一个拓扑使之成为一个拓扑空间，以便将它作为一个独立的对象进行考察．所谓“自然的方式”应当是什么样的方式？为回答这个问题，我们还是先从度量空间做起，以便得到必要的启发． 考虑一个度量空间和它的一个子集．欲将这个子集看作一个度量空间，必须要为它的每一对点规定距离．由于这个子集中的每一对点也是度量空间中的一对点，因而把它们作为子集中的点的距离就规定为它们作为度量空间中的点的距离当然是十分自然的．我们把上述想法归纳成定义： 定义3.1.1 设（X，ρ）是一个度量空间，Y是X的一个子集.因此，Y×Y X×X．显然：Y×Y→R是Y的一个度量（请自行验证）．我们称Y的度量，是由X的度量ρ诱导出来的度量.度量空间（Y，ρ）称为度量空间（X，ρ）的一个度量子空间． 我们常说度量空间Y是度量空间X的一个度量子空间，意思就是指Y是X的一个子集，并且Y的度量是由X的度量诱导出来的．我们还常将一个度量空间的任何一个子集自动地认作一个度量子空间而不另行说明．例如我们经常讨论的：实数空间R中的各种区间（a，b）， [a，b]，（a，b]等；n＋1维欧氏空间中的 n维单位球面: n维单位开、闭球体:

拓扑学习题

' 一、选择题. 1、在实数空间中，有理数集Q 的内部o Q 是（A ） A 、?； B 、Q ； C 、R Q -； D 、R . 2、在实数空间中，有理数集Q 的边界Q ?是（D ） A 、?； B 、Q ； C 、R Q -； D 、R . 3、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，则下列关系正确的是（A ） A 、()()()d A B d A d B =； B 、A B A B -=-； C 、()()()d A B d A d B =； D 、A A =. ! 4、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，则下列关系错误的是（C ） A 、()()()d A B d A d B =； B 、A B A B =； C 、()()()d A B d A d B =； D 、A A =. 5、平庸空间的任一非空子集为（D ） A 、开集； B 、闭集； C 、既开又闭； D 、非开非闭. 6、离散空间的任一子集为（C ） A 、开集； B 、闭集； C 、既开又闭； D 、非开非闭. 7、设{1,2,3}X =，{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T X =?是X 的拓扑，则X 的子空间{1,3}A =的拓扑为（B ） * A 、{,{1},{3},{1,3}}T =?； B 、{,,{1}}T A =?； C 、{,,{1},{3},{1,3}}T X =?； D 、{,,{1}}T X =?. 8、设{1,2,3}X =，{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T X =?是X 的拓扑，则X 的子空间{2,3} A =的拓扑为（ B ） A 、{,{3},{2,3}}T =?； B 、{,,{2},{3}}T A =?； C 、{,,{2},{3},{2,3}}T X =?； D 、{,,{3}}T X =?. 9、设126X X X X =???…是拓扑空间126,,,X X X …的积空间，p 是X 到1X 的投射，则

【VIP专享】拓扑空间中集合的导集

拓扑空间中集合的导集 题目：拓扑空间中集合的导集 摘要：如果在一个拓扑空间中给定一个子集，那么拓扑空间中的每一个点相对于这个子集而言“处境”各不相同，因此可以对它们进行分类处理。本文介绍了拓扑空间中集合的导集。 正文： 1、拓扑空间的定义： 设X是一个集合，T是X的一个子集族，如果T满足如下条件： （1）X，∈T；（2）若A，B∈T，则A∩B∈T；（3）若∈T，则，则称T是X的一个拓扑。 如果T是集合X的一个拓扑，则称偶对（X，T）是一个拓扑空间或称集合X是一个相对于拓扑T的拓扑空间，或当拓扑T早已约定或在行文中已有说明而无须指出时，则称集合X是一个拓扑空间。 2、导集的定义 设X是一个拓扑空间，A X．如果点x∈X的每一个邻域U中都有A中异于x的点，即U∩（A-{x}）≠，则称点x是集合A的一个凝聚点或极限点．集合A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集，

记作d（A）．如果x∈A并且x不是A的凝聚点，即存在x的一个邻域U使得U∩（A-{x}）＝，则称x为A的一个孤立点． 即:(牢记) 3、　离散空间中集合的凝聚点和导集． 设X是一个离散空间，A是X中的一个任意子集．由于X中的每一个单点集都是开集，因此如果x∈X，则X有一个邻域{x}，使得 ，以上论证说明，集合A没有任何一个凝聚点，从而A的导集是空集，即d（A）＝． 4、平庸空间中集合的凝聚点和导集． 设X是一个平庸空间，A是X中的一个任意子集．我们分三种情形讨论： 第1种情形：A=．这时A显然没有任何一个凝聚点，亦即 d（A）=．（可以参见定理2.4.1中第（l）条的证明．） 第2种情形：A是一个单点集，令A＝{}如果x∈X，x≠，点x只有惟一的一个邻域X，这时，所以 ；因此x是A的一个凝聚点，即x∈d（A）．然而对于的惟一邻域X有：所以 d（A）=X-A． 第3种情形：A包含点多于一个．请读者自己证明这时X中的每一个点都是A的凝聚点，即d（A）＝X． 定理：设X是一个拓扑空间，A X．则