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圆锥曲线的最值问题教学设计

圆锥曲线中的最值问题

【教学目标】

1、知识与技能：使学生明确求圆锥曲线中的最值问题的基本方法.

2、过程与方法：培养学生的分析问题和解决问题的能力,渗透数形结合、化归与转化的思想。

3、情感、态度与价值观:通过对问题的探究，使学生理解事物间普遍联系与辩证统一观点，并能体验成功的喜悦。【教学重点与难点】

1、重点：求圆锥曲线中的最值问题的基本方法。

2、难点：形与数的转化，化归思想的应用。【教法】诱思探究法

【教学手段】微机辅助教学【教学程序】

方法一：圆锥曲线的定义转化法

根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离等，这是求圆锥曲线最值问题的基本方法。关键：用好圆锥曲线的定义

例1、已知点F 是双曲线

的左焦点，定点A （1，4），P 是双曲

线右支上动点，则的最小值为 .

思维导图

根据双曲线的定义，建立点A 、P 与两焦点之间的关系——两点之间线段最短

解析：设双曲线右焦点为

变式训练：已知P 点为抛物线上的点，那么P 点到点Q （2，-1）

的距离与P 点到抛物线焦点的距离之和的最小值为 _ __，此时P 点坐标为

=P F P A

回顾反思与能力提升：

1、若圆锥曲线为椭圆，A为椭圆内一点，有可

得出什么结论，能否自己设计出一道题目；

2、体现了什么数学思想方法？

3、理论根据是什么？

4、此法适合解决那类问题？

.变式训练：

方法二：切线法

当所求的最值是圆锥曲线上点到某条直线的距离的最值时，可以通过作与这条直线平行的圆锥曲线的切线，则两平行线间的距离就是所求的最值，切点就是曲线上去的最值时的点。

例2、求椭圆上的点到直线

的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标.

思维导图

求与平行的椭圆的切线——切线与直线

的距离为最值，切点就是所求的点.

解：设椭圆与平行的切线方程为y=x+b

m in

m ax

1),;

2),.

b d

当代入(1)得

34220

(4)43(22)0

x b x b

b b

∴++-=

?=-??-=

∴=±

(1)

y x b

∴?

y x

=+ y x

y x

__________

1,2(

的最小值

则

是其上一点，定点

的右焦点，

是

变式训练：

动点P 在抛物线y 2=4x 上，则P 点到直线y=x+4的距离最小时，P 的坐标是_______ 回顾反思与能力提升：

1、此法用了哪种数学思想方法？

2、有没有别的办法？

3、要注意画出草图，根据图形确定何时取最大值，何时取最小值. 方法三:

参数法

根据曲线方程的特点，用适当的参数表示曲线上点的坐标，把所求的最值归结为求解关于这个参数的函数的最值的方法. 关键：选取适当的参数表示曲线上的坐标

例3、在平面直角坐标系中，P(x,y)是椭圆

上动点，则S=x+y 的最大值是________.

思维导图：

根据椭圆的参数方程表示x 、y____将S 表示成关于参数的函数

解析：设P 点坐标为

变式训练：

设求的最大值和最小值，并求取得最值时a 、b 的值. 回顾反思与能力提升：

1、参数法体现了什么数学思想方法？

2、解析几何中还有哪些曲线可以做这种代换？

3、理论根据是什么？

4、关键是什么？

方法四:

基本不等式法

先将所求最值的量用变量表示出来，再利用基本不等式求这个表达式的最值. 这种方法是求圆锥曲线中最值问题应用最为广泛的一种方法. 例4、设椭圆中心在坐标原点A （2，0）、B （0，1）是它的两个顶点，直线

a +

a b R

∈+

=c o s s i n

12(

cos sin )

2sin()

S x y ????π

?=+=+

=+=

c o s (02)

s i n x y ??π??=?≤≤?

=??1

322

=+y x

与椭圆交于E 、F 两点，求四边形AEBF 面积的最大值.

思维导图：

用k 表示四边形的面积_____根据基本不等式求最值

解析：依题意设得椭圆标准方程为直线AB 、EF 的方程分

别为x+2y=0,y=kx(k 〉0)

设

根据点到直线距离公式及上式，点E 、F 到AB 的距离分别为

∴四边形AFBE 的面积为

121()

S A B h h =

+A B

又122(122(12k h k h ++=

12122,4

x y x x y kx ?+=?

∴∴=-

??=?

+=(0)y kx

k =>

变式训练;

过椭圆的焦点的直线交椭圆A,B 两点，求△AOB 面积的最大值回顾反思与能力提升： 1、关键是什么？ 2、应注意什么？方法五:

函数法

把所求最值的目标表示为关于某个变量的函数，通过研究这个函数求最值，是求各类最值最为普遍的方法. 关键：建立函数关系式

例5、点A 、B 分别是椭圆的长轴的左右端点，F 为右焦点，

P 在椭圆上，位于x 轴的上方，且PA ⊥PF 若M 为椭圆长轴AB 上一点，M 到直线AP 的距离等于|MB|.求椭圆上点到点M 的距离的最小值. 思维导图：

把所求距离表示为椭圆上点的横坐标的函数——求这个函数的最小值

解析：由已知可得点A(-6，0)、F(4,0),设点P(x,y)，则

由(1)、(2)及y>0得

322x y ?=???

?=??

(6,),(4,),(6)(4)0(1)1

(2)

A P x y F P x y A F F P x x y x

=+=-⊥∴+-+=+

3620x

=m ax 121"".

k k S ===∴=当且仅当即时成立

∴AP 的方程为

设M(m ，0)，则点M 到直线AP 的距离

设椭圆上点（x0,y0）到M 距离为d

变式训练：

已知双曲线C ：，P 为C 上任一点，点A （3，0），则|PA|的最小值为________. 回顾反思与能力提升： 1、关键是什么？

2、应注意的问题有哪些？

3、参数法和基本不等式法是否也是函数法？

小结:

圆锥曲线的最值问题解决方法较多，常见的有五种.有些题目可以用多种方法解决，遇到此类题目时，要选取适当地方法。

000

000m a x (2)

54420949()

292

x y x x x x x x d =-+=-++-

+-≤≤∴=

当时

，6,62

m d M B m

-60

x -+=

高考圆锥曲线中的最值和范围问题的专题

高考专题圆锥曲线中的最值和范围问题 ★★★高考要考什么 1 圆锥曲线的最值与范围问题 (1)圆锥曲线上本身存在的最值问题： ①椭圆上两点间最大距离为2a (长轴长)． ②双曲线上不同支的两点间最小距离为2a (实轴长)． ③椭圆焦半径的取值范围为[a －c ，a ＋c ]，a －c 与a ＋c 分别表示椭圆焦点到椭圆上的点的最小距离与最大距离． ④抛物线上的点中顶点与抛物线的准线距离最近． (2)圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题，常用两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值问题解决，有时也用圆锥曲线的参数方程，化为三角函数的最值问题或用三角形的两边之和(或差)与第三边的不等关系求解． (3)圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值问题解法同上或用平行切线法． (4)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下，求相关式子(目标函数)的取值范围问题，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处理． (5)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解．与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ①通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题；（6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。 ★★★突破重难点【练习】1、点A （3，2）为定点，点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，点P 在抛物线y 2=4x 上移动，若|P A|+|PF| 取得最小值，求点P 的坐标。若A （1，3）为定点，点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，点P 在抛物线y 2=4x 上移动，若|P A|+d|取得最小值，其中d 是点P 到准线的距离，求点P 的坐标 2．已知A （3，2）、B （－4，0），P 是椭圆x y 22 259 1+=上一点，则|P A |＋|PB|的最大值为（） A ．10 B ．105- C ．105+D ．1025+ 3．已知双曲线22 1169 x y -=，过其右焦点F 的直线l 交双曲线于AB ，若|AB |=5，则直线l 有（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 4．已知点P 是抛物线y 2=4x 上一点，设P 到此抛物线的准线的距离为d 1,到直线x +2y+10=0的距离为d 2,则d 1+d 2的最小值为（）

圆锥曲线最值问题及练习

圆锥曲线最值问题及练习中学数学最值问题遍及代数、三角,立体几何及解析几何各科之中,且与生产实际联系密切，最值问题有两个特点:①覆盖多个知识点（如二次曲线标准方程,各元素间关系,对称性，四边形面积,解二元二次方程组，基本不等式等)②求解过程牵涉到的数学思想方法也相当多（诸如配方法,判别式法,参数法,不等式,函数的性质等)计算量大，能力要求高。１、回到定义例１、已知椭圆 22 1259 x y +=,A （4,０）,B （2,２)是椭圆内的两点,P 是椭圆上任一点，求：(1)求5||||4 PA PB +的最小值; (2)求|ＰA|+|PB|的最小值和最大值。略解：(1)A 为椭圆的右焦点。作PQ ⊥右准线于点Q,则由椭圆的第二定义 ||4 ||5 PA e PQ ==， ∴ 5 ||||||||4 PA PB PQ PB +=+.问题转化为在椭圆上找一点P ,使其到点B 和右准线的距离之和最小,很明显,点P 应是过B 向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为174 。（2)由椭圆的第一定义,设C 为椭圆的左焦点，则|ＰA|＝2a-|P Ｃ｜ ∴｜P A|+|ＰB|=２a-|PC|+｜ＰＢ|=10+(|PB ｜ -|PC|）根据三角形中，两边之差小于第三边,当P 运动到与B 、C 成一条直线时,便可取得最大和最小值。即-|BC|≤|ＰB| -|PC|≤｜BC|.当P 到Ｐ"位置时，|PB| －｜PC|=|BC|,｜P A|＋|PB|有最大值,最大值为１0＋|BC| ＝ 10+当P 到P"位置时,|PB| -|PC|=－|B Ｃ|,|P Ａ|＋|PB ｜有最小值，最小值为10-|BC| ＝10- 回到定义的最值解法同样在双曲线、抛物线中有类似应用。(2)中的最小值还可以利用椭圆的光学性质来解释:从一个焦点发出的光线经过椭圆面反射后经过另一焦点,而光线所经过的路程总是最短的。２、利用闭区间上二次函数最值的求法例2、在抛物线2 4x y =上求一点，使它到直线y=4x －5的距离最短。解:设抛物线上的点)4,(2 t t P ，点P 到直线4x-y －5＝0的距离17 4)21(4175442 2 +-=+-=t t t d

圆锥曲线教案

直线与圆锥曲线的位置关系题型归纳：题型1向量与圆锥曲线相结合的问题 1.设12F F ，分别是双曲线2 2 19y x +=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF ?=，则12PF PF += 2.设P 为双曲线2 2 112y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为题型2变量取值范围问题 3、设 1F ,2F 分别是椭圆14 22 =+y x 的左右焦点。1）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ?的最值；（2）设过定点()2,0M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A,B,且AOB ∠为锐角（O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的范围题型3圆锥曲线中的最值问题 4、设P 是椭圆()2 2211x y a a +=>短轴的一个端点，Q 为椭圆上一个动点，求PQ 的最大值. 5、已知椭圆C:22 221(0)x y a b a b +=>>，F 为其右焦点，过F 垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l ：y=kx+m （0km ≠）与椭圆C 交于A 、B 两点，若线段AB 中点在直线x+2y=0上，求?FAB 的面积的最大值。 … 题型4定值问题 6.已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．题型5 存在性问题 7.椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率23e =，A 、B 是椭圆上关于,x y 轴均不对称的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于(1,0)P ，点 F 是椭圆的右焦点．Ⅰ）设AB 的中点为00(,)C x y ，求0x 的值；（Ⅲ）过P 的直线交椭圆于,C D 两点，在x 轴上是否存在定点E ，使得CED ∠总被x 轴平分，若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．题型6对称性问题 8.已知双曲线2 213y x -=上存在关于直线:4l y kx =+的对称点，求实数k 的取值范围.

高中数学：圆锥曲线中的最值问题

高中数学：圆锥曲线中的最值问题在圆锥曲线中常遇到面积最大最小问题，距离的最长最短问题，不定量的最大最小问题等等，应从函数、方程、三角、几何、导数等多个角度思考问题。下面举例说明。一、利用圆锥曲线的对称性求最值例1. 设AB是过椭圆中心的弦，椭圆的左焦点为，则△F1AB的面积最大为（） A. B. C. D. 解析：抓住△F1AB中为定值，以及椭圆是中心对称图形。如图1，由椭圆对称性知道O为AB的中点，则△F1OB的面积为△F1AB面积的一半。又，△F1OB边OF1上的高为，而的最大值是b，所以△F1OB的面积最大值为。所以△F1AB的面积最大值为cb。

图1 二、利用圆锥曲线的参数方程求最值例2. 已知点P是椭圆上到直线的距离最小的点，则点P的坐标是（） A. B. C. D. 解析：化椭圆，利用三角函数的方法将最值转化为角变量来确定。将化成参数方程，设，则，其中，

当时，。此时可以取得，从而可得到。故选A。三、利用重要不等式求最值例3. 已知圆C过坐标原点，则圆心C到直线l：距离的最小值等于（） A. B. 2 C. D. 解析：抓住定值，利用重要不等式求最值，但是不要忽视等号成立的条件。圆C过原点，则。圆心C（a，b）到直线l：的距离所以圆心到直线l距离的最小值为。四、利用圆锥曲线的定义求最值

例4. 已知双曲线的左右焦点分别为F 1，F2，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率的最大值是（） A. B. C. 2 D. 解析：“点P在双曲线的右支上”是衔接两个定义的关键，也是不等关系成立的条件。利用这个结论得出关于a、c的不等式，从而得出e的取值范围。由双曲线的第一定义，得又，所以，从而由双曲线的第二定义可得，所以。又，从而。故选B。

圆锥曲线解题技巧教案整理后1

圆锥曲线―概念、方法、题型、及应试技巧总结 1.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答2） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝ 1（0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ， C 同号，A ≠B ）。如（1）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____（答： 11 (3,)(,2)22 --- ）；（2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，2 2y x +的最小值是 ___2）（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1 （0,0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ， B 异号）。如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2= e 的双曲线C 过点 )10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时2 2(0)x py p =->。如定长为3的线段AB 的两个端点在y=x 2上移动，AB 中点为M ，求点M 到x 轴的最短距离。 4 5

圆锥曲线优秀教案

与圆锥曲线有关的几种典型题一、教案目标 (一)知识教案点使学生掌握与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线相交问题等． (二)能力训练点通过对圆锥曲线有关的几种典型题的教案，培养学生综合运用圆锥曲线知识的能力． (三)学科渗透点通过与圆锥曲线有关的几种典型题的教案，使学生掌握一些相关学科中的类似问题的处理方法．二、教材分析 1．重点：圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题． (解决办法：先介绍基础知识，再讲解应用．) 2．难点：双圆锥曲线的相交问题． (解决办法：要提醒学生注意，除了要用一元二次方程的判别式，还要结合图形分析．) 3．疑点：与圆锥曲线有关的证明问题． (解决办法：因为这类问题涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法，所以比较灵活，只能通过一些例题予以示范．) 三、活动设计演板、讲解、练习、分析、提问．四、教案过程 (一)引入

与圆锥曲线有关的几种典型题，如圆锥曲线的弦长求法、与圆锥曲线有关的最值(极值)问题、与圆锥曲线有关的证明问题以及圆锥曲线与圆锥曲线有关的证明问题等，在圆锥曲线的综合应用中经常见到，为了让大家对这方面的知识有一个比较系统的了解，今天来讲一下“与圆锥曲线有关的几种典型题”． (二)与圆锥曲线有关的几种典型题 1．圆锥曲线的弦长求法设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为： (2)若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|． A、B两点，旦|AB|=8，求倾斜角α．分析一：由弦长公式易解．由学生演板完成．解答为： ∵抛物线方程为x2=-4y，∴焦点为(0，-1)．设直线l的方程为y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1．将此式代入x2=-4y中得：x2+4kx-4=0． ∴x1+x2=-4，x1+x2=-4k． ∴ k=±1．

圆锥曲线的定点、定值和最值问题

圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题会处理动曲线（含直线）过定点的问题；会证明与曲线上动点有关的定值问题；会按条件建 . 一、主要知识及主要方法： 1. 形式出现，特殊方法往往比较奏效。 2.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决。 3.解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值. 二、精选例题分析【举例1】（05广东改编）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满足AO BO ⊥．（Ⅰ）求AOB △得重心G 的轨迹方程；（Ⅱ）AOB △的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【举例2】已知椭圆2 2142x y +=上的两个动点,P Q 及定点1,2M ? ?? ，F 为椭圆的左焦点，且PF ，MF ，QF 成等差数列.()1求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ； ()2设点A 关于原点O 的对称点是B ，求PB 的最小值及相应的P 点坐标. 【举例3】（06全国Ⅱ改编）已知抛物线2 4x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且 AF FB λ=u u u r u u u r （0λ>）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线（切线斜率分别为0.5x A ，0.5x B ），设其交点为 M 。（Ⅰ）证明FM AB ?u u u u r u u u r 为定值；

第二章圆锥曲线与方程教案

第二章圆锥曲线与方程一、课程目标在必修阶段学习平面解析几何初步的基础上,在本模块中,学生将学习圆锥曲线与方程,了解圆锥曲线与二次方程的关系,掌握圆锥曲线的基本几何性质,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。结合已学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系,进一步体会数形结合的思想。二、学习目标：（1）、圆锥曲线： ①了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。 ②经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。 ③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。 ④能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题。 ⑤通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想。三、本章知识结构框图：四、课时分配本章教学时间约需9课时，具体分配如下： 2.1 曲线与方程约1课时 2.2 椭圆约2课时 2.3 双曲线约2课时 2.4 抛物线约2课时直线与圆锥曲线的位置关系约1课时小结约1课时 2.1 求曲线的轨迹方程（新授课）一、教学目标知识与技能：结合已经学过的曲线及方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，了解两条曲线交点的求法；能根据曲线的已知条件求出曲线的方程，并初步学会通过方程来研究曲线的性质。过程与方法：通过求曲线方程的学习，可培养我们的转化能力和全面分析问题的能力，帮助我们理解研究圆锥曲线的基本方法。情感、态度与价值观：通过曲线与方程概念的学习，可培养我们数与形相互联系，对立统一的辩证唯物主义

观。二、教学重点与难点重点：求动点的轨迹方程的常用技巧与方法．难点：作相关点法求动点的轨迹方法．三、教学过程 (一)复习引入平面解析几何研究的主要问题是： 1、根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； 2、通过方程，研究平面曲线的性质．我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究，今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析． (二)几种常见求轨迹方程的方法 1．直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式，再用坐标代替这等式，化简得曲线的方程，这种方法叫直接法．例1、(1)求和定圆x2+y2=R2的圆周的距离等于R的动点P的轨迹方程； (2)过点A(a，o)作圆O∶x2+y2=R2(a＞R＞o)的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹．对(1)分析：动点P的轨迹是不知道的，不能考查其几何特征，但是给出了动点P的运动规律：|OP|=2R或|OP|=0．解：设动点P(x，y)，则有|OP|=2R或|OP|=0．即x2+y2=4R2或x2+y2=0．故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0．对(2)分析：题设中没有具体给出动点所满足的几何条件，但可以通过分析图形的几何性质而得出，即圆心与弦的中点连线垂直于弦，它们的斜率互为负倒数．解答为：设弦的中点为M(x，y)，连结OM，则OM⊥AM． ∵k OM·k AM=-1，其轨迹是以OA为直径的圆在圆O内的一段弧(不含端点)． 2．定义法利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．直平分线l交半径OQ于点P(见图2－45)，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程．

与圆锥曲线有关取值范围与最值问题

与圆锥曲线有关取值围与最值问题一、利用圆锥曲线定义求最值 . )1,3(,14 5,.122 221的最小值求在双曲线上，为双曲线内一点，点右焦点，的左是双曲线已知AF AP A P y x F F +=- . 19 25)2,2(),0,4(.22 2的最大值和最小值求是椭圆上的动点，内的两个点，是椭圆已知MB MA M y x B A +=+ . )2,3()2(.)2,0()1(. 2.32的最小值，求点和的最小值到抛物线准线的距离之的距离与到点求点为焦点上的一个动点，是抛物线已知PF PA A P P F x y P += .5 3)2,9(1169.42 2值的值最小，并求此最小使，点，在这个双曲线上求一，点的右焦点为已知双曲线MF MA M A F y x +=-

二、单变量最值问题——化为函数最值 .)2(;123),()1(.,,,123)07.(520 200021212 2的面积的最小值求四边形，证明点的坐标为设，垂足为两点，且的直线交椭圆于过两点，的直线交椭圆于，过的左、右焦点分别为已知椭圆全国ABCD y x y x P P BD AC C A F D B F F F y x <+⊥=+ . 012,,,.62 2 值的面积的最小值与最大，求四边形共线，且与共线，与知轴正半轴上的焦点，已为椭圆在上，四点都在椭圆PMQN MF PF FN MF FQ PF y F y x N M Q P =?=+ .24 3,2tan 12 11. 1)0(1.722 22方程的最小值，并写出椭圆时，求，当）设（的取值范围；，求的夹角为与，向量）若（，且的面积为记△为椭圆上的点，的焦点，为椭圆如图，OQ c c S c OF FQ OF S FQ OF S OFQ Q b a b y a x F ≥==<<=?>>=+θθ

圆锥曲线中的最值、范围问题

圆锥曲线中的最值、范围问题圆锥曲线中最值问题的两种类型和两种解法 (1)两种类型 ① 涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题； ② 求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题. (2)两种解法 ① 几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决； ② 代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解. ［典例］(2018武昌调研)已知椭圆的中心在坐标原点， A(2,0), B(0,1)是它的两个顶点, 直线y = kx(k>0)与直线AB 相交于点D ，与椭圆相交于 E , F 两点. (1) 若 ED — = 6I D F ，求 k 的值； (2) 求四边形AEBF 的面积的最大值. ［思路演示］ 2 解：(1)由题设条件可得，椭圆的方程为 X + y 2= 1,直线AB 的方程为x + 2y — 2= 0. 4 设 D(x o , kx o ), E(X 1, kx 1), F(X 2, kx ?),其中 X 1 由 ED — = 6DF ，得 x 0— x 1= 6(x 2— x 0), 解得k = 2或k = 3. 2 由点D 在直线AB 上，得X o + 2kx 0- 2 = x o =百. 2 1 + 2k 10 7 .1 + 4k 2' 化简，得 24k 2— 25k + 6= 0, y = kx , 由 V y 2= 1 得(1 + 4k 2)x 2= 4, X o = ^(6X 2+ X 1) = 5x 2 = _10_ 7 ；1 +

专题圆锥曲线中的最值与范围问题

高三数学专题复习圆锥曲线中的最值问题和范围的求解策略最值问题是圆锥曲线中的典型问题，它是教学的重点也是历年高考的热点。解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。以下从五个方面予以阐述。一．求距离的最值或范围：例1.设AB 为抛物线y=x 2 的一条弦，若AB=4，则AB 的中点M 到直线y+1=0的最短距离为，解析：抛物线y=x 2 的焦点为F （0 ， 41），准线为y=41-，过A 、B 、M 准线y=4 1-的垂线，垂足分别是A 1、B 1、M 1，则所求的距离d=MM 1+43=21(AA 1+BB 1) +43=21(AF+BF) +4 3 ≥ 21AB+43=21×4+43=411,当且仅当弦AB 过焦点F 时，d 取最小值4 11，评注：灵活运用抛物线的定义和性质，结合平面几何的相关知识，使解题简洁明快，得心应手。练习： 1、(2008海南、宁夏理)已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ）A. （ 4 1 ，－1） B. （ 4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 2、（2008安徽文）设椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>其相应于焦点(2,0)F 的准线方程为4x =. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知过点1(2,0)F -倾斜角为θ的直线交椭圆C 于,A B 两点，求证：242 2AB COS θ =-; （Ⅲ）过点1(2,0)F -作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于,A B 和,D E ,求AB DE + 的最小值解：（1）由题意得： 2 22 2222 8 44c a a c b a b c =???=??=??=????=+?∴ ∴椭圆C 的方程为22 184 x y += (2)方法一：由（1）知1(2,0)F -是椭圆C 的左焦点，离心率2 2 e = 设l 为椭圆的左准线。则:4l x =- 作1111,AA l A BB l B ⊥⊥于于，l 与x 轴交于点H(如图) ∵点A 在椭圆上 112 2AF AA =∴ 112 (cos )2 FH AF θ=+ 12 2cos 2AF θ=+ 12cos AF θ =-∴ 同理 12cos BF θ =+

直线与圆锥曲线的位置关系一教学设计

北京市北纬路中学徐学军《直线与圆锥曲线的位置关系（一）》教学设计一、教材分析及学生情况分析本节课是平面解析几何的核心内容之一。在此之前，学生已学习了直线的基本知识，圆锥曲线的定义、标准方程和简单的几何性质，直线与圆的位置关系及判定，这为本节课的学习起着铺垫作用。本节内容是《直线与圆锥曲线的位置关系》的第一节课，着重是教会学生如何判断直线与椭圆的位置关系，体会运用方程思想、数形结合、分类讨论、类比归纳等数学思想方法，优化学生的解题思维，提高学生解题能力。这为后面解决直线与圆锥曲线的综合问题打下良好的基础。所以是承上启下的一节课。这节课还是培养学生数学能力的良好题材，所以说是解析几何的核心内容之一。数学思想方法分析：作为一名数学老师，不仅要传授给学生数学知识，更重要的是传授给学生数学思想、数学意识。因此本节课在教学中力图让学生动手操作，自主探究、发现共性、类比归纳、总结解题规律。学生情况分析：对于直线和圆，学生已经非常熟悉，并且知道直线与圆有三种位置关系：相离，相切和相交，会从代数、几何两个方面进行判断。本节课，学生将类比挖掘直线与椭圆圆的位置关系，学会从不同角度分析思考问题，为后续学习打下基础。本班为理科班，学生整体思维能力较强，勤于动脑，喜欢想问题，但不愿动手实践，特别是进行相关计算，另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识及反思总结等方面有待加强。二、教学目标根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知心理特征和实际，制定如下教学目标：知识与技能：①理解直线与椭圆的位置关系； ②会进行位置关系的判断，计算弦长。过程与方法：根据本节课的内容和学生的实际水平，通过回忆画图让学生理解直线与椭圆的位置关系；观察类比直线与圆的位置关系的判定，归纳总结出直线与椭圆的位置关系的判定，掌握代数方法，学会解决相关的问题。情感、态度、价值观：使得学生在学习知识的同时，培养学生自主探究和数形结合解决问题的能力。三、教学重点、难点、关键本着课程标准，在吃透教材基础上，我觉得这节课是解决直线与圆锥曲线综合问题的基础。对解决综合问题，我觉得只有先定性分析画出图形并观察图形，以形助数，才能定量分析解决综合问题。如：解决圆锥

圆锥曲线中的最值和范围问题方法

专题14 圆锥曲线中的最值和范围问题 ★★★高考在考什么【考题回放】 1．已知双曲线122 22=-b y a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(C ) A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,)+∞ D.(2,+∞) 2． P 是双曲线 22 1916 x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN |的最大值为（ B ） A. 6 B.7 C.8 D.9 3．抛物线y=-x 2上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是( A ) A ． 43 B ．75 C ．8 5 D ．3 4．已知双曲线22 221,(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|=4|PF 2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（B ） (A) 4 3 (B) 5 3 (C)2 (D) 73 5．已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 32 . 6．设椭圆方程为142 2 =+y x ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足OP uuu r (21=OA +u u u r )OB u u u r ，点N 的坐标为)21 ,21(，当l 绕点M 旋转时，求（1）动点P 的轨迹方程；（2）||NP uuu r 的最小值与最大值. 【专家解答】（1）法1：直线l 过点M （0，1）设其斜率为k ，则l 的方程为y=kx+1. 记A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由题设可得点A 、B 的坐标 (x 1,y 1)、 (x 2,y 2)是方程组 ?? ? ??=++=141 2 2y x kx y 的解. 将①代入②并化简得(4+k 2)x 2+2kx -3=0，所以??? ???? +=++-=+.48,42221221k y y k k x x 于是).44 ,4()2,2()(212 22121 k k k y y x x ++-=++=+= ① ②

圆锥曲线中的最值问题

圆锥曲线中的最值问题主讲：秦岭老师 9816秦岭数学18届群：307181356 9816秦岭数学19届群：151219471 9816秦岭数学20届群：481591151 一、知识回顾 1．圆锥曲线的定义（1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．即：|MF1|＋|MF2|＝2a>2c＝|F1F2|；（2）平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．即：||MF1|－|MF2||＝2a<2c=|F1F2|；（3）平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．即：|MF|=d . 2. 直线与圆锥曲线的位置关系将直线与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0 (或ay2＋by＋c＝0)． (1)当a≠0，考虑一元二次方程的判别式Δ，有 ①Δ>0?直线与圆锥曲线相交； ②Δ＝0?直线与圆锥曲线相切； ③Δ<0?直线与圆锥曲线相离． (2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点， ①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行； ②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 3．圆锥曲线的弦长设斜率为k (k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

圆锥曲线中最值问题

圆锥曲线中的最值问题一、圆锥曲线定义、性质 1.(文)已知F 是椭圆 x225＋y2 9 ＝1的一个焦点，AB 为过其中心的一条弦，则△ABF 的面积最大值为( ) A ．6 B ．15 C ．20 D ．12 [答案] D [解析] S ＝12|OF |·|y 1－y 2|≤1 2 |OF |·2b ＝12. 2、若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2 解析：设椭圆 x2a2＋y2 b2 ＝1(a >b >0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，∴S ＝1 2×2c ×b ＝bc ＝1≤b2＋c22＝a22 .∴a 2≥2.∴a ≥ 2.∴长轴长2a ≥22，故选D. 3、(文)(2011·山东省临沂市质检)设P 是椭圆 x2 25 ＋ y29 ＝1上一点，M 、N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( ) A ．9,12 B ．8,11 C ．8,12 D ．10,12 解析：由已知条件可知两圆的圆心恰是椭圆的左、右焦点，且|PF 1|＋|PF 2|＝10， ∴(|PM |＋|PN |)min ＝10－2＝8，(|PM |＋|PN |)max ＝10＋2＝12，故选C. 点评：∵圆外一点P 到圆上所有点中距离的最大值为|PC |＋r ，最小值为|PC |－r ，其中C 为圆心，r 为半径，故只要连接椭圆上的点P 与两圆心M 、N ，直线PM 、PN 与两圆各交于两点处取得最值，最大值为|PM |＋|PN |＋两圆半径和，最小值为|PM |＋|PN |－两圆半径和． 4、(2010·福州市质检)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是( ) A ．5 B ．8 C.17－1 D.5＋2 [答案] C [解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点为F(1,0)，圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心为C(0,4)，设点P 到抛物线的准线距离为d ，根据抛物线的定义有d ＝|PF|，∴|PQ|＋d ＝|PQ|＋|PF|≥(|PC|－1)＋|PF|≥|CF|－1＝17－1. 5 、已知点F 是双曲线 x2 4 － y212 ＝1的左焦点，定点A 的坐标为(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．解析如图所示，根据双曲线定义|PF |－|PF ′|＝4，即|PF |－4＝|PF ′|.又|P A |＋|PF ′|≥|AF ′|＝5，将|PF |－4＝|PF ′|代入，得|P A |＋|PF |－4≥5，即|P A |＋|PF |≥9，等号当且仅当A ，P ，F ′三点共线，即P 为图中的点P 0时成立，故|PF |＋|P A |的最小值为9.故填9.答案 9 6、已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（）

人教版高中数学《圆锥曲线和方程》全部教案

椭圆及其标准方程一、教学目标 (一)知识教学点使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程． (二)能力训练点通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力． (三)学科渗透点通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力．二、教材分析 1．重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程． (解决办法：用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆的标准方程单独列出加以比较．) 2．难点：椭圆的标准方程的推导． (解决办法：推导分4步完成，每步重点讲解，关键步骤加以补充说明．) 3．疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因． (解决办法：分三种情况说明动点的轨迹．) 三、活动设计提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答．四、教学过程 (一)椭圆概念的引入前面，大家学习了曲线的方程等概念，哪一位同学回答：问题1：什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？

对上述问题学生的回答基本正确，否则，教师给予纠正．这样便于学生温故而知新，在已有知识基础上去探求新知识．提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形．问题3：圆的几何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？一般学生能回答：“平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”．对同学提出的轨迹命题如： “到两定点距离之和等于常数的点的轨迹．” “到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹．” “到两定点距离之差等于常数的点的轨迹．” 教师要加以肯定，以鼓励同学们的探索精神．比如说，若同学们提出了“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”，那么动点轨迹是什么呢？这时教师示范引导学生绘图：取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点(如图2-13)，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆．教师进一步追问：“椭圆，在哪些地方见过？”有的同学说：“立体几何中圆的直观图．”有的同学说：“人造卫星运行轨道”等…… 在此基础上，引导学生概括椭圆的定义：平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．

高中数学干货资料-圆锥曲线中的最值和范围问题

圆锥曲线中的最值和范围问题高考在考什么【考题回放】 1．已知双曲线122 22=-b y a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( ) A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,)+∞ D.(2,+∞) 2． P 是双曲线 22 1916 x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN |的最大值为（） A. 6 B.7 C.8 D.9 3．抛物线y=-x 2上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是( ) A ． 43 B ．75 C ．8 5 D ．3 4．已知双曲线22 221,(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|=4|PF 2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（） (A) 4 3 (B) 5 3 (C)2 (D) 73 5．已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 . 6．设椭圆方程为14 2 2 =+y x ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足OP (21=OA +)OB ，点N 的坐标为)2 1 ,21(，当l 绕点M 旋转时，求（1）动点P 的轨迹方程；（2）||NP 的最小值与最大值.

高考要考什么【考点透视】与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。【热点透析】与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于： ① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标； ② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题；（6）构造一个二次方程，利用判别式?≥0。突破重难点【范例1】已知动点P 与双曲线13 22 2=-y x 的两个焦点F 1、F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为9 1 -．（１）求动点P 的轨迹方程；（２）若已知D (0,3)，M 、N 在动点P 的轨迹上且DN DM λ=，求实数λ的取值范围．【范例2】给定点A (-2,2)，已知B 是椭圆2212516x y +=上的动点，F 是右焦点，当53 AB BF +

圆锥曲线中的最值问题

圆锥曲线中的最值问题一重点：求圆锥曲线中的各种最值问题。二难点：题目中各种基本思想方法的灵活应用。三基本方法：本节所用到换元、数形结合、目标函数等数学思想和方法。四例题１．几何法（Ⅰ）有关点的最值问题【练习１】椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上的点到原点距离的最大值是；最小值是；相应点的坐标是．【练习２】双曲线22 221x y a b -=上的点到原点距离的最小值是；相应点的坐标是．【练习３】椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上的点到焦点距离的最大值是；最小值是；相应点的坐标是．【练习４】双曲线22 221x y a b -=上的点到焦点距离的最小值是；相应点的坐标是．【练习５】抛物线22(0)y px p =>上的点到焦点距离的最小值是；相应点的坐标是．【例１】点P 为抛物线上24x y =上一动点，定点(8,7)A ，则点P 到x 轴与到A 点的距离之和的最小值为，并求此时点P 的坐标。【解析】1019PB PA PC BC PA PF PA BC FA BC +=-+=+-≥-=-=，当且仅当点P 是抛物线与FA 的交点时，9PB PA +=最小。此时，由243440x y x y ?=?-+=?解得(4,4) P 或1 (1,)4 P -（舍去．但，是PF PA -的最大值点．P 在线段外，有向线段方向问题。 PF PA -的最小值点即线段AF 的垂直平分线与抛物线的交点）。【评析】（１）如何判断点A 的位置。参照区域判断方法。（２）折线和化为直线段。（３）此题无最大值。（４）若点A 在抛物线内部，如何？（过A 作x 轴的垂线，垂线段长即为所求，垂线与抛物线的交点即为P 点。此情况也无最大值。）PF PA -的最大、最小值点？