等比数列的概念及性质
精锐教育学科教师辅导讲义
讲义编号11sh11sx00
学员编号: 年 级： 课 时 数：3
学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：
课 题
等比数列的概念及性质 授课日期及时段
教学目标
1、理解并掌握等比数列的概念，等比中项的概念；
2、掌握等比数列通项公式的求法；
3、掌握等比数列前n 项和公式；
4、掌握等比数列的几种等价形式；
5、理解并掌握等比数列的重要性质。
教学内容
☆、知识点梳理
一、等比数列
（1）等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这样的数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用小写字母q 表示.
【注意】
公比0q ，也即等比数列中任意一项都不为0。
（2）等比中项
与等差中项的概念类似，如果b G a ,,成等比数列，那么G 叫做b a 与的等比中项.
等比中项的性质：
① 如果三个数成等比数列，那么等比中项的平方等于另两项的乘积.
② 在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它前一项与后一项的等比中项. ③ 以G 为等比中项的三个数可表示为：,,G G Gq q
，体现了和谐性与对称性。
例1、在数列{}n a 中，如果数列{}n a 为等比数列，12100,50a a =-=-，求公比q 及3a ，并用计算器计算5a 、8a .
例2、在2与9之间插入两个数，使前三个数依次成等差数列，后三个成等比数列，试求出这个数列.
例3、有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和为37，第二个数与第三个数的和为36，求这四个数.
【小结】
合理利用等差中项与等比中项的性质，可使本题求四个量转化为求两个量.
二、等比数列的通项公式
11-?=n n q a a ，N n ∈* （可用累乘法推导）
例4、一个等比数列第三项与第四项分别是12与18，求它的第1项和第2项。
例5、己知｛n a ｝、｛n b ｝是项数相同的等比数列，且公比分别为12,q q
求证：｛n a .n b ｝也是等比数列，并求它的公比q
三、等比数列的性质：
由通项公11-=n n q a a 可以推导出许多性质：
① 1>q 时{}n a 递增;10< ② ),(*-∈=N n m q a a m n m n ； ③ 若p q r s +=+.则s r q p a a a a ?=?， 特别地：k n k n n a a a +-?=2 ； 若{}n a 是有穷数列,则与首末两项等距离的两项的积相等,且等于首末两项的积； ④ 项数成等差数列的项组成等比数列； ⑤ {}n ka 也是等比数列,公比均为kq ； ⑥ {n a }、{n b }是项数相同的等比数列，且公比分别为12,q q ，则{n a .n b }也是等比数列，并且它的公比q =12q q ?. 【思考】 {n a }、{n b }是项数相同的等比数列，且公比分别为12,q q （1）{}n n pb ka ?(,k p 为常数且都不为0）也是等比数列吗？如果是，公比为__________；如果不是，请说明理由. （2）{}n n ka pb ÷(,k p 为常数且都不为0）也是等比数列吗？如果是，公比为__________；如果不是，请说明理由. 例6、已知等比数列{n a } （1）若696,9a a ==，求3a 的值. （2）若,252,0645342=++>a a a a a a a n 求53a a +的值. （3）若0n a >，1100100a a =，求123100lg lg lg lg a a a a ++++ 的值. 例7、各项为正数的等比数列{}n a 的公比,1≠q 且653,,a a a 成等差数列,则6 453a a a a ++的值是( ) A 、 215- B 、215+ C 、2 13- D 、52+ 例8、等比数列{}n a 中,),0(109≠=+a a a a b a a =+2019则=+10099a a ( ) A 、89a b B 、9??? ??a b C 、910a b D 、10?? ? ??a b 例9、一个直角三角形的三内角的正弦值成等比数列,求其中最小的角的正弦值. 例10、如果数列{a n }满足321121, ,,...,,...n n a a a a a a a -是首项为1，公比为2的等比数列，则100a 等于 （ ） A 、1002 B 、992 C 、50502 D 、49502 四、等比数列的前n 项和公式 若等比数列{n a }的公比为q ，它的前n 项和为n S ，则 （1）当1q =时，n S =_____________ （2）当1q ≠时，n S =_____________ =_______________ （可用错位相减法推导） 【注意】 （1）n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个； （2）注意求和公式中是n q ，通项公式中是1-n q 不要混淆； （3）应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况. 例11、求等比数列111,,,248 的前8项的和. 例12、在等比数列{n a }中， （1）13,2,6a q n ===，n S =____________ （2）112.4, 1.5,2 n a q a ==-=, n S =____________ （3）等比数列1，2，4，8，……从第5项到第10项的和为_____________ 五、等比数列每n 的和仍然是一个等比数列，即数列1212221223,,,n n n n n n n a a a a a a a a a +++++++++++++ 为等比数列 假设等比数列{n a }的公比为q ,则等比数列每n 项的和组成的新数列的公比' q =_________ 如果设等比数列{n a }的前n 项和为n S ，则新数列可表示为232,,,n n n n n S S S S S -- 所以有：2232()()n n n n n S S S S S -=?- 例13、已知等比数列｛n a ｝的前n 项和为n S ，若10S =10，30S =70，求40S 。 例14、某商场第一年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年增加10%，那么从第一年起，约几年可使总销售量达到30000台？（保留到个位） 例15、求和23231111()()()()n n n S x x x x y y y y =+ +++++++ （0,1,1x x y ≠≠≠）. 小练习： 求和23231111()()()()n n n S x x x x y y y y =+ +++++++ （0x ≠）。 【小结】 对含字母的题目一般要分别考虑q=1和q ≠1两种情况： 例16、在等比数列｛a n ｝中，a 1＋a n =66，a 2·a n －1=128，且前n 项和n S =126，求n 及公比q 例17、在等比数列｛a n ｝中，已知对n ∈N*，a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，求a 12＋a 22＋…＋a n 2 六、等比数列的几种等价形式 {n a }为等比数列? q a a n n =+10≠（常数）?n n q p a ?=（p,q 为常数）?m mq S n n -=（m,q 为常数m 、q 都不为0） ☆课后练习： 1、若两数的等差中项是6,等比中项是5,则以这两数为两根的一元二次方程为 ( ) A 、02562=+-x x B 、025122 =++x x C 、02562=-+x x D 、025122=+-x x 2、等比数列{}n a 的前10项的和为32,前20项的和为56,那么前30项的和为 ( ) A 、72 B 、73 C 、74 D 、88 3、在各项为正数的等比数列{}n a 中,965=a a ,则=+++1032313log log log a a a ( ) A 、8 B 、10 C 、12 D 、5log 23+ 4、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,9632S S S =+,则公比=q 5、已知1,,,921--a a 成等差数列, 1,,,9321--b b b 成等比数列,则=-)(122a a b 6、设数列{}n x 满足n n x x 212log 1log +=+,且,101021=+++x x x 则201211x x x +++ = 7、设{n a }是公比为q 的等比数列，n S 是它的前n 项和。若{n S }是等差数列，则q = ________ 8、已知{}n a 是等比数列，25124 a a == ，，求12231n n a a a a a a ++++ 的值. 9、数列{a n }是等比数列，其中S n =48，S 2n =60，求S 3n 10、某城市1990年底人口为50万，人均住房面积为16 m 2，如果该市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住 房面积为30万 m 2，求2000年底该市人均住房的面积数．(已知1.015≈1.05，精确到0.01 m 2) 11、已知数列满足a 1=1，121n n a a +=+(* n N ∈) （1）求证数列{1n a +}是等比数列； （2）求{n a }的通项公式。 12、设{}n a 是由正数组成的等比数列，公比2q =，且30123302a a a a ???=，求36930a a a a ???的值 13、有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数. 一、等差数列 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： * 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --=； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2 b a A += 或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = +（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2 n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8..等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 注：12132n n n a a a a a a --+=+=+=???， 等比数列的概念与性质练习题 1.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 2. 如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ） A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),n n a n a a a =--+++=L 则 （A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 4.在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 5.．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 6.若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 7.公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则162log a =（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 8.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=?a a a a ，则 =10 20 a a （ ） A. 32 B.23 C. 32或23 D. －32或－23 9.等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为（ ） A ．16 B ．24 C ．48 D ．128 10.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中1a =2，5a =8，则3a 的值为（ ） A. －4 B.4 C. ±4 D. 5 11.等比数列 {}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，则3132310log log log a a a +++L ＝ A ．12 B ．10 C ．8 D ．2＋3log 5 12. 设函数()()() * 2 ,311N n x n x x f ∈≤≤-+-=的最小值为n a ，最大值为n b ，则2n n n n c b a b =-是( ) A.公差不为零的等差数列 B.公比不为1的等比数列 C.常数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 13. 三个数c b a ,,成等比数列，且0,>=++m m c b a ，则b 的取值范围是（ ） A. ??????3, 0m B. ??????--3,m m C . ??? ??3,0m D. [)?? ? ???-3,00,m m 14.已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，且931,,a a a 成等比数列，则 10 429 31a a a a a a ++++的值为 ． 15.已知1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则 =+2 2 1b a a ______． 《等比数列》（第1课时）教学设计 授课地点：武威八中 授课时间：20XX年4月22日 授课人：武威六中杨志隆 一、教学目标 知识与技能 1.理解等比数列的概念； 2.掌握等比数列的通项公式； 3.会应用定义及通项公式解决一些实际问题。 过程与方法 培养运用归纳类比的方法去发现并解决问题的能力。通过实例，归纳并理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式，培养学生严密的思维习惯。情感态度与价值观 充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。 二、教学重点、难点 教学重点： 等比数列的概念及通项公式； 教学难点： 通项公式的推导及初步应用。 三、教学方法 发现式教学法，类比分析法 四、教学过程 （一）旧知回顾，情境导入 1. 回顾等差数列的相关性质 设计意图：通过复习等差数列的相关知识，类比学习本节课的内容，用熟知的等差数列内容来分散本节课的难点，为等比数列的学习做铺垫。 2.情境展示 情境1：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。” 情境2：一张纸的折叠问题 把以上实例表示为数学问题，并引导学生通过观察、联想，得到两个数列： ① ??????16 1,81,41,21,1 ② 1,2,4,8,16,32,64?????? 设计意图：让学生通过观察，得到两个数列的共同特点：从第二项起，每一项与它前面一项的比都等于同一个常数．由此引入等比数列。 （二）概念探究 1．引导学生通过联想并类比等差数列给出该数列的名称：等比数列 2．归纳总结，形成等比数列的概念． 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比（引导学生经过类比等差数列的定义得出）。同时给出等比中项的定义，并和等差中项做比较，加深学生对概念的理解。 3．对等比数列概念的深化理解 给出几个数列让学生判断是否是等比数列，以加深对概念的理解。 问题1：等比数列的项可以为零吗？ 问题2：等比数列的公比可以为零吗？ 问题3：若0>q ，等比数列的项有什么特点？0 等比数列的概念与性质 一、知识归纳 1. ________________________________________________________________ 等比数列的概念：一般的，____________________________________________________________ ，那么这个数列 叫做等比数列，这个常数叫做，公比通常用字母q表示。即 a n J 2. 若a,G,b成等比数列，则G叫做a与b的___________ 。此时G=_____________ . 3. 等比数列的通项公式为： __________________________ 。 4. 首项为正数的等比数列的公比q =1时，数列为 ___________ 数列；当q ：：： 0时，数列为 数列；当0 ：：：q ::: 1时，数列为___ 数列；当q时，数列为_______________ 数列。5. 等比数列性质： 在等比数列｛a.｝中，若m ? n二P q ,则a m a^a p a q 6. 等比数列的前n项和 当q =1 时，S n 二_____________ ； 当q =1 时，S n 二_______________ . 7用函数的观点看等比数列： （1）等比数列的通项公式是 ____________ 二、经典题目 1、判断正误： ① 1，2，4，8，16是等比数列； 1 1 1 ②数列1, — ,,，…是公比为2的等比数列; 2 4 8 a b . ③若，则a,b,c成等比数列； ④若= n n ? N ，则数列On 成等比数列; a n ⑤0,2,4,8,16 是等比数列； 2.判断下列数列玄［是否为等比数列： （1）a n =（-1 厂（W N* ； （3）a n= n 2n,n N* （） （） （） （）（）. ⑵ a n+2 n：N* ； （4）a n 二-1,n N* 思考：如何证明（判断）一个数列是等比数列？ 等比数列的概念 亳州三中 范图江 一、教学目标 1、 体会等比数列特性，理解等比数列的概念。 2、 能根据定义判断一个数列是等比数列，明确一个数列是等比数列的限定条件。 3、 能够运用类比的思想方法得到等比数列的定义,会推导出等比数列的通项公式。 二、教学重点、难点 重点：等比数列定义的归纳及应用，通项公式的推导。 难点：正确理解等比数列的定义，根据定义判断或证明某些数列为等比数列，通项公式的推导。 三、教学过程 1、 导入 复习等差数列的相关内容: 定义：*1,()n n a a d n N +-=∈ 通项公式：()*1(1),n a a n d n N =+-∈ 等差数列只是数列的其中一种形式，现在来看这两组数列1、2、4、8……， 1、1 2、14、18 …… 问：这两组数列中，各组数列的各项之间有什么关系 2、 探究发现，建构概念 问：与等差数列的概念相类比，可以给出这种数列的概念吗是什么 <1>定义：如果一个数列从地2项起，每一项与前一项的比值都等于同一个常数，则称此数列为的不过比数列。这个常数就叫做公比，用q 表示。 <2>数学表达式：*1,()n n a q n N a +=∈ 问：从等比数列的定义及其数学表达式中，可以看出什么也就是，这个公式在什么条件下成立 结论1 等比数列各项均不为零，公比0q ≠。 带领学生看45P 页的实例，目的是让学生知道等比数列在现实生活中的应用，从而知道其重要性。 3、 运用概念 例1 判断下列数列是否为等比数列： （1）1、1、1、1、1； （2）0、1、2、4、8； （3）1、11 1124816 -、、-、. 分析 （1）数列的首项为1，公比为1，所以是等比数列； （2）等比数列中的各项均不为零，所以不是等比数列； （3）数列的首项为1，公比为12- ，所以是等比数列. 注 成等比数列的条件：11;20;30n n n a q a q a +=≠≠. 练习47P 1、判断下列数列是否为等比数列： （1）1、2、1、2、1； （2）-2、-2、-2、-2； （3）11111392781--、、、、； （4）2、1、12、14、0. 分析 （1）3122122 a a a a ==，，比值不等于同一个常数，所以不是等比数列； （2）首项是-2，公比是1，所以是等比数列； （3）首项是1，公比是13 -，所以是等比数列； （4）数列中的最后一项是零，所以不是等比数列. 例2 求出下列等比数列中的未知项： （1）2，a ，8； （2）- 4，b ，c ，12 . 分析 在做这种题的时候，可以根据等比数列的定义，列出一个或多个等式来求解。 （1）8442a a a ==-，解得或； （2）22442,,1122b c b b c b c b c c c b ?=?-?=-=??????=-=????=??化简得解得. 例3等比数列{}n a 中， ①a 3=4，a 5=16，求a n ②a 1=2，第二项与第三项的和为12，求第四项。 随堂练习 P23练习题。 思考 由前面的练习5，等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ， 212321234321, , , a a q a a q a q a a q a q a q ====== …… 以此类推，可以得到n a 用1a 和q 表示的数学表达式吗 等比数列的概念与性质练习题 1.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 2. 如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ） A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),n n a n a a a =--+++=则 （A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-15 4.在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 5.．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 6.若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－4 7.公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则162log a =（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 8.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=?a a a a ，则 =10 20 a a （ ） A. 32 B.23 C. 32或23 D. －32或－23 9.等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为（ ） A ．16 B ．24 C ．48 D ．128 10.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中1a =2，5a =8，则3a 的值为（ ） A. －4 B.4 C. ±4 D. 5 11.等比数列 {}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，则3132310log log log a a a ++ +＝ A ．12 B ．10 C ．8 D ．2＋3log 5 12. 设函数()()() * 2 ,311N n x n x x f ∈≤≤-+-=的最小值为n a ，最大值为n b ，则2n n n n c b a b =-是( ) A.公差不为零的等差数列 B.公比不为1的等比数列 C.常数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 13. 三个数c b a ,,成等比数列，且0,>=++m m c b a ，则b 的取值范围是（ ） A. ??????3, 0m B. ??????--3,m m C . ??? ??3,0m D. [)?? ? ???-3,00,m m 14.已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，且931,,a a a 成等比数列，则 10 429 31a a a a a a ++++的值为 ． 15.已知1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则 =+2 2 1b a a ______． 等差数列与等比数列总结 一、等差数列： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用小写字母d 表示； 等差中项，如果2 b a A += ，那么A 叫做a 与b 的等差中项；如果三个数成等差数列，那么等差中项等于另两项的算术平均数； 等差数列}{a n 的通项公式：）N n （d ）1-n （a a 1n *∈+=； 等差数列}{a n 的递推公式：）2n （d a a 1n n ≥+=-； 等差数列}{a n 的前n 项和公式：n S =2n ）a a （n 1?+=d 2）1-n （n na 1?+ = 中12na n ）2d -a （n ）2d （=?+?； 【等差数列的性质】 1、d ）1-n （a a m n += 【说明】n 11m a d ）1-n （a d ）m -n （d ）1-m （a d ）m -n （a =+=++=+ 2、若m 、n 、p 、q *∈N ，且m+n=p+q ，则有q p n m a a a a +=+ 【说明】q p 11n m a a ）2-q p （a 2d ）2-n m （a 2a a +=++=++=+ 3、md 成等差数列，公差为、 a 、a 、a m 2k m k k ??++ 【说明】md a -a a -a m k m 2k k m k =??==+++ 4、k ）1-n （nk k 2k 3k k 2k S -S S -S ，S -S ，S ??成等差数列，公差为d n 2 【说明】d n ）a a a （-）a a a （S -）S -S （2n 21n 22n 1n n n n 2=+??+++??++=++， ） a a a （-）a a a （）S -S （-）S -S （n 22n 1n n 32n 21n 2n 2n n 2n 3+??+++??++=++++??=，d n 2 5、数列}{a n 成等差数列Bn An S ，a a a 2， q pn a 2n 1n 1-n n n +=+=+=?+ 等比数列性质 2. 通项公式： a n a 1q n 1 a i q n A B n a 1 q 0, A B 0 , 首项：a 1;公比：q q 推广：a n a m q n m , 从而得q n m 也或q n a m a m 3. 等比中项 （1） 如果a,A,b 成等比数列，那么 A 叫做a 与b 的等差中项?即： A ab 或A 、. Ob 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项 有两个（两个等比中项互为相反数） 2 （2） 数列a n 是等比数列 a n a n 1 a n 1 4.等比数列的前n 项和S n 公式: ⑴当q 1时，S n na 1 A B n A'B n A'（代 B,A',B'为常数） a 亠 q （q 为常数，a n 0） {a .}为等比数列 a n 0） {a n }为等比数列 {a n }为等比数列 A'B n A' A,B,A',B'为常数 {a n }为等比数列 6. 等比数列的证明方法 … a * 依据定义：若 — q q 0 n 2,且n N 或a n 1 qa n {a n }为等比数列 a n 1 7. 注意 （1） 等比数列的通项公式及前 n 和公式中，涉及到 5个元素：a 1、q 、n 、a n 及&，其中a 1、 基本元素。只要已知这 5个元素中的任意 3个，便可求出其余 2个，即知3求2。 （2） 为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项； a n aq n1 1.等比数列的定义: a n a n 1 q q On 2,且 n N ,q 称为公比 ⑵当 a 11 q n a 1 1 a n q q h 1 q a 1 a 〔 n -q A 1 q 1 q 5.等比数列的判定方法 (1) 用定义：对任意的 n,都有 a n 1 qa n 或 (2) 2 等比中项：a n a n 1a n 1 ( a n 1a n 1 (3) 通项公式：a n A B n A B 0 (4) 前n 项和公式： & A A B^S n q 称作为 等比数列的概念教案 教学目标 1．理解等比数列的定义，并能以方程思想作指导，理解和运用它的通项公式． 2．逐步体会类比、归纳的思想，进一步培养学生概括、抽象思维等能力． 3．培养学生严密的思维习惯，促进个性品质的良好发展． 教学重点和难点 重点：等比数列要领的形成及通项公式的应用． 难点：对要领的深刻理解． 教学过程设计 (一)引入新课 师：前面我们已经研究了一类特殊的数列──等差数列，今天我们一起研究第二类新的数列──等比数列． (板书)三等比数列 (二)讲解新课 师：等比数列与等差数列在名字上非常类似，只有一字之差，一个是差，一个是比，你能否仿照等差数列，举列说明你对等比数列的理解． (要求学生能主动的用类比思想，通过具体例子说明对概念的理解) 生：数列1，3，9，27，… 师：你为什么认为它是等比数列呢？ 生：因为这个数列相邻两项的比都是相等的，所以是等比数列． (先引导学生用自己的语言描述等比数列的特征，但暂时不作评论，以防限制其他学生的思维) 师：这是你对等比数列的理解，不过这个例子中的项是一项比一项大，能否再举一个一项比一项小的． 师：你对等比数列的理解呢？ 生：数列中每一项与前一项的比都是同一个常数． 师：他们对等比数列理解基本相同的，能否再换个样子，举一个例子． (若理解没有什么变化，就不必让学生再重复了) 师：下面再举例子又增加点要求，既然要去研究它，说明它一定有实际应用价值，那么能否再举一个生活中的等比数列例子． 生：如生物学中细胞分裂问题：1个细胞经过一次分裂变为2个细胞，这两个细胞再继续分裂成为4个细胞．这样分裂继续下去，细胞个数从1到2到4到8，把每次分裂后所得细胞个数排列好可形成一个数列1，2，4，8，16，…这个数列就是等比数列． 师：这个例子举得很好，不仅能够发现生活中的数学问题，还能把数学知识应用在其它学科，其实等比数列的应用是非常广泛的，说明它确有很高的研究价值． 说了这么多，也发现了等比数列的特征，能否试着给等比数列下个定义呢？ 生：如果一个数列的每一项与前一项的比都等于一个常数，那么这个数列就叫做等比数列． 师：作为定义这种叙述还有一点不足，为保证这样比都作得出来，这每一项应从数列的第二项起，否则第一项没有前一项，也就做不出这个比，调整之后，再找一位同学准确描述一下等比数列． 生：如果一个数列，从第二项起．每一项与前一项的比都等于一个常数，那么这个数列叫做等比数列． 师：好，就把它作为等比数列的定义记录下来． (板书)1．定义如果一个数列，从第二项起，每一项与前一项的比都是同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做公比，记作q．等差等比数列的性质总结
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