教学内容
【知识结构】
1.等比数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母q 表示(q ≠0),即:
1
-n n
a a =q (q ≠0) 1?“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) {n a }成等比数列?
n
n a a 1
+=q (+∈N n ,q ≠0 2? 隐含:任一项00≠≠q a n 且
“n a ≠0”是数列{n a }成等比数列的必要非充分条件. 3? q= 1时,{a n }为常数
2.等比数列的通项公式1: )0(111≠??=-q a q a a n n
3.等比数列的通项公式2: )0(11≠??=-q a q a a m m n 4.既是等差又是等比数列的数列:非零常数列.
5.等比中项:如果在a 与b 中间插入一个数G ,使a ,G ,b 成等比数列,那么称这个数G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab (a ,b 同号)
如果在a 与b 中间插入一个数G ,使a ,G ,b 成等比数列,则
ab G ab G G
b
a G ±=?=?=2, 反之,若G 2=a
b ,则
G
b
a G =,即a ,G ,
b 成等比数列 ∴a ,G ,b 成等比数列?G 2=ab (a ·b ≠0)
6.等比数列的性质:若m+n=p+k ,则k p n m a a a a = 在等比数列中,m+n=p+q ,k p n m a a a a ,,,有什么关系呢? 由定义得:11n 11 --==n m m q a a q a a 11k 11 --?==k p p q a a q a a
22
1-+=?n m n m q a a a ,22
1-+=?k p k p q a a a
则k p n m a a a a =
7.等比数列的增减性:当q>1, 1a >0或01, 1a <0,或0
0时, {n a }是递减数列;当q=1时, {n a }是常数列;当q<0时, {n a }是摆动数列;
【热身练习】
求下列各等比数列的通项公式:
1.1a =-2, 3a =-8
2.1a =5, 且21+n a =-3n a
3.1a =5, 且1
1+=+n n
a a n n 解:1.2
42213±=?=?=q q q a a
n n n n n n a a )2()2)(2(22)2(11-=--=-=-=∴--或 2.111)2
3
(552
3
-+-?=∴=-==
n n n n a a a a q 又:
3.n
n a a a a a a n n a a n n n n 1,,32,2
1
1123121-===∴+=-+
以上各式相乘得:n
a n a n 511==
【例题精讲】
例1 已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列,求证{}n n b a ?是等比数列. 证明:设数列{}n a 的首项是1a ,公比为1q ;{}n b 的首项为1b ,公比为2q ,那么数列{}n n b a ?的第n 项与第n+1项分别为:
n n n
n n n q q b a q q b a q b q a q b q a )()(21111211121111
2
11
1
1与即为与---??????
.)
()(211
2111211111q q q q b a q q b a b a b a n n n n n n ==??-++ 它是一个与n 无关的常数,所以{}n n b a ?是一个以q 1q 2为公比的等比数列.
例2 已知:b 是a 与c 的等比中项,且a 、b 、c 同号,
求证:
3
,3
,3abc ca bc ab c b a ++++ 也成等比数列 证明:由题设:b 2=ac 得:
22333)3
(333ca bc ab bc b ab b c b a abc c b a ++=++=?++=?++ ∴3
,3
,3abc ca bc ab c b a ++++ 也成等比数列
例3 (1) 已知{n a }是等比数列,且252,0645342=++>a a a a a a a n , 求53a a +
(2) a≠c,三数a, 1, c 成等差数列,22,1,c a 成等比数列,求
2
2c a c
a ++
解:(1) ∵{n a }是等比数列,
∴ 2a 4a +23a 5a +4a 6a =(3a +5a )2=25, 又n a >0, ∴3a +5a =5;
(2) ∵a, 1, c 成等差数列, ∴ a +c =2,
又a 2, 1, c 2成等比数列, ∴a 2 c 2=1, 有ac =1或ac =-1, 当ac =1时, 由a +c =2得a =1, c =1,与a≠c 矛盾,
∴ ac =-1, 62)(222=-+=+ac c a c a ∴ 31
2
2=++c
a c a .
例4 已知无穷数列 ,10,10,10,105
15
25
15
0-n ,
求证:(1)这个数列成等比数列
(2)这个数列中的任一项是它后面第五项的
10
1
, (3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中
证:(1)51
5
25
11
101010
==---n n n n a a (常数)∴该数列成等比数列
(2)
10110101015
45
15===-+-+n n n n a a ,即:510
1
+=n n a a (3)5
25
15
110
10
10
-+--==q p q p q p a a ,∵N q p ∈,,∴2≥+q p
∴11≥-+q p 且()N q p ∈-+1,
∴?
?????∈--+51
n 5
21010
q p ,(第1-+q p 项) 例5 设d c b a ,,,均为非零实数,()()0222222=+++-+c b d c a b d b a , 求证:c b a ,,成等比数列且公比为d
证一:关于d 的二次方程()()0222222=+++-+c b d c a b d b a 有实根, ∴()()()04422222
2≥++-+=?c b b a c a b ,∴()
02
2≥--ac b
则必有:02=-ac b ,即ac b =2,∴c b a ,,成等比数列 设公比为q ,则aq b =,2aq c =代入
()()024********=+++-+q a q a d aq a aq d q a a ∵()0122≠+a q ,即0222=+-q qd d ,即0≠=q d
证二:∵()()0222222=+++-+c b d c a b d b a ∴()()022222222=+-++-c bcd d b b abd d a ∴()()02
2
=-+-c bd b ad ,∴b ad =,且c bd =
∵d c b a ,,,非零,∴d b
c
a b ==
例6.设n S 为数列{}n a 的前n 项和,2n S kn n =+,*n N ∈,其中k 是常数. (1) 求1a 及n a ;
(2)若对于任意的*m N ∈,m a ,2m a ,4m a 成等比数列,求k 的值. 解(1)当1,111+===k S a n ,
12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n (*)
经验,,1=n (*)式成立, 12+-=∴k kn a n (2)m m m a a a 42,, 成等比数列,m m m a a a 42
2.=∴,
即)18)(12()14(2+-+-=+-k km k km k km ,整理得:0)1(=-k mk , 对任意的*∈N m 成立, 10==∴k k 或
例7在等差数列{a n }中,若a 10=0,则有等式a 1+a 2+…+a n =a 1+a 2+…+a 19-n (n <19,n ∈N )成立.类比上述性质,相应地:在等比数列{b n }中,若b 9=1,则有等式 成立
答案:b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*);
解:在等差数列{a n}中,由a10=0,得a1+a19=a2+a18=…=a n+a20
-n
=a n
+1+a19
-n
=2a10=0,
所以a1+a2+…+a n+…+a19=0,即a1+a2+…+a n=-a19-a18-…-a n +1
,
又∵a1=-a19,a2=-a18,…,a19
-n =-a n
+1
∴a1+a2+…+a n=-a19-a18-…-a n
+1=a1+a2+…+a19
-n
,
若a9=0,同理可得a1+a2+…+a n=a1+a2+a17
-n
,
相应地等比数列{b n}中,则可得:b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*)。
【备选例题】
例8.如图3—1,在边长为l的等边△ABC中,圆O1为△ABC的内切圆,圆
O2与圆O1外切,且与AB,BC相切,…,圆O n+1与圆O n外切,且与AB、BC 相切,如此无限继续下去.记圆O n的面积为a n(n∈N*),证明{a n}是等比数列;
证明:记r n 为圆O n 的半径,则r 1=2l tan30°=l 6
3。
n n n n r r r r +---11=sin30°=21
,所以r n =3
1r n -1(n ≥2),于是a 1=πr 12=91)(,122112
==--n n n n r r a a l π,故{a n }成等比数列。
点评:该题考察实际问题的判定,需要对实际问题情景进行分析,最终对应数值关系建立模型加以解析。
例9已知数列{}n a 和{}n b 满足:a 1=λ,a n +1=24,(1)(321),3n
n n n a n b a n +-=--+其
中λ为实数,n 为正整数.
(Ⅰ)对任意实数λ,证明数列{}n a 不是等比数列; (Ⅱ)试判断数列{}n b 是否为等比数列,并证明你的结论.
解:(Ⅰ)证明:假设存在一个实数λ,使{}n a 是等比数列,则有2
213a a a =,即
,09494
9494)494()332(222=?-=+-?-=-λλλλλλλ矛盾.所以{}n a 不是等比数列.
(Ⅱ)解:因为11122(1)(3121)(1)(321)33
n n n n n n b a n a n b +++=--++=---+=-()又
()118b λ=-+,所以
当λ=-18,10b = (n ∈N +),此时{}n b 不是等比数列:当λ≠-18时,()1180b λ=-+≠,由上可知0n b ≠,∴3
2
1-=+n a b b (n ∈N +).故当λ≠-18时,
数列{}n b 是以-(λ+18)为首项,-
3
2
为公比的等比数列. 点评:本题主要考查等比数列的概念和基本性质,推理和运算能力。 例10等比数列{n a }的前n 项和为n S , 已知对任意的n N +∈ ,点(,)n n S ,均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上. (1)求r 的值;
(2)当b=2时,记 1
()4n n
n b n N a ++=
∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T 解:因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ,均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.所以得n n S b r =+, 当1n =时,11a S b r ==+,
当2n ≥时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-,
又因为{n a }为等比数列, 所以1r =-, 公比为b , 所以1(1)n n a b b -=- (2)当b=2时,11(1)2n n n a b b --=-=, 11
111
4422n n n n n n n b a -++++===? 则2341
2341
2222n n n T ++=
++++ 34512
12341
222222
n n n n n T +++=+++++ 相减,得2345121211111
2222222n n n n T +++=+++++-
31211(1)112212212
n n n -+?-++--12311422n n n +++=--
所以1131133
22222n n n n n n T ++++=--=-
【巩固练习】
1.设等比数列{a n }的公比q=2,前n 项和为S n ,则2
4a S = 2
15 .
2.等比数列{a n }中,a 3=7,前3项之和S 3=21,则公比q 的值为 1或-2
1 . 3.如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么b= -3 ,ac= 9 .
4.在等比数列{a n }中,已知a 1a 3a 11=8,则a 2a 8= 4 .
5.若数列{a n }的前n 项和S n =3n -a ,数列{a n }为等比数列,则实数a 的值是 1 .
6.设a 1,a 2,a 3,a 4成等比数列,其公比为2,4
32122a a a a ++的值为 4
1 .
7.等比数列{a n }前n 项的积为T n ,若a 3a 6a 18是一个确定的常数,那么数列T 10,T 13,T 17,T 25中也是常数的项是 T 17 .
8.在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于( C ).(A)122n +- (B) 3n (C) 2n (D)31n -
C.提示:因数列{}n a 为等比,则12n n a q -=,因数列{}1n a +也是等比数列, 则
22121122212
(1)(1)(1)22(12)01
n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a q q q +++++++++=++?+=++?+=?+-=?=
即2n a =,所以2n S n =,故选择答案C 。
9.若互不相等的实数,,a b c 成等差数列,,,c a b 成等比数列,且310a b c ++=,
则a =( D )A .4 B .2 C .-2 D .-4 提示:由互不相等的实数,,a b c 成等差数列可设a =b -d ,c =b +d ,由
310a b c ++=可得b =2,所以a =2-d ,c =2+d ,又,,c a b 成等比数列可得d =6,所以a =-4
10.已知等比数列()n a 中21a =,则其前3项的和3S 的取值范围是( D ) A.(],1-∞- B.()
(),01,-∞+∞ C.[)3,+∞ D.(][),13,-∞-+∞
提示:设等比数列的公比为q ,21321
1,,a a a a q q q
==
==.311S q q =++,
303q S ∴>≥当时,当1q =时取等号;当0q <时,31S ≤-,当1q =-时取等号
一、等差数列 1.等差数列的定义:d a a n n =--1(d 为常数)(2≥n ); 2.等差数列通项公式: * 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ , 首项:1a ,公差:d ,末项:n a 推广: d m n a a m n )(-+=. 从而m n a a d m n --=; 3.等差中项 (1)如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.即:2 b a A += 或b a A +=2 (2)等差中项:数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4.等差数列的前n 项和公式: 1()2n n n a a S += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ (其中A 、B 是常数,所以当d ≠0时,S n 是关于n 的二次式且常数项为0) 特别地,当项数为奇数21n +时,1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = +(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项) 5.等差数列的判定方法 (1) 定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列. (2) 等差中项:数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a . ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=(其中b k ,是常数)。 (4)数列{}n a 是等差数列?2 n S An Bn =+,(其中A 、B 是常数)。 6.等差数列的证明方法 定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列. 7.提醒: (1)等差数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5个元素:1a 、d 、n 、n a 及n S ,其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。 (2)设项技巧: ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差,可设为…,2,,,,2a d a d a a d a d --++…(公差为d ); ③偶数个数成等差,可设为…,3,,,3a d a d a d a d --++,…(注意;公差为2d ) 8..等差数列的性质: (1)当公差0d ≠时, 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数,且斜率为公差d ; 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+-是关于n 的二次函数且常数项为0. (2)若公差0d >,则为递增等差数列,若公差0d <,则为递减等差数列,若公差0d =,则为常数列。 (3)当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+,特别地,当2m n p +=时,则有2m n p a a a +=. 注:12132n n n a a a a a a --+=+=+=???,
等比数列及其前n 项和 教学目标: 1、熟练掌握等比数列定义;通项公式;中项;前n 项和;性质。 2、能熟练的使用公式求等比数列的基本量,证明数列是等比数列,解决与等比数列有关的简单问题。 知识回顾: 1.定义: 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q 表示。用递推公式 表示为)2(1≥=-n q a a n n 或q a a n n =+1。注意:等比数列的公比和首项都不为零。(证明数列是 等比数列的关键) 2.通项公式: 等比数列的通项为:11-=n n q a a 。推广:m n m n q a a -= 3.中项: 如果a ,G ,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项;其中ab G =2。 4.等比数列的前n 项和公式 ?? ? ??≠--==)1(1)1()1(11q q q a q na S n n 5.等比数列项的性质 (1)在等比数列{}n a 中,若m ,n ,p ,q N +∈且m n p q +=+,则q p n m a a a a =;特别的,若m ,p ,q N +∈且q p m +=2,则q p m a a a =2 。 (2)除特殊情况外,,...,,232n n n n n S S S S S --也成等比数列。n q q ='。 (其中特殊情况是当q=-1且n 为偶数时候此时n S =0,但是当n 为奇数是是成立的)。 4、证明等比数列的方法 (1)证: q a a n n =+1(常数);(2)证:112 ·+-=n n n a a a (2≥n ). 考点分析
等比数列的概念与性质练习题 1.已知等比数列}{n a 的公比为正数,且3a ·9a =22 5a ,2a =1,则1a = A. 2 1 B. 22 C. 2 D.2 2. 如果1,,,,9a b c --成等比数列,那么( ) A 、3,9b ac == B 、3,9b ac =-= C 、3,9b ac ==- D 、3,9b ac =-=- 3、若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),n n a n a a a =--+++=L 则 (A )15 (B )12 (C )-12 D )-15 4.在等比数列{a n }中,a 2=8,a 5=64,,则公比q 为( ) A .2 B .3 C .4 D .8 5..若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ,则公比为 A .2 B .4 C .8 D .16 6.若互不相等的实数,,a b c 成等差数列,,,c a b 成等比数列,且310a b c ++=,则a = A .4 B .2 C .-2 D .-4 7.公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数,且31116a a =,则162log a =( ) A.4 B.5 C.6 D.7 8.在等比数列{}n a 中,5,6144117=+=?a a a a ,则 =10 20 a a ( ) A. 32 B.23 C. 32或23 D. -32或-23 9.等比数列{}n a 中,已知121264a a a =,则46a a 的值为( ) A .16 B .24 C .48 D .128 10.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列,其中1a =2,5a =8,则3a 的值为( ) A. -4 B.4 C. ±4 D. 5 11.等比数列 {}n a 的各项均为正数,且5647a a a a +=18,则3132310log log log a a a +++L = A .12 B .10 C .8 D .2+3log 5 12. 设函数()()() * 2 ,311N n x n x x f ∈≤≤-+-=的最小值为n a ,最大值为n b ,则2n n n n c b a b =-是( ) A.公差不为零的等差数列 B.公比不为1的等比数列 C.常数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 13. 三个数c b a ,,成等比数列,且0,>=++m m c b a ,则b 的取值范围是( ) A. ??????3, 0m B. ??????--3,m m C . ??? ??3,0m D. [)?? ? ???-3,00,m m 14.已知等差数列}{n a 的公差0≠d ,且931,,a a a 成等比数列,则 10 429 31a a a a a a ++++的值为 . 15.已知1, a 1, a 2, 4成等差数列,1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列,则 =+2 2 1b a a ______.
等差数列与等比数列总结 一、等差数列: 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差常用小写字母d 表示; 等差中项,如果2 b a A += ,那么A 叫做a 与b 的等差中项;如果三个数成等差数列,那么等差中项等于另两项的算术平均数; 等差数列}{a n 的通项公式:)N n (d )1-n (a a 1n *∈+=; 等差数列}{a n 的递推公式:)2n (d a a 1n n ≥+=-; 等差数列}{a n 的前n 项和公式:n S =2n )a a (n 1?+=d 2)1-n (n na 1?+ = 中12na n )2d -a (n )2d (=?+?; 【等差数列的性质】 1、d )1-n (a a m n += 【说明】n 11m a d )1-n (a d )m -n (d )1-m (a d )m -n (a =+=++=+ 2、若m 、n 、p 、q *∈N ,且m+n=p+q ,则有q p n m a a a a +=+ 【说明】q p 11n m a a )2-q p (a 2d )2-n m (a 2a a +=++=++=+ 3、md 成等差数列,公差为、a 、a 、a m 2k m k k ??++ 【说明】md a -a a -a m k m 2k k m k =??==+++ 4、k )1-n (nk k 2k 3k k 2k S -S S -S ,S -S ,S ??成等差数列,公差为d n 2 【说明】d n )a a a (-)a a a (S -)S -S (2n 21n 22n 1n n n n 2=+??+++??++=++, ) a a a (-)a a a ()S -S (-)S -S (n 22n 1n n 32n 21n 2n 2n n 2n 3+??+++??++=++++??=,d n 2 5、数列}{a n 成等差数列Bn An S ,a a a 2,q pn a 2n 1n 1-n n n +=+=+=?+
《等比数列》教学设计(共2课时) 第一课时 1、创设情境,提出问题 (阅读本章引言并打出幻灯片) 情境1:本章引言内容 提出问题:同学们,国王有能力满足发明者的要求吗? 引导学生写出各个格子里的麦粒数依次为: 1,2,,2,2,2432 ……,632 (1) 于是发明者要求的麦粒总数是 情境2:某人从银行贷款10000元人民币,年利率为r ,若此人一年后还款,二年后还款,三年后还款,……,还款数额依次满足什么规律? 10000(1+r),100002)1(r +,100003)1(r +,…… (2) 情境3:将长度为1米的木棒取其一半,将所得的一半再取其一半,再将所得的木棒继续取其一半,……各次取得的木棒长度依次为多少?,8 1,41,21…… (3) 问:你能算出第7次取一半后的长度是多少吗?观察、归纳、猜想得7)2 1( 2、自主探究,找出规律: 学生对数列(1),(2),(3)分析讨论,发现共同特点:从第二项起,每一项与前一项的比都等于同一常数。也就是说这些数列从第二项起,每一项与前一项的比都具有“相等”的特点。于是得到等比数列的定义: 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比,公比常用字母q )0(≠q 表示,即1:(,2,0)n n a a q n N n q -=∈≥≠。 如数列(1),(2),(3)都是等比数列,它们的公比依次是2,1+r,2 1 点评:等比数列与等差数列仅一字之差,对比知从第二项起,每一项与前一项之“差”为常数,则为等差数列,之“比”为常数,则为等比数列,此常数称为“公差”或“公比”。 ??????23631+2+2+2++2
等比数列性质 2. 通项公式: a n a 1q n 1 a i q n A B n a 1 q 0, A B 0 , 首项:a 1;公比:q q 推广:a n a m q n m , 从而得q n m 也或q n a m a m 3. 等比中项 (1) 如果a,A,b 成等比数列,那么 A 叫做a 与b 的等差中项?即: A ab 或A 、. Ob 注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项 有两个(两个等比中项互为相反数) 2 (2) 数列a n 是等比数列 a n a n 1 a n 1 4.等比数列的前n 项和S n 公式: ⑴当q 1时,S n na 1 A B n A'B n A'(代 B,A',B'为常数) a 亠 q (q 为常数,a n 0) {a .}为等比数列 a n 0) {a n }为等比数列 {a n }为等比数列 A'B n A' A,B,A',B'为常数 {a n }为等比数列 6. 等比数列的证明方法 … a * 依据定义:若 — q q 0 n 2,且n N 或a n 1 qa n {a n }为等比数列 a n 1 7. 注意 (1) 等比数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5个元素:a 1、q 、n 、a n 及&,其中a 1、 基本元素。只要已知这 5个元素中的任意 3个,便可求出其余 2个,即知3求2。 (2) 为减少运算量,要注意设项的技巧,一般可设为通项; a n aq n1 1.等比数列的定义: a n a n 1 q q On 2,且 n N ,q 称为公比 ⑵当 a 11 q n a 1 1 a n q q h 1 q a 1 a 〔 n -q A 1 q 1 q 5.等比数列的判定方法 (1) 用定义:对任意的 n,都有 a n 1 qa n 或 (2) 2 等比中项:a n a n 1a n 1 ( a n 1a n 1 (3) 通项公式:a n A B n A B 0 (4) 前n 项和公式: & A A B^S n q 称作为