复变函数论文

复、实变函数的

比较与应用

作者:阮玲花

学号:2

专业:数学与应用数学

复、实变函数的比较与应用

姓名:阮玲花班级:数学132 学号:2

数域从实数域扩大到复数域后,便产生了复变函数论,并且深入到了微分方程、拓扑学等数学分支。复变函数论着重讨论解析函数,而解析函数的实部与虚部就是相互联系的,这与实函数有根本的区别。有关实函数的一些概念,很多都就是可以推广到复变函数上。例如:函数的连续性、函数的导数、有(无)界函数、中值定理、泰勒展式、基本初等函数等等。

在中学我们主要了解学习了实变函数,与大学期间我们又更加深入的学习研究了实变函数,与此同时,也开始复变函数的学习。由此我们瞧到了:“数的扩展:正数→负数→实数→”,在实数范围内:当方程判别式小于0时,没有实根。→扩大数域,引进复数,这样容易给人一种由浅入深、由简入繁、由特殊到一般的感觉,它们有很深的联系,然而事实上,她们有很大的不同,有很大的区别。下面我们从几个方面来说明实变函数与复变函数的联系与区别。

(一)实变函数

实变函数论即讨论以实数为变量的函数,然而实变与常微分方程等不同,简单地说就就是恰当的改造积分定义使得更多的函数可积。由于诸如狄利克雷这样的简单函数都不可积,所以原有的积分范围太窄了,进而便产生了Lebesgue创立新积分的原始思路。

Lebesgue积分:

(二)复变函数

复变函数就是数学分析的继续,复变函数的定义:若在复数平面上存在一个点集E ,对于E 的每一点z,按照一定规律,有一个或多个复数值W 与之相对应,则称W 为z 的函数,记作)(z f W =,z ∈E 邻域:以复数0z 为圆心,以任意小正实数ε为半径做一个圆,则圆内所有点的集合称为0z 的邻域。把复变函数的)(z f 的实部与虚部分别记作u(x,y)与v(x,y),)(z f =u(x,y)+iv(x,y),所以,复变函数可以归结为一对二元实变函数。

(三) 实变函数及与复变函数比较

1.自变量的不同

以实数作为自变量的函数就做实变函数;即实数→实变量→实变函数。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数;即复数→复变量→复变函数。

2、实变函数与复变函数的联系区别

因为z=x+yi,所以复变函数y=)(z f 的实部与虚部都就是x,y 的函数,即)(z f W ==u(x,y)+iv(x,y),由此可以瞧成:一个复变函数就是两个实变函数的有序组合。这样,实变函数的许多定义、公式,定理可直接移植到复变函数中。然而同时,由于复变函数的虚部,实变函数的许多定义、公式,定理也不再就是用于复变函数。对于复变函数与实变函数,我们分别学习了两者的点集、序列、极限、连续性、可微性、积分等性质与应用。然而同时,由于复变函数的虚部,所要求的点集、序列、极限、连续性、可微性、积分等性质与应用的定义也不尽相同。

3.复变函数与实变函数关于导数概念的叙述就是相似的,即都就是由函数值的差与自变量的差之商的极限来定义导数,它们的联系也就是密切的,区别则就是整个取值的差异。复变函数在复数域中取值,实变函数在实数域内取值,但两种微分的几何意义就是相同的。对于微分的性质,实变函数与复变函数有以下三大点的

不同。

(1)微分中值定理

微分中值定理就是微分学的重要内容,表现形式一般为柯西中值定理,罗尔中值定理及拉格朗日中值定理,微分中值定理在复数域中就是不成立的。我们以罗尔定理来举例证明。

罗尔定理:若函数()f x 满足:①在闭区间[],a b 上连续;②在开区间(),a b 内可导,且()()f a f b =;则必存在ξ(),a b ∈,使得()0f ξ'=。

证明:取()iz f z e =,()f z 在整个复平面上解析,且()()02f f π=,但()iz f z ie '=,无论z 取什么值都不会为零,也就就是说罗尔定理的结论对函数()iz

f z e =不成立。 故微分中值定理不能直接推广到复变函数中来。

(2)解析函数零点的孤立性

在《复变函数论》中,区域D 内点可微的复变解析函数的零点总就是孤立的。而实变函数体现出的性质则截然相反。

例1:如在|a z -|

例2:一个实函数的零点不一定就是孤立的。

如函数()f x ,当x ≠0时()f x =x 2sin x

1,当x=0时()f x =0、 证明:由题意得,函数()f x 在x=0处可微,且以x=0为零点,此外x=π

n 1也就是它的零点,并以0为聚点。

（3）解析函数的无穷可微性在复变函数中,若)(z f 在区域D 内解析,则)(z f 在区

复变函数论文

复变函数在GIS上的运用与地位 一摘要 该论文主要研究复变函数在GIS专业上的作用和地位，通过复变函数发展简介和内容，我们认识到复变函数的发展史和学术地位，因为它运用广泛，作为当代大学生，我们应该明白它在学习中起到举足轻重的作用，从学习中的地位延伸到专业中的地位，从而了解他在GIS的运用，借助复变函数推出柯西—黎曼曲面，进而导出复球面的紧性，得出扩充复平面是紧的，得出结论，体会，心德和认识，最后对结论进行推导和运用。 二关键词 复变函数，地理信息系统，复平面，柯西—黎曼曲面 三正文 （一）复变函数的发展简况与内容 复变函数理论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。复变函数理论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。为复变函数理论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。复变函数理论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。 复变函数理论主要包括解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、积分和级数、广义解析函数等方面的内容。复变函数理论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映象理论为它的性质提供几何说明。导数处处不是零的解析函数所实现的映像就都是共形映象，共形映像也叫做保角变换。共形映象在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用。留数理论是复变函数论中一个重要的理论。留数也叫做残数，它的定义比较复杂。应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便。计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁。把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数。广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数。广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。

复变函数论文

复、实变函数的比较与应用 作者：阮玲花 学号：201310401205 专业：数学与应用数学

复、实变函数的比较与应用 姓名：阮玲花班级：数学132 学号：201310401205数域从实数域扩大到复数域后，便产生了复变函数论，并且深入到了微分方程、拓扑学等数学分支。复变函数论着重讨论解析函数，而解析函数的实部与虚部是相互联系的,这与实函数有根本的区别。有关实函数的一些概念，很多都是可以推广到复变函数上。例如：函数的连续性、函数的导数、有（无）界函数、中值定理、泰勒展式、基本初等函数等等。 在中学我们主要了解学习了实变函数，与大学期间我们又更加深入的学习研究了实变函数，与此同时，也开始复变函数的学习。由此我们看到了：“数的扩展：正数→负数→实数→”,在实数范围内：当方程判别式小于0时，没有实根。→扩大数域，引进复数，这样容易给人一种由浅入深、由简入繁、由特殊到一般的感觉，它们有很深的联系，然而事实上，他们有很大的不同，有很大的区别。下面我们从几个方面来说明实变函数与复变函数的联系与区别。 （一）实变函数 实变函数论即讨论以实数为变量的函数,然而实变与常微分方程等不同,简单地说就是恰当的改造积分定义使得更多的函数可积。由于诸如狄利克雷这样的简单函数都不可积，所以原有的积分范围太窄了，进而便产生了Lebesgue创立新积分的原始思路。 Lebesgue积分：

（二）复变函数 复变函数是数学分析的继续，复变函数的定义：若在复数平面上存在一个点集E，对于E的每一点z，按照一定规律，有一个或多个复数值W与之相对应，则称W为z的函数，记作)(z W=，z∈E邻域：以复数 f z为圆心，以任意小 正实数ε为半径做一个圆，则圆内所有点的集合称为 z的邻域。把复变函数的 (z f=u(x,y)+iv(x,y)，所以，复变函数f的实部和虚部分别记作u(x,y)和v(x,y)，) ) (z 可以归结为一对二元实变函数。 （三）实变函数及与复变函数比较 1．自变量的不同 以实数作为自变量的函数就做实变函数；即实数→实变量→实变函数。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数；即复数→复变量→复变函数。 2.实变函数与复变函数的联系区别 因为z=x+yi,所以复变函数y=)(z W= f f的实部与虚部都是x,y的函数，即)(z =u(x,y)+iv(x,y),由此可以看成：一个复变函数是两个实变函数的有序组合。这样，实变函数的许多定义、公式，定理可直接移植到复变函数中。然而同时，由于复

复变函数与积分变换论文

复变函数与积分变换论文 题目：阐述复变函数与积分变换对电气自动化专业的作用 阐述复变函数与积分变换对电气自动化专业的作用 复变函数论是数学中一个基本的分支学科，它的研究对象是复变数的函数。复变函数论历史悠久，内容丰富，理论十分完美。它在数学许多分支、力学以及工程技术科学中有着广泛的应用。复数起源于求代数方程的根。通过学习《复变函数与积分变换》这门课程，我了解到它既是一门理论性较强的课程，又是解决实际问题的强有力的工具，它的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，同时老师也给我们了解到了更多关于复变函数的历史知识，让我更加对这门产生浓厚的学习兴趣。 《复变函数和积分变换》课程本身应该是一种将数学知识如何应用于工程的学科，是培养创新思维的非常重要的课程。这门课程对于培养创新人才具有特殊作用，而创新能力的基础是创新思维。复变函数和积分变换作为我们学校的电气工程自动化专业大

学生专业必修课，除了要求我们掌握复变函数和积分变换课程的基础知识、基本方法外，更重要的是要培养创新型的思维能力。让学生强化应用、重视实践、淡化专业、消灭书呆子，重视创新能力和实践能力的培养。 我们在复变函数和积分变换课程的学习中面对的处处都是创新模式，没有创新就不能学好该课程。复数域打破了实数域的限制、解析函数突破了二元函数和一元实函数的禁锢、洛朗级数克服了幂级数的局限性、拉普拉斯积分变换是傅里叶积分变换应用方面的创新等等。 在复变函数和积分变换的学习中，我们得到的不仅有作为科学创新基础的数学原理，还有一些创新思想方法，如解析函数高阶导数和积分变换中导数公式的归纳法思想、复数几何意义的直观性在初等几何中的应用思想、保形变换和积分变换中对称思维、两类积分变换应用的同中求异和理论中的异中求同、复势应用中的猜想与证明，观察与实验等等都体现了创新思维的火花。我们在学习中掌握了这些方法，有利于在今后的工作和生活中发挥巨大的作用。因此，复变函数和积分变换课程的教学，有助于学生创新思维能力的训练和培养。培养我们运用基本理论和方法解决实际问题的意识、兴趣和能力，尤其是解析函数在平面向量场中的应用，留数理论的应用，积分变换在解微分方程中的应用和求广义积分，培养我们打破思维定式，打破常规惯例，用新的眼光看复变函数和积分变换，就是说变量从实数到复数，积分从直线到曲线，尤其是封闭曲线。 我们从这门课程上可以学到傅里叶变换是一种对连续时间函数的积分变换。通过我们专业课的实验学习，深刻了解到傅里叶变换在处理和分析工程实际中的一些问题的重要作用。通过变换技术，从另一个角度对问题进行处理和分析，使问题的性质更清楚、更便于分析，也使问题的求解更方便，更便于解决。我以前总认为学这些东西没有用处，只是一些很落后和过时的理论，通过实验学习，我看到了它的重大作用。在我以后的学习中，也要在掌握基本理论的同时，去挖掘生活中的问题，并努力用所学的知识去解决，那样才能更好的理解和运用。我还学到积分变换可以把微分方程变换为初等方程，求解方便。另外求线性系统的响应，用积分变换不用考虑初始状态，非常方便。可以实现时域和频域的变换，方便对谐波进行分析计算。使用复频域的状态变量解法可以方便的用计算机对系统进行求解。 通过课程的学习，我们可以了解到，复数可以应用到现实中的数学建模，其在很多运算中都有者不可思议的性质和规律。复数的引入为人们解决实数域和物理科学提供了许多新的途径，打开了很多原本无法畅通的道路，无论是神奇的留数，还是保角映射，都为人类在解决非复领域上的问题提供了全新的思路与方便。 复变函数给我们一个新的概念，让我们不局限于实数的学习范围，给我们一个创新思维的学习。

复变函数小论文格式模板

数学与信息工程学院数学与应用数学专业 张三 1. 周期函数是一类特殊而又十分重要的函数,中学数学中 ,对于周期函数的定义是这样定义的：对于 函数) (x f y=,如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,) ( ) (x f T x f= +都成立,那么就把函数) (x f y=叫做周期函数,不为零的常数T叫做函数的周期.这一定义简洁明快,但由于它的“简单性”,其“先天不足”随时可能导致人们出现错误的判断.因此,在进行周期函数的教学时,非经严格论证,绝对不能想当然地搬用其它定义下的周期函数的性质.周期函数) (x f, 2. 2.1周期函数的性质与特征 根据周期函数的定义，在文献[6，7]中介绍了周期函数的一般性质： （1）周期函数不一定有最小正周期. 例如，函数1 ) (= x f是一个常函数，任意的非零实数都是函数的周期，但在正实数集中无最小值.…… 2.2周期函数的判定及其应用 周期函数的判定除了用定义判断外，还可以用定理的形势给出.设a,b是实常数，函数) (x f的定义域为集合A,且对、 、 、 、a x y x y x A y x± ± ± ∈) ( 2 1 ,b x±、x b x a- -、也都 A ∈，则由定义可得，) ( ) (b x f a x f- = +，则) (x f是以) (b a+为周期的函数；……

3.周期函数的微积分性质及应用 …………………………，如表１所示。 表 1 ………………………………………………………………………………………………………………………………，如图2.9所示，

[1]李万山,张沛和.周期函数的对称性质[J].嘉应大学学报(自然科学[2]牛保才 .周期函数的一组判定定理[J].数学通讯,1998,(2):26-29. Notes,2001, 69(3):313-319. [4]G.A.Dzyubenko,J.Gilenice.Copositive problems approximation of Periodic Functions[J].Acta Math.Hungar,2008,120(4):301-314. [5]堵秀凤.周期函数的导函数的周期问题[J].齐齐哈尔师范学院学报(自然科学版),1993,(13):8-10. [6]费定辉,周学圣.

复变函数发展历程

复变函数发展历程 复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。 复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。 为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。 后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯。二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献。 复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。 比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。 复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。 广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用。因此，近年来这方面的理论发展十分迅速。 从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了。它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用。 校内发展的历史 《复变函数论》，又称《复分析》，是在《数学分析》的基础上，应用分析与积分方法研究复变量复值解析函数的一门分析数学，它是学习与研究《泛函分析》、《微分方程》等课程的重要基础。复变函数论是数学专业的一门专业必修课程，是数学分析的后续课程。它的理论和方法，对于其它数学学科，对于物理、力学及工程技术中某些二维问题，都有广泛的应用。通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，提高分析问题和解决问题的能力，培养学生独立地分析和解决某些有关的理论和实际问题的能力。 随着学校的升本成功，该门课程已在本科层面授课两届。 针对学生普遍基础薄弱的特点，在教学中，着力要求任课教师将基本概念讲解正确清楚，基本理论阐述系统简明，对学生的基本运算能力的训练也严格要求。教材选用了国内较成熟且讲解较为简单明了的钟玉泉的复变函数论(第2版)，方便学生学习。 实际教学中注意本课程和其它课程的联系，特别是与数学分析的衔接，相应内容在处理方法上的异同。在基本运算方面，应通过适当的例题和习题，加强习题课和练习，使学

北京林业大学复变函数与积分变换结课论文

复变函数与积分变换 结课论文 题目：拉普拉斯变换及其在解微分方程（组）中的应用指导老师： 学号： 姓名： 班级： 学院：

拉普拉斯变换及其在解微分方程（组）中的应用 摘要 拉普拉斯变换是一种用来解线性微分方程的较简单的工具。它在电学、力学、控制论等很多工程技术与科学领域有着广泛的应用，由于它对像原函数f(t)要求的条件比傅氏变换要弱，故研究拉氏变换有极重要的意义。本文将简单介绍拉普拉斯变换的定义以及其性质，并对其在解微分方程（组）中的应用做了简单的归纳总结。 关键词：拉普拉斯变换，性质，微分方程

一、拉普拉斯变换的概念及其性质 1.1问题的提出 我们知道，一个函数当它除了满足狄氏条件外，还在（—∞，+∞）内满足绝对可积的条件时，就一定存在古典意义下的傅里叶变换。但绝对可积的条件是比较强的，许多函数（如单位阶跃函数、正弦、余弦函数等）都不满足这个条件；其次，可以进行傅里叶变换的函数必须在整个是数轴上有定义，但在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t 作为自变量的函数往往在t<0时是无意义的或者不用考虑的，想这些函数都不能取傅里叶变换。 虽然在引入δ函数后，傅里叶变换的适用范围被拓宽了许多，使得“缓增”函数也能进行傅氏变换，但仍然无法解决以指数级增长的函数。[1] 对于任意一个函数φ（t ），若用单位阶跃函数u （t ）乘φ（t ），则可以使积分区间由（—∞，+∞）换成[0，+∞），用指数衰减函数t β-e （β>0）乘φ（t ）就有可能使其变得绝对可积，因 此只要β选的恰当，一般来说，任意函数φ（t ）的傅氏变换是存在的，这样就产生了拉普拉斯变换。 1.2拉普拉斯变换的定义 当函数)(t f 满足条件：（1）当t<0时，)(t f =0；（2）当0≥t 时，函数)(t f 连续；（3）当∞→t 时，)( t f 的增长速度不超过某个指数函数，即存在常数M 及α，使得t Me t f α≤|)(|，则含参数s 的无穷积分 收敛。（s=β+jω）[2] 我们称F(s)为f(t)的拉普拉斯变换（或称为像函数），记为F(s)= )]( [t f L 。 相反的，从F(s)到f(t)的对应关系称为拉普拉斯逆变换（或称为像原函数）。即 )]([)(1s F L t f -=. 1.3拉普拉斯变换的性质 1、线性性质[3] 设α、β为常数，且)()]([),()]( [s G t g L s F t f L ==，则有 0 ()()st F s f t e dt +∞ -=?

复变函数的孤立奇点及其应用(小学期论文)

复变函数的孤立奇点及其应用 数学科学学院 数学与应用数学专业 指导教师： xxx 摘要:本文讨论了孤立奇点的定义、判别方法以及孤立奇点在留数计算中的应用。 关键词:孤立奇点；定义；判别方法；留数 孤立奇点的应用在复变函数的教学以及学习中有着重要的作用,而留数的计算是复变函数中经常碰到的问题. 1 孤立奇点的定义 如果函数)(z f 在点a 的某一去心邻域}{a K -:R a z <-<0内解析,点a 是 )(z f 的奇点,则称a 为)(z f 的一个孤立奇点. 2 孤立奇点的判别方法 设函数)(z f 在区域D 内除有限个孤立奇点n z z z z ,,,,321 外处处解析，C 是D 内包围各奇点的一条正向简单闭曲线，那么)(Re 2)(1 z f s i dz z f n k a z C k ∑?===π.一般 来说，求函数在其孤立奇点0z 处的留数只须求出它在以0z 为中心的圆环域内的 洛朗级数中1 01---）（z z C 项系数1-C 就可以了.但如果能先知道奇点的类型，对求 留数更为有利.例如，如果0z 是)(z f 的可去奇点，那么0]),([Re 0=z z f s .如果0z 是本质奇点，那就往往只能用把)(z f 在0z 展开成洛朗级数的方法来求1-C .若0z 是极点的情形，则可用较方便的求导数与求极限的方法得到留数. 2.1 函数在极点处留数 法则1：如果0z 为)(z f 的简单极点，则 )()(lim ]),([Re 000 z f z z z z f s z z -=- 法则2：设) () ()(z Q z P z f = ，其中)(,)(z Q z P 在0z 处解析，如果0)(≠z P ，0z 为)(z Q 的

复变函数解析的判定及其应用【开题报告】

毕业论文开题报告 数学与应用数学 复变函数解析的判定及其应用 一、 选题的背景、意义 复变函数论是数学中既古老又成熟的一门学科，复变函数论随着它的领域不断扩大而发展成为一门重要的数学分支，在复变函数的解析性质，多值性质，随机性质以及多复变函数方面都取得了重要成果。而复变函论研究的中心对象就是解析函数。 在18世纪，欧拉和达朗贝尔在研究水力学时已发现平面不可压缩流体的无旋场的势函数(,)x y Φ与流函数(,)x y ψ有连续的偏导数，且满足偏微分方程组 x y ?Φ?ψ=??，y x ?Φ?ψ=-??， 并指出()(,)(,)f z x y i x y =Φ+ψ是可微函数，这一命题的逆命题也成立。柯西把区域上处处可微的复变函数称为单演函数，后人又把它们称为全纯函数、解析函数。黎曼从这一定义出发对复变函数的微分作了深入的研究，后来，就把上述的偏微分方程组称为柯西-黎曼方程（简称C.-R.方程），或柯西-黎曼条件。魏尔斯特拉斯将一个在圆盘上收敛的幂级数的和函数称为解析函数，而区域上的解析函数是指在区域内每一小圆邻域上都能表成幂级数的和的函数。关于解析函数的不同定义在20世纪初被证明是等价的。 解析函数的研究之所以如此至关重要，是因为它具有很好的性质，例如无穷可微性，唯一性以及可以用幂级数展开等，数学分析的工具几乎都可以对解析函数加以应用。解析函数的零点，奇异性质，边界值问题以及在边界附近的增长受到某种限制等问题都是复变函数论研究的主要内容和重要课题。 如果设函数()f z 在z 平面上的单连通区域D 内解析，C 为D 内任一条周线，则()0c f z dz =?。这就是著名的柯西积分定理。这个定理告诉我们，解析函数在单连通区域 内的积分与路径无关。 解析函数在其定义域中某点领域内的取值情况完全决定着它在其他部分的值。有如下定

复变函数论文

复变函数论文复变函数与积分变换在自动控制原理中的应用 姓名：何缘鸽学号：092410101 学院(系)：电气与电子工程系 专业：自动化 指导教师：秦志新 评阅人：

复变函数与积分变换在自动控制原理中的 应用 【摘要】： 复变函数与积分变换的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学、电磁学、热学、弹性理论中的平面问题的有力工具。而自然科学和生产技术的发展又极大地推动了复变函数的发展，丰富了它的内容。我们在学习的过程中，要正确理解和掌握复变函数中的数学概念和方法，逐步培养利用这些概念和方法解决实际问题的能力。文中简单地介绍了该门课程在自动控制理论中的应用。 【关键词】：线性系统 Z变换卷积拉普拉斯变换 【正文】： 提出问题： 众所周知，复变函数中的许多概念、理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展，因而它们之间有许多相似之处。但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了taylor级数展开laplace变换和fourier变换后而使其显得更加重要了。 随着教育事业的不断发展与更新，一些新的处理数据的方法越来越多的应用于我们的日常专业学习中。当然复变函数在自动控制原理方面的应用也更大的加快了自动化的发展，自动控制与信号处理也更加离不开一套有效的处理方法。但是常规的Fourier变换的运算的范围还是有限的，如何去解决一些不能展开成Fourier级数的信号成了

我们的首要问题。 分析问题： 虽然常规的Fourier 变换的运算的范围是有限的，，但Laplace 变换、Z 变换等填补了Fourier 变换的不足之处，究竟其有什么好处呢？下面就介绍一些例子，从中就能看出。 例1： 如图1所示电路，原处于稳态，开关S 于t=0时由1端转向 2端，R=10 Ω ，L=1H,C=0.004F,求换路后电流i(t)。 解：因换路前电路已达稳态，故可知 ()=-0i 0, ()V u c 20=- 换路后，电路的微分方程为 ()()()+ ++-0c u dt t di L t Ri ?- t d i C 0)(1ττ=10)(t ε 对上式进行拉普拉斯变换，得

复变函数论文(DOC)

复变函数论文 《复变函数与积分变换》与《信号系统》的相互联系和运用 系别： 专业名称： 学号： 姓名： 指导老师： 年月日

《复变函数与积分变换》与《信号系统》的相互联系和运用 摘录：随着现代科学技术理论的发展，学课间的联系越来越紧密，通过相互协助，使复杂的问题能够利用较简单的方法方便，快捷的解决。由于复变函数与积分变换的运算是实变函数运算的一种延伸，且由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了“留数”的概念，以及Taylor级数展开，Laplace变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要，因此学习复变函数与积分变换对学习信号与系统具有很大的促进作用。文章主要介绍了：1，Fourier变换是怎样在信号系统的频域分析中进行运用的；2，怎样利用复变函数中的“留数定理”对Laplace反变换进行计算； 3，复变函数中的Z变换是怎样解决信号系统中离散信号与系统复频域问题分析的；4，复变函数与积分变换中的各种运算是怎样通过信号系统中的MATLAB来实现的。 关键词：留数，Laplace变换，Z变换， Fourier变换，Taylor级数，MATLAB。 1，Fourier变换是怎样在信号系统的频域分析中进行运用的； 当对一个信号系统进行分析和研究时，首先应该知道该信号系统的数学模型，即建立该信号系统的数学表达式，例如：根据Fourier 级数的理论，连续时间周期信号的频域分析的数学表达式即为无限项

虚指数序列的线性叠加；而且信号的Fourier 变换建立了信号的时域与频域之间的一一对应的关系，并揭示了其在时域域频域之间的内在联系，因此为信号和系统的分析提供了一种新的方法和途径。 例1：已知描述某稳定的连续时间LTI 系统的微分方程为 ''''()3()2()2()3(),y t y t y t x t x t ++=+ 系统的输入激励3()()t x t e u t -=，求该系统的零状态响应()zs y t 。 解：由于输入激励()x t 的频谱函数为 1 ()3 x j j ωω= +， 根据微分方程可得到该系统的频率响应为 2 2()32()3 ()()3()2(1)(2) j j H j j j j j ωωωωωωω++= =++++， 故该系统的零状态响应()zs y t 的频谱函数()zs Y j ω为 2()3 ()()()(1)(2)(3) zs j Y j X j H j j j j ωωωωωωω+== +++， 将()zs Y j ω表达式用部分分式法展开，得 13 122()23 zs Y j j j j ωωωω- =++ ++， 由Fourier 反变换，可得系统()zs y t 的零状态响应为 2313 ()()()22 t t t zs y t e e e u t ---=+- 例2：已知某连续时间LTI 系统的输入激励()()t x t e u t -=，零状态 响应2()()()t t zs y t e u t e u t --=+，求该系统的频率响应()H jw 和单位冲 激响应()h t 。 解：对()x t 和()zs y t 分别进行Fourier 变换，得

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期中考试 复变函数的微积分理论与实变函数微积分理论的比较与应用 学院：数学与计量经济学院 班级：10级数学与应用数学01班 姓名：罗强华 学号：20101010114

一·复变函数微积分理论 1复变函数微分 (3) 2复变函数积分 (4) 二·复变函数微积分与实变函数微积分的比较······永远的对手或者同伴？ 1复变函数微积分与实变函数微积分的联系 (5) 2复变函数微积分与实变函数微积分的区别 (6) 三·复变函数微积分理论在实际中的应用 1复变解析函数的应用：平面向量场 (7) 2应用复变积分求积分的几个例子 (8) 四.附注之写在论文后头的话 (8)

1·复变函数微分 仿照实变函数的定义，我们对复变函数的导数给出定义， Z 0的某领域有定义，且Δz 以任意方式趋于0的时候，如果比值Δf/Δz 的极限 z f ?-?+→?) (z f lim Z Z 000z ）（存在，就说此极限为函数f （z ）在Z 0处的导数。同样，仿照实 变函数，复变函数出现了微分，就在我们以为复变函数会依照实变函数的老路子一直走下去的时候，解析函数的概念横空出世，一个函数在某点解析比起它在这点可微要严格多了，因为解析就是配合区域出现的，好的，如果你在某点可导，没有其他选择，必须有这样一个区域包含该点，然后你在这个区域类可导。 如果函数在某点z （0）处不解析，但是在它的任意一个邻域内都有f （z ）的解析点，则z （0）为函数f （z ）的奇点，对这一点来说，它应该感到很无奈，明明可以构建一个解析点的点列以它为极限，但它就是就是不解析，这也就是说解析点不能“求极限”。这个点又是骄傲的，沿环绕它的周线积分，积分值不再是0，比如i 2a -z dz c π=? ，其中C 为绕点a 的周线，此时尽管周线线上每点都是解析的，但函数沿周线积分不等于01，即奇点所在区域积分与路径有关。 解析函数有着一些特殊的性质，一个复变函数可以表示成为两个二元函数的组合f （z ）=u （x ，y ）+iv （x ，y ），当复变函数可微的时候，这两个二元函数u （x ，y ），v （x ，y ）也要可微，它还要满足柯西—黎曼方程y v x u ??=??，x v -y u ??=??。 我们对初等解析函数的认识过程：借助实变函数的符号e ，我们定义了指数函数f （z ）=e z ，因为z 的i 次方我们是知道的，所以接受此概念对我们而言，自然而然就接受了。我 们又由e 的iy （y 为实数）isiny cosy e iy +=，isiny -cosy e -iy =推出siny=i 2-e e -iy iy π这样 的形式，如果将y 替换成为复数z 按照上面形式，以后人为定义复变函数sinz=i 2-e e -iz iz π，这是一次推广，就像数域的扩张，实数是复数一个子集，定义域从实数推广到复数，恰似一道原本合拢的窗帘，现在将它拉开了，于是，一种静谧的美扑面而来。 正如上所言，双曲函数，正切函数，余切函数，正割函数，余割函数在定义域推广以后在复数的世界生根发芽。至此，解析函数的家族不断扩大。我们对复变函数的了解也由浅而深。 解析函数具有无穷可微性及其他等等奇妙的性质，而这些性质会在实变函数和复变函数的比较中一一例举出来，复变函数函数向我们展示其奇异雄伟的一面。

复变函数与积分变换论文

复变函数论文 复变函数在反馈系统稳定性中的应用 姓名：李欢欢学号：091410121 学院(系)：电气与电子工程系 电气工程及其自动化专业： 指导教师：秦志新 评阅人： 完成日期：2011年12月25日星期日

复变函数在反馈系统稳定 性中的应用 一、摘要: Laplace变换在分析反馈系统稳定性有着关键作用，求解一些简单的稳定性问题也很方便。但对于一些较为复杂的反馈系统，用Laplace变换就不方便了。通过对“辐角定理和奎斯特判据”和Laplace变换及特征方程，根与系数关系劳斯判据，根据三种方法的对比及其不同方法的特点体现出利用辐角定理结合奎斯特判据处理反馈系统问题的优越性。辐角定理与奈奎斯特判据解法简单易懂便于推广，同时在其他领域也有着广泛的应用。 二、关键词: 反馈系统、幅角、奈奎斯特判据、极点、零点

三、正文: 【提出问题】: 在电气电子工程及其自动化控制过程中，如图所示负反馈放大电路是最为常见的，应用最广泛的电路之一 Xi 为输入量，Xi ’为电路中信号净输入量，Xf 为反馈量，“ ”为反馈系统 在实际应用中，当输入信号为零即Xi=0时。由于某种电扰动（如合闸通电或者外来信号干扰）其中含有的信号经过电路的放大，产生输入信号，而输出信号再进过负反馈系统再次进入输入，如此循环下去，电路将产生自激振荡，反馈系统将无法正常工作，处于不稳定状态。所以如何保持反馈系统稳定工作，不致于产生自激振荡、在实践上和理论上都是一个必须解决的问题。 【分析问题】: 如图所示表示单个回路反馈系统，整个反馈系统的输出Y(s)，与输入X(s)之间的 关系为Y(s)=H1(s)[X(s)-H2(s)Y(s)] 则闭环传输函数）（s H s H s H s X s Y s H 2 11)(1) ()()()(+== 而开环传输函数） （）（s H s H s H 21)(='

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题目： 拉普拉斯变换法在专业上应用的认识 摘要： 本文主要讨论了拉普拉斯变换法在电气工程及其自动化专业（自动化控制理论）中的应用，本文从三个方面对它进行了集中的阐释，首先是较为深入地讨论了拉普拉斯变换在物理学线性电路及自动控制系统中的典型应用，从而表明该变换不论在理论研究还是在实际应用中都具有非常重要的意义；其次是分析电路的稳态过程常采用经典法来求解，然而对复杂的电路．经典法就显得繁琐．甚至要用计算机才能求解，提出的把拉普拉斯变换应用于电路的稳态过程，即把求解困难的微分方程转化为能方便求解的代数方程；最后是讨论如何利用拉普拉斯变换方法解决复杂电路分析问题，结合一些实例，说明用该方法解题的思路和步骤。由理论结合实际，由点及面分层剖析了拉普拉斯变换法在电气工程及其自动化专业中的应用。 关键词： 拉普拉斯变换，微分方程，电路 目录： 拉普拉斯变换法在电路分析中的应用 正文： 在自动控制专业中，对信号处理时的传递函数理论分析、各类信号处理中的时-频域理论分析等内容要应用拉普拉斯变换进行处理；拉普拉斯变换是由复变函数积分引导出的—个非常重要的结论，

它在物理和应用数学中都占有很重要的地位。 1、运用拉普拉斯变换求解电路的基本方法 在物理教学中，常会碰到具有非零初始条件的电路求解问题。我们通常采用拉普拉斯变换法对电路进行求解。拉氏变换求解电路有两种方法 ；一是先根据电路及物理定律写出相应微分方程 ，再取拉氏变换求解；二是一开始就将电路中的每个元件取拉氏变换再运用 KCL 、KVL 定律建立代数方程求解 。 下面以《电磁学》课程中的RC 稳态过程及RLC 稳态过程为例，用拉氏变换的两种方法对电路进行分析求解。 例：图示电路，设电容器C 两端已充有电压，电压值为ε。求当开关K 闭合后，电路中的电容两端的电压Uc ，电路中的电流i 及电阻两端的电压U R 。 用一般方法进行求解，如上图RC 电路中，开关K 闭合前，电容C 已经充电，其电压ε=C u 。开关闭合后，电容储存的能量将通过电阻以热能形式释放出来。现把开关动作时刻取为计时起点（t=0）。开关闭合后，即t ≥+0时，根据基尔霍夫定律可得： 0 =+C R u u 将dt du C i Ri u R -==,代入上述方程，有

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摘要:在自动控制原理中,应用比较多的一种数学模型是频率特性,频率特性是系统频率响应与正弦输入信号之间的关系,频率特性虽然是一种稳态特性,但它不仅反映系统稳态性能,而且还可以用来研究系统稳态性和暂态性能。在实际应用中,求解正弦信号稳态响应时,用解析方法求解往往十分复杂,对于高阶系统就更加困难,因此常常在频域分析中把输出的稳态响应和输入的正弦信号用复数表示,可化为实频和虚频特性并且利用图解分析法,从复数的角度更容易理解和计算。 关键词:复数,时域，频域，频率特性,自动控制,实频,虚频,稳态特性

在自动控制中，分析系统首先要建立数学模型,然后采用各种方法对系统进行分析,由于多数控制系统是以时间作为独立变量,所以往往用时间域的分析方法,即用解析方法求解系统的稳态响应,虽然用解析的方法不难求出线性定常量一、二阶系统的稳态响应,但是如果遇到高阶系统用求解的方法就会十分复杂。 随着科学和技术的发展,复数理论已越来越显示出它的作用,它不仅对于数学本身的发展有着极其重要的意义,而且在解决系统分析中,系统常常通过从实域变换到频域中研究频率特性起到重要作用。在复变函数中,复数是指能写成如下形式的数a+bi,这里a和b是实数,i是虚数单位,复数有多种表示方法,诸如向量表示,三角表示,指数表示等,欧拉在1748年发现了关系式后,并且第一次用i来表示-1的平方根,首创了用符号i作为虚数的单位,虚数实际上不是想象出来的,而它是确实存在的,德国数学家在1806年公布了虚数的图象表示法,即所有实数都能用一条数轴表示,同样虚数也能用一个平面上的点来表示,这就是复数的复平面特性,在直角坐标系中,横轴上取对应实数a的点A,纵轴上取对应实数b的点B,并且这两点引平行于坐标轴的直线,它们的交点c就表示复数a+bi ,复数z=a+bi(a,b=R)与有序实数对(a,b)是一一对应的关系,这是因为对于任何一个复数z=a+bi由复数相等定义可知,可以有一个有序实数对(a,b)唯一确定,如z=3+2i可以由有序实数对(3,2)确定,又如z=-2+i可以由有序实数对(-2,1)来确定,又因为有序实

复变函数的比较论文

关于复变函数的学习小结 本学习我学习了复变函数的一些知识，其中一些知识给了我很大的补充，可以说丰富了数学的见识。从实数到复数的延伸，形成一个全面的知识体系。相对而言，实数上的知识我学的比较坚实，有了这个基础，学习复变函数应该会轻松许多，不过有许多新的知识还是第一次了解，因为比较抽象，理解上就需要多做功。 实数有自己的直角坐标系，而类似的复数也有坐标。复数有实轴和虚轴，用（x,y）表示。应该讲复数包括实数（当虚数为0），这样来说复数就比较全面了，因此学好复变很关键。复数的运算要注意除法，它需要分母有理化。共轭复数即虚数变号，这里面的一些关系运算需要了解。讲到复数不得不提辅角，这里的主值范围为-π＜θ≤π，结合象限来判断角度较好。此外复数的三角表示和指数表示很重要，这里的转化要了解（z=r(cosθ＋isinθ)=re^(iθ)），至于相关的乘幂和方根与实数差不多。 下面讲到复变函数的极限与连续，这两个概念很重要，里面和实函数一样，提到邻域的含义。复函数是高等数学中一元实变函数概念的推广，二者表述几乎一样，但有所不同：1.实变函数是单值函数，而复变中有了多值函数。2.复变函数实现了不同复平面的转化，运用了曲线或图形的映射。3.复变函数好比两个二元实变函数u=u(x,y),v=v(x,y)。至于连续性和极限，只是相当于二元的实变函数，较之一元函数条件苛刻的多。 复变函数的导数和微分定义与实变函数一致，但是前者多了一个

要求，即对极限式要求是与△z →0的路径和方式无关。复变函数在这里又有了新的概念，就是解析函数，判断的标准即u(x,y),v(x,y)在点（x,y ）处可微，且满足柯西-黎曼方程：du/dx=dv/dy,du/dy=-dv/dx.复变函数的导数运算也与实变函数大致相同，不过指数函数（e^z=expz=e^z(cosy+isiny)）和对数函数(Lnz=ln|z|+iArgz)，以及乘幂(a^b=e^bLna)和幂函数求解有些不同，要求注意角度的取值，不过性质仍然相同。 由于复变函数相当于二元实变函数，则积分也是。复变函数的积分许多与高等数学中曲线积分相似的性质，积分可化为第二类曲线积分，也可化为参数方程z=z(t),直接关于t 的积分。这里柯西-古萨基本定理和复合闭路定理运用要娴熟，不定积分则运用原函数（牛顿-莱布尼兹公式），柯西积分公式和高阶导数公式用于求解解析函数f(z)有很大的意义，其中高阶导数表明具有任意阶导数，这不同于可微实变函数。由此引出调和函数：二元实函数u （x ，y ）在区域D 具有二阶连续偏导数并满足拉普拉斯方程。求解此类函数：1.偏积分法2.不定积分法3.线积分法（与路径无关）。这些计算当然还要由实变函数的基础知识来运算，可以说复变函数积分比实变函数要求严格一点，它是实变函数的延伸。 现在谈到级数的性质，复数列极限在定义与性质上与实数列极限相似，可以将复数列极限的计算问题转化到实数列上，这其中的级数的敛散性与和的定义形式都与实数项级数相同。利用实数项的各种敛散准则判定复数项级数的敛散性（如比值法，根值法）。()1 1--=n n n z c z f

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复、实变函数的 比较与应用 作者:阮玲花 学号:2 专业:数学与应用数学 复、实变函数的比较与应用 姓名:阮玲花班级:数学132 学号:2 数域从实数域扩大到复数域后,便产生了复变函数论,并且深入到了微分方程、拓扑学等数学分支。复变函数论着重讨论解析函数,而解析函数的实部与虚部就是相互联系的,这与实函数有根本的区别。有关实函数的一些概念,很多都就是可以推广到复变函数上。例如:函数的连续性、函数的导数、有(无)界函数、中值定理、泰勒展式、基本初等函数等等。 在中学我们主要了解学习了实变函数,与大学期间我们又更加深入的学习研究了实变函数,与此同时,也开始复变函数的学习。由此我们瞧到了:“数的扩展:正数→负数→实数→”,在实数范围内:当方程判别式小于0时,没有实根。→扩大数域,引进复数,这样容易给人一种由浅入深、由简入繁、由特殊到一般的感觉,它们有很深的联系,然而事实上,她们有很大的不同,有很大的区别。下面我们从几个方面来说明实变函数与复变函数的联系与区别。 (一)实变函数 实变函数论即讨论以实数为变量的函数,然而实变与常微分方程等不同,简单地说就就是恰当的改造积分定义使得更多的函数可积。由于诸如狄利克雷这样的简单函数都不可积,所以原有的积分范围太窄了,进而便产生了Lebesgue创立新积分的原始思路。 Lebesgue积分:

(二)复变函数 复变函数就是数学分析的继续,复变函数的定义:若在复数平面上存在一个点集E ,对于E 的每一点z,按照一定规律,有一个或多个复数值W 与之相对应,则称W 为z 的函数,记作)(z f W =,z ∈E 邻域:以复数0z 为圆心,以任意小正实数ε为半径做一个圆,则圆内所有点的集合称为0z 的邻域。把复变函数的)(z f 的实部与虚部分别记作u(x,y)与v(x,y),)(z f =u(x,y)+iv(x,y),所以,复变函数可以归结为一对二元实变函数。 (三) 实变函数及与复变函数比较 1.自变量的不同 以实数作为自变量的函数就做实变函数;即实数→实变量→实变函数。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数;即复数→复变量→复变函数。 2、实变函数与复变函数的联系区别 因为z=x+yi,所以复变函数y=)(z f 的实部与虚部都就是x,y 的函数,即)(z f W ==u(x,y)+iv(x,y),由此可以瞧成:一个复变函数就是两个实变函数的有序组合。这样,实变函数的许多定义、公式,定理可直接移植到复变函数中。然而同时,由于复变函数的虚部,实变函数的许多定义、公式,定理也不再就是用于复变函数。对于复变函数与实变函数,我们分别学习了两者的点集、序列、极限、连续性、可微性、积分等性质与应用。然而同时,由于复变函数的虚部,所要求的点集、序列、极限、连续性、可微性、积分等性质与应用的定义也不尽相同。 3.复变函数与实变函数关于导数概念的叙述就是相似的,即都就是由函数值的差与自变量的差之商的极限来定义导数,它们的联系也就是密切的,区别则就是整个取值的差异。复变函数在复数域中取值,实变函数在实数域内取值,但两种微分的几何意义就是相同的。对于微分的性质,实变函数与复变函数有以下三大点的

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复变函数积分方法的教学思考 数学与信息工程学院数学与应用数学专业 王旭义 1.引言 复变函数是许多工科专业如自动化控制、交通工程、电子信息等必修的数学课程，学好复变函数可以为工科学生学习后续专业课程打下良好的数学基础.但是，由于课程内容抽象琐碎，学生学习这门课程有一定难度，容易失去学习兴趣.鉴于此，教师在教学过程中，如何帮助学生寻找合适的“窍门”，降低学习难度，激发学习兴趣，对学生学好复变函数非常重要.考虑到复变函数是高等数学的后续课程，学生对高等数学中实变量的函数积分非常熟悉，而纵观复变函数整个课程的内容，积分理论在大部分章节都占据了重要地位，并且它把许多经典内容如柯西—古萨定理、复合闭路定理、留数定理等有机地结合起来了，那么在复变函数的教学过程中，若把积分理论作为整个复变函数课程内容的一条线索，就会帮助学生理解得更加具体，从而提高学生学习的兴趣.本文集中讨论复变函数积分的常用理论和方法，并辅以适当的例题加深理解. 根据积分路径的不同，复变函数积分大致可分为以下两类：沿非封闭曲线的积分和沿封闭曲线的积分.另外，本文还讨论了一个特殊情形的积分，即无穷限的广义积分. 一、沿曲线C（非封闭）的积分f（z）dz 当积分路径是非封闭的曲线时，可以用参数法和牛顿—莱布尼兹积分公式法. 1.参数法 路径是光滑的有向曲线C且可以表示成参数方程z=z（t），α≤t≤β，参数α、β分别对应C的起点和终点，则曲线积分可以用如下的公式计算： f（z）dz=f［z（t）］z′（t）dt. 例1．计算zdz，其中C为从原点到1+3i的直线段. 解：将C的方程写作z=（1+3i）t，0≤t≤1，则： zdz=（1+3i）td（1+3i）t=（1+3i）dt=-8+6i. 2.线积分法 如果f（z）=u（x，y）+iv（x，y）是连续函数，C是光滑曲线y=g（x），则f（z）dz 可以转变为两个二元实变函数的线积分，即： f（z）dz=udx-vdy+ivdx+udy. 例2．计算积分（x+yi）dz，其中C为抛物线y=2x，0≤x≤1. 解：u=x，v=y，则： （x+yi）dz=xdx-（2x）d（2x）+i（2x）dx+xd（2x）=（x-16x）dx+i（4x+4x）dx=-+i. 3.牛顿—莱布尼兹积分公式法 如果f（z）在单连通区域D内处处解析，G（z）为f（z）在区域D的一个原函数，z 与z是区域D内两点，则： f（z）dz=G（z）-G（z）. 例3.沿区域Im（z）≥0，Re（z）≥0内的圆弧|z|=1计算积分dz的值. 解：被积分函数在所给区域内处处解析，它的一个原函数为ln（z+1），则：