三矩阵的基本运算
第三节矩阵的基本运算
§3.1 加和减
§3.2矩阵乘法
§3.2.1 矩阵的普通乘法
§3.2.2 矩阵的Kronecker乘法
§3.3 矩阵除法
§3.4矩阵乘方
§3.5 矩阵的超越函数
§3.6数组运算
§3.6.1数组的加和减
§3.6.2数组的乘和除
§3.6.3 数组乘方
§3.7 矩阵函数
§3.7.1三角分解
§3.7.2正交变换
§3.7.3奇异值分解
§3.7.4 特征值分解
§3.7.5秩
§3.1 加和减
如矩阵A和B的维数相同，则A+B与A-B表示矩阵A与B的和与差．如果矩阵A和B的维数不匹配，Matlab会给出相应的错误提示信息．如：
A= B=
1 2 3 1 4 7
4 5 6 2 5 8
7 8 0 3 6 0
C =A+B返回：
C =
2 6 10
6 10 14
10 14 0
如果运算对象是个标量（即1×1矩阵），可和其它矩阵进行加减运算．例如：
x= -1 y=x-1= -2
0 -1
2 1
§3.2矩阵乘法
Matlab中的矩阵乘法有通常意义上的矩阵乘法，也有Kronecker乘法，以下分别介绍．
§3.2.1 矩阵的普通乘法
矩阵乘法用“ * ”符号表示，当A 矩阵列数与B 矩阵的行数相等时，二者可以进行乘法运算，否则是错误的．计算方法和线性代数中所介绍的完全相同．
如：A=[1 2 ; 3 4]; B=[5 6 ; 7 8]; C=A*B ，
结果为
C=×==
即Matlab 返回：
C =
19 22
43 50
如果A 或B 是标量，则A*B 返回标量A （或B ）乘上矩阵B （或A ）的每一个元素所得的矩阵．
§3.2.2 矩阵的Kronecker 乘法
对n ×m 阶矩阵A 和p ×q 阶矩阵B ，A 和B 的Kronecher 乘法运算可定义为：
由上面的式子可以看出，Kronecker 乘积A B 表示矩阵A 的所有元素与B 之间的乘积组合而成的较大的矩阵，B A 则完全类似．A B 和B A 均为np ×mq 矩阵，但一般情况下A B B A ．和普通矩阵的乘法不同，Kronecker 乘法并不要求两个被乘矩阵满足任何维数匹配方面的要求．Kronecker 乘法的Matlab 命令为C=kron(A,B)，例如给定两个矩阵A 和B ：
A= B=
则由以下命令可以求出A 和B 的Kronecker 乘积C ：
A=[1 2; 3 4]; B=[1 3 2; 2 4 6]; C=kron(A,B)
C =
1 3
2 2 6 4
2 4 6 4 8 12
3 9 6
4 12 8
6 12 18 8 16 24
作为比较，可以计算B 和A 的Kronecker 乘积D ，可以看出C 、D 是不同的：
A=[1 2; 3 4]; B=[1 3 2; 2 4 6]; D=kron(B,A)
D =
1 2 3 6 2 4
3 4 9 12 6 8
2 4 4 8 6 12
6 8 12 16 18 24
§3.3 矩阵除法
在Matlab 中有两种矩阵除法符号：“＼”即左除和“／”即右除．如果A 矩阵是非奇异方阵，则A\B 是A 的逆矩阵乘B ，即inv(A)*B ；而B/A 是B 乘A 的逆矩阵，即B*inv(A)．具体计算时可不用逆矩阵而直接计算．
通常：
???? ??4321???? ??8765???? ???+??+??+??+?8463745382617251???? ??50432219??????? ??=?=B a B a B a B a B a B a B a B a B a B A C nm n n m m (2122221)
11211 ?????≠?1234?? ???132246?? ???
x=A\B就是A*x=B的解；
x=B/A就是x*A=B的解.
当B与A矩阵行数相等可进行左除．如果A是方阵，用高斯消元法分解因数．解方程：A*x(:, j)=B(:, j)，式中的(:, j)表示B矩阵的第j列，返回的结果x具有与B矩阵相同的阶数，如果A是奇异矩阵将给出警告信息．
如果A矩阵不是方阵，可由以列为基准的Householder正交分解法分解，这种分解法可以解决在最小二乘法中的欠定方程或超定方程，结果是m×n的x矩阵．m是A矩阵的列数，n是B矩阵的列数．每个矩阵的列向量最多有k个非零元素，k 是A的有效秩．右除B/A可由B/A=(A'\B')'左除来实现．
§3.4矩阵乘方
A^P意思是A的P次方．如果A是一个方阵，P是一个大于1的整数，则A^P表示A 的P次幂，即A自乘P次．如果P不是整数，计算涉及到特征值和特征向量的问题，如已经求得：[V,D]=eig(A)，则：
A^P=V*D.^P/V（注：这里的.^表示数组乘方，或点乘方，参见后面的有关介绍）
如果B是方阵，a是标量，a^B就是一个按特征值与特征向量的升幂排列的B次方程阵．如果a和B都是矩阵，则a^B是错误的．
§3.5 矩阵的超越函数
在Matlab中解释exp(A)和sqrt(A)时曾涉及到级数运算，此运算定义在A的单个元素上．Matlab可以计算矩阵的超越函数，如矩阵指数、矩阵对数等．
一个超越函数可以作为矩阵函数来解释，例如将“m”加在函数名的后边而成expm(A)和sqrtm(A)，当Matlab运行时，有下列三种函数定义：
expm 矩阵指数
logm 矩阵对数
sqrtm 矩阵开方
所列各项可以加在多种m文件中或使用funm．请见应用库中sqrtm.m，1ogm.m，funm.m 文件和命令手册．
§3.6数组运算
数组运算由线性代数的矩阵运算符“*”、“/”、“\”、“^”前加一点来表示，即为“.*”、“./”、“.\”、“.^”．注意没有“.+”、“.-”运算．
§3.6.1数组的加和减
对于数组的加和减运算与矩阵运算相同，所以“+”、“-”既可被矩阵接受又可被数组接受．
§3.6.2数组的乘和除
数组的乘用符号.*表示，如果A与B矩阵具有相同阶数，则A.*B表示A和B单个元素之间的对应相乘．例如x=[1 2 3]; y=[ 4 5 6];
计算z=x.*y
结果z=4 10 18
数组的左除（.\）与数组的右除（./），由读者自行举例加以体会．
§3.6.3 数组乘方
数组乘方用符号.^表示．
例如：键入：
x=[ 1 2 3]
y=[ 4 5 6]
则z=x.^y=[1^4 2^5 3^6]=[1 32 729]
(1) 如指数是个标量，例如x.^2，x同上，则：
z=x.^2=[1^2 2^2 3^2]=[ 1 4 9]
(2) 如底是标量，例如2 .^[x y] ，x、y同上，则：
z=2 .^[x y]=[2^1 2^2 2^3 2^4 2^5 2^6]=[2 4 8 16 32 64] 从此例可以看出Matlab算法的微妙特性，虽然看上去与其它乘方没什么不同，但在2和“．”之间的空格很重要，如果不这样做，解释程序会把“．”看成是2的小数点．Matlab 看到符号“^”时，就会当做矩阵的幂来运算，这种情况就会出错，因为指数矩阵不是方阵．
§3.7 矩阵函数
Matlab的数学能力大部分是从它的矩阵函数派生出来的，其中一部分装入Matlab本身处理中，它从外部的Matlab建立的M文件库中得到，还有一些由个别的用户为其自己的特殊的用途加进去的．其它功能函数在求助程序或命令手册中都可找到．手册中备有为Matlab 提供数学基础的LINPACK和EISPACK软件包，提供了下面四种情况的分解函数或变换函数：
(1)三角分解；(2)正交变换；(3) 特征值变换；(4)奇异值分解．
§3.7.1三角分解
最基本的分解为“LU”分解，矩阵分解为两个基本三角矩阵形成的方阵，三角矩阵有上三角矩阵和下三角矩阵．计算算法用高斯变量消去法．
从lu函数中可以得到分解出的上三角与下三角矩阵，函数inv得到矩阵的逆矩阵，det 得到矩阵的行列式．解线性方程组的结果由方阵的“\”和“/”矩阵除法来得到．例如：
A=[ 1 2 3
4 5 6
7 8 0]
LU分解，用Matlab的多重赋值语句
[L,U]=lu(A)
得出
注：L
结果只需计算L*U即可．
求逆由下式给出：x=inv(A)
x =
从LU的值可由下式给出：d=det(A)
d =
27
直接由三角分解计算行列式：d=det(L)*det(U)
d =
27.0000
为什么两种d的显示格式不一样呢? 当Matlab做det(A)运算时，所有A的元素都是整数，所以结果为整数．但是用LU分解计算d时，L、U的元素是实数，所以Matlab产生的d也是实数．
例如：线性联立方程取b=[ 1
3
5]
解Ax=b方程，用Matlab矩阵除得到
x=A\b
结果x=
0.3333
0.3333
0.0000
由于A=L*U，所以x也可以有以下两个式子计算：y=L\b，x=U\y．得到相同的x值，中间值y为：
y =
5.0000
0.2857
0.0000
Matlab中与此相关的函数还有rcond、chol和rref．其基本算法与LU分解密切相关．chol 函数对正定矩阵进行Cholesky分解，产生一个上三角矩阵，以使R'*R=X．rref用具有部分主元的高斯－约当消去法产生矩阵A的化简梯形形式．虽然计算量很少，但它是很有趣的理论线性代数．为了教学的要求，也包括在Matlab中．
§3.7.2正交变换
“QR”分解用于矩阵的正交－三角分解．它将矩阵分解为实正交矩阵或复酉矩阵与上三角矩阵的积，对方阵和长方阵都很有用．
例如A=[ 1 2 3
4 5 6
7 8 9
10 11 12]
是一个降秩矩阵，中间列是其它二列的平均，我们对它进行QR分解：
[Q,R]=qr(A)
R的下三角都给出0，并且R(3,3)=0.0000，说明矩阵R与原来矩阵A都不是满秩的．
下面尝试利用QR分解来求超定和降秩的线性方程组的解．
例如：
b=[ 1
3
5
7]
讨论线性方程组Ax=b，我们可以知道方程组是超定的，采用最小二乘法的最好结果是计算x=A\b．
结果为：
Warning: Rank deficient, rank = 2 tol = 1.4594e-014
x =
0.5000
0.1667
我们得到了缺秩的警告．用QR分解法计算此方程组分二个步骤：
y=Q'*b
x=R\y
求出的y值为
x
Warning: Rank deficient, rank = 2 tol = 1.4594e-014
x =
0.5000
0.1667
用A*x来验证计算结果，我们会发现在允许的误差范围内结果等于b．这告诉我们虽然联立方程Ax=b是超定和降秩的，但两种求解方法的结果是一致的．显然x向量的解有无穷多个，而“QR”分解仅仅找出了其中之一．
§3.7.3奇异值分解
在Matlab中三重赋值语句
[U,S,V]=svd(A)
在奇异值分解中产生三个因数：
A=U*S*V '
U矩阵和V矩阵是正交矩阵，S矩阵是对角矩阵，svd(A)函数恰好返回S的对角元素，而且就是A的奇异值（其定义为：矩阵A'*A的特征值的算术平方根）．注意到A矩阵可以不是方的矩阵．
奇异值分解可被其它几种函数使用，包括广义逆矩阵pinv(A)、秩rank(A)、欧几里德矩阵范数norm(A,2)和条件数cond(A)．
§3.7.4 特征值分解
如果A是n×n矩阵，若λ满足Ax=λx，则称λ为A的特征值，x为相应的特征向量．函数eig(A)返回特征值列向量，如果A是实对称的，特征值为实数．特征值也可能为复数，例如：
A=[ 0 1
-1 0]
eig(A)
产生结果
ans =
0 + 1.0000i
0 - 1.0000i
如果还要求求出特征向量，则可以用eig(A)函数的第二个返回值得到：
[x,D]=eig(A)
D的对角元素是特征值．x的列是相应的特征向量，以使A*x=x*D．
计算特征值的中间结果有两种形式：
Hessenberg形式为hess(A)，Schur形式为schur(A)．
schur形式用来计算矩阵的超越函数，诸如sqrtm(A)和logm(A)．
如果A和B是方阵，函数eig(A,B)返回一个包含一般特征值的向量来解方程Ax= Bx
双赋值获得特征向量
[X,D]=eig(A,B)
产生特征值为对角矩阵D．满秩矩阵X的列相应于特征向量，使A*X=B*X*D，中间结果由qz(A,B)提供．
§3.7.5秩
Matlab计算矩阵A的秩的函数为rank(A)，与秩的计算相关的函数还有：rref(A)、orth(A)、null(A)和广义逆矩阵pinv(A)等．
利用rref(A)，A的秩为非0行的个数．rref方法是几个定秩算法中最快的一个，但结果上并不可靠和完善．pinv(A)是基于奇异值的算法．该算法消耗时间多，但比较可靠．其它函数的详细用法可利用Help求助．
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矩阵行列式的概念与运算
知识点总结： 一、矩阵的概念与运算 1、 矩阵1112 132122 23a a a a a a ?? ??? 中的行向量是()111213a a a a =r ，()2122 23b a a a =r ； 2、 如：1112131112111221222321222122,,c c c a a b b A B C c c c a a b b ?? ???? === ? ? ??????? ，那么 11111212111221212222212233,333a b a b a a A B A a b a b a a ++???? +== ? ? ++????， 1111122111121222 111312232111222121122222 21132223a c a c a c a c a c a c AC a c a c a c a c a c a c +++?? = ?+++?? 矩阵加法满足交换律和结合律，即如果,,A B C 是同阶的矩阵，那么有： ,()()A B B A A B C A B C +=+++=++。 同理如果矩阵,A B 是两个同阶矩阵，那么将它们对应位置上的元素相减所得到的矩阵C 叫做矩阵A 与B 的差，记作C A B =-。 实数与矩阵的乘法满足分配律：即()a A B aA aB +=+。 矩阵对乘法满足：()A B C AB AC +=+，()B C A BA CA +=+，()()()a AB aA B A aB == ()()AB C A BC = 3、 矩阵乘法不满足交换率，如111 11 11 122222222.a b c d c d a b a b c d c d a b ????????≠ ??? ??????????? 矩阵乘法能进行的条件是左边的矩阵A 的列数与右边矩阵B 的行数相等，而且矩阵的乘法不满足交换率，不满足消去律。 二、行列式概念及运算 1.用记号 2 2 11b a b a 表示算式1221b a b a -,即 2 2 11b a b a =1221b a b a -,其中 2 2 11b a b a 叫做二阶行列 式;算式1221b a b a -叫做二阶行列式的展开式;其计算结果叫做行列式的值;2121,,,b b a a 都叫做行列式的元素.利用对角线 2 2 11b a b a 可把二阶行式写成它的展开式,这种方法叫做二阶行列式 展开的对角线法则;即在展开时用主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积. 2.二元一次方程组的解 二元一次方程组???=+=+222 1 11c y b x a c y b x a (其中2121,,,b b a a 不全为零);记 2 211b a b a 叫做方程组的系数
第3章 矩阵及其运算
第3章 矩阵及其运算 3.1 基本要求、重点难点 基本要求： 1．1．掌握矩阵的定义. 2．2．掌握矩阵的运算法则. 3．3．掌握伴随矩阵的概念及利用伴随矩阵求逆矩阵的方法. 4．4．掌握矩阵秩的概念及求矩阵秩的方法. 5．5． 掌握初等变换和初等矩阵的概念，能够利用初等变换计算矩阵的秩，求可逆矩阵的逆矩阵. 6．6．掌握线形方程组有解得判定定理及其初等变换解线形方程组的方法. 重点难点：重点是矩阵定义，矩阵乘法运算，逆矩阵的求法，矩阵的秩，初等 变换及线性方程组的解. 难点是矩阵乘法，求逆矩阵的伴随矩阵方法. 3.2 基本内容 3.2.1 3.2.1 重要定义 定义3.1 由n m ?个数)2,1;,2,1(n j m i a ij ==组成的m 行n 列的数表成为一个m 行n 列矩阵，记为 ????????????mn m m n n a a a a a a a a a 2122221 11211 简记为A n m ij a ?=)(，或A )(ij a =,n m A ?,mn A 注意行列式与矩阵的区别： （1） （1） 行列式是一个数，而矩阵是一个数表. （2） （2） 行列式的行数、列数一定相同，但矩阵的行数、列数不一定相 同. （3） （3） 一个数乘以行列式，等于这个数乘以行列式的某行（或列）的所有元素，而一个数乘以矩阵等于这个数乘以矩阵的所有元素. （4） （4） 两个行列式相等只要它们表示的数值相等即可，而两个矩阵相等则要求两个矩阵对应元素相等. （5） （5） 当0||≠A 时，||1A 有意义，而A 1 无意义.
n m =的矩阵叫做阶方阵或m 阶方阵.一阶方阵在书写时不写括号，它在 运算中可看做一个数. 对角线以下（上）元素都是0的矩阵叫上（下）三角矩阵，既是上三角阵， 又是下三角的矩阵，也就是除对角线以外的元素全是0的矩阵叫对角矩阵.在对角矩阵中，对角线上元素全一样的矩阵叫数量矩阵；数量矩阵中，对角线元素全是1的n 阶矩阵叫n 阶单位矩阵，常记为n E （或n I ），简记为E （或I ），元素都是0的矩阵叫零矩阵，记为n m 0?，或简记为0. 行和列分别相等的两个矩阵叫做同型矩阵，两个同型矩阵的且对应位置上的 元素分别相等的矩阵叫做相等矩阵. 设有矩阵A =n m ij a ?)(，则A -n m ij a ?-=)(称为A 的负矩阵. 若A 是方阵，则保持相对元素不变而得到的行列式称为方针A 的行列式，记 为||A 或A Det . 将矩阵A 的行列式互换所得到的矩阵为A 的转置矩阵，记为T A 或A '. 若方阵A 满足A A T =，则称A 为对称矩阵，若方阵A 满足A A T -=，则称A 为反对称矩阵. 若矩阵的元素都是实数，则矩阵称为实矩阵.若矩阵的元素含有复数，则称矩 阵为复矩阵，若A =n m ij a ?)(是复矩阵，则称矩阵n m ij a ?)(（其中ij a 为ij a 的共轭矩阵，记为A n m ij a ?=)(. 定义3.2 对于n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==，则 称方阵A 可逆，B 称为A 的逆矩阵，记做1-=A B . 对于方阵A n m ij a ?=)(，设ij a 的代数余子式为ij A ，则矩阵 *A ????????????=nm n n n n A A A A A A A A A 2122212 12111 称为A 的伴随矩阵，要注意伴随矩阵中元素的位置. 定义3.3 设有矩阵A ，如果： （1） （1） 在A 中有一个r 阶子式D 不为零.
矩阵的定义及其运算规则
矩阵的定义及其运算规则 1、矩阵的定义 一般而言，所谓矩阵就是由一组数的全体，在括号（）内排列成m行n 列（横的称行，纵的称列）的一个数表，并称它为m×n阵。 矩阵通常是用大写字母 A 、B …来表示。例如一个m 行n 列的矩阵可以简记为： ，或 。即： （2-3） 我们称（2-3）式中的为矩阵A的元素，a的第一个注脚字母，表示矩阵的行数，第二个注脚字母j（j＝1，2，…，n）表示矩阵的列数。 当m＝n时，则称为n阶方阵，并用表示。当矩阵（a ij）的元素仅有一行或一列时，则称它为行矩阵或列矩阵。设两个矩阵，有相同的行数和相同的列数，而且它们的对应元素一一相等，即，则称该两矩阵相等，记为A＝B。 2、三角形矩阵 由i＝j的元素组成的对角线为主对角线，构成这个主对角线的元素称为主对角线元素。 如果在方阵中主对角线一侧的元素全为零，而另外一侧的元素不为零或不全为零，则该矩阵叫做三角形矩阵。例如，以下矩阵都是三角形矩阵： ，，，。 3、单位矩阵与零矩阵 在方阵中，如果只有的元素不等于零，而其他元素全为零，如： 则称为对角矩阵，可记为。如果在对角矩阵中所有的彼此
都相等且均为1，如：，则称为单位矩阵。单位矩阵常用E来表示，即： 当矩阵中所有的元素都等于零时，叫做零矩阵，并用符号“0”来表示。 4、矩阵的加法 矩阵A＝（a ij）m×n和B＝（b ij）m×n相加时，必须要有相同的行数和列数。如以C＝（c ij）表示矩阵A及B的和，则有： m ×n 式中：。即矩阵C的元素等于矩阵A和B的对应元素之和。 由上述定义可知，矩阵的加法具有下列性质（设A、B、C都是m×n矩阵）： （1）交换律：A＋B＝B＋A （2）结合律：（A＋B）＋C＝A＋（B＋C） 5、数与矩阵的乘法 我们定义用k右乘矩阵A或左乘矩阵A，其积均等于矩阵中的所有元素都乘上k之后所得的矩阵。如： 由上述定义可知，数与矩阵相乘具有下列性质：设A、B都是m×n矩阵，k、h为任意常数，则： （1）k（A＋B）＝kA＋kB （2）（k＋h）A＝kA＋hA （3）k（hA）＝khA
第一讲 矩阵的概念、运算
第一讲 Ⅰ 授课题目（章节）： §2.1 矩阵的概念； §2.2 矩阵的计算 Ⅱ 教学目的与要求： 理解矩阵概念； 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律。 Ⅲ 教学重点与难点： 矩阵的乘法 Ⅳ 讲授内容： §2.1 矩阵 定义2.1 由n m ?个数),,2,,1;,,2,1(n j m a ij =排成的m 行n 列的数表 mn m m n n a a a a a a a a a 21222 21112 11 称为m 行n 列矩阵,简称n m ?矩阵.为表示它是一个整体,总是加一个括弧,并用大写黑体字母表示它,记作 ??????? ??=?mn m m n n n m a a a a a a a a a A 212222111211 两个矩阵B A ，，如果都是m 行n 列的，称它们是同型矩阵。否则，称它们是不同型的。 n 行n 列的矩阵n n A ?称为n 阶矩阵（或n 阶方阵） ，简记为n A 。 只有一行的矩阵)(21n a a a A =称为行矩阵,又称行向量.只有一列的矩阵 ?????? ? ??=n b b b B 21 称为列矩阵,又称列向量. 定义2.2 如果)()(ij ij b B a A ==与是同型矩阵,并且它的对应元素相等 ,即
),,2,1;,,2,1(,n j m i b a ij ij === 那么就称矩阵A 与B 相等,记作B A =. 元素都是零的m 行n 列矩阵称为零矩阵,记作n m O ?，简记为O .不同型的零矩阵是 不同的. ??????? ??=100010001 n I 称为n 阶单位矩阵,简记作I .这个矩阵的特点是:从左上角到右下角的直线(叫做主对角线)上的元素都是1,其它元素都是0. §2.2 矩阵的运算 1. 矩阵的加法 定义2.3 设有两个n m ?矩阵)(),(ij ij b B a A ==,那么矩阵A 与B 的和记作A +B , 规定为 n m ij ij b a B A ?+=+)( 设矩阵)(),(ij ij a A a A -=-=记,A -称为矩阵A 的负矩阵.显然有 0)(=-+A A . 规定矩阵的减法为)(B A B A -+=-. 2. 数与矩阵相乘: 定义2.4 数λ与矩阵)(ij a A =的乘积记作A λ，规定为n m ij a A ?=)(λλ 数乘矩阵满足下列运算规律（设B A ,为同型矩阵，μλ,为数）： )(i )()(A A μλλμ= )(ii A A A μλμλ+=+)( )(iii B A B A λλλ+=+)( 3. 矩阵与矩阵相乘: 定义 2.5 设)(ij a A =是一个s m ?矩阵,)(ij b B =是一个n s ?矩阵,那么规定矩阵
矩阵的各种运算详解
一、矩阵的线性运算 定义1 设有两个矩阵和,矩阵与的和记作, 规定为 注：只有两个矩阵是同型矩阵时，才能进行矩阵的加法运算. 两个同型矩阵的和，即为两个矩阵对应位置元素相加得到的矩阵. 设矩阵记 , 称为矩阵的负矩阵, 显然有 . 由此规定矩阵的减法为 . 定义2 数与矩阵A的乘积记作或, 规定为 数与矩阵的乘积运算称为数乘运算. 矩阵的加法与矩阵的数乘两种运算统称为矩阵的线性运算. 它满足下列运算规律： 设都是同型矩阵，是常数，则 (1) (2) ; (3) (4) (5) (6) (7) (8) 注：在数学中，把满足上述八条规律的运算称为线性运算. 二、矩阵的相乘 定义3设 矩阵与矩阵的乘积记作, 规定为
其中，( 记号常读作左乘或右乘. 注: 只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时, 两个矩阵才能进行乘法运算. 若，则矩阵的元素即为矩阵的第行元素与矩阵的第列对应元素乘积的和. 即 . 矩阵的乘法满足下列运算规律(假定运算都是可行的)： （1） （2） （3） （4） 注: 矩阵的乘法一般不满足交换律, 即 例如, 设则 而 于是且 从上例还可看出: 两个非零矩阵相乘, 可能是零矩阵, 故不能从必然推出 或 此外, 矩阵乘法一般也不满足消去律,即不能从必然推出例如, 设 则 但 定义4如果两矩阵相乘, 有 则称矩阵A与矩阵B可交换.简称A与B可换. 注：对于单位矩阵, 容易证明 或简写成 可见单位矩阵在矩阵的乘法中的作用类似于数1. 更进一步我们有
命题1设是一个n阶矩阵，则是一个数量矩阵的充分必要条件是与任何n阶矩阵可换。 命题2设均为n阶矩阵，则下列命题等价：
矩阵的概念和运算
1。4 矩阵的概念和运算 教学要求 : (1) 掌握矩阵的加减、数与矩阵相乘的运算。 (2) 会矩阵相乘运算掌握其算法规则 ( 以便演示算法规则及行列间的对应关系〉 教学内容： 前面介绍了利用行列式求解线性方程组，即Cramer 法则。但是Cramer 法则有它的局限性： 1.0 2. D ≠?? ?所解的线性方程组存在系数行列式（行数＝列数） 同学们接下来要学习的还是关于解线性方程组，即Cramer 法则无法用上的－――用“矩阵”的方法解线性方程组。本节课主要学习矩阵的概念。 一．矩阵的概念 123123123 23124621x x x x x x x x x -+=?? -+-=-??+-=? 它的系数行列式 1 232 4601 1 1 D -=--=- 此时Cramer 法则失效，我们可换一种形式来表示： 123124621111A ?-? ?=--- ? ?-?? 这正是“换汤不换药”， 以上线性方程组可用这张“数表”来表示，二者之间互相翻译。 这种数表一般用圆括号或中括号括起来，排成一个长方形阵式，《孙子兵法》中说道：长方形阵为矩阵。 123246111A -?? ?=-- ? ?-?? 这也是矩阵，是由以上线性方程组的系数按照原来顺序排列而成，称为“系数矩阵” 而“A ”多了一列常数列，称为以上方程组的“增广矩阵”。 注意：虽然D 和A 很相像，但是区别很大。D 是行列式，实质上是一个数，而A 是一张表格，“数是数，表是表，数不是表，表也不是数”，这是本质意义上不同。况且，行列式行数必须与列数相同，矩阵则未必。 关于以上线性方程组我们后面将介绍。 更一般地，对于线性方程组：
第3讲矩阵的秩与矩阵的初等变换.
§1.3 矩阵的秩与矩阵的初等变换 主要问题：1. 自由未知数个数的唯一性 2. 相抵标准形的唯一性 3. 矩阵秩的性质 4. 满秩矩阵的性质 一、矩阵的秩 定理矩阵用初等行变换化成的阶梯形矩阵中，主元的个数（即非零行的数目）唯一。 定义矩阵A 用初等行变换化成的阶梯形矩阵 中主元的个数称为矩阵A的秩，记为秩（A）或r（A）例求下述矩阵的秩 2 1 0 3 12 3 1 2 1 01 A 4 1 6 3 58 2 2 2 6 16
2 1 0 3 1 2 3 1 2 1 0 1 A 4 1 6 3 5 8 2 2 2 6 1 6 R4 ( 1)R1 2 1 0 3 1 2 R3 ( 2)R1 R2 ( 1)R1 1 2 2 2 1 1 0 3 6 9 3 4 0 1 2 3 2 8 1 2 2 2 1 1 R2 R1 2 1 0 3 1 2 0 3 6 9 3 4 0 1 2 3 2 8 1 2 2 2 1 1 R2 ( 2)R1 0 5 4 7 3 4 0 3 6 9 3 4 0 1 2 3 2 8 1 2 2 2 1 1 R2 R4 0 1 2 3 2 8 0 3 6 9 3 4 0 5 4 7 3 4
所以秩(A) = 4 o | 性质 (1) 秩(A) = 0当且仅当 A = 0 ⑵秩(A m n ) min{ m , n} (3)初等行变换不改变矩阵的秩。 定义设A 是n 阶方阵。若秩(A) = n ,则称A 是满秩方阵；若 秩(A) < n ,则称A 是降秩方阵。 定理 满秩方阵只用初等行变换即可化为单位 方阵。 R 4 ( 5)R 2 R 3 3R 2 1 2 2 2 1 0 1 2 3 2 0 0 0 0 3 1 8 20 0 0 6 8 13 44 01 0 0 6 8 13 44 0 0 0 0 3 20 R 3
矩阵行列式的概念与运算(标准答案)
矩阵、行列式的概念与运算 知识点总结： 一、矩阵的概念与运算 1、 矩阵1112 132122 23a a a a a a ?? ??? 中的行向量是()111213a a a a =r ，()2122 23b a a a =r ； 2、 如：111213111211122122 2321222122,,c c c a a b b A B C c c c a a b b ?? ???? === ? ? ? ?????? ，那么 11111212111221212222212233,333a b a b a a A B A a b a b a a ++???? +== ? ? ++????， 1111122111121222 111312232111222121122222 21132223a c a c a c a c a c a c AC a c a c a c a c a c a c +++?? = ?+++?? 矩阵加法满足交换律和结合律，即如果,,A B C 是同阶的矩阵，那么有： ,()()A B B A A B C A B C +=+++=++。 同理如果矩阵,A B 是两个同阶矩阵，那么将它们对应位置上的元素相减所得到的矩阵C 叫做矩阵A 与B 的差，记作C A B =-。 实数与矩阵的乘法满足分配律：即()a A B aA aB +=+。 矩阵对乘法满足：()A B C AB AC +=+，()B C A BA CA +=+，()()()a AB aA B A aB == ()()AB C A BC = 3、 矩阵乘法不满足交换率，如1 11 11 11 122222222.a b c d c d a b a b c d c d a b ????????≠ ??? ??????????? 矩阵乘法能进行的条件是左边的矩阵A 的列数与右边矩阵B 的行数相等，而且矩阵的乘法不满足交换率，不满足消去律。 二、行列式概念及运算 1.用记号 2 2 11b a b a 表示算式1221b a b a -,即 2 2 11b a b a =1221b a b a -,其中 2 2 11b a b a 叫做二阶行列式; 算式1221b a b a -叫做二阶行列式的展开式;其计算结果叫做行列式的值;2121,,,b b a a 都叫做行列式的元素.利用对角线 2 2 11b a b a 可把二阶行式写成它的展开式,这种方法叫做二阶行列式展开的 对角线法则;即在展开时用主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积. 2.二元一次方程组的解
矩阵的概念及其线性运算
第二章 矩阵 §2.1 矩阵的概念及其线性运算 学习本节内容，特别要注意与行列式的有关概念、运算相区别。 一．矩阵的概念 矩阵是一张简化了的表格,一般地 ?????? ? ??mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211 称为n m ?矩阵,它有m 行、n 列，共n m ?个元素，其中第i 行、第j 列的元素 用j i a 表示。通常我们用大写黑体字母A 、B 、C ……表示矩阵。为了标明矩阵的行数m 和列数n ,可用n m ?A 或() i j m n a ?表示。矩阵既然是一张表，就不能象行 列式那样算出一个数来。 所有元素均为0的矩阵，称为零矩阵，记作O 。 两个矩阵A 、B 相等，意味着不仅它们的行、列数相同，而且所有对应元素都相同。记作B A =。 如果矩阵A 的行、列数都是n ，则称A 为n 阶矩阵，或称为n 阶方阵。n 阶矩阵有一条从左上角到右下角的主对角线。n 阶矩阵A 的元素按原次序构成的n 阶行列式，称为矩阵A 的行列式，记作A 。 在n 阶矩阵中，若主对角线左下侧的元素全为零，则称之为上三角矩阵；若主对角线右上侧的元素全为零，则称之为下三角矩阵；若主对角线两侧的元素全为零，则称之为对角矩阵。主对角线上元素全为1的对角矩阵，叫做单位矩阵，记为E ，即 ???? ?? ? ??=100010001 E n ?1矩阵（只有一行）又称为n 维行向量；1?n 矩阵（只有一列）又称为n 维列向量。行向量、列向量统称为向量。向量通常用小写黑体字母a ，b ，x ，y …… 表示。向量中的元素又称为向量的分量。11?矩阵因只有一个元素，故视之为数量，即()a a =。 二．矩阵的加、减运算 如果矩阵A 、B 的行数和列数都相同，那么它们可以相加、相减，记为B A +、B A -。分别称为矩阵A 、B 的和与差。B A ±表示将A 、B 中所有对应位置的元素相加、减得到的矩阵。例如
三矩阵的基本运算
第三节矩阵的基本运算 §3.1 加和减 §3.2矩阵乘法 §3.2.1 矩阵的普通乘法 §3.2.2 矩阵的Kronecker乘法 §3.3 矩阵除法 §3.4矩阵乘方 §3.5 矩阵的超越函数 §3.6数组运算 §3.6.1数组的加和减 §3.6.2数组的乘和除 §3.6.3 数组乘方 §3.7 矩阵函数 §3.7.1三角分解 §3.7.2正交变换 §3.7.3奇异值分解 §3.7.4 特征值分解 §3.7.5秩 §3.1 加和减 如矩阵A和B的维数相同，则A+B与A-B表示矩阵A与B的和与差．如果矩阵A和B的维数不匹配，Matlab会给出相应的错误提示信息．如： A= B= 1 2 3 1 4 7 4 5 6 2 5 8 7 8 0 3 6 0 C =A+B返回： C = 2 6 10 6 10 14 10 14 0 如果运算对象是个标量（即1×1矩阵），可和其它矩阵进行加减运算．例如： x= -1 y=x-1= -2 0 -1 2 1 §3.2矩阵乘法 Matlab中的矩阵乘法有通常意义上的矩阵乘法，也有Kronecker乘法，以下分别介绍．
§3.2.1 矩阵的普通乘法 矩阵乘法用“ * ”符号表示，当A 矩阵列数与B 矩阵的行数相等时，二者可以进行乘法运算，否则是错误的．计算方法和线性代数中所介绍的完全相同． 如：A=[1 2 ; 3 4]; B=[5 6 ; 7 8]; C=A*B ， 结果为 C=×== 即Matlab 返回： C = 19 22 43 50 如果A 或B 是标量，则A*B 返回标量A （或B ）乘上矩阵B （或A ）的每一个元素所得的矩阵． §3.2.2 矩阵的Kronecker 乘法 对n ×m 阶矩阵A 和p ×q 阶矩阵B ，A 和B 的Kronecher 乘法运算可定义为： 由上面的式子可以看出，Kronecker 乘积A B 表示矩阵A 的所有元素与B 之间的乘积组合而成的较大的矩阵，B A 则完全类似．A B 和B A 均为np ×mq 矩阵，但一般情况下A B B A ．和普通矩阵的乘法不同，Kronecker 乘法并不要求两个被乘矩阵满足任何维数匹配方面的要求．Kronecker 乘法的Matlab 命令为C=kron(A,B)，例如给定两个矩阵A 和B ： A= B= 则由以下命令可以求出A 和B 的Kronecker 乘积C ： A=[1 2; 3 4]; B=[1 3 2; 2 4 6]; C=kron(A,B) C = 1 3 2 2 6 4 2 4 6 4 8 12 3 9 6 4 12 8 6 12 18 8 16 24 作为比较，可以计算B 和A 的Kronecker 乘积D ，可以看出C 、D 是不同的： A=[1 2; 3 4]; B=[1 3 2; 2 4 6]; D=kron(B,A) D = 1 2 3 6 2 4 3 4 9 12 6 8 2 4 4 8 6 12 6 8 12 16 18 24 §3.3 矩阵除法 在Matlab 中有两种矩阵除法符号：“＼”即左除和“／”即右除．如果A 矩阵是非奇异方阵，则A\B 是A 的逆矩阵乘B ，即inv(A)*B ；而B/A 是B 乘A 的逆矩阵，即B*inv(A)．具体计算时可不用逆矩阵而直接计算． 通常： ???? ??4321???? ??8765???? ???+??+??+??+?8463745382617251???? ??50432219??????? ??=?=B a B a B a B a B a B a B a B a B a B A C nm n n m m (2122221) 11211 ?????≠?1234?? ???132246?? ???
第四讲矩阵的运算与逆矩阵
§2.2 矩阵的运算 1.矩阵的加法定义：设有两个n m ?矩阵)(),(ij ij b B a A ==,那么矩阵A 与B 的和记作A +B ,规定为 n m ij ij b a B A ?+=+)( 设矩阵)(),(ij ij a A a A -=-=记,A -称为矩阵A 的负矩阵.显然有 0)(=-+A A . 规定矩阵的减法为)(B A B A -+=-. 2.数与矩阵相乘定义:数λ与矩阵)(ij a A =的乘积记作A λ，规定为n m ij a A ?=)(λλ 由数λ与矩阵A 的每一个元素相乘。 数乘矩阵满足下列运算规律（设B A ,为同型矩阵，μλ,为数）： )(i )()(A A μλλμ= )(ii A A A μλμλ+=+)( )(iii B A B A λλλ+=+)( 3.矩阵与矩阵相乘定义:设)(ij a A =是一个s m ?矩阵,)(ij b B =是一个n s ?矩 那么规定矩阵A 与矩阵B 的乘积是一个n m ?矩阵)(ij c C =,其中),,2,1;,,2,1(,12211n j m i b a b a b a b a c kj s k ik sj is j i j i ij ===+++=∑= 并把此乘积记作AB C =，两矩阵相乘，要求左边距阵的列等于右边矩阵的行，乘积的矩阵的行与左边的行相同，列与右边的列相同。 例3：求矩阵???? ? ??-=???? ??-=043211,012301B A 的乘积BA AB 及. 解 ???? ? ??--=???? ??--=1204638311,50113BA AB 从本例可以看出AB 不一定等于BA ,即矩阵乘法不满足交换律 注:若有两个矩阵B A 、满足0=AB ,不能得出00==B A 或的结论,即矩阵乘法不满
4 矩阵的概念与运算
上海市莘庄中学高三数学训练 板块二：向量矩阵行列式 4 矩阵的概念与运算 一.填空题 1.方程组21 320x y x y +=?? -=?对应的增广矩阵为 . 2.若0ln 1a b π?? ??? 是单位矩阵，则a b -= 3．矩阵A=121037695804-?? ? ? ?-?? ，则23a = ， 32a = ，22a = ，第二行的行向量为 ， 第四列的列向量为 . 4．已知一个关于y x ,的二元线性方程组的增广矩阵是? ?? ? ??-210211，则y x +=_________. 5.关于 x y 、的方程组 { 2542 x my nx y +=-=的增广矩阵经过变换后得到 ()103011，则() m n = . 6.已知 1 4 1 4x+3 y 2y+7 y x y -+???? = ? ????? ，则x y += . 7.已知32 x-3y 1 7,x+y x-y a b x y A B +-????== ? ????? ，若A=B ，则x y a b +++= 8．某东西方向十字路口的红绿灯时间设置如下：绿灯30S ，黄灯3S ，红灯20S ，如果分别用1，0，—1表示绿灯、黄灯、红灯，试用23?矩阵表示该路口的时间设置为 . 9.已知A=754312541?? ? ? ???，B=121211111?? ? ? ?-?? ，则2A+B= 10.设矩阵A 为33?矩阵，且规定其元素,,ij ij i j a i j i j =?=? +≠?，其中,1,2,3i j =，那么A 中所有元素之和为 . 11．若二元一次方程组的增广矩阵为 6 -4 58 -3 2? ? ??? ，则以该方程的解为坐标的点和圆C ：2 24x y +=的位置 关系为 . 12.定义 1* 111,11n n n n x x n N y y ++-??????=∈ ? ? ???????， 为向量(,)n n n op x y = 到向量111(,)n n n OP x y +++= 的一个矩阵变换，设向量1(1,0)OP = ，O 为坐标原点，则2013OP 的坐标为 13．已知一个九行九列的矩阵中的元素是由互不相等的 81 个数组成: ? ?? ??a 11 a 12 ? a 19 a 21 a 22 ? a 29 ? ? ? ?a 91 a 92 ? a 99 , 若每行9个数 与每列的9个数按表中顺序分别构成等差数列，且正中间的一个数a 55=7则矩阵中所有元素之和为_____________. 14.设n 阶方阵??????? ? ? ? -+-+-+--+++-+++-=125)1(23)1(21)1(2165434141452321 2125312n n n n n n n n n n n n n n n n A n ， 任取n A 中的一个元素，记为1x ；划去1x 所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成1-n 阶方阵 1-n A ，任取1-n A 中的一个元素，记为2x ；划去2x 所在的行和列，……；将最后剩下的一个元素记为n x ， 记n n x x x S +++= 21，则n n x x x S +++= 21，则1 lim 3+∞ →n S n n =______________. 二.选择题 15.关于x 、y 的二元一次方程组1, 323,mx y mx my m +=-??-=+? 的系数行列式0D =是该方程组有解的（ ）． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分且必要条件 D ．既非充分也非必要条件 16.已知A(3,1),B(5,2)，则表示AB 的列向量为（ ） A 、21?? ? ?? B 、21-?? ?-?? C 、 3 51 2?? ??? D 、 5 32 1?? ? ?? 三.解答题 17.已知矩阵A=3021?? ?-??，矩阵B=2122-?? ??? ，求矩阵X ，使期满足2A －3X-=B. 18.已知(4)n n ≥阶方阵1112131212223 2123 n n n n n nn a a a a a a a a a a a a ?? ? ? ??? 中的各元素均为正数， 其中每行成等差数列，每列都是公比为2的等比数列．已知23348 20a a ==， ， (1) 求11a 和ik a 的值； (2) 计算行列式 1112 2122 a a a a 和im ik jm jk a a a a ；
矩阵的概念及其线性运算
.. 第二章 矩阵 §2.1 矩阵的概念及其线性运算 学习本节内容，特别要注意与行列式的有关概念、运算相区别。 一．矩阵的概念 矩阵是一张简化了的表格,一般地 ?????? ? ??mn m m n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 称为n m ?矩阵,它有m 行、n 列，共n m ?个元素，其中第i 行、第j 列的元素 用j i a 表示。通常我们用大写黑体字母A 、B 、C ……表示矩阵。为了标明矩阵的行数m 和列数n ,可用n m ?A 或() i j m n a ?表示。矩阵既然是一张表，就不能象行 列式那样算出一个数来。 所有元素均为0的矩阵，称为零矩阵，记作O 。 两个矩阵A 、B 相等，意味着不仅它们的行、列数相同，而且所有对应元素都相同。记作B A =。 如果矩阵A 的行、列数都是n ，则称A 为n 阶矩阵，或称为n 阶方阵。n 阶矩阵有一条从左上角到右下角的主对角线。n 阶矩阵A 的元素按原次序构成的n 阶行列式，称为矩阵A 的行列式，记作A 。 在n 阶矩阵中，若主对角线左下侧的元素全为零，则称之为上三角矩阵；若主对角线右上侧的元素全为零，则称之为下三角矩阵；若主对角线两侧的元素全为零，则称之为对角矩阵。主对角线上元素全为1的对角矩阵，叫做单位矩阵，记为E ，即 ?????? ? ? ?=10 0010001Λ ΛΛΛΛΛΛE n ?1矩阵（只有一行）又称为n 维行向量；1?n 矩阵（只有一列）又称为n 维列 向量。行向量、列向量统称为向量。向量通常用小写黑体字母a ，b ，x ，y ……表示。向量中的元素又称为向量的分量。11?矩阵因只有一个元素，故视之为数量，即()a a =。 二．矩阵的加、减运算 如果矩阵A 、B 的行数和列数都相同，那么它们可以相加、相减，记为B A +、B A -。分别称为矩阵A 、B 的和与差。B A ±表示将A 、B 中所有对应位置的元素相加、减得到的矩阵。例如
矩阵行列式的概念与运算标准答案
矩阵、行列式的概念与运算 知识点总结： 一、矩阵的概念与运算 1、 矩阵111213212223a a a a a a ?? ??? 中的行向量是()111213a a a a =，()212223b a a a =； 2、 如：111213111211122122 2321222122,,c c c a a b b A B C c c c a a b b ?? ???? === ? ? ??????? ，那么 11111212111221212222212233,333a b a b a a A B A a b a b a a ++???? +== ? ? ++????， 11111221 11121222111312232111222121122222 21132223a c a c a c a c a c a c AC a c a c a c a c a c a c +++?? = ?+++?? 矩阵加法满足交换律和结合律，即如果,,A B C 是同阶的矩阵，那么有： ,()()A B B A A B C A B C +=+++=++。 同理如果矩阵,A B 是两个同阶矩阵，那么将它们对应位置上的元素相减所得到的矩阵C 叫做矩阵A 与B 的差，记作C A B =-。 实数与矩阵的乘法满足分配律：即()a A B aA aB +=+。 矩阵对乘法满足：()A B C AB AC +=+，()B C A BA CA +=+，()()()a AB aA B A aB == ()()AB C A BC = 3、 矩阵乘法不满足交换率，如1 11 11 11 122222222.a b c d c d a b a b c d c d a b ????????≠ ??? ??????????? 矩阵乘法能进行的条件是左边的矩阵A 的列数与右边矩阵B 的行数相等，而且矩阵的乘法不满足交换率，不满足消去律。 二、行列式概念及运算 1.用记号 2 2 11b a b a 表示算式1221b a b a -,即2 2 11b a b a =1221b a b a -,其中 2 2 11b a b a 叫做 二阶行列式;算式1221b a b a -叫做二阶行列式的展开式;其计算结果叫做行列式的值;2121,,,b b a a 都叫做行列式的元素.利用对角线 2 2 11b a b a 可把二阶行式写成
矩阵概念及运算
第一讲 矩阵概念及运算 一、矩阵概念 矩阵是本课程的一个重要概念，在生产活动和日常生活中，我们常常用数表表示一些量或关系，如工厂中的产量统计表，市场上的价目表等等. 例1 某户居民第二季度每个月水（单位：吨）、电（单位：千瓦时）、天然气（单位：立方米）的使用情况，可以用一个三行三列的数表表示为 水 电 气 ?? ?? ??????16210101519010141659 由例1以及教材中的例子可以看到，对于不同的问题可以用不同的数表来表 示，我们将这些数表统称为矩阵. 定义2.1 有m ?n 个数排列成一个m 行n 列，并括以方括弧（或圆括弧）的数表 ????? ???????mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211 称为m 行n 列矩阵，简称m ?n 矩阵.矩阵通常用大写字母A , B , C …表示. 记作 [] n m ij a A ?= 其中a ij (i = 1, 2, …, m ；j = 1, 2, …, n )称为矩阵A 的第i 行第j 列元素. 注：矩阵的行数m 与列数n 可能相等，也可能不等. 特别地，当m = 1时，即 A = []n a a a 11211 称为行矩阵.当n = 1时，即 A = ????? ???????121 11m a a a 称为列矩阵.当m = n 时，即 A = ????? ???????nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211 称为n 阶矩阵，或n 阶方阵. (再介绍几个特殊矩阵) 所有元素全为零的m ?n 矩阵，称为零矩阵，记作O m n ?或O .例如 4月 5月 6月
1-3 矩阵的运算
１－３ 矩阵的运算 一、矩阵的加法，数与矩阵的乘法［Ｐ１３－１５］ １、加法： () ()n m ij n m ij b a ??+＝() n m ij ij b a ?+ 相加条件 加法法则 性质：对任意ｍ?ｎ矩阵Ａ，Ｂ，Ｃ，有 （１） 交换律：Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ； （２） 结合律：（Ａ＋Ｂ）＋Ｃ＝Ａ＋（Ｂ＋Ｃ）； （３） 零矩阵０：Ａ＋０＝０＋Ａ＝Ａ； （４） 称() n m ij a ?-为() n m ij a ?的负矩阵，显然Ａ＋（－Ａ）＝０； 规定：Ａ－Ｂ＝Ａ＋（－Ｂ）； 显然：Ａ＝Ｂ?Ａ－Ｂ＝０ 移项法则成立 ２、数与矩阵的乘法： 任意数ｋ，任意矩阵Ａ＝（ａｉｊ）ｍ?ｎ，规定 ｋＡ＝ｋ（ａｉｊ）ｍ?ｎ＝() n m ij ka ?＝Ａｋ。 性质：对任意ｍ?ｎ矩阵Ａ，Ｂ，任意数ｋ，ｌ有 （１） １·Ａ＝Ａ （２） 结合律：ｋ（ｌＡ）＝（ｋｌ）Ａ （３） 分配律：（ｋ＋ｌ）Ａ＝ｋＡ＋ｌＡ （４） 分配律：ｋ（Ａ＋Ｂ）＝ｋＡ＋ｋＢ 例１．３［Ｐ１５］设矩阵Ａ，Ｂ，Ｃ满足等式３（Ａ＋Ｃ）＝２（Ｂ－Ｃ）， 其中Ａ＝??????-531632，Ｂ＝?? ? ???-531423，求矩阵Ｃ。 解：因为３（Ａ＋Ｃ）＝２（Ｂ－Ｃ），所以 去括号，得３Ａ＋３Ｃ＝２Ｂ－２Ｃ，
移项，合并，得 ５Ｃ＝２Ｂ－３Ａ 两端同乘 51，得Ｃ＝51（２Ｂ－３Ａ）＝5 1??????----51551050＝?? ? ???----131210。 作业：Ｐ７１ ３（常用结论，记住） 二、矩阵乘法 引入：某印刷厂印两种书，工人分三个班工作，当天班组经济核算统计如下： 书１ 书２ 单位售价 单位利润 产量矩阵Ａ＝???? ??????90180150250100200班班班321，单位售价与单位利润矩阵Ｂ＝???? ??2513 2 1 书书， 当天各班组总产值与总利润矩阵为： 总产值 总利润 ＡＢ＝???????????+??+??+??+??+??+?2901180590318021501250515032502100120051003200班 班班 321 １、定义１．７［Ｐ１６］ n m n S S m C B A ???=。 （１）相乘条件：左矩阵的列数＝右矩阵的行数； （２）法则：∑==+++=s k kj ik sj is j i j i ij b a b a b a b a c 1 2211 即，乘积（ｉ，ｊ）元＝左矩阵第ｉ行与右矩阵第ｊ列对应元素乘积之和。 （３）乘积ＡＢ的行数＝左矩阵Ａ的行数； 乘积ＡＢ的列数＝右矩阵Ｂ的列数。 例１．４［Ｐ１７］设矩阵Ａ＝????? ???????--17014321 ，Ｂ＝?? ? ???-431021，求ＡＢ。 解：ＡＢ＝???? ? ???? ???--17014321 ?? ????-431021＝???? ? ???????-----41180211618188 1。
矩阵的概念、运算(一)
第五章矩阵 辞海：将mn个元素排成m行n列的矩形称为m行n列矩阵。当m=n时称为n 阶方阵。矩阵可按某些规则进行加法、乘法以及数与矩阵相乘等运算。矩阵的概念最初是由解线性方程组产生。我国古代用筹算法解线性方程组时就是用筹码排成矩阵来进行的。 矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。 百度“矩阵”，找到约约60,100,000条结果; Google“matrix”，找到约467,000,000 条结果. 背景知识：矩阵的历史 ?矩阵的概念是在解线性方程组中产生的。如我国《九章算术》（公元前1 世纪）用筹算解线性方程组时，就是把算筹排列成矩阵形式来进行的。 ?1850年由西尔维斯特（Sylvester）（英）首先提出矩阵的概念。 ?1857年卡莱（A.Cayley）（英）建立了矩阵运算规则。 ?矩阵由最初作为一种工具经过近两个世纪的发展，现在已成为独立的一 门数学分支——矩阵论。而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论。 ?矩阵及其理论现已广泛地应用于自然科学、工程技术、社会科学等许多领 域。如在观测、导航、机器人的位移、化学分子结构的稳定性分析、密码通讯、模糊识别、图像处理等方面都有广泛应用。 5.0矩阵的概念 一、教学内容 1、矩阵的概念 2、矩阵相等 3、几种特殊矩阵 二、教学目的 了解矩阵的产生背景，掌握矩阵的概念，理解矩阵相等的涵义，认识几种特殊矩阵 三、重点难点 矩阵相等 一、引例
我们先看几个例子 例1：设有线性方程组:???????=++-=+-+=++--=--+7 73918333215432143214 3214321x x x x x x x x x x x x x x x x 这个方程组未知量系数及常数项按方程组中的顺序组成一个4行5列的数表如下： ?????? ? ??------71317391118331211151 这个数表决定了给定方程组是否有解？以及如果有解，解是什么等问题，因此对这个数表的研究就很有必要。 例2：在解析几何中考虑坐标变换时，如果只考虑坐标的旋转（逆时针方向旋转 θ角），那么平面直角坐标变换公式为： ?? ?'+'='-'=θ θθ θcos sin sin cos y x y y x x 显然,新旧坐标之间的关系,完全可以通过公式中系数所排成的2×2数表 ??? ? ??-θθθθcos sin sin cos 表示出来。空间线性变换也有类似的情形。 例3：生产m 种产品需用n 种材料，如果以ij a 表示生产第i 种产品(i=1,2,…,m)耗用第j 种材料（j=1,2,…,n ）的定额，则消耗定额可以用一个矩形表来表示。 这个表也可以简单地表示为m 行n 列的数表: