例4设函数()()2
ln 1f x x b x =++,其中0b ≠,求函数()f x 的极值点。
解:由题意可得()f x 的定义域为()1,-+∞,()2'
22211
b x x b f x x x x ++=+=++,()'
f x 的分母1x +在定义域()1,-+∞上恒为正,方程2
220x x b ++=是否有实根,需要对参数b 的取值进行讨论。
(1)当480b ?=-≤,即12b ≥
时,方程2
220x x b ++=无实根或只有唯一根12
x =-,所以()2220g x x x b =++≥,在()1,-+∞上恒成立,则()'0f x ≥在()1,-+∞上恒成立,所以函数()f x 在
()1,-+∞上单调递增,从而函数()f x 在()1,-+∞上无极值点。
(2)当480b ?=->,即12
b <
时,方程2
220x x b ++=,即()'0f x =有两个不相等的实根:
1211,22
x x --=
=。
这两个根是否都在定义域()1,-+∞内呢?又需要对参数b 的取值分情况作如下讨论:
(ⅰ)当0b <
时,12111,122
x x --+=<-=>-,所以()()121,,1,x x ?-+∞∈-+∞。
此时,()'
f
x 与()f x 随x 的变化情况如下表:
由此表可知:当0b <时,()f x 有唯一极小值点212
x -+=
。
(ⅱ)当
102
b <<
时,
121,1x x =
>-=>-,
所
以
()()121,,1,x x ∈-+∞∈-+∞。此时,()'f x 与()f x 随x 的变化情况如下表:
由此表可知:当
1
2
b
<<时,()
f x有一个极大值
点
1
x=和一个极小值
点2
x=
综上所述:
(1)当0
b<时,()
f x
有唯一极小值点
1
2
x
-
=;
(2)当
1
2
b
<<时,()
f x
有一个极大值点x=
和一个极小值点x=
(3)当
1
2
b≥时,()
f x无极值点。
从以上诸例不难看出,在对含参数的导数问题的讨论时,只要把握以上三个基本讨论点,那么讨论就有了方向和切入点,即使问题较为复杂,讨论起来也会得心应手、层次分明,从而使问题迎刃而解。
(19)(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分.)
已知函数(其中常数a,b∈R),是奇函数.
(Ⅰ)求的表达式;
(Ⅱ)讨论的单调性,并求在区间[1,2]上的最大值和最小值.
(21)已知函数
(I)当时,求曲线在点处的切线方程;(II)当时,讨论的单调性.
解:(Ⅰ)当=
-
=)
(
1x
f
a时,),
,0(
,1
2
ln+∞
∈
-
+
+x
x
x
x所以)
('x
f
2
2
2
,(0,)
x x
x
x
+-
=∈+∞因此,,
)
(1
2=
f即曲线.1
))
2(
2
)
(,
处的切线斜率为
,
在点(f
x
f
y=又,2
2
ln
)2(+
=
f所以
曲线
.0
2
ln
,2
)2
2
(ln
))
2(
2
)
(
=
+
-
-
=
+
-
=
y
x
x
y
f
x
f
y
即
处的切线方程为
,
在点(
(Ⅱ)因为1
1
ln
)
(-
-
+
-
=
x
a
ax
x
x
f,所以
2
1
1
)
('
x
a
a
x
x
f
-
+
-
=
2
21
x
a
x
ax-
+
-
-
=
)
,0(+∞
∈
x,令,
1
)
(2a
x
ax
x
g-
+
-
=),
,0(+∞
∈
x
(1)当0,()1,(0,)
a h x x x
==-+∈+∞
时
所以,当(0,1),()0,()0
x h x f x
'
∈><
时此时,函数()
f x单调递减;
当(1,)x ∈+∞时,()0h x <,此时()0,f x '>函数f(x)单调递
(2)当0a '≠时,由f (x)=0 即2
10ax x a -+-=,解得1211,1x x a
==- ①当1
2
a =
时,12,()0x x h x =≥恒成立, 此时()0f x '≤,函数()f x 在(0,+∞)上单调递减; ②当11
0,1102a a
<<
->>时 (0,1)x ∈时,()0,()0,()h x f x f x '><此时函数单调递减;
1
(1,1)x a ∈-时,()0,()0,()h x f x f x '<>此时函数单调递增;
1
(1,),()0x h x a
∈-+∞>时,此时()0f x '<,函数()f x 单调递减;
③当0a <时,由于1
10a -<
(0,1)x ∈时,()0h x >,此时()0f x '<,函数()f x 单调递减; (1,)x ∈+∞时,()0h x <,此时()0f x '>,函数()f x 单调递增。
综上所述:
当0a ≤时,函数()f x 在(0,1)上单调递减; 函数()f x 在(1,+∞)上单调递增;
当1
2
a =
时,函数()f x 在(0,+∞)上单调递减; 当1
02
a <<时,函数()f x 在(0,1)上单调递减;
函数()f x 在1
(1,1)a -上单调递增;
函数1
()(1,)f x a
-+∞在上单调递减,
(22)已知函数.
(Ⅰ)当时,讨论的单调性;
(Ⅱ)设当时,若对任意,存在,使 ,求实数取值范围.
解:(Ⅰ)因为1()ln 1a f x x ax x
-=-+-,所以 2'
22
111()(0,)a ax x a f x a x x x x --+-=-+=∈+∞, 令 2
()1,(0,)h x ax x a x =-+-∈+∞,
①当12a =
时,12,()0x x h x =≥恒成立,此时'
()0f x ≤,函数 ()f x 在∞(0,+)上单调递减; ②当11
01102a a
-<<时,>>,
(0,1)x ∈时,()0h x >,此时'
()0f x <,函数()f x 单调递减;
1
(1,
1)x a
∈-时()0h x <,此时'()0f x >,函数 ()f x 单调递增; 1(1,)x a
∈-+∞时,()0h x >,此时'
()0f x <,函数()f x 单调递减;
③当0a <时,由于
1
10a
-<, (0,1)x ∈,()0h x >,此时'
()0f x <,函数 ()f x 单调递减;
(1,)x ∈+∞时,()0h x <,此时'()0f x >,函数()f x 单调递增.
综上所述:
0 (Ⅱ)因为a=
11
(0,)42
∈,由(Ⅰ)知,1x =1,2x =3(0,2)?,当(0,1)x ∈时,'()0f x p ,函数()f x 单调递减;[]min 117()(2)840(2,),28g x g b b b ??
==-≥∈+∞≤
≥+∞????
当(1,2)x ∈时,'()0f x f ,函数()f x 单调递增,所以()f x 在(0,2)上的最小值为1
(1)2
f =-
。 由于“对任意1(0,2)x ∈,存在[]21,2x ∈,使12()()f x g x ≥”等价于 “()g x 在[]1,2上的最小值不大于()f x 在(0,2)上的最小值12
-
”(*) 又()g x =22
()4x b b -+-,[]11,2x ∈,所以
①当1b p 时,因为[]min ()(1)520g x g b ==-f ,此时与(*)矛盾 ②当[]1,2b ∈时,因为[]2
min ()40g x b =-≥,同样与(*)矛盾
③当(2,)b ∈+∞时,因为[]min ()(2)84g x g b ==-,解不等式8-4b 12≤,可得178
b ≥ 综上,b 的取值范围是17,8??
+∞??
??
。 (21)已知函数. (Ⅰ)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)设,证明:对任意,. 解:(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+),.
当a ≥0时,>0,故f(x)在(0,+)单调增加; 当a ≤-1时,<0, 故f(x)在(0,+)单调减少;
当-1<a <0时,令=0,解得x=.当x ∈(0, )时, >0;
x∈(,+)时,<0, 故f(x)在(0, )单调增加,在(,+)单调减少.
(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤-2,故f(x)在(0,+)单调减少.
所以等价于
≥4x1-4x2,
即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.
令g(x)=f(x)+4x,则
+4
=.
于是≤=≤0.
从而g(x)在(0,+)单调减少,故g(x1) ≤g(x2),
即f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2,故对任意x1,x2∈(0,+) ,.
(21)已知函数
(I)讨论函数的单调性;
(II)(II)设.如果对任意,,求的取值范围。
解:(Ⅰ)的定义域为(0,+∞). .
当时,>0,故在(0,+∞)单调增加;
当时,<0,故在(0,+∞)单调减少;
当-1<<0时,令=0,解得.
则当时,>0;时,<0.
故在单调增加,在单调减少.
(Ⅱ)不妨假设,而<-1,由(Ⅰ)知在(0,+∞)单调减少,从而
,
等价于,①
令,则
①等价于在(0,+∞)单调减少,即 .
从而故a的取值范围为(-∞,-2].
(18)已知函数()=In(1+)-+(≥0)。
(Ⅰ)当=2时,求曲线=()在点(1,(1))处的切线方程;(Ⅱ)求()的单调区间。
解:(I)当时,,
由于,,所以曲线在点处的切线方程为
即
(II),.当时,. 所以,在区间上,;在区间上,.故得单调递增区间是,单调递减区间是.
当时,由,得,
所以,在区间和上,;在区间上,
故得单调递增区间是和,单调递减区间是.
当时,故得单调递增区间是.
当时,,得,.
所以没在区间和上,;在区间上,
故得单调递增区间是和,单调递减区间是
20、(本小题满分16分)设是定义在区间上的函数,其导函数为。如果存在实数和函数,其中对任意的都有>0,使得,则称函数具有性质。
(1)设函数,其中为实数。
(i)求证:函数具有性质; (ii)求函数的单调区间。
(2)已知函数具有性质。给定设为实数,
,,且,
若||<||,求的取值范围。
[解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识,考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。
∵时,恒成立,
(1)(i)
,
∴函数具有性质;
(ii)(方法一)设,与的符号相同。
当时,,,故此时在区间上递增;
当时,对于,有,所以此时在区间上递增;
当时,图像开口向上,对称轴,而,
对于,总有,,故此时在区间上递增;
(方法二)当时,对于,
所以,故此时在区间上递增;
当时,图像开口向上,对称轴,方程的两根为:,而
当时,,,故此时在区间上递减;同理得:在区间上递增。
综上所述,当时,在区间上递增;
当时,在上递减;在上递增。
(2)(方法一)由题意,得:
又对任意的都有>0,
所以对任意的都有,在上递增。
又。
当时,,且,
综合以上讨论,得:所求的取值范围是(0,1)。
(方法二)由题设知,的导函数,其中函数对于任意的都成立。所以,当时,,从而在区间上单调递增。
①当时,有,
,得,同理可得,所以由的单调性知、,
从而有||<||,符合题设。
②当时,,
,于是由及的单调性知,所以||≥||,与题设不符。
③当时,同理可得,进而得||≥||,与题设不符。
因此综合①、②、③得所求的的取值范围是(0,1)。
待研究的以下问题
在求函数的单调区间时涉及的分类讨论问题;
在求函数的极值与最值问题引出分类讨论问题;
在涉及函数的零点时引起的分类讨论问题;
参考资料:
导数的应用与分类讨论
【例1】设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R.
(Ⅰ)若f(x)在x=3处取得极值,求常数a的值;
(Ⅱ)若f(x)在(-∞,0)上为增函数,求a的取值范围.
解:(Ⅰ)f ′(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-a)(x-1).
∵ f(x)在x=3处取得极值,
∴ f ′(3)=12(3-a)=0,a=3,检验知成立.
(Ⅱ)由f ′(x)=6(x-a)(x-1)=0得x1=a或x2=1.
若a<1,则当x∈(-∞,a)∪(1,+∞)时,f ′(x)>0,所以f (x)在(-∞,a)和(1,+∞)上为增函数,而f(x)在(-∞,0)上为增函数,所以0≤a<1;
若a≥1,则当x∈(-∞,1)∪(a,+∞)时,f ′(x)>0,所以f (x)在∈(-∞,1)和(a,+∞)上为增函数,f(x)在(-∞,0)上也为增函数.
综上,所求a的取值范围为[0,+∞).
【点评】(Ⅱ)中对a的值进行分类讨论,当a<1时很容易忽视a≥0这个条件,注意这时f(x)在(-∞,0)上为增函数,必须有a≥0.
【例2】设函数y=ax5-bx3+c(c≠0)在x=±1时有极值,且极大值为4,极小值为0.求a、b、c的值.
解:令y′=5ax4-3bx2=0,x2(5ax2-3b)=0.所以极值点可能是0和±1.
因为函数x=±1时有极值,所以5a=3b,y′=5ax2(x2-1)=5ax2(x+1)(x-1).
若a>0,当x变化时,函数递增与递减及极值情况如下表:
若a<0,用同样的方法得a=-3,b=-5,c=2.
【点评】这里实施的是一个二级分类讨论,使用表格简明清晰;在“0”处,为什么没有极值,要深入理解.
【例3】函数y=f(x)在区间(0,+∞)内可导,导函数 f′(x)是减函数,且f ′(x)>0.设x0∈(0,+∞),y=kx+m是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程,并设函数g(x)=kx+m.
(Ⅰ)用x0,f(x0),f ′(x0)表示m;
(Ⅱ)证明:当x0∈(0,+∞)时,g(x)≥f(x);
(Ⅲ)若关于x的不等式x2+1≥ax+b≥在[0,+∞)上恒成立,其中a、b为实数,求b的取值范围及a与b所满足的关系式.
解:(Ⅰ)易知m=f(x0)-x0f ′(x0).
(Ⅱ)令h(x)=g(x)-f(x),则h′(x)=g′(x)-f′(x)= f′(x0)-f′(x),且h′(x0)=0.
∵ f′(x)是减函数,∴ h′(x)是增函数,则当x>x0时,
h′(x)>0;当x(Ⅲ)将x=0代入题设不等式中,得0≤b≤1,则“a>0,且0≤b≤1”是不等式成立的必要条件.
下面在a>0,且0≤b≤1的条件下求a与b所满足的关系式及b的取值范围.
x2+1≥ax+b x2-ax+(1-b)≥0,对任意x ∈[0,+∞)成立的充要条件是x2-ax+(1-b)在[0,+∞)上的最小值1-b- ≥0,即a≤2
令S(x)=ax+b- ,则对于任意x ∈[0,+∞)不等式ax+b≥恒成立 S(x)≥0.
由S′(x)=a- =0得x=a-3,则当0a-3时,S′(x)>0,所以当x=a-3时,S(x)取得最小值.因此S(x)≥0的充要条件是S(a-3)≥0,即a?a-3+b- ≥0,解得a≥ .
故a、b所满足的关系式为≤a≤2 .
解不等式≤2 ,得≤b≤,这就是所求的b的取值范围.
【点评】在(Ⅱ)中判断“x0是h(x)惟一的极值点”,在(Ⅲ)中求S(x)的最小值,都用到了分类讨论.
含参数导数问题分类讨论
含参数导数的解题策略 导数是研究函数性质的一种重要工具,利用导数可判断函数单调性、极值、最值等,其中渗透并充分利用着构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要思想方法,导数常作为高考的压轴题,对考生的能力要求非常高,它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能,还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。而含参数的导数问题是近年来高考的难点和热点,本文着重就含参数导数的几种常见的解题策略加以归纳. 一、分离参数,转化为最值策略 在给出的不等式中,如果能通过恒等变形分离出参数,即:若()a f x ≥恒成立,只须求出 ()max f x ,则()max a f x ≥;若()a f x ≤恒成立,只须求出()min f x ,则()min a f x ≤,转 化为函数求最值. 例1、已知函数x x x f ln )(=.(Ⅰ)求)(x f 的最小值; (Ⅱ)若对所有1≥x 都有,1)(-≥ax x f 求实数a 的取值范围. 二、导数为0的点是否在定义域内,分类讨论策略 求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式),但不知导函数为零的实根是否落在定义域内,所以必须分类,通过令导函数为零的实根等于定义域端点值,求分点,从而引起讨论. 例2.已知a 是实数,函数))(2 a x x x f -=(. (Ⅰ)若3)1(='f ,求a 的值及曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程; (Ⅱ)求)(x f 在区间[0,2]上的最大值. 三、导函数为0是否存在,分类讨论策略 求导后,考虑导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式),涉及到二次方程问题时,△与0的关系不定,所以必须分类,通过导函数是二次函数或者与二次函数有关,令△=0,求分点,从而引起讨论. 例3、已知函数,,讨论在定义域上的单调性. 四、导函数为0的方程的根大小不确定,分类讨论策略 求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式), 导函数为零的实根也落在定义域内,但这些实根的大小关系不确定,分不了区间.所以必须分类,通过令几个根相等求分点,从而引起讨论. 例4、已知0>m ,讨论函数x e m x m mx x f 6 3)1(3)(2++++=的单调性.
高三导数压轴题题型归纳
导数压轴题题型 1. 高考命题回顾 例1已知函数f(x)=e x -ln(x +m).(2013全国新课标Ⅱ卷) (1)设x =0是f(x)的极值点,求m ,并讨论f(x)的单调性; (2)当m≤2时,证明f(x)>0. (1)解 f (x )=e x -ln(x +m )?f ′(x )=e x -1x +m ?f ′(0)=e 0-1 0+m =0?m =1, 定义域为{x |x >-1},f ′(x )=e x -1 x +m = e x x +1-1 x +1 , 显然f (x )在(-1,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增. (2)证明 g (x )=e x -ln(x +2),则g ′(x )=e x -1 x +2 (x >-2). h (x )=g ′(x )=e x -1x +2(x >-2)?h ′(x )=e x +1 x +22>0, 所以h (x )是增函数,h (x )=0至多只有一个实数根, 又g ′(-12)=1e -13 2 <0,g ′(0)=1-1 2>0, 所以h (x )=g ′(x )=0的唯一实根在区间??? ?-1 2,0内, 设g ′(x )=0的根为t ,则有g ′(t )=e t -1 t +2=0????-12g ′(t )=0,g (x )单调递增; 所以g (x )min =g (t )=e t -ln(t +2)=1 t +2+t = 1+t 2 t +2>0, 当m ≤2时,有ln(x +m )≤ln(x +2), 所以f (x )=e x -ln(x +m )≥e x -ln(x +2)=g (x )≥g (x )min >0. 例2已知函数)(x f 满足2 1 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=-(2012全国新课标) (1)求)(x f 的解析式及单调区间; (2)若b ax x x f ++≥ 2 2 1)(,求b a )1(+的最大值。 (1)121 1()(1)(0)()(1)(0)2 x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+?=-+ 令1x =得:(0)1f =
最全导数解答题方法归纳总结
导数解答题归纳总结 19.(2009浙江文)(本题满分15分)已知函数3 2 ()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++ (,)a b ∈R . (I )若函数()f x 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是3-,求,a b 的值; (II )若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调...,求a 的取值范围. 解析 (Ⅰ)由题意得)2()1(23)(2 +--+='a a x a x x f 又?? ?-=+-='==3 )2()0(0 )0(a a f b f ,解得0=b ,3-=a 或1=a (Ⅱ)函数)(x f 在区间)1,1(-不单调,等价于 导函数)(x f '在)1,1(-既能取到大于0的实数,又能取到小于0的实数 即函数)(x f '在)1,1(-上存在零点,根据零点存在定理,有 0)1()1(<'-'f f , 即:0)]2()1(23)][2()1(23[<+---+--+a a a a a a 整理得:0)1)(1)(5(2 <-++a a a ,解得15-<<-a 20.(2009北京文)(本小题共14分) 设函数3 ()3(0)f x x ax b a =-+≠. (Ⅰ)若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切,求,a b 的值; (Ⅱ)求函数()f x 的单调区间与极值点. 解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能 力. (Ⅰ)()' 233f x x a =-, ∵曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切, ∴()()()'20340 4,24.86828 f a a b a b f ?=-=?=????????=-+==????? (Ⅱ)∵()()()' 230f x x a a =-≠, 当0a <时,()' 0f x >,函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增, 此时函数()f x 没有极值点. 当0a >时,由()' 0f x x a =?=± , 当() ,x a ∈-∞-时,()' 0f x >,函数()f x 单调递增, 当(),x a a ∈-时,()'0f x <,函数()f x 单调递减, 当(),x a ∈+∞时,()' 0f x >,函数()f x 单调递增,
高中数学含参导数问题
由参数引起的案—— 含参导数问题 一、已知两个函数k x x x f -+=168)(2 ,x x x x g 452)(2 3 ++=,按以下条件求k 的范围。 (1)对于任意的]3,3[-∈x ,都有)()(x g x f ≤成立。 (构造新函数,恒成立问题) (2)若存在成立。,使得)()(]3,3[000x g x f x ≤-∈ (与恒成立问题区别看待) (3)若对于任意的).()(]3,3[2121x g x f x x ≤-∈,都有、 (注意21,x x 可以不是同一个x ) (4)对于任意的)()(],3,3[]3,3[1001x f x g x x =-∈-∈使得,总存在。 (注意:哪个函数的值域含于哪个函数的值域取决于:谁的x 是任意取的,谁的x 是总存在的。) (5)若对于任意0x []3,3∈-,总存在相应的[]12,3,3x x ∈-,使得102()()()g x f x g x ≤≤成立; (与(4)相同) 二、已知函数()2 1ln (1)2 f x a x x a x =+-+, a R ∈ (1)函数f (x )在区间(2,﹢∞)上单调递增,则实数a 的取值范围是 ,
(2)函数f (x )在区间(2,3)上单调,则实数a 的取值范围是 . 三、设函数3()3f x x ax =- (a R ∈),若对于任意的[]1,1-∈x 都有()1f x ≤成立,求实数a 的取值范围. 四、含参数导数问题的三个基本讨论点 一、 求导后,考虑导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式),从而引起讨论。 二、 求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式),但不知导函数为零的实根 是否落在定义域内,从而引起讨论。 三、 求导后,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式), 导函数为零的实根也落 在定义域内,但不知这些实根的大小关系,从而引起讨论。 例1、设函数3221 ()23()3 f x x ax a x a a R =-+-+∈.求函数)(x f 的单调区间和极值; (可因式分解,比较两根大小,注意别丢两根相等情况) 解: 2 2 ()4-3()(3)f x x ax a x a x a '=-+=--- ……………………………5分 0a =时,()0f x '≤,(,)-∞∞是函数的单调减区间;无极值;……………6分 0a >时,在区间(,),(3,)a a -∞∞上,()0f x '<; 在区间(,3)a a 上,()0f x '>, 因此(,),(3,)a a -∞∞是函数的单调减区间,(,3)a a 是函数的单调增区间, 函数的极大值是(3)f a a =;函数的极小值是3 4()3 f a a a =- ;………………8分 0a <时,在区间(,3),(,)a a -∞∞上,()0f x '<; 在区间(3,)a a 上,()0f x '>, 因此(,3),(,)a a -∞∞是函数的单调减区间,(3,)a a 是函数的单调增区间 函数的极大值是3 4()3 f a a a =- ,函数的极小值是(3)f a a = ………………10分 例1变式.若2 '()(1)f x x a x a =-++,若(0,)x ∈+∞,讨论()f x 的单调性。(比较根大小,考虑定义域)
高考导数压轴题型归类总结
导数压轴题型归类总结 目 录 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 (1) 二、交点与根的分布 (23) 三、不等式证明 (31) (一)作差证明不等式 (二)变形构造函数证明不等式 (三)替换构造不等式证明不等式 四、不等式恒成立求字母范围 (51) (一)恒成立之最值的直接应用 (二)恒成立之分离常数 (三)恒成立之讨论字母范围 五、函数与导数性质的综合运用 (70) 六、导数应用题 (84) 七、导数结合三角函数 (85) 书中常用结论 ⑴sin ,(0,)x x x π<∈,变形即为sin 1x x <,其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+ ⑶ln(1)x x >+ ⑷ln ,0x x x e x <<>.
一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1. (切线)设函数a x x f -=2)(. (1)当1=a 时,求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值; (2)当0>a 时,曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ,l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证:a x x >>21. 解:(1)1=a 时,x x x g -=3)(,由013)(2=-='x x g ,解得3 3 ±=x . 所以当33= x 时,)(x g 有最小值9 32)33(-=g . (2)证明:曲线)(x f y =在点)2,(211a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='= 曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(1121x x x a x y -=--. 令0=y ,得12 122x a x x +=,∴12 1 112 11222x x a x x a x x x -=-+=- ∵a x >1,∴ 021 21 <-x x a ,即12x x <. 又∵1122x a x ≠,∴a x a x x a x x a x x =?>+=+= 1 1111212222222 所以a x x >>21. 2. (2009天津理20,极值比较讨论) 已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R ⑴当0a =时,求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率; ⑵当2 3 a ≠ 时,求函数()f x 的单调区间与极值. 解:本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。 ⑴.3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a x x =+===,故,时,当 .3))1(,1()(e f x f y 处的切线的斜率为在点所以曲线= ⑵[] .42)2()('22x e a a x a x x f +-++= .223 2 .220)('-≠-≠-=-==a a a a x a x x f 知,由,或,解得令
函数与导数压轴题方法归纳与总结
函数与导数压轴题方法归纳与总结 题型与方法 题型一 切线问题 例1 (二轮复习资料p6例2) 归纳总结: 题型二 利用导数研究函数的单调性 例2 已知函数f (x )=ln x -a x . (1)求f (x )的单调区间; (2)若f (x )在[1,e]上的最小值为3 2,求a 的值; (3)若f (x )归纳总结: 题型三 已知函数的单调性求参数的围 例 3.已知函数()1 ln sin g x x x θ=+?在[)1,+∞上为增函数, 且()0,θπ∈, ()1 ln ,m f x mx x m R x -=--∈ (1)求θ的值. (2)若[)()()1,f x g x -+∞在上为单调函数,求m 的取值围. 归纳总结:
题型四 已知不等式成立求参数的围 例4..设f (x )=a x +x ln x ,g (x )=x 3-x 2-3. (1)当a =2时,求曲线y =f (x )在x =1处的切线方程; (2)如果存在x 1,x 2∈[0,2]使得g (x 1)-g (x 2)≥M 成立,求满足上述条件的最大整数M ; (3)如果对任意的s ,t ∈????12,2都有f (s )≥g (t )成立,数a 的取值围. 归纳总结: 跟踪1.已知()ln 1 m f x n x x =++(m,n 为常数)在x=1处的切线为x+y -2=0(10月重点高中联考第22题) (1) 求y=f(x)的单调区间;
(2) 若任意实数x ∈1,1e ?? ???? ,使得对任意的t ∈[1,2]上恒有32()2f x t t at ≥--成立,数a 的取值围。 跟踪2. 设f (x )=-13x 3+12 x 2+2ax .(加强版练习题) (1)若f (x )在(23,+∞)上存在单调递增区间,求a 的取值围; (2)当0(完整)高中数学导数题型总结,推荐文档
导数 经典例题剖析 考点一:求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数,则(1)f '-的值是 。 考点二:导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ,处的切线方程是1 22 y x = +,则(1)(1)f f '+= 。 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-,处的切线方程是 。 考点三:导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C :x x x y 232 3 +-=,直线kx y l =:,且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ,求直线l 的方程及切点坐标。 考点四:函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数,求a 的取值范围。 例6. 设函数3 2 ()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。 (1)求a 、b 的值; (2)若对于任意的[03]x ∈, ,都有2 ()f x c <成立,求c 的取值范围。 点评:本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数()x f 的极值步骤:①求导数()x f '; ②求()0'=x f 的根;③将()0'=x f 的根在数轴上标出,得出单调区间,由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。
例7. 已知a 为实数,()() ()a x x x f --=42 。求导数()x f ';(2)若()01'=-f ,求() x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。 解析:(1)()a x ax x x f 442 3 +--=,∴ ()423'2 --=ax x x f 。 (2)()04231'=-+=-a f ,2 1= ∴a 。()()()14343'2 +-=--=∴x x x x x f 令()0'=x f ,即()()0143=+-x x ,解得1-=x 或3 4 =x , 则()x f 和()x f '在区间[] 2,2- ()2 91= -f ,275034-=??? ??f 。所以,()x f 在区间[]2,2-上的最大值为 275034-=?? ? ??f ,最 小值为()2 9 1= -f 。 答案:(1)()423'2 --=ax x x f ;(2)最大值为275034- =?? ? ??f ,最小值为()2 91=-f 。 点评:本题考查可导函数最值的求法。求可导函数()x f 在区间[]b a ,上的最值,要先求出函数()x f 在区间()b a ,上的极值,然后与()a f 和()b f 进行比较,从而得出函数的最大最小值。 考点七:导数的综合性问题。 例8. 设函数3 ()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数,其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线 670x y --=垂直,导函数'()f x 的最小值为12-。(1)求a ,b ,c 的值; (2)求函数()f x 的单调递增区间,并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。
运用导数解决含参问题
运用导数解决含参问题 运用导数解决含参函数问题的策略 以函数为载体,以导数为工具,考查函数性质及导数应用为目标,是最近几年函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向。运用导数确定含参数函数的参数取值范围是一类常见的探索性问题,主要是求存在性问题或恒成立问题中的参数的范围。 解决这类问题,主要是运用等价转化的数学思想,通过不断地转化,把不熟悉、不规范、 复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题。 解决的主要途径:是将含参数不等式的存在性或恒成立问题根据其不等式的结构特 征,恰当地构造函数,等价转化为:含参函数的最值讨论。 一、含参函数中的存在性问题 利用题设条件能沟通所求参数之间的联系,建立方程或不等式(组)求解。这是求存在性范围问题最显然的一个方法。 例题讲解 例1:已知函数x x x f ln 2 1)(2+= ,若存在],1[0e x ∈使不等式 m x f ≤)(0,求实数m 的取值范围 二、含参函数中的恒成立问题 可先利用题设条件建立变量的关系式,将所求变量和另一已知变量分离,得到函数关系,从而使这种具有函数背景的范围问题迎 刃而解,再由已知变量的范围求出函数的值域,即为所求变量的范围。类型有:(1)双参数
中知道其中一个参数的范围;(2)双参数中的范围均未知。 一、选择题 1 .(2013年课标Ⅱ)已知函数32()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是( ) A .0x ?∈R,0()0 f x = B.函数()y f x =的图像是中心对称图形 C .若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减 D .若0x 是()f x 的极值点,则0'()0 f x = 2 .(2013年大纲)已知曲线()4 2 1-128=y x ax a a =+++在点,处切线的斜率为,() A .9 B .6 C .-9 D .-6 3 .(2013年湖北)已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是( ) A .(,0)-∞ B .1 (0,)2 C .(0,1) D .(0,)+∞ 4.若函数3 2 ()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数,则实数m 的取值范围是: ( )
高考导数压轴题型归类总结材料
导数压轴题型归类总结 目 录 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 (1) 二、交点与根的分布 (23) 三、不等式证明 (31) (一)作差证明不等式 (二)变形构造函数证明不等式 (三)替换构造不等式证明不等式 四、不等式恒成立求字母围 (51) (一)恒成立之最值的直接应用 (二)恒成立之分离常数 (三)恒成立之讨论字母围 五、函数与导数性质的综合运用 (70) 六、导数应用题 (84) 七、导数结合三角函数 (85) 书中常用结论 ⑴sin ,(0,)x x x π<∈,变形即为sin 1x x <,其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+ ⑶ln(1)x x >+ ⑷ln ,0x x x e x <<>. 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1. (切线)设函数a x x f -=2)(. (1)当1=a 时,求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值; (2)当0>a 时,曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ,l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证:a x x >>21. 解:(1)1=a 时,x x x g -=3)(,由013)(2=-='x x g ,解得3 3 ±=x .
所以当33= x 时,)(x g 有最小值9 3 2)33(- =g . (2)证明:曲线)(x f y =在点)2,(211a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='= 曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(1121x x x a x y -=--. 令0=y ,得12 122x a x x +=,∴12 1 112 1 1222x x a x x a x x x -=-+=- ∵a x >1,∴ 021 21 <-x x a ,即12x x <. 又∵1122x a x ≠,∴a x a x x a x x a x x =?>+=+= 1 1111212222222 所以a x x >>21. 2. (2009天津理20,极值比较讨论) 已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R ⑴当0a =时,求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率; ⑵当2 3 a ≠ 时,求函数()f x 的单调区间与极值. 解:本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。 ⑴.3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a x x =+===,故,时,当 .3))1(,1()(e f x f y 处的切线的斜率为在点所以曲线= ⑵[] .42)2()('22x e a a x a x x f +-++= .223 2 .220)('-≠-≠-=-==a a a a x a x x f 知,由,或,解得令 以下分两种情况讨论: ①a 若> 3 2 ,则a 2-<2-a .当x 变化时,)()('x f x f ,的变化情况如下表: )(所以x f .3)2()2(2)(2a ae a f a f a x x f -=---=,且处取得极大值在函数 .)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ,且处取得极小值在函数 ②a 若<3 2 ,则a 2->2-a ,当x 变化时,)()('x f x f ,的变化情况如下表: 所以)(x f .)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ,且处取得极大值在函数
高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版
导数与三角函数压轴题归纳总结 近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题,内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.其形式逐渐多样化、综合化. 一、零点存在定理 例1.【2019全国Ⅰ理20】函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导数.证明: (1)()f x '在区间(1,)2 π -存在唯一极大值点; (2)()f x 有且仅有2个零点. 【解析】(1)设()()g x f x '=,则()()() 2 11 cos ,sin 11g x x g x x x x '=- =-+++. 当1,2x π??∈- ?? ?时,()g'x 单调递减,而()00,02g g π?? ''>< ???, 可得()g'x 在1,2π?? - ?? ?有唯一零点,设为α. 则当()1,x α∈-时,()0g x '>;当,2x πα?? ∈ ??? 时,()0g'x <. 所以()g x 在()1,α-单调递增,在,2πα?? ???单调递减,故()g x 在1,2π?? - ???存在唯一极大 值点,即()f x '在1,2π?? - ?? ?存在唯一极大值点. (2)()f x 的定义域为(1,)-+∞. (i )由(1)知, ()f x '在()1,0-单调递增,而()00f '=,所以当(1,0)x ∈-时,()0f 'x <,故()f x 在(1,0)-单调递减,又(0)=0f ,从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点. (ii )当0,2x π?? ∈ ???时,由(1)知,()f 'x 在(0,)α单调递增,在,2απ?? ??? 单调递减,而
强大导数知识点各种题型归纳方法总结
导数的定义: 1.(1).函数y = f (x)在x =x °处的导数:f '(X 。)=y'|xm=怛口x ° %x) - f ( x °) 函数八f(x)的导数:f '(x) = y' = 1巩f (x 冈- f (x) 2?利用定义求导数的步骤 ①求函数的增量:.沖二f (X 。? Ax) - f(x 。):②求平均变化率:竺二f(x 。 :x )- f (X 0) L X L X ③取极限得导数:f '(x 。)二lim y 3 A x (下面内容必记) 导数的运算: (1) 基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式 : m m i ① C ,O(C 为常数):②(x n )'= nx n ,;(丄)、(x 』)’一 nx 』」;(n x m )' =(x\' = m x_ x n ③(sinx)'=cosx ;④(cosx)' - -sin x ⑤(e x )'=e x ⑥(a x )'=a x |na(a 0,且a = 1); 1 1 ⑦(ln x)' ; ⑧(log a x)' (a 0,且 a =1) x xln a 法则1: [f(x) _g(x)]' = f '(x) _g'(x) ; (口诀:和与差的导数等于导数的和与差 ). 法则2: [f(x) g(x)]^ f '(x) g(x) f (x) g'(x)(口诀:前导后不导相乘,后导前不导相乘,中间是正号) 法则3: [f 阳」(X)嵌)二 2(X ) g '(X )(g(x)=0) g(x) [g(x)] (口诀:分母平方要记牢,上导下不导相乘,下导上不导相乘,中间是负号) (2)复合函数y 二f (g(x))的导数求法: ①换元,令u =g(x),则y = f(u)②分别求导再相乘y'=〔g(x) 】'」f (u)】'③回代u =g(x) 题型一、导数定义的理解 题型二:导数运算 1、已知 f x = x 2 ? 2x - sin 二,贝U f 0 二 __________ 1. 求瞬时速度:物体在时刻t 0时的瞬时速度 V 就是物体运动规律 即有 V ° 。 2. V = s /(t)表示即时速度。a=v /(t)表示加速度。 四. 导数的几何意义: 函数f x 在X 0处导数的几何意义,曲线y = f x 在点P x 0, f x °处切线的斜率是k =「x 0 。于是相应的切 线方程是:y - y ° = f X 0 x -x ° 。 题型三.用导数求曲线的切线 注意两种情况: (1 )曲线y 二f x 在点PX o ,fX o 处切线:性质:k 切线=f X o 。相应的切线方程是: y -y 。二 f X 。x -x 。 (2)曲线y = f x 过点P X o ,y 。处切线:先设切点,切点为Q(a,b),则斜率k= f'(a),切点Q(a,b)在曲线 y =f x 上,切点Q(a,b)在切线y-y o =「a x-x 。上,切点Q(a,b)坐标代入方程得关于 a,b 的方程组,解方 程组来确定切点,最后求斜率k= f'(a),确定切线方 程。 例题在曲线y=x 3+3x 2+6x-10的切线中,求斜率最小的切线方程; 解析:(1)k =y'|x 2。=3x 02 ? 6x 0 ?6=3(x 0 1)2 3 当 x o =-1 时,k 有最小值 3, 导数的基础知识 ⑵. A 10 B 13 三?导数的物理意义 C - 1 6 D.19 S 二f t 在t “0时的导数「t ° ,
含参数导数问题的三个基本讨论点
含参数导数问题的三个基本讨论点 导数是研究函数图像和性质的重要工具,自从导数进入高中数学教材以来,有关导数问题是每年高考的必考试题之一。随着高考对导数考查的不断深入,含参数的导数问题又是历年高考命题的热点。由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行讨论,因而它也是绝大多数考生答题的难点,具体表现在:他们不知何时开始讨论、怎样去讨论。对这一问题不仅高中数学教材没有介绍过,而且
在众多的教辅资料中也难得一见,本文就来讨论这一问题,供大家参考。 一、 求导后,考虑导函数为零是否有实根(或导函数的分子能否分解因式),从而引起讨论。 例1(2008年高考广东卷(理科) 设k R ∈ ,函数 1 ,11(),()(),1x x f x F x f x kx x R x ?-==-∈??≥? , 试讨论函数() F x 的单调性。 解: ()( )2 2 11,11,1,11()(),'(),11k x x kx x x x F x f x kx F x kx x x ?--?-<-??-=-==????≥?>?? 。 考虑导函数 '()0 F x =是否有实根,从而需 要对参数k 的取值进行讨论。
(一)若1 x <,则 () () 2 2 11'()1k x F x x --= -。由于当0 k ≤时, '()0 F x =无实根,而当0 k >时, '()0 F x =有实根, 因此,对参数k 分0 k ≤和0 k >两种情况讨论。 (1) 当0 k ≤时, '()0 F x ≥在 (,1) -∞上恒成立, 所以函数() F x 在 (,1) -∞上为增函数; (2) 当 k >时, () () 2 2 11'()11k x F x x x --= =-- 由 '()0 F x = ,得121,1x x ?? == ?? , 因为0 k >,所以 12 1x x <<。 由 '()0 F x >, 得 11x <<;由 '()0F x < , 得 1x <
(完整word版)高考导数题型归纳
高考压轴题:导数题型及解题方法 (自己总结供参考) 一.切线问题 题型1 求曲线)(x f y =在0x x =处的切线方程。 方法:)(0x f '为在0x x =处的切线的斜率。 题型2 过点),(b a 的直线与曲线)(x f y =的相切问题。 方法:设曲线)(x f y =的切点))(,(00x f x ,由b x f x f a x -='-)()()(000求出0x ,进而解决相关问题。 注意:曲线在某点处的切线若有则只有一,曲线过某点的切线往往不止一条。 例 已知函数f (x )=x 3﹣3x . (1)求曲线y=f (x )在点x=2处的切线方程;(答案:0169=--y x ) (2)若过点A )2)(,1(-≠m m A 可作曲线)(x f y =的三条切线,求实数m 的取值范围、 (提示:设曲线)(x f y =上的切点()(,00x f x );建立)(,00x f x 的等式关系。将问题转化为关于m x ,0的方程有三个不同实数根问题。(答案:m 的范围是()2,3--) 练习 1. 已知曲线x x y 33 -= (1)求过点(1,-3)与曲线x x y 33-=相切的直线方程。答案:(03=+y x 或027415=--y x ) (2)证明:过点(-2,5)与曲线x x y 33-=相切的直线有三条。 2.若直线0122=--+e y x e 与曲线x ae y -=1相切,求a 的值. (答案:1) 题型3 求两个曲线)(x f y =、)(x g y =的公切线。 方法:设曲线)(x f y =、)(x g y =的切点分别为()(,11x f x )。()(,22x f x );
例说导数含参问题的处理策略
例说导数含参问题的处理策略详解 (完美终结篇) 张成 壹叁捌叁捌伍叁捌贰肆贰 一、 和单调性有关的含参问题 1. 求单调区间:本质是解含参不等式 例1:求2 ()()x a f x x -= 的单调区间 【解】2 ()() ()x a a x f x x -+'= 12x a x a ==- 当0a =时,()10f x '=>,故只有增区间:(,0),(0,)-∞+∞不能并哦 当0a >时,由2 ()() ()0x a x x f a x -+'= >即()(x a)0x a -+>得,x a x a <->, 由()(x a)0x a -+<得a x a -<< 当0a <时,由()0f x '>得,x a x a <>- 由()0f x '<得a x a <<- 综上所述:当0a =时函数增区间为(,0),(0,)-∞+∞ 当0a >时函数增区间为:(,),(,)a a -∞-+∞减区间为:(,)a a - 当0a <时函数增区间为:(,),(,)a a -∞-+∞减区间为:(,)a a - 例2:求函数f (x )=x 2e ax 的单调区间. 【解】 函数f (x )的导数f ′(x )=2x e ax +ax 2e ax =(2x +ax 2)e ax . 1220x x a ==- (1)当a =0时,由f ′(x )<0得 x <0;由f ′(x )>0,得x >0 所以当a =0时,函数f (x )在区间(-∞,0)上为减函数,在区间(0,+∞)上为增函数. 当a ≠0时,1220 x x a ==- (2)当a >0时,由2x +ax 2>0,得x <-2a 或x >0;由2x +ax 2<0,得-2 a <x <0. 所以当a >0时,函数f (x )在(-∞,-2a )和(0,+∞)上为增函数,在区间(-2 a ,0)上为减函数. (3)当a <0时,由2x +ax 2>0,得0<x <-2a ;由2x +ax 2<0,得x <0或x >-2 a , 所以当a <0时,函数f (x )在区间(-∞,0)和(-2a ,+∞)上为减函数,在区间(0,-2 a )上为增函数 总结:两个根大小不定时要讨论 2. 逆向问题:已知函数在某区间上单调性,求参数取值范围 (1) 解析式含参时:本质是恒成立问题: ()0f x '≥(()0f x '≤)恒成立 思路1:转化为求非含参一段函数的最值(范围) 思路2:数形结合 注意事项:端点能否取等号要注意
导数题型总结
导数题型总结
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导数题型总结 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立此类问题提倡按以下步骤进行解决: 第一步:令' ' ()0()0f x f x ><或者求出函数的单调区间; 第二步:根据第一步求出函数的极大值,极小值和最大值; 至于不等式恒成立,则要分离变量或者变更主元。 例1:设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x ',()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D上, ()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”,已知实数m 是常数,432 3()1262 x mx x f x =-- (1)若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”,求m的取值范围; (2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ,函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”,求b a -的最大值. 解: 由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- (1) ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”,则 2()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于max ()0g x < (0)0302(3)09330g m g m <-???>? ?<--? 解法二:分离变量法: ∵ 当0x =时, 2 ()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2 ()30g x x mx =--<恒成立 等价于233 x m x x x ->=-的最大值(03x <≤)恒成立, 而3 ()h x x x =- (03x <≤)是增函数,则max ()(3)2h x h == 2m ∴> (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立(视为关于m 的一次函数最值问题) 2 2 (2)0230 11(2)0230F x x x F x x ?->--+>?????-<?>-+>??? 2b a ∴-=
(完整版)导数压轴题分类(2)---极值点偏移问题(含答案)
导数压轴题分类(2)---极值点偏移问题 极值点偏移问题常见的处理方法有⑴构造一元差函数()()()x x f x f F --=02x 或者 ()()()x x f x x f x F --+=00。其中0x 为函数()x f y =的极值点。⑵利用对数平均不等式。 2 ln ln ab b a b a b a +< --< 。⑶变换主元等方法。 任务一、完成下面问题,总结极值点偏移问题的解决方法。 1.设函数2 2 ()ln ()f x a x x ax a R =-+-∈ (1)试讨论函数()f x 的单调性; (2)()f x m =有两解12,x x (12x x <),求证:122x x a +>. 解析:(1)由2 2 ()ln f x a x x ax =-+-可知 2222(2)()()2a x ax a x a x a f x x a x x x --+-'=-+-== 因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞,所以 ① 若0a >时,当(0,)x a ∈时,()0f x '<,函数()f x 单调递减, 当(,)x a ∈+∞时,()0f x '>,函数()f x 单调递增; ② 若0a =时,当()20f x x '=>在(0,)x ∈+∞内恒成立,函数()f x 单调递增; ③ 若0a <时,当(0,)2 a x ∈-时,()0f x '<,函数()f x 单调递减, 当(,)2 a x ∈- +∞时,()0f x '>,函数()f x 单调递增; (2)要证122x x a +>,只需证12 2 x x a +>, (x)g =22 2(x)2,g (x)20(x)(x)a a f x a g f x x '''=-+-=+>∴=则为增函数。 只需证:12 x x ( )()02 f f a +''>=,即证()2121221212221+0+0a x x a x x a x x x x a -+->?-+->++(*) 又2222 111222ln ,ln ,a x x ax m a x x ax m -+-=-+-=两式相减整理得:
导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳
导数习题题型十七:含参数导数问题的分类讨论问题 含参数导数问题的分类讨论问题 1 ?求导后,导函数的解析式含有参数,导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式) 导函数为零的实 根中有参数也落在定义域内,但不知这些实根的大小关系,从而引起讨论 1 1 ★已知函数f(x) x 3 (a 2)x 2 2ax (a>0),求函数的单调区间 3 2 f (x) =x _(a 亠2)x 亠2a =(x _a)(x -2) 2a ★★例1已知函数f(x)二x (a U 2)lnx (a>0)求函数的单调区间 x 2 x -(a 2)x 2a f (x) 2 x (I)当a =1时,求曲线y = f x 在点2, f 2 处的切线方程; (n)当a=0时,求函数f x 的单调区间与极值。 解: (I)当a =1时,曲线y = f x 在点2,f 2处的切线方程为6x 25y-32 = 0。 2 (n)由于a 式0,所以f ⑺/嗔切了 ,由f'(x)=O ,得x 1 = (x +1 ) I 1 '■ -2a x - a x 2―—义域R 内,但不知它们之间 (x 2 +1) a 的取值分a 0和a ::: 0两种情况进行讨论。 函数f x 在x 2 =a 处取得极大值f a =1 o 1 — (-一「:)内为增函数,在区间 a 1 」 1 (a,)为减函数。故函数 f x 在% 处取得极小值 a a X 2二a 处取得极大值f a = 1。 (x-2)(x-a) 2 x 2 2ax -a 1 x 2 1 x R ,其中a R 。 1 , X 2 = a 。这两个实根都在定 a 2 2 2a x 1;-2x 2ax - a 1 f x 二 2 2 (x 2+1) 的大小。因此,需对参数 (1)当 a 0 时,则 x 'x 2。 易得f x 在区间 ,a, ?::内为减函数, 在区间i l,a I a 为增函数。故函数 1 i 1 f x 在为 处取得极小值f a [1 I a 」 2 --a ; (1) 当a ”:0时,则x 1 x 2。易得f x 在区间(-::,a), ★★★例3已知函数 x 二