空间向量与平行关系

空间向量与平行关系

（45分钟 100分）

一、选择题(每小题6分,共30分)

1.直线l的一个方向向量为n=(1,3,a),平面α的一个法向量为k=(b,2,3),若

l∥α,则a,b应满足的关系式为( )

A.3a+b+6=0

B.a=3b

C.3a-b+6=0

D.a=-3b

2.若直线a与b的一个方向向量分别是a=(1,2,4),b=(-1,-2,m),若a∥b,则m 的值为( )

A.4

B.-4

C.-2

D.2

3.设a,b分别是不重合的直线l1,l2的一个方向向量,则根据下列条件能判断l1∥l2的是( )

①a=(错误!未找到引用源。,1,0),b=(-2,-4,0);

②a=(4,6,-2),b=(-2,-3,1);

③a=(5,0,2),b=(0,1,0);

④a=(-2,-1,1),b=(4,-2,-8).

A.①②

B.②③

C.③④

D.①④

4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E1为A1C1的中点,E是AC的中点,则与CE1平行的直线为( )

A.AD

B.A1C1

C.EB1

D.EA1

5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为

A1B,AC的中点,则MN与平面B1BCC1的位置关系是( )

A.相交

B.平行

C.垂直

D.不能确定

二、填空题(每小题8分,共24分)

6.(2013·济南高二检测)设平面α的一个法向量为(3,2,-1),平面β的一个法向量为(-2,-错误!未找到引用源。,k),若α∥β,则k等于.

7.若直线l的一个方向向量为a=(3,2,-1),直线m∥l,则直线m的单位方向向量为.

8.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为BB1的中点,F为AD的中点,以DA,DC,DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则平面D1EF的法向量是.

三、解答题(9题,10题14分,11题18分)

9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D的中点为E,BD的中点为F,证明:CD1∥EF.

10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分别是棱A1D1,A1B1,D1C1, B1C1的中点.

求证:平面AMN∥平面EFBD.

11.(能力挑战题)已知:四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,

底面ABCD是菱形,且PA=AB=2,∠ABC=60°,BC,PD的中点

分别为E,F.在线段AB上是否存在一点G,使得AF∥平面

PCG?若存在,指出G在AB上的位置并给出证明;若不存在,

请说明理由.

答案解析

1.【解析】选A.∵l∥α,∴n⊥k,即n·k=b+6+3a=0,

∴3a+b+6=0.

2.【解析】选B.∵a∥b,∴a∥b,故m=-4.

3.【解题指南】本题为求解适合平行的充分条件,可逐一验证,因此适用排除法.

【解析】选A.①a=-错误!未找到引用源。b,∴l1∥l2,排除B,C,②a=-2b,∴l1∥l2,故选A.

【变式备选】设u,v分别是不同的平面α,β的一个法向量,根据下列条件能判断α∥β的是.

①u=(-1,1,-2),v=(3,2,-错误!未找到引用源。);

②u=(0,0,3),v=(0,0,-2);

③u=(4,2,-3),v=(1,4,-2).

【解析】判断两个法向量是否平行即可.

①∵u=k v的k值不存在,∴u与v不平行;

②∵u=-错误!未找到引用源。v,∴u∥v,∴α∥β;

③∵u=k v的k值不存在,∴u与v不平行.

答案:②

4.【解析】选D.如图所示,建立直角坐标系Axyz,

设AB=1,则C(1,1,0),E1(错误!未找到引用源。,错误!未找到

引用源。,1),∴错误!未找到引用源。=(-错误!未找到引用

源。,-错误!未找到引用源。,1).

又A1(0,0,1),E(错误!未找到引用源。,错误!未找到引用

源。,0),

∴错误!未找到引用源。=(-错误!未找到引用源。,-错误!未找到引用源。,1),故错误!未找到引用源。∥错误!未找到引用源。,又CE1与EA1不重合,故选D.

5.【解题指南】由正方体易建立空间直角坐标系,可选B1或C1为原点,求M,N的坐标是解题关键.

【解析】选B.以C 1为原点,以错误!未找到引用源。,

错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。所在直

线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图,

∴N(错误!未找到引用源。,错误!未找到引用

源。,a),

M(a,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。),

∴错误!未找到引用源。=(-错误!未找到引用源。,0,错误!未找到引用源。). 而平面B1BCC1的一个法向量为n=(0,1,0),

∴错误!未找到引用源。·n=0.又MN?平面B1BCC1,

∴MN与平面B1BCC1平行.

6.【解析】∵α∥β,∴(3,2,-1)=λ(-2,-错误!未找到引用源。,k),

∴λ=-错误!未找到引用源。,λk=-1,∴k=错误!未找到引用源。.

答案:错误!未找到引用源。

7.【解析】∵m∥l,∴a=(3,2,-1)也是直线m的方向向量,又|a|=错误!未找到引用源。,

∴所求的向量为±错误!未找到引用源。(3,2,-1),即m的单位方向向量为(错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,-错误!未找到引用源。)或(-错误!未找到引用源。,-错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。).

答案:(错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,-错误!未找到引用源。)或(-错误!未找到引用源。,-错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。)

8.【解析】根据题意得D1(0,0,1),E(1,1,错误!未找到引用源。),F(错误!未找到引用源。,0,0),

∴错误!未找到引用源。=(错误!未找到引用源。,0,-1),错误!未找到引用源。

=(1,1,-错误!未找到引用源。).

设平面D1EF的法向量是n=(x,y,z),则:

取z=2k(k≠0),则x=4k,y=-3k,

∴n=(4k,-3k,2k)(k≠0).

答案:(4k,-3k,2k)(k≠0)

9.【证明】如图所示,建立直角坐标系Dxyz,设

AB=1,则C(0,1,0),D1(0,0,1),

∴错误!未找到引用源。=(0,-1,1),又∵

A1(1,0,1),D(0,0,0),

∴E(错误!未找到引用源。,0,错误!未找到引用

源。),又F(错误!未找到引用源。,错误!未找到

引用源。,0),

∴错误!未找到引用源。=(0,错误!未找到引用源。,-错误!未找到引用源。). ∴错误!未找到引用源。=-2错误!未找到引用源。,∴错误!未找到引用源。∥错误!未找到引用源。,又∵C?EF,故CD1∥EF.

10.【证明】方法一:建立如图所示的空间直角坐标系,分

别取MN,DB及EF的中点R,T,S,连结AR,ST,

则A(2,0,0),M(1,0,4),N(2,错误!未找到引用

源。,4),D(0,0,0),B(2,3,0),

E(0,错误!未找到引用源。,4),F(1,3,4),R(错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,4),S(错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,4),T(1,错误!未找到引用源。,0).

∴错误!未找到引用源。=(1,错误!未找到引用源。,0),错误!未找到引用源。=(1,错误!未找到引用源。,0),

错误!未找到引用源。=(-错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,4),错误!未找到引用源。=(-错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,4).

∴错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,

又MN与EF,AR与TS不共线,

∴MN∥EF,AR∥TS.

∴MN∥平面EFBD,AR∥平面EFBD,

又MN?平面AMN,AR?平面AMN,MN∩AR=R,

∴平面AMN∥平面EFBD.

方法二:建系同方法一,

由方法一可知,A(2,0,0),M(1,0,4),N(2,错误!未找到引用源。,4),

D(0,0,0),E(0,错误!未找到引用源。,4),F(1,3,4),

则错误!未找到引用源。=(-1,0,4),错误!未找到引用源。=(0,错误!未找到引用源。,4),错误!未找到引用源。=(0,错误!未找到引用源。,4),错误!未找到引用源。=(1,3,4).

设平面AMN,平面EFBD的法向量分别为

n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),

令x1=1,得z1=错误!未找到引用源。,y1=-错误!未找到引用源。,

∴n1=(1,-错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。),

令y2=-1,得z2=错误!未找到引用源。,x2=错误!未找到引用源。.

∴n2=(错误!未找到引用源。,-1,错误!未找到引用源。),

∴n1=错误!未找到引用源。n2,即n1∥n2,∴平面AMN∥平面EFBD.

11.【解题指南】逆向推理是解决证明问题的关键,在证明中结合目标逆向寻求解题思路,充分利用棱柱、棱锥中的三角形、四边形(正方形、长方形、菱形)的性质特征找到垂直关系与平行关系,可以有效地对问题进行转化,忽视平面图形的性质,会使解题无从入手.

【解析】由题意知PA⊥平面ABCD,又因为底面ABCD是菱形,得AB=BC且∠ABC= 60°,所以△ABC是正三角形,连接AE,又E是BC的中点,∴BC⊥AE,故AE,AD,AP 彼此两两垂直,以AE,AD,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

∵PA=AB=2,

故A(0,0,0),B(错误!未找到引用源。,-1,0),P(0,0,2),F(0,1,1),C(错误!未找到引用源。,1,0),

∴错误!未找到引用源。=(0,0,-2),错误!未找到引用源。=(错误!未找到引用源。,1,-2),错误!未找到引用源。=(0,1,1).

假设在线段AB上存在点G,使得AF∥平面PCG,

则错误!未找到引用源。=λ错误!未找到引用源。(0≤λ≤1),

∵错误!未找到引用源。=(错误!未找到引用源。,-1,0),

∴错误!未找到引用源。=λ错误!未找到引用源。=(错误!未找到引用源。λ,-λ,0).

∴错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=(错误!未找到引用源。λ,-λ,-2),

设平面PCG的法向量为n=(x,y,z),

得n=(错误!未找到引用源。,1,错误!未找到引用源。).

∵AF∥平面PCG,∴错误!未找到引用源。·n=0,解得λ=错误!未找到引用源。, 故在线段AB上存在中点G,使得AF∥平面PCG.

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空间向量与平行关系

《空间向量与平行关系》 教学目标： 知识与技能：掌握线线平行，线面平行，面面平行的传统，基底，坐标方法. 过程与方法：在简单例题中利用这三种方法，循序渐进，慢慢熟练掌握. 情感与价值：通过对线，面平行，两种方法的比较.发现其中的数学规律， 学会总结，慢慢理解加深对数学的认识. 教育目标：数学课到底教什么？ 一教知识：传授人类在历史发展的过程中对各类事物观察、归纳、推演和论证过的共有的和特有的稳定属性，即事物在变化过程中保持的不变性。如三角形（类），其内角和 为180度（共有属性），而多边形的外角和为360度（更高层面的总结）. 二教方法和思想：引导学生重演知识的发生发展的过程，感受人类先哲们探索的艰辛，体会数学先驱们天才的思想，从而学会观察事物，提出问题并加以解决，让数学知识 这“冰冷的美丽唤出火热的思考”。 三引导学生融会贯通:简化记忆，构建起自己的数学结构，即总结出自己解决问题的“中途点”，以期能站在前人的肩膀上思考和分析问题. 教学难点：线，面平行传统方法的回顾 处理办法：在学案进行复习巩固 教学重点：用向量解决线，面平行问题 处理办法：通过例题循序渐进 教学设计 一.（复习回顾）

2.方向向量：在空间中直线的方向上用一个与该直线平行的非零向量来表示，该向量称为这条直线 的一个方向向量. 法向量：垂直于平面的向量（非零向量） 向量垂直：0=??⊥→→→→b a b a （两非零向量）“思考为什么要强调两非零向量”？ 二.新知引入：向量法 1. 设直线m l ，的方向向量分别为→→b a ,，平面βα，的法向量分别为→→v u ,，则： R b a b a m l ∈=??→→→→λλ,∥∥ 0=??⊥?→→→→u a u a l α∥ R v u v u ∈=??→→→→λλβα,∥∥ 1.线线平行 ① 设直线n m ,的方向向量分别为→→b a ,，根据下列条件判断直线n m ,的位置关系： ()2,1,2--=→a ()6,3,6--=→b ， ()2,1,2--=→a ()2,1,2--=→ b ， ②已知→1e ，→ 2 e 是空间任意两个非零向量，根据下列条件判断直线n m ,的位置关系： →→→-=2132e e a →→→+-=2132e e b →→→-=2132e e a →→→-=2164e e b 2.线面平行 ①设直线l 的方向向量为→a ，平面α的法向量为→u ，且直线l 不在平面α内.若0=?→→u a ，则( ) A ．l α∥ B ．l ?α C ．l ⊥α D ．l ?α或l α∥ ②设直线l 的方向向量为→a ，平面α的法向量为→u ，若0=?→→u a ，则( ) A ．l α∥ B ．l ?α C ．l ⊥α D ．l ?α或l α∥ ③设直线m 的方向向量为→a ，平面σ的法向量为，→u 直线m 不在平面α内. 根据下列条件判断直线 m 与平面σ的位置关系： ()5,2,2-=→a ()4,46-=→，u ()5,2,2-=→a ()2,23-=→ ，u 3.面面平行 ①设平面βα，的法向量分别为→→v u ,，根据下列条件判断直线β α，的位置关系 ()2,2,1-=→u ()4,4,2--=→v ()6,6,3-=→u ()4,4,2--=→v ②设平面σ的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－1，－2，k )，若βα∥，则k ＝( ) A ．2 B ．－4 C ．4 D ．－2

人教版数学高二A版选修2-1学业测评空间向量与平行关系

学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．l 1的方向向量为v 1＝(1，2，3)，l 2的方向向量v 2＝(λ，4，6)，若l 1∥l 2，则λ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【解析】 ∵l 1∥l 2，∴v 1∥v 2，则1 λ＝2 4，∴λ＝2. 【答案】 B 2．若AB →＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．在平面内 D ．平行或在平面内 【解析】 ∵AB →＝λCD →＋μCE →，∴AB →，CD →，CE →共面，则AB 与平面CDE 的位置关系是平行或在平面内． 【答案】 D 3．已知平面α内有一个点A (2，－1，2)，α的一个法向量为n ＝(3，1，2)，则下列点P 中，在平面α内的是( ) A ．(1，－1，1) B.? ? ???1，3，32 C.? ? ? ??1，－3，32 D.? ? ? ??－1，3，－32

【解析】 对于B ，AP →＝? ?? ??－1，4，－12， 则n ·AP →＝(3，1，2)·? ?? ??－1，4，－12 ＝0， ∴n ⊥AP →，则点P ? ?? ??1，3，32在平面α内． 【答案】 B 4．已知直线l 的方向向量是a ＝(3，2，1)，平面α的法向量是u ＝(－1，2，－1)，则l 与α的位置关系是( ) A ．l ⊥α B ．l ∥α C ．l 与α相交但不垂直 D ．l ∥α或l ?α 【解析】 因为a ·u ＝－3＋4－1＝0，所以a ⊥u .所以l ∥α或l ?α. 【答案】 D 5．若u ＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( ) A ．(0，－3，1) B ．(2，0，1) C ．(－2，－3，1) D ．(－2，3，－1) 【解析】 同一个平面的法向量平行，故选D. 【答案】 D 二、填空题 6．若平面α，β的法向量分别为(－1，2，4)，(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为________．

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 3.2.1空间向量与平行关系课时作业 新人教A版选修2-1

空间向量与平行关系 (30分钟50分) 一、选择题(每小题3分,共18分) 1.若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,有可能使l∥α的是( ) A.a=(1,0,0),n=(-2,0,0) B.a=(1,3,5),n=(1,0,1) C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1) 【解析】选D.若l∥α,则a·n=0.而选项A中a·n=-2.选项B中a·n=1+5=6.选项C中a·n=-1,选项D 中a·n=-3+3=0. 【变式训练】已知线段AB的两端点坐标为A(9,-3,4),B(9,2,1),则线段AB与坐标平面( ) A.xOy平行 B.xOz平行 C.yOz平行 D.yOz相交 【解析】选C.因为=(9,2,1)-(9,-3,4)=(0,5,-3),故∥平面yOz.又A(9,-3,4),B(9,2,1)不在平面yOz内,所以AB∥平面yOz. 2.(2014·郑州高二检测)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是( ) A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 【解析】选B.分别以C1B1,C1D1,C1C所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系. 因为A1M=AN=a,

所以M, N. 所以=. 又C1(0,0,0),D1(0,a,0), 所以=(0,a,0). 所以·=0. 所以⊥. 因为是平面BB1C1C的一个法向量,且MN?平面BB1C1C, 所以MN∥平面BB1C1C. 【一题多解】选B.=++, ① =++. ② 因为A1M=AN=a, 所以=,=. ①×2+②得3=2+, 而=,所以=+. 故MN∥平面BB1C1C. 3.(2014·泰安高二检测)以下四组向量: ①a=(1,-2,1),b=(-1,2,-1); ②a=(8,4,0),b=(2,1,0); ③a=(1,0,-1),b=(-3,0,3); ④a=,b=(4,-3,3). 其中a,b分别为直线l1,l2的方向向量,则它们互相平行的是( ) A.②③ B.①④ C.①②④ D.①②③④ 【解析】选D.因为①a=(1,-2,1)=-b=-(-1,2,-1),

空间向量与平行关系

临清实验高中高二年级数学学科新授课导学案 编写人：国辉 ， 审核人：周静， 使用日期：12,27 编号：046 3.2.1 空间向量与平行关系 一、学习目标 1.理解直线的方向向量和平面的法向量， 2.能用向量语言表述和证明空间平行问题。 二、自主学习，合作探究 (一）知识导学 1．直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线 或 的向量，一条直线的方向向量有 个. 2．平面的法向量 直线l α⊥，取直线l 的方向向量a ，则a 叫做平面α的 . 3．空间中平行关系的向量表示 1）线线平行 设直线l 、m 的方向向量分别为111222(,,),(,,)a a b c b a b c ==则l ∥m ? ? ＝ . 2）线面平行 设直线l 的方向向量为111(,,)a a b c =，平面α的法向量为222(,,)u a b c =，则l ∥α? ? ＝0? . 3）面面平行 设平面α、β的法向量分别为111(,,)u a b c =，222(,,)v a b c =，则α∥β? ? ? . 4）平面法向量的求法 ①当已知平面的垂线时，在垂线上取一非零向量即可作为平面的法向量. ②当已知平面α内两不共线向量123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==时，常用待定系数法求法向量： 设法向量(,,)n x y z =，由0 a n b n ??=???=??，得12312300a x a y a z b x b y b z ++=??++=?， 在上述方程中，对x 、y 、z 中的任一个赋值，求出另两个，所得n 即为平面的法向量. ★ 特别提醒 平面的法向量一定是非零向量，赋值时，要保证(0,0,0).n ≠ （二）例题解析 题型一：利用方向向量和法向量判定线面位置关系 例1、（1）设a ，b 分别是1l ，2l 的方向向量，判断1l ，2l 的位置关系 ①(2,3,1)a =-，(6,9,3)b =-- ②(5,0,2)a =，(0,4,0)b = （2）设,μυ分别是平面,αβ的法向量，判断,αβ的位置关系。 ①(1,1,2)μ=-，1(3,2,)2 υ=- ②(0,3,0)μ=，(0,5,0)υ=- （3）设μ是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，判断直线l 与α的位置关系。 ①(2,2,1)μ=-，(3,4,2)a =- ②(0,2,3)μ=-，(0,8,12)a =- （变式训练）根据下列各条件，判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系。 （1）直线1l ，2l 的方向向量分别是(1,3,1)a =--，(8,2,2)b = （2）平面,αβ的法向量分别是(1,3,0)μ=，(3,9,0)υ=-- （3）直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是(1,4,3)a =--，(2,0,3)μ=

苏教版数学高二- 选修2-1素材 3.2利用空间向量解决形形色色的平行问题

3.2 例析利用空间向量解决形形色色的平行问题 一．证明线线平行 证明两直线平行可用112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈或 3 12123 //a a a a b b b b ? ==. 例1：已知正方体''''ABCD A B C D -，E 、F 分别为'AA 和'CC 的中点.求证：//'BF ED . 证明：不妨设正方体的边长为1，建立空间直角坐标系D xyz -，则相关各点坐标为(1,1,0)B ，1 (0,1,)2 F ，1 (1,0,)2 E ，'(0,0,1)D . 11 (0,1,)(1,1,0)(1,0,)22 BF =-=-， 11 '(0,0,1)(1,0,)(1,0,)22 ED =-=-. ∵'1ED BF =?， ∴'//ED BF 即//'BF ED . 例2：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 已知：直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，O 、B 为垂足,求证：//OA BD . 证明：以点O 为原点，以射线OA 为非负z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，i ，j ， k 为沿x 轴，y 轴，z 轴的坐标向量，且设(,,)BD x y z =. ∵BD α⊥，∴BD i ⊥，BD j ⊥. ∴(,,)(1,0,0)0BD i x y z x ?=?==， (,,)(0,1,0)0BD j x y z y ?=?==， ∴(0,0,)BD z zk == ∴//BD k . ∵O 、B 为不同两点， ∴//BD OA . 二．证明线面平行 例3：如图已知四边形ABCD 和ABEF 是两个正方形，MN 分别在其对角线FB 、AC 上，且FM AN =.求证：//MN 平面EBC . D B O A α

高中数学 错误解题分析 3-2第1课时 空间向量与平行关系

3.2 立体几何中的向量方法 第1课时 空间向量与平行关系 双基达标 限时20分钟 1．若A (－1，0，1)，B (1，4，7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为 ( )． A ．(1，2，3) B ．(1，3，2) C ．(2，1，3) D ．(3，2，1) 答案 A 2．若u ＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )． A ．(0，－3，1) B ．(2，0，1) C ．(－2，－3，1) D ．(－2，3，－1) 答案 D 3．若平面α与β的法向量分别是a ＝(1，0，－2)，b ＝(－1，0，2)，则平面α与β的位置 关 系 是 ( )． A ．平行 B ．垂直 C ．相交不垂直 D ．无法判断 解析 ∵a ＝(1，0，－2)＝－(－1，0，2)＝－b ，∴a∥b ，∴α∥β. 答案 A 4．已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，－8，1)，平面α的法向量为(1，y ，2)，则y ＝________． 解析 ∵l ∥α，∴l 的方向向量(2，－8，1)与平面α的法向量(1，y ，2)垂直，∴2×1－8×y ＋2＝0，∴y ＝12. 答案 12 5．设平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则 k ＝______． 解析 由α∥β得1－2＝2－4＝－2 k ，解得k ＝4.

答案 4 6．如图，在长方体OAEB －O 1A 1E 1B 1中，OA ＝3，OB ＝4，OO 1＝2，点P 在棱AA 1上，且AP ＝2PA 1，点S 在棱BB 1上，且SB 1＝2BS ，点Q 、R 分别是O 1B 1、AE 的中点，求证：PQ ∥RS . 证明 如图所示，建立空间直角坐标系，则A (3，0， 0)，B (0，4，0)，O 1(0，0，2)，A 1(3，0，2)，B 1(0，4， 2)，E (3，4，0) ∵AP ＝2PA 1， ∴AP →＝2PA 1→＝23AA 1→，即AP →＝2 3(0，0，2)＝(0，0，43)， ∴P 点坐标为(3，0，4 3 )． 同理可得Q (0，2，2)，R (3，2，0)，S (0，4，2 3)． ∴PQ →＝(－3，2，23)＝RS →，∴PQ →∥RS → ， 又∵R ?PQ ，∴PQ ∥RS . 综合提高（限时25分钟） 7．已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3，4)，B (9，2，1)，则线段AB 与坐标平面 ( )． A ．xOy 平行 B ．xOz 平行 C ．yOz 平行 D ．yOz 相交 解析 因为AB → ＝(9，2，1)－(9，－3，4)＝(0，5，－3)，所以AB ∥平面yOz . 答案 C 8．已知平面α内有一个点A (2，－1，2)，α的一个法向量为n ＝(3，1，2)，则下列点P 中在 平 面 α 内 的 是 ( )． A ．(1，－1，1) B ．(1，3，3 2) C ．(1，－3，32) D ．(－1，3，－3 2 ) 解析 要判断点P 是否在平面α内，只需判断向量PA → 与平面α的法向量n 是否垂直，即 PA →·n 是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A ，PA →＝(1，0，1)，则PA → ·n

空间向量巧解平行,垂直关系

高中数学空间向量巧解平行、垂直关系 编稿老师刘咏霞一校黄楠二校杨雪审核郑建彬 一、考点突破 知识点课标要求题型说明 空间向量巧解 平行、垂直关系 1. 能够运用向量的坐标判断两个 向量的平行或垂直。 2. 理解直线的方向向量与平面的 法向量。 3. 能用向量方法解决线面、面面的 垂直与平行问题，体会向量方法在 立体几何中的作用。 选择题 填空题 解答题 注意用向量方 法解决平行和垂直 问题中坐标系的建 立以及法向量的求 法。 二、重难点提示 重点：用向量方法判断有关直线和平面的平行和垂直关系问题。 难点：用向量语言证明立体几何中有关平行和垂直关系的问题。 考点一：直线的方向向量与平面的法向量 1. 直线l上的向量a或与a共线的向量叫作直线l的方向向量。 2. 如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α，此时向量a叫作平面α的法向量。 【核心归纳】

① 一条直线的方向向量有无数多个，一个平面的法向量也有无数多个，且它们是共线的。 ② 在空间中，给定一个点A 和一个向量a ，那么以向量a 为法向量且经过点A 的平面是唯一确定的。 【随堂练习】 已知A （1，1，0），B （1，0，1），C （0，1，1），则平面ABC 的一个法向量的单位向量是（ ） A. （1，1，1） B. C. 111 (,,) 333 D. (333 - 思路分析：设出法向量坐标，列方程组求解。 答案：设平面ABC 的一个法向量为n ＝（x ，y ，z ），AB u u u r ＝（0，－1，1），BC uuu r ＝（－ 1，1，0），AC u u u r ＝（－1，0，1），则·0 ·0· 0AB y z BC x y AC x z ?=-+=?? =-+=??=-+=??n n n u u u r u u u r u u u r ，∴x ＝y ＝z ， 又∵单位向量的模为1，故只有B 正确。 技巧点拨：一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下： （1）设出平面的法向量为n ＝（x ，y ，z ）。 （2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量a ＝（a 1，b 1，c 1），b ＝（a 2，b 2，c 2）。 （3）根据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组· 0· 0.=??=?n a n b （4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量。 考点二：用向量法证明空间中的平行关系、垂直关系

空间向量与平行关系-课时作业

学习资料[文档副标题] [日期] 世纪金榜 [公司地址]

空间向量与平行关系 （45分钟 100分） 一、选择题(每小题6分,共30分) 1.直线l的一个方向向量为n=(1,3,a),平面α的一个法向量为k=(b,2,3),若 l∥α,则a,b应满足的关系式为( ) A.3a+b+6=0 B.a=3b C.3a-b+6=0 D.a=-3b 2.若直线a与b的一个方向向量分别是a=(1,2,4),b=(-1,-2,m),若a∥b,则m 的值为( ) A.4 B.-4 C.-2 D.2 3.设a,b分别是不重合的直线l1,l2的一个方向向量,则根据下列条件能判断l1∥l2的是( ) ①a=(,1,0),b=(-2,-4,0); ②a=(4,6,-2),b=(-2,-3,1); ③a=(5,0,2),b=(0,1,0); ④a=(-2,-1,1),b=(4,-2,-8). A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E1为A1C1的中点,E是AC的中点,则与CE1平行的直线为( ) A.AD B.A1C1 C.EB1 D.EA1 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为 A1B,AC的中点,则MN与平面B1BCC1的位置关系是( ) A.相交 B.平行

C.垂直 D.不能确定 二、填空题(每小题8分,共24分) 6.(2013·济南高二检测)设平面α的一个法向量为(3,2,-1),平面β的一个法向量为(-2,-,k),若α∥β,则k等于. 7.若直线l的一个方向向量为a=(3,2,-1),直线m∥l,则直线m的单位方向向量为. 8.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为BB1的中点,F为AD的中点,以DA,DC,DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则平面D1EF的法向量是. 三、解答题(9题,10题14分,11题18分) 9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D的中点为E,BD的中点为F,证明:CD1∥EF. 10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分别是棱A1D1,A1B1,D1C1, B1C1的中点. 求证:平面AMN∥平面EFBD. 11.(能力挑战题)已知:四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD, 底面ABCD是菱形,且PA=AB=2,∠ABC=60°,BC,PD的中点 分别为E,F.在线段AB上是否存在一点G,使得AF∥平面 PCG?若存在,指出G在AB上的位置并给出证明;若不存在, 请说明理由. 答案解析 1.【解析】选A.∵l∥α,∴n⊥k,即n·k=b+6+3a=0, ∴3a+b+6=0. 2.【解析】选B.∵a∥b,∴a∥b,故m=-4.

数学高二-选修2素材 2.4利用空间向量解决形形色色的平行问题

例析利用空间向量解决形形色色的平行问题 一．证明线线平行 证明两直线平行可用112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈或 3 12123 //a a a a b b b b ? ==. 例1：已知正方体''''ABCD A B C D -，E 、F 分别为'AA 和'CC 的中点.求证：//'BF ED . 证明：不妨设正方体的边长为1，建立空间直角坐标系D xyz -，则相关各点坐标为(1,1,0)B ，1 (0,1,)2 F ，1 (1,0,)2 E ，'(0,0,1)D . 11 (0,1,)(1,1,0)(1,0,)22 BF =-=-， 11 '(0,0,1)(1,0,)(1,0,)22 ED =-=-. ∵'1ED BF =?， ∴'//ED BF 即//'BF ED . 例2：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 已知：直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，O 、B 为垂足,求证：//OA BD . 证明：以点O 为原点，以射线OA 为非负z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，i ，j ， k 为沿x 轴，y 轴，z 轴的坐标向量，且设(,,)BD x y z =. ∵BD α⊥，∴BD i ⊥，BD j ⊥. ∴(,,)(1,0,0)0BD i x y z x ?=?==， (,,)(0,1,0)0BD j x y z y ?=?==， ∴(0,0,)BD z zk == ∴//BD k . ∵O 、B 为不同两点， ∴//BD OA . 二．证明线面平行 例3：如图已知四边形ABCD 和ABEF 是两个正方形，MN 分别在其对角线FB 、AC 上，且FM AN =.求证：//MN 平面 D B O A α E

空间向量与平行关系

空间向量与平行关系 （45分钟 100分） 一、选择题(每小题6分,共30分) 1.直线l的一个方向向量为n=(1,3,a),平面α的一个法向量为k=(b,2,3),若 l∥α,则a,b应满足的关系式为( ) A.3a+b+6=0 B.a=3b C.3a-b+6=0 D.a=-3b 2.若直线a与b的一个方向向量分别是a=(1,2,4),b=(-1,-2,m),若a∥b,则m 的值为( ) A.4 B.-4 C.-2 D.2 3.设a,b分别是不重合的直线l1,l2的一个方向向量,则根据下列条件能判断l1∥l2的是( ) ①a=(错误!未找到引用源。,1,0),b=(-2,-4,0); ②a=(4,6,-2),b=(-2,-3,1); ③a=(5,0,2),b=(0,1,0); ④a=(-2,-1,1),b=(4,-2,-8). A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E1为A1C1的中点,E是AC的中点,则与CE1平行的直线为( ) A.AD B.A1C1 C.EB1 D.EA1 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为 A1B,AC的中点,则MN与平面B1BCC1的位置关系是( ) A.相交 B.平行

C.垂直 D.不能确定 二、填空题(每小题8分,共24分) 6.(2013·济南高二检测)设平面α的一个法向量为(3,2,-1),平面β的一个法向量为(-2,-错误!未找到引用源。,k),若α∥β,则k等于. 7.若直线l的一个方向向量为a=(3,2,-1),直线m∥l,则直线m的单位方向向量为. 8.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为BB1的中点,F为AD的中点,以DA,DC,DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则平面D1EF的法向量是. 三、解答题(9题,10题14分,11题18分) 9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D的中点为E,BD的中点为F,证明:CD1∥EF. 10.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分别是棱A1D1,A1B1,D1C1, B1C1的中点. 求证:平面AMN∥平面EFBD. 11.(能力挑战题)已知:四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD, 底面ABCD是菱形,且PA=AB=2,∠ABC=60°,BC,PD的中点 分别为E,F.在线段AB上是否存在一点G,使得AF∥平面 PCG?若存在,指出G在AB上的位置并给出证明;若不存在, 请说明理由. 答案解析 1.【解析】选A.∵l∥α,∴n⊥k,即n·k=b+6+3a=0, ∴3a+b+6=0. 2.【解析】选B.∵a∥b,∴a∥b,故m=-4. 3.【解题指南】本题为求解适合平行的充分条件,可逐一验证,因此适用排除法.

第1章 1.4 1.4.1 第1课时 空间向量与平行关系

1.4空间向量的应用 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时空间向量与平行关系 学 习目标核心素养 1.了解空间中点、直线和平面的向量表示． 2．掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念及求法．(重点) 3．熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系．(重点、难点)1.通过空间中点、直线和平面的向量表示的学习，培养学生直观想象和逻辑推理的核心素养． 2．通过直线的方向向量和平面法向量的学习，培养学生数学运算的核心素养． 3．借助利用空间向量解决平行问题的学习，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养. (1)如何确定一个点在空间的位置？ (2)在空间中给一个定点A和一个定方向(向量)，能确定一条直线在空间的位置吗？ (3)给一个定点和两个定方向(向量)，能确定一个平面在空间的位置吗？ (4)给一个定点和一个定方向(向量)，能确定一个平面在空间的位置吗？ 1．空间中点、直线和平面的向量表示 点P的位置向 量在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用向量OP → 表示，我们把向量OP → 称为点P的位置向量. 空间直线的向量表示式a是直线l的方向向量，在直线l上取AB → ＝a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP → ＝OA → ＋t a，也可以表示为OP → ＝OA → ＋tAB → .这两个式子称为空间直线的向量表示式. 空间平面ABC 的向量表示式设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面内任意一点，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使得OP → ＝x a＋y b.那么取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使OP → ＝OA → ＋xAB →

用空间向量解立体几何问题方法归纳

用空间向量解立体几何题型与方法 平行垂直问题基础知识 直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4) (1)线面平行：l ∥α?a ⊥u ?a ·u ＝0?a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0 (2)线面垂直：l ⊥α?a ∥u ?a ＝k u ?a 1＝ka 3，b 1＝kb 3，c 1＝kc 3 (3)面面平行：α∥β?u ∥v ?u ＝k v ?a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4 (4)面面垂直：α⊥β?u ⊥v ?u ·v ＝0?a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0 例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，P A ＝AB ＝1，BC ＝2. (1)求证：EF ∥平面P AB ； (2)求证：平面P AD ⊥平面PDC . [证明] 以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空 间直角坐标系如图所示，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)，所以E ? ????1 2，1，12， F ? ????0，1，12，EF ＝? ?? ?? －12，0，0，PB ＝(1,0，－1)，PD ＝(0,2，－1)，AP ＝(0,0,1)，AD ＝(0,2,0)，DC ＝(1,0,0)，AB ＝(1,0,0)． (1)因为EF ＝－1 2AB ，所以EF ∥AB ，即EF ∥AB . 又AB ?平面P AB ，EF ?平面P AB ，所以EF ∥平面P AB . (2)因为AP ·DC ＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD ·DC ＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0， 所以AP ⊥DC ，AD ⊥DC ，即AP ⊥DC ，AD ⊥DC . 又AP ∩AD ＝A ，AP ?平面P AD ，AD ?平面P AD ，所以DC ⊥平面P AD .因为DC ?平面PDC ， 所以平面P AD ⊥平面PDC . 使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直. 例2、在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上， 且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点． 求证：(1)B 1D ⊥平面ABD ； (2)平面EGF ∥平面ABD .

空间向量巧解平行、垂直关系

一、考点突破 考点一：直线的方向向量与平面的法向量 ，此时向量a叫作平面α的法向量。 【核心归纳】 ①一条直线的方向向量有无数多个，一个平面的法向量也有无数多个，且它们是共线的。 ②在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是唯一确定的。

【随堂练习】 已知A（1，1，0），B（1，0，1），C（0，1，1），则平面ABC的一个法向量的单位向量是（） A. （1，1，1） B. () 333 C. 111 (,,) 333 D. (,) 333 - 思路分析：设出法向量坐标，列方程组求解。 · · · AB y BC x AC x ?=- ?? =- ? ? =- ?? n n n 又∵单位向量的模为正确。 一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下： ①用向量法解决立体几何问题是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想。 ②用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：

建立立体图形与空间 向量的联系，用空间 向量表示问题中涉及 的点、直线、平面， 把立体几何问题转化 为向量问题。 通过向量运算，研究 点、直线、平面之间 的位置关系以及它们 之间的距离和夹角等 问题。 把向量的运算结果 “翻译”成相应的几 何意义。 例题1（浙江改编）如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD， AD＝2，BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC。证明：PQ∥平面BCD。 思路分析：利用直线的方向向量和平面的法向量垂直证明线面平行。 答案：证明：如图，取BD的中点O，以O为原点，OD、OP所在射线为y、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz。 由题意知，A（0，2，2），B（0，－2，0），D（0，2，0）。 设点C的坐标为（x0，y0，0）。因为3 AQ QC =，所以Q 00 3231 ,, 4442 x y ?? + ? ? ?? 。 因为M为AD的中点，故M（0，2，1），又P为BM的中点，故P 1 0,0, 2 ?? ? ?? ， 所以PQ＝ 00 323 ,,0 444 x y ?? + ? ?? 。 又平面BCD的一个法向量为a＝（0，0，1），故PQ·a＝0。 又PQ?平面BCD，所以PQ∥平面BCD。 技巧点拨：解决此类问题的依据是要根据线面平行的判定定理，可证直线的方向向量与平面内某一向量平行，也可证直线的方向向量与平面的法向量垂直。

人教版数学高一选修2-1 3.2利用空间向量解决形形色色的平行问题

例析利用空间向量解决形形色色的平行问题 山东省利津县第一中学 胡彬 257400 一．证明线线平行 证明两直线平行可用112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈或 3 12123 //a a a a b b b b ? ==. 例1：已知正方体''''ABCD A B C D -，E 、F 分别为'AA 和'CC 的中点.求证：//'BF ED . 证明：不妨设正方体的边长为1，建立空间直角坐标系D xyz -，则相关各点坐标为(1,1,0)B ，1(0,1,)2 F ，1 (1,0,)2 E ，'(0,0,1)D . 11 (0,1,)(1,1,0)(1,0,)22 BF =-=-， 11 '(0,0,1)(1,0,)(1,0,)22 ED =-=-. ∵'1ED BF =?， ∴'//ED BF 即//'BF ED . 例2：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行. 已知：直线OA ⊥平面α，直线BD ⊥平面α，O 、B 为垂足,求证：//OA BD . 证明：以点O 为原点，以射线OA 为非负z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，i ，j ， k 为沿x 轴，y 轴，z 轴的坐标向量，且设(,,)BD x y z =. ∵BD α⊥，∴BD i ⊥，BD j ⊥. ∴(,,)(1,0,0)0BD i x y z x ?=?==， (,,)(0,1,0)0BD j x y z y ?=?==， ∴(0,0,)BD z zk == ∴//BD k . ∵O 、B 为不同两点， ∴//BD OA . 二．证明线面平行 例3：如图已知四边形ABCD 和ABEF 是两个正方形，MN 分别在其对角线FB 、AC 上，且FM AN =.求证：//MN 平面EBC . 证明：在正方形ABCD 和ABEF 中， ∵FM AN =，FB AC =， ∴存在实数λ使FM FB λ=，AN AC λ=， ∴MN MF FA AN =++BF EB AC λλ=++ D B O A α A B D C E F M N

2021人教A版数学选修2-1配套训练：3.2 第1课时 用空间向量解决立体几何中的平行问题

[A 组 学业达标] 1．若直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－3，－6,6)，则( ) A ．l 1∥l 2 B ．l 1⊥l 2 C ．l 1，l 2相交但不垂直 D ．不能确定 解析：∵a ＝(1,2，－2)，b ＝(－3，－6,6)， ∴b ＝－3a ， ∴l 1∥l 2. 答案：A 2.在如图所示的坐标系中，ABCD -A 1B 1C 1D 1是棱长为1个单位长度的正方体，给出下列结论： ①直线DD 1的一个方向向量为(0,0,1)． ②直线BC 1的一个方向向量为(0,1,1)． ③平面ABB 1A 1的一个法向量为(0,1,0)． ④平面B 1CD 的一个法向量为(1,1,1)． 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：DD 1∥AA 1，AA 1→ ＝(0,0,1)； BC 1∥AD 1，AD 1→ ＝(0,1,1)， 直线AD ⊥平面ABB 1A 1，AD → ＝(0,1,0)； C 1点坐标为(1,1,1)，AC 1→ 与平面B 1CD 不垂直， ∴④错． 答案：C 3．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(－4，－8,4)，则( )

A ．α∥β B ．α⊥β C ．α，β相交但不垂直 D ．以上均不正确 解析：∵u ＝－1 4v ， ∴α∥β. 答案：A 4．在菱形ABCD 中，若P A → 是平面ABCD 的法向量，则以下等式中可能不成立的是( ) A.P A →·AB →＝0 B.PC →·BD →＝0 C.PC →·AB →＝0 D.P A →·CD →＝0 解析：∵P A ⊥平面ABCD ， ∴BD ⊥P A . 又AC ⊥BD ， ∴PC ⊥BD . 故选项B 正确，选项A 和D 显然成立．故选C. 答案：C 5．已知线段AB 的两端点坐标为A (9，－3,4)，B (9,2,1)，则线段AB 与坐标平面( ) A ．xOy 平行 B ．xOz 平行 C ．yOz 平行 D ．yOz 相交 解析：因为AB → ＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)， 所以AB ∥平面yOz . 答案：C 6．已知l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为? ? ???1，12，2，则m ＝ ________. 解析：∵l ∥α，