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最新新版人教版九年级数学全册知识点

第二十一章一元二次方程

21.1 一元二次方程

在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程有四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为 ax 2

+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程．（4）将方程化为一般形式：ax 2

+bx+c=0时，应满足（a≠0）

21.2 降次——解一元二次方程

1．一元二次方程的解法

(1)直接开平方法：根据平方根的意义，用此法可解出形如a x 2=(a ≥0)，b )a x (2=-(b ≥0)类的一元二次方程．a x 2=，则a x ±=；b )a x (2=-，b a x ±=-，b a x +=．对有些一元二次方程，本身不是上述两种形式，但可以化为a x 2=或

b )a x (2=-的形式，也可以用此法解． (2)因式分解法：当一元二次方程的一边为零，而另一边易分解成两个一次因式的积时，就可用

此法来解．要清楚使乘积ab ＝0的条件是a ＝0或b ＝0，使方程x(x －3)＝0的条件是x ＝0或x －3＝0．x 的两个值都可以使方程成立，所以方程x(x －3)＝0有两个根，而不是一个根．

(3)配方法：任何一个形如bx x 2

+的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一

个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来解的方程．如解07x 6x 2

=++时，可把方

程化为7x 6x 2-=+，

26726x 6x ???

??+-=??? ??++，即2)3x (2=+，从而得解．注意：(1)“方程两边各加上一次项系数一半平方”的前提是方程的二次项系数是1．

(2)解一元二次方程时，一般不用此法，掌握这种配方法是重点．

(3)公式法：一元二次方程0c bx ax 2

=++(a ≠0)的根是由方程的系数a 、b 、c 确定的．在0

ac 4b 2≥-的前提下，a 2ac

4b b x 2-±-=

．用公式法解一元二次方程的一般步骤：

①先把方程化为一般形式，即0c bx ax 2

=++(a ≠0)的形式；

②正确地确定方程各项的系数a 、b 、c 的值(要注意它们的符号)；

③计算0ac 4b 2

<-时，方程没有实数根，就不必解了(因负数开平方无意义)； ④将a 、b 、c 的值代入求根公式，求出方程的两个根．

说明：象直接开平方法、因式分解法只是适宜于特殊形式的方程，而公式法则是最普遍，最适用的方法．解题时要根据方程的特征灵活选用方法．

2．一元二次方程根的判别式

一元二次方程的根有三种情况：①有两个不相等的实数根；②有两个相等的实数根；③没有实

数根．而根的情况，由ac 4b 2-的值来确定．因此ac 4b 2-=?叫做一元二次方程0c bx ax 2

=++的根的判别式．

△>0?方程有两个不相等的实数根． △＝0?方程有两个相等的实数根． △<0?方程没有实数根．

判别式的应用

(1)不解方程判定方程根的情况；

(2)根据参数系数的性质确定根的范围； (3)解与根有关的证明题． 3．韦达定理及其应用

定理：如果方程0c bx ax 2

=++(a ≠0)的两个根是21x x ，，那么

a c

x x a b x x 2121=?-=+，．当a ＝1时，c x x b x x 2121=?-=+，．

应用：

(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；

(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知系数； (3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程； (4)已知两数和与积求两数． 4．一元二次方程的应用 (1)面积问题； (2)数字问题；

(3)平均增长率问题．步骤：

①分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系(包括隐含的)； ②设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； ③找出相等关系，并用它列出方程； ④解方程求出题中未知数的值；

⑤检验所求的答数是否符合题意，并做答．这里关键性的步骤是②和③．

注意：列一元二次方程应用题是一元一次方程解应用题的拓展，解题的方法是相同的，但因一元二次方程有两解，要检验方程的解是否符合题意及实际问题的意义．

第二十二章二次函数

22.1二次函数及其图像

二次函数概念

一般地，把形如y=ax 2+bx+c （其中a 、b 、c 是常数，a ≠0，b ，c 可以为0）的函数叫做二次函数，其中a 称为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。x 为自变量，y 为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。二次函数图

像是轴对称图形。对称轴为直线，顶点坐标

，交点式为（仅限

于与x 轴有交点和的抛物线），与x 轴的交点坐标是

和

。

注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指变量的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在实数范围内任意取值。在方程中适用“未知数”

的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别，如同函数不等于函数的关系。

二次函数公式大全

二次函数

I.定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）

则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式

一般式：y=ax2;+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）

顶点式：y=a(x-h)2;+k [抛物线的顶点P（h，k）]

交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线]

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:

h=-b/2a k=(4ac-b2;)/4a x1,x2=(-b±√b2;-4ac)/2a

III.二次函数的图象

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x??的图象，

可以看出，二次函数的图象是一条抛物线。

IV.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

2.抛物线有一个顶点P，坐标为

P [ -b/2a ，(4ac-b2;)/4a ]。

当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；

当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）

6.抛物线与x轴交点个数

Δ= b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ= b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。

V.二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数（以下称函数）y=ax2;+bx+c，

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），

即ax2;+bx+c=0

此时，函数图象与x轴有无交点即方程有无实数根。

函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

例1，二次函数配方为的形式，则()

用函数观点看一元二次方程

1. 如果抛物线y ax bx c =++2

与x 轴有公共点，公共点的横坐标是x 0，那么当x x =0时，函数的值是0，因此x x =0

就是方程ax bx c 2

0++=的一个根。

2. 二次函数的图象与x 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。

实际问题与二次函数

在日常生活、生产和科研中，求使材料最省、时间最少、效率最高等问题，有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。

第二十三章旋转

23.1 图形的旋转

1. 图形的旋转

（1）定义：在平面内，将一个圆形绕一个定点沿某个方向（顺时针或逆时针）转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角称为旋转角。

（图形的旋转

本节我们重点了解旋转、平移性质，除外还有一个重点是点的对称变换。

二、知识要点

1、旋转：将一个图形绕着某点O 转动一个角度的变换叫做旋转。其中，O 叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。

2、旋转性质

① 旋转后的图形与原图形全等 ② 对应线段与O 形成的角叫做旋转角 ③ 各旋转角都相等

3、平移：将一个图形沿着某条直线方向平移一定的距离的变换叫做平移。其中，该直线的方向叫做平移方向，该距离叫做平移距离。

4、平移性质

①平移后的图形与原图形全等

②两个图形的对应边连线的线段平行相等（等于平行距离）

③各组对应线段平行且相等

5、中心对称与中心对称图形

①中心对称：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与另一个图形完全重合，则这两个图形关于这个点对称或中心对称。其中，点O叫做对称中心、两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。

②中心对称图形：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与原来的图形完全重合，则这个图形叫做中心对称图形。其中，这个点叫做该图形的对称中心。

6、轴对称与轴对称图形

(1)、轴对称：若两个图形沿着某条轴对折，能够完全重合，则这两个图形关于这条轴对称或它们成轴对称。其中，这条轴叫做对称轴。

注：轴对称的性质：①两个图形全等；②对应点连线被对称轴垂直平分

（2）轴对称图形：若一个图形沿着某条轴对折，能够完全重合，则这个图形叫做轴对称图形。

7、点的对称变换

（1）、关于原点对称的点的特征

两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P＇（-x，-y）

（2）、关于x轴对称的点的特征

两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P＇（x，-y）（3）、关于y轴对称的点的特征

两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P＇（-x，y）（４）、关于直线y＝x对称

两个点关于直线y＝x对称时，横坐标与纵坐标与之前对换，即：P（x，y）关于直线y＝x的对称点为P＇（y，x）（5）、两个点关于直线y＝-x对称时，横坐标与纵坐标与之前完全相反，即：P（x，y）关于直线y＝x的对称点为P＇（-y，-x）

注：y＝x的直线是过一三象限的角平分线，y＝-x的直线是过二四象限的角平分线。

第二十四章圆

24.1 圆

定义：（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

（2)平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。

圆心：（1）如定义（1）中，该定点为圆心

（2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。

（3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。

（4）垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。

注：圆心一般用字母O表示

直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表示。

半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。

圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d。

圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。

圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。

圆的周长与直径的比值叫做圆周率。

圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母π表示。计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。

直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。

圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr^2，用字母S表示。

一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。

周长计算公式

1.、已知直径：C=πd 2、已知半径：C=2πr 3、已知周长：D=c\π

4、圆周长的一半:1\2周长(曲线)

5、半圆的长：1\2周长+直径

面积计算公式：

1、已知半径：S=πr平方

2、已知直径：S=π（d\2）平方

3、已知周长：S=π(c\2π)平方

24.2 点、直线、圆和圆的位置关系

1. 点和圆的位置关系

①点在圆内?点到圆心的距离小于半径②点在圆上?点到圆心的距离等于半径

③点在圆外?点到圆心的距离大于半径 2. 过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。

3. 外接圆和外心

经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心。 4. 直线和圆的位置关系

相交：直线和圆有两个公共点叫这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线。

相切：直线和圆有一个公共点叫这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。相离：直线和圆没有公共点叫这条直线和圆相离。 5. 直线和圆位置关系的性质和判定

如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，那么

① 直线l 和⊙O 相交?r d <；② 直线l 和⊙O 相切?r d =；③ 直线l 和⊙O 相离?r d >。圆和圆定义：

两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆的外离。

两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，叫做两个圆的外切。两个圆有两个交点，叫做两个圆的相交。

两个圆有唯一的公共点且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的内部，叫做两个圆的内切。两个圆没有公共点且每个圆的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆的内含。原理：

圆心距和半径的数量关系：

两圆外离＜＝＞ d ＞R+r 两圆外切＜＝＞ d=R+r

两圆相交＜＝＞ R-r＝r) 两圆内切＜＝＞ d=R-r(R>r) 两圆内含＜＝＞ dr)

24.3 正多边形和圆一、本章知识框架

二、本章重点

2017-2018人教版九年级上册数学课本知识点归纳

2017-2018人教版九年级上册数学课本知识点归纳第二十一章二次根式一、二次根式 1．二次根式：把形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式， “ ” 表示二次根号。 2．最简二次根式：若二次根式满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。这样的二次根式叫做最简二次根式。 3．化简：化二次根式为最简二次根式（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。（2）如果被开方数是整数或整式，先将他分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 5．代数式：运用基本运算符号，把数和表示数的字母连起来的式子，叫代数式。 6．二次根式的性质（1）)0()(2≥=a a a )0(≥a a （2）==a a 2 )0(<-a a

（3）)0,0(≥≥?=b a b a ab (乘法) （4）)0,0(≥≥=b a b a b a (除法) 二、二次根式混合运算 1．二次根式加减时，可以把二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的最简二次根式进行合并。 2．二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。第二十二章一元二次方程一、一元二次方程 1、一元二次方程含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。二、降次----解一元二次方程 1．降次：把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(不管用什么方法解一元二次方程，都是要一元二次方程降次) 2、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如x 2 =b 或b a x =+2)(的一元

九年级数学上册全册教案(最新人教版)

九年级数学上册全册教案（最新人教版）本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址www.5y kj.co m 义务教育课程标准人教版数学教案九年级上册 XX—XX学年度第一学期学校：班级：九（3）班教师： XX—XX学年度第一学期九年级数学教学进度表周序日期教学工作内容及课时安排 8.24—8.30 21.1一元二次方程2 21.2降次——解一元二次方程2 2 8.31—9.6 21.2降次——解一元二次方程5

3 9.7—9.13 21.3实际问题与一元二次方程及数学活动2 《一元二次方程》单元小结与练习3 4 9.14—9.20 21.1二次函数的图像与性质5 5 9.21—9.27 21.2二次函数与一元二次方程2 21.3实际问题与二次函数2 《二次函数》单元小结与练习1 6 9.28—10.4 23.1图形的旋转2 23.2中心对称3 7 0.5—10.11 23.3课题学习图案设计2 《旋转》单元考及讲评3 8 0.12—10.18

24.1圆5 9 0.19—10.25 24.2点、直线、圆和圆的位置关系5 0 0.26—11.1 期中考复习 1 1.2—11.8 期中考试与试卷分析 2 1.9—11.15 24.3正多边形和圆2 24.4弧长和扇形面积2 13 1.16—11.21 24.4弧长和扇形面积2 《圆》单元考及讲评3 14 1.23—11.29 25.1随机事件与概率4 5

1.30—1 2.6 25.2用列举法求概率3 25.3用频率估计概率1 6 2.7—12.13 25.4课题学习及数学活动2 《概率初步》单元考及讲评2 7 2.14—12.20 九年级数学下册内容 8 2.21—12.27 九年级数学下册内容 9 2.28—1.3 九年级数学下册内容 20 .4—1.10 期末考复习 21 .11—1.17 期末考复习及考试

(完整版)苏教版九年级数学全册知识点汇总(20201018211140)

第一章教学内容：证明（二）重点：直角三角形，线段垂直平分线与角平分线的证明难点：证明逆命题的真假，角平分线的证明及其对逆命题的理解易错点：线段的垂直平分线和角平分线的定理及逆定理的判别第二章教学内容：一元一次方程重点：用配方法，公式法，分解因式法解一元一次方程难点：黄金分割点的理解，用配方法解方程易错点：利用因式分解法和公式法解方程第三章教学内容：证明（三）重点：特殊的平行四边形的性质与判定，平行四边形的性质与判定难点：特殊的平行四边形的证明易错点：各定理之间的判别第四章教学内容：视图与投影重点：某物体的三视图与投影难点：理解平行投影与中心投影的区别易错点：三视图的理解，中心投影与平行投影的区别第五章教学内容：反比例函数重点：反比例函数的表达式，反比例函数的图像的概念与性质难点：反比例函数的运用，猜想，证明与拓展易错点：主要区别反比例函数与x 轴和与y 轴无限靠近第六章教学内容：频率与概率定义和命题：频率与概率的概念难点：理解用频率去估计概率易错点：频率是样本中才出现的，概率是整体中出项的苏教版九年级数学上知识点汇总第一章图形与证明（二） 1.1 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）。等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。 1.2 直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称“HL”）。角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。直角三角形中，30°的角所对的直角边事斜边的一半。 1.3 平行四边形的性质与判定：定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。定理1：平行四边形的对边相等。定理2：平行四边形的对角相等。定理3：平行四边形的对角线互相平分。判定——从边：1两组对边分别平行的四边形是平行四边形。2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。3 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。从角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。矩形的性质与判定：定义：有一个角的直角的平行四边形是矩形。定理1：矩形的4 个角都是直角。定理2：矩形的对角线相等。

新人教版九年级数学上册复习提纲

用心爱心专心九年级（上）数学复习1 第二十一章二次根式 ?知识网络图表? ?习题练习? 1. 2)x > 2. 已知0=，求x 、y 的值。 3..已知0b > 4. 若a b == a 、 b 表示为多少？ 5. - 6. 式子=x 的取值范围是多少？ 7.当x=_____时 3的值最小,最小值是:_______. 8.在实数范围内分解因式:425x - 9.计算 2 1)+++ (2).22-?+-- 10.等式 :x y -=中的括号内应填入:________ 11.下列二次根式中,最简二次根式是( ) 12.下列各式中, ( ) 13. = 成立,则x 的取值范围为( ) A.2x ≥ B.3x ≤ C.23x ≤≤ D.23x << 14.计算结果是:( ) A. 15. 数5- 的整数部分是x, 小数部分是y, 则x-2y 的值是( ) A.1- B.1- 1 D.1--16. 已知a b = = （）Ａ.5 Ｂ.6 Ｃ.3 Ｄ.4 17. 若 2 x -有意义，则x 的取值范围是：_________ 18.实数a 在数轴上的位置如图,化简 :1a -+ 19. 0=

九年级（上）数学复习2 第二十二章一元二次方程? ? 1.下列关于x的方程中:①20 ax bx c ++=,②2560 k k ++=,③3 1 342 x x --=,④ 22 (3)20 m x ++-=.是关于x的一元二次方程的是:______(只填序号) 2.关于x的方程1 (3)50 a a x x - -++=是一元二次方程,则a =_______. 3.如果210 x x +-=,那么代数式32 27 x x +-的值为:____________. 4.已知m是方程210 x x --=的一个根,则代数式2 m m -的值为多少? 5.用配方法解方程2410 x x ++=,经过配方得:_____________ 6.对于二次三项式21036, x x -+小明同学得出如下的结论：无论x取何值什么实数时，它的值都不可能等于 11。你是否同意他的说法？并说明你的理由。 7.已知实数x满足2 4410 x x -+=，则代数式 1 2 2 x x +的值为：_____________. 8.等腰三角形的底和腰是方程2680 x x -+=的两根,则这个三角形的周长是:_________. 9.已知下列n(n 为整数)个关于x的一元二次方程: () () () 2 2 2 2 10 201 2302 (1)0 x x x x x x n x n n -= +-= +-= ??????????????????? +--= (1)请解上述一元二次方程(1),(2),….（n）； (2)请你指出这个n 个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可。 10.已知关于x的一元二次方程2(1)20 x m x m --++=，（1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值。（2）若方程的两实数根之和等于292 m m -+ 11.若一元二次方程20(0) ax bx c a ++=≠有一个根是１，则a b c ++=_____ 12.请你写出一个根x=2,另一个根满足11 x -<<的一元二次方程:_____________ 13.如果关于x的一元二次方程20 x px q ++=的两根为: 12 3,1 x x ==那么这个一元二次方程是( ) A. 2340 x x ++= B. 2430 x x -+= C. 2430 x x +-= D. 2340 x x +-= 14.如果关于x的一元二次方程2690 kx x -+=有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是:________ 15.解方程(1) 2 42560 x-= (2)26100 x x --= (3) 2 541 x x -=- 16.求证:不论x取任何实数,代数式2 485 x x ++的值总大于零. 17.关于x的一元二次方程20 x px q ++=的两根 12 2,1 x x ==,则分解因式的结果为:______________ 2

九年级上册数学知识点总结

九年级上册知识点总结（数学） 2017年12月

第二十一章一元二次方程 22.1 一元二次方程知识点一一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。注意一下几点： ① 只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。知识点二一元二次方程的一般形式一般形式：)0(02≠=++a c bx ax 其中，2ax 是二次项，a 是二次项系数； bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 22.2 降次——解一元二次方程 22.2.1 配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如)0(2≥=a a x 的方程，根据平方根的定义可解得a x a x -=+=21 （2）直接开平方法适用于解形如p x =2或 )0(2≠=+m p a mx ）（形式的方程，如果 p≥0，就可以利用直接开平方法。（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为 1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。（1）把常数项移到等号的右边；（2）方程两边都除以二次项系数；

九年级上册数学知识点归纳详解

九年级上册数学知识点归纳详解数学是被很多人称之拦路虎的一门科目，同学们在掌握数学知识点方面还很欠缺，为此小编为大家整理了九年级上册数学知识点归纳详解，希望能够帮助到大家。第21章二次根式学生已经学过整式与分式，知道用式子可以表示实际问题中的数量关系。解决与数量关系有关的问题还会遇到二次根式。二次根式一章就来认识这种式子，探索它的性质，掌握它的运算。在这一章，首先让学生了解二次根式的概念，并掌握以下重要结论：注：关于二次根式的运算，由于二次根式的乘除相对于二次根式的加减来说更易于掌握，教科书先安排二次根式的乘除，再安排二次根式的加减。二次根式的乘除一节的内容有两条发展的线索。一条是用具体计算的例子体会二次根式乘除法则的合理性，并运用二次根式的乘除法则进行运算;一条是由二次根式的乘除法则得到并运用它们进行二次根式的化简。二次根式的加减一节先安排二次根式加减的内容，再安排二次根式加减乘除混合运算的内容。在本节中，注意类比整式运算的有关内容。例如，让学生比较二次根式的加减与整式的加减，又如，通过例题说明在二次根式的运算中，多项式

乘法法则和乘法公式仍然适用。这些处理有助于学生掌握本节内容。第22章一元二次方程学生已经掌握了用一元一次方程解决实际问题的方法。在解决某些实际问题时还会遇到一种新方程一元二次方程。一元二次方程一章就来认识这种方程，讨论这种方程的解法,并运用这种方程解决一些实际问题。本章首先通过雕像设计、制作方盒、排球比赛等问题引出一元二次方程的概念，给出一元二次方程的一般形式。然后让学生通过数值代入的方法找出某些简单的一元二次方程的解，对一元二次方程的解加以体会，并给出一元二次方程的根的概念， 22.2降次解一元二次方程一节介绍配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程的方法。下面分别加以说明。(1)在介绍配方法时，首先通过实际问题引出形如的方程。这样的方程可以化为更为简单的形如的方程，由平方根的概念，可以得到这个方程的解。进而举例说明如何解形如的方程。然后举例说明一元二次方程可以化为形如的方程，引出配方法。最后安排运用配方法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及二次项系数不是1的一元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。对于没有实数根的一元二次方程，学了公式法以后，学生对这个内容会有进一步的理解。

人教版九年级数学上册知识点总结

人教版九年级数学上册知识点总结 21.1 一元二次方程知识点一一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。注意一下几点： ①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。知识点二一元二次方程的一般形式一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a . （2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方

根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程； ④解一元一次方程，求出原方程的根。知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。（1）把常数项移到等号的右边；⑵方程两边都除以二次项系数； ⑶方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；⑷若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 21.2.2 公式法知识点一公式法解一元二次方程（1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x= a ac b b 2 4 2 - ± - ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。（2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。（3）公式法解一元二次方程的具体步骤： ①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值②确定公式中a,b,c 的值，注意符号； ③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，

(完整)最新人教版九年级数学下学期教学计划

九年级数学下学期教学计划 (2017-2018学年度第二学期）一、基本情况分析 1.学生情况本学期我继续授九（1）（2）班的数学课。通过一个学期的努力多数同学学习数学的兴趣渐浓，学习的自觉性明显提高，学习成绩在不断进步，但是由于一些学生数学基础太差，学生数学成绩两极分化的现象没有显著改观，给教学带来很大难度。设法关注每一个学生，重视学生的全面协调发展是教学的首要地位。 2.学习内容分析本期教学进程主要分为新课教学和总复习教学两大阶段。新课教学共分四章。第一章《反比例函数》、《相似》、《锐角三角函数》、《投影与视图》。总复习是本期教学的一个重点。通过系统的总复习使学生全面熟悉初中数学教学内容，在牢固掌握基础知识的前提下，能娴熟的运用所学知识分析和解决问题。本学期就将开始进入专题总复习，将九年制义务教育数学课本教学内容分成代数、几何两大部分，其中初中数学教学中的六大版块即：“实数与统计”、“方程与函数”、“解直角三角形”、“三角形”、“四边形”、“圆”是学业考试考中的重点内容。在《课标》要求下，培养学生创新精神和实践能力是当前课堂教学的目标。在近几年的中考试卷中逐渐出现了一些新颖的题目，如探索开放性问题，阅读理解问题，以及与生活实际相联系的应用问题。这些新题型在中考试题中也占有一定的位置，并且有逐年

扩大的趋势。如果想在综合题以及应用性问题和开放性问题中获得好成绩，那么必须具备扎实的基础知识和知识迁移能力。因此在总复习阶段，必须牢牢抓住基础不放，对一些常见题解题中的通性通法须掌握。学生解题过程中存在的主要问题：（1）审题不清，不能正确理解题意；（2）解题时自己画几何图形不会画或有偏差，从而给解题带来障碍；（3）对所学知识综合应用能力不够；（4）几何依然对部分同学是一个难点，主要是几何分析能力和推理能力较差。（5）阅读理解能力偏差，见到字数比较多的解答题先产生畏惧心理。（6）不能对知识灵活应用。二、学习目标师生共同努力，使绝大多数学生达到或基本达到《课标》的要求，注重基础训练，顾及多数人的水平和接受能力，促进全体学生的全面协调发展。三、为提高学习质量设想采取的措施 1.让数学更贴近学生的生活。“新课标”强调在教学中要引导学生联系自己身边具体有趣的事物，通过观察操作，解决问题等丰富的活动，感受数学与日常生活的密切联系。我觉得这是“新课标”的一大特色，所以在今后的数学教学中，我要结合具体的教学内容，创

人教版九年级上册数学知识点总结

人教版九年级上册数学知识点总结一元二次方程易错点： a≠0 和a=0 方程两个根的取舍知识点一:一元二次方程的定义:等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。注意一下几点： ①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。知识点二:一元二次方程的一般形式: 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。知识点三:一元二次方程的根:使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。降次——解一元二次方程配方法 / 知识点一:直接开平方法解一元二次方程（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a -. （2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。知识点二:配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。（1）把常数项移到等号的右边；（2）方程两边都除以二次项系数；（3））（4）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；（5）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。公式法知识点一:公式法解一元二次方程（1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为 x= a ac b b 2 4 2 - ± - ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。（2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠ 0)的过程。

新版九年级数学上册知识点归纳(北师大版)

2014年（新版）九年级数学上册知识点归纳（北师大版）（八下前情回顾）※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形．．．．．，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线．．．。 ※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 ※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。两组对边分别相等的四边形是平行四边形。一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 ※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个距离称为平行线之间的距离。第一章特殊平行四边形 1菱形的性质与判定菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 ※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。 ※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。对角线互相垂直的平行四边形是菱形。四条边都相等的四边形是菱形。 2矩形的性质与判定 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形．．。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴） ※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。对角线相等的平行四边形是矩形。四个角都相等的四边形是矩形。 ※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3正方形的性质与判定正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 ※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴） ※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)： ※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

2020最新人教版九年级数学大纲

2020人教版九年级数学教学大纲第一章《二次函数》平面直角坐标系。常量。变量。函数及其表示法。具体要求: (1)理解平面直角坐标系的有关概念，并会正确地画出直角坐标系:理解平面内点的坐标的意义，会根据坐标确定点和

由点求得坐标。了解平面内的点与有序实数对之间一-一对应。 (2)了解常量、变量、函数的意义，会发现、提出函数的实例，以及分辨常量与变量、自变量与函数。 (3)理解自变量的取值范围和函数值的意义，对解析式为只含有一个自变量的简单的整式、分式.二次根式的函数，会确定它们的自变量的取值范围和求它们的函数值。 (4)了解函数的三种表示法，会用描点法画出函数的图象。 (5)通过函数的教学，使学生体会事物是互相联系和有规律地变化着的，并向学生渗透数形结合的思想方法。 2.正比例函数和反比例函数正比例函数及其图象。反比例函数及其图象。具体要求: (1)理解正比例函数、反比例函数的概念，能够根据问题中的条件确定正比例函数和反比例函数的解析式。 (2)理解正比例函数、反比例函数的性质，会画出它们的图象，以及根据图象指出函数值随自变量的增加或减小而变化的情况。 (3)理解待定系数法。会用待定系数法求正、反比例函数的解析式. 3. - -次函数的图象和性质 -次函数。一次函数的图象和性质。

二元一次方程组的图象解法。具体要求: (1)理解一次函数的概念，能够根据实际问题中的条件，确定一次函数的解析式。 (2)理解一次函数的性质，会画出它的图象。 △(3)会用图象法求二元-一次方程组的近似解。 (4)会用待定系数法求一次函数的解析式。 4.二次函数的图象二次函数。抛物线的顶点、对称轴和开口方向。 △一元二次方程的图象解法。具体要求: (1)理解二次函数和抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数的图象，会用公式(不要求掌握公式推导过程和记忆公式)确定抛物线的顶点和对称轴。 * (2)会用配方法确定抛物线的顶点和对称轴。 (3)会用图象法求一元二次方程的近似解。 * (4)会用待定系数法由已知图象上三个点的坐标求二次函数的解析式。

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新人教版九年级上册数学知识点归纳第二十一章一元二次方程 21.1一元二次方程在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 次的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程有四个特点：(1) 只含有一个未知数；(2) 且未知数次数最高次数是2；(3) 是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax 2+bx+c=0(a≠0) 的形式，则这个方程就为一元二次方程．（ 4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0 时，应满足（a≠0） 21.2降次——解一元二次方程解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法： 1、直接开平方法：用直接开平方法解形如(x- m)2=n (n ≥0) 的方程，其解为x=± m. 直接开平方法就是平方的逆运算. 通常用根号表示其运算结果. 2、配方法通过配成完全平方式的方法，得到一元二次方程的根的方法。这种解一元二次方程的方法称为配方法，配方的依据是完全平方公式。 1.转化：将此一元二次方程化为 ax^2+bx+c=0 的形式 ( 即一元二次方程的一般形式） 2.系数化 1：将二次项系数化为 1 3.移项：将常数项移到等号右侧 4.配方：等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方 5.变形：将等号左边的代数式写成完全平方形式 6.开方：左右同时开平方 7.求解：整理即可得到原方程的根 3、公式法公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac 的值，当 b2- 4ac≥0时，把各项系数a, b, c 的值代入求根公式x=(b2- 4ac≥0) 就可得到方程的根。因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 21.3实际问题与一元二次方程列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等．

人教版九年级上册数学知识点总结

九年级上册知识点二次根式知识点考点1、无理数无限不循环的小数，叫做无理数。常见的无理数： 1、π以及π的有理数倍数。 2、、、； 3、2．01001000100001………… 考点2、二次根式的概念形如（a≥0）的式子叫做二次根式。 1、被开放数a是一个非负数； 2、二次根式是一个非负数，即≥0； 3、有限个二次根式的和等于0，则每个二次根式的被开方数必须是0. 考点3、移因式于根号内、外的方法移因式于根号外 1、当根号外的数是一个负数时，把负号留在根号外，然后把这个数平方后移到根号内 2、当根号内的数是一个正数时，直接把这个数平方后移到根号内移因式于根号内 1、当根号内的数是正数时直接开方移到根号外 2、当根号内的数是负数时开方移到根号外后要添上负号考点4、最简二次根式知识回顾：满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式： (1) 被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。知识特点： 1、最简二次根式中一定不含有分母； 2、对于数或者代数式，它们不能在写成a n×m的形式。考点5、二次根式的化简与计算二次根式的化简，实际上就是把二次根式化成最简二次根式，然后，通过合并同类二次根式的方法进行二次根式的加减运算。二次根式的加减运算：a+b=（a+b），（m≥0）；二次根式的乘法运算：.=，( a≥0, b≥0)；二次根式的除法运算：÷=，( a≥0, b＞0)；

二次根式的乘方运算：=a，( a≥0)；二次根式的开方运算：= 考点6、与的异同点 1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根； 2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而一元二次方程考点一、一元二次方程 1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式：，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。考点二、一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式 3、公式法

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2017-2018人教版九年级上册数学课本知识点归纳

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