导数的应用二——恒成立问题的解题策略
导数的应用二
——恒成立问题的解题策略
一．典例分析 提炼方法
例1．若不等式()x a x -≥+312
，对任意的0>x 恒成立，数a 的取值围。
变式训练
1．若不等式01322
2≥-+-a ax x 对任意的]1,1[-∈x 恒成立，数a 的取值围。
2．若不等式22322
1c c x x x <+--
对任意的]2,1[-∈x 恒成立，数c 的取值围。
3．若不等式32
2231x b ax x ≥+≥+对任意的),0[+∞∈x 恒成立，数b 的取值围以及a 与b 满足的关系式。
二．考题训练 形成能力
1．设函数.0ln 2
2>+-=a ax x x a x f ，）（ (I)求)(x f 的单凋区间：
(Ⅱ)求所有实数a ，使e ，2
)(1e x f ≤≤对[]e x ,1∈恒成立。注；e 为自然对数的底数。
2．设函数()()()1ln 1++=x x x f ，若对所有的0.
≥x 都有()ax x f ≥成立，数a 的取值围.
3．设函数1)(2-=x x f 对任意),23
[+∞∈x ，)(4)1()(4)(2m f x f x f m m
x f +-≤-恒成
立，则实数m 的取值围是___________
4.已知函数0,11)1(1)(≥+-++=x x x
ax n x f 其中0>a
(I)若()x f 在1=x 处取得极值，求a 的值.
（Ⅱ）求()x f 的单凋区间.
（Ⅲ）若()x f 的最小值为1.求a 的取值围.
三．反馈练习 总结提升
1.设())1(2++=x ax e x f x ,且曲线)(x f y =在1=x 处的切线与x 轴平行． (I)求a 的值，并讨论)(x f 的单调性：
(II)证明：对]2,0[π
θ∈?,不等式2|)(sin )(cos |<-θθf f 恒成立。
2．设函数1)1(23
3)(23+++-=x a x x a
x f ,其中a 为实数．
(I)已知函数)(x f ,在1=x 处取得极值，求a 的值：
(Ⅱ)已知不等式1)(2+-->'a x x x f 对任意),0(+∞∈a 都成立，数x 的取值围．
3．已知函数)(11ln )(R a x a
ax x x f ∈--+-=
(I)当21
≤a 时，讨论)(x f 的单调性
(II)设42)(2+-=bx x x g ．当41
=a 时，若对任意)2,0(1∈x ,存在]2,1[2∈x ,使
)()(21x g x f ≥,数b 取值围．
4．已知函数.1ln )1()(2
+++=ax x a x f (I)讨论函数)(.x f 的单调性：
(II)设2-≤a ,证明：对任意()+∞∈,0,21x x ,||4|)()(|2121x x x f x f -≥-
5.设函数)10(ln 1)(=/>=x x x
x x f 且 (I)求函数)(x f 的单调区间；
(II)已知a x x >12,对任意)1,0(∈x 成立，数a 的取值围。
6.已知)(2
2)(2R x x a x x f ∈+-=在区间[-1，1]上是增函数。 (I)数a 的值组成的集合A ： (II)设关于x 的方程,()x x f 1=
的两个非零实根为21,x x ,试问：是否存在实数m 。使得不等式||1212x x tm m -≥++对任意的A a ∈及]1,1[-∈t 恒成立?若存在，求m 的取值围；若不存在，请说明理由．
参考答案
一．典例分析 提炼方法
例1．(分离参数)31+-
-≥x x a ,因为21≥+x x ，所以()31+--=x x x f 的最大值为1 所以1≥a
变式l 、???≥-=-<0)1()(1min f x f a 或???≥=≤≤-0)()(11min a f x f a 或???≥=>0
)1()(1min f x f a
解得：2
2≥a 或22-≤a 变式2、()x x x x f 22123--= ，]2,1[-∈x ，当32-=x 时．()27
22=x f 为极大值．而2)2(=f ，则2)2(=f 为最大值，要使])2,1[()(2-∈-
变式3、42
242
2+≤≤-b ，21
21)1(2)2(b a b -≤≤
二．考题训练 形成能力
1、(I)解：因为ax x x a x f +-=22ln )(，其中0>x 所以x a x a x a x x a x f )
2)((2)(2
+--=+-='
由于0>a ，所以)(x f 的增区间为),0(a ，减区间为),(+∞a
(Ⅱ)证明：由题意得，,11)1(-≥-=e a f 即e a ≥
由(I)知)(x f 在[1,e]单调递增．要使2)(1e x f e ≤≤-，对],1[e x ∈
恒成立，只要()()???≤+-=-≥-=2221
11e ae e a e f e a f 解得e a =
2、令()()()ax x x x g -++=1ln 1
对函数()x g 求导数：a x x g -++='1)1ln()(
令()0='x g 解得11-=-a e x ……5分
(i ）当1≤a 时，对所有0>x ，0)(>'x g ，所以)(x g 在[0，+∞)上是增函数， 又()00=g ，所以对0≥x ，都有()()0g x g ≥
即当1≤a 时，对于所有0≥x ，都有()ax x f ≥……9分
（ii ）当1>a 时，对于101-<<-a e x ，()0<'x g
所以()x g 在()1,01--a e 是减函数
又()00=g 所以对101-<<-a e x ，都有()()0g x g ≥
即当1>a 时，不是对所有的0≥x ，都有()ax x f ≥成立
综上，a 的取值围是：（-∞，1] ……12分
3、由题意知()()()
1411141222222-+--≤---m x x m m x 在),23[+∞∈x 上恒成立，
12341222+--≤-x
x m m 在),23[+∞∈x 上恒成立，当23=x 时，函数1232+--=x x
y 取得最小值35-， 所以354122-≤-m m
，即0)34)(13(22≥-+m m 解得23-≤m 或23≥m 4、解(I)()()()()
222112121x ax a ax x ax a x f ++-+=+-+=' )(x f 在x=1处取得极值，0)1(='∴f ，即.0212=-+?a a ，解得1=a
(II)()()
22112)(x ax a ax x f ++-+='，,0,0>≥a x .01>+∴ax ①当2≥a 时，在区间(0，+∞)上，0)(>'x f ，)(x f ∴的单调增区间为(0，+∞)． ②当20<'x f 解得a a x ->2．由0)(<'x f ，解得a
a x -<2 ()x f ∴的单调减区间为???? ??-a a 2,0，单调增区间为???
? ??+∞-,2a a （Ⅲ）、当2≥a 时，由(Ⅱ)①知．()x f 的最小值为()10=f
当20< 三、课后练习 l 、解：(I)())121(2 ++++='ax x ax e x f x ．有条件知，()01='f 故1023-=?=++a a a ，于是)1)(2()2()(2++-=+--='x x e x x e x f x x 故当()()+∞-∞-∈,12, x 时，0)(<'x f ，当)1,2(-∈x 时，0)(>'x f 从而)(x f 在(-∞，-2)，(1，+∞)单调减少，在(-2，1)单调增加． (II)由(I)知)(x f 在[0，1]单调增加，故)(x f 在[0，l]的最大值为e f =)1( 最小值为1)0(=f ,从而对任意],1,0[,21∈x x 有.21|)()(|21<-≤-e x f x f 而当]2,0[π θ∈时，]1,0[sin ,cos ∈θθ,从而2|)(sin )(cos |<-θθf f 2、解(1))1(3)(2++-=a x ax x f 由于函数)(x f 在1=x 时取得极值，所以0)1(='f ,即1,013=∴=++-a a a (2) 由题设知：1)1(32 2+-->++-a x x a x ax 对任意),0(+∞∈a 都成立,即02)2(2 2>--+x x x a 对任意),0(+∞∈a 都成立 设)(2)2()(2 2R a x x x a a g ∈--+=,则对任意)(,a g R x ∈为单调递增函数)(R a ∈ 所以对任意),0(+∞∈a ,0)(>a g 恒成立的充分必要条件是0)0(≥g ,即022≥--x x 02≤≤-∴x ,于是x 的取值围是}02{≤≤-x x 3、解：(I)因为11ln )(--+-=x a ax x x f 所以),0(,,111)(222+∞∈-+-=-+-='x x a x ax x a a x x f 令);,0(,1)(2 +∞∈-+-=x a x ax x h (1)当0=a 时，()()+∞∈+-=,0,1x x x h 所以，当)1,0(∈x 时,,0)(>x h 此时,0)(<'x f ,函数)(x f 单调递减 当),1(+∞∈x 时，()0 (2)当0≠a 时，由()0='x f ,即012=-+-a x ax ,解得11,121-==a x x ①当2 1= a 时，0)(≥x h 恒成立，此时()0≤'x f ,函数)(x f 在(0，+∞)上递减 ②当2.10<>-a ,)1,0(∈x 时，0)(>x h ,此时()0<'x f ,函数)(x f 单调递减；)11, 1(-∈a x 时,0)( x 时，0)(>x h ,此时0)(<'x f ,函数)(x f 单调递减： ③当0x h ,此时0)(<'x f ,函数)(x f 单调递减； ),1(+∞∈x 时，0)( 综上所述：当0≤a 时，函数)(x f 在(0，1)上单调调递减； 函数)(x f 在(1，+∞上单调递增； 当2 1= a 时，函数)(x f 在(0，+∞)上单调递减， 当2 10< 上单调递增； 函数)(x f 在),11(+∞-a 上单调递减． (II)因为)2 1,0(41∈=a ,由(I)知，11=x ,)2,0(32?=x ,当)1,0(∈x 时，,0)( 所以)(x f 在(0，2)上的最小值为2 1)1(-=f 由于“对任意)2,0(1∈x ,存在]2,1[2∈x ,使)()(21x g x f ≥"等价于()x g 在[1，2]上的最小值不大于)(x f 在(0，2)上的最小值21- ”(*) 又]2,1[,4)()(122∈-+-=x b b x x g ，所以 ①当b < l 时，因为025)1()]([min >--=b g x g 此时与(*)矛盾 ②当b ∈[l ，2]时，因为04)]([2 min ≥-=b x g 同样与(*)矛盾 ③当b ∈(2，+∞时，因为b g x g 48)2()]([-==，解不等式2148≤-b ，可得8 17≥b 综上，b 的取值围是),8 17[ 6、解：(I)222222) 2()2(2)2(224+---=+-+='x ax x x x ax x f ）（ ()x f 在[-1，l]上是增函数， ()0≥'∴x f 对]1,1[-∈x 恒成立，即022≤--ax x 对]1,1[-∈x 恒成立。 ① 设,2)(2 --=ax x x φ 方法一： ①()(),1102110211≤≤-?? ??≤-+=-≤--=?a a a φ? ∵对|]1,1[-∈x ，()x f 是连续函数，且只有当1=a 时，()01=-'f ， 以及当1-=a 时，()01='f ，}11|{≤≤-=∴a a A 方法二： ①?????≤-+=-≥?021)1(02a a φ或? ????≤--=<021)1(02a a φ 10≤≤?a 或.1101≤≤-?≤≤-a a ∵对],1,1[-∈x ()x f 是连续函数，且只有当1=a 时，()01=-'f 以及当1-=a 时，0)1(='f }11|{≤≤-=∴a a A (Ⅱ)由x x a x 1222=+-，得022=--ax x 082>+=?a ， 21,x x ∴是方程022=--ax x 的两非零实根 ,21a x x =+,221-=x x 从而84)(||22122121+=-+=-a x x x x x x 11≤≤-a ， 38221≤+=-∴a x x 要使不等式212 1x x tm m -≥++对任意A a ∈及]1,1[-∈t 恒成立， 当且仅当312≥++tm m 对任意]1,1[-∈t 恒成立 即022 ≥-+tm m ，对任意]1,1[-∈t 恒成立． ② 设())2(22 2-+=-+=m mt tm m t g 方法一： ②02)1(2≥--=-?m m g ，02)1(2 ≥-+=m m g 2≥?m 或2-≤m 所以，存在实数m 使不等式2121x x tm m -≥++ 对任意A a ∈及]1,1[-∈t 恒成立，其取值围是}2,2|{-≤≥m m m 或 方法二： 当m=0时，②显然不成立： 当0=/m 时，②02)1(,02≥--=->?m m g m 或02)1(,02≥-+= 所以，存在实数m ，使不等式212 1x x tm m -≥++，对任意A a ∈及]1,1[-∈t 恒成立，其取值围是}22|{-≤≥m m m ，或 不等式恒成立问题 一、 教学目标 1、 知识目标；掌握不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法并会运用 2、 能力目标；培养学生分析问题解决问题的能力 3、 情感目标；优化学生的思维品质 二、 教学重难点 1、教学的重点；不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法并会运用 2、教学的难点；不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法的选择 三、 教学方法：高三复习探究课：学生研讨探究----学生归纳小结-----学生巩 固练习----学生变式探究---学生总结 四、 教学过程 1、 引人 高三数学复习中的不等式恒成立问题，涉及到函数的性质、图象, 渗透着换元、化归、数形结合、函数方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，因此备受命题者的青睐，也成为历年高考的一个热点。我们今天这堂课来研究不等式恒成立求参数的取值范围问题的求解方法。引入课题 2、新课 下面我们来看例1例1、对一切实数x ]1,1[-∈，不等式 a x a x 24)4(2-+-+＞0恒成立，求实数a 的取值范围（由学生完成） 由一个基本题得到不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法 解法一；分离参数 由原不等式可得：a(x-2) > -x 2+4x-4 ， 又因为x ∈[-1，1] ，x-2∈[-3，-1] a<2-x 又因为x ∈[-1，1]，所以 a<1. 解法二；分类讨论、解不等式 （x-2）[x-(2-a)]>0 当a=0时不等式恒成立 当a<0 时x>2-a 或x<2 不等式恒成立 当a>0时x>2 或x<2-a 所以2-a>1 即a<1 所以a<1时不等式恒成立 解法三；构造函数求最值 设f(x)=x2+(a-4)x+4-2a 当(4-a)/2∈[-1，1]，即a∈[2，6]时 -a2<0 不成立，舍弃； 当a>6时，f(-1)=1-a+4+4-2a>0 a<3 不成立，舍弃； 当a<2时，f(1)=1+a-4+4-2a=1-a>0 a<1 综上得：a<1 解法四；构造方程用判别式韦达定理根的分布 设x2+(a-4)x+4-2a=0 方程无实根或有两实根两根小于-1或两根大于1 △=(a-4)2-4(4-2a)=a2≥0 所以1-(a-4)+4-2a>0且(4-a)/2<-1 或1+(a-4)+4-2a>0 且(4-a)/2>16且a<3 或a<1且a<2, 所以a<1 解法五；数形结合（用动画来演示 a(x-2)>-x2+4x-4 设y=a(x-2) 和y=-x2+4x-4 分别作两函数的图象 函数、不等式恒成立问题解法（老师用） 恒成立问题的基本类型： 类型1：设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，(对于任意实数R 上恒成立) （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立?????>>-?????<- ?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈ “恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略 一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型 恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立?()max a f x >；()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化：()a f x >能成立?()min a f x >；()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>???≤?? 在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f =，设f(x)在区间[a,b]上 的值域为A ，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则A ?B. 9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方； 10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方； 恒成立问题的基本类型 在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题. 函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: 在给定区间上某关系恒成立; 某函数的定义域为全体实数R;●某不等式的解为一切实数;?某表达式的值恒大于a 等等… 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： ①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。 二、恒成立问题解决的基本策略 大家知道，恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题。等式中的恒成立问题，特别是多项式恒成立问题，常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解决问题的。 （一）两个基本思想解决“恒成立问题” 思路1、max )]([)(x f m D x x f m ≥?∈≥上恒成立在 思路2、min )]([)(x f m D x x f m ≤?∈≤上恒成立在 如何在区间D 上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导 常见不等式恒成立问题的几种求解策略 不等式恒成立问题是近几年高考以及各种考试中经常出现，它综合考查函数、方程和不等式的主要内容，并且与函数的最值、方程的解和参数的取值范围紧密相连，结合解题教学实践举例说明几种常见不等式恒成立问题的求解策略。 1 变量转换策略 例1 已知对于任意的a ∈[-1,1]，函数f (x )=ax 2+(2a -4)x +3-a >0 恒成立，求x 的取值范围. 解析 本题按常规思路是分a =0时f (x )是一次函数，a ≠0时是二次函数两种情况讨论，不容易求x 的取值范围。因此，我们不能总是把x 看成是变量，把a 看成常参数，我们可以通过变量转换，把a 看成变量，x 看成常参数，这就转化一次函数问题，问题就变得容易求解。令g (a )=(x 2+2x -1)a -4x+3在a ∈[-1,1]时，g (a )>0恒成立，则? ? ?>>-0)1(0 )1(g g ，得 133133+-<<--x . 点评 对于含有两个参数，且已知一参数的取值范围，可以通过变量转换，构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围。 2 零点分布策略 例2 已知a ax x x f -++=3)(2，若0)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围. 解析 本题可以考虑f (x )的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点在区间的左 侧、零点在区间的右侧三种情况，即Δ≤0或?????????≥≥--≤->?0)2(0)2(220f f a 或?????????≥≥-≥->?0 )2(0)2(2 20f f a ，即a 的取值范围为 [-7，2]. 点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑函数的零点分布情况,要求对应闭区间上函数图象在x 轴的上方或在x 轴上就行了. 3 函数最值策略 例3 已知a ax x x f -++=3)(2，若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围. 解析 本题可以化归为求函数f (x )在闭区间上的最值问题,只要对于任意2)(],2,2[m in ≥-∈x f x .若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立 ?2)(],2,2[m in ≥-∈?x f x ??????≥-=-=-≤-2 37)2()(2 2 m in a f x f a 或??? ???? ≥--=-=≤-≤-243)2()(2222 m in a a a f x f a 或?????≥+==>-27)2()(22m in a f x f a ， 即a 的取值范围为]222,5[+--. 点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法,只要利用m x f >)(恒成立m x f >?m in )(；m x f <)(恒成立m x f 关于不等式恒成立问题的几种求解方法 不等式恒成立问题，在高中数学中较为常见。这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。 不等式恒成立问题在解题过程中有以下几种求解方法：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④数形结合型。 下面我们一起来探讨其中一些典型的问题 一、一次函数型——利用单调性求解 例1、若不等式对满足的所有实数m都成立，求x的取值范围。 若对该不等式移项变形，转化为含参数m的关于x的一元二次不等式，再根据对称轴和区间位置关系求对应的二次函数的最小值，利用最小值大于零求解。这样得分好几种情况讨论,这思路应该说从理论上是可行的，不过运算量不小。能不能找出不需要讨论的方法解决此问题呢？若将不等式右边移到左边，然后将新得到的不等式左边看做关于m的一次函数，借助一次函数的图像直线（其实是线段）在m轴上方只需要线段的两个端点在上方即可。 分析：在不等式中出现了两个字母：x及m,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将m视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于m的一次函数大于0恒成立的问题。 解：原不等式转化为(1-x2)m+2x-1>0在|m|2时恒成立, 设f(m)= (1-x2)m+2x-1,则f(m)在[-2,2]上恒大于0，故有： 此类题本质上是利用了一次函数在区间[a，b]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在m轴上方（或下方）即可。 给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（线段）（如下图）可得上述结论等价于 ⅰ），或ⅱ） 可合并成 同理，若在[m,n]内恒有f(x)0恒成立；f(x)3; 不等式恒成立问题基本类型及常用解法 类型1：设f(x)=ax+b f(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立? ???0 )(0)( n f m f f(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立??? ?0)(0)( n f m f . 例1. 设y=(log 2x)2+(t-2)log 2x-t+1,若t 在[-2,2]上变化，y 恒取正值，求实数x 的取值范围。 例2. 对于 -1≤a ≤1,求使不等式(21)ax x +2<(2 1)12-+a x 恒成立的x 的取值范围。 类型2：设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0) f(x) ＞0在x ∈R 上恒成立?a ＞0 且△＜0; f(x) ＜0在x ∈R 上恒成立?a ＜0 且△＜0. 说明：①.只适用于一元二次不等式 ②.若未指明二次项系数不等于0，注意分类讨论. 例3.不等式3 642222++++x x m mx x ＜1对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。 类型3：设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0) （1） 当a ＞0时 ① f(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立 ??????≤-0)(2 m f m a b 或??????-o n a b m 2或?????≥-0)(2 n f n a b ??????≤-0)(2 m f m a b 或△＜0或?????≥-0 )(2 n f n a b . ② f(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立?? ??0)(0)( n f m f . （2） 当a ＜0时 ① f(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立? ? ? ?0)(0)( n f m f ② f(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立 ??????≤-0)(2 m f m a b 或??????-o n a b m 2或?????≥-0)(2 n f n a b ??????≤-0)(2 m f m a b 或△＜0或?????≥-0 )(2 n f n a b . 说明：只适用于一元二次不等式. 类型4：a ＞f(x) 恒成立对x ∈D 恒成立?a ＞f(x)m ax ， a ＜f(x)对x ∈D 恒成立? a ＜f(x)m in . 说明：①. f(x) 可以是任意函数 ②.这种思路是：首先是---分离变量，其次用---极端值原理。把问题转化为求函数的最值，若f(x)不存 在最值，可求出f(x)的范围，问题同样可以解出。 例4.（2000.上海）已知f(x)=x a x x ++22 ＞0在x ∈[)+∞,1上恒成立，求实数a 的取值范围。 学习过程 一、复习预习 考纲要求： 1．理解导数和切线方程的概念。 2．能在具体的数学环境中，会求导，会求切线方程。 3．特别是没有具体点处的切线方程，如何去设点，如何利用点线式建立直线方程。4．灵活应用建立切线方程与其它数学知识之间的内在联系。 5. 灵活应用导数研究函数的单调性问题 二、知识讲解 1.导数的计算公式和运算法则 几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1 )'(-=n n nx x (Q n ∈)； x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=；1(ln )x x '= ； 1(log )log a a x e x '=， ()x x e e '= ； ()ln x x a a a '= 求导法则：法则1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'． 法则2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '= 法则3： ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? 复合函数的导数：设函数()u x ?=在点x 处有导数()x u x ?'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导 数()u y f u '='，则复合函数(())y f x ?=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或(())()()x f x f u x ??'='?' 2.求直线斜率的方法（高中范围内三种） (1) tan k α=（α为倾斜角）； (2) 1212 ()() f x f x k x x -= -，两点1122(,()),(,())x f x x f x ； (3)0()k f x '= （在0x x =处的切线的斜率）； 3.求切线的方程的步骤：（三步走） （1）求函数()f x 的导函数()f x '； （2）0()k f x '= （在0x x =处的切线的斜率）； （3）点斜式求切线方程00()()y f x k x x -=-； 4.用导数求函数的单调性： （1）求函数()f x 的导函数()f x '； （2）()0f x '>，求单调递增区间； （3）()0f x '<，求单调递减区间； （4）()0f x '=，是极值点。 考点一 函数的在区间上的最值 【例题1】：求曲线29623-+-=x x x y 在)5,2(上的最值 。 【答案】：最大值为18，最小值为-2. 【解析】:∵根据题意09123'2=+-=x x y ，∴3,121==x x ,由函数的单调性，当11=x ，2=y ， 取得极大值；当32=x ，2-=y ，取得极小值；当5=x ，18=y 。所以最大值为18，最小值为-2. 恒成立问题的求解策略 辽宁锦州义县高级中学高二数学组王双双 高考数学复习中的恒成立问题，把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。涉及到一次函数、二次函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想 方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③分离变量型； ④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤数形结合。 一?一次函数型 给定一次函数y=f（x）=ax+b（a丰0）,若y=f（x）在［m,n］内恒有f（x）＞0 ,则根据函数的图象 （直线）可得上述结论等价于 a＜0 J/（加）＞0 弘）＞0亦可合并定成1/何＞0 严)€0 同理，若在［m,n］内恒有f(x)＜0 ,则有I.- L'--'.. ■"-- 处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。 2 例i ?对任意兀［一1」］，不等式x +（—4）X+4-2Q0恒成立，求x的取值范围。 分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把丿看成主元，则问题可转化 为一次不等式在：］_ L」上恒成立的问题。 解：令：- ■,则原问题转化为恒成立 （一丄） 当汁工、时，可得他二0 ，不合题意。 a＞0 ；「-或ii 当二：］时，应有1/(-1) > 0 解之得-■''■ ' O 故」的取值范围为「二..-O 二.二次函数型 (1)判别式法 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函 2 T 数/(X)二处+加+血# R),有 tj > 0 1)>。对x E R恒成立上v ° ； a <0 2)J D■=：(〕对X E R 恒成立［△ < o 例1.已知函数y = ^+(a-l)x + df2］的定义域为R求实数必的取值范围。 2 2 解：由题设可将问题转化为不等式八：■■ 对「丄匸恒成立，即有A = (H八0解得“—I或呜。 (-0J,-1) U (；,+°°) 所以实数“的取值范围为-■ O 若二次不等式中:.的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。 例2 .设'■.：「「.：，当—一」⑴时，了萬聖泾恒成立，求实数匸的 取值范围。 解：设:二'丄J则当■- |［J,时，恒成立 当- :- 门―.- “ .1 时，『I.;汕显然成立; 当丄二H时，如图，小二J恒成立的充要条件为: 处理有关“恒成立”的思路方法 乐山市井研县马踏中学廖德俊与“恒成立”有关的问题一直是中学数学的重要内容，它是函数，数列，不等式，三角等内容交汇处的一个非常活跃的知识点，特别是导数的引入，成为我们更广泛更深入的研究函数，不等式的有利工具，更为我们研究恒成立问题提供了保障。对恒成立问题的考察不仅涉及到函数，不等式等有关的传统知识和方法，而且考察极限，导数等新增内容的掌握和灵活运用。它常与数学思想方法紧密结合，体现了能力立意的原则。恒成立问题涉及到一次函数，二次函数的性质，图象渗透和换元，化归，数形结合，函数与方程等思想方法，有利于考察学生的综合解题能力，培养学生思维的灵活性，创造性，所以是历年高考的热点。 一．恒成立问题的基本类型 按区间分类可分为：①在给定区间某关系的恒成立问题；②在全体实数集上某关系的恒成立问题。 二．处理恒成立问题的基本思路 处理与恒成立有关的问题大致可分以下两种方法 ①变量分离思路处理； ②利用函数的性质，图象思路处理。 若不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于不等号的两边，则可将恒成立问题转化为函数的最值问题求解。 在不等式的恒成立问题中，以下充要条件应细心思考，甄别差异，性质使用。 ≥∈--∈∴≥=-- =+∴≥-Q 21 例2：若不等式x2+ax+10对一切x (0,]成立,则a 的取值范围为（ ） 2 5 A. 0 B. -2 C. - D.-3 2 111 解析：由于x (0,],a 21115 ()在(0,]上单调递增，在x=取得最小值 2225 ,故选2 方法2：利用函数的性质，图象 其主要体现在： 1，利用一次函数的图象性质 x x x x f x x x a C ≠≥≤≥≥∈?≥≤≤∈?≤若原题可化 为一次函数类型，则由数形结合给定一次函数f(x)=ax+b (a 0).若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)0(或f(x)0)，则 根据函数的图象可得： f(m)0 f(x)0，x [m,n]恒成立{ f(n)0f(m)0 f(x)0，x [m,n]恒成立{ f(n)0 2，利用二次函数的图象性质： >≠??<≤∈220 若 f(x)=ax +bx+c (a 0)大于0恒成立{ 若二次函数在给定区间上恒成立则可利用根的分布和韦达 定理求解。 例1： 函数f(x)是奇函数，且在[-1,1]单调递增，又f(-1)=-1，若 f(x)t -2at+1对所有的a [-1,1]都成立，求t 的取值范围 解析： 不等式中有三个变元，通过逐步消元a ≤∈?≥∈≥∈?≥Q Q Q 22max 22法处理。首先选 定主元x ，()在[-1,1]递增 f(x)t -2at+1 a [-1,1]恒成立t -2at+1（x ）[-1,1] 即t -2at+11，a [-1,1]上恒成立t -2at 0 f x f x 不等式中恒成立问题的解法 一、判别式法 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数 ),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有 1）0)(>x f 对R x ∈恒成立? ???00 a ; 2）0)( 数列型不等式恒成立条件下确定参数范围问题解题策略【摘要】不等式地恒成立问题是学生较难理解和掌握地一个难点,以数列为载体地不等式恒成立条件下确定参数范围问题其综合性更强,它是一类常见地考试卷型,常出现在高考压轴题中,它与函数恒成立问题既有类似之处,又有一些差别,学生容易出错,甚至不知所措.这里通过几个例子归纳这类问题地几种常用解法和需要注 意地问题. 【关键词】不等式恒成立问题；数列；参数范围问题 不等式地恒成立问题是学生较难理解和掌握地一个难点,以数列为载体地不等式恒成立条件下确定参数范围问题其综合性更强,它是一类常见地考试卷型,常出现在高考压轴题中,它与函数恒成立问题既有类似之处,又有一些差别,学生容易出错,甚至不知所措.这里通过几个例子归纳这类问题地几种常用解法和需要注意地问 题. 1 最值法是解数列型不等式恒成立求参数地取值范围问题地一种 非常重要地方法,其解题原理是f(n>>m恒成立f(n> min>m,f(n>0. ∵an>0,∴只需lga［n(a-1>+a］>0. <1）当a>1时,lga>0,只要n(a-1>+a>0,n>a1-a. <2）当0a1-a. 为了使b n+1>b n对任何正整数n都成立,只需a1-a小于n 地最小值1,令a1-a1或0 评析以上两例是综合性极强地好题,是数列不等式恒成立求参数地取值范围,转化为解不等式或求函数 地最值,这是高中数学中有关确定参数范围题目地涅槃. 2 数列型不等式恒成立求参数地取值范围问题,对于某些最值不容易求出地问题,我们可以考虑先实行变量分离,再求其最值.所谓变量分离,是指在含有参数地数列不等式中,通过恒等变形,使参数与主元分离于不等式两端,则所蕴涵地数列关系便由隐变显,从而问 题转化为求主元函数地值域或上,下限(上限为最大值地临界值、 下限为最小值地临界值>,进而求出参数范围.这种方法由于思路清晰、规律明显、操作性强,因而应是一种较好地求参方法. 例3 <2003年新教材高考题改编题）设a0为常数,数列{a n}地通项公式a n=15［3n+(-1>n-12n］+(-1>n2na0(n∈n*>,若对任意n≥1不等式a n＞a n-1恒成立,求a0地取值范 围. 解 a n-a n-1=2×3n-1+(-1>n-13×2n-15+ (-1>n3×2n- 1a0, 故a n＞a n-1等价于(-1>n-1(5a0-1>-15×322k-2+15. 此式对k=1,2,…恒成立,有 a0>-15×322×1-3+15=0. 综上所述,①式对任意n∈n+成立,有0 故a0地取值范 不等式恒成立问题 “含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。 一、判别式法 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有 1）0)(>x f 对R x ∈恒成立? ???00a ; 2）0)( 不等式有解和恒成立问题 Prepared on 24 November 2020 不等式有解和恒成立问题 知识点的罗列，文字不宜太多，简洁明了最好） ? 知识点一：不等式恒成立问题 ? 知识点二：不等式有解问题 分析该知识点在中高考中的体现，包含但不仅限于：考察分值、考察题型（单选、填空、解答题）、考察方式：考场难度、和哪些知识点在一起考察，参考中高考真题) 含参不等式的恒成立与有解问题是高考与会考考察不等式的一个重点内容，也是常考的内容，难度中等偏上，考察综合性较强，该知识点在填空选择解答题里都有涉及，经常和函数的最值问题在一起考察，需要同学对典型函数的值域求法有熟悉的掌握。 注意题目的答案，不要展示给学生看，这里答案和解析是帮助老师自己分析的) 一、不等式有解问题 例题：当m 为何值时，2211223 x mx x x +-<-+对任意的x ∈R 都成立 解法1：二次函数法： 移项、通分得： 又22230x x -+>恒成立，故知：2(2)40x m x -++>恒成立。 所以：2(2)160m ?=+-<，得到62m -<< 解法2：分离参数法： 注意到2(2)40x m x -++>恒成立，从而有：224mx x x <-+恒成立，那么： 注意到，在上式中我们用到了这样一个性质： 总结：解决恒成立问题的方法:二次函数法和分离参数法 变式练习：（初三或者高三学生必须选取学生错题或者学生所在地区的中高考真题或者当地的统考题目） 【试题来源】（上海2016杨浦二模卷） 【题目】设函数x x g 3)(=，x x h 9)(=，若b x g a x g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，且0))(2()1)((>?-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】：因为b x g a x g x f +++= )()1()(是实数集上的奇函数，所以1,3=-=b a . )1 321(3)(+-=x x f ，)(x f 在实数集上单调递增. 高中数学恒成立问题的解题策略 论文摘要：在高中数学教学中，我们经常会碰到某些恒成立的问题。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下两种类型：一是利用函数图像与性质;二是变量分离。本文对此进行了分析。 关键词：恒成立问题;函数图像;数学 在高中教学中，我们经常会碰到在给定条件下某些结论恒成立的问题，我们怎样来解决呢? 函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有：(在给定区间上某关系恒成立;(某函数的定义域为全体实数R;(某不等式的解为一切实数;(某表达式的值恒大于等等…… 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下两种类型：一是利用函数图像与性质，例如，一次函数、二次函数等;二是变量分离。恒成立问题还要注意与存在性问题的区别和联系。 一、利用函数图像与性质 例1：对任意恒成立，求的取值范围。 解：令， 本题关于的二次函数，若二次函数大于0在R上恒成立且(即图像恒在轴上方)。 若二次函数小于0在R上恒成立且(即图像恒在轴下方)。 我们也会经常碰到二次函数在某一给定区间上的恒成立问题，碰到这样的情况，如果我们仍旧可以利用函数图像来解决的话，会更得心应手。 变式1：对任意恒成立，求的取值范围。 解：若对任意恒成立，令，利用其函数图像， ，得 变式2：若时，恒成立，求的取值范围。 分析：可以看成关于的二次函数，也可以看成关于的一次函数，所以在不等式中出现了两个字母：及，关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然，可将视作自变量，则上述问题即可转化为在内关于的一次函数小于0的恒成立问题。 若原题可化为一次函数型，则由数形结合思想利用一次函数知识求解，十分简捷。给定一次函数，若在内恒有，则根据函数的图像(直线)可得上述结论等价于;同理，若在内恒有，则有， 利用的函数图像可知， 变式3：对任意及时，恒成立，求的取值 范围。 分析：不等式中出现了三个字母：，及，关键在于先把哪个字母看成是变量，另外两个作为常数。 方法一：若先把看成关于的二次函数，且在上恒大于等于0，则，即， 例谈不等式恒成立问题和能成立问题的解题策略 ——谈2008年江苏高考数学试卷第14题 摘要：所有问题均可分成三类：恒成立问题、能成立问题和不成立问题。《例谈不等式恒成立问题和能成立问题》介绍了解决不等式恒成立问题和不等式能成立问题常用的直接法、分离参数法、分类讨论法、数形结合法等，采用了等价转化的处理策略。 关键词：分离参数、分类讨论、数形结合、等价转化，换元，求最值。 2008年江苏高考数学试卷第14题是一道很好的恒成立问题：设函数3()31()f x ax x x R =-+∈若对于任意[]1,1x ∈-都有()0f x ≥成立，则实数a 的值为 。解析如下： 析：将()0f x ≥中的,a x 分离，然后求函数的最值。 解：函数3()31()f x ax x x R =-+∈若对于任意[]1,1x ∈-都有()0f x ≥成立，函数3()31()f x ax x x R =-+∈对于任意[)(]1,0,0,10x x x ∈-∈=及其有()0f x ≥都成立。 若[)1,0x ∈-，33213()310f x ax x a x x =-+≥?≤- +，设1t x =则1t ≤- 3232133(1)t t t x x ∴-+=-+≤-，令323(1)y t t t =-+≤-，则'2360y t t =-+< 323(1)y t t t ∴=-+≤-单调递减，32min 1(1)3(1)4t y y =-==--+-=，4a ∴≤（1） 若(]0,1x ∈，33213()310f x ax x a x x =-+≥?≥- +，设1t x =，则1t ≥ 3232133(1)t t t x x ∴-+=-+≥，令323(1)y t t t =-+≥，则'2363(2)y t t t t =-+=--，当12t ≤≤时'0y ≥，323(1)y t t t =-+≥单调递增；当2t >时'0y <，323(1)y t t t =-+≥单调递减，32max 22324t y y ===-+?=，4a ∴≥（2） 若0x =则a R ∈，()0f x ≥成立（3） 由题意知（1）（2）（3）应同时成立4a ∴= 解题中采取了不等式恒成立问题的处理策略: 1、若f(x)≥a 对x ∈D 恒成立，只须f(x)min (x ∈D)≥a 即可。 2、若f(x)≤a 对x ∈D 恒成立，只须f(x)max (x ∈D)≤a 即可。 恒成立问题常见类型及解法 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：（1）一次函数型；（2）二次函数型；（3）变量分离型；（4）利用函数的性质求解；（5）直接根据函数的图象求解；（6）反证法求解。 一、一次函数型 给定一次函数()==+y f x kx b (k ≠0),若()=y f x 在[m,n]内恒有()f x >0，则根据函数的 图象（线段）可得①0()0>??>?k f m 或②0()0?k f n ，也可合并成f (m)0f (n)0>??>?， 同理，若在[,]m n 内恒有()0 及二次函数的图象求解。 典例2关于x 的方程9x +(4+a )3x +4=0恒有解，求a 的取值范围。 【解析】方法1（利用韦达定理） 设3x =t,则t>0.那么原方程有解即方程t 2 +(4+a )t+4=0有正根。 1212 Δ0 (4)040 ≥?? ∴+=-+>??=>?g x x a x x ，即2(4a)160a 4?+-≥?<-?，a 0a 8a 4≥≤-?∴?<-?或，解得a ≤-8. 方法2（利用根与系数的分布知识） 即要求t 2 +(4+a )t+4=0有正根。设f(t)= t 2 +(4+a )t+4. 当?=0时，即（4+a ）2 -16=0,∴a =0或a =-8. 当a =0时，f(t)=(t+2)2=0,得t=－2<0，不合题意； 当a =－8时，f(t)=(t-2)2 =0,得t=2>0,符合题意。∴a =-8。 当?>0，即a <-8或a >0时， ∵f(0)=4>0,故只需对称轴4a 02 +->，即a <－4.∴a <－8. 综上可得a ≤－8. 三、变量分离型 若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。 典例3设函数2 ()1f x x =-，对任意2,3x ??∈+∞????，2 4()(1)4()x f m f x f x f m m ??-≤-+ ??? 恒成立，则实数m 的取值范围是 【解析】依据题意得2 2222214(1)(1)14(1)---≤--+-x m x x m m 在3[,)2∈+∞x 上恒定成 立，即2 2213241-≤--+m m x x 在3[,)2∈+∞x 上恒成立。 当32=x 时函数2321=--+y x x 取得最小值53 -， 所以 221543-≤-m m ，即22(31)(43)0+-≥m m ，解得2≤-m 或2 ≥m 。 四、利用函数的性质解决恒成立问题 若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x,f(-x)= －f(x)，(f(-x)=f(x))恒成立；若函数y=f(x)的周期为T ，则对一切定义域中的x,有f(x)=f(x+T)恒成立；若函数 关于恒成立问题的解题策略 整理人：凌彬 一、恒成立问题的基本类型 在数学解题中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题． 函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有： ①在给定区间上某关系恒成立；②某函数的定义域为全体实数R ； ③某不等式的解为一切实数； ④某表达式的值恒大于a ，等等 ┅ 恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查综合解题能力，是历届高考的热点之一． 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： ①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质； ⑤直接根据函数的图像． 二、恒成立问题解决的基本策略 A 、两个基本思想解决“恒成立问题” 思路1：()m f x ≥在x D ∈上恒成立max [()]m f x ?≥； 思路2：()m f x ≤在x D ∈上恒成立min [()]m f x ?≤． 如何在区间D 上求函数()f x 的最大值或者最小值问题，可以通过题目的实际情况，采取合理有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导，等等方法求函数()f x 的最值． 此类问题涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，希望大家多多注意积累． B 、赋值型——利用特殊值求解 等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得． 例1．由等式43243212341234(1)(1)(1)(1)x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++； 定义映射f ：12341234(, , , )a a a a b b b b →+++，则f ：(4,3,2,1)_____→ 解：取0x =，则412341a b b b b =++++，又由已知41a =，所以12340b b b b +++=． 例2．如果函数()sin 2cos2y f x x a x ==+的图像关于直线8x π=- 对称，那么____a = 解：取0x =及4x π=-，则(0)()4 f f π=-，即1a =-． 此法体现了数学中从特殊到一般的转化思想．不等式恒成立问题
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