高中数学恒成立问题的解题策略
论文摘要:在高中数学教学中,我们经常会碰到某些恒成立的问题。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下两种类型:一是利用函数图像与性质;二是变量分离。本文对此进行了分析。
关键词:恒成立问题;函数图像;数学
在高中教学中,我们经常会碰到在给定条件下某些结论恒成立的问题,我们怎样来解决呢? 函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有:(在给定区间上某关系恒成立;(某函数的定义域为全体实数R;(某不等式的解为一切实数;(某表达式的值恒大于等等……
恒成立问题,涉及到一次函数、二次函数的性质、图像,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,有利于考查学生的综合解题能力,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。
恒成立问题在解题过程中大致可分为以下两种类型:一是利用函数图像与性质,例如,一次函数、二次函数等;二是变量分离。恒成立问题还要注意与存在性问题的区别和联系。
一、利用函数图像与性质
例1:对任意恒成立,求的取值范围。
解:令,
本题关于的二次函数,若二次函数大于0在R上恒成立且(即图像恒在轴上方)。
若二次函数小于0在R上恒成立且(即图像恒在轴下方)。
我们也会经常碰到二次函数在某一给定区间上的恒成立问题,碰到这样的情况,如果我们仍旧可以利用函数图像来解决的话,会更得心应手。
变式1:对任意恒成立,求的取值范围。
解:若对任意恒成立,令,利用其函数图像,
,得
变式2:若时,恒成立,求的取值范围。
分析:可以看成关于的二次函数,也可以看成关于的一次函数,所以在不等式中出现了两个字母:及,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数。显然,可将视作自变量,则上述问题即可转化为在内关于的一次函数小于0的恒成立问题。
若原题可化为一次函数型,则由数形结合思想利用一次函数知识求解,十分简捷。给定一次函数,若在内恒有,则根据函数的图像(直线)可得上述结论等价于;同理,若在内恒有,则有,
利用的函数图像可知,
变式3:对任意及时,恒成立,求的取值
范围。
分析:不等式中出现了三个字母:,及,关键在于先把哪个字母看成是变量,另外两个作为常数。
方法一:若先把看成关于的二次函数,且在上恒大于等于0,则,即,
在上恒成立,(如变式1)
令,,
方法二:若先把看成关于的一次函数,则在上恒成立(如变式
2),,则,所以此不等式在上恒成立,
二、变量分离
若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。运用不等式的相关知识不难推出如下结论:若对于x取值范围内的任何一个数都有恒成立,则;若对于取值范围内的任何一个数,都有恒
成立,则。(其中和分别为的最大值和最小值)
例2:已知函数在是增函数,在为减函数,(1)求的表达式;当时,若在内恒成立,求的取值范围。
解:(1)函数在是增函数,
在上恒成立,
,在上恒成立,①
函数在是减函数,在上恒成立。
在上恒成立,②
由①②可得,,,
高中数学解题八种思维模式 和十种思维策略 引言 “数学是思维的体操” “数学教学是数学(思维)活动的教学。” 学习数学应该看成是学习数学思维过程以及数学思维结果这二者的综合,因而可以说数学思维是动的数学,而数学知识本身是静的数学,这二者是辩证的统一。作为思维载体的数学语言简练准确和数学形式具有符号化、抽象化、结构化倾向。 高中数学思维中的重要向题 它可以包括: 高中数学思维的基本形式 高中数学思维的一般方法 高中数学中的重要思维模式 高中数学解题常用的数学思维策略 高中数学非逻辑思维(包括形象思维、直觉思维)问题研究; 高中数学思维的指向性(如定向思维、逆向思维、集中思维和发散思维等)研究; 高中数学思维能力评估:广阔性、深刻性、灵活性、敏捷性、批判性、创造性 高中数学思维的基本形式 从思维科学的角度分析,作为理性认识的人的个体思维题可以分成三种:逻辑思维、形象思维、直觉思维 一数学逻辑思维的基本形式1、概念是逻辑思维的最基本的思维形式,数学概念间的逻辑关系,a同一关系b从属关系c交叉关系以及d对立关系e矛盾关系12、判断是逻辑思维在概念基础上的发展,它表现为对概念的性质或关系有所肯定或否定,是认识概念间联系的思维形式。3、推理是从一个或几个已知判断推出另一个新判断的思维形式,是对判断间的逻辑关系的认识。 二数学形象思维的基本形式1图形表象是与外部几何图形的形状相一致的脑中示意图,2图式表象是与外部数学式子的结初关系相一致的模式形象。3形象识别直感是用数学表象这个类象(普遍形象)的特征去比较数学对象的个象,根据形象特征整合的相似性来判别个象是否与类象同质的思维形式。4模式补形直感是利用主体已在头脑中建构的数学表象模式1,对具有部分特征相同的数学对象进行表象补形,实施整合的思维形式。5形象相似直感是以形象识别直感和模式补形直感为基础基础的复合直感。6 象质转换直感是利用数学表象的变化或差异来判别数学在对象的质变或质异的形象特征判断。7图形
高中数学解题基本方法--换元法 高中数学解题基本方法--换元法解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法。换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有:局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式:4+2-2≥0,先变形为设2=t(t 0),而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y=+
的值域时,易发现x∈[0,1],设x=sinα,α∈[0,],问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设,其中主要应该是发现值域的联系,又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x+y=r(r 0)时,则可作三角代换x=rcosθ、y=rsinθ化为三角问题。 均值换元,如遇到x+y=S形式时,设x=+t,y=-t等等。 我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注重新变量范围的选取,一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不能扩大。如上几例中的t 0和α∈[0,]。 Ⅰ、再现性题组: 1.y=sinx??cosx+sinx+cosx的最大值是_________。 2.设 f x+1 =log 4-x (a 1),则 f x 的值域是_______________。 3.已知数列 a 中,a=-1,a??a=a-a,则数列通项a=___________。 4.设实数x、y满足x+2xy-1=0,则x+y的取值范围是___________。 5.方程=3的解是_______________。 6.不等式log 2-1 ??log 2-2 〈2的解集是_______________。 【简解】1小题:设sinx+cosx=t∈[-,],则y=+t-,对称轴t=-1,当t=,y=+; 2小题:设x+1=t t≥1 ,则f t =log[- t-1 +4],所以值域为-∞,log4];
高中恒成立问题总结 解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法: ①函数性质法; ②主参换位法; ③分离参数法; ④数形结合法。 XXX 核心思想: 1.恒成立问题的转化: 恒成立; 2.能成立问题的转化: 能成立; 3.恰成立问题的转化: 若在D 上恰成立在D 上的最小值; 若在D 上恰成立在D 上的最大值. 4.设函数,,对任意的,存在,使得,则 ; 设函数,,对任意的,存在,使得,则 ; 设函数,,存在,存在,使得,则 ; 设函数,,存在,存在,使得,则; 5.若不等式在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上函数和图象在函数图象上方; 若不等式在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上函数和图象在函数图象下方. 6.常见二次函数 ①.若二次函数(或)在R 上恒成立,则有(或); ②.若二次函数(或)在指定区间上恒成立,可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解. ()a f x >?()max a f x >()()min a f x a f x ≤?≤恒成立()a f x >?()min a f x >()()max a f x a f x ≤?≤能成立A x f D x ≥∈)(,?)(x f A x f =)(min ,D x ∈B x f ≤)(?)(x f B x f =)(max ()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≥()()x g x f min min ≥()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≤()()x g x f max max ≤()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≥()()x g x f min max ≥()x f ()x g []b a x ,1∈[]d c x ,2∈()()21x g x f ≤()()x g x f max min ≤()()f x g x >()y f x =()y g x =()()f x g x <()y f x =()y g x =2()(0)0f x ax bx c a =++≠>0<00a >???00 a ??2 ()(0)0f x ax bx c a =++≠>0<
不等式恒成立问题 一、 教学目标 1、 知识目标;掌握不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法并会运用 2、 能力目标;培养学生分析问题解决问题的能力 3、 情感目标;优化学生的思维品质 二、 教学重难点 1、教学的重点;不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法并会运用 2、教学的难点;不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法的选择 三、 教学方法:高三复习探究课:学生研讨探究----学生归纳小结-----学生巩 固练习----学生变式探究---学生总结 四、 教学过程 1、 引人 高三数学复习中的不等式恒成立问题,涉及到函数的性质、图象, 渗透着换元、化归、数形结合、函数方程等思想方法,有利于考查学生的综合解题能力,因此备受命题者的青睐,也成为历年高考的一个热点。我们今天这堂课来研究不等式恒成立求参数的取值范围问题的求解方法。引入课题 2、新课 下面我们来看例1例1、对一切实数x ]1,1[-∈,不等式 a x a x 24)4(2-+-+>0恒成立,求实数a 的取值范围(由学生完成) 由一个基本题得到不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法 解法一;分离参数 由原不等式可得:a(x-2) > -x 2+4x-4 , 又因为x ∈[-1,1] ,x-2∈[-3,-1] a<2-x 又因为x ∈[-1,1],所以 a<1. 解法二;分类讨论、解不等式
(x-2)[x-(2-a)]>0 当a=0时不等式恒成立 当a<0 时x>2-a 或x<2 不等式恒成立 当a>0时x>2 或x<2-a 所以2-a>1 即a<1 所以a<1时不等式恒成立 解法三;构造函数求最值 设f(x)=x2+(a-4)x+4-2a 当(4-a)/2∈[-1,1],即a∈[2,6]时 -a2<0 不成立,舍弃; 当a>6时,f(-1)=1-a+4+4-2a>0 a<3 不成立,舍弃; 当a<2时,f(1)=1+a-4+4-2a=1-a>0 a<1 综上得:a<1 解法四;构造方程用判别式韦达定理根的分布 设x2+(a-4)x+4-2a=0 方程无实根或有两实根两根小于-1或两根大于1 △=(a-4)2-4(4-2a)=a2≥0 所以1-(a-4)+4-2a>0且(4-a)/2<-1 或1+(a-4)+4-2a>0 且(4-a)/2>16且a<3 或a<1且a<2, 所以a<1 解法五;数形结合(用动画来演示 a(x-2)>-x2+4x-4 设y=a(x-2) 和y=-x2+4x-4 分别作两函数的图象
“恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略 一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型 恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型 1、恒成立问题的转化:()a f x >恒成立?()max a f x >;()()min a f x a f x ≤?≤恒成立 2、能成立问题的转化:()a f x >能成立?()min a f x >;()()max a f x a f x ≤?≤能成立 3、恰成立问题的转化:()a f x >在M 上恰成立?()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ?>???≤?? 在上恒成立 在上恒成立 另一转化方法:若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立,等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ,若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立,则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max . 4、设函数()x f 、()x g ,对任意的[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈,使得()()21x g x f ≥,则()()x g x f min min ≥ 5、设函数()x f 、()x g ,对任意的[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈,使得()()21x g x f ≤,则()()x g x f max max ≤ 6、设函数()x f 、()x g ,存在[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈,使得()()21x g x f ≥,则()()x g x f min max ≥ 7、设函数()x f 、()x g ,存在[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈,使得()()21x g x f ≤,则()()x g x f max min ≤ 8、设函数()x f 、()x g ,对任意的[]b a x ,1∈,存在[]d c x ,2∈,使得()()21x g x f =,设f(x)在区间[a,b]上 的值域为A ,g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则A ?B. 9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方; 10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方; 恒成立问题的基本类型 在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题. 函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: 在给定区间上某关系恒成立; 某函数的定义域为全体实数R;●某不等式的解为一切实数;?某表达式的值恒大于a 等等… 恒成立问题,涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,有利于考查学生的综合解题能力,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型: ①一次函数型;②二次函数型;③变量分离型;④根据函数的奇偶性、周期性等性质;⑤直接根据函数的图象。 二、恒成立问题解决的基本策略 大家知道,恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题。等式中的恒成立问题,特别是多项式恒成立问题,常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解决问题的。 (一)两个基本思想解决“恒成立问题” 思路1、max )]([)(x f m D x x f m ≥?∈≥上恒成立在 思路2、min )]([)(x f m D x x f m ≤?∈≤上恒成立在 如何在区间D 上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导
第一章 高中数学解题基本方法 一、 配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简。何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方。它主要适用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺xy 项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a +b) =a +2ab +b ,将这个公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如: a 2 + b 2=(a +b)2 -2ab =(a -b)2 +2ab ; a 2 +a b +b 2 =(a +b)2 -ab =(a -b)2 +3ab ; a 2 + b 2 + c 2 +ab +bc +ca = 2 1[(a +b)2 +(b +c) 2+(c +a) 2] a 2+b 2+c 2=(a +b +c) 2-2(ab +bc +ca)=(a +b -c)2 -2(ab -bc -ca)=… 结合其它数学知识和性质,相应有另外的一些配方形式,如: 1+sin2α=1+2sin αcos α=(sin α+cos α) ; x + =(x + ) -2=(x - ) +2 ;…… 等等。 Ⅰ、再现性题组: 1. 在正项等比数列{a }中,a ?a +2a ?a +a ?a =25,则 a +a =_______。 2. 方程x +y -4kx -2y +5k =0表示圆的充要条件是_____。 A.
高中数学解题基本方法--参数法 参数法是指在解题过程中,通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量(参数),以此作为媒介,再进行分析和综合,从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。 辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的,联系的方式是丰富多采的,科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系,从而发现事物的变化规律。参数的作用就是刻画事物的变化状态,揭示变化因素之间的内在联系。参数体现了近代数学中运动与变化的思想,其观点已经渗透到中学数学的各个分支。运用参数法解题已经比较普遍。 参数法解题的关键是恰到好处地引进参数,沟通已知和未知之间的内在联系,利用参数提供的信息,顺利地解答问题。 Ⅰ、再现性题组: 1. 设2x=3y=5z>1,则2x、3y、5z从小到大排列是________________。 2. (理)直线 x t y t =-- =+ ? ? ? ?? 22 32 上与点A(-2,3)的距离等于2的点的坐标是________。 (文)若k<-1,则圆锥曲线x2-ky2=1的离心率是_________。 3. 点Z的虚轴上移动,则复数C=z2+1+2i在复平面上对应的轨迹图像为 ____________________。 4. 三棱锥的三个侧面互相垂直,它们的面积分别是6、4、3,则其体积为______。 5. 设函数f(x)对任意的x、y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,则f(x)的R上是______函数。(填“增”或“减”) 6. 椭圆x2 16 + y2 4 =1上的点到直线x+2y-2=0的最大距离是_____。 A. 3 B. 11 C. 10 D. 22 【简解】1小题:设2x=3y=5z=t,分别取2、3、5为底的对数,解出x、y、z,再用“比较法”比较2x、3y、5z,得出3y<2x<5z; 2小题:(理)A(-2,3)为t=0时,所求点为t=±2时,即(-4,5)或(0,1);(文)已 知曲线为椭圆,a=1,c=1 1 + k ,所以e=- 1 k k k 2+; 3小题:设z=bi,则C=1-b2+2i,所以图像为:从(1,2)出发平行于x轴向右的射线; 4小题:设三条侧棱x、y、z,则1 2 xy=6、 1 2 yz=4、 1 2 xz=3,所以xyz=24,体积为4。 5小题:f(0)=0,f(0)=f(x)+f(-x),所以f(x)是奇函数,答案:减;
高一数学中的恒成立问题 班级 姓名 学号 1.任意x R ∈,不等式()()222240a x a x ----<恒成立,则a 的范围是____(]2,2-___. 2.若不等式x +2xy ≤a (x +y )对一切正数x ,y 恒成立,则正数a 的最小值为 ( B ) A.1 B.2 C.2 1 2+ D.22+1 . B 由条件:2xy ≤(a -1)x +ay 恒成立,而(a -1)x +ay ≥2xy a a )1(-, 令2xy =2xy a a )1(- ,a (a -1)=2, ∴a =2. 3.不等式() ()2212130m x m x ---+>对一切实数x 恒成立,则实数m 的范围为______. 【解】当2 10m -≠时不等式恒成立的充要条件是2 10m ->且()()22411210m m ---<, 即m>1或m<-2;当m-1=0时不等式化为3>0,恒成立.综上m 范围是[)21-∞+∞U (,),+. 4、已知两个正变量y x ,满足4=+y x ,则使不等式 m y x ≥+4 1恒成立的实数m 的取值 范围是 ]4 9,(-∞ 5.已知不等式(x+y)(1x + a y )≥9对任意正实数x,y 恒成立,则正实数a 的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 6、若对于一切正实数x 不等式x x 2 24+>a 恒成立,则实数a 的取值范围是 a<24 7.若不等式.2 log 0m x x -<在(0, 1 2 )的范围内恒成立,则实数m 的取值范围是____. 【解】 1 116 m ≤< 提示:利用数形结合讨论0
不等式恒成立问题基本类型及常用解法 类型1:设f(x)=ax+b f(x) >0在x ∈[]n m ,上恒成立? ???0 )(0)( n f m f f(x) <0在x ∈[]n m ,上恒成立??? ?0)(0)( n f m f . 例1. 设y=(log 2x)2+(t-2)log 2x-t+1,若t 在[-2,2]上变化,y 恒取正值,求实数x 的取值范围。 例2. 对于 -1≤a ≤1,求使不等式(21)ax x +2<(2 1)12-+a x 恒成立的x 的取值范围。 类型2:设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0) f(x) >0在x ∈R 上恒成立?a >0 且△<0; f(x) <0在x ∈R 上恒成立?a <0 且△<0. 说明:①.只适用于一元二次不等式 ②.若未指明二次项系数不等于0,注意分类讨论. 例3.不等式3 642222++++x x m mx x <1对一切实数x 恒成立,求实数m 的取值范围。
类型3:设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0) (1) 当a >0时 ① f(x) >0在x ∈[]n m ,上恒成立 ??????≤-0)(2 m f m a b 或??????-o n a b m 2或?????≥-0)(2 n f n a b ??????≤-0)(2 m f m a b 或△<0或?????≥-0 )(2 n f n a b . ② f(x) <0在x ∈[]n m ,上恒成立?? ??0)(0)( n f m f . (2) 当a <0时 ① f(x) >0在x ∈[]n m ,上恒成立? ? ? ?0)(0)( n f m f ② f(x) <0在x ∈[]n m ,上恒成立 ??????≤-0)(2 m f m a b 或??????-o n a b m 2或?????≥-0)(2 n f n a b ??????≤-0)(2 m f m a b 或△<0或?????≥-0 )(2 n f n a b . 说明:只适用于一元二次不等式. 类型4:a >f(x) 恒成立对x ∈D 恒成立?a >f(x)m ax , a <f(x)对x ∈D 恒成立? a <f(x)m in . 说明:①. f(x) 可以是任意函数 ②.这种思路是:首先是---分离变量,其次用---极端值原理。把问题转化为求函数的最值,若f(x)不存 在最值,可求出f(x)的范围,问题同样可以解出。 例4.(2000.上海)已知f(x)=x a x x ++22 >0在x ∈[)+∞,1上恒成立,求实数a 的取值范围。
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第四讲 数学思维的开拓性 一、概述 数学思维开拓性指的是对一个问题能从多方面考虑;对一个对象能从多种角度观察;对一个题目能想出多种不同的解法,即一题多解。 “数学是一个有机的整体,它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。我们在学习每一分支时,注意了横向联系,把亲缘关系结成一张网,就可覆盖全部内容,使之融会贯通”,这里所说的横向联系,主要是靠一题多解来完成的。通过用不同的方法解决同一道数学题,既可以开拓解题思路,巩固所学知识;又可激发学习数学的兴趣和积极性,达到开发潜能,发展智力,提高能力的目的。从而培养创新精神和创造能力。 在一题多解的训练中,我们要密切注意每种解法的特点,善于发现解题规律,从中发现最有意义的简捷解法。 数学思维的开拓性主要体现在: (1)一题的多种解法 例如 已知复数z 满足1||=z ,求||i z -的最大值。 我们可以考虑用下面几种方法来解决: ①运用复数的代数形式; ②运用复数的三角形式; ③运用复数的几何意义; ④运用复数模的性质(三角不等式)||||||||||||212121z z z z z z +≤-≤-; ⑤运用复数的模与共轭复数的关系z z z ?=2||; ⑥(数形结合)运用复数方程表示的几何图形,转化为两圆1||=z 与r i z =-||有公共点时,r 的最大值。 (2)一题的多种解释 例如,函数式22 1ax y =可以有以下几种解释: ①可以看成自由落体公式.2 12gt s = ②可以看成动能公式.2 12mv E = ③可以看成热量公式.2 12RI Q = 又如“1”这个数字,它可以根据具体情况变成各种形式,使解题变得简捷。“1”可以变换为:x tg x a b x x x x a b a a 2222sec ),(log )(log ,cos sin ,,log -?+,等等。 1. 思维训练实例 例1 已知.1,12222=+=+y x b a 求证:.1≤+by ax 分析1 用比较法。本题只要证.0)(1≥+-by ax 为了同时利用两个已知条件,只需要观察到两式相加等于2便不难解决。
不等式恒成立、能成立、恰成立问题 一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值: (1)若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >,?() f x 的 下界大于A (2)若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界 小于A 例1、设f(x)=x2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时,都有f(x)≥a 恒成立,求a 的取值范围。 例恒成立,试求实数a 的取值范围; 例数,且当 ? ?? ? ?∈2,0πθ时,有 f .
例4、已知函数 )0(ln )(4 4>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --,其中a 、b 为常数.(1)试确定a 、b 的值; (2)讨论函数)(x f 的单调区间; (3)若对任意0>x ,不等式2 2)(c x f -≥恒成立,求c 的取值范围。 2例 例恒成立,求实数x 的取值范围 例若不等式2 ()1 f x x x a '--+>对任意(0)a ∈+∞, 都成立,求实数x 的取值范围.