三角函数已知三角函数值求角

三角函数·已知三角函数值求角

教学目标

1．使学生掌握已知三角函数值求角（给值求角）的方法和步骤．

2．通过启发学生总结给值求角的步骤，培养学生归纳、类比、总结的能力．

3．培养学生严谨的科学态度，促进良好个性品质发展．

教学重点与难点

重点是给值求角的基本方法．难点在于归纳给值求角的基本步骤．

教学过程设计

一、复习引入

师：我们学习了5组诱导公式，如何概括这5组公式？

生：k2360°+α（k∈Z），-α，180°±α，360°-α的三角函数值等于α的同一三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．

师：那么k2360°+α，……这些角从“形”这一角度看，与α又有什么关系呢？

（这应在诱导公式那一节有所渗透，或曾经留给同学思考过．）

生：角k2360°+α（k∈Z）的终边与α角的终边相同，180°-α的终边与α的终边关于y轴成轴对称图形，180°+α的终边与α的终边关于原点成中心对称图形，360°-α和-α终边相同，与α的终边关于x轴成轴对称图形．

师：α是什么样角？

生：使三角函数有意义的任意角．

师：如果把α看作是锐角，那么k2360°+α（k∈Z），180°±α，360°-α各是第几象限角？它们的三角函数值与α的同一三角函数值有什么联系？

生：k2360°+α（k∈Z）是第一象限角，180°-α是第二象限角，180°+α是第三象限角，360°-α是第四象限角．这些角的三角函数与α的同一三角函数值相等或互为相反数．

（如图1，帮助学生形象思维与记忆．）

师：利用这幅图，记忆诱导公式的符号是不是变得直观了？！那么诱导公式又有什么功能呢？

生：把任意角的三角函数转化为0°～90°间角的三角函数，然后就可以查表求值了．

的终边有刚才所说的对称关系，那么师：这些任意角的终边和某个锐角α

同一三角函数值之间有没有关系？

生：有关系，那些角的三角函数值要么等于α

的同一三角函数值，要么等

于这个值的相反数，相等还是相反由这些角所在象限决定．

的同一三角函数师：可以这样说，这些角的三角函数值的绝对值等于α

值．每个角α都可通过一个锐角α

求得这个角的三角函数值（当值存在时），

这个值由α唯一确定．那么反过来，知道某个角α的某个三角函数值，要反求α，这个α怎么求？是否唯一？这与我们本节课要研究的知识有关．

二、讲授新课

已知三角函数值求角．

师：我们先来研究给正弦值求角．

例1 求满足下列条件的角α的取值集合．

师：满足这个条件的角α有几个？

生：因为α是三角形的内角，所以α∈（0，π），而在这个范围

师：那么这两个角有什么关系？

生：这两个角的和是π．

的，满足已知条件的角还有别的吗？

两个．

师：在每个单调递增（或递减）区间内，角的正弦值随角α的增大而增大（或减小），所以在每个象限由一个三角函数值求得的角将是唯一的（角存在）．以下情况类似，我们不再一一说明．刚才第（2）小

师：由（1）、（2）可以看到，正弦值相同的角，由于限制条件不同，求得的角的集合一般也不相同，我们再改变α的范围，看看情况又有什么变化．

值范围是［0，2π），所以α的范围缩小为［0，π），这与（2）

师：这时满足条件的角α有多少个？

生：满足条件的角有无数个．

师：这无数个角之间有什么关系？（问题提得含糊）．

生：这些角终边相同．

师：这是从“形”的角度去看的，那么翻译成“数”的关系是什么呢？

生：这些角的弧度数相差2π整数倍．

师：怎么表示这些角？

生：先找一个特殊角，然后加上2kπ（k∈Z）就行了．

师：你准备找哪一个特殊角？为什么？

在第一象限．

师：能写出α的取值集合吗？

师：如果把“α”是第一象限角”改为“α是第二象限角”，α的取值集合如何求？

师：如果去掉“α是第一象限角”这个条件呢？

师：由这几个例题可以看到，角α的取值与［0，2π）间的角密切相关，找到这个范围内的角，便可得到所有的角．再看（5）．

师：满足这个条件的角α有几个？各是什么？如何求出？

所以这两个值为所求．

师：由上面六道题的解法能否概括出给正弦值求角的步骤？

生：需求正弦值等于所给的值的绝对值的锐角α

．

生：要求属于区间［0，2π）的角α

0，π-α

，π+α

，2π-α

．

师：是不是非要求这四个角？

生：根据所给的值判断一下角所在的象限，如果值为正，找第一、二象限的

角α

0，π-α

；如果值为负，找第三、四象限的角π+α

，2π-α

．

生：还得根据角的限定范围求出适合条件的所有解．

师：我们把解决步骤归纳如下（为方便先不考虑轴上角）．（1）由已知正弦值确定角α所在象限；

（2）求出锐角α

0，使α

的正弦值与已知值的绝对值相等；

（3）根据四个象限的角的形式，写出［0，2π）间的角（α

0，π-α

，π+

α0，2π-α0）；

（4）写出满足条件的所有的角．

师：对于sinα=±1，sinα=0的类型，我们没有细致去分析，同学们可从角的终边位置加以判断，以下也暂不涉及轴上角．下面我们来研究给余弦值求角的问题．求解时注意类比和归纳．

例2 根据下列条件求角α．

分析给余弦值求角的问题完全可以由正弦类比而来．找到［0，

范围求α．

师：做完这几个题，能否归纳出给余弦值求角的步骤？

生：与刚才的步骤一样，只不过当所给的余弦值大于零时，角是第一、四象限角；当所给的余弦值小于零时，角是第二、三象限的角．

师：这个步骤可以再推广吗？

生：可以推广到给正切值求角，给余切值求角，和给正割、余割值求角．

师：如果是给正切值求角，与正弦、余弦略有差别的地方是什么？

生：当正切值大于零时，角是第一、三象限角，当正切值小于零时，角是第二、四象限角．

师：很好．我们今天研究了给三角函数值求角的课题，要掌握解决问题的步骤，如果遇到不是形如f（x）=m（f是某个三角函数）时，要注意转化思想的运用．

例3 求满足下列条件的角的集合．

（2）已知2sin2x=1，且a∈（0，2π），求x．

分析

（3）由cosA≠0（若cosA=0，则sinA=0，与sin2x+cos2x=1矛盾），

(完整版)三角函数特殊角值表

角度 函数 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 角a 的弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 3π/2 2π sin 0 1/2 √2/2 √3/2 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1 0 cos 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1/2 -√2/2 -√3/2 -1 0 1 tan √3/3 1 √3 -√3 -1 -√3/3 1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°=2 1 ，sin45°=cos45°=22， tan30°=cot60°=33， tan 45°=cot45°=1 正弦函数 sinθ=y/r 余弦函数 cosθ=x/r 正切函数 tanθ=y/x 余切函数 cotθ=x/y 正割函数 secθ=r/x 余割函数 cscθ=r/y 2、列表法： 说明：正弦值随角度变化，即0? 30? 45? 60? 90?变化；值从0 2 1 22 23 1变化，其余类似记忆． 3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时， 则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sin A ＜sin B ；tan A ＜tan B ； cos A ＞cos B ；cot A ＞cot B ；特别地：若0°＜α＜45°，则sin A ＜cos A ；tan A ＜cot A 若45°＜A ＜90°，则sin A ＞cos A ；tan A ＞cot A ． 4、口决记忆法：观察表中的数值特征 正弦、余弦值可表示为 2m 形式，正切、余切值可表示为3 m 形式，有关m 的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七． 30? 1 2 3 1 45? 1 2 1 2 60? 3

特殊角的三角函数值

特殊角的三角函数值 (第3课时) 复习引入 教师提问：一个直角三角形中，一个锐角正弦、余弦、正切值是怎么定义的？ 在学生回答了这个问题后，教师再复述一遍，提出新问题：两块三角尺中有几个不同的锐角？是多少度？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值． 提醒学生：求时可以设每个三角尺较短的边长为1，?利用勾股定理和三角函数的定义可以求出这些三角函数值． 探究新知 （一）特殊值的三角函数 学生在求完这些角的正弦值、余弦值和正切值后教师加以总结． 30°、45°、60°的正弦值、余弦值和正切值如下表：

教师讲解上表中数学变化的规律：对于正弦值，分母都是2， 2， 分子按角度增加分别为．对于正切，60?度的正切 ，即是下 一个角的正切值． 要求学生记住上述特殊角的三角函数值． 教师强调：（sin60°）2用sin 260°表示，即为（sin60°）·（sin60°）． （二）特殊角三角函数的应用 1．师生共同完成课本第79页例3：求下列各式的值． （1）cos 260°+sin 260°． （2）cos 45sin 45?? -tan45°． 教师以提问方式一步一步解上面两题．学生回答，教师板书． 解：（1）cos 260°+sin 260°=（12 ）2+2=1 （2）cos 45sin 45?? -tan45° 2．师生共同完成课本第80页例4：教师解答题意： （1）如课本图28．1-9（1），在Rt △ABC 中，∠C=90， ，，求∠A 的度数． （2）如课本图28．1-9（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB a ．

教师分析解题方法：要求一个直角三角形中一个锐角的度数，可以先求它的某一个三角函数的值，如果这个值是一个特殊解，那么我们就可以求出这个角的度数． 解：（1）在课本图28．1-9（1）中， ∵sinA=3 6 BC AB = 2， ∴∠A=45°． （2）在课本图28．1-9（2）中， ∵tana=3 AO OB OB =3 ∴a=60°． 教师提醒学生：当A、B为锐角时，若A≠B，则 sinA≠sinB，cosA≠cosB，tanA≠tanB． 随堂练习 学生做课本第80页练习第1、2题． 课时总结 1、学生要牢记下表： 30 ° 45 ° 60 ° sinα1 2 2 2 3 2

(完整word版)特殊角三角函数值表

特殊角三角函数值表： 函数名 在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为（x，y）有 正弦函数sinθ=y/r余弦函数cosθ=x/r正切函数tanθ=y/x余切函数cotθ=x/y 正弦（sin）:角α的对边比斜边余弦（cos）:角α的邻边比斜边 正切（tan）:角α的对边比邻边余切（cot）:角α的邻边比对边 特殊函数人倒数关系: tanα ?cotα=1sinα ?cscα=1cosα ?secα=1特殊函数人商数关系:tanα=sinα/cosαcotα=cosα/sinα 特殊函数人平方关系：sinα2+cosα2=11+tanα2=secα21+cotα=cscα2 以下关系，函数名不变，符号看象限 sin（π+α）=-sinα cos（π+α）=-cosα tan（π+α）=tanα cot（π+α）=cotα sin（π－α）=sinα cos（π－α）=-cosα tan（π－α）=-tanα cot（π－α）=-cotα sin（2π－α）=-sinα cos（2π－α）=cosα tan（2π－α）=-tanα cot（2π－α）=-cotα 以下关系，奇变偶不变，符号看象限 sin（90°-α）=cosα cos（90°-α）=sinα tan（90°-α）=cotα cot（90°-α）=tanα sin（90°+α）=cosα cos（90°+α）=sinα tan（90°+α）=-cotαcot（90°+α）=-tanα 特殊三角函数人积化和差的关系： sinα ?cosβ=（1/2）*[sin（α+β）+sin（α－β）] cosα ?sinβ=（1/2）*[sin（α+β）－sin（α－β）] cosα ?cosβ=（1/2）*[cos（α+β）+cos（α－β）] sinα ?sinβ=（1/2）*[cos（α+β）－cos（α－β）] 特殊三角函数 - 和差化积公式 sinα+sinβ=2*[sin(α+β)/2]*[cos(α-β)/2] sinα-sinβ=2*[cos(α+β)/2]*[sin(α-β)/2]

三角函数特殊角值表

三角函数特殊值 1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°= 21 sin45°=cos45°=2 2 tan30°=cot60°=3 3 tan 45°=cot45°=1 2 30? 1 2 3 1 45? 1 2 1 2 60? 3

说明：正弦值随角度变化，即0? 30? 45? 60? 90?变化；值从0 2 3 1变化，其余类似记忆． 3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时， 则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sin A ＜sin B ；tan A ＜tan B ； cos A ＞cos B ；cot A ＞cot B ；特别地：若0°＜α＜45°，则sin A ＜cos A ；tan A ＜cot A 若45°＜A ＜90°，则sin A ＞cos A ；tan A ＞cot A ． 4、口决记忆法：观察表中的数值特征 正弦、余弦值可表示为 2m 形式，正切、余切值可表示为3 m 形式，有关m 的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七． 巧记特殊角的三角函数值 初学三角函数，记忆特殊角三角函数值易错易混。若在理解掌握的基础上，经过变形，使其呈现某种规律，再配以歌诀，则可浅显易记，触目成诵。 仔细观察表1，你会发现重要的规律。

《特殊角的三角函数值》教案

28．1锐角三角函数 第3课时特殊角的三角函数 1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义；(重点) 2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；(重点) 3．能够结合30°、45°、60°的三角函数值解决简单实际问题．(难点 ) 一、情境导入 问题1：一个直角三角形中，一个锐角的正弦、余弦、正切值是怎么定义的？ 问题2：两块三角尺中有几个不同的锐角？各是多少度？设每个三角尺较短的边长为1，分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值． 二、合作探究 探究点一：特殊角的三角函数值 【类型一】利用特殊的三角函数值进行计算 计算： (1)2cos60°·sin30°－6sin45°·sin60°； (2) sin30°－sin45° cos60°＋cos45° . 解析：将特殊角的三角函数值代入求解． 解：(1)原式＝2× 1 2× 1 2－6× 2 2× 3 2＝ 1 2－ 3 2＝－1； (2)原式＝ 1 2－ 2 2 1 2＋ 2 2 ＝22 －3. 方法总结：解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题 【类型二】已知三角函数值求角的取值范围 若cosα＝ 2 3，则锐角α的大致范围是() A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60°D．0°＜α＜30° 解析：∵cos30°＝ 3 2，cos45°＝ 2 2，cos60°＝ 1 2，且 1 2＜ 2 3＜ 2 2，∴cos60°＜cos α＜cos45°，∴锐角α 的范围是45°＜α＜60°.故选C. 方法总结：解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性． 【类型三】根据三角函数值求角度 若3tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数是() A．20°B．30°C．40°D．50°

三角函数值(附三角函数值表)

三角函数值（附三角函数值表） （1）特殊角三角函数值 sin0=0 sin30=0.5 sin45=0.7071 二分之根号2 sin60=0.8660 二分之根号3 sin90=1 cos0=1 cos30=0.866025404 二分之根号3 cos45=0.707106781 二分之根号2 cos60=0.5 cos90=0 tan0=0 tan30=0.577350269 三分之根号3 tan45=1 tan60=1.732050808 根号3 tan90=无 cot0=无 cot30=1.732050808 根号3 cot45=1 cot60=0.577350269 三分之根号3 cot90=0 （2）0°～90°的任意角的三角函数值，查三角函数表。（见下） （3）锐角三角函数值的变化情况 （i）锐角三角函数值都是正值 （ii）当角度在0°～90°间变化时， 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （iii）当角度在0°≤α≤90°间变化时， 0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0, 当角度在0°<α<90°间变化时， tanα>0, cotα>0. “锐角三角函数”属于三角学，是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。从《数学课程标准》看，中学数学把三角学内容分成两个部分，第一部分放在义务教育第三学段，第二部分放在高中阶段。在义务教育第三学段，主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容，本套教科书安排了一章的内容，就是本章“锐角三角函数”。在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。无

特殊角的三角函数值的巧记

特殊角的三角函数值的巧记 特殊角的三角函数值在计算，求值，解直角三角形和今后的学习中，常常会用到，所以一定要熟记．要在理解的基础上，采用巧妙的方法加强记忆．这里关键的问题还是要明白和掌握这些三角函数值是怎样求出的，既便遗忘了，自己也能推算出来，切莫死记硬背． 那么怎样才能更好地记熟它们呢？下面介绍几种方法，供同学们借鉴。 1、“三角板”记法 根据含有特殊角的直角三角形的知识，利用你手里的一套三角板，就可以帮助你记住30°、45°、60°角的三角函数值．我们不妨称这种方法为“三角板”记法． 首先，如图所标明的那样，先把手中一套三角板的构造特点弄明白，记清它们的边角是什么关系． 对左边第一块三角板，要抓住在直角三角形中，30°角的对边是斜边的一半的特点，再应用勾股定理．可以知道在这个直角三角形中30°角的对边、邻边、 斜边的比是掌握了这个比例关系，就可以依定义求出30°、60°角的任意 一个锐角三角函数值，如：001sin 30,cos302== 求60°角的三角函数值，还应抓住60°角是30°角的余角这一特点． 在右边那块三角板中，应注意在直角三角形中，若有一锐角为45°，则此三 角形是等腰直角三角形，且两直角边与斜边的比是1∶1 住：00sin 45cos 452 == ，00tan 45cot 451==。这种方法形象、直观、简单、易记，同时巩固了三角函数的定义． 二、列表法：

说明：正弦值随角度变化，即0? →30?→45? →60? →90?变化；值从 0→2 1 →22→23→1变化，其余类似记忆． 三、口诀记忆法 口诀是：“一、二、三，三、二、一，三、九、二十七，弦是二，切是三，分子根号不能删．”前三句中的1，2，3；3，2，1；3，9，27，分别是30°，45°，60°角的正弦、余弦、正切值中分子根号内的值．弦是二、切是三是指正弦、余弦的分母为2，正切的分母为3．最后一句，讲的是各函数值中分子都加上根号， 不能丢掉．如tan60°= =tan45°1=．这种方法有趣、简单、易记． 四、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ①有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时， 则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sinA ＜sinB ；tanA ＜tanB ；cosA ＞cosB ；cotA ＞cotB ；特别地：若0°＜α＜45°，则sinA ＜cosA ；tanA ＜cotA ；若45°＜A ＜90°，则sinA ＞cosA ；tanA ＞cotA ． 例1.tan30°的值等于（ ）

已知三角函数值求角知识讲解

【学习目标】 1、掌握已知三角函数值求角的解题步骤； 2、要求学生初步（了解）理解反正弦，反余弦，反正切函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值、正切值求出[]π2,0范围内的角，并能用反正弦，反余弦，反正切的符号表示角或角的集合 【要点梳理】 要点一：反正弦，反余弦，反正切函数的定义 （1）一般地，对于正弦函数sin y x =，如果已知函数值[](1,1)y y ∈-，那么在,22ππ?? -???? 上有唯一的x 值 和它对应，记为arcsin x y =（其中11,22y x ππ-≤≤-≤≤）．即arcsin y （||1y ≤）表示,22ππ?? -???? 上正弦等于y 的那个角． （2）在区间[]0,π上符合条件cos (11)x y y =-≤≤的角x ，记为arccos x y =． （3）一般地，如果tan ()x y y R =∈，且,22x ππ??∈- ???，那么对每一个正切值y ，在开区间,22ππ?? - ??? 内， 有且只有一个角x ，使tan x y =．符合上述条件的角x ，记为arctan ,(,)22 x y x ππ =∈-． 要点二：已知正弦值、余弦值和正切值，求角 已知角x 的一个三角函数值求角x ，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定，如果在这个范围内有已知三角函数值的角不止一个，解法可以分为以下几步： 第一步，决定角可能是第几象限角. 第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角1x ；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角1x . 第三步，如果函数值为负数，则可根据x 可能是第几象限角，得出(0，2π)内对应的角；如果它是第二象限角，那么可表示为－1x ＋π；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为1x ＋π或－1x ＋2π. 第四步，如果要求(0，2π)以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果. 【典型例题】 类型一：已知正弦值、余弦值，求角 例1．已知sin x =，（1）x ∈[]0,2π，（2）x R ∈，求角x . 【思路点拨】因为所给的正弦值是负数，所以先求出其绝对值对应的锐角，然后在求出其他象限的角． 【解析】 （1）由sin x =知x 的正弦值是个负值，所以x 是第三象限或第四象限的角．因为sin 4π=，所以第三象限的那个角是544π ππ+ = ，第四象限的角是7244 ππ π-=． （2）在R 上符合条件的角是所有与 54 π终边相同的角和所有与74π 终边相同的角．因此x 的取值集合为

已知三角函数值求角知识讲解

已知三角函数值求角 【学习目标】 1、掌握已知三角函数值求角的解题步骤； 2、要求学生初步（了解）理解反正弦，反余弦，反正切函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值、正切值求出[]π2,0范围内的角，并能用反正弦，反余弦，反正切的符号表示角或角的集合 【要点梳理】 要点一：反正弦，反余弦，反正切函数的定义 （1）一般地，对于正弦函数sin y x =，如果已知函数值[](1,1)y y ∈-，那么在,22ππ?? -???? 上有唯一的x 值 和它对应，记为arcsin x y =（其中11,22y x ππ-≤≤-≤≤）．即arcsin y （||1y ≤）表示,22ππ?? -???? 上正弦等于y 的那个角． （2）在区间[]0,π上符合条件cos (11)x y y =-≤≤的角x ，记为arccos x y =． （3）一般地，如果tan ()x y y R =∈，且,22x ππ??∈- ???，那么对每一个正切值y ，在开区间,22ππ?? - ??? 内， 有且只有一个角x ，使tan x y =．符合上述条件的角x ，记为arctan ,(,)22 x y x ππ =∈-． 要点二：已知正弦值、余弦值和正切值，求角 已知角x 的一个三角函数值求角x ，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定，如果在这个范围内有已知三角函数值的角不止一个，解法可以分为以下几步： 第一步，决定角可能是第几象限角. 第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角1x ；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角1x . 第三步，如果函数值为负数，则可根据x 可能是第几象限角，得出(0，2π)内对应的角；如果它是第二象限角，那么可表示为－1x ＋π；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为1x ＋π或－1x ＋2π. 第四步，如果要求(0，2π)以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果. 【典型例题】 类型一：已知正弦值、余弦值，求角 例1．已知sin 2 x =- ，（1）x ∈[]0,2π，（2）x R ∈，求角x . 【思路点拨】因为所给的正弦值是负数，所以先求出其绝对值对应的锐角，然后在求出其他象限的角． 【解析】 （1）由sin 2x =- 知x 的正弦值是个负值，所以x 是第三象限或第四象限的角．因为sin 42 π=，所以第三象限的那个角是544π ππ+ = ，第四象限的角是7244 ππ π-=． （2）在R 上符合条件的角是所有与 54 π终边相同的角和所有与74π 终边相同的角．因此x 的取值集合为

知识讲解_已知三角函数值求角

已知三角函数值求角 【学习目标】 1、掌握已知三角函数值求角的解题步骤； 2、要求学生初步（了解）理解反正弦，反余弦，反正切函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值、正切值求出[]π2,0范围内的角，并能用反正弦，反余弦，反正切的符号表示角或角的集合 【要点梳理】 要点一：反正弦，反余弦，反正切函数的定义 （1）一般地，对于正弦函数sin y x =，如果已知函数值[](1,1)y y ∈-，那么在,22ππ?? -???? 上有唯一的x 值 和它对应，记为arcsin x y =（其中11,22y x ππ-≤≤-≤≤）．即arcsin y （||1y ≤）表示,22ππ?? -???? 上正弦等于y 的那个角． （2）在区间[]0,π上符合条件cos (11)x y y =-≤≤的角x ，记为arccos x y =． （3）一般地，如果tan ()x y y R =∈，且,22x ππ??∈- ???，那么对每一个正切值y ，在开区间,22ππ?? - ??? 内， 有且只有一个角x ，使tan x y =．符合上述条件的角x ，记为arctan ,(,)22 x y x ππ =∈-． 要点二：已知正弦值、余弦值和正切值，求角 已知角x 的一个三角函数值求角x ，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定，如果在这个范围内有已知三角函数值的角不止一个，解法可以分为以下几步： 第一步，决定角可能是第几象限角. 第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角1x ；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角1x . 第三步，如果函数值为负数，则可根据x 可能是第几象限角，得出(0，2π)内对应的角；如果它是第二象限角，那么可表示为－1x ＋π；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为1x ＋π或－1x ＋2π. 第四步，如果要求(0，2π)以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果. 【典型例题】 类型一：已知正弦值、余弦值，求角 例1．已知sin 2 x =- ，（1）x ∈[]0,2π，（2）x R ∈，求角x . 【思路点拨】因为所给的正弦值是负数，所以先求出其绝对值对应的锐角，然后在求出其他象限的角． 【解析】 （1）由sin 2 x =- 知x 的正弦值是个负值，所以x 是第三象限或第四象限的角．因为sin 42π=，所 以第三象限的那个角是544π ππ+ = ，第四象限的角是7244 ππ π-=．

特殊角的三角函数值及计算

特殊角及计算 0° 30° 45° 60° 90° sinA cosA tanA cotA 当锐角α越来越大时, α的正弦值越来___________，α的余弦值越来___________. 当锐角α越来越大时, α的正切值越来___________，α的余切值越来___________. 1：求下列各式的值． （1）cos 260°+sin 260°． （2）cos 45sin 45? ? -tan45°． 2：（1）如图（1），在Rt △ABC 中，∠C=90，6，3，求∠A 的度数． （2）如图（2），已知圆锥的高AO 等于圆锥的底面半径OB 3倍，求a ． 一、应用新知： 1.（1）（sin60°-tan30°）cos45°= .(2)若0sin 23=-α，则锐角α= . 2.在△ABC 中，∠A=75°，2cosB=2，则tanC= .

3．求下列各式的值． (1)o 45cos 230sin 2-? (2)tan30°－sin60°·sin30° (3)cos45°＋3tan30°＋cos30°＋2sin60°－2tan45° (4)?+?+? +?-?45sin 30cos 30tan 1 30sin 145cos 222 4．求适合下列条件的锐角． (1)2 1cos =α (2)3 3tan = α (3)2 22sin = α (4)33)16cos(6=-οα （5） （6） 6．如图，在△ABC 中，已知BC=1+ ，∠B=60°，∠C=45°，求AB 的长. 7.在△ABC 中，∠A 、∠B 为锐角，且有 ，则△ABC 的 |tanB-3|+(2sinA-3)2 =002sin 2=-α0 1tan 3=-α3

已知三角函数值求角教案1

已知三角函数值求角教案1 教学目标 1．使学生掌握已知三角函数值求角(给值求角)的方法和步骤． 2．通过启发学生总结给值求角的步骤，培养学生归纳、类比、总结的能力． 3．培养学生严谨的科学态度，促进良好个性品质发展． 教学重点与难点 重点是给值求角的基本方法．难点在于归纳给值求角的基本步骤． 教学过程设计 一、复习引入 师：我们学习了5组诱导公式，如何概括这5组公式？ 生：k·360°＋α(k∈Z)，－α，180°±α，360°－α的三角函数值等于α的同一三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号． 师：那么k·360°＋α，……这些角从“形”这一角度看，与α又有什么关系呢？ (这应在诱导公式那一节有所渗透，或曾经留给同学思考过．) 生：角k·360°＋α(k∈Z)的终边与α角的终边相同，180°－α的终边与α的终边关于y轴成轴对称图形，180°＋α的终边与α的终边关于原点成中心对称图形，360°－α和－α终边相同，与α的终边关于x轴成轴对称图形． 师：α是什么样角？ 生：使三角函数有意义的任意角． 师：如果把α看作是锐角，那么k·360°＋α(k∈Z)，180°±α，360°－α各是第几象限角？它们的三角函数值与α的同一三角函数值有什么联系？

生：k·360°＋α(k∈Z)是第一象限角，180°－α是第二象限角，180°＋α是第三象限角，360°－α是第四象限角．这些角的三角函数与α的同一三角函数值相等或互为相反数． (如图1，帮助学生形象思维与记忆．) 师：利用这幅图，记忆诱导公式的符号是不是变得直观了？！那么诱导公式又有什么功能呢？ 生：把任意角的三角函数转化为0°～90°间角的三角函数，然后就可以查表求值了． 师：这些任意角的终边和某个锐角α0的终边有刚才所说的对称关系，那么同一三角函数值之间有没有关系？ 生：有关系，那些角的三角函数值要么等于α0的同一三角函数值，要么等于这个值的相反数，相等还是相反由这些角所在象限决定． 师：可以这样说，这些角的三角函数值的绝对值等于α0的同一三角函数值．每个角α都可通过一个锐角α0求得这个角的三角函数值(当值存在时)，这个值由α唯一确定．那么反过来，知道某个角α的某个三角函数值，要反求α，这个α怎么求？是否唯一？这与我们本节课要研究的知识有关． 二、讲授新课 (板书)已知三角函数值求角． 师：我们先来研究给正弦值求角． (板书) 例1 求满足下列条件的角α的取值集合．

特殊角三角函数值表

特殊角三角函数值表 函数名 在平面直角坐标系xOy中，从点0引出一条射线0P，设旋转角为0,设OP=r , P点的坐标为（x, y ）有 正弦函数sin 0 =y/r 余弦函数cos 0 =x/r 正切函数tan 0 =y/x 余切函数cot 0 =x/y 正弦（Sin ）：角a的对边比斜边余弦（COS ）:角a的邻边比斜边 正切（tan ）:角a的对边比邻边余切（cot ）:角a的邻边比对边 特殊函数人倒数关系：tan a ?COt a =1 sin a ?CSC a =1 COS a ?SeC a =1 特殊函数人商数关系：tan a =Sin a /COS a COt a =COS a /Sin a 特殊函数人平方关系：sin a 2+COS a 2=1 1+tan a 2=sec a2 1+cot a =CSC a2 以下关系，函数名不变，符号: 看象限 sin (n + a) =-Sin a COS (n + a) =. -COS a tan (n + a) =tan a cot (n + a) =cot a sin (n — a) =sin a cos (n —-a) =-COS a tan (n — a) =-tan a cot (n —-a) =-COt a sin (2 n — a) =-Sin a COS (2 n —a )=COS a tan (2 n — a) =-tan a COt (2 n —a )=-cot 以下关系，奇变偶不变，付号看象限 sin (90° - a) =COS a COS (90°-a ) =sin a tan (90° - a) =COt a cot (90°-a ) =ta n a sin (90° + a) =COS a cos (90°+ a )=sin a tan (90° + a) =- COt a(90°+ a ) =-ta n a 特殊三角函数人积化和差的关系: sin a ?cos 3 = ( 1/2 ) *[si n (a + 3) +sin (a — 3) ] COS a ?si n 3 = ( 1/2 ) *[si n (a + 3) —sin (a — 3) ] COS a ?cos 3 = ( 1/2 ) *[cos (a + 3) +COS (a — 3) ] sin a ?si n 3 = ( 1/2 ) *[cos (a + 3) —COS (a — 3) ] 特殊三角函数-和差化积公式 sin a +sin 3 =2*[sin( a + 3 )/2]*[cos( a - 3 )/2] sin a -sin 3 =2*[cos( a + 3 )/2]*[sin( a - 3 )/2]

已知三角函数值求角知识点梳理及例题解释

已知三角函数值求角 例1、已知2 3sin =α，且πα20<≤，求α 解：① 23sin = α＞0 α∴是第一、第二象限角，且πα20<≤ ②又 2 33sin =π 2 33sin )3sin(==-π π π ③∴适合条件的角是3 π或32π 说明：若用解集的形式，则应写为：所求α的集合是{ 3π，32π} 练习：已知2 1cos = α，且πα20<≤，求α 例2、已知2 1cos - =α，且πα20<≤，求α 解：① 2 1cos -=α＜0 α∴是第二、第三象限角，且πα20<≤ ②满足条件21cos =α的锐角3 πα= 又 2 13cos )3cos(-==-πππ 2 13cos )3cos(-==+πππ ③∴适合条件的角是3ππ-或3ππ+，即32π或34π 小结：由已知三角函数值求角，其解法步骤： （1）由已知三角函数值，确定α所在象限； （2）先求出与其函数值的绝对值对应的锐角θ，再根据α所在象限得出0到2π的角； 若适合条件的角在第二象限，则它是θπ- 若适合条件的角在第三象限，则它是θπ+ 若适合条件的角在第四象限，则它是θπ-2 （3）写出适合条件的角或用集合表达出来。

练习：写出适合条件的角 （1）21sin = α且πα20<≤，求α （2）23cos - =α且πα20<≤，求α （3）1tan =α且πα20<≤，求α （4）21sin = α且πα<≤0，求α （5）23cos - =α且πα<≤0，求α （6）,1sin 22=x πα20<≤，求α （7）2 1sin =α，求α （8）1tan =α，求α

三角函数特殊角值表

三角函数特殊值 1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°= 21 sin45°=cos45°=2 2 tan30°=cot60°=3 3 tan 45°=cot45°=1 2 30? 1 2 3 1 45? 1 2 1 2 60? 3

说明：正弦值随角度变化，即0? 30? 45? 60? 90?变化；值从0 2 3 1变化，其余类似记忆． 3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时， 则0＜sin α＜1； 0＜cos α＜1 ； tan α＞0 ； cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sin A ＜sin B ；tan A ＜tan B ； cos A ＞cos B ；cot A ＞cot B ；特别地：若0°＜α＜45°，则sin A ＜cos A ；tan A ＜cot A 若45°＜A ＜90°，则sin A ＞cos A ；tan A ＞cot A ． 4、口决记忆法：观察表中的数值特征 正弦、余弦值可表示为 2m 形式，正切、余切值可表示为3 m 形式，有关m 的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七． 巧记特殊角的三角函数值 初学三角函数，记忆特殊角三角函数值易错易混。若在理解掌握的基础上，经过变形，使其呈现某种规律，再配以歌诀，则可浅显易记，触目成诵。 仔细观察表1，你会发现重要的规律。

三角函数特殊角值表

1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°=2 1 ，sin45°=cos45°=22，tan30°=cot60°=33，tan45°=cot45°=1 正弦函数sinθ=y/r 余弦函数cosθ=x/r 正切函数tanθ=y/x 余切函数cotθ=x/y 正割函数secθ=r/x 余割函数cscθ=r/y 2、列表法： 说明：正弦值随角度变化，即0?30?45?60?90?变化；值从0 21222 3 1变化，其余类似记忆． 3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律： ① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜α＜90°时， 则0＜sin α＜1；0＜cos α＜1；tan α＞0；cot α＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A ＜B ＜90°时，则sin A ＜sin B ；tan A ＜tan B ；cos A ＞cos B ；cot A ＞cot B ；特别地：若0°＜ α＜45°，则sin A ＜cos A ；tan A ＜cot A 若45°＜A ＜90°，则sin A ＞cos A ；tan A ＞cot A ． 4、口决记忆法：观察表中的数值特征 正弦、余弦值可表示为 2m 形式，正切、余切值可表示为3 m 形式，有关m 的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七． 函数名正弦余弦正切余切正割余割 符号sincostancotseccsc 正弦函数sin （A ）=a/c 余弦函数cos （A ）=b/c 正切函数tan （A ）=a/b 余切函数cot （A ）=b/a 其中a 为对边，b 为邻边，c 为斜边 三角函数对照表 30? 1 2 1 45? 1 1 2 60?

高中数学第四章三角函数复习教案2复习已知三角函数值求角1.doc

高中数学第四章三角函数复习教案2 复习已知三角函数值求角1 第二教时 教材：复习已知三角函数值求角 目的：要求学生对反正弦、反余弦、反正切函数的认识更加深，并且能较正确的 根据三角函数值求角。 过程： 一、复习：反正弦、反余弦、反正切函数 已知三角函数值求角的步骤 二、例题： 例一、1?用反三角函数表示)2 3,(,65sin ππ∈-=x x 中的角x 2?用反三角函数表示)2 7,3(,5tan ππ∈=x x 中的角x 解：1?∵23π5)sin(-=-πx ∴)65arcsin(-=-πx ∴)6 5a r c s i n (--π=x 2?∵273π30π∴5arctan 3=π-x ∴5a r c t a n

3+π=x 例二、已知2 1)32cos(-=π+x ，求角x 的集合。解：∵21)32cos(-=π+x ∴)(3 2232Z k k x ∈π±π=π+ 由32232π+π=π+k x 得)(3 24Z k k x ∈π+π= 由3 2232π-π=π+k x 得)(24Z k k x ∈π-π= 故角x 的集合为},243 24|{Z k k x k x x ∈π-π=π+π=或例三、求3arctan 2arctan 1arctan ++的值。 解：arctan2 = α, arctan3 = β则tan α= 2，tan β= 3 且24π4π2132t a n t a n 1t a n t a n )t a n (-=?-+=βα-β+α=β+α而π3π 又arctan1 = 4 π∴3arctan 2arctan 1arctan ++= π例四、求y = arccos(sin x ), (3 23π≤≤π-x )的值域解：设u = sin x ∵3 23π≤≤π-x ∴123≤≤-u ∴65)a r c c o s (s i n 0π≤≤x ∴所求函数的值域为]6

《特殊角的三角函数值》说课稿

《特殊角的三角函数值》说课稿 尊敬的各位评委： 大家下午好！ 今天我说课的题目是《特殊角的三角函数值》，对于本节课，我将从教材分析、教学目标分析、教学方法分析、教学过程分析四个方面加以说明。 一、教材分析 1、教材的地位和作用 《特殊角的三角函数值》选自新人教版九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》，本章主要研究锐角三角函数的概念和应用。是在学习了直角三角形的相关性质之后进一步学习的。前两节我们主要探索了直角三角形中锐角三角函数正弦、余弦、正切的概念、表示方法和计算方法，而本节主要让学生熟记特殊角的三角函数值；运用特殊角的三角函数值进行加、减、乘、除运算；并能根据函数值说出对应的锐角度数。学好本节内容能使学生灵活运用锐角三角函数解决实际生活中的问题。 二、教学目标分析 为了更好培养学生的数学探索能力和数学意识，提高学生分析问题和解决问题的能力，制定如下教学目标： 1.知识目标：（1）会根据直角三角形推导特殊角的三角函数值。 （2）熟记30°、45°、60°角的三角函数值。 （3）通过对特殊角函数值的推导，养成勇于探索敢于创新的良好习惯，善于用数学方法分析和解决实际问题的能力 2.能力目标：让学生经历30°、45°、60°角的三角函数值推导过程，从而掌握特殊角的三角函数的运用方法。通过对特殊角三角函数的学习，培养学生提出问题、理解问题解、解决问题的能力。 3.情感目标：创设学生主动参与的情境，激起学生强烈的好奇心和求知欲，使之在积极参与过程中获得成功的体验。体验到数学充满探索与创造，尽可能使每个学生都能得到发展。通过本节课的学习让学生体会锐角三角函数的数学美，从而培养学生的数学应用意识。 4、教学重点与难点 教学重点：熟记30°、45°、60°角的三角函数值 教学难点：根据函数值说出对应的锐角度数 突破重难点方法：（发挥学生的主体作用，通过学生动手实践，让学生在在实验中探索，在探索中领悟，在领悟中理解） 三、教学方法和学法分析 1.教法：授人以鱼不中授人以渔，所以在教学过程中让学生成为学习的主导，重视教学方法，让学生从学会向会学转变，成为学习的主人。创设学生熟悉的情境引导学生小组合作探究，并主动参与教学活动，从而使学生熟记30°、45°、60°角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数的运用。从而提高学生用已学知识去主动获取知识的能力。在探索新的过程中，培养他们掌握好的学习方法生解题方法，并通过动手操作、动脑思考、动口表述，培养学生观察、猜想、概括、表述的能力 2.学法：本节课的学习方法采用自主探究、互助合作、讨论交流方法。本节课数学活动贯穿始终，既有学生自主探究，也有小组合作交流，目的是让学生从自主探究中发展，从合作交流中提高。 四、教学过程分析 教学过程我主要分为六部分：一、新课引入，二、探究新知，三、巩固新知，四、感悟收获，五、布置作业，六、板书设计 （一）、新课引入

已知三角函数值求角的数学教学设计

已知三角函数值求角的数学教学设计 一．教学目标 1．理解反正弦、反余弦、反正切的意义，并会用反三角符号表示角． 2．掌握用反三角表示中的角． 二．教具 直尺、投影仪 三．教学过程 1．设置情境 由函数的定义知，对定义域中的任一元素，在值域中都有一个 元素使，我们知道，存在反函数时，上述值域中的元素不仅存在，而且惟一，这时可以用表示，记作。 到目前为止，我们已经学习了正弦、余弦、正切三种重要的三 角函数．试问，三角函数是否具有反函数属性，即能否用三角函数值反映角的大小呢？如果能，又怎样表示呢？本节课就来讨论这个问题， 2．探索研究 请同学回忆一下 （1），，，的诱导公式． （2）师：，，分别表示与的正弦值相等，与的余弦值相等，与的正切值相等，能否说它们表示的角也相等？为什么？ 生：不能，因为在0～间对一个已知的三角函数值一般都有两 个角度与它对应．

师：对，同学们知道，利用诱导公式，我们可以求得任意角三角函数值，反过来，如果已知一个角的三角函数值，我们利用诱导公式也将能求出中与之对应的角．这两个过程是互逆的，已知角x求它的正弦值、余弦值、正切值是唯一的，而已知角的正弦值、余弦值、正切值求角在不同范围内可以是一个、二个，也可以是无数多个不同的解． （板书课题——已知三角函数值求角（一）） 请同学们看一个例题： 【例1】（1）已知，且，求． （2）已知，且，求的取值集合． 师生共同分析： （1）由正弦函数在闭区间上是增函数和．可知符合条件的角有且只有一个，即，于是． （2）因为，所以是第一或第二象限角，由正弦函数的单调性和可知，符合条件的角有且只有两个，即第一象限角或第二象限角，∴所求的的集合是． 下面给出反正弦概念，请看投影： 观察上图，根据正弦函数的图像的性质，为了使符合条件的角有且只有一个，我们选择闭区间作为基本范围，在这个闭区间上，符合条件的角，叫做实数的反正弦，记作，即，其中，且．

特殊三角函数数值表

特殊三角函数数值表 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 公式 sin(A/2) = √{(1--cosA)/2} cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} tan(A/2) = √{(1--cosA)/(1+cosA)} cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1-cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) sin(a)+sin(b) = 2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] sin(a)-sin(b) = 2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] cos(a)+cos(b) = 2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2] cos(a)-cos(b) = -2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB sin(a)sin(b) = -1/2*[cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b) = 1/2*[cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b) = 1/2*[sin(a+b)+sin(a-b)] cos(a)sin(b) = 1/2*[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sin(a) cos(-a) = cos(a) sin(π/2-a) = cos(a) cos(π/2-a) = sin(a) sin(π/2+a) = cos(a) cos(π/2+a) = -sin(a) sin(π-a) = sin(a)