高等数学AI 期末复习题—试题
1、填空题
(1)(
)1
arcsin
f x x
=
的定义域是____________________________; (2)()
lg 3x f x -=_____________________;
(3)数列
{}n x 有界是数列{}n x 收敛的_____________条件,数列{}n x 收敛是数列{}n x 有
界的_____________条件;
(4)函数()f x 在点0x 处连续是()f x 在点0x 处可导的_____________条件,而()f x 在点0x 处可导是()f x 在点0x 处连续的_____________条件,()f x 在点0x 处可导是
()f x 在点0x 处可微的_____________条件;
(5)设11
11
x
x
e y e -=
+,则0x =是函数
y 的_____________间断点;
(6)函数()f x 的右极限()00f x +及左极限()00f x -都存在且相等是()0
lim x x f x →存在
的_______________条件;
(7)设()0f '存在,且()00f =,则()
lim
x f x x
→=_________; (8)假定()0f x '存在,则
()()000
lim
_______h f x f x h h →--=,()()
000lim _______h f x mh f x nh h
→+--=;
(9)()00f x '=是函数()f x 在0x 取得极值的_________条件;
(10)设ln x 是()f x 的一个原函数,则()____________f x '=; (11)已知0cos lim
1sin x
x x x
a x be →=+,则a =__________,
b =__________;
(12)设()()()()123f x x x x =---,则()0f x '= 在[]
1,3内的实根个数是_________。
2、判断下列命题是否正确
(1)凡驻点就是极值点;( ) (2)凡极值点就是驻点;( )
(3)可导函数的极值点必是它的驻点; ( ) (4)函数的极大值不可能比它的极小值小; ( )
(5)设()y f x =在(),a b 内可导,且仅有一个极值点,则在这一点函数必取得最大值或最小值; ( )
(6)任何一点都不能既是极值点又是拐点;( )
(7)如果()0
lim x x f x →存在,但()0
lim x x g x →不存在,则()()()
lim x x f x g x →+不存在; ( )
(8)如果()0
lim x x f x →和()0
lim x x g x →都不存在,那么()()0
lim x x f x g x →+????不存在; ( )
(9)如果()0
lim x x f x →存在,但()0
lim x x g x →不存在,则()()0
lim x x f x g x →?不存在;( )
(10)导数不存在的点(函数在该点连续)一定取不到拐点。( )
3、选择题
(1)下列极限中,能使用洛必达法则的是 答( ) (A )20
1
sin lim
sin x x x x
→; (B )lim arctan 2
x x x π→+∞
??- ???
;
(C )sin lim
sin x x x x x →∞-+; (D )2
sin lim x x x
x →∞。
(2)下列函数,在点0x =处可导的是 答( ) (A )()f x x x = ; (B )()sin f x x =;
(C )()200x x f x x x ?≤=?>? (D )()1sin 00
0x x f x x
x ?≠?=??=?。 (3)极限1
1
lim
1
x x x →--的值是 答( ) (A )1; (B) -1; (C) 0; (D) 不存在。 (4) 设()cos f x x x =,则 答 ( ) (A) ()f x 在(),-∞+∞内有界; (B) ()f x 在x →∞时为无穷大; (C) ()f x 在(),-∞+∞内无界; (D) ()f x 在x →∞时为无穷小 (5) 设cos 1,0
()ln ,0
x x f x x x x -≤?=?
>?,则 答( )
(A) ()f x 在0x =处无极值; (B) ()f x 在0x =处有极小值; (C) ()f x 在0x =处有最大值; (D) ()f x 在0x =处有极大值.
(6)下列运算过程中正确的是 答( ) (A) 111111lim(...)lim lim ...lim 00 (0011)
n n n n n n n n n n n n →∞
→∞→∞→∞+
++=+++=+++=++++ ;
(B) 当0→x 时,tan ,sin x x x x ,故3300tan sin lim
lim 0x x x x x x x x
→→--==; (C) 当0→x 时,tan ,sin x x x x ,故00sin 222lim lim tan 555
x x x x x x →→==;
(D) 当0→x 时,cot 0
lim(1)
1x
x x →+=。
(7) 设()+∞∞-∈+-=',),12)(1()(x x x x f ,则在)1,2
1
(内,()f x 单调 答( ) (A)增加,曲线()y f x =为凹的; (B)减少,曲线()y f x =为凹的; (C)减少,曲线()y f x =为凸的; (D)增加,曲线()y f x =为凸的。
(8)下列各命题中哪一个是正确的? 答( ) (A)如果()()
00,x f x 是()f x 的拐点,则必定()00f x ''=; (B)如果()00f x ''=,则()()
00,x f x 必定是()f x 的拐点;
(C)如果()()
00,x f x 是()f x 的拐点, 则必定()0f x ''不存在; (D)如果()00f x ''=,则()()
00,x f x 有可能是()f x 的拐点
(9) 在0x =处不连续的函数是 答 ( )
(A) ()221cos ,00,0x x f x x x ?≠?=??=?; (B) ()sin ,0,0
x x
x f x x
e x ?>?=??≤?; (C) (),01,0x x x
f x x ?≠?=?
?=?
; (D) ()21,00,0x e x f x x -??≠=??=?。
(10) 设()f x 的一个原函数为2
x ,,则()f x dx '? 答 ( )
(A)
2x C +; (B) 2x ; (C) 2x C +; (D) 2x 。
(11)
曲线4y = 答 ( )
(A) ()1,4; (B) ()2,3; (C) ()9,2; (D) ()0,5. (12) 若()
()
2
lim
1f x x x e →+=,则()x f = 答( )
(A)
2sin x ; (B) 2sec x ; (C) 2
cos x ; (D) 2cot x .
(13)设()???
????
<>=0,1sin 0,1sin x x x x x x f ,则()0
lim x f x →不存在的原因是 答( )
(A)
()0f 无意义; (B)()0
lim x f x →+不存在;
(C) )()0
lim x f x →-不存在; (D) ()0
lim x f x →+与()0
lim x f x →-都不存在.
(14)罗尔定理中的三个条件: ()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 内可导, ()()f a f b =是
()f x 在(),a b 内至少存在一点ξ使()0f ξ'=的 答 ( )
(A)必要条件; (B)充分条件; (C) 充分必要条件; (D)既非充分也非必要.
4、简答题
(1)曲线3
1
x t y t
=+??
=?在2t =处的切线方程与法线方程; (2)设可微函数y 由方程35420x y x y +-+=所确定,求过(1,1)的切线方程与法线
方程; (3
)y =
在1x =处的切线方程与法线方程。 5、求下列函数的导数或微分
(1) ()ln cos x
y e =; (2) 1sin
x
y e
=; (3) 3523x x
y x x =-+;
(4) 1sin 1cos x s x +=
+; (5) ()arcsin 12y x =-; (6) ln tan 2
x
y =;
(7) y e =; (8) ln ln ln y x =
(9) y =(10) sin x
y x =; (11) (){}y f
f f x =????,其中()f x 可导;
(12)
y =
其中()(),f x g x 可导,且()()220f x g x +≠。
6、简答题
(1)
求由方程arctan
y x =所确定的函数()y f x =的导数dy dx
。 (2)设方程()sin x y e xy x ++=确定()y y x =,求dy 。
(3)设t t
x e y te -?=?=?
,求22,dx y
d dx dy 。 7、计算下列极限
(1) 20sin cos lim sin x x x x x x →-; (2) ()
20sin lim ln 1x
x t tdt x →++?; (3)30csc cos lim 44sin x x x x x x →??- ???
; (4)211lim(sin tan )x x x x x
→∞+; (5) ()
1
sin 0
012lim ln(1)
x
t
x t dt
x →++?; (6
)lim
x →+∞
;
(7
))
lim x x
x →+∞
; (8)3
tan sin lim x x x
x →-
(9)()
2
cos 1
lim
ln 1x
t x e dt
x x →+?; (10)()
30ln 12lim 1x x x e →+-;
(11)1
0sin lim x x x x →?? ???
; (12)0lim x
x x +
→。 8、计算下列积分
(1)arcsin x xdx ?; (2)1
1cos dx x
-?
;
(3)11x dx e +?; (4)3
24x dx x +?;
(5
)0
π?
; (6
)0
π
?
;
(7
)
22
π
π
-
?; (8)sin x xdx ?; (9)()
12ln dx
x x +?
;
(10)已知
()f x 的一个原函数是arcsin x ,求()xf x dx '?;
(11)()
2
32x dx x +?; (12)325
425sin 21x xdx
x x -++?;
(13)3
sin xdx ?; (14)21
21arctan 31
1x x dx x
-+++?; (15)23sin cos x xdx ?; (16)24
sin cos x xdx ?
;
(17)已知()ln ,12
2,23
x x x f x x ≤=?≤≤?,求
()31
f x dx ?
。
9、简答题
(1)计算抛物线22y x =与直4y x =-所围成的图形的面积。 (2)计算心形线()()1cos 0a a ρθ=+>所围成的图形的面积。
(3)计算由摆线()()sin ,1cos x a t t y a t =-=-相应于02t π≤≤的一拱,直线0y =所围成的图形分别绕x 轴、y 轴旋转而成的旋转体的体积。
10、计算下列曲线的弧长
(1) ()3223y x a x b =≤≤; (2) ()()
()sin 021cos x a y a θθθπθ=-??≤≤?=-??
(3)
()02,0a a ρθθπ=≤≤>。
11、求下列微分方程的解
(1)
10x y dy dx +=; (2)()0cos 1sin 0,/4
x x ydx e ydy y π-=++==. (3) 12210x x y y x e dx e dy y ????++-= ? ? ?????
; (4) ()22
0320,/1x y x dy xydx y =-+==;
(5) ()5
2211dy y x dx x -=++; (6) sin ,/1x dy y x y dx x x π=+==; (7) ()
2
0012,/1,/3x x x y xy y y ==''''+===; (8) ()2
0yy y '''-=。
12、求下列微分方程的解
(1) 230y y y '''--=; (2) 0020,/4,/2x x y y y y y ==''''++===-;
(3) 250y y y '''-+=; (4) 256x
y y y xe '''-+=。
13、简答题
(1)设函数()f x 可导,且满足()()0
x x f x f t dt e -
=?
,求()f x 。
(2)试建立二阶常系数齐次线性微分方程,已知其特征方程的一个根为132r i =+,并求微分
方程的通解。
(3)求微分方程3232x y y y xe -'''+-=对应的齐次方程的通解,并写出方程
3232x y y y xe -'''+-=的特解形式。 14、证明下列不等式
(1)当0x >
时,112
x +
> (2)当1x >时, x
e e x >?。 15、简答题
(1)若函数()22,0()1,0ln ,0a x x f x x b x x x ?+?
==??++>??
在0x =处连续,试确定常数b a ,。
(2)若函数21sin ,0(),0
x x f x x
a x x ?
>?=??+≤?在(),-∞+∞内连续,试确定常数a 。 (3)试问a 为何值时,函数()1sin sin 33
f x a x x =+在3
x π
=处取得极值?它是极大值还是
极小值?并求此极值。
(4)确定曲线()25
39
2210
x y x =
+-的凹凸区间和拐点。 (5)试决定曲线32y ax bx cx d =+++中的,,,a b c d ,使得2x =-处有水平切线, ()1,10-为拐点,且点()2,44-在曲线上。
(6)证明: 方程5
210x x +-=只有一个正根。
(7)设()(),f x g x 在[],a b 上连续,且()()()(),f a g a f b g b <>,证明在(),a b 内必存在一
点ξ,使得()()f
g ξξ=。
(8)若函数()f x 在(),a b 内具有二阶导数,且()()()123f x f x f x ==,其中
123a x x x b <<<<,证明: 在()13,x x 内至少存在一点ξ,使得()0f ξ''=。
高等数学AI 期末复习题—答案
1、填空题
(1)[)(]1,11,3-? (2)13x << (3)必有,充分 (4)必有,充分,充要 (5)第一类或跳跃 (6)充要 (7)()0f ' (8)()0f x ',()()0m n f x '+ (9)必要 (10)2
1x - (11)1,0a b == (12)2
2、判断下列命题是否正确
(1)错 (2)错 (3)对 (4)错 (5)对 (6)错 (7)对 (8)错 (9)错 (10)错
3、选择题
(1)B (2)A (3)D (4)C (5)D (6)C (7)B (8)D (9)C (10)C (11)A (12)D (13)B (14)B
4、简答题
(1)12280,12990x y x y --=+-= (2)760,780x y x y -+=+-= (3)1,1y x y x =-=-+
5、求下列函数的导数或微分
(1)()tan x
x
e e - (2)1sin 211cos x e dx x x
- (3)()2152ln 231ln x x
y x x x =-++
(4)
()
2
1sin cos 1cos x x
x +++
(5) (6)csc xdx
(8)
1ln ln ln x x x ) (9)
(10)sin sin cos ln x x x x x x ??+ ???
(11)(){}
()()f f f x f f x f x '''????????
f x f x
g x g x ''+
6、简答题
(1)32x y x x y +- (2)()()1cos cos x y x y
e y xy dx e x xy ++--+ (3)()()231,32t t t e t e -++ 7、计算下列极限
(1)
13 (2)0 (3)38 (4)1 (5)2
e (6)1 (7)12 (8)12 (9)2e - (10)23 (11)16
- (12)1
8、计算下列积分
(1)2131arcsin arcsin 244x x x C ++ (2)cot 2x
C -+ (3)()ln 1x e C --++
(4)()2212ln 42x x C -++ (5)45 (6) (7)4
3
(8)cos sin x x x C -++
(9)
1ln 12ln
2x C ++ arcsin x C + (11)()242ln 222x C x x ++-+++ (12)0 (13)31cos cos 3x x C -+
+ (14)6π- (15)3511
sin sin 35
x x C -+ (16)
3111
sin 4sin 2166448
x x x C -++ (17)42ln 21ln 2-+
9、简答题
(1)18 (2)
2
32
a π (3)23335,6a a ππ 10、计算下列曲线的弧长
(1)()()33
222113b a ??
+-+????
(2)8a (3)
(2ln 22a π??+???? 11、求下列微分方程的解
(1)10
10x
y
C -+= (2))cos 14
x y e =+ (3)2x
y x ye C += (4)3
2
2
0y y x -+= (5)()()32
22113y x x C ??
=+++????
(6)()1cos 1y x x
π=-+- (7)3
13y x x =++ (8)212c x y C e =
12、求下列微分方程的解
(1)312x
x y C e
C e -=+ (2)()42x y x e -=+ (3)()12cos2sin 2x y e C x C x =+
(4)()232
212122
x x
x y C e C e x x e =+-
+
13、简答题
(1)()1x y x e =
+ (2)()3123130,cos2sin2x y y y y e C x C x '''-+==+
(3)()3312,x
x x y C e
C e y x ax b e -*-=+=+
14、证明下列不等式
(1)略 (2)略
15、简答题
(1)1,e (2)0 (3)2,极大值 (4)凹区间(][),12,-∞?+∞,凸区间[]1,2;拐点
()21,,2,2
5??- ??
? (5).1,3,24,16a b c d ==-=-= (6)略 (7)略 (8)略
一、填空题(共6小题,每小题3分,共18分) 1. 由曲线2cos r θ=所围成的图形的面积是 π 。 2. 设由方程22x y =所确定的隐函数为)(x y y =,则2y dy dx x = - 。 3. 函数2 sin y x =的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为2 44 1()3 x x o x -+。 4. 1 1 dx =? 。 5. 函数x x y cos 2+=在区间?? ? ???20π,上的最大值为 6 π +。 6. 222222lim 12n n n n n n n n →∞?? +++ ?+++? ? = 4 π。 二、选择题(共7小题,每小题3分,共21分) 1. 设21cos sin ,0 ()1,0x x x f x x x x ? +=? ?+≥? ,则0x =是()f x 的 D 。 A .可去间断点 B .跳跃间断点 C .振荡间断点 D .连续点 2. 设()232x x f x =+-,则当0x →时,下列结论正确的是 B 。 A .是等价无穷小与x x f )( B .同阶但非等价无穷小与x x f )( C .高阶的无穷小是比x x f )( D .低阶的无穷小是比x x f )(
暨南大学《高等数学I 》试卷A 考生姓名: 学号: 3. 1 +∞=? C 。 A .不存在 B .0 C .2π D .π 4. 设()f x 具有二阶连续导数,且(0)0f '=,0 lim ()1x f x →''=-,则下列叙述正确的是 A 。 A .(0)f 是()f x 的极大值 B .(0)f 是()f x 的极小值 C .(0)f 不是()f x 的极值 D .(0)f 是()f x 的最小值 5.曲线2x y d t π-=?的全长为 D 。 A .1 B .2 C .3 D .4 6. 当,a b 为何值时,点( 1, 3 )为曲线3 2 y ax bx =+的拐点? A 。 A .32a =- ,92b = B. 32a =,9 2b =- C .32a =- ,92b =- D. 32a =,92 b = 7. 曲线2x y x -=?的凸区间为 D 。 A.2(,)ln 2-∞- B.2(,)ln 2-+∞ C.2(,)ln 2+∞ D.2(,)ln 2 -∞ 三、计算题(共7小题,其中第1~5题每小题6分, 第6~7题每小题8分,共46分) 1. 2 1lim cos x x x →∞?? ?? ? 解:()2 1 cos lim , 1 t t t x t →==原式令 )0 0( cos ln lim 2 0型t t t e →= (3分) t t t t e cos 2sin lim ?-→= 12 e - = (6分)
( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导. 2. ) 时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是 等价无穷小; (C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ,则( ). (A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值; (C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设 (A )22x (B )2 2 2x +(C )1x - (D )2x +. 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin - dx x x x . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y .
1. 若82lim =?? ? ??--∞→x x a x a x ,则_______.2ln 3- 2. =+++→)1ln()cos 1(1 cos sin 3lim 20x x x x x x ____.2 3 3.设函数)(x y y =由方程4ln 2y x xy =+所确定,则曲线)(x y y =在)1,1(处的切线方程为________.y x = 4. =-++∞→))1(sin 2sin (sin 1lim n n n n n n πππ Λ______.π2 5. x e y y -=-'的通解是____.x x e e y --=21C 二、选择题(每题4分) 1.设函数)(x f 在),(b a 内连续且可导,并有)()(b f a f =,则(D ) A .一定存在),(b a ∈ξ,使 0)(='ξf . B. 一定不存在),(b a ∈ξ,使 0)(='ξf . C. 存在唯一),(b a ∈ξ,使 0)(='ξf . D.A 、B 、C 均不对. 2.设函数)(x f y =二阶可导,且 ,)(),()(,0)(,0)(x x f dy x f x x f y x f x f ?'=-?+=?<''<', 当,0>?x 时,有(A ) A. ,0<>?dy y C. ,0
高等数学期末试卷 一、填空题(每题2分,共30分) 1.函数1 1 42-+ -= x x y 的定义域是 . 解. ),2[]2,(∞+--∞Y 。 2.若函数52)1(2 -+=+x x x f ,则=)(x f . 解. 62 -x 3.________________sin lim =-∞→x x x x 答案:1 正确解法:101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ,则=a _____, =b _____。 由所给极限存在知, 024=++b a , 得42--=a b , 又由23 4 12lim 2lim 22 22=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x ,则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x Θ, 即01)1)((lim 0=-=---→b a b e x a x x x , 1,0≠=∴b a 6.函数????? ≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x = 。 解:由)(x f 是分段函数,0=x 是)(x f 的分段点,考虑函数在0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim 01 sin lim 00 ==+=+-→→f x x x x x 所以函数)(x f 在0=x 处是间断的, 又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的,故函数)(x f 的间断点是0=x 。 7. 设()()()n x x x x y -??--=Λ21, 则() =+1n y (1)!n + 8.2 )(x x f =,则__________)1)((=+'x f f 。
《高数》试卷1(上) 一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分). 1.下列各组函数中,是相同的函数的是( ). (A )()()2ln 2ln f x x g x x == 和 (B )()||f x x = 和 ()2g x x = (C )()f x x = 和 ()()2 g x x = (D )()|| x f x x = 和 ()g x =1 2.函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续,则a =( ). (A )0 (B )1 4 (C )1 (D )2 3.曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为( ). (A )1y x =- (B )(1)y x =-+ (C )()()ln 11y x x =-- (D )y x = 4.设函数()||f x x =,则函数在点0x =处( ). (A )连续且可导 (B )连续且可微 (C )连续不可导 (D )不连续不可微 5.点0x =是函数4 y x =的( ). (A )驻点但非极值点 (B )拐点 (C )驻点且是拐点 (D )驻点且是极值点 6.曲线1 || y x = 的渐近线情况是( ). (A )只有水平渐近线 (B )只有垂直渐近线 (C )既有水平渐近线又有垂直渐近线 (D )既无水平渐近线又无垂直渐近线 7. 211 f dx x x ??' ???? 的结果是( ). (A )1f C x ?? -+ ??? (B )1f C x ?? --+ ??? (C )1f C x ?? + ??? (D )1f C x ?? -+ ??? 8. x x dx e e -+?的结果是( ). (A )arctan x e C + (B )arctan x e C -+ (C )x x e e C --+ ( D )ln()x x e e C -++ 9.下列定积分为零的是( ).
北京理工大学珠海学院 2010 ~ 2011学年第二学期《高等数学(A)2》期末试卷A (答案) 适用年级专业:2010级信息、计算机、机械与车、化工与材料学院各专业 一.选择填空题(每小题3分,共18分) 1.设向量 a =(2,0,-2),b = (3,-4,0),则a ?b = 分析:a ?b = 2 234 i j k -- = -6j – 8k – 8i = (-8,-6,-8) 2.设 u = 2 2 3 x xy y ++.则 2u x y ??? = 分析:u x ?? = 22x y +, 则2u x y ??? = 2' (2)x y += 2y 3.椭球面 2 2 2 2315x y z ++= 在点(1,-1,,2)处的切平面方程为 分析:由方程可得,2 2 2 (,,)2315F x y z x y z =++- ,则可知法向量n =( Fx, Fy, Fz ); 则有 Fx = 2x , Fy = 4y , Fz = 6z ,则过点(1,-1,,2)处的法向量为 n =(2,-4,,12) 因此,其切平面方程为:2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ,即 26150x y z -+-= 4.设D :y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则 (2)D y d σ+=??___________ 分析:画出平面区域D (图自画),观图可得, 2 (2)(2)8x x D y d dx y dy σ-+=+=???? 5.设L :点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则 2L x ds =? _________ 分析:依题意可知:L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧,则有 1 1 2 L x ds x x === ? ?? 6.D 提示:级数 1 n n u ∞ =∑发散,则称级数 1 n n u ∞ =∑条件收敛 二.解答下列各题(每小题6分,共36分)
大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . (A )(0)2f '= (B )(0)1f '=(C )(0)0f '= (D )()f x 不可导. 2. )时( ,则当,设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. (A )()()x x αβ与是同阶无穷小,但不是等价无穷小; (B )()()x x αβ与是等价无 穷小; (C )()x α是比()x β高阶的无穷小; (D )()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?,其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x , 则( ). (A )函数()F x 必在0x =处取得极大值; (B )函数()F x 必在0x =处取得极小值; (C )函数()F x 在0x =处没有极值,但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点; (D )函数()F x 在0x =处没有极值,点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数,且设 (A )22x (B )2 2 2x +(C )1x - (D )2x +. 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin - dx x x x . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定,求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. . 求,, 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续, =?1 ()()g x f xt dt ,且 →=0 () lim x f x A x ,A 为常数. 求'() g x
网络远程教育专升本高等数学复习题库和答案 一、选择题 1. 下列函数中,表达式为基本初等函数的为( ). A: { 2 20 21 x x y x x >= ≤+ B: 2cos y x x =+ C: y x = D: sin y = 2. 下列选项中,满足()()f x g x =的是( ). A: ()cos , ()f x x g x == B: (), ()f x x g x == C: ()(), ()arcsin sin f x x g x x == D: 2 ()ln , ()2ln f x x g x x == 3. 设)(x f 的定义域为[]1,0,则(21)f x +的定义域为( ). A: 1 ,02??- ???? B: 1,02??- ??? C: 1,02??- ??? D: 1,02??-???? 4. 函数)(x f y =的定义域为]1,0[,则函数)(2x f y =的定义域为( ). A: [0,1]; B: )1,0(; C: [-1, 1] D: (-1, 1). 5. 设)(x f 的定义域为[]1,0,则)12(-x f 的定义域为( ). A: ? ? ????1,21 B: 1,12?? ??? C: 1,12?????? D: 1,12?? ??? 6. 函数4 339 9)(2 2<<≤???? ?--=x x x x x f 的定义域为( ). A: [-3, 4] B: (-3, 4) C: [-4, 4] D: (-4, 4) 7. 3 1lim (1)n n →∞ + =( ). A: 1 B: E C: 3 e D: ∞
《高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时,)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 ( ) A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的( ) A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中,)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有( ). A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是( ) A )、2ln 2x x x dx C =+? B )、sin cos tdt t C =-+? C )、 2arctan 1dx dx x x =+? D )、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是( ). A )、()()x f dx x f dx d b a =??????? B )、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C )、()()x f dx x f dx d x a =??????? D )、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. ln(1)lim x x t dt x →+=?( ) A )、0 B )、1 C )、2 D )、4 7. 设bx x f sin )(=,则=''?dx x f x )(( ) A )、 C bx bx b x +-sin cos B ) 、C bx bx b x +-cos cos C )、C bx bx bx +-sin cos D )、C bx b bx bx +-cos sin
大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1.. (A)(B)(C)(D)不可导. 2.. (A)是同阶无穷小,但不是等价无穷小;(B)是等价无穷小; (C)是比高阶的无穷小;(D)是比高阶的无穷小. 3.若,其中在区间上二阶可导且,则(). (A)函数必在处取得极大值; (B)函数必在处取得极小值; (C)函数在处没有极值,但点为曲线的拐点; (D)函数在处没有极值,点也不是曲线的拐点。 4. (A)(B)(C)(D). 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. . 6. . 7. . 8. . 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9.设函数由方程确定,求以及. 10. 11. 12.设函数连续,,且,为常数. 求并讨论在处的连续性. 13.求微分方程满足的解. 四、解答题(本大题10分) 14.已知上半平面内一曲线,过点,且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此 曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程. 五、解答题(本大题10分) 15.过坐标原点作曲线的切线,该切线与曲线及x轴围成平面图形D. (1)求D的面积A;(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共8分) 16.设函数在上连续且单调递减,证明对任意的,. 17.设函数在上连续,且,.证明:在内至少存在两个不同的点,使(提示: 设) 解答 一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)
1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空题(本大题有4小题,每小题4分,共16分) 5. . 6.. 7. . 8.. 三、解答题(本大题有5小题,每小题8分,共40分) 9.解:方程两边求导 , 10.解: 11.解: 12.解:由,知。 ,在处连续。 13.解: , 四、解答题(本大题10分) 14.解:由已知且, 将此方程关于求导得 特征方程:解出特征根: 其通解为 代入初始条件,得 故所求曲线方程为: 五、解答题(本大题10分) 15.解:(1)根据题意,先设切点为,切线方程: 由于切线过原点,解出,从而切线方程为: 则平面图形面积 (2)三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1,则 曲线与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2 D绕直线x = e旋转一周所得旋转体的体积 六、证明题(本大题有2小题,每小题4分,共12分) 16.证明: 故有: 证毕。
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中南大学现代远程教育课程考试复习题及参考答案 高等数学 一、填空题 1.设2 )(x x a a x f -+=,则函数的图形关于 对称。 2.若???<≤+<<-=2 0102sin 2x x x x y ,则=)2(π y . 3. 极限lim sin sin x x x x →=0 21 。 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ,则=a _____, =b _____。 5.已知0→x 时,1)1(3 1 2-+ax 与1cos -x 是等价无穷小,则常数a = 6.设)(22y z y z x ?=+,其中?可微,则y z ??= 。 7.设2e yz u x =,其中),(y x z z =由0=+++xyz z y x 确定的隐函数,则 =??) 1,0(x u 。 8.设??,),()(1 f y x y xy f x z ++=具有二阶连续导数,则 =???y x z 2 。 9.函数y x xy xy y x f 22),(--=的可能极值点为 和 。 10.设||)1(sin ),(22xy x y x y x f -+=则_____________)0,1('=y f . 11.=?xdx x 2sin 2 . 12.之间所围图形的面积为上曲线在区间x y x y sin ,cos ],0[==π . 13.若2 1 d e 0= ? ∞ +-x kx ,则_________=k 。 14.设D:122≤+y x ,则由估值不等式得 ??≤++≤D dxdy y x )14(22
大学高等数学高数期末考 试试卷及答案 Last updated on the afternoon of January 3, 2021
华南农业大学2010/2011学年第一学期经济数学期中考试试卷 一、选择题(每题3分,共30分) 1、设函数3()1f x x =-,则()f x -=() 31x -31x --31x -+31x +、函数y = A .3x < B .3x ≤ C .4x < D .4x ≤ 3、()中的两个函数相同. A .()f x x =,()g t =.2()lg f x x =,()2lg g x x = C .21()1x f x x -=+,()1g x x =- D .sin 2()cos x f x x =,()2sin g x x = 4、下列函数中()是奇函数。 A .3sin()4x x - B .1010x x -+ C .2cos x x - D . sin x x 5、1 lim(1)n n n →∞-=() A .1 B .2e C .1e - D .∞+ 6、下列函数在给定变化过程中是无穷大量的是() 1 sin (0)x x x →.(0)x e x → ln (0)x x +→.sin ()x x x →∞ 7、设10 ()10x e x f x x x ?+≤=?->?,则在0=x 处,)(x f () A .连续 B .左、右极限不存在 C .极限存在但不连续 D .左、右极限存在但不相等 8、若曲线()f x 在点0x x =处的切线平行于直线234x y +=,则0()f x '=() A .2 B .3 C . 23D .23 - 9、设()x f x e =,则[(sin )]f x '=()。 A .x e B .sin x e C .sin cos x x e D .sin sin x x e
《高等数学》试卷(同济六版上) 一、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分) 1、若函数x x x f =)(,则=→)(lim 0 x f x ( ). A 、0 B 、1- C 、1 D 、不存在 2、下列变量中,是无穷小量的为( ). A 、1ln (0)x x +→ B 、ln (1)x x → C 、cos (0)x x → D 、22(2)4 x x x -→- 3、满足方程0)(='x f 的x 是函数)(x f y =的( ). A 、极大值点 B 、极小值点 C 、驻点 D 、间断点 4、函数)(x f 在0x x =处连续是)(x f 在0x x =处可导的( ). A 、必要但非充分条件 B 、充分但非必要条件 C 、充分必要条件 D 、既非充分又非必要条件 5、下列无穷积分收敛的是( ). A 、?+∞0 sin xdx B 、dx e x ?+∞-0 2 C 、dx x ? +∞ 1 D 、dx x ?+∞01 二、填空题(本题共5小题,每小题3分,共15分) 6、当k= 时,2 , 0(), x e x f x x k x ?≤?=?+>??在0=x 处连续. 7、设x x y ln +=,则 _______________dx dy =. 8、曲线x e y x -=在点(0,1)处的切线方程是 . 9、若?+=C x dx x f 2sin )(,C 为常数,则()____________f x = 10、定积分dx x x x ?-+5 54231 sin =____________.
三、计算题(本题共6小题,每小题6分,共36分) 11、求极限 x x x 2sin 2 4lim -+→. 12、求极限 2 cos 1 2 0lim x t x e dt x -→? . 13、设)1ln(25x x e y +++=,求dy . 14、设函数)(x f y =由参数方程? ??=+=t y t x arctan )1ln(2所确定,求dy dx 和22dx y d .
《高等数学》 专业 年级 学号 姓名 一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.(每题2分,共20分) ( )1. 收敛的数列必有界. ( )2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. ( )3. 闭区间上的间断函数必无界. ( )4. 单调函数的导函数也是单调函数. ( )5. 若)(x f 在0x 点可导,则)(x f 也在0x 点可导. ( )6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导,则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线. ( )7. 若)(x f 在[b a ,]上可积,则)(x f 在[b a ,]上连续. ( )8. 若),(y x f z =在(00,y x )处的两个一阶偏导数存在,则函数),(y x f z =在(00,y x )处可微. ( )9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. ( )10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数,且 1)0()0(+'=''f f , 则 )0(f 为)(x f 的一个极小值. 二、填空题.(每题2分,共20分) 1. 设2 )1(x x f =-,则=+)1(x f . 2. 若1 212)(11+-= x x x f ,则=+→0 lim x . 3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则 =')3(g . 4. 设y x xy u + =, 则=du .
5. 曲线3 26y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为 . 6. 设)(x f 为可导函数,)()1()(,1)1(2 x f x f x F f +==',则=')1(F . 7. 若 ),1(2)(0 2x x dt t x f +=? 则=)2(f . 8. x x x f 2)(+=在[0,4]上的最大值为 . 9. 广义积分 =-+∞? dx e x 20 . 10. 设D 为圆形区域=+≤+??dxdy x y y x D 5 2 2 1, 1 . 三、计算题(每题5分,共40分) 1. 计算)) 2(1 )1(11(lim 222n n n n ++++∞→Λ. 2. 求10 3 2 )10()3()2)(1(++++=x x x x y ΛΛ在(0,+∞)内的导数. 3. 求不定积分 dx x x ? -) 1(1. 4. 计算定积分 dx x x ? -π 53sin sin . 5. 求函数2 2 3 24),(y xy x x y x f -+-=的极值. 6. 设平面区域D 是由x y x y == ,围成,计算dxdy y y D ?? sin . 7. 计算由曲线x y x y xy xy 3,,2,1====围成的平面图形在第一象限的面积. 8. 求微分方程y x y y 2- ='的通解. 四、证明题(每题10分,共20分) 1. 证明:tan arc x = )(+∞<<-∞x .
《高等数学-广东工业大学》 一.选择题 1. 当0→x 时,)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 ( ) A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的( ) A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中,)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有( ). A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是( ) A )、2l n 2x x x dx C =+? B )、s i n c o s t d t t C =-+ ? C )、 2a r c t a n 1dx dx x x =+? D )、211 ()dx C x x - =-+? 5. 下列等式不正确的是( ). A )、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B )、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=????? ?? C )、()()x f dx x f dx d x a =??????? D )、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?( ) A )、0 B )、1 C )、2 D )、4 7. 设bx x f sin )(=,则=''?dx x f x )(( ) A )、 C bx bx b x +-sin cos B )、C bx bx b x +-cos cos C )、C bx bx bx +-sin cos D )、C bx b bx bx +-cos sin
第一学期高等数学期末考试试卷答案 一.计算题(本题满分35分,共有5道小题,每道小题7分), 1.求极限()x x x x x 30 sin 2cos 1lim -+→. 解: ()30303012cos 1lim 12cos 12lim sin 2cos 1lim x x x x x x x x x x x x x x -??? ??+=????????-??? ??+=-+→→→ 20302cos 1ln 0 3 2cos 1ln 0 2cos 1ln lim 2cos 1ln lim 2 cos 1ln 1lim 1 lim x x x x x x x e x e x x x x x x x x +=+?+-=-=→→?? ? ??+→?? ? ??+→ ()4 1 2cos 1sin lim 0-=+-=→x x x x . 2.设0→x 时,()x f 与2 2 x 是等价无穷小, ()?3 x dt t f 与k Ax 等价无穷小,求常数k 与A . 解: 由于当0→x 时, ()? 3 x dt t f 与k Ax 等价无穷小,所以()1lim 3 =?→k x x Ax dt t f .而 ()() () 1013 2 3201 3232 3 230132 3 00061lim 6lim 3122lim 31lim lim 3 -→--→-→-→→=?=??????? ? ? ???=??=?k x k x k x k x k x x Akx Akx x x Akx x x x x f Akx x x f Ax dt t f 所以,161lim 10=-→k x Akx .因此,6 1 ,1==A k . 3.如果不定积分 ()() ?++++dx x x b ax x 2 2 211中不含有对数函数,求常数a 与b 应满足的条件. 解:
大一高等数学期末考试试卷 (一) 一、选择题(共12分) 1. (3分)若2,0, (),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. (3分)已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为( ). (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. (3 分)定积分22 π π -?的值为( ). (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. (3分)若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题(共12分) 1.(3分) 平面上过点(0,1),且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. (3分) 1 2 4 1(sin )x x x dx -+=? . 3. (3分) 2 1lim sin x x x →= . 4. (3分) 3 2 23y x x =-的极大值为 . 三、计算题(共42分) 1. (6分)求2 ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. (6 分)设1 y x = +求.y ' 3. (6分)求不定积分2ln(1).x x dx +?
4. (6分)求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ? ≤? =+??+>? 5. (6分)设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt + =?? 所确定,求.dy 6. (6分)设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. (6分)求极限3lim 1.2n n n →∞? ?+ ?? ? 四、解答题(共28分) 1. (7分)设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. (7分)求由曲线cos 2 2y x x π π?? =- ≤≤ ?? ? 与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋 转体的体积. 3. (7分)求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. (7 分)求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().2 2 b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''= ++ --? ? (二) 一、 填空题(每小题3分,共18分) 1.设函数()2 312 2 +--= x x x x f ,则1=x 是()x f 的第 类间断点. 2.函数()2 1ln x y +=,则= 'y . 3. =? ? ? ??+∞→x x x x 21lim . 4.曲线x y 1 = 在点?? ? ??2,21处的切线方程为 .
《高等数学(一)》期末复习题 一、选择题 1、极限)x x →∞ 的结果是 ( C ) (A )0 (B ) ∞ (C ) 1 2 (D )不存在 2、方程3310x x -+=在区间(0,1)内 ( B ) (A )无实根 (B )有唯一实根 (C )有两个实根 (D )有三个实根 3、)(x f 是连续函数, 则 ?dx x f )(是)(x f 的 ( C ) (A )一个原函数; (B) 一个导函数; (C) 全体原函数; (D) 全体导函数; 4、由曲线)0(sin π<<=x x y 和直线0=y 所围的面积是 ( C ) (A )2/1 (B) 1 (C) 2 (D) π 5、微分方程2x y ='满足初始条件2|0==x y 的特解是 ( D ) (A )3x (B )331x + (C )23+x (D )23 1 3+x 6、下列变量中,是无穷小量的为( A ) (A) )1(ln →x x (B) )0(1ln +→x x (C) cos (0)x x → (D) )2(4 2 2→--x x x 7、极限011 lim(sin sin )x x x x x →- 的结果是( C ) (A )0 (B ) 1 (C ) 1- (D )不存在 8、函数arctan x y e x =+在区间[]1,1-上 ( A ) (A )单调增加 (B )单调减小 (C )无最大值 (D )无最小值 9、不定积分 ? +dx x x 1 2 = ( D ) (A)2arctan x C + (B)2ln(1)x C ++ (C)1arctan 2x C + (D) 21 ln(1)2x C ++ 10、由曲线)10(<<=x e y x 和直线0=y 所围的面积是 ( A ) (A )1-e (B) 1 (C) 2 (D) e 11、微分方程 dy xy dx =的通解为 ( B )
《高等数学》试题30 考试日期:2004年7月14日 星期三 考试时间:120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时,)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 ( ) A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的( ) A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中,)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有( ). A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是( ) A )、2ln 2x x x dx C =+? B )、sin cos tdt t C =-+? C )、 2arctan 1dx dx x x =+? D )、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是( ). A )、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B )、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C )、()()x f dx x f dx d x a =??????? D )、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?( ) A )、0 B )、1 C )、2 D )、4 7. 设bx x f sin )(=,则=''?dx x f x )(( ) A )、 C bx bx b x +-sin cos B ) 、C bx bx b x +-cos cos C )、C bx bx bx +-sin cos D )、C bx b bx bx +-cos sin
一、填空题(共21分 每小题3分) 1.曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为12 2++=y x z . 2.直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ? ??+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为 2π. 3.设函数2 2232),,(z y x z y x f ++=,则= )1,1,1(grad f }6,4,2{. 4.设级数 ∑∞ =1 n n u 收敛,则=∞ →n n u lim 0 . 5.设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10 ,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处 收敛于 2 1π+. 6.全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =. 7.写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式 x axe y =*. 二、解答题(共18分 每小题6分) 1.求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 20 32z y x z y x 的平面方程. 解:设所求平面的法向量为n ,则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2.将积分 ???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分,其中Ω是曲面 )(22 2y x z +-=及22y x z += 所围成的区域. 解: πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分) ??? Ω v z y x f d ),,(? ??-=2 210 20 d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分)