人教版九年级数学下二次函数最全的中考二次函数知识点总结及经典习题
人教版九年级数学二次函数在中考中知识点总结
一、相关概念及定义
1 二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，
，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，
可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：
（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．
（2）a b c ，
，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数各种形式之间的变换
1二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2
的形式，其中
a
b a
c k a b h 4422
-=-=，.
2 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；
③()2
h x a y -=；④()k h x a y +-=2
；⑤c bx ax y ++=2. 三、二次函数解析式的表示方法
1 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；
2 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；
3 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.
4 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法
1 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.
一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，
、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，
，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
2 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.
五、二次函数2ax y =的性质
六、二次函数2y ax c =+的性质
七、二次函数
y a x h =-的性质：
八、二次函数
y a x h k =-+的性质
九、抛物线
y ax bx c =++的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
1 a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0 a 相等，抛物线的开口大小、形状相同. 2对称轴：平行于y 轴（或重合）的直线记作2b x a =- .特别地，y 轴记作直线0=x . 3顶点坐标：），（a b a c a b 4422 -- 4顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 十、抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,与函数图像的关系 1 二次项系数a 二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠． ⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的 大小决定开口的大小． 2一次项系数b 在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下， 当0b >时，02b a - <，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a ->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02b a ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a -<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． 总结： 3常数项c ⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 十一、求抛物线的顶点、对称轴的方法 1公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+??? ? ? +=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--， 对称轴是直线a b x 2-=. 2配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2 的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =. 3运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 十二、用待定系数法求二次函数的解析式 1一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. 2顶点式：()k h x a y +-=2 .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 3交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 十三、直线与抛物线的交点 1y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ). 2与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). 3抛物线与x 轴的交点:二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点?0>??抛物线与x 轴相交； ②有一个交点（顶点在x 轴上）?0=??抛物线与x 轴相切； ③没有交点?0 可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标 相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根. 5 一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组 2 y kx n y ax bx c =+??=++? 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时?l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时?l 与G 只有一个交点；③方程组无解时?l 与G 没有交点. 6抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故 a c x x a b x x = ?-=+2121,()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ?=-=-?? ? ??-=--=-=-=44422 212 2122121 十四、二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1关于x 轴对称 2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =---； 2关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++； 3关于原点对称 2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =-+-； 4关于顶点对称 2 y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =--+． 5关于点()m n ， 对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2 22y a x h m n k =-+-+- 总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发 生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 十五、二次函数图象的平移 1.平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2平移规律 在原有函数的基础上 “h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字 “左加右减，上加下减”． 十六、根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。 1.三点式。 （1）已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （3，0），B （32，0），C （0，-3）三点，求抛物线的解析式。 （2）已知抛物线y=a(x-1)２+4 ， 经过点A （2，3），求抛物线的解析式。 2.顶点式。 （1）已知抛物线y=x 2-2ax+a 2+b 顶点为A （2，1），求抛物线的解析式。 （1）已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。 3.交点式。 （1）已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。 （2）已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=2 1 a(x-2a)(x-b) 的解析式。 4.定点式。 （1）在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线222 5212-+-+-=a x a x y 经过x 轴上一定点Q ，直线2)2(+-=x a y 经过点Q,求抛物线的解析式。 （2）抛物线y= x 2 +(2m-1)x-2m 与x 轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。 （3） 抛物线y=ax 2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A ，求抛物线的解析式。 5.平移式。 （1）把抛物线y= -2x 2 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。 （2）抛物线32-+-=x x y 向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式. 6.距离式。 （1）抛物线y=ax 2+4ax+1(a ﹥0)与x 轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。 （2）已知抛物线y=m x 2+3mx-4m(m ﹥0)与 x 轴交于A 、B 两点，与 轴交于C 点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。 7.对称轴式。 （1）抛物线y=x 2-2x+(m 2-4m+4)与x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y 轴距离的2倍，求抛物线的解析式。 （2）已知抛物线y=-x 2+ax+4, 交x 轴于A,B （点A 在点B 左边）两点，交 y 轴 于点C,且OB-OA=4 3 OC ，求此抛物线的解析式。 8.对称式。 （1）平行四边形ABCD 对角线AC 在x 轴上，且A （-10，0），AC=16，D （2，6）。AD 交y 轴于E ，将三角形ABC 沿x 轴折叠，点B 到B 1的位置，求经过A,B,E 三点的抛物线的解析式。 （2）求与抛物线y=x 2+4x+3关于y 轴（或x 轴）对称的抛物线的解析式。 9.切点式。 （1）已知直线y=ax-a 2(a≠0) 与抛物线y=mx 2 有唯一公共点，求抛物线的解析式。 （2） 直线y=x+a 与抛物线y=ax 2 +k 的唯一公共点A （2，1）,求抛物线的解析式。 10.判别式式。 （1）已知关于X 的一元二次方程（m+1）x 2+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线y=-x 2+(m+1)x+3解析式。 （2）已知抛物线y=(a+2)x 2-(a+1)x+2a 的顶点在x 轴上,求抛物线的解析式。 二次函数知识点、考点、典型试题集锦(带详细解析答案) 一、中考要求： 1．经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系． 2．能用表格、表达式、图象表示变量之间的二次函数关系，发展有条理的思考和语言表达能力；能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系． 3．会作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，逐步积累研究函数性质的经验． 4．能根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标． 5．理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根． 6．能利用二次函数解决实际问题，能对变量的变化趋势进行预测． 二、中考卷研究 (一)中考对知识点的考查： : (二)中考热点： 二次函数知识是每年中考的重点知识，是每卷必考的主要内容，本章主要考查二次函数的概念、图象、性质及应用，这些知识是考查学生综合能力，解决实际问题的能力．因此函数的实际应用是中考的热点，和几何、方程所组成的综合题是中考的热点问题． 三、中考命题趋势及复习对策 二次函数是数学中最重要的内容之一，题量约占全部试题的10％～15％，分值约占总分的10％～15％，题型既有低档的填空题和选择题，又有中档的解答题，更有大量的综合题，近几年中考试卷中还出现了设计新颖、贴近生活、反映时代特征的阅读理解题、开放探索题、函数应用题，这部分试题包括了初中代数的所有数学思想和方法，全面地考查学生的计算能力，逻辑思维能力，空间想象能力和创造能力。 针对中考命题趋势，在复习时应首先理解二次函数的概念，掌握其性质和图象，还应注重其应用以及二次函数与几何图形的联系，此外对各种函数的综合应用还应多加练习. ★★★(I)考点突破★★★ 考点1：二次函数的图象和性质 一、考点讲解： 1．二次函数的定义：形如c bx ax y ++=2 （a ≠0，a ，b ，c 为常数）的函数为二次函数． 2．二次函数的图象及性质： ⑴ 二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y 轴；当a ＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a ＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越小，抛物线开口越大．y=a(x －h)2＋k 的对称轴是x=h ，顶点坐标是（h ，k ）。 ⑵ 二次函数c bx ax y ++=2的图象是一条抛物线．顶点为（－2b a ，244ac b a -），对称轴x=－2b a ； 当a ＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x ＞－2b a ，y 随x 的增大而增大，x ＜－ 2b a ，y 随x 的增大而减小；当a ＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点，且x ＞－2b a ，y 随x 的增大而减小，x ＜－ 2b a ，y 随x 的增大而增大． 注意：分析二次函数增减性时，一定要以对称轴为分界线。首先要看所要分析的点是否是在对称轴同侧还是异侧，然后再根据具体情况分析其大小情况。 解题小诀窍：二次函数上两点坐标为（y x ,1），（y x ,2），即两点纵坐标相等，则其对称轴为直线2 21x x x +=。 ⑶ 当a ＞0时，当x=－2b a 时，函数有最小值244ac b a -；当a ＜0时，当 x=－2b a 时，函数有 最大值244ac b a -。 3．图象的平移：将二次函数y=ax 2 (a ≠0）的图象进行平移，可得到y=ax 2＋c ，y=a(x －h)2，y=a(x －h)2＋k 的图象． ⑴ 将y=ax 2的图象向上(c ＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到y=ax 2＋c 的图象．其顶点是（0,c ），形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax 2相同． ⑵ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，即可得到y=a(x －h)2的图象．其顶点是（h ，0），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同． ⑶ 将y=ax 2的图象向左（h<0）或向右(h ＞0）平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位，即可得到y=a(x －h)2 +k 的图象，其顶点是（h ，k ），对称轴是直线x=h ，形状、开口方向与抛物线y=ax 2相同． 注意：二次函数y=ax 2 与y =－ax 2 的图像关于x 轴对称。平移的简记口诀是“上加下减，左加右减”。 一、 经典考题剖析： 【考题１】.抛物线y =-4(x +2)2+5的对称轴是______ 【考题2】函数y= x 2－4的图象与y 轴的交点坐标是（ ） A.（2，0） B.（－2，0） C.（0，4） D.（0，－4） 【考题３】在平面直角坐标系内，如果将抛物线2 2x y =向右平移2个单位，向下平移3个单位，平移后二次函数的关系式是（） Ａ．3)2(22 +-=x y Ｂ．3)2(22++=x y Ｃ．3)2(22-+=x y Ｄ．3)2(22--=x y 答案：Ｂ。 【考题４】（2009、贵阳）已知抛物线2 1 ( 4)3 3 y x =--的部分图象（如图1-2-1），图象再次与x 轴相交时的坐标是（） A．（5，0） B.（6，0） C．（7，0） D.（8，0） 解：C 点拨：由2 1 (4)3 3 y x =--，可知其对称轴为x=4,而图象与x轴已交于(1，0)，则与x 轴的另一交点为(7，0)。参考解题小诀窍。 【考题５】（深圳）二次函数 c bx ax y+ + =2 图像如图所示，若点Ａ（１， 1 y），Ｂ（２， 2 y）是它的图像上两点，则 1 y与 2 y的大小关系是（） Ａ． 1 y＜ 2 yＢ． 1 y＝ 2 y Ｃ． 1 y＞ 2 yＤ．不能确定 答案：Ｃ。点Ａ，Ｂ均在对称轴右侧。 三、针对性训练：( 分钟) (答案：) 1．已知直线y=x与二次函数y=ax2－2x－1的图象的一个交点M的横标为1，则a的值为（） A、2 B、1 C、3 D、 4 2．已知反比例函数y= k x的图象在每个象限内y随x的增大而增大，则二次函数y=2kx 2－x+k2的图象大致为图1－2－3中的（） ｘ＝－３ y O 4．抛物线y=x 2－４x ＋5的顶点坐标是（ ） A ．（－2，1） B ．（－2，－1） C ．（2，l ） D ．（2，－1） ５．二次函数 y=2（x －3）2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（ ） A ．开口向下，对称轴x =－3，顶点坐标为（3,5） B ．开口向下，对称轴x ＝3，顶点坐标为（3，5） C ．开口向上，对称轴x =－3，顶点坐标为(－3,5) D ．开口向上，对称轴x =－3，顶点(－3,－5） ６．二次函数c bx x y ++=2 的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（ ） A ． 4=x B. 3=x C. 5-=x D. 1-=x 7．在平面直角坐标系内，如果将抛物线2 3x y = 向右平移3个单位，向下平移4个单位，平移后二次函数的关系式是（ ） Ａ．4)3(32 +-=x y Ｂ．4)3(32++=x y Ｃ．4)3(32-+=x y Ｄ．4)3(32--=x y 8..已知，点A （－1，1y ），B （2- ，2y ），C （－5，3y ）在函数2 x y -=的图像上，则 1y ，2y ，3y 的大小关系是（） A . 1y ＞2y ＞3y B. 1y ＞3y ＞2y C. 3y ＞2y ＞1y D. 2y ＞1y ＞3y 9．已知二次函数c bx ax y ++=2 1(a ≠0）与一次函数y 2=kx+m(k ≠0）的图象相交于点A （－ 2，4）,B(8，2)，如图1－2－7所示，能使y 1＞y 2成立的x 取值范围是_______ 10.（襄樊）抛物线c bx x y ++-=2 的图像如图所示，则抛物线的解析式为_______。 11.若二次函数c bx x y ++-=2 的顶点坐标是（2，－1），则b=_______，c=_______。 y O x 3 x=1 12直线y=x+2与抛物线y=x 2 +2x 的交点坐标为____． 13读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化． 例如：由抛物线22221y x mx m m =-++-①，有y=2()21x m m -+-②，所以抛物线的顶点坐 标为（m ，2m －1），即? ??-==12, m y m x ③④。 当m 的值变化时，x 、y 的值随之变化，因而y 值也随x 值的变化而变化，将③代人④， 得y=2x —1l ⑤．可见，不论m 取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y 和横坐标x 都满足y=2x －1，回答问题：（1）在上述过程中，由①到②所用的数学方法是________，其中运用了_________公式，由③④得到⑤所用的数学方法是______；（2）根据阅读材料提供的方法，确定抛物线2 2 2231y x mx m m =-+-+顶点的纵坐标与横坐标x 之间的关系式_________. 14抛物线经过第一、三、四象限，则抛物线的顶点必在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 15 已知M 、N 两点关于 y 轴对称，且点 M 在双曲线 y= 1 2x 上，点 N 在直线上，设点M 的坐标为(a ，b)，则抛物线y=－abx 2+(a ＋b ）x 的顶点坐标为___. 16当b ＜0时，一次函数y=ax+b 和二次函数y=ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是图1－2－9中的（ ） 考点2：二次函数的图象与系数的关系 一、考点讲解： 1、a 的符号：a 的符号由抛物线的开口方向决定．抛物线开口向上，则a ＞0；抛物线开口向下，则a ＜0． 2、b 的符号由对称轴决定，若对称轴是y 轴，则b=0；若抛物线的顶点在y 轴左侧，顶点的横坐标－2b a ＜0，即2b a ＞0，则a 、b 为同号；若抛物线的顶点在y 轴右侧，顶点的横坐标－ 2b a ＞0，即2b a ＜0．则a 、b 异号．间“左同右异”． 3．c 的符号：c 的符号由抛物线与y 轴的交点位置确定．若抛物线交y 轴于正半，则c ＞0，抛物线交y 轴于负半轴．则c ＜0；若抛物线过原点，则c=0． 4．△的符号：△的符号由抛物线与x 轴的交点个数决定．若抛物线与x 轴只有一个交点，则△=0；有两个交点，则△＞0．没有交点，则△＜0 ． 5、a+b+c 与a －b+c 的符号：a+b+c 是抛物线c bx ax y ++=2 (a ≠0）上的点(1，a+b+c ）的纵 坐标，a －b+c 是抛物线c bx ax y ++=2 (a ≠0）上的点（－1，a －b ＋c ）的纵坐标．根据点的位置，可确定它们的符号. 二、经典考题剖析： 【考题1】（2009、潍坊）已知二次函数c bx ax y ++=2 的图象如图 l －2－2所示，则a 、b 、 c 满足（ ） A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＜0 C ．a ＜0，b ＞0，c ＞0 D ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 解：A 点拨：由抛物线开口向下可知a ＜0；与y 轴交于正半轴可知c ＞0；抛物线的对称轴在y 轴左侧，可知－ 2b a ＜0，则b ＜0．故选A ． 【考题2】（2009、天津）已知二次函数c bx ax y ++=2 (a≠0）且a ＜0，a －b+c ＞0，则一定 有（ ） A ．b 2－4ac ＞0 B ．b 2－4ac ＝0 C ．b 2－4ac ＜0 D ．b 2－4ac≤0 解：A 点拨：a ＜0，抛物线开口向下，c bx ax y ++=2 经过（－1，a －b+c ）点，因为a －b+c ＞0，所以（－1，a －b+c ）在第二象限，所以抛物线与x 轴有两个交点，所以b 2－4ac ＞0，故选A ． 【考题３】（2009、重庆）二次函数c bx ax y ++=2 的图象如图1－2－10，则 点（b ，c a ）在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解： 点拨：抛物线开口向下，所以a ＜0, 顶点在y 轴右侧，a 、b 为异号，所以b ＞0，抛物线交y 轴于正半轴，所以c ＞0，所以c a ＜0，所以 M 在第四象限． 三、针对性训练：( 60分钟) 1．已知函数c bx ax y ++=2 的图象如图1－2－11所示，给出下列关于系数a 、b 、c 的不等式：①a ＜0，②b ＜0，③c ＞0，④2a ＋b ＜0，⑤a ＋b ＋c ＞0．其中正确的不等式的序号为___________- 2．已知抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴交点的横坐标为－1，则a ＋c=_________. 3．抛物线c bx ax y ++=2 中，已知a ：b ：c=l ：2：3，最小值为6，则此抛物线的解析式为 ____________ 4．已知二次函数的图象开口向下，且与y 轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数解析式： _______________. 5．抛物线c bx ax y ++=2 如图1－2－12 所示，则它关于y 轴对称的抛物线的解析式是___________. 6．若抛物线过点(1，0)且其解析式中二次项系数为1，则它的解析式为___________．（任写一个） 7．已知二次函数c bx ax y ++=2 的图象与x 轴交于点（－2，0），(x 1，0)且1＜x 1＜2，与y·轴正半轴的交点连点(0，2）的下方，下列结论：①a ＜b ＜0；②2a+c ＞0；③4a+c< 0，④2a －b+l ＞0．其中的有正确的结论是（填写序号）__________． 8．若二次函数c bx ax y ++=2 的图象如图，则ac_____0（“＜”“＞”或“=”） 第8题图 9．二次函数 c bx ax y ++=2的图象如图 1－2－14所示，则下列 关于a 、b 、c 间的关系判断正确的是（） A ．ab ＜0 B 、bc ＜0 C ．a+b ＋c ＞0 D ．a －b 十c ＜0 10．抛物线c bx ax y ++=2 （a ＞0）的顶点在x 轴上方的条件是（ ） A ．b 2－4ac ＜0 B ．b 2－4ac ＞ 0 C ．b 2－4ac ≥0 D ． c ＜0 11 二次函数⑴y=3x 2；⑵y= 23 x 2；⑶y= 4 3 x 2的图象的开口大小顺序应为（ ） A ．（1）＞（2）＞（3） B ．（1）＞（3）＞（2） C ．（2）＞（3）＞（1） D ．（2）＞（1）＞（3） 考点3：二次函数解析式求法 一、考点讲解： 1．二次函数的三种表示方法： ⑴表格法：可以清楚、直接地表示出变量之间的数值对应关系； ⑵图象法：可以直观地表示出函数的变化过程和变化趋势； ⑶表达式：可以比较全面、完整、简洁地表示出变量之间的关系． 2．二次函数表达式的求法： ⑴一般式法：若已知抛物线上三点坐标，可利用待定系数法求得c bx ax y ++=2 ；将已知的三个点的坐标分别代入解析式，得到一个三元一次方程组，解这个方程组即可。 ⑵顶点式法：若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程，则可采用顶点式：2 ()y a x h k =-+其中顶点为(h ，k)，对称轴为直线x=h ； ⑶交点式法：若已知抛物线与x 轴的交点坐标或交点的横坐标，则可采用交点式： 12()()y a x x x x =--,其中与x 轴的交点坐标为（x 1，0），（x 2，0）。 解题小诀窍：在求二次函数解析式时，要灵活根据题目给出的条件来设解析式。例如，已知二次函数的顶点在坐标原点可设2 ax y =；已知顶点（0，c ），即在y 轴上时可设 c ax y +=2；已知顶点（h ，0）即顶点在x 轴上可设2)(h x a y -=. 注意：当涉及面积周长的问题时，一定要注意自变量的取值范围。 二、经典考题剖析： 【考题1】（2009、长沙）如图1－2－16所示，要在底边BC =160cm ，高AD =120cm 的△ABC 铁皮余料上，截取一个矩形EFGH ，使点H 在AB 上，点G 在AC 上，点E 、F 在BC 上，AD 交HG 于点M ，此时AM AD =HG BC 。 (1)设矩形EFGH 的长 HG =y ，宽HE =x ，确定y 与x 的函数关系式； (2)当x 为何值时，矩形EFGH 的面积S 最大？ (3)以面积最大的矩形EFGH 为侧面，围成一个圆柱形的铁桶，怎样围时，才能使铁桶的体积较大？请说明理由(注：围铁桶侧面时，接缝无重叠，底面另用材料配备)。 解：⑴∵△AHG ∽△ABC ，所以AM HG AD BC =，所以120-x 120 =y 160 ，所以16034 +-=x y ⑵∵矩形的面积S=xy ， ∴S=22 44160(12033 x x x x -+=--+36003600)- =24(60)4800,3 x --+ 所以x=60cm, S 最大=4800㎝2. ⑶围圆柱形铁桶有两种情况：当x=60㎝时， 46016080().3 y cm =-?+= 第一种情况：以矩形EFGH 的宽HE=60cm 作铁桶的高，长HG=80cm 作铁桶的底面周长，则底面半径R= 2180 80 96000 V = 60= ()22cm π π π g ，铁桶体积㎝ 第二种情况：以矩形EFGH 的长HG=80cm 作铁桶的高，宽HE=60cm 作铁桶的底面周长，则底面半径R= 2260 60 72000V = 80= ()22cm π π π g ，铁桶体积㎝. 因为V 1＞V 2，所以以矩形EFGH 的宽HE=60cm 作铁桶的高，长HG=80cm 作铁桶的底面周长围成的圆柱形铁桶的体积较大． 点拨：作铁桶时要分两种情况考虑，通过比较得到哪种情况围成的铁桶的体积大 【考题2】在直角坐标系中，△AOB 的顶点坐标分别为A （0，2），O （0，0），B （4，0），把 △AOB 绕O 点按逆时针方向旋转900 到△COD 。 （1）求C ，D 两点的坐标； （2）求经过C ，D ，B 三点的抛物线解析式。 解：（1）C 点（－2,0），D 点（0，4）。 （2）设二次函数解析式为12()()y a x x x x =--，由点C ，B 两点的坐标，得)4)(2(-+=x x a y 。 将点D （0,4）代入得a=21 - ， 即二次函数解析式为)4)(2(2 1 -+-=x x y 。 【考题3】如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与x 轴交于A,B 两点，与y 轴交于C 点。点A,C 的坐标分别是(－1，0)，(0， 2 3)。 （1）求此抛物线对应的函数解析式； （2）若点P 是抛物线上位于x 轴上方的一个动点，求△ABP 的面积的最大值。 解： （1）已知抛物线的对称轴为x=1，设抛物线解析式为 k x a y +-=2 )1(，将点A (－1，0)，C(0，23)代入解析式，得?? ? ? ? =+ =+23,04k a k a 解得?????=- =2 2 1k a ， 2)1(212+--=x y ， 即2 3 212++-=x x y 。 （2）A 点横坐标为－1，对称轴为x=1，则点B 的横坐标为3，设点P 横坐标是m （－1＜m ＜3），则点P 纵坐标2 321 2++-=m m y p 。（p y ＞0） )2 321(421212++-??=?= m m y AB S p ABP > 4)1(322 2 +--=++-=m m m 当m=1时，S 有最大值，为4。 解题小诀窍：当二次函数图像上出现动点时，可以先设出动点的横坐标，然后利用二次函数的解析式将动点的纵坐标表示出来，如上面点P 的纵坐标的表示方法。 【考题4】（2009、南宁）目前，国内最大跨江的钢管混凝土拱桥——永和大桥，是南宁市又一标志性建筑，其拱形图形为抛物线的一部分（如图 1－2－18），在正常情况下，位于水面上的桥拱跨度为350米，拱高为8．5米。 ⑴在所给的直角坐标系中（如图1－2－19）， 假设抛物线的表达式为b ax y +=2，请你根据上述数据求出a 、b 的值，并写出抛物线的表达式（不要求写自变量的取值范围，a 、 b 的值保留两个有效数字） 。 ⑵七月份汛期将要来临，当邕江水位上涨后，位于水面上的桥拱跨度将会减小，当水位上 涨4m 时，位于水面上的桥拱跨度有多大？（结果保留整数） 解：（1）因为桥拱高度OC=8．5m ，抛物线过点C （0，8．5），所以b=8．5．又由已知， 得AB=350m ，即点A 、B 的坐标分另为（－175，0）， （175，0）．则有0= 1752 ·a + 8．5，解得a ≈0．00028，所求抛物线的解析式为y=0．00028x 2＋8．5； （2）由1－2－20所示，设DE 为水位上升4m 后的桥拱跨度，即当y= 4时，有4=0．00028x 2 ＋8．5，所以x ≈±126．77．所以 D 、E 两点的坐标为（－12 6.7 7， 4），（12 6.7 7， 4）．所以ED ≈12 6．7 7+12 6．77≈254米. 答：当水位上涨4m 时，位于水面上的桥拱跨度为254m ． 点拨：理解桥拱的跨度AB 即为抛物线与x 轴两交点之间的距离 . 【考题5】（2009、海口）已知抛物线y=x 2+(2n －1)x+n 2 －1 (n 为常数). (1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式； (2)设A 是(1)所确定的抛物线上位于x 轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点D ，再作AB ⊥x 轴于B ，DC ⊥x 轴于C. ①当BC=1时，求矩形ABCD 的周长； ②试问矩形ABCD 的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A 点的坐标；如果不存在，请说明理由. 解：由抛物线过原点，得n 2 －1=0。解这个方程， 得n 1=1, n 2=－1。 当n=1时，得y=x 2+x, 此抛物线的顶点不在第四象限；当n =－1时，得y=x 2 －3x, 此抛物线的顶点在第四象限.∴所求的函数关系为y=x 2－3x. (2) 由y=x 2－3x ，令y=0, 得x 2－3x=0， 解得x 1=0,x 2=3。∴抛物线与x 轴的另一个交点为(3,0)，∴它的顶点为(23,49 ), 对称轴为 直线x=2 3, 其大致位置如图所示。 ①∵BC=1，由抛物线和矩形的对称性易知OB=21×(3－1)=1.∴B(1,0)，∴点A 的横坐标 x=1， 又点A 在抛物线y=x 2－3x 上，∴点A 的纵坐标y=12－3×1=－2. ∴AB=|y|=|－2|=2.∴矩形ABCD 的周长为：2(AB+BC)=2×(2+1)=6. ②∵点A 在抛物线y=x 2－3x 上，故可设A 点的坐标为(x ，x 2－3x), ∴B 点的坐标为(x,0). (0＜x ＜2 3) ∴BC=3－2x, A 在x 轴下方，∴x 2－3x ＜0，∴AB=|x 2－3x|=3x －x 2 ，∴矩形ABCD 的周长 P=2[(3x －x 2)+(3－2x)]= －2(x －21)2+2 13 ∵a=－2＜0,∴当x= 2 1时，矩形ABCD的周长P最大值为 2 13. 此时点A的坐标为 A( 2 1, 4 5 -). 解题小诀窍：在此类求三角形面积、四边形周长和面积的最值问题时，解题的关键是如何用一个未知数将其表示出来 【考题6】（2009、郸县）如图1－2－24，△OAB是边长为2＋ 3 的等边三角形，其中O 是坐标原点，顶点B在y轴的正方向上，将△OA B折叠，使点A落在边OB上，记为A′，折痕为EF． （1）当A′E∥x轴时，求点A′和E的坐标； （2）当A′E∥x轴，且抛物线c bx x y+ + - =2 6 1 经过点A′和E时，求该抛物线与x轴的交点的坐标； （3）当点A′在OB上运动但不与点O、B重合时，能否使△A′EF成为直角三角形．若能，请求出此时点A′的坐标；若不能，请你说明理由． 解：（1）当A′E∥x时，∠EA′O=90○，因为△AOB为等边三角形，所以∠A′OE=60○，∠A′EO=30○，A′O= 1 2EO，设OA′=a，则OE=2a，由勾股定理得A′E= 3 ａ，由题意意可知ΔA′EF≌ΔAEF，所以A′E=A E， 所以A′E= 3 a=AE，因为AE+OE=2+ 3 ， 所以a=OA′=1，A′E= 3 ， 所以A′(0,1)，E( 3 ，1) ⑵由题意知，点A′(0,1)，E( 3 ，1)在2x 1 y=- 6 bx c ++的图象上，则方程组 2 13 1 (3)31 c=1 6 c b c ? = ? ?? ?? -?+= ?? ?? ，解得 所以231 x+ 1 y=- 6 ，当y=0时，得 2 12 3 10,x=23,x3, x==- 1 -解得 6 所以，抛物线与x轴的交点坐标为(2 3 ，0)，(－ 3 ，0) ⑶不能．理由：因为要使△A’EF为直角三角形，则90°角只能是∠A′EF或∠A′FE．若∠A′EF=90○，因为△FA′Ｅ与△FAE关于FE对称，所以∠A′EF=∠AEF＝90○，∠AEA′=180○．此时A、E、A ′应在同一直线上，点A’应与O点重合，这与题设矛盾．所以∠A′EF＝90○，即△A′EF不能为直角三角形．同理，∠A′FE＝90○也不成立， 即△A ′EF 不能为直角三角形． 点拨：此题是代数、几何综合题，注意利用几何图形之间的关系． 【考题７】如图，已知二次函数图像的顶点坐标为C(1,0)，直线m x y +=与二次函数的图像交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（3,4），B 点在y 轴上。 （1）求m 的值及二次函数的解析式； （2）P 为线段AB 上的一个动点（点P 与A,B 不重合），过点P 做x 轴的垂线与二次函数图像交于点E ，设线段PE 的长度为h ，点P 的横坐标为x ，求h 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）D 为直线AB 与这个二次函数图像对称轴的交点，在线段AB 上是否存在一点P ，使得四边形DCEP 是平行四边形？若存在，请说明理由。 解：（1）∵点A （3,4）在直线m x y +=上， ∴4=3+m ，∴m=1。 设所求二次函数为2 )1(-=x a y ∵点A （3,4）在二次函数为2 )1(-=x a y 上， ∴2 )13(4-=a ，∴a=1. 所求二次函数为2 )1(-=x y ,即122 +-=x x y （2）设P 、E 两点的纵坐标是E P y y ,， 所以，PE=h=E P y y -=(x+1)－)12(2 +-x x =x x 32 +-， 即h=x x 32 +-(0＜x ＜3). (3)存在。要使四边形DCPE 是平行四边形，必有PE=DC ，点D 在直线1+=x y 上，点D 的坐标为（1,2）。所以x x 32 +-=2，解得1,221==x x （不合题意舍），所以点P 坐标为（2,3）时符合题意。 三、针对性训练：(45 分钟) 1．二次函数的图象经过点（－3，2），（2，7），（0，－1），求其解析式． 2．已知抛物线的对称轴为直线x=－2，且经过点 （－l ，－1），（－4，0）两点．求抛物线的解析式． 3．已知抛物线与 x 轴交于点（1，0）和(2，0)且过点 (3，4)，求抛物线的解析式． 4．已知二次函数c bx ax y ++=2 的图象经过点A （0，1）B(2，－1）两点．（1）求b 和c 的 值；(2）试判断点P （－1，2）是否在此抛物线上？ 5．已知一个二次函数c bx ax y ++=2的图象如图1－2－25所示，请你求出这个二次函数 的表达式，并求出顶点坐标和对称轴方程． 6．已知抛物线 c bx ax y ++=2过三点（－1，－1）、（0，－2）、 （1，l ）． （1）求抛物线所对应的二次函数的表达式； （2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）这个函数有最大值还是最小值？ 这个值是多少？ 7．当 x=4时，函数c bx ax y ++=2 的最小值为－8，抛物线过点（6，0）．求： （1）顶点坐标和对称轴；（2）函数的表达式； （3）x 取什么值时，y 随x 的增大而增大；x 取什么值时，y 随x 增大而减小． 8．在ΔABC 中，∠ABC ＝90○ ，点C 在x 轴正半轴上，点A 在x 轴负半轴上，点B 在y 26所示），若 tan ∠BAC= 1 2 ，求经过 A 、B 、 轴正半轴上(图1－2－C 点的抛物线的解析式． 9．已知：如图1－2－27所示，直线y=－x+3与x 轴、 y 轴分别交于点B 、C ， 抛物线y=－x 2＋bx ＋c 经过点B 、C ，点A 是 抛物线与x 轴的另一个交点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P 在直线BC 上，且S ΔPAC =1 2 S ΔPAB ，求点P 的坐标． 10 四边形DEFH 为△ABC 的内接矩形(图1－2－28)，AM 为BC 边上的高，DE 长为x ，矩形的面积为y ，请写出y 与x 之间的函数关系式，并判断它是不是关于x 的二次函数. 考点4：根据二次函数图象解一元二次 方程的近似解 一、考点讲解： 1．二次函数与一元二次方程的关系： （1）一元二次方程20ax bx c ++=就是二次函数c bx ax y ++=2 当函数y 的值为0时的情况． （2）二次函数c bx ax y ++=2 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、 没有交点；当二次函数c bx ax y ++=2 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0的根． （3）当二次函数c bx ax y ++=2 的图象与 x 轴有两个交点时，则一元二次方程c bx ax y ++=2有两个不相等的实数根；当二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相等的实数根；当二次函数y ＝ax 2+ bx+c 的 图象与 x 轴没有交点时，则一元二次方程c bx ax y ++=2 没有实数根． 解题小诀窍：抛物线与x 轴的两个交点间的距离可以用| x 1－x 2|来表示。 二、经典考题剖析： 【考题1】（2009、湖北模拟）关于二次函数 c bx ax y ++=2 的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c ＞0且函数的图象开口向下时，a x’＋bx ＋c=0必有两个 不等实根；③函数图象最高点的纵坐标是2 44ac b a -；④当b=0时，函数的图象关于y 轴对 称．其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解：C 点拨：①显然正确；由a ＜0及c ＞0，得△=b 2 -4ac ＞0．所以②正确．由于a 的符号不定，所以顶点是最高点或最低点不定．所以③不正确．因为b=0时，对称轴为x ＝0．所以④正确． 【考题2】（2009、青岛模拟，8分） 已知二次函数y=x 2－6x+8，求： （1）抛物线与x 轴y 轴相交的 交点坐标； （2）抛物线的顶点坐标； （3）画出此抛物线图象，利用 图象回答下列问题： ①方程x 2 －6x ＋8=0的解是什 么？ ②x 取什么值时，函数值大于0？ ③x 取什么值时，函数值小于0？ 解：（1）根据题意，得x 2－6x+8=0．则（x －2）(x －4）= 0，x 1=2，x 2=4．所以与x 轴交点为（2,0）和（4，0）；当x 1=0时，y=8．所以抛物线与 y 轴交点为（0，8）。 （2）2 643,12214b ac b x y a a --=-=-===-?，抛物线的顶点坐标为（3，－1）。 （3）图1－2－29所示．①由图象知，x 2－6x+8=0的解为x 1=2，x 2=4．②当x ＜2或x ＞4 时，函数值大于0；③当2＜x ＜4时，函数值小于0． 点拨：二次函数y= x 2－6x+8与x 轴交点的横坐标就是一元二次方程x 2－6x+8=0的两个解，用抛物线解一元二次方程需要知道抛物线与x 轴的交点坐标． 【考题3】（2009、天津）已知抛物线y ＝x 2－2x －8， （1）求证：该抛物线与x 轴一定有两个交点； （2）若该抛物线与x 轴的两个交点分别为A 、B ， 且它的顶点为P ，求△ABP 的面积． 解：（1）证明：因为对于方程x 2－2x －8=0，其判别式△=（－2）2 －4×（－8）－36＞0，所以方程x 2－2x －8=0有两个实根，抛物线y= x 2－2x －8与x 轴一定有两个交点； （2）解：因为方程x 2－2x －8=0有两个根为x 1=2，x 2=4，所以AB=| x 1－x 2|＝6．又抛物 线顶点P 的纵坐标y P =2 44ac b a -=－9， 所以S ΔABP=1 2 ·A B ·|y P |=27。 点拨：本题主要考查了二次函数，一元二次方程等知识及它们的综合应用． 三、针对性训练：( 45分钟) 1．已知函数y=kx 2－7x —7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） 中考数学二次函数压轴题(含答案) 面积类 1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点． （1）求抛物线的解析式． （2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长． （3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 解答： 解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1； ∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3． （2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有： ， 解得； 故直线BC的解析式：y=﹣x+3． 已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）； ∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）． （3）如图； ∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB， ∴S△BNC=（﹣m2+3m）?3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）； ∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为． 2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式； （2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标； （3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标． 解答： 解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得： 0=16a﹣×4﹣2，即：a=； ∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2． （2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）； ∴OA=1，OC=2，OB=4， 即：OC2=OA?OB，又：OC⊥AB， ∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC； ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°， ∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径； 所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）． （3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2； 设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0； ∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4； ∴直线l：y=x﹣4． 所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有： ，解得：即M（2，﹣3）． 过M点作MN⊥x轴于N， S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4． 初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随 x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0． 中考二次函数压轴题经典题型 1、如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB上的一点P，使矩形PNDM 有最大面积，求矩形PNDM的面积最大值？ 2、如图，二次函数的图象经过点D(0， 3 9 7 )，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6. ⑴求二次函数的解析式； ⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标； ⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 3．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（1 2 ， 5 2 ）和B（4，m），点P是线段AB 上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标． 4、如图，二次函数y=a+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）． （1）求a，b的值； （2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB 的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值。 5、如图1，对称轴x=为直线的抛物线经过B（2，0）、C（0，4）两点，抛物线与轴的另一交点为A．（1）求抛物线的解析式； （2）若点P为第一象限内抛物线上一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值； （3）如图2，若M是线段BC上一动点，在轴上是否存在这样有点Q，使△MQC为等腰三角形且△MQB 为直角三角形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由． 一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图1，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，且OC=3OA ．点P 是抛物线上的一个动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交直线BC 于点D ，连接PC ． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，当动点P 只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P 作PF ⊥BC 于点F ，试问△PDF 的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由． （3）当点P 在抛物线上运动时，将△CPD 沿直线CP 翻折，点D 的对应点为点Q ，试问，四边形CDPQ 是否成为菱形？如果能，请求出此时点P 的坐标，如果不能，请说明理由． 【答案】(1) y=﹣23 4x +94x+3；(2) 有最大值,365 ;(3) 存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（ 73，256）或（173，﹣253）． 【解析】 试题分析: （1）利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）设P （m ，﹣ 34m 2+94m+3），△PFD 的周长为L ，再利用待定系数法求直线BC 的解析式为：y=﹣ 34x+3，表示PD=﹣2334m m ，证明△PFD ∽△BOC ，根据周长比等于对应边的比得：=PED PD BOC BC 的周长的周长，代入得：L=﹣95（m ﹣2）2+365 ，求L 的最大值即可； （3）如图3，当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ，又知Q 落在y 轴上时，则CQ ∥PD ，由四边相等：CD=DP=PQ=QC ，得四边形CDPQ 是菱形，表示P （n ，﹣23n 4 +94 n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣34 n+3），利用勾股定理表示PD 和CD 的长并列式可得结论． 试题解析: （1）由OC=3OA ，有C （0，3）， 将A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）代入y=ax 2+bx+c 中，得： 初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 2 2 3x y -= 12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) A ． 都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B ． 都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 13．抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 14．把二次函数122 --=x x y 配方成为（ ） A ．2 )1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2 ++=x y D ．2)1(2 -+=x y 15．已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ． 1- 二次函数应用题专题复习（含答案） 1、（2016?葫芦岛）某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）请直接写出y与x的函数关系式； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元 （3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大最大利润是多少 * 2．某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元时，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件． （1）若公司每天的现售价为x元时则每天销售量为多少 （2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元 ( 3．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大最大利润是多少 （3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量） ^ 二次函数经典例题及答案 1.已知抛物线的顶点为P (- 4,—2)，与x轴交于A B两点，与y轴交于点C,其中B点坐标为(1 , 0)。 (1) 求这条抛物线的函数关系式； (2) 若抛物线的对称轴交x轴于点D,则在线段AC上是否存在这样的点Q,使得△ ADQ 1 2 9 . 135 y=2 x +4x - 2；存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2^5-9，-%'5 ) , Q (--^, -4) ?析 一2 25 试题分析：(1)根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a ( x+4) - 2，然后把点B的坐 标代入解析式求出a的值，即可得解； (2)先根据顶点坐标求出点D 的坐标，再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标，从而得 到OA OC AD的长度，根据勾股定理列式求出AC的长度，然后根据锐角三角形函数求出/ OAC勺正弦值与余弦值，再分① AD=QD时，过Q作QE1丄x轴于点E,根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ,再利用/ OAC勺正弦求出QE的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE,从而得到点Q的坐标；②AD=AQ时，过Q作QE2丄x轴于点E＞，利用/ OAC勺正弦求出QE2的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE，从而得到点Q的坐标；③AQ=DQ时，过Q作QE3丄x轴于点已，根据等腰三角形三线合一的性质求出AE 的长度，然后求出OE,再由相似三角形对应边成比例列式求出QE3的长度，从而得到点Q 的坐标. 试题解析：(1 )???抛物线顶点坐标为( 25 -4 , - 2), ???设抛物线解析式为 2 25 y=a (x+4) - 2 为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点 2018中考数专题二次函数 （共40题） 1．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G． （1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式； （2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标； （3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标； ②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值． 2．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D． （1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）； （2）设S△BCD：S△ABD=k，求k的值； （3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式． 3．如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C． （1）求直线y=kx+b的函数解析式； （2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标； （3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值． 4．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1 （1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标． （2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒． ①当t为何值时，四边形OMPN为矩形． ②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限取一点C，作CD垂直X轴于点D，AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值； （3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存 二次函数压轴题 1. 如图①，抛物线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋2(a ≠0)与x 轴交于点A (4，0)，与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点P (m ，0)(0 ∴OB ＝2， ∵OP ＝m ， ∴AP ＝4－m ， ∵PM ⊥x 轴， ∴△OAB ∽△P AN ， ∴OB OA ＝PN P A ，即24＝PN 4－m ， ∴PN ＝1 2(4－m )， ∵M 在抛物线上， ∴PM ＝－12m 2＋3 2m ＋2， ∵PN ∶MN ＝1∶3， ∴PN ∶PM ＝1∶4， ∴－12m 2＋32m ＋2＝4×1 2(4－m )， 解得m ＝3或m ＝4(舍去)， 即m 的值为3； (3)如解图，在y 轴上取一点Q ，使OQ OP 2 ＝3 2， 第1题解图 由(2)可知P 1(3，0)，且OB ＝2， ∴OP 2OB ＝3 2，且∠P 2OB ＝∠QOP 2， ∴△P 2OB ∽△QOP 2， ∴QP 2BP 2 ＝OP 2OB ＝32， ∴当Q (0，92)时，QP 2＝3 2BP 2， ∴AP 2＋3 2BP 2＝AP 2＋QP 2≥AQ ， ∴当A 、P 2、Q 三点在一条直线上时，AP 2＋QP 2有最小值， 又∵A (4，0)，Q (0，9 2)， ∴AQ ＝ 42 ＋（92）2＝1452， 即AP 2＋32BP 2的最小值为145 2. 2. 如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋4的图象与x 轴交于 二次函数经典中考试题（含答案） —、解答题（共30小题） 1. （2013?武汉）科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节：科学家把一种珍奇的植物 分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表） ： 温度 x/C … -4 - 2 0 2 4 4.5 … 植物每天高度增长量 y/mm … 41 49 49 41 25 19.75 … 由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量 y 是温度x 的函数，且这种函数是反比例函 数、一次函数和二次函数中的一种. （1） 请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外两种函数的理 由； （2） 温度为多少时，这种植物每天高度增长量最大？ （3） 如果实验室温度保持不变，在10天内要使该植物高度增长量的总和超过 250mm ，那么 实验室的温度x 应该在哪个范围内选择？请直接写出结果. 2. （2013?莆田）如图所示，某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛 （花坛为轴对称图形）.矩 形的四个顶点分别在菱形四条边上，菱形 ABCD 的边长AB=4米，/ ABC=60 °设AE=x 米 （0v x V 4），矩形EFGH 的面积为S 米2. （1） 求S 与x 的函数关系式； （2） 学校准备在矩形内种植红色花草，四个三角形内种植黄色花草?已知红色花草的价格为 20元咪2,黄色花草的价格为40元咪2?当x 为何值时，购买花草所需的总费用最低，并求 出最低总费用（结果保留根号）？ y 的二元一次方程组 （1） 若a=3.求方程组的解； （2） 若S=a （3x+y ），当a 为何值时，S 有最值. 4. （2013?南宁）如图，抛物线 y=ax 2+c （a 旳）经过C （2，0），D （0，- 1）两点，并与直 线y=kx 交于A 、B 两点，直线I 过点E （0，- 2）且平行于x 轴，过A 、B 两点分别作直线 l 的垂线，垂足分别为点M 、N . （1） 求此抛物线的解析式； （2） 求证：AO=AM ； （3） 探究： ①当k=0时，直线y=kx 与x 轴重合，求出此时 的值； 3. （2013?资阳）在关于 x ， 中考数学二次函数知识 点总结 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】 二次函数知识点总结 二次函数知识点： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0 a≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0 ，可以为零．二次函数的定义域是 a≠，而b c 全体实数． 2. 二次函数2 =++的结构特征： y ax bx c ⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 =的性质： y ax 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2 =+的 y ax c 性质： 结论：上加下减。 总结： 3. ()2 =-的性 y a x h 质： 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 总结： 二次函数图象 的平 移 1. 平移步 骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 （1）抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0a 时，开口向上；当0 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ??? ? ? +=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2 的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线 h x =. （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对 称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2 中，c b a ,,的作用 （1）a 决定开口方向及开口大小，这与2 ax y =中的a 完全一样. （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是直线 a b x 2- =，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0c ,与y 轴交于正半轴；③0 二次函数专题训练(含答案) 一、 填空题 1 2 1. 把抛物线V X 向左平移2个单位得抛物线 ，接着再向下平移 3个 2 单位，得抛物线 2. 函数V 二-2X 2 ? x 图象的对称轴是 _____________ ，最大值是 3. 正方形边长为3,如果边长增加x 面积就增加V ，那么V 与x 之间的函数关系是 . 4. 二次函数V = _2x 2 ? 8x -6，通过配方化为V = a(x - h)2 ? k 的形为 _— 5. 二次函数V = ax 2 c ( c 不为零)，当x 取x i , X 2 (X I M X 2)时，函数值相等，贝U X i 与X 2的关系是 _______ . ____ 6. 抛物线V = ax 2 bx c 当b=0时，对称轴是 _________________ ，当a , b 同号时，对称轴在 V 轴 ______________ 侧，当a , b 异号时，对称轴在 y 轴 ________________ 侧. 7. 抛物线V - -2(x 1)2 -3开口 _______________ ,对称轴是 __________ ,顶点坐标是 . 如果V 随x 的增大而减小，那么 x 的取值范围是 8. 若a ：：0，则函数y=2x 2，ax-5图象的顶点在第 ________________ 象限；当时，函 4 数值随x 的增大而 ________ . _____ 9. 二次函数 V 二ax 2 bx c ( a 丰0)当a 0时，图象的开口 a ：：：0时，图象的开 口 ___________ ，顶点坐标是 ________ . ____ 1 2 10. 抛物线y (x -h)2，开口 ______________________ ，顶点坐标是 ______________ ，对称轴 是 ______ . _____ 2 11. 二次函数y 二-3(x )( )的图象的顶点坐标是(1, -2 ). 1 2 12.已知 y (x 1)2 -2，当 X 3 13.已知直线V =2x -1与抛物线V =5x 2 ? k 交点的横坐标为2,则k= ___________________ ,交 点坐标为 _______ . ____ ^x 2 2 x 化成V 二a(x - h)2 k 的形式是 3 15.如果二次函数 V =x 2 -6x m 的最小值是1,那么m 的值是 、选择题: _____________ 时，函数值随x 的增大而减小 14.用配方法将二次函数 初三数学二次函数综合练习 卷 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 2 2 3x y -= 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) A ． 都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B ． 都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 13．抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 14．把二次函数122 --=x x y 配方成为（ ） A ．2 )1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2 ++=x y D ．2)1(2 -+=x y 15．已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ． 1- 二次函数专项复习经典试题集锦（含答案） 一、选择题： 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点),(a c b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2，且0+-c b a ，则一定有（ ） A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式 是532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） D 6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（ ） A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x 7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若 c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（ ） A. 0>M ，0>N ，0>P B. 0 x 时，求使y ≥2的x 的取值范围. 初中数学二次函数解析 一、选择题 1．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线. 不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表： 下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线 9 2 t=； ③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m. 其中正确结论的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 解：由题意，抛物线的解析式为y=ax（x﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1， ∴y=﹣t2+9t=﹣（t﹣4.5）2+20.25， ∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误， ∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确， ∵t=9时，y=0，∴足球被踢出9s时落地，故③正确， ∵t=1.5时，y=11.25，故④错误，∴正确的有②③， 故选B． 2．抛物线y＝-x2+bx+3的对称轴为直线x＝-1．若关于x的一元二次方程-x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（） A．-12＜t≤3B．-12＜t＜4 C．-12＜t≤4D．-12＜t＜3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据给出的对称轴求出函数解析式为y＝－x2?2x＋3，将一元二次方程－x2＋bx＋3?t＝0的实数根看做是y＝－x2?2x＋3与函数y＝t的交点，再由﹣2＜x＜3确定y的取值范围即可求解. 【详解】 解：∵y＝－x2＋bx＋3的对称轴为直线x＝－1， ∴b＝?2， ∴y＝－x2?2x＋3， 2020-2021九年级数学二次函数的专项培优练习题及答案解析 一、二次函数 1．（6分）（2015?牡丹江）如图，抛物线y=x 2+bx+c 经过点A （﹣1，0），B （3，0）．请解答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）点E （2，m ）在抛物线上，抛物线的对称轴与x 轴交于点H ，点F 是AE 中点，连接FH ，求线段FH 的长． 注：抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴是x=﹣ ． 【答案】（1）y=-2x-3；（2）． 【解析】 试题分析：（1）把A,B 两点坐标代入，求待定系数b,c ，进而确定抛物线的解析式；（2）连接BE ，点F 是AE 中点，H 是AB 中点，则FH 为三角形ABE 的中位线，求出BE 的长，FH 就知道了，先由抛物线解析式求出点E 坐标，根据勾股定理可求BE ，再根据三角形中位线定理求线段HF 的长． 试题解析：（1）∵抛物线y=x 2+bx+c 经过点A （﹣1，0），B （3，0），∴把A,B 两点坐标代入得： ，解得： ，∴抛物线的解析式是：y=-2x-3；（2）∵点 E （2，m ）在抛物线上，∴把E 点坐标代入抛物线解析式y=-2x-3得：m=4﹣4﹣3=﹣3，∴E （2，﹣3），∴BE= = ．∵点F 是AE 中点，点H 是抛物线的对称轴与 x 轴交点，即H 为AB 的中点，∴FH 是三角形ABE 的中位线，∴FH=BE=×= ．∴ 线段FH 的长 ． 考点：1．待定系数法求抛物线的解析式；2．勾股定理；3．三角形中位线定理． 2．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），C （0，3）三点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H ． 初中数学二次函数经典测试题及答案 一、选择题 1．四位同学在研究函数2y x bx c =++（,b c 是常数）时，甲发现当1x =时，函数有最小值；乙发现1-是方程20x bx c ++=的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当 2x =时，4y =，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 【答案】B 【解析】 【分析】 利用假设法逐一分析，分别求出二次函数的解析式，再判断与假设是否矛盾即可得出结论． 【详解】 解：A ．假设甲同学的结论错误，则乙、丙、丁的结论都正确 由乙、丁同学的结论可得 01442b c b c =-+?? =++? 解得：13 23b c ? =????=-?? ∴二次函数的解析式为：2 21212533636 ??=+-=+ ???-y x x x ∴当x=16-时，y 的最小值为25 36 -，与丙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意； B ．假设乙同学的结论错误，则甲、丙、丁的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()2 13y x =-+ 当x=2时，解得y=4，当x=-1时，y=7≠0 ∴此时符合假设条件，故本选项符合题意； C ． 假设丙同学的结论错误，则甲、乙、丁的结论都正确 由甲乙的结论可得 1 2 01b b c ?-=???=-+? 解得：23b c =-??=-? ∴223y x x =-- 当x=2时，解得：y=-3，与丁的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意； D ． 假设丁同学的结论错误，则甲、乙、丙的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()2 13y x =-+ 当x=-1时，解得y=7≠0，与乙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意． 故选B ． 【点睛】 此题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，利用假设法求出b 、c 的值是解决此题的关键． 2．抛物线y ＝-x 2+bx +3的对称轴为直线x ＝-1．若关于x 的一元二次方程-x 2+bx +3﹣t ＝0（t 为实数）在﹣2＜x ＜3的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ） A ．-12＜t ≤3 B ．-12＜t ＜4 C ．-12＜t ≤4 D ．-12＜t ＜3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据给出的对称轴求出函数解析式为y ＝－x 2?2x ＋3，将一元二次方程－x 2＋bx ＋3?t ＝0的实数根看做是y ＝－x 2?2x ＋3与函数y ＝t 的交点，再由﹣2＜x ＜3确定y 的取值范围即可求解. 【详解】 解：∵y ＝－x 2＋bx ＋3的对称轴为直线x ＝－1， ∴b ＝?2， ∴y ＝－x 2?2x ＋3， ∴一元二次方程－x 2＋bx ＋3?t ＝0的实数根可以看做是y ＝－x 2?2x ＋3与函数y ＝t 的交点， ∵当x ＝?1时，y ＝4；当x ＝3时，y ＝－12， ∴函数y ＝－x 2?2x ＋3在﹣2＜x ＜3的范围内－12＜y≤4， ∴－12＜t≤4， 故选：C ． 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键． 3．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列结论①24b ac >，②0abc <，③20a b c +->，④0a b c ++<．其中正确的是（ ）中考数学二次函数压轴题(含答案)
初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案
中考二次函数压轴题经典题型
全国中考数学二次函数的综合中考真题汇总及答案解析
(完整版)初三数学二次函数所有经典题型
初三数学二次函数应用题专题复习
二次函数经典例题及答案
2018中考数学专题二次函数
广西中考数学专题训练 二次函数压轴题
二次函数经典中考试题(含答案)
中考数学 二次函数知识点总结
最新史上最全初三数学二次函数知识点归纳总结
初三数学二次函数专题训练(含答案)
(完整)初三数学二次函数经典习题
二次函数专项复习经典试题集锦(含答案)
初中数学二次函数解析
2020-2021九年级数学二次函数的专项培优练习题及答案解析
初中数学二次函数经典测试题及答案
- 中考专项复习：二次函数的应用题型总结解析版
- 二次函数知识点总结及中考题型总结
- 二次函数中考大题总结
- 最新[初三数学]二次函数中考大题总结1附答案详解优秀名师资料
- 中考数学-专题二次函数题汇总
- 中考数学二次函数压轴题题型归纳
- 最新北师大版中考复习二次函数经典总结及典型题
- 人教全国中考数学二次函数的综合中考真题汇总及详细答案
- 二次函数中考大题总结答案
- 中考数学二次函数压轴题题型归纳
- 2012年二次函数中考大题总结(3)及答案详解
- 中考数学二次函数压轴题题型归纳
- 北师大版中考复习二次函数总结及典型题
- 二次函数历年中考考点总结
- 二次函数中考大题总结(3)及答案详解1.doc
- 【中考数学复习专题】“二次函数”常考题型总结
- (完整版)中考数学二次函数压轴题题型归纳(学生版)
- 人教版九年级数学下二次函数最全的中考二次函数知识点总结及经典习题
- 中考数学中二次函数压轴题分类总结
- 中考专项复习：二次函数的应用题型总结解析版