应用一元一次方程水箱变高了定义

应用一元一次方程水箱变高了定义

一元一次方程是初中数学中的重要内容，它是直线的数学表达方式。在实际生活中，我们常常会遇到与一元一次方程相关的问题。水箱变高了定义问题，就是一个典型的应用一元一次方程的例子。

水箱变高了定义问题是指：如果一个正方形底面、高度为H的水箱，如果将水箱的底面变大，那么水箱的高度会如何改变？

让我们来看一下水箱变高了定义问题的数学表达式。假设原来水箱的底面边长为x，底面积即为x*x，高度为H。那么水箱的容积V=底面积*高度=x*x*H。

现在，如果将水箱的底面变成2x，那么水箱的容积为V'=底面积*高度=2x*2x*H=4x^2*H。

在这个过程中，我们可以发现，水箱的高度发生了变化，由原来的H 变成了H/4。

根据这个过程，我们可以得到水箱变高了定义的一元一次方程：H/4 - H = -3H。

也就是说，水箱的高度减去原来的高度等于-3乘以原来的高度。这就

是这个问题的数学表达方式。

接下来，让我们来探讨一下这个问题，或者说一元一次方程在实际生活中的应用。

在实际生活中，我们可以通过解一元一次方程来计算这个问题。假设原来水箱的高度为10米，根据上面的一元一次方程，如果水箱的底面变成原来的4倍，那么水箱的高度会变成多少呢？

我们可以通过代入原来的高度H=10进行计算，H/4 - H = -3H，得到H=-30。

这就意味着，如果将水箱的底面变成原来的4倍，水箱的高度会变成-30米。在实际生活中，这是不可能的，因此我们需要对这个问题进行重新审视。

从数学的角度来看，这个问题其实是一个反比例关系。也就是说，底面积增大，高度减小；底面积减小，高度增大。这个过程符合数学上的反比例关系，而不是一元一次方程所描述的线性关系。

要解决水箱变高了定义的问题，我们需要转而使用反比例关系的方法进行分析和计算。通过反比例关系，我们可以得出结论：水箱的底面变大，高度会相应地变小，并且二者的变化是成反比例关系的。

在实际应用中，我们经常会遇到类似的问题。不仅仅是水箱的问题，

还有许多其他的实际问题，都需要我们巧妙地运用数学知识来加以解决。借助数学工具，我们可以更加深入地理解实际问题的本质，并且

找到解决问题的有效方式。

水箱变高了定义问题是一个很好的实际应用例子，它让我们能够巩固

和拓展一元一次方程的知识，同时也启发我们用数学的眼光去看待现

实生活中的问题。通过学习和应用数学知识，我们可以更好地理解世

界和解决问题，也能够在实践中不断提高数学建模和问题解决的能力。

通过本文的讨论和分析，相信读者对水箱变高了定义问题以及一元一

次方程的应用有了更深入的理解。同时也希望读者能够对实际问题持

有开放的思维，善于运用数学知识去解决日常生活中的各种难题。

在生活中，数学无处不在。只要我们用心去发现和思考，就能够在实

践中不断积累和提升数学的应用能力，也能够享受到用数学解决问题

带来的乐趣和成就感。希望本文能够对读者在数学学习和实际应用中

有所帮助，也期待读者能够在未来的学习和生活中有更多精彩的发现

和体会。让我们重温一下水箱变高了定义问题和一元一次方程的相关

概念。水箱变高了定义问题是指，如果一个正方形底面、高度为H的

水箱，如果将水箱的底面变大，那么水箱的高度会如何改变的问题。

而一元一次方程则是描述了线性关系的数学表达式，通常用来解决描

述变量之间简单关系的问题。

在实际生活中，我们会经常遇到类似的问题，需要运用数学知识来解决。水箱变高了定义问题提供了一个典型的实际应用例子，帮助我们

巩固和拓展一元一次方程的知识，同时也启发我们用数学的眼光去看

待现实生活中的问题。

除了水箱变高了定义问题，我们还可以在生活中发现更多的实际问题，都需要我们巧妙地运用数学知识来加以解决。正是通过这些实际问题，我们才能够更好地理解数学知识的应用，也能够不断提高数学建模和

问题解决的能力。

从数学的角度来看，水箱变高了定义问题其实是一个关于反比例关系

的问题。也就是说，底面积增大，高度减小；底面积减小，高度增大。这个过程符合数学上的反比例关系，而不是一元一次方程所描述的线

性关系。

要解决水箱变高了定义的问题，我们需要转而使用反比例关系的方法

进行分析和计算。通过反比例关系，我们可以得出结论：水箱的底面

变大，高度会相应地变小，并且二者的变化是成反比例关系的。

在实际应用中，我们经常会遇到类似的问题。不仅仅是水箱的问题，

还有许多其他的实际问题，都需要我们巧妙地运用数学知识来加以解

决。借助数学工具，我们可以更加深入地理解实际问题的本质，并且

找到解决问题的有效方式。

通过解决这类问题，我们不仅可以巩固和加深对数学知识的理解，也

能够培养我们的逻辑思维和问题解决能力。数学在生活中扮演着重要

的角色，通过应用数学方法解决实际问题，我们可以更好地理解世界

和解决问题，也能够在实践中不断提高数学建模和问题解决的能力。

水箱变高了定义问题是一个很好的实际应用例子，它让我们能够巩固

和拓展一元一次方程的知识，同时也启发我们用数学的眼光去看待现

实生活中的问题。通过学习和应用数学知识，我们可以更好地理解世

界和解决问题，也能够在实践中不断提高数学建模和问题解决的能力。

在生活中，数学无处不在。只要我们用心去发现和思考，就能够在实

践中不断积累和提升数学的应用能力，也能够享受到用数学解决问题

带来的乐趣和成就感。希望本文能够对读者在数学学习和实际应用中

有所帮助，也期待读者能够在未来的学习和生活中有更多精彩的发现

和体会。

通过本文的讨论和分析，相信读者对水箱变高了定义问题以及一元一

次方程的应用有了更深入的理解。同时也希望读者能够对实际问题持

有开放的思维，善于运用数学知识去解决日常生活中的各种难题。数

学知识不仅仅存在于课本中，更应该成为我们解决现实问题的有力工

具。

希望读者能够在日常生活中，借助数学的力量，更好地理解世界、解决问题，也能够享受到数学带来的乐趣和成就感。让我们携手探索数学的奥秘，用数学的力量让生活变得更加美好！

初中数学知识点精讲精析 应用一元一次方程—水箱变高了

5.3 应用一元一次方程—水箱变高了 学习目标 1.通过分析图形问题中的基本等量关系，建立方程解决问题； 2.进一步了解一元一次方程在解决实际问题中的应用。 知识详解 1．几何图形中常用的公式 （1）常用的体积公式 长方体的体积＝长×宽×高； 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长； 圆柱的体积＝底面积×高＝2h r π； 圆锥的体积＝13??底面积高＝2 1 3h r π . （2）常用的面积、周长公式 长方形的面积＝长×宽； 长方形的周长＝2×（长＋宽）； 正方形的面积＝边长×边长； 正方形的周长＝边长×4； 三角形的面积＝12??底高； 平行四边形的面积＝底×高； 梯形的面积＝()1+2 ??上底下底高； 圆的面积＝2r π； 圆的周长＝2πr. 2．形积变化问题中的等量关系 形积变化问题中，物体的形状和体积会发生变化，但问题中一定有相等关系．分以下几种情况： （1）形状发生了变化，体积不变．其相等关系是：变化前物体的体积＝变化后物体的体积． （2）形状、面积发生了变化，周长不变．其相等关系是：变化前图形的周长＝变化后图形的周长． （3）形状、体积不同．根据题意找出体积之间的关系，即为相等关系． 3．等长变形问题 等长变形，是指用物体（一般用铁丝）围成不同的图形，图形的形状、面积发生了变化，但周长不变．

解答此类问题，可以利用周长不变设未知数，寻找相等关系列出方程． 面积问题中常常会用到特殊图形的周长和面积公式．如三角形、平行四边形、长方形、正方形、梯形、圆等；记住常见的几何图形的面积公式，抓住周长不变的特征是解决等长变形问题的关键． 【典型例题】 例1. 用7.8米长的铁丝做成一个长方形框架，使长比宽多1.2米，求这个长方形框架的宽是多少米？设长方形的宽是x米，可列方程为( )． A．x＋(x＋1.2)＝7.8 B．x＋(x－1.2)＝7.8 C．2[x＋(x＋1.2)]＝7.8 D．2[x＋(x－1.2)]＝7.8 【答案】C 【解析】根据长方形的周长公式列方程即可．长方形的周长＝2×(长＋宽)，故可列方程为2[x＋(x＋1.2)]＝7.8. 例2. 有一位工人师傅要锻造底面直径为40 cm的“矮胖”形圆柱，可他手上只有底面直径是10 cm，高为80 cm的“瘦长”形圆柱，试帮助这位师傅求出“矮胖”形圆柱的高． 【答案】5 【解析】圆柱的形状由“瘦长”变成“矮胖”，底面直径和高度都发生了变化，在不计损耗的情况下不变量是它们的体积，抓住这一不变量，就得到等量关系——锻造前的体积＝锻造后的体积． 例3. 如图所示是用铁丝围成的一个梯形，将其改成一个长和宽比为2∶1的长方形，那么该长方形的长和宽分别为多少？ 【答案】长和宽分别为11,5.5 【解析】长方形的宽为x，则长为2x.由题意，得2(x＋2x)＝5＋6＋9＋13，解这个方程，得x＝5.5，所以2x＝11. 【误区警示】 易错点1：理解商品标价 1.“五一”节期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元．设该电器的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（） A．x（1+30%）×80%=2080 B．x?30%?80%=2080 C．2080×30%×80%=x D．x?30%=2080×80% 【答案】A 【解析】设该电器的成本价为x元，根据按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080元可列出方程． 易错点2：正确处理实际问题中的等量关系 2.小芬买15份礼物，共花了900元，已知每份礼物内都有1包饼干及每支售价20元的棒棒糖2支，若每包饼干的售价为x元，则依题意可列出下列哪一个一元一次方程式（）A．15（2x+20）=900 B．15x+20×2=900 C．15（x+20×2）=900

应用一元一次方程水箱变高了定义

应用一元一次方程水箱变高了定义 一元一次方程是初中数学中的重要内容，它是直线的数学表达方式。在实际生活中，我们常常会遇到与一元一次方程相关的问题。水箱变高了定义问题，就是一个典型的应用一元一次方程的例子。 水箱变高了定义问题是指：如果一个正方形底面、高度为H的水箱，如果将水箱的底面变大，那么水箱的高度会如何改变？ 让我们来看一下水箱变高了定义问题的数学表达式。假设原来水箱的底面边长为x，底面积即为x*x，高度为H。那么水箱的容积V=底面积*高度=x*x*H。 现在，如果将水箱的底面变成2x，那么水箱的容积为V'=底面积*高度=2x*2x*H=4x^2*H。 在这个过程中，我们可以发现，水箱的高度发生了变化，由原来的H 变成了H/4。 根据这个过程，我们可以得到水箱变高了定义的一元一次方程：H/4 - H = -3H。 也就是说，水箱的高度减去原来的高度等于-3乘以原来的高度。这就

是这个问题的数学表达方式。 接下来，让我们来探讨一下这个问题，或者说一元一次方程在实际生活中的应用。 在实际生活中，我们可以通过解一元一次方程来计算这个问题。假设原来水箱的高度为10米，根据上面的一元一次方程，如果水箱的底面变成原来的4倍，那么水箱的高度会变成多少呢？ 我们可以通过代入原来的高度H=10进行计算，H/4 - H = -3H，得到H=-30。 这就意味着，如果将水箱的底面变成原来的4倍，水箱的高度会变成-30米。在实际生活中，这是不可能的，因此我们需要对这个问题进行重新审视。 从数学的角度来看，这个问题其实是一个反比例关系。也就是说，底面积增大，高度减小；底面积减小，高度增大。这个过程符合数学上的反比例关系，而不是一元一次方程所描述的线性关系。 要解决水箱变高了定义的问题，我们需要转而使用反比例关系的方法进行分析和计算。通过反比例关系，我们可以得出结论：水箱的底面变大，高度会相应地变小，并且二者的变化是成反比例关系的。

5.3 一元一次方程的应用——水箱变高了

5.3 一元一次方程的应用——水箱变高了 知识回顾】 1、边长分别为a 、b 的长方形的周长是_________，面积是_______________． 2、边长为a 的正方形周长是_______________ ， 面积是_______________． 3、半径为r 的 圆的周长是_______________， 面积是_______________． 4、底面半径为r ，高为h 圆柱的体积（容积）是______________． 探究新知】 探究活动1：（形变，体积不变问题） 例1 某居民楼顶有一个底面直径和高均为6m 的圆柱形储水箱。现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由6m 减少为4m 。那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的6m 变为多少米？ 在这个问题中的等量关系是： = 解：设水箱的高度变为x m （请完成下面的表格来帮助分析）. 根据等量关系，列出方程： 解得x = 因此，水箱的高度变成了 m 。 答： 探究活动2（形变，周长不变问题） 例2用一根长10m 的铁丝围成一个长方形. （1）使得长方形的长比宽多1.4m ，此时长方形的长、 宽各为多少米？面积为多少？ 解：设此时长方形的宽为 m ，则 根据题意，得 解这个方程，得 此时长方形的长为 ，宽为 ，面积为

（2）使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各为多少米？面积呢？ 解：它所围成的长方形与（1）中所围长方形相比，面积有什么变化？ 设此时长方形的宽为，则 根据题意，得 解这个方程，得 此时长方形的长为，宽为，面积为 此时长方形的面积比（1）中面积 m2. （3）使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面积与（2）中相比又有什么变化？ 解：设 根据题意，得 解这个方程，得 此时正方形的长为，面积为的面积比（2）中面积 m2. 课堂反馈】 1.如图所示，将一个底面直径为10cm，高为36cm的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径为20cm 的“矮胖”形圆柱.假设在锻压过程中圆柱的体积保持不变，那么高变成了多少？ 2.墙上钉着一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如右图实线所示（单位：cm）.小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如右图虚线所示，小颖所钉长方形的长、宽各为多少厘米? 课堂小结】列一元一次方程解应用题的一般步骤是：“审、设、列、解、验、答” ． （1）“审”是指读懂题目,弄清题意,明确题目中的已知量,未知量,以及它们之间的关系,审题时也可以利用图示法,列表法来帮助理解题意；（2）“设”是指设元,也就是未知数．包括设直接未知数和设间接未知数以及设辅助未知数(较难的题目)；（3）“列”就是列方程,这是非常重要的关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系,然后列代数式表示相等关系中的各个量,就得到含有未知数的等式,即方程；（4）“解”就是解方程,求出未知数的值；（5）“验”就是验解,即检验方程的解能否保证实际问题有意义；（6）答”就是写出答案(包括单位名称)．

一元一次方程水箱变高了

5.3 应用一元一次方程——水箱变高了 学习目标 1.通过分析图形问题中的基本等量关系，建立方程解决问题； 2.进一步了解一元一次方程在解决实际问题中的应用； 3.培养学生敢于克服数学中的困难，建立学好数学的自信心. 学习重点和难点 重点：使学生进一步体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系，认识方程. 难点：抓住问题变化中的不变量，确定等量关系. 一、温故知新 填空 长方形的周长= 正方形的周长= = 长方形的面积= 正方形的面积= 圆的面积= 长方体的体积= 正方体的体积= 圆柱的体积= 二、探究学习 活动探究（一）：水箱变高了 某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆柱形储水箱．现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4 m减少为3.2 m．那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4 m变为多少？ （1）、这个问题中的等量关系是：旧水箱的 =新水箱的 （2）、设，填写下 表： （3）、根据等量关系，列出方程： = (记得用π不要用3.14哦) 解得： .

因此，水箱的高变成了 m 反馈练习：将一个底面直径是20厘米，高为9厘米的“矮胖”形圆柱锻压成底面直径是10厘米的“瘦长”形圆柱，高变成了多少？ 这个问题中的等量关系是： 解：设 活动探究（二）： 用一根长为10m的铁丝围成一个长方形 ⑴使得该长方形的长比宽多1.4m，此时长方形的长和宽各为多少米？其面积是多少？ ⑵使得该长方形的长比宽多0.8m，此时长方形的长和宽各为多少米？它所围成的长方形与⑴中所围成长方形相比，面积有什么变化？ ⑶使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面积与⑵中相比又有什么变化？ 解题感悟：解决这道题的关键是什么？从解这道题中你有何收获和体验 反馈练习： 1、在将较高的玻璃杯中水倒入较矮玻璃杯的过程中，不变的是 2.将一块橡皮泥由一个瘦高的圆柱捏成一个矮胖的圆柱，不变的是 . 3.将一根12cm长的细绳围成一个长3cm的正方形，再改成一个长4cm、宽2cm的长方形，不变的是 . 归纳：形变“”（）不变 四、课堂小结：通过这节课的学习你有什么收获? 五，随堂练习 1.小明在一次登山活动中捡到一块矿石,回家后,他使用一把刻度尺,一只圆柱形的玻璃杯和足量的水,就测量出了这块矿石的体积.如果他量出玻璃杯的内直径是d,把矿石完全浸没在水中,测出杯中水面上升的高度为h,则小明的这块矿石体积是( ) A.d2h B.d2h C.πd2h D.4πd2h 2.小明用长250cm的铁丝围成一个长方形,并且长方形的长比宽多25cm,设这个长方形的

一元一次方程应用--水箱变高了

应用一元一次方程——水箱变高了 1．几何图形中常用的公式 (1)常用的体积公式 长方体的体积＝长×宽×高； 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长； 圆柱的体积＝底面积×高＝πr 2h ； 圆锥的体积＝13×底面积×高＝13πr 2h . (2)常用的面积、周长公式 长方形的面积＝长×宽； 长方形的周长＝2×(长＋宽)； 正方形的面积＝边长×边长； 正方形的周长＝边长×4； 三角形的面积＝12×底×高； 平行四边形的面积＝底×高； 梯形的面积＝12×(上底＋下底)×高； 圆的面积＝πr 2； 圆的周长＝2πr . 【例1】 用7.8米长的铁丝做成一个长方形框架，使长比宽多 1.2米，求这个长方形框架的宽是多少米？设长方形的宽是x 米，可列方程为( )． A ．x ＋(x ＋1.2)＝7.8 B ．x ＋(x －1.2)＝7.8 C ．2[x ＋(x ＋1.2)]＝7.8 D ．2[x ＋(x －1.2)]＝7.8 2．形积变化问题中的等量关系 形积变化问题中，物体的形状和体积会发生变化，但问题中一定有相等关系．分以下几种情况： (1)形状发生了变化，体积不变．其相等关系是：变化前物体的体积＝变化后物体的体积． (2)形状、面积发生了变化，周长不变．其相等关系是：变化前图形的周长＝变化后图形的周长． (3)形状、体积不同．根据题意找出体积之间的关系，即为相等关系． 【例2】 有一位工人师傅要锻造底面直径为40 cm 的“矮胖”

形圆柱，可他手上只有底面直径是10 cm，高为80 cm的“瘦长”形圆柱，试帮助这位师傅求出“矮胖”形圆柱的高． 3．等长变形问题 等长变形，是指用物体(一般用铁丝)围成不同的图形，图形的形状、面积发生了变化，但周长不变． 解答此类问题，可以利用周长不变设未知数，寻找相等关系列出方程． 面积问题中常常会用到特殊图形的周长和面积公式．如三角形、平行四边形、长方形、正方形、梯形、圆等；记住常见的几何图形的面积公式，抓住周长不变的特征是解决等长变形问题的关键．【例3】如图所示是用铁丝围成的一个梯形，将其改成一个长和宽比为2∶1的长方形，那么该长方形的长和宽分别为多少？ 经典练习巩固： 一、选择题 1.小明在一次登山活动中捡到一块矿石,回家后,他使用一把刻度尺,一只圆柱形的玻璃杯和足量的水,就测量出了这块矿石的体积.如果他量出玻璃杯的内直径是d,把矿石完全浸没在水中,测出杯中水面上升的高度为h,则小明的这块矿石体积是( ) A.错误！未找到引用源。d2h B.错误！未找到引用源。d2h C.πd2h D.4πd2h 2.小明用长250cm的铁丝围成一个长方形,并且长方形的长比宽多25cm,设这个长方形的长为x cm,则x等于( ) A.75 cm B.50 cm C.137.5 cm D.112.5 cm 3.请根据图中给出的信息,可得正确的方程是( )

5.3-应用一元一次方程示范课-——-水箱变高了

§5.3 应用一元一次方程——水箱变高了 学习目标：1、通过分析图形问题中的基本等量关系，建立方程解决问题。 2、进一步了解一元一次方程在解决实际问题中的应用。 3、认识方程模型的重要性 学习重点：列出一元一次方程解有关形积变化的问题 学习难点：依题意准确把握形积问题中的相等关系 学法指导：阅读教材，完成自学检测和合作探究部分 自学提示：阅读课本P141-142内容，完成书中提出的问题。 1．列方程解应用题应注意哪些事项？ 2．列方程解应用题的步骤是什么？ 自学检测： 1.填空：长方形的周长= 面积= 长方体的体积= 正方形的周长面积正方体的体积= 圆的周长= 面积 = 圆柱的体积= 合作探究： 2、将一块橡皮泥由一个瘦长的圆柱捏成一个短胖的圆柱，其中的变量是，不变量是 3、在较高的玻璃杯中倒入半杯水，再将水倒入较矮的玻璃杯中，不变的 是。 4、将一根12cm长的细绳围成一个长为3cm的正方形，再改成一个长为4cm，宽为2cm的长方形，不变的是 5、某居民楼顶有一个底面直径和高均为4米的圆柱形储水箱，为减少楼顶原储水 箱的占地面积，将它的底面直径减少为3.2米，那么在容积不变的前提下，水箱的高度变为多少米？

等量关系：旧水箱的容积=新水箱的容积 解：设新水箱的高为x 米，填写下表 旧水箱 新水箱 底面半径/米 高/米 容积/米3 根据等量关系，列出方程： 解得： 因此，高变为 米。 展示解疑，点拨提升 6、用一根长为10米的铁丝围成一个长方形， （1）使得该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长和宽各为多少米？ （2）使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长和宽各为多少米？ （3）使得该长方形的长与宽相等，及围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？ 分享成功 7、课本142页随堂练习 8、将一块棱长为30厘米的正方形钢坯锻造成长为25厘米，宽为20厘米长方体钢材，则锻造成的钢材的高是多少厘米？ 小结：本节课我们通过建立方程模型，学习了形积变化，解决了生活中的实际问题，使数学应用于生活，学完以后你有什么收获？ 列方程时，关键是找出问题中的等量关系

北师大七年级上-第14讲-一元一次方程的应用(水箱变高了)

一元一次方程的应用（水箱变高了） 知识点一：等体积变形问题 1．等体积变形，即物体的外形或形态发生变化，但变化前后的体积不变，一利用体积不变这一等量关系，可列方程解决等积变形问题． 2．常见几何体的体积公式： (1)圆柱体体积;2h r V π= (2)长方体体积;abc V = (3)正方体体积;3a V = (4)圆锥体的体积.3 12h r V π= 例1如图所示，将一个底面直径为10cm ，高为36cm 的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径为20cm 的“矮胖”形圆柱．假设在锻压过程中圆柱的体积保持不变，那么高变成了多少？ 分析：在锻压过程中，圆柱由“瘦”变“胖”，形状发生了变化，但它的体积始终保持不变，所以在这个问题中有如下等量关系：锻压前的体积=锻压后的体积． 解：设锻压后圆柱的高为xcm ，填写下表： x ??210365ππ，解得x =9． 答：高变成了9cm . 例2 有一个长、宽、高分别是20cm 、15cm 、40cm 的长方体钢锭，现将它锻压成一个底面为正方形且正方形边长为20cm 的长方体钢锭，高变成了多少？（忽略锻压过程中的损耗） 分析：此题的相等关系：锻压前的体积=锻压后的体积． 解：设高变成了xcm ，依题意得20 ×20 ×x =20 ×15×40. 解方程，得x = 30.答：高变成了30cm . 变式训练 1.将一个底面积为236cm ，高为30cm 的金属圆柱熔铸成一个底面长8cm ，宽5cm 的长方体，求该长方体的高．这个问题的等量关系是，如果设长方体的高是xcm ，则可列方程 . 解．圆柱体的体积=长方体的体积，.303658?=??x 2.用一个长、宽、高分别是16cm 、10cm 、5cm 的小长方体容器向一个底面为20cm ×20cm 的大长方体容器注水，当小长方体容器的水全部注入大长方体容器中时，大长方体中的水面高度是多少？ 解：设大长方体中的水面高度为xcm ．依题意，得.102051016x ??=??解之得x =2． 答：大长方体中水面的高度为2cm . 知识点二：等长变形问题

七年级数学第五章一元一次方程3应用一元一次方程__水箱变高了教案

3 应用一元一次方程-—水箱变高了 1．通过分析图形问题中的等量关系,建立方程解决问题．2．进一步了解一元一次方程在解决实际问题中的应用． 重点 列一元一次方程解简单的图形变化的实际问题． 难点 从复杂问题中寻找等量关系． 一、情境导入 1．课件出示两瓶矿泉水（容量一样，一瓶短而宽，另一瓶长而窄）． 教师：哪瓶矿泉水多？为什么？ 2．教师演示：先用一块橡皮泥捏出一个“瘦长”的圆柱体,然后再让这个“瘦长”的圆柱“变矮”，变成一个“又矮又胖”的圆柱． 教师：在刚才操作的过程中，圆柱由“高”变“低”,圆柱的底面直径变了没有?圆柱的高呢？在这个变化过程中，是否有不变的量？是什么没变？ 学生思考后回答问题，教师点评． 二、探究新知 课件出示教材第141页图5－1，提出问题： 某居民楼顶有一个底面直径和高均为 4 m的圆柱形储水

箱．现该楼进行维修改造,为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4 m减少为3。2 m．那么在容积不变的前提下，水箱的高度由原先的4 m变为多少米？ 教师：这道题该如何解答呢？其中的等量关系是什么？ 引导学生找出等量关系:旧水箱的容积＝新水箱的容积． 教师：设水箱的高度为x，请同学们把下表补充完整． 学生完成后举手汇报答案，教师点评． 教师：根据等量关系，怎样列出方程? 解得x的值是多少？ 学生列出方程并解答，教师点评． 课件出示实验题： 一个圆柱形玻璃杯中装满了水,把杯中的水倒入一个长方体形状的可盛水的盒子里(玻璃杯的容积大于长方体的容积）,当盒子装满水时，玻璃杯中的水下降了多少? 要求学生用玻璃杯按要求分组实验后,全班交流各组得到的结果及解决问题的方法、步骤，并派小组代表进行操作示范、

平远县第三中学七年级数学上册第五章一元一次方程3应用一元一次方程__水箱变高了教案新版北师大版

3 应用一元一次方程——水箱变高了 【知识与技能】 通过分析图形问题中的数量关系，建立方程解决问题. 【过程与方法】 经历由实际问题抽象为方程模型的过程，进一步体会用方程解实际问题的一般思路和步骤. 【情感态度】 结合本课教学特点，教育学生热爱学习，热爱生活，激发学生学习的兴趣. 【教学重点】 分析图形问题中的数量关系，熟练地列方程解应用题. 【教学难点】 从实际问题中抽象出数学模型教学过程. 一、情境导入，初步认识 用同一根铁丝围成不同的图形，如三角形长方形、正方形、梯形、平行四边形等在这些图形中，什么发生了变化？什么不发生变化？ 【教学说明】学生很容易得出这些图形的变化，初步感受图形问题中的数量关系. 二、思考探究，获取新知 1.运用一元一次方程解决等体积变形问题 问题1 教材第141页例题以上的内容. 【教学说明】学生通过思考、分析，与同伴进行交流，完成表格，列出方程解决问题.体会列表法的重要作用. 【归纳结论】列方程解应用题关键是找出问题中的等量关系. 2.运用一元一次方程解决等周长变形问题 问题2 教材第141页下方的例题. 【教学说明】学生通过思考、分析与同伴进行交流，列出方程求解. 【归纳结论】 在问题2中，长方形的周长始终是不变的，即长与宽的和为： 10×1/2=5(m). 所以在解决问题的过程中，要紧紧抓住这个等量关系. 3.运用一元一次方程解决等面积变形问题. 问题3 已知一梯形的高为8cm，上底长为14cm，下底长比上底长的2倍少6cm，若把

这个梯形改成与其面积相等的长方形，且长方形的长为24cm,求长方形的宽. 【教学说明】学生思考、分析，与同伴交流，设未知数列出方程求解. 【归纳结论】运用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 （1）设未知数， （2）找等量关系式， （3）列方程， （4）解方程， （5）检验， （6）写出答案. 三、运用新知，深化理解 1.已知内径为120mm的圆柱玻璃杯和内径为300mm，内高为32mm的圆柱形玻璃盆可以盛同样多的水，则玻璃杯的内高为（）. A.150mm B.200mm C.250mm D.300mm 2.一根绳子刚好可以围成一个边长为6cm的正方形，如果用这根绳子围成一个长8cm 的长方形，这个长方形的宽为_______cm，面积是_______cm2. 3.如图所示，将一个底面直径为10cm，高为 36cm的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径为20cm的“矮胖”形圆柱.假设在锻压过程中圆柱的体积保持不变，那么高变成了多少？ 第3题图第4题图 4.墙上钉着一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如右图实线所示（单位：cm）.小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如右图虚线所示，小颖所钉长方形的长、宽各为多少厘米? 【教学说明】学生自主完成，加深对新学知识的理解，检测对运用一元一次方程解决等积变形问题的掌握情况？对学生的疑惑教师应及时加以指导.完成上述题目后，教师引导学生完成练习册中本课时练习的课堂作业部分. 【答案】 1.B 2.4 32 3.设高度为xcm，由题意得： π×52×36=π×102x

初一数学《应用一元一次方程——水箱变高了》知识点总结

初一数学《应用一元一次方程——水箱变高了》知识点总结 初一数学《应用一元一次方程——水箱变高了》知识点总结 知识点总结 1.这类应用题中所涉及的公式 （1）长方形的周长=2（长+宽） （2）长方形的面积=长×宽 （3）长方体的体积=长×宽×高 （4）正方体的体积=边长×边长×边长 （5）圆的周长=2πr （6）圆的面积=πr2 （7）圆柱的体积=底面积×高=πr2h 2.形积变化问题 （1）形状发生了变化，而体积没变.此时，等量关系为变化前后体积相等. （2）形状、面积发生了变化，而周长没变.此时，等量关系为变化前后周长相等. （3）形状、体积不同，但根据题意能找出体积之间的关系，把这个关系作为等量关系. 3.例题讲解 例1某农民准备利用一面旧墙围一长方形鸡舍，他编好了6米竹篙笆,考虑三种方案. （1）要使长比宽多0.6米，此时长方形的长和宽及面积各是多少?（2）要使长比宽多0.3米，此时长方形的长和宽及面积各是多少?（3）要伸长和宽相等，此时长方形的边长是多少米? 解：如图所示，设长方形的宽为x米 （1）根据题意，得x+x+(x+0.6)=6,

解得x=1.8,1.8+0.6= 2.4.1.8x2.4=4.32. 这时长方形的长是2.4米，宽1.8米，面积是4.3方米. （2）根据题意，得x+x+(x+0.3)=6，解得x=1.9,1.9+0.3= 2.2.1.9x2.2=4.18. 这时长方形的长是2.2米，宽是1.8米，面积是4.18平方米.（3）根据题意，得 3x=6, x=2, 2x2=4. 这时长方形的边长是2米，面积是4平方米. 说明:当材料一定时，三种方案所围成的面积不同，其中第一种方案面积较大，值得选择，这是一个解方程探究最优方案的问题. 图文导学

一元一次方程的应用之水箱变高

一元一次方程的应用之水箱变高 1.在一个长50 cm、宽40 cm的长方体玻璃缸中放入一块棱长为2 dm(分米)的正 方体铁块（铁块完全浸没水中且不溢出），水面会上升多少？ 2.底面积为50平方厘米的圆柱形容器中装有水，水面上漂浮着一块棱长为5厘 米的正方体木块，木块浮出水面的高度是2厘米．若将木块从容器中取出，水面将下降多少厘米？ 3.在一个长100 cm、宽80 cm的长方体水槽中放入一个长方体铁块，铁块完全 浸入水中时，水面上升了4 cm，如果铁块的长是40 cm，宽是20 cm，那么它的高是多少厘米？

4.有一个长方体玻璃鱼缸，长8 dm(分米)，宽4 dm，高6 dm，鱼缸里原来有一 些水，放入4个同样大的玻璃球后，水面上升了1 cm，每个玻璃球的体积是多少立方厘米？ 5.一个正方体容器，容器内部边长为24厘米，存有若干水，水深17.2厘米，现 将一些碎铁块放入容器中，铁块沉入水底，水面上升2.5厘米，如果将这些铁块铸成一个和容器等高的实心圆柱，重新放入池中，则水面升高多少厘米？ 6.一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米， 今将一个底面半径为2厘米，高为17厘米的铁圆柱垂直放入容器中，求这时容器的水深是多少厘米？

7.有一个底面直径和高均为5米的圆柱形储水箱，现在为减少原有储水箱的占 地面积，需要将它的底面直径由5米减少为4米，那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的5米变成多少米？ 8.一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深8 厘米，现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后，现在水深多少厘米？ 9.有一个底面直径为6米和高为2米的圆柱形储水箱，现该将它的底面直径由6 米减少为4米，那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的2米变成多少米？

5.3 应用一元一次方程——水箱变高了

5.3 应用一元一次方程——水箱变高了 【教学目标】 1、会利用表格、图示分析形积问题中的数量关系。 2、能抓住等量关系列一元一次方程解决有关形积变化的问题。 【教学重难点】 重点:列一元一次方程解简单的图形变化的应用题. 难点:从复杂问题中挖掘条件,由“未知”向“已知”转化,寻找相等关系. 【教学过程】 一、提出问题(一) 某居民楼顶有一个底角直径和高均为4 m的圆柱形水箱.现该楼进行维修改造,为减少楼顶原有储水箱的占地面积,需要将它的底面直径由4 m减少为3.2 m.那么在容积不变的前提下,水箱的高度由原先的4 m增高为多少米? 在这个问题中,有如下的等量关系:旧水箱的容积=新水箱的容积. 设水箱的高度为x,填写下表: 根据等量关系,列出方程:. 解得x= . 因此,水箱的高变成了m. (1)看一看:让学生观察水箱由“矮”变“高”的变化过程; (2)列一列:根据问题中的等量关系列出方程,并解方程,使问题(一)得到解决.

1.引导学生分析问题中的已知量与未知量. 2.用实物模拟演示水箱由“矮”变“高”的变化过程. 3.引导学生探究问题中的等量关系,列方程并解方程. 学生独立思考,找出解决问题的方法和思路,列方程,解决问题(一). 通过观察、演示、分析问题中各个量之间的关系使学生初步体验把实际问题转化为数学问题的“化归”过程. 二、提出问题(二) 用一根长为10米的铁丝围成一个长方形. (1)使得该长方形的长比宽多1.4米,此时长方形的长、宽各为多少米? (2)使得该长方形的长比宽多0.8米,此时长方形的长、宽各为多少米?它所围成的长方形与(1)中所围成的长方形相比,面积有什么变化? (3)使得该长方形的长与宽相等,即围成一个正方形,此时正方形的边长是多少?它所围成的图形的面积与(2)中相比又有什么变化? 1.分组讨论。 2.抽派小组代表阐述解题的步骤以及思路,并展示自己所在的小组所作的长方形(或正方形). 3.通过猜测、验证说明三个长方形面积变化的规律. 分析:由题意可知,长方形的周长始终是不变的,即长与宽的和为:10×=5(m).在解决这个问题的过程中,要抓住这个等量关系. 解:(1)设此时长方形的宽为x m,则它的长为(x+1.4)m. 根据题意,得x+x+1.4=10×. 解这个方程,得x=1.8.

北师大版初一数学上册一元一次方程的应用—水箱变高了

应用一元一次方程—水箱变高了 教学目标： 1、借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系，体会直接或间接设未知数的解题思路，从而建立方程，解决实际问题. 2、通过分析图形问题中的数量关系体会方程模型的作用，进一步提高学生分析问题、解决问题、敢于提出问题的能力. 3、通过对实际问题的探讨，使学生在动手独立思考、方程意识的过程中，进一步体会数学应用的价值，鼓励学生大胆质疑，激发学生的好奇心和主动学习的欲望. 教学重难点：寻找问题中的等量关系，建立一元一次方程，使实际问题数学化。 教学过程： 一、情景导入 1、读故事回答问题：成语“朝三暮四”的故事 从前有个叫狙公的人养了一群猴子.每天他都拿足够的栗子给猴子吃，猴子高兴他也快乐.有一天他发现如果再这样喂猴子的话，等不到下个栗子的收获季节，他和猴子都会饿死，于是他想了一个办法，并且把这个办法说给猴子听，当猴子们听到只能早上吃四个，晚上吃三个栗子的时候都很是生气，呲牙咧嘴的.没办法狙公只好说早上三个，晚上四个，没想到猴子们一听高兴得直打筋斗.）请回答：猴子为什么高兴了？事实又是怎样的呢？ 2、如图，两瓶矿泉水（容量一样，一个短且宽，另一个长且窄）.则两瓶矿泉水你 认为（高的多，矮的多，一样多）。 3、阅读课本P 141思考下列问题： （1）、这个问题中的等量关系是：旧水箱的 =新水箱的 （2）、设水箱的高变为x m ，填写下表： （3）、根据等量关系，列出方程： 解得： x . 因此，水箱的高变成了 m 4、变式练习：将一个底面直径是20厘米，高为9厘米 的“矮胖”形圆柱锻压成底面直径是10厘米的“瘦长”形圆柱，高变成了多少？ 这个问题中的等量关系是： 解： 旧水箱 新水箱 底面直径/m 底面半径/m 高/m 容积/m 3

应用一元一次方程——水箱变高了

5.3应用一元一次方程——水箱变高了 制作人：王目桥审核人： 【学习目标】 （1）通过分析图形问题中的数量关系，建立方程解决问题。 （2）体会运用方程解决问题的关键是找出等量关系，以及认识方程模型的重要性。 （3）通过对“变量中的不变量”的分析，提高分析问题、解决问题的能力。 【重点、难点】 重点：“形积”之间的变化问题。 难点：找出“变量中的不变量”，建立等量关系。 【学习过程】 一、课前预习 1、解一元一次方程的一般步骤有哪些？ 2、相关公示： 长方体体积= ××正方体体积= 圆柱体体积= 圆锥体体积= 长方形周长= 三角形面积= 长方形面积= 梯形的面积= 圆的周长= 圆的面积= 二、新课探究 听老师讲故事：阿基米德洗澡的故事，听完后，让学生思考：在这一过程中，哪些是变量？哪些是不变量？ 引出课题： 提问：“水箱变高了”指的是什么？在这一情景中哪些是变量？哪些是不变量？（二人一组交流） 三、典例分析： 例1：（思考与交流）：如图将一个底面直径为20cm，高为10cm的圆柱，锻造成一个直

径为10cm 的“高”圆柱，它的高变成了多少？ 请回答：（1）在锻造圆柱的过程中，哪些是变量？哪些是不变量？ （2）相等关系为： ，即： 。 （3）设未知数： 。 （4）所列方程为： 。 （请同学们独自求出此方程的解） 总结：等体积变形：即物体的 或 发生变化，但变化前后的 不变， 利用 这一等量关系，可列方程解决等积变形问题。 变式训练：有一个底面直径为10m 的圆柱形储油器，油中浸有一个钢球，其直径为2m ，若 从油中捞出钢球，问液面将下降多少米？ 例2：（思考与交流） 用一根铁丝可围成边长为9cm 的正方形，若用这根铁丝围成长比宽多2cm 的长方形，则长方形的面积是多少？ 请回答：（1）在这一过程中，变量是 ，不变量是 。 （2）相等关系是： 。 锻压

一元一次方程应用(一)水箱变高了与打折销售(基础)知识讲解

一元一次方程应用（一）-- 水箱变高了与打折销售（基础）知识讲解 【学习目标】 1.能分析简单问题中的数量关系，并建立方程解决问题；体会利用方程解决问题的关键是寻找等量关系． 2.进一步经历运用方程解决实际问题的过程，体会数学的应用价值. 【要点梳理】 要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤 列方程解应用题的基本思路为：问题−−− →分析 抽象方程−−−→求解检验 解答．由此可得解决此类 题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 要点诠释： （1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值； （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 要点二、水箱变高了（等积变形问题） “等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常见类型：①形状面积变了，周长没变；②原体积＝变化后体积. 常用的面积、体积公式： 长方形的周长公式：(长+宽)×2；面积公式：长×宽 长方体的体积公式：长×宽×高 正方形的周长公式：边长×4； 面积公式：边长×边长 正方体体积公式：边长×边长×边长 圆的周长公式：C=2d r ππ=；面积公式：2 S r π=； 圆柱的体积公式：V 柱=底面积×高；圆锥的体积公式：V 锥= 1 3 ×底面积×高 要点诠释：寻找等量关系的方法，抓住两个等量关系：第一，形变体积不变；第二，形变体积也变，但重量不变. 要点三、打折销售（利润问题） (1)-= 100%=100%⨯⨯利润售价成本 利润率成本成本 (2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) (3) 实际售价＝标价×打折率 (4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率

七年级数学上册第五章一元一次方程应用一元一次方程水箱变高了学案北师大

5.3应用一元一次方程 ——水箱变高了 班别：学号：姓名： 一、预习 1、两个圆柱容器它们的半径分别是2cm和4cm，高分别是20cm和15cm，我们先在第一个容器中装满水，然后将其倒入第二个容器中.问：倒完以后，第二个容器中的水面高度是多少？ 分析：题目中的不变。 解：设水面高度是X cm，依题意得 解得 答：第二个容器中的水面高度是 2、小明用长250cm的铁丝围成一个长方形,并且长方形的长比宽多25cm,求这个长方形的长。 分析：题目中的等量关系是 解： 3、思考列方程解应用题的关键是什么？ 二、课堂学习 1、某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱。现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m减少为3.2m。那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4m变为多少米？ 分析：在这个问题中的等量关系是： ________ 解：设水箱的高变为x m,填写下表: 旧水箱新水箱 底面半径/m 高/m 体积/m3 根据等量关系，列出方程：

解得x= 因此，水箱的高变成了 m。 2、用一根长为20米的铁丝围成一个长方形. （1）使得长方形的长比宽多4米.此时长方形的长和宽各为多少米？面积是多少？ （2）使得长方形的长比宽多2米，此时长方形的长和宽各为多少米? 面积是多少？ （3）使得长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么正方形的边长是多少? 面积是多少？（4）如果把这根长为20米的铁丝围成一个圆，这个圆的半径是多少？面积是多少？ 归纳：列方程解图形问题时，等量关系常常是____ ______保持不变。 三、课堂检测