2015年陕西省高考数学试卷(文科)

2015年陕西省高考数学试卷（文科）

一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（每小题5分，共60分）

1．（5分）设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（）A．[0，1] B．（0，1] C．[0，1）D．（﹣∞，1]

2．（5分）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）

A．93 B．123 C．137 D．167

3．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线焦点坐标为（）

A．（﹣1，0）B．（1，0） C．（0，﹣1）D．（0，1）

4．（5分）设f（x）=，则f（f（﹣2））=（）

A．﹣1 B．C．D．

5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+4

6．（5分）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

7．（5分）根据如图框图，当输入x为6时，输出的y=（）

A．1 B．2 C．5 D．10

8．（5分）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（）

A．||≤|||| B．||≤|||﹣|||

C．（）2=||2D．（）?（）=2﹣2

9．（5分）设f（x）=x﹣sinx，则f（x）（）

A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数

C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数

10．（5分）设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b）），则下列关系式中正确的是（）

A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q

11．（5分）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）

12．（5分）设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（）A．+ B．+C．﹣D．﹣

二.填空题：把答案填写在答题的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为．

14．（5分）如图，某港口一天6时到18时的水渠变化曲线近似满足函数y=3sin （x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为．

15．（5分）函数y=xe x在其极值点处的切线方程为．

16．（5分）观察下列等式：

1﹣=

1﹣+﹣=+

1﹣+﹣+﹣=++

…

据此规律，第n个等式可为．

三.解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共5小题，共70分）

17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量=（a ，b ）

与=（cosA ，sinB ）平行． （Ⅰ）求A ； （Ⅱ）若a=

，b=2，求△ABC 的面积．

18．（12分）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD=，AB=BC=AD=a ，

E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到如图2中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1﹣BCDE ．

（Ⅰ）证明：CD ⊥平面A 1OC ；

（Ⅱ）当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1﹣BCDE 的体积为36，求a

的值．

19．（12分）随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：

（Ⅰ）在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；

（Ⅱ）西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．

20．（12分）如图，椭圆E ：

+

=1（a ＞b ＞0）经过点A （0，﹣1），且离心

率为．

（Ⅰ）求椭圆E 的方程；

（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q （均异于点A ），证明：直线AP 与AQ 斜率之和为2．

21．（12分）设f n （x ）=x+x 2+…+x n ﹣1，x ≥0，n ∈N ，n ≥2． （Ⅰ）求f n ′（2）；

（Ⅱ）证明：f n （x ）在（0，）内有且仅有一个零点（记为a n ），且0＜a n ﹣＜

（）n ．

三.请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选修4-1：几何证明选讲]

22．（10分）如图，AB 切⊙O 于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C ．

（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA ； （Ⅱ）若AD=3DC ，BC=

，求⊙O 的直径．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点

为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；

（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}

（Ⅰ）求实数a，b的值；

（Ⅱ）求+的最大值．

2015年陕西省高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（每小题5分，共60分）

1．（5分）设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（）A．[0，1] B．（0，1] C．[0，1）D．（﹣∞，1]

【分析】求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答案．

【解答】解：由M={x|x2=x}={0，1}，

N={x|lgx≤0}=（0，1]，

得M∪N={0，1}∪（0，1]=[0，1]．

故选：A．

【点评】本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题．

2．（5分）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（）

A．93 B．123 C．137 D．167

【分析】利用百分比，可得该校女教师的人数．

【解答】解：初中部女教师的人数为110×70%=77；高中部女教师的人数为150×40%=60，

∴该校女教师的人数为77+60=137，

故选：C．

【点评】本题考查该校女教师的人数，考查收集数据的方法，考查学生的计算能力，比较基础．

3．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线焦点坐标为（）

A．（﹣1，0）B．（1，0） C．（0，﹣1）D．（0，1）

【分析】利用抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），求得=1，即可求出抛物线焦点坐标．

【解答】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），

∴=1，

∴该抛物线焦点坐标为（1，0）．

故选：B．

【点评】本题考查抛物线焦点坐标，考查抛物线的性质，比较基础．

4．（5分）设f（x）=，则f（f（﹣2））=（）

A．﹣1 B．C．D．

【分析】利用分段函数的性质求解．

【解答】解：∵，

∴f（﹣2）=2﹣2=，

f（f（﹣2））=f（）=1﹣=．

故选：C．

【点评】本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分段函

数的性质的合理运用．

5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

A．3πB．4πC．2π+4 D．3π+4

【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，代入柱体表面积公式，可得答案．

【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，

故该几何体的表面积S=2×π+（2+π）×2=3π+4，

故选：D．

【点评】本题考查的知识点是柱体的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．

6．（5分）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【分析】由cos2α=cos2α﹣sin2α，即可判断出．

【解答】解：由cos2α=cos2α﹣sin2α，

∴“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件．

故选：A．

【点评】本题考查了倍角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．

7．（5分）根据如图框图，当输入x为6时，输出的y=（）

A．1 B．2 C．5 D．10

【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的值，当x=﹣3时不满足条件x≥0，计算并输出y的值为10．

【解答】解：模拟执行程序框图，可得

x=6

x=3

满足条件x≥0，x=0

满足条件x≥0，x=﹣3

不满足条件x≥0，y=10

输出y的值为10．

故选：D．

【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的x的值是解题的关键，属于基础题．

8．（5分）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（）

A．||≤|||| B．||≤|||﹣|||

C．（）2=||2D．（）?（）=2﹣2

【分析】由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得．

【解答】解：选项A恒成立，∵||=|||||cos＜，＞|，

又|cos＜，＞|≤1，∴||≤||||恒成立；

选项B不恒成立，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得||≥|||﹣|||；

选项C恒成立，由向量数量积的运算可得（）2=||2；

选项D恒成立，由向量数量积的运算可得（）?（）=2﹣2．

故选：B．

【点评】本题考查平面向量的数量积，属基础题．

9．（5分）设f（x）=x﹣sinx，则f（x）（）

A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数

C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数

【分析】利用函数的奇偶性的定义判断f（x）为奇函数，再利用导数研究函数的单调性，从而得出结论．

【解答】解：由于f（x）=x﹣sinx的定义域为R，且满足f（﹣x）=﹣x+sinx=﹣f（x），

可得f（x）为奇函数．

再根据f′（x）=1﹣cosx≥0，可得f（x）为增函数，

故选：B．

【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，利用导数研究函数的单调性，属于基础题．

10．（5分）设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b）），则下列关系式中正确的是（）

A．q=r＜p B．p=r＜q C．q=r＞p D．p=r＞q

【分析】由题意可得p=（lna+lnb），q=ln（）≥ln（）=p，r=（lna+lnb），可得大小关系．

【解答】解：由题意可得若p=f（）=ln（）=lnab=（lna+lnb），

q=f（）=ln（）≥ln（）=p，

r=（f（a）+f（b））=（lna+lnb），

∴p=r＜q，

故选：B．

【点评】本题考查不等式与不等关系，涉及基本不等式和对数的运算，属基础题．

11．（5分）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）

【分析】设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值．

【解答】解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，

则，

目标函数为z=3x+4y．

作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．

由z=3x+4y得y=﹣x+，

平移直线y=﹣x+由图象可知当直线y=﹣x+经过点B时，直线y=﹣x+的截距最大，

此时z最大，

解方程组，解得，

即B的坐标为x=2，y=3，

=3x+4y=6+12=18．

∴z

max

即每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，

故选：D．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，建立约束条件和目标函数，利用数形结合是解决本题的关键．

12．（5分）设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（）A．+ B．+C．﹣D．﹣

【分析】判断复数对应点图形，利用几何概型求解即可．

【解答】解：复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，它的几何意义是以（1，

0）为圆心，1为半径的圆以及内部部分．y≥x的图形是图形中阴影部分，如图：

复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率：=．故选：C．

【点评】本题考查复数的几何意义，几何概型的求法，考查计算能力以及数形结合的能力．

二.填空题：把答案填写在答题的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 5 ．

【分析】由题意可得首项的方程，解方程可得．

【解答】解：设该等差数列的首项为a，

由题意和等差数列的性质可得2015+a=1010×2

解得a=5

故答案为：5

【点评】本题考查等差数列的基本性质，涉及中位数，属基础题．

14．（5分）如图，某港口一天6时到18时的水渠变化曲线近似满足函数y=3sin （x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为8 ．

【分析】由图象观察可得：y

=﹣3+k=2，从而可求k的值，从而可求

min

=3+k=3+5=8．

y

max

【解答】解：∵由题意可得：y

=﹣3+k=2，

min

∴可解得：k=5，

=3+k=3+5=8，

∴y

max

故答案为：8．

【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．15．（5分）函数y=xe x在其极值点处的切线方程为y=﹣．

【分析】求出极值点，再结合导数的几何意义即可求出切线的方程．

【解答】解：依题解：依题意得y′=e x+xe x，

令y′=0，可得x=﹣1，

∴y=﹣．

因此函数y=xe x在其极值点处的切线方程为y=﹣．

故答案为：y=﹣．

【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．

16．（5分）观察下列等式：

1﹣=

1﹣+﹣=+

1﹣+﹣+﹣=++

…

据此规律，第n个等式可为+…+=+…+．【分析】由已知可得：第n个等式含有2n项，其中奇数项为，偶数项为﹣

．其等式右边为后n项的绝对值之和．即可得出．

【解答】解：由已知可得：第n个等式含有2n项，其中奇数项为，偶数项为﹣．其等式右边为后n项的绝对值之和．

∴第n个等式为：+…+=+…+．

【点评】本题考查了观察分析猜想归纳求数列的通项公式方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

三.解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共5小题，共70分）17．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．

（Ⅰ）求A；

（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．

【分析】（Ⅰ）利用向量的平行，列出方程，通过正弦定理求解A；

（Ⅱ）利用A，以及a=，b=2，通过余弦定理求出c，然后求解△ABC的面积．

【解答】解：（Ⅰ）因为向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行，

所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB ≠0，

所以tanA=，可得A=；

（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA ，可得7=4+c 2﹣2c ，解

得c=3，

△ABC 的面积为：=．

【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．

18．（12分）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD=

，AB=BC=AD=a ，

E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到如图2中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1﹣BCDE ．

（Ⅰ）证明：CD ⊥平面A 1OC ；

（Ⅱ）当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1﹣BCDE 的体积为36，求a

的值．

【分析】（I ）运用E 是AD 的中点，判断得出BE ⊥AC ，BE ⊥面A 1OC ，考虑CD ∥DE ，即可判断CD ⊥面A 1OC ．

（II ）运用好折叠之前，之后的图形得出A 1O 是四棱锥A 1﹣BCDE 的高，平行四边形BCDE 的面积S=BC?AB=a 2，运用体积公式求解即可得出a 的值．

【解答】解：

（I ）在图1中，

因为AB=BC==a ，E 是AD 的中点，

∠BAD=

，

所以BE ⊥AC ，

即在图2中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC ， 从而BE ⊥面A 1OC ， 由CD ∥BE ， 所以CD ⊥面A 1OC ，

（II ）即A 1O 是四棱锥A 1﹣BCDE 的高，

根据图1得出A 1O=

AB=

a ，

∴平行四边形BCDE 的面积S=BC?AB=a 2，

V==

a=

a 3，

由a=

a 3=36

，得出a=6．

【点评】本题考查了平面立体转化的问题，运用好折叠之前，之后的图形，对于空间直线平面的位置关系的定理要很熟练．

19．（12分）随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：

（Ⅰ）在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；

（Ⅱ）西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．

不下雨的概率；

（Ⅱ）求得4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，可得晴天的次日不下雨的概率，即可得出结论．

【解答】解：（Ⅰ）在4月份任取一天，不下雨的天数是26，以频率估计概率，估计西安市在该天不下雨的概率为；

（Ⅱ）称相邻的两个日期为“互邻日期对”，由题意，4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的概率为，

从而估计运动会期间不下雨的概率为．

【点评】本题考查概率的应用，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键．

20．（12分）如图，椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ斜率之和为2．

【分析】（Ⅰ）运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，进而得到椭

圆方程；

（Ⅱ）由题意设直线PQ 的方程为y=k （x ﹣1）+1（k ≠0），代入椭圆方程+y 2=1，

运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可得到结论． 【解答】解：（Ⅰ）由题设知，=，b=1，

结合a 2=b 2+c 2，解得a=，

所以

+y 2=1；

（Ⅱ）证明：由题意设直线PQ 的方程为y=k （x ﹣1）+1（k ≠0）， 代入椭圆方程

+y 2=1，

可得（1+2k 2）x 2﹣4k （k ﹣1）x+2k （k ﹣2）=0， 由已知得（1，1）在椭圆外， 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），x 1x 2≠0，

则x 1+x 2=

，x 1x 2=

，

且△=16k 2（k ﹣1）2﹣8k （k ﹣2）（1+2k 2）＞0，解得k ＞0或k ＜﹣2． 则有直线AP ，AQ 的斜率之和为k AP +k AQ =+

=

+

=2k+（2﹣k ）（

+

）=2k+（2﹣k ）?

=2k+（2﹣k ）?=2k ﹣2（k ﹣1）=2．

即有直线AP 与AQ 斜率之和为2．

【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式，属于中档题．

21．（12分）设f n （x ）=x+x 2+…+x n ﹣1，x ≥0，n ∈N ，n ≥2． （Ⅰ）求f n ′（2）；