第二章 导数与微分自测题(附答案)

自测题A

一. 选择题

1.设)(x f 在),(b a 内连续,),(0b a x ∈,则在点0x 处)(x f ________. A.极限存在且可导 B.极限不存在,但可导 C.极限存在,但不一定可导 D.极限不一定存在

2.曲线x x y 42-=上,切线平行于直线230x y -+=的点的坐标为________. A.(1,-3) B.(3,-3) C.(-1,5) D.(2,0) 3.设l a x a f x f a

x =--→2

)

()

()(lim

,其中l 为有限值,则)(x f 在点a x =处________. A.可导且0)('=a f B.可导但0)('≠a f C.不一定可导 D.肯定不可导

4.设???<+≥=0

2sin 0

)(x x b x e x f ax 在点0=x 处可导,则b a ,的值为________.

A.1,0==b a

B.1,2=-=b a

C.1,2==b a

D.2,1==b a

5.设)(x f 在0x 点可微,且0)('0≠x f ,则当x ?很小时≈?+)(0x x f ________. A.)(0x f B.x x f ?)('0 C.x x x f ??+)('0 D.x x f x f ?+)(')(00 6.可微的周期函数其导函数________.

A.一定是周期函数,且周期不变

B.一定是周期函数,但周期可能发生变化

C.不一定是周期函数

D.一定不是周期函数 7.设)(x f 为可微的偶函数,且对2

1

)('),0(000=≠x f x x ,则=-)('0x f ________. A.

21 B.2

1

- C.2 D.-2 8.设??

???=≠+=0

001)(1

x x e x

x f x

,则)(x f 在0=x 处( ).

A .左导数不存在 B. 右导数不存在 C. 0)0('=f D. 不可导 二. 填空题

1. 00

00()2lim

(2)()

x x

f x f x x f x →'=---已知,则=______________.

2.曲线04ln 2=-+x y xy 在点)2,1(-处的切线方程为______________. 3.设0)0(=f ,且21

)0('=

f ,则x

x f x )(lim 0→=______________.

4.设ln ln 2n

x t

y t =??=+?,则221

2

t d y dx ==______________.

5.设)(x f 在点1=x 处具有连续导数,且2

1

)1('=

f ,则 )(cos lim 0

x f dx

d

x +

→=______________.

6.设x x

e x y 1=,则'y =______________.

7.设)()1()(3x x x f ?-=,其中)(x ?在点1=x 处连续且(1)

2?=,则

)1('f =______________.

8.设x x y ln =,则)10(y =______________. 三. 计算题

1.21ln arctan x x x y +-=,求

dy

dx

。 2.)ln(2

2

x a x y ++=,求22d y

dx

3.)(ln )(ln x f x f y +=,其中()f x 具有二阶导数,求22d y

dx

4

第二章 导数与微分自测题(附答案)

第二章 导数与微分自测题(附答案)

.设y =dy 。 5.设[])(x x f y ?+=,其中)(),(x u f ?为可微函数,求dy 。 6.设π

0(sin )1cos ,()2

x f x x f x '''<<

=-,且求。 7.用对数求导法求函数()

()

5

4

132+-+=

x x x y 的导数。

8.设()1sin ,0 0,0

n

x x f x x

x ?≠?

=??=? (n 为正整数),问n 取何值时, (1)()f x 在0x =处连续;

(2)()f x 在0x =处可导,并求()f x '; (3)()f x '在0x =处连续。

自测题A 参考答案

一. 选择题

1.C 2.B 3.A 4.C 5.D 6.A 7.B 8.D 二. 填空题

2. 14 2.1522y x =- 3.12 4. 2

n n 2

5.14-

6.()1

12[1ln ]x x

x

y x

x x

e -'=-+ 7.6 8.

98!x

三. 计算题

1.21ln arctan x x x y +-=,求

dy dx

。 22

12arctan arctan 121x x

y x x x x '=+

-=++ 2.)ln(2

2

x a x y ++=,求22d y

dx

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3

22

2

1()y y x x a -

??'''=

==-+??

3.)(ln )(ln x f x f y +=,其中f (x )具有二阶导数,求22d y

dx

[]

2

222

1'()11()()(())(ln ),(ln )(ln )()()'''-'''''''=+=-+f x f x f x f x y f x y f x f x x f x x x f x 4

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.设y =dy 。

322

第二章 导数与微分自测题(附答案)

22

11111

()arcsin 21111(1)

x y x x x

x x x '=+=

--+----

=x x x arcsin )

1(2

32--

,故xdx x x dy arcsin )

1(2

32--

=。

5.设[])(x x f y ?+=,其中)(),(x u f ?为可微函数,求dy 。

[][][][]()()()1()dy f x x d x x f x x x dx ????'''=++=++

6.设0,'(sin )1cos ,''()2

x f x x f x π

<<

=-且求。

?法一? 将原方程两边对x 求导得:

sin (sin )cos sin ,(sin )cos x f x x x f x x ''''==

=

,

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故,()f x ''=

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?法二?

由原方程(sin )1f x '=

,故()1f x '=

第二章 导数与微分自测题(附答案)

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所以()f x ''=

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7.用对数求导法求函数()

()

5

4

132+-+=

x x x y 的导数。

解:

()5

4ln ln 3ln 1y x x ==--+

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1

ln 24ln 35ln 12

x x x =

++--+ 两边对x 求导,得

1114152231

y y x x x '=?+-+-+

,故 )()()4

5

314522311x y x x x x ??

-'=

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+-??+-++??

. 8.设()1sin ,0

0,0

n

x x f x x

x ?≠?=??=? (n 为正整数),问n 取何值时,

(1)()f x 在0x =处连续;

(2)()f x 在0x =处可导,并求()f x '; (3)()f x '在0x =处连续。

解:(1)由

()()0

1

sin 00lim lim n

x x f x x f x

→→===知,当n 1≥时, 上式成立,即12n =???,

,时,()f x 在x =0处连续; (2)因()()()

-100

1

sin

01'0sin lim lim lim n n x x x x f x f x f x x x x →→→-=

== 显然,当-10n >,,即23n =???,,时,上述极限存在,且()00f '=,此时

()12

11sin cos ,0

0 ,0n n nx x x f x x x

x --?-≠?=??=?

(3)

()120

11

(sin cos )lim lim n n x x f x nx x x x

--→→'=-,易看出, 当-20n >,即34n = ,

,时,有()()0

00lim x f x f →''==,此时,()f x '在x =0连续。

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