初中数学专题：二次函数图象和性质
专题：二次函数c bx ax
y ++=2
图象和性质
一、知识要点
1．二次函数的定义：形如c bx ax y ++=2（其中c b a ,,为常数，0≠a ）的函数叫做二次函数．（0≠a ，c b ,可等于0．）二次函数的图象：是一条___________． 2．二次函数的图象的性质：
（1）平移二次函数2ax y =的图象可得到k h x a y +-=2)(的图象：
（2）c bx ax y ++=2
通过配方可得a
b a
c a b x a y 44)2(2-++=，
其抛物线关于直线a b
x 2-=对称，顶点坐标为)44,
2(2a b ac a b --， 当0>a 时，开口向上，当a b
x 2-=时，y 取最小值a b ac 442-；
当0 b x 2-=时，y 取最大值a b ac 442-． （3）当042>-=∆ac b 时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点， 当042<-=∆ac b 时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴无交点， 当042=-=∆ac b 时， 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴只有一个交点（•即相切）． 二、知识运用典型例题 例1、填表： 例2、如果将抛物线k h x a y +-=)(图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线 2)3(2 1 -= x y （1）求k h a ,,的值； （2）指出k h x a y +-=2)(的开口方向，对称轴，顶点坐标和增减性； （3）如果继续向右平移5个单位，再向下平移1个单位，求平移后的抛物线的关系式。 例3、（07天津）已知抛物线2 5212-+= x x y ． （1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴． （2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，求线段AB 的长． 例4、确定下列函数的顶点和对称轴： （1）5)3(22--=x y （2）2632+-=x x y （3）)2)(3(3-+-=x x y （4）2)3(2+-=x y 例5、如图1所示,已知抛物线c bx ax y ++=2的图像, 试确定下列各式的符号: a ____0, b ____0, c _____0; c b a ++_____0； 图3 c b a +-_____0； a b 2+___ __0； ac b 42-_____0。 方法小结： 应用： （1）二次函数c bx ax y ++=2的图像如图2，则点),(a c b M 在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 （2）（05武汉）已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图3所示，•则下列结论：①b a ,同号；②当1=x 和3=x 时，函数值相等；③04=+b a ；④当2-=y 时，x 的值只能取0.其中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 （3）（2009年南宁市）已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图4所示，有下列四个结论： ①0c ③042>-ac b ④0<+-c b a ，其中正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 例6、（2009甘肃兰州）如图5，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM 为12米. 现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系. (1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求这条抛物线的解析式； (3)若要搭建一个矩形“支撑架”CB DC AD --，使D C ,点在抛物线上，B A ,点在地面OM 上，则这 O A 个“支撑架”总长的最大值是多少？ 例7、如图6所示,公园要造圆形的喷水池, 在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O 恰在水面中心,OA=1.25m,由柱子顶端A 处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在离OA 距离为1m 处达到距水面距离最大,高度2.25m. 若不计其他因素, 那么水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不致落到池外? 三、知识运用课堂训练 1、（2009年深圳市）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图7所示， 若点),1(1y A 、),1(2y B 是它图象上的两点，则1y 与2y 的大小关系是（ ） A ．21y y < B ．21y y = C ．21y y > D ．不能确定 2、（2009年遂宁）把二次函数34 12+--=x x y 用配方法化成()k h x a y +-=2的形式 Ａ． A.()2 2 4 12 + - - =x y B. ()4 2 4 12 + - =x y C.()4 2 4 12 + + - =x y D. 3 2 1 2 12 + ⎪ ⎭ ⎫ ⎝ ⎛ - =x y 3、（2009年新疆乌鲁木齐市）要得到二次函数2 2 2- + - =x x y的图象，需将2x y- =的图象（）． A．向左平移2个单位，再向下平移2个单位 B．向右平移2个单位，再向上平移2个单位C．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位4、（2008年泰安市）在同一直角坐标系中，函数m mx y+ =和2 2 2+ + - =x mx y（m是常数，且0 ≠ m） 的图象可能 ．．是（） 5、（2008福建福州）已知抛物线1 2- - =x x y与x轴的一个交点为)0, (m，则代数式2008 2+ -m m的值为（） A．2006 B．2007 C．2008 D．2009 6、（2008襄樊市）如图8，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m） 之间的关系是 3 5 3 2 12 1 2+ + - =x x y．则他将铅球推出的距离是m． 7.已知二次函数1 )1 ( 2- + - + =m x m mx y的图像有最低点,且最低点的纵坐标是零,则= m_______. 8已知二次函数3 2 )1 (22 2- - + - - =m m x m x y的图像与函数x x y6 2+ - =的图像交于y轴一点,则= m_______. 9.（2009年黄石市）已知二次函数c bx ax y+ + =2的图象如图9所示，有以下结论：①0 < + +c b a；②1 > + -c b a；③0 > abc；④0 2 4< + -c b a；⑤1 > -a c其中所有正确结论的序号是（）A．①② B．①③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤ 10、一次函数3 2+ =x y，与二次函数c bx ax y+ + =2的图象交于)5, (m A和) ,3(n B两点，且当3 = x时， 抛物线取得最值为9． （1）求二次函数的表达式； （2）在同一坐标系中画出两个函数的图象； （3）从图象上观察，x 为何值时，一次函数与二次函数的值都随x 的增大而增大． （4）当x 为何值时，一次函数值大于二次函数值？ 第十五讲 知识运用课后训练 等级 1、(2008年安徽省)如图为二次函数c bx ax y ++=2的图象，在下列说法中： （1）0 2、（2008枣庄市）已知二次函数)0(21≠++=a c bx ax y 与一次函数)0(2≠+=k m kx y 的图象相交于点A （－2，4），B （8，2）（如图所示）， 则能使21y y >成立的x 的取值范围是 ． 3、(08年宁夏回族自治区)已知二次函数122--=x x y 。(1)求此二次函数的图象与x 轴的交点坐标．（2）二次函数2x y =的图象如图所示，将2x y =的图象经过怎样的平移，就可以得到二次函数 122--=x x y 的图象． 4、如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，左面的一条物线可以用109.00225.02++=x x y 表示，而且左右两条抛物线关于y 轴对称，你能写出右面钢缆的表达式吗？ 家长签字： 家长意见： 初中数学专题-二次函数图象与性质 知识点一、二次函数的定义： 形如y=ax2+bx+c(a≠0，a，b，c为常数)的函数称为二次函数(quadratic funcion) .其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项. 知识点二、二次函数的图象及画法 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是对称轴平行于y轴(或是y轴本身)的抛物线.几个不同的二次函数.如果二次项系数a相同，那么其图象的开口方向、形状完全相同，只是顶点的位置不同. 1. 用描点法画图象 首先确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称地画图.画结构图时应抓住以下几点：对称轴、顶点、与x轴的交点、与y轴的交点. 2. 用平移法画图象 由于a相同的抛物线y=ax2+bx+c的开口及形状完全相同，故可将抛物线y=ax2的图象平移得到a 值相同的其它形式的二次函数的图象.步骤为：利用配方法或公式法将二次函数化为y=a(x-h)2+k的形式，确定其顶点(h，k)，然后做出二次函数y=ax2的图象.将抛物线y=ax2平移，使其顶点平移到(h，k). 知识点三、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质 1.函数y=ax2(a≠0)的图象与性质： 函数a的符 号 图象 开口 方向 顶点坐 标 对称轴增减性 最大(小) 值 y=ax2a>0 向上 (0，0) y轴x>0时，y随x增大而增大 x<0时，y随x增大而减小 当x=0时， y最小=0 y=ax2a<0 向下 (0，0) y轴x>0时，y随x增大而减小 x<0时，y随x增大而增大 当x=0时， y最大=0 2.函数y=ax2+c(a≠0)的图象及其性质: (1)当a>0时，开口方向、对称轴、增减性与y=ax2相同，不同的是顶点坐标为(0，c)，当x=0时，y最小=c (2)当a<0时，开口方向、对称轴、增减性与y=ax2相同，不同的是顶点坐标为(0，c)，当x=0时，y最大=c 3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质： 考向3.5 二次函数的图象和性质 例1、（2021·四川德阳·中考真题）已知函数y 2 12 13x 583x 8x ≤⎧=⎨-+≤≤⎩（＜）（）（）的图象如图所示，若直线y ＝kx ﹣3与该图象有公共点，则k 的最大值与最小值的和为 _____． 解：当直线经过点（1，12）时，12=k -3，解得k =15； 当直线与抛物线只有一个交点时，（x -5）2+8=kx -3， 整理得x 2-（10+k ）x +36=0， ∴10+k =±12，解得k =2或k =-22（舍去）， ∴k 的最大值是15，最小值是2， ∴k 的最大值与最小值的和为15+2=17． 故答案为：17． 1、二次函数 抛物线位置与a ，b ，c 的关系： （1）a 决定抛物线的开口方向⎩⎨ ⎧⇔<⇔>开口向下 开口向上00a a （2）c 决定抛物线与y 轴交点的位置： c>0⇔图像与y 轴交点在x 轴上方；c=0⇔图像过原点；c<0⇔图像与y 轴交点在x 轴下方； （3）a ，b 决定抛物线对称轴的位置：a ，b 同号，对称轴在y 轴左侧；b ＝0，对称轴是y 轴； a ，b 异号。对称轴在y 轴右侧； 1、本题考查分段函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，结合图象求出k 的最大值和最小值是解题的关键； 2、二次函数的性质是中考必考点，熟悉并运用二次函数性质解决问题是考前学生必须掌握的内容； 例 2、（2021·山东泰安·中考真题）如图是抛物线2y ax bx c =++的部分图象，图象过点(3,0)，对称轴为直线1x =，有下列四个结论：①0abc >；②0a b c -+=；③y 的最大值为3；④方程210ax bx c +++=有实数根．其中正确的为________（将所有正确结论的序号都填入）． 解：∵抛物线的开口向下，与y 轴的交点在y 轴的正半轴， ∴a ＜0，c ＞0， ∵抛物线的对称轴为直线x =1， ∴﹣ 2b a =1，即b =﹣2a ＞0 ∴abc ＜0，故①错误； ∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为（3，0）， ∴根据对称性，与x 轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）， ∴a ﹣b +c =0，故②正确； 根据图象，y 是有最大值，但不一定是3，故③错误； 由210ax bx c +++=得2=1ax bx c ++﹣， 根据图象，抛物线与直线y =﹣1有交点， ∴210ax bx c +++=有实数根，故④正确， 综上，正确的为②④， 故答案为：②④． 专题：二次函数c bx ax y ++=2 图象和性质 一、知识要点 1．二次函数的定义：形如c bx ax y ++=2（其中c b a ,,为常数，0≠a ）的函数叫做二次函数．（0≠a ，c b ,可等于0．）二次函数的图象：是一条___________． 2．二次函数的图象的性质： （1）平移二次函数2ax y =的图象可得到k h x a y +-=2)(的图象： （2）c bx ax y ++=2 通过配方可得a b a c a b x a y 44)2(2-++=， 其抛物线关于直线a b x 2-=对称，顶点坐标为)44, 2(2a b ac a b --， 当0>a 时，开口向上，当a b x 2-=时，y 取最小值a b ac 442-； 当0-=∆ac b 时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点， 当042<-=∆ac b 时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴无交点， 当042=-=∆ac b 时， 抛物线c bx ax y ++=2与x 轴只有一个交点（•即相切）． 二、知识运用典型例题 例1、填表： 例2、如果将抛物线k h x a y +-=)(图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线 2)3(2 1 -= x y （1）求k h a ,,的值； （2）指出k h x a y +-=2)(的开口方向，对称轴，顶点坐标和增减性； （3）如果继续向右平移5个单位，再向下平移1个单位，求平移后的抛物线的关系式。 例3、（07天津）已知抛物线2 5212-+= x x y ． （1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴． （2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，求线段AB 的长． 例4、确定下列函数的顶点和对称轴： （1）5)3(22--=x y （2）2632+-=x x y （3）)2)(3(3-+-=x x y （4）2)3(2+-=x y 例5、如图1所示,已知抛物线c bx ax y ++=2的图像, 试确定下列各式的符号: a ____0, b ____0, c _____0; c b a ++_____0； 二次函数 专题讲义 考点回顾 一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念 一般地，如果)0,,(2 ≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。 )0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。 2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于a b x 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 3、二次函数图像的画法 五点法： （1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2 与坐标轴的交点： 当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。 二、二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2 ≠+-=a k h a k h x a y 是常数， （3）当抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存 在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2 可转化为两根式))((21x x x x a y --=。如果没有交点，则不能这样表示。 三、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当a b x 2- =时，a b a c y 442-=最值 。 初中数学教案：解析二次函数的性质与图像解析二次函数的性质与图像 一、二次函数的定义及基本性质 1. 什么是二次函数 二次函数是指函数的表达式可以写为f(x)=ax²+bx+c的形式，其中a、b和c是实数且a≠0。a决定了二次函数开口的方向，正值表示开口向上，负值表示开口向下。 2. 二次函数的顶点和对称轴 对于二次函数f(x)=ax²+bx+c，它的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。对称轴是过顶点且垂直于x轴的直线。 3. 二次函数的零点 零点是指使得f(x)=0成立的x值。通过求根公式或配方法可求得零点。 4. 二次函数的判别式 对于二次方程ax²+bx+c=0，它的判别式Δ=b²-4ac 可以用来判断其解的情况。 a) 当Δ>0时，方程有两个不相等实根； b) 当Δ=0时，方程有两个相等实根； c) 当Δ<0时，方程无实数解。 5. 二次函数图像及其性质总结 a) 当a>0时，图像开口朝上，顶点为最小值点，对称轴为x=-b/2a； b) 当a<0时，图像开口朝下，顶点为最大值点，对称轴为x=-b/2a； c) 当c>0时，图像在y轴上方交x轴； d) 当c<0时，图像在y轴下方交x轴。 二、解析二次函数的图像绘制和应用 1. 绘制二次函数图像的步骤 a) 确定顶点坐标：通过-b/2a计算得出顶点横坐标；将该横坐标代入函数表达式求得纵坐标。 b) 确定对称轴：通过顶点横坐标得出对称轴方程。 c) 确定零点：利用求根公式或配方法求出零点的具体值。 d) 画出图像：以顶点为中心向两边平移一定单位长度，然后连接各个关键点得到曲线。 2. 解析二次函数的常见应用 a) 求最值问题：通过分析函数开口方向以及判别式来确定极值情况。 b) 计算面积问题：可以利用二次函数与x,y轴所围成的区域面积来计算特定图形的面积。 c) 运动问题：可以利用二次函数的图像表示抛物线轨迹，分析抛物线对应的物体运动状态。 三、解析二次函数教学建议 1. 引导学生理解基本概念 教师应首先引导学生理解二次函数的基本定义、顶点、对称轴和零点等概念，并通过具体例子进行实际演示与讲解。 2. 提供图像绘制方法与技巧 第二十二章 二次函数 第5讲 二次函数的图象和性质 【板块一】二次函数的图象和性质 题型一 开口方向、对称轴、顶点坐标及位置 【例1】(1)抛物线y ＝2x ²＋1的开口方向是 向上 ，对称轴是 y 轴 ，顶点坐标是 (0，1) ；二次函数 y ＝－ 12 (x ＋1)²﹣2的图象的开口方向是 向下 ，对称轴是直线 x ＝﹣1 ，顶点坐标是(﹣1.﹣2). (2)抛物线y ＝2x ²＋1在x 轴的 上 方；当x ＞0时，图象自左向右逐渐 上升 ，它的顶点是最低点；抛物线y ＝－12 (x ＋1)²﹣2，当x 为全体实数 时，它的图象在x 轴的 下方 ，顶点是 最高点 。 【解析】当a ＞0时，开口向上；当a ＜0时，开口向下，y ＝a (x ﹣h )²＋k 的顶点坐标为(h ，k )，对称轴是直线x ＝h ；当a ＞0时，抛物线的顶点为最低点，当a ＜0时，抛物线的顶点为最高点。 题型二 抛物线的开口大小 【例2】如图，若抛物线y ＝ax ²与四条直线x ＝1，x ＝2，y ＝1，y ＝2围成的正方形ABCD 有公共点，则a 的取值范围是( ) A .14≤a ≤1 B ．12≤a ≤2 C .12≤a ≤1 D .14 ≤a ≤2 【解析】确定a 的取值范围，就是探究抛物线的开口大小，当抛物线经过点D 时，开口最小；抛物线经过点B 时，开口最大，而这两条抛物线的解析式的a 值分别2， 14，∴14≤a ≤2. 故选Ｄ． 【例3】如图，在同一平面直角坐标系中，作出①y ＝x ²；②y ＝－ 12 x ²，③y ＝－2x ²的图象，则三个图象I ，Ⅱ，Ⅲ对应的抛物线的解析式依次是 ②③① . 【解析】当a ＞0时，开口向上，当a ＜0时，开口向下；当|a |越大，开口越小，当|a |越小，开口越大。故 第二十二章第1节《二次函数的图象和性质》解答题专题 (10) 1．已知关于x 的方程2 (41)40kx k x -++=． （1）当k 取何值时，方程有两个实数根； （2）若二次函数2(41)4y kx k x =-++的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为正整数，求k 值并用配方法求出抛物线的顶点坐标． 2．抛物线2 y x bx c =-++（b ，c 为常数）与x 轴交于点()1,0x 和()2,0x ，与y 轴交于点 A ，点E 为抛物线顶点． （Ⅰ）当121,3x x =-=时，求点A ，点E 的坐标； （Ⅱ）若顶点E 在直线y x =上，当点A 位置最高时，求抛物线的解析式； （Ⅲ）若11, 0x b =->，当(1,0)P 满足PA PE +值最小时，求b 的值． 3．已知抛物线2 y x bx c =++与x 轴交于()1,0A x ，()2,0B x 两点，且1 2x x <，若 222133x x k +=（k 为正整数），我们把该抛物线称为“B 系抛物线”． 特例感知 （1）当2b =，15c =-时，请判断抛物线2 y x bx c =++是否是“B 系抛物线”，并说 明理由． 推广验证 （2）若2 34 c b =- ，且b 为负整数，请判断抛物线2y x bx c =++是否是“B 系抛物线”，并说明理由． 拓展应用 （3）在（2）的条件下，若M 为该抛物线的顶点，且ABM ∆为等腰直角三角形，求该抛物线的解析式． 4．已知：如图抛物线2 6y ax bx =++与x 轴交于点()6,0B ()2,0C -与y 轴交于点A ． （1）求抛物线的解析式； （2）如图点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点连结PA 、PB ．设PAB △的面积为 S ．点P 的横坐标为m ． ①试求S 关于m 的函数关系式； 专题22.1 二次函数的图像和性质 知识点解读 1.定义 一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数。其中x 是自变量，a 、b 、c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。 2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。 ①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0初中数学专题-二次函数图象与性质
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