理科必做题 专题1 空间向量与立体几何(江苏版)【解析版】

理科必做部分

专题1 空间向量与立体几何

【三年高考】

1. 【2017江苏高考，22】如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB =AD =2，

AA 1=3，120BAD ∠=?．

（1）求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值；

（2）求二面角B-A 1D-A 的正弦值．

【答案】（1）17；（2）74

． 【解析】试题分析：（1）先根据条件建立空间直角坐标系，进而得相关点的坐标，求出直线A 1B 与AC 1的方向向量，根据向量数量积求出方向向量夹角，最后根据异面直线所成角与方向向量夹角之间相等或互补可得夹角的余弦值；（2）根据建立的空间直角坐标系，得相关点的坐标，求出各半平面的法向

量，根据向量数量积求出法向量的夹角，最后根据二面角与法向量夹角之间关系确定二面角的正弦值．

试题解析：在平面ABCD 内，过点A 作AE ⊥AD ，交BC 于点E ．

因为AA 1⊥平面ABCD ，所以AA 1⊥AE ，AA 1⊥AD ．

如图，以1{,,}AE AD AA 为正交基底，建立空间直角坐标系A -xyz ．

因为AB =AD =2，AA 1=3，120BAD ∠=?． 则11(0,0,0),(3,1,0),(0,2,0),(3,0,0),(0,0,3),(3,1

,3)A B D E A C -．

（1）11(3,1

,3),(3,1,3)AB AC =--= ， 则111111(3,1,3)(3,1,3)1cos ,77||||

A B AC A B AC A B AC ?--?===- ． 因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为17

．

设二面角B -A 1D -A 的大小为θ，则3|cos |4θ=

． 因为[0,]θ∈π，所以27sin 1cos 4

θθ=-=． 因此二面角B -A 1D -A 的正弦值为74

． 【考点】空间向量、异面直线所成角及二面角

【名师点睛】利用法向量求解空间线面角、面面角的关键在于“四破”：①破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；②破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；③破“求法向量关”，求出平面的法向量；④破“应用公式关”．

2. 【2015江苏高考，22】如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直