当前位置：文档库 › 二次函数涵洞问题

二次函数涵洞问题

课题：二次函数的涵洞问题

学科：数学课型：新授执笔：王静审核：桑传生时间：12月15日学习目标：

1．经历探索二次函数的涵洞问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，感受二次函数这一模型的思想和应用价值．

2．能够运用二次函数解决涵洞（桥拱）为背景的实际问题．

学习重点、难点：实际问题数学化，体会二次函数是刻画现实世界数量关系的有效数学模型．.

一、学前准备：

1.一台机器原价50万元．如果每年的折旧率是x，两年后这台机器的价格为y?万元，则y与x的函数关系式为（）

A．y=50（1-x）2B．y=50（1-x2）C．y=50-x2D．y=50（1+x）2

2.抛物线y

=（x-1）2的开口向________，对称轴为______，顶点坐标为

_________，?它是由抛物线

2向______平移______个单位得到的．

3.要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端装有一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应该多高？

预习疑难摘要：

二、探究活动：

（一）独立思考·解决问题

某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽2m ，涵洞顶点O

到水面的距离为4m ，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式

是什么？

做一做:

一个涵洞成抛物线形，它的截面如图，现测得，当水面宽AB ＝2m 时，涵

洞顶点与水面的距离为4 m ．这时，离开水面3m 处，涵洞宽ED 是多少？是否

会超过1 m ？

（二）、师生探究·合作交流

例如图:有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的跨度为8m．桥拱的最大高度为4米，一辆卡车车高3米，宽1.6米，它能否通过隧道？

三、学习体会：

1．本节课你有哪些收获？你还有哪些疑惑？

2．你认为老师上课过程中还有哪些需要注意或改进的地方？

3．预习时的疑难解决了吗？

四、自我测试：

1.河北省赵县的赵州桥的桥拱是抛物线型，建立如图所示的坐标系，其函数的

解析式为y= - 1

x2，当水位线在AB

离桥顶的高度h是（）

A、5米

B、6米；

C、8米；

D、

2.一座抛物线型拱桥如图所示，桥下水面宽度是4m，拱高是2m.当水面下降0.5m 后，水面的宽度是多少?(结果精确到0.1m).

3.某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为4m．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面3m，装货宽度为2m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．

五、应用与拓展：

如果把第三页师生探究·合作交流部分的例题中的隧道改为双行线，其它条件不变，它能否通过隧道？

初三.二次函数知识点总结

二次函数知识点总结二次函数知识点： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。总结：

2. 2 =+的性质： y ax c 结论：上加下减。总结：

3. ()2 =-的性质： y a x h 结论：左加右减。总结： 4. ()2 =-+的性质： y a x h k

总结： 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：

【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较请将2245y x x =++利用配方的形式配成顶点式。请将2y ax bx c =++配成 ()2 y a x h k =-+。总结：从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式 2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.

初三数学二次函数测试题及答案

初三数学二次函数测试附详细答案一、选择题：（把正确答案的序号填在下表中，每题3分，共24分） 1．（3分）与抛物线y=﹣x2+3x﹣5的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（）．C D 2 22 2 5．（3分）直角坐标平面上将二次函数y=﹣2（x﹣1）2﹣2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，则其 2 7．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则abc，b2﹣4ac，2a+b，a+b+c这四个式子中，值为正数的有（） 8．（3分）（2008?长春）已知反比例函数y=的图象如图所示，则二次函数y=2kx2﹣x+k2的图象大致为（）

．C D．二、填空题：（每空2分，共50分） 9．（10分）已知抛物线y=x2+4x+3，请回答以下问题：（1）它的开口向_________，对称轴是直线_________，顶点坐标为_________；（2）图象与x轴的交点为_________，与y轴的交点为_________． 10．（6分）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过第二、三、四象限，则a_________0，b_________0，c_________ 0． 11．（4分）抛物线y=6（x+1）2﹣2可由抛物线y=6x2﹣2向_________平移_________个单位得到． 12．（2分）顶点为（﹣2，﹣5）且过点（1，﹣14）的抛物线的解析式为_________． 13．（2分）对称轴是y轴且过点A（1，3）、点B（﹣2，﹣6）的抛物线的解析式为_________． 14．（2分）抛物线y=﹣2x2+4x+1在x轴上截得的线段长度是_________． 15．（2分）抛物线y=x2+（m﹣2）x+（m2﹣4）的顶点在原点，则m=_________． 16．（2分）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+m的顶点在x轴上方，则m_________． 17．（2分）已知二次函数y=（m﹣1）x2+2mx+3m﹣2，则当m=_________时，其最大值为0． 18．（4分）二次函数y=ax2+bx+c的值永远为负值的条件是a_________0，b2﹣4ac_________0． 19．（8分）如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A（﹣1，0）、点B（3，0）和点C （0，﹣3），一次函数的图象与抛物线交于B、C两点．（1）二次函数的解析式为_________；（2）当自变量x_________时，两函数的函数值都随x增大而增大；（3）当自变量_________时，一次函数值大于二次函数值；（4）当自变量x_________时，两函数的函数值的积小于0． 20．（2分）已知抛物线y=ax2+2x+c与x轴的交点都在原点的右侧，则点M（a，c）在第_________象限． 21．（4分）已知抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于B、C两点，且BC=2，S△ABC=3，那么b=_________．

初三数学二次函数知识点总结

初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数， 0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质：上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2 y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，．

二次函数经典测试题及答案解析

二次函数经典测试题及答案解析一、选择题 1．如图，ABC ?为等边三角形，点P 从A 出发，沿A B C A →→→作匀速运动，则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是（） A ． B ． C ． D ．【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故可排除选项C 与D ；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值，故选项B 符合题意，选项A 不合题意．【详解】根据题意得，点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段，故选项C 与选项D 不合题意；点P 从点B 运动到点C 时，y 是x 的二次函数，并且有最小值， ∴选项B 符合题意，选项A 不合题意．故选B ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题． 2．二次函数y ＝x 2+bx 的对称轴为直线x ＝2，若关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0（t 为实数）在﹣1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是（） A ．0＜t ＜5 B ．﹣4≤t ＜5 C ．﹣4≤t ＜0 D ．t ≥﹣4 【答案】B 【解析】【分析】先求出b ，确定二次函数解析式，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函

数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点，﹣1＜x ＜4时﹣4≤y ＜5，进而求解；【详解】解：∵对称轴为直线x ＝2， ∴b ＝﹣4， ∴y ＝x 2﹣4x ，关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣t ＝0的解可以看成二次函数y ＝x 2﹣4x 与直线y ＝t 的交点， ∵﹣1＜x ＜4， ∴二次函数y 的取值为﹣4≤y ＜5， ∴﹣4≤t ＜5；故选：B ．【点睛】本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键． 3．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（） A ．原数与对应新数的差不可能等于零 B ．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C ．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30 D ．当原数取50时，原数与对应新数的差最大【答案】D 【解析】【分析】设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．【详解】解：设原数为m ，则新数为2 1100 m ，设新数与原数的差为y 则22 11100100 y m m m m =-=-+，易得，当m ＝0时，y ＝0，则A 错误 ∵1 0100 - < 当1m 50 122100b a ﹣﹣﹣===??? ??? 时，y 有最大值．则B 错误，D 正确．当y ＝21时，2 1100 m m - +＝21 解得1m ＝30，2m ＝70，则C 错误．

二次函数的应用——求最大面积

课后反思这节课，始终坚持“以设计核心问题引领学生深度思考”，让学生在解决问题时，自己去思考判断，这类问题需要联系所学过的什么知识、建立什么模型来解决，在这个过程中不仅突破了本节课的难点，也很好地引领学生的数学思维、提升其数学素养，也体现了“以核心问题引领学生深度思考”。本节课的成功之处： 1、设计核心问题，引领学生自主探究、深度思考。在第一环节直角三角形的亲密矩形，抛出了一个大问题给学生，让他们自己设计方案，求出最大值。这个题目的素材来自于教材的96页和97页的议一议。教材中是直接给出方法，设矩形的一边为x，问另一边如何用x表示？第二问又直接设面积为y，问当x取何值时，y的值最大，最大值是多少？我把这几个小问题隐藏了，目的是要让学生自主探究，寻找渗透解决数学问题的一般思路：提出猜想之后验证，而验证又从动态演示到推理计算，让学生体验特殊到一般、直观到抽象的思维过程，积累数学活动经验。而不是老师上课说，这个题设什么什么为x，什么什么为y，而后学生就顺藤摸瓜列函数关系式。我们需要让学生在解决问题时，自己去思考判断，这样的问题我需要联系所学过的什么知识、建立什么模型来解决，将函数的概念解释的清晰明了，在这个过程中不仅突破了本节课的难点，也很好地引领学生的数学思维、提升其数学素养，这就是我们设计核心问题的价值所在——以核心问题引领学生深度思考。

2、注重培养学生的数学核心素养由于本节课前刚把二次函数的性质结束，接下来就是二次函数的应用。学生脑子里缺乏用二次函数来解决实际问题的解题经验和思想方法。我利用课件动态演示在运动变化过程中产生了几个变量，而且其中一个变量是随着另一个变量的变化而变化时，学生可以联想到用函数来解决。同时体会解决几何图形的问题可以借助于函数模型，渗透数形结合的思想方法。再例如，第二个探究活动——抛物线的亲密矩形的设计，当学生出现误用相似解决时，让学生自我质疑，提出问题、自我矫正，旨在培养学生自己发现问题、解决问题的数学素养。总结提升环节，让学生体会并不是所有的问题都是处在特殊位置时有最值，同时让学生进一步体会凡是解决最值问题、方案最优化问题都可以想到用二次函数解决，当产生三个变量时，我们都需要先将其中一个变量用另一个变量来表示，这也体现了“用函数表示函数”的思想方法。整节课中，将众多的数学思想贯穿于整节课中，从开篇的“类比”、活动一的“从特殊到一般”、活动二做法的再次“类比”、两个活动中的“函数表示函数”等等，尤其是最后在知识提升环节“数形结合”思想的归纳更是让学生形成系统的解题思路与思想方法。 3、每个环节的设计充分体现了目标、评价、教学一致性每个探究活动，由浅入深，层层递进，从初三学生认识的直角三角形的亲密矩形入手，让学生设计使矩形面积最大的方案，让学生明确二次函数的最值问题的应用，是解决这类问题的思路和方法.马上即时检

(完整word版)初中二次函数知识点总结(全面)

二次函数知识点二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如y=ax 2+bx+c （a b c ，，是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠0，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数。<＜＞≤≥ 2. 二次函数y=ax 2+bx+c 的性质 1）当a ＞0时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值 2 44ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值2 44ac b a -．（三）、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 练习 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)( ) A. B. C. D. 2. 函数y=x 2-2x+3的图象的顶点坐标是( ) A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. x 轴上 D. y 轴上