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高一函数经典难题讲解

1.已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),x∈R且x≠a,当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时,求f(x)值解:由题知，已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),

所以，f(x)= -1+1/(a-x),

当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时

x∈[a-1,a-1/2]

(a-x)∈[1/2,1]

1/(a-x)∈[1,2]

f(x)=-1+1/(a-x)∈[0,1]

2.设a为非负数,函数f(x)=x|x-a|-a. (1)当a=2时,求函数的单调区间

(2)讨论函数y=f(x)的零点个数

解析：(1)∵函数f(x)=x|x-2|-2

当x<2时，f(x)=-x^2+2x-2，为开口向下抛物线，对称轴为x=1

当x>=2时，f(x)=x^2-2x-2，为开口向上抛物线，对称轴为x=1

∴当x∈(-∞,1)时，f(x)单调增；当x∈[1,2]时，f(x)单调减；当x∈(2,+∞)时，f(x)单调增；

(2).f(x)=x|x-a|-a=0,

x|x-a|=a,①

a=0时x=0,零点个数为1；

a>0时x>0,由①，x>=a,x^2-ax-a=0,x1=[a+√(a^2+4a)]/2;

a=4时，x2,3=a/2,零点个数为2;

a>4时，②无实根，零点个数为1。

a<0时，x<0,由①，x>=a>-4,x^2-ax-a=0③,x1,2=[a土√(a^2+4a)]/2；

a=-4时x1,2=a/2,零点个数为2;

a<-4时③无实根，零点个数为1.

综上，a<-4,或a=0,或a>4时零点个数为1；

a=土4时，零点个数为2；

-4

3.已知函数f(x)=log3为底1-m(x+2)/x-3的图像关于原点对称

（1）求常数m的值

（2）当x∈（3,4）时，求f(x)的值域；

（3）判断f(x)的单调性并证明。

解：1、函数f(x)=log3 [1-m(x+2)[/(x-3)图象关于原点对称，

则该函数是奇函数，满足f(-x)=-f(x)。

log3 [1-m(2-x)]/(-x-3)=-log3 [1-m(x+2)]/(x-3) log3 [1-m(2-x)]/(-x-3)=log3(x-3)/ [1-m(x+2)]

[1-m(2-x)]/(-x-3)=(x-3)/[1-m(x+2)]

化简得-x^2+9=-m^2(x^2)+(2m-1)^2

所以-m^2=-1

（2m-1)^2=9

解得m=-1

所以,函数解析式为f(x)=log3 [ (x+3)/(x-3)]

2、先求t(x)=(x+3)/(x-3)在（3,4)上的值域。

t(x）=（x+3)/(x-3)=[(x-3)+6]/(x-3)=1+[6/(x-3)]

当3

1/(x-3)>1,

6/(x-3)>6

所以t(x)=1+[6/(x-3)]>7

那么,原函数在（3,4)上值域是（log3 (7)，正无穷）

3、先求函数定义域

(x+3)/(x-3)>0且x≠3 解得x>3或x<-3

(1)当x>3时，

因为t(x)=(x+3)/(x-3)=1+[6/(x-3)]单调递减，所以函数f(x)=log3 t(x)单调递减。

（2）当x<-3时，因为t(x)=(x+3)/(x-3)=1+[6/(x-3)]单调递减，所以函数f(x)=log3 t(x)单调递减。

4.已知函数f（x）=log4（4^x+1）+kx是偶函数.

(1)求k的值

(2)设f（x）=log4(a2^x-4/3a)有且只有一个实数根,求实数的取值范围.

解:（1）f(x)=log4（4^x+1)+kx（K∈R）是偶函数，

∴f(-x)=f(x),

即log<4>[4^(-x)+1]+k(-x)=log<4>(4^x+1)+kx,

∴log<4>{[4^(-x)+1]/(4^x+1)}=2kx,

-x=2kx,

k=-1/2.

(2)f(x)=log4(4^x+1)-x/2=log4(4^x+1)-log4(2^x)=log4[(4^x+1)/2^x]

g(x)=log4(a · 2^x-4/3a)

联立 log4[(4^x+1)/2^x]=log4(a · 2^x-4/3a) ∴ (4^x+1)/2^x=a·2^x-4/3a 不妨设t=2^x t ＞0 t^2+1/t=at-4/3a t^2+1=at^2-4/3at (a-1)t^2-4/3at-1=0 设u(t)=(a-1)t^2-4/3at-1

∵两函数图像只有1个公共点，在这里就变成了有且只有一个正根 1.当a=1时 t=- 3/4 不满足 (舍) 2.当△=0时 a=3/4 或a=-3 a=3/4时 t= -1/2＜0 （舍） a=-3时 t=1/2满足 3.当一正根一负根时

(a-1) × u(0)＜0 (根据根的分布) ∴a ＞ 1

综上所述，得a=-3或a ＞

1 5.

这个是概念的问题:1.对于f(x)取值范围（0，无穷），f2(x)+bf(x)+c=0最多有两个不同的f(x)。

2.对f(x)的图像进行分析，知道f(x)=1对应的x 值有三个，即除x=2外另有两个关于x=2对称的x 。f(x)不等于1时对应的x 值有两个，即两个关于x=2对称的两个x 。

3.题意说f2(x)+bf(x)+c=0对应的x 根有5个，显然满足f2(x)+bf(x)+c=0的f(x)有两个，一个f(x)对应三个x 值，设为x1,x2,x3;另一个f （x ）对应两个x,设为x4,x5;

根据以上分析，应有x1+x3=2*2,x2=2;x4+x5=2*2=4 则f （x1+x2+x3+x4+x5）=f(10)=1/8,选B

6.已知函数0x ,0x ,0x 1

x )x (f ≠???

??=+=,,f(x)的值域是｛0｝∪【1，+∞）.求关于x 的方程f^2(x)+bf(x)+c=0有五

个根的充要条件?

函数图像是一个“W”字样两个V 字的连接点落到坐标原点的形状，也就是两个“V”字加原点

7.定义域为R 的偶函数f(x),当x>0时，f(x)=lnx-ax(a 属于R)，方程f(x)=0在R 上恰有5个不同的实数解（1）求x<0时，函数f(x)的解析式 (2)求实数a 的取值范围

(1)f(x)为偶函数，有一个大于零的解，则一定会有一个小于零的解和他对应，f(x)=0在R 上有5个不同的实数解，则f(0)=0，f(x)在x >0时有两个解当x<0时，-x>0，f(x)=f(-x)=ln(-x)+ax2)当a ＜0时，y

=lnx , y=-ax 在x >0时都单调增，则f(x)=lnx-ax 在x >0时单调增，只有一个解，不满足题意当a=0时，f(x)=lnx 在x >0时单调增，只有一个解，不满足题意当a ＞0时，f '(x)=1/x-a 当x=1/a 时，f '(x)=0，f(x)在(0,1/a)单调增,在(1/a,+∞)单调减,在x=1/a 取到最大值要f(x)在x >0时有两个解,只要f (1/a)＞0，即ln(1/a)＞1,1/a ＞e,得a ＜1/e 综上,a ∈(0,1/e)

8.定义域为R 的偶函数f （x ），当x ＞0时，f （x ）=lnx-ax （a ∈R ），方程f （x ）=0在R 上恰有5个不同的实数解．

（1）求x ＜0时，函数f （x ）的解析式；（2）求实数a 的取值范围．解答：解：（1）设x ＜0，则-x ＞0．

∵f （x ）为偶函数，∴f （x ）=f （-x ）=ln （-x ）+ax ．（2）∵f （x ）为偶函数，∴f （x ）=0的根关于原点对称．

由f （x ）=0恰有5个不同的实数解知5个实根中有两个正根，二个负根，一个零根．

且两个正根和二个负根互为相反数．∴原命题?当x ＞0时f （x ）图象与x 轴恰有两个不同的交点．下面研究x ＞0时的情况：f （x ）=0的零点个数?y=lnx 与直线y=ax 交点的个数． ∴当a≤0时，y=lnx 递增与直线y=ax 下降或与x 轴重合，故交点的个数为1，不合题意，∴a ＞0．

由几何意义知y=lnx 与直线y=ax 交点的个数为2时，直线y=ax 的变化应是从x 轴到与y=lnx 相切之间的情

形．

设切点(t ，lnt)?k ＝(lnx )′|x ＝t ＝t

，

∴切线方程为：y ?lnt ＝t

(x ?t)．由切线与y=ax 重合知a ＝

t 1，lnt ＝1?t ＝e ，a ＝e 1，故实数a 的取值范围为(0，

1)． 9.函数y=loga(2x-3)+

的图像恒过定点P ，P 在幂函数f(x)的图像上，则f(9)=___ 解:由于 loga(1) 恒等于0，

所以 P 坐标为（2，

），而P 在幂函数的图像上，所以设这个函数为 f(x)=x^a ，则

=2^a ，解得 a=-1/2，所以 f(9)=9^(-1/2)=1/√9=1/3。 10.函数y=loga(-x)+2的图像恒过定点P ，P 在幂函数f(x)的图像上，则f(2)=___ 解:P 点坐标为（-1，2），与a 无关

而幂函数f(x)=b^x 要经过P 点，则2=b^-1，所以b=1/2 所以f(2)=(1/2)^2=1/4

11.若偶函数f （x ）满足f （x-1）=f （x+1）且在x 属于【0，1】时 f （x ）=x 的平方，则关于x 的方程f （x ）=(1/10)的x 的平方在

[0,10/3]上的实数根有几个

f(x －1)=f(x ＋1)，则函数f(x)的周期为2，可以作出函数f(x)的图像。另外设g(x)=(1/10)x²，利用图像，得出方程f(x)=g(x)的根有2个。

12.已知偶函数f （x ）满足f （x ＋1）=f （x-1），且x ∈[0,1]，f （x ）=（x-1）2，则f （7/2）=

解:由f(x+1)=f(x-1) 则f(x+2)=f(x) 所以 T=2 所以偶函数f(7/2)=f(7/2-4)=f(-1/2)

=f(1/2)=(1/2-1)2=1/4

13.已知f(x)是定义在R 上的奇函数,且当x<0时,f(x)=2^x+1

（1）求函数f(x)的解析式，作出函数的图象。（2）写出单调区间，并求出函数f(x)的值域

解：（1）根据题意，

当x ＞0时，-x ＜0， ∴f(x)=-f(-x)=-[2^(-x) +1]=-1-(1/2)^x ∴x ＜0时,f(x)=1+2^x x ＞0时，f(x)=-1-(1/2)^x (2)递增区间是(-∞，0)和(0,+∞)

x ＜0时，f(x)∈(0,2) x ＞0时，f(x)(-2,0) ∴f(x)的值域是(-2,0）∪(0,2）图像

14.题目：设f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，并且f(x)-g(x)=x2-3x+1,求f(x)和g(x)的解析式

f(x)-g(x)=x2-3x+1

f(-x)-g(-x)=（-x）2-3（-x）+1=-f(x)-g(x)【根据两个函数性质可得】

解上述两个方程

得f(x)=-3x g(x)=-x2-1

15.已知f（x)是定义在R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g(x)=f(x-1),则f(2011)+f(2013)的值为？解：g(x)=f(x-1)=>g(-x)=f(-x-1)=f(x+1)

f(2011)=g(2012)

f(2013)=g(-2012)

f（2011）+f（2013）=0

16.若函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)=1/x-1,则f(x)=___”

解:f(x)+g(x)=1/（x－1）（1）

f(-x)+g(-x)=-1/（x+1）（2）

由f(x)=f(-x)，g(-x)=-g(x)可知

f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=-1/（x+1）（3）

（1）和（3）相加则有

2f(x)=-1/（x－1）-1/（x+1）

则f(x)=1/(x^2-1)

17.函数f(x)对任意实数x1,x2,总有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-3,并且当x>0时,f(x)>3

(1).求证:f(x)在R上是增函数

(2).若f(3)=6,解不等式f(a^2-3a-9)<4

(1).证明：任取x1,x2,且x1

∵x2-x1>0, ∴f(x2-x1)>3,

∴f(x2)= f[(x2-x1)+x1]= f(x2-x1)+f(x1)-3= f(x1)+[f(x2-x1)-3]>f(x1),

∴对任意x1

(2)由f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-3=f(1+1)+f(1)-3=[f(1)+f(1)-3]+f(1)-3=3f(1)-6=6,

得f(1)=4,

∴f(a^2-3a-9)

f(x)在R上为增函数，a^2-3a-9<1,即(a-5)(a+2)<0,

解得-20时，f（x）>1.

(1)求证：[f（x）－1]＋[f（-x）－1]＝0；

(2)证：f(x)是R上的增函数

(1)证明：令x1=x，x2=0 ∴f(x)=f(0)+f(x)-1 即f(0)=1

又令x1=x，x2=-x 则f(0)=f(x)+f(-x)-1

又∵f(0)=1 ∴f(x)+f(-x)=2 ∴[f（x）－1]＋[f（-x）－1]＝0

(2)证明：设x10

f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1

∵当x>0时，f（x）>1 ∴f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1>1（注：已知条件）

即是f(x2)+f(-x1)>2

又∵f(x)+f(-x)=2（注：已证明）∴f(x2)+2-f(x1)>2 整理得：f(x2)-f(x1)>0,即f(x1)＜f(x2)

在实数R上，存在有任意x1

19.设f(x)是定义在R上的函数，对任意x,y属于R有f(x+y)=f(x)+f(y)-1，当x>0时有f(x)>1,且f(3)=4

1.求f(1),f(4)的值

2.判断并证明f(X)的单调性

3.若关于x的不等式f(ax-1)

用赋值法代就行了

解：（1）令x=y=1可得f（1+1）=f（1）+ f（1）—1 ①

令x=1 y=2可得f（1+2）= f（1）+f（2）—1②

已知f(3)=4③联立上式得f（1）=2

令x=1 y=3得f（1+3）= f（1）+ f(3)—1=5

（2）令y=1 带入已知的抽象函数f（x+1）=f（x）+f（1）—1 移项得f（x+1）—f（x）=1 所以函数f（x）为增函数

（3）由（2）知函数f（x）为增函数，所以有ax-1﹤f（4）x 由题意知不等式（a-5）x-1﹤0的解集为x﹤3（因为不等式解集的最大整数为2所以它的解集就是x﹤3，这里你要想明白）所以问题可以转化为对任意的x﹤3都有（a-5）x-1﹤0 成立令函数

f（x）=（a-5）x-1 要满足任意的x﹤3都有f（x）﹤0 ①当a≠0时，只要函数为增函数且f（3）﹤0就行有

a-5 ﹥0 且f（3）﹤0推出5﹤a﹤

②当a=5时，f（x）=－1，显然f（x）﹤0的解集不是x﹤3，不合题意。

综上a的取值范围为5﹤a﹤

高中数学必修一函数难题

高中函数大题专练２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。 ① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥； ② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。已知函数2()g x x =与()21x h x a =?-是定义在[0,1]上的函数。（1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由；（2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值；（3）在（2）的条件下，讨论方程(21)()x g h x m -+=()m R ∈解的个数情况。 3.已知函数| |212)(x x x f - =. （1）若2)(=x f ，求x 的值；（2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时，11,()0,f x x ?-?=??? 0;0.x x >= （1）求)(x f 在(,0)-∞上的解析式. （2）请你作出函数)(x f 的大致图像. （3）当0a b <<时，若()()f a f b =，求ab 的取值范围. （4）若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解，求,b c 满足的条件. 5．已知函数()(0)|| b f x a x x =-≠。（1）若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，求实数b 的取值范围；（2）当2b =时，若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <，使[,]x m n ∈时，函数()g x 的值域也是 [,]m n ，则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。若函数()f x 是某区间上的闭函数，试探求,a b 应满足的条件。 6、设bx ax x f += 2)(，求满足下列条件的实数a 的值：至少有一个正实数b ，使函数)(x f 的定义域和值域相同。 7．对于函数)(x f ，若存在R x ∈0 ，使00)(x x f =成立，则称点00(,)x x 为函数的不动点。

高一函数经典难题讲解

高一经典难题讲解 1.已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),x∈R且x≠a,当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时,求f(x)值解:由题知，已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x), 所以，f(x)= -1+1/(a-x), 当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时 x∈[a-1,a-1/2] (a-x)∈[1/2,1] 1/(a-x)∈[1,2] f(x)=-1+1/(a-x)∈[0,1] 2.设a为非负数,函数f(x)=x|x-a|-a. (1)当a=2时,求函数的单调区间 (2)讨论函数y=f(x)的零点个数解析：(1)∵函数f(x)=x|x-2|-2 当x<2时，f(x)=-x^2+2x-2，为开口向下抛物线，对称轴为x=1 当x>=2时，f(x)=x^2-2x-2，为开口向上抛物线，对称轴为x=1 ∴当x∈(-∞,1)时，f(x)单调增；当x∈[1,2]时，f(x)单调减；当x∈(2,+∞)时，f(x)单调增； (2).f(x)=x|x-a|-a=0, x|x-a|=a,① a=0时x=0,零点个数为1； a>0时x>0,由①，x>=a,x^2-ax-a=0,x1=[a+√(a^2+4a)]/2; 04时，②无实根，零点个数为1。 a<0时，x<0,由①，x>=a>-4,x^2-ax-a=0③,x1,2=[a土√(a^2+4a)]/2； x4时零点个数为1； a=土4时，零点个数为2； -4

高一数学函数经典难题讲解

- 1 - 高一函数经典难题讲解 1.已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),x∈R 且x≠a,当f(x)的定义域为 [a-1,a-1/2]时,求f(x)值解:由题知，已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x), 所以，f(x)= -1+1/(a-x), 当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时 x∈[a -1,a-1/2] (a-x)∈[1/2,1] 1/(a-x)∈[1,2] f(x)=-1+1/(a-x)∈[0,1] 2.设a 为非负数,函数f(x)=x|x-a|-a. (1)当a=2时,求函数的单调区间 (2)讨论函数y=f(x)的零点个数解析：(1)∵函数f(x)=x|x-2|-2 当x<2时，f(x)=-x^2+2x-2，为开口向下抛物线，对称轴为x=1 当x>=2时，f(x)=x^2-2x-2，为开口向上抛物线，对称轴为x=1 ∴当x∈(-∞,1)时，f(x)单调增；当x∈[1,2]时，f(x)单调减；当x∈(2,+∞)时，f(x)单调增； (2).f(x)=x|x-a|-a=0, x|x-a|=a,① a=0时x=0,零点个数为1； a>0时x>0,由①，x>=a,x^2-ax-a=0,x1=[a+√(a^2+4a)]/2; 04时，②无实根，零点个数为1。 a<0时，x<0,由①，x>=a>-4,x^2-ax-a=0③,x1,2=[a 土√(a^2+4a)]/2； x4时零点个数为1； a=土4时，零点个数为2； -4