一元二次函数的图像和性质及练习题目

一元二次函数的图象和性质

一、【课程要求】

1．掌握二次函数的图像和性质，结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；

2．通过三个“二次”掌握函数、方程、不等式之间的关系

二、【重点难点】

①二次函数的图象和性质，②一元二次方程根的存在性及根的个数，函数最值问题。

三、【命题规律】

从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。本节在高考中，重点考察数形结合与等价转化数学思想，通过三个“二次”之间的相互转化，考查函数的方程思想，对于二次函数的区间最值，尤其是含有参数的区间最值问题，要求选择合理的标准分类讨论，。

四、【知识回顾】

(一) 二次函数基本知识

1.二次函数的定义：形如2(0,,)y ax bx c a a b c =++≠且为常数的函数叫关于x 的二次函数。

2.二次函数的解析式的三种形式

（1）一般式（三点式）：2(0)y ax bx c a =++≠，配方后为 。

其中顶点坐标为 ，对称轴为 。

（2）顶点式（配方式）：20()()y a x h k a ≠=-+，其中顶点坐标为 ，对称轴为 。 （3）两根式（零点式）：120()()()y a x x x x a ≠=--，其中12,x x 是方程2

0ax bx c ++=的两个

根，同时也是二次函数的图像与x 轴交点()()12,00x x ，，的横坐标。 求函数解析式时，一般采用 待定系数法

3.二次函数的图像和性质

（1）二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠的图像是一条 ，其对称轴为 ，顶点坐标

为 ，开口方向由 决定。

（2）二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠的单调性以对称轴为分界。

当0a >时，函数图像开口向 ，当x ∈ 时，()f x 单调递增，

当x ∈ 时，()f x 单调递减，

当x = 时，()f x 有最小值。min y =

当0a <时，函数图像开口向 ，当x ∈ 时，()f x 单调递增，

当x ∈ 时，()f x 单调递减，

当x = 时，()f x 有最大值。max y =

在作二次函数草图时，往往抓住：开口方向，对称轴，与x 轴交点，与y 轴交点，顶点等。

（3）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，当2

40b ac ?=->时，图像与x 轴有两个交点11(,0)M x ，

22(,0)M x ，则12M M =21||

x x a -===

（4）关于二次函数()y f x =的对称轴的判断方法：

①若二次函数对定义域内所有x ，都有12()()f x f x =，则其对称轴为12

2

x x x +=

②若二次函数对定义域内所有x ，都有()()f m x f m x +=-，则其对称轴为x m =。 ③若二次函数对定义域内所有x ，都有()()f m x f n x +=-，则对称轴为2

m n

x +=

④.若二次函数对应方程为()0f x =两根为12,x x ,则对称轴方程为：12

2

x x x +=

4.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最值

（1）在(,)-∞+∞上的最值

当0a >时，min

y =()2f b a -=

244ac b a -，当0a <时，max y =()2f b a -=2

44ac b a

- （2）在闭区间[],m n 上的最值————“轴变区间定”

二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在闭区间[],m n 上的最值问题，一般情况下，需要分三种情况讨论，依据对称轴与区间的位置关系：2b m a <-

，2b n a m ≤≤-,2b

n a

>-。再结合图像分析。 对于二次函数20()()y a x h k a =-+>在闭区间[],m n 上的最值问题，有以下结论： ①若[],h m n ∈，则min ()f k y h ==，{}max max (),()y f m f n =

②若[],h m n ?，则{}min min (),()y f m f n =，{}max max (),()y f m f n = （0a <时可仿此讨论）

【典例精讲】

题型一：二次函数的解析式的求法

例1．已知二次函数()f x 满足(2)1,(1)1f f =--=-且()f x 的最大值是8，求此二次函数的解析式。

例2．设二次函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，且()0f x =的两实数根平方和为10，图象过点

(0,3),求()f x 的解析式.

题型二：二次函数最值或值域问题

例3．已知函数2

142

a y x ax =-+-+在区间[0,1]上的最大值是2，求实数a 的值.

例4．已知函数2(21)3(0)()a x a f x ax +--≠=在区间322??-????

，

上的最大值为1，求实数a 的值。 例5.

已知函数2

8()x f x x +=-，求函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值()h t

例6.函数

24()4f x x x -=-在闭区间[],1()t t t R +∈上的最小值为()g t

（1）试写出()g t 的函数表达式 （2）求()g t 的最小值

【方法归纳】

1. 解二次函数最值问题，首先采用配方法，将二次函数化为2()y a x h k =-+的形式，得顶点

(,)h k 或对称轴方程x h =

2. 对含有参数的二次函数在闭区间上的值域与最值问题，主要考虑其对称轴与定义域区间的位

置关系，由此进行分类讨论。如果利用配方法求函数的最值是极其危险的，一般要讨论函数图像对称轴与闭区间的位置关系。

3. 二次函数的对称轴与定义域区间的位置通常有三种关系：①对称轴在定义域区间左侧，②对

称轴在定义域区间右侧，③对称轴在定义域区间内。

题型三：已知二次函数的解析式，求其单调区间；已知二次函数的某一单调区间，求

参数的范围，这两类是常见题型，关键是利用二次函数的图像。

例7．已知二次函数24(1)3y ax a x =++-在[)2,+∞上递减，则a

的取值范围是

题型四：二次函数的综合应用

例8．已知二次函数()y f x =的图象与x 轴交于A ，B 两点，且 ,32||=AB 它在y 轴上的截距 为4,又对任意的x 都有(1)(1)f x f x +=-。 （1）求二次函数的表达式；

（2）若二次函数的图象都在直线:l y x c =+的下方，求c 的取值范围.

例9.已知二次函数2()f x ax bx =+(a 、b 为常数且a ≠0)满足条件：(5)(3)f x f x -+=-,且方程 ()f x x =有等根.

（1）求()f x 的解析式；

（2）设()()()g x f x tx t R =+∈试求()g x 在区间[-1,1上的最小值；

（3）是否存在实数m 、n(m

3,3m n ?如果存在， 求出m 、n 的值，若不存在，请说明理由.

例10.已知函数2()3f x ax ax =++

（1） 当x R ∈时，()f x a ≥恒成立，求a 的范围 （2） 当[2,2]x ∈-时，()f x a ≥恒成立，求a 的范围

【总结归纳】

求函数恒满足某个条件，就是求函数最大（小）值恒小于（大于）某个式子，这种思想在做恒成立的题目中经常用到。

例11.已知函数2()426()f x x ax a a R =-++∈ (1) 若函数的值域为[]

0+∞，，求a 的值

(2) 若函数值为非负数，求函数()2|3|f a a a =-+的值域

【练习】

1.已知二次函数2

()241f x x x =-+，则其开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ，最小值为 ，单调增区间为 ，单调减区间为 ，与x 轴的交点坐标为 。

2.已知函数2()2()81f x x m x =-+-的对称轴为10x +=，则m = ，对称轴方程为 ， 顶点坐标为 ，当22x -<≤时，最小值为 ，值域为 。

3.若函数2()(1)2f x x k x k =-+-+值域为[)0,+∞，则k = 。

4.若函数2

()f x ax bx c =++对于任意实数t 都有(2)(2)f t f t +=-，则(1)f (4)f （比较大小） *5、已知二次函数2

()21f x x ax =-+在区间()23，内是单调函数，则实数a 的取值范围是 6.已知函数2()23f x x x =-+在闭区间[]0,m 上最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围为 7.(20082江西文，12）已知函数2()2(4)4f x x m x m =+-+-,()g x mx =,若对于任一实数x ,

()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是

8、若函数2

()(2)3f x x a x =+++,[]

,x a b ∈的图象关于1x =对称，则b = .

9.设二次函数2

1)(2

+

+=x x x f 的定义域为[],1n n +,n N *

∈,则()f x 的值域中有 个整数. 10.已知函数2()(0,,)f x ax bx c a b R c R =++>∈∈. （1）若函数()f x 的最小值(1)0f -=,且1c =，

;)2()2(,

0),(,0),()(的值求-+???<->=F F x x f x x f x F

（3） 若1

0a c ==，,且()1f x ≤在区间(0,1］恒成立，试求b 的取值范围.

一元二次函数综合练习题

1、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =，则下列四个结论错误．．的是A ．0c > B ．20a b += C ．240b ac -> D ．0a b c -+>

2、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①② B ． ①③④ C ．①②③⑤ D ．①②③④⑤

第2题 第3题 第4题

3、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图，下列判断错误的是（ ） A ．0

B ．0

C ．0

D ．042<-ac b

4、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列关系式中错误．．的是（ ） A ．a ＜0 B ．c ＞0 C ．ac b 42-＞0 D ．c b a ++＞0

5、某校运动

会上，某运动员掷铅

球时，他所掷的铅球的高

与水平的距离

，则该运动员的成绩是( )

A. 6m

B. 10m

C. 8m

D. 12m

6、抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如表所示．给出下列说法：①抛物线与y 轴的交点为(0，6)； ②抛物线的对称轴是在y 轴的右侧；③抛物线一定经过点(3，0)； ④在对称轴左侧，y 随x 增大而减小．从表中可知，下列说法正确的个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个

7、抛物线y =322+-x x 与坐标轴交点为

（ ）

A ．二个交点

B ．一个交点

C ．无交点

D ．三个交点

8、二次函数y ＝x 2

的图象向下平移2个单位，得到新图象的二次函数表达式是（ ）

A ．y ＝x 2－2

B ．y ＝(x －2)2

C ．y ＝x 2＋2

D ．y ＝(x ＋2)2

9、若二次函数y ＝2x 2－2mx ＋2m 2

－2的图象的顶点在y 轴上，则m 的值是（ ） A.0 B.±1 C.±2 D.±2

10、二次函数y=ax 2

+bx+c 的图像如图所示，则关于此二次函数的下列四个结论①a<0②a>0③b 2-4ac>0④0

b 中，正确的结论有（ ）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

11、抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x

，且经过点P （3，0）

，则c b a +-的值为（ ） A. 0 B. －

12、已知二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①0

A.1

B.2

C.3

D.4

13、关于二次函数y =ax 2

+bx+c 的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c

＞0时且函数的图象开口向下时，ax 2

+bx+c=0必有两个不等实根；③函数图象最高点的纵坐标是

a

b a

c 442

-；④当b=0时，函数的图象关于y 轴对称.其中正确的个数是（ ）

A.1个 B 、2个 C 、3个 D. 4个

14、抛物线y=12

x 2

向左平移8个单位，再向下平移9个单位后，所得抛物线的表

达式是（ ）

A. y=12(x+8)2

-9 B. y=12(x-8)2

+9 C. y=12(x-8)2

-9 D. y=12

(x+8)2

+9

15、下列关于二次函数的说法错误的是（ ）

A 抛物线y=-2x 2

＋3x ＋1的对称轴是直线x=34

； B 点A(3,0)不在抛物线y=x 2

-2x-3的图象上；

C 二次函数y=(x ＋2）2－2的顶点坐标是（-2，-2）；

D 函数y=2x 2

＋4x-3的图象的最低点在（-1，-5）

16、二次函数12+-=x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，下列说法错误．．的是（ ） A ．点C 的坐标是（0，1） B ．线段AB 的长为2 C ．△ABC 是等腰直角三角形 D ．当x>0时，y 随x 增大而增大

17、如图，点A ，B 的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线m x a y -=2

)(的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、D 两点（C 在D 的左侧）的横坐标最小值为3-，则点D 的横坐标最大值为( )

A ．－3

B ．1

C ．5

D ．8 18、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论： ①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<； ⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ ）

A ．①②

B ． ①③④

C ．①②③⑤

D 19、在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数22y mx x =-++图象可能．．

是（ ）

20、若一次函数(1)y m x m =++的图象过第一、三、四象限，则函数2y mx mx =-（ ）

A ．有最大值4

m

B ．有最大值4

m -

C ．有最小值4

m

D ．有最小值4

m -

21、抛物线228y x x m =++与x 轴只有一个公共点，则m 的值为 ．

22、已知抛物线322--=x x y ，若点P （2-，5）与点Q 关于该抛物线的对称轴对称，则点Q 的坐标是 ．

23、二次函数2y ax bx c =++的部分对应值如下表：二次函数2y ax bx c =++图象的对称轴为

x = ，2x =对应的函数值

24、如图，抛物线y 1＝－x ＋2向右平移1个单位得到抛物线y 2，回答下列问题：

(1)抛物线y 2的顶点坐标_____________；

(2)阴影部分的面积S ＝___________；

(3)若再将抛物线y 2绕原点O 旋转180°得到抛物线y 3，则 抛物线y 3的开口方向__________，顶点坐标____________．

25

、已知抛物线的顶点坐标是（－2，1），且过点（1，－2）， 求抛物线的解析式。

26、已知二次函数的图象经过点A （-3,0），B （0,3），C （2, －5），且另与x 轴交于

D 点。 （1）试确定此二次函数的解析式；

（2）判断点P （－2,3）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAD 的面积； 如果不在，试说明理由．

27、已知二次函数c bx x y ++-=2的图象如图所示，它与x 轴的一个交点坐标为（－1，0），与y

轴的交点坐标为（0，3）。 （1）求此二次函数的解析式；

（2）根据图象，写出函数值y 为正数时，自变量x

28、已知二次函数c bx x y ++-

=2

2

1的图象经过A （2，0）、B （0，－6）两点。 （1）求这个二次函数的解析式

（2）设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连结BA 、BC ，求△ABC 的面积。

29、如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),

B(- 3，0)两点，

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.

30、已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c ＋1的图象过点P (2，1)． (1)求证：c ＝―2b ―4；

(3)若二次函数的图象与x 轴交于点A (x 1，0)、B (x 2，0)，△ABP 的面积是 3

4，求b 的值．

31、某中学新校舍将于2011年1月1日动工。在新校舍内将按如图所示设计一个矩形花坛，花坛的长、宽分别为200 m 、120 m ，花坛中有一横两纵的通道，横、纵通道的宽度分别为3x m 、2x m ． （1）用代数式表示三条通道的总面积S ；当通道总面积为花坛总面积

的125

11时，求横、纵通道的宽分别是多少？ （2）如果花坛绿化造价为每平方米3元，通道总造价为3168 x 元，

那么横、纵通道的宽分别为多少米时，花坛总造价最低？并求出最低造价． （以下数据可供参考：852 = 7225，862 = 7396，872 = 7569）

32、抛物线y=x2+4x+3交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，

抛物线的对称轴交x 轴于点E .

（1）求抛物线的对称轴及点A 的坐标；

（2）在平面直角坐标系xoy 中是否存在点P ， 与A 、B 、C 三点构成一个平行四边形？

若存在，请写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

33、已知二次函数过点A （0，2-），B （1-，0），C （5948

，）． （1）求此二次函数的解析式；

（2）判断点M （1，12

）是否在直线AC 上？

34、如图，已知二次函数2

4y ax

x c =-+的图像经过点A 和点B ．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；

（3）点P （m ，m ）与点Q 均在该函数图像上（其中m ＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m 的值及点Q 到x 轴的距离．