八年级数学期末试卷(培优篇)(Word版 含解析)

八年级数学期末试卷（培优篇）（Word版含解析）

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）

1．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且

PA=PE，PE交CD于F

（1）证明：PC=PE；

（2）求∠CPE的度数；

（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）证明见解析（2）90°（3）AP=CE

【解析】

【分析】

(1)、根据正方形得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB得出△ABP ≌△CBP，从而得出结论；(2)、根据全等得出∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根据PA=PE得出∠DAP=∠E，即∠DCP=∠E，易得答案；(3)、首先证明△ABP和△CBP全等，然后得出PA=PC，

∠BAP=∠BCP，然后得出∠DCP=∠E，从而得出∠CPF=∠EDF=60°，然后得出△EPC是等边三角形，从而得出AP=CE.

【详解】

(1)、在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，

在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∵PA=PE，

∴PC=PE；

(2)、由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，

∵PA=PE，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），

∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；

(3)、AP＝CE

理由是：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，

在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴PA=PC，∠BAP=∠DCP，

∵PA=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PC ∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E

∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，

即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC=CE，

∴AP=CE

考点：三角形全等的证明

2．如图，在ABC ?中，90C ∠=?，4cm AC BC ==，点D 是斜边AB 的中点．点E 从点B 出发以1cm/s 的速度向点C 运动，点F 同时从点C 出发以一定的速度沿射线CA 方向运动，规定当点E 到终点C 时停止运动．设运动的时间为x 秒，连接DE 、DF ．

（1）填空：ABC S ?=______2cm ；

（2）当1x =且点F 运动的速度也是1cm/s 时，求证：DE DF =；

（3）若动点F 以3cm /s 的速度沿射线CA 方向运动，在点E 、点F 运动过程中，如果存在某个时间x ，使得ADF ?的面积是BDE ?面积的两倍，请你求出时间x 的值． 【答案】（1）8;(2)见解析；（3）4

5

或4. 【解析】 【分析】

（1）直接可求△ABC 的面积；

（2）连接CD ，根据等腰直角三角形的性质可求：∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，即BD=CD ，且BE=CF ，即可证△CDF ≌△BDE ，可得DE=DF ；

（3）分△ADF 的面积是△BDE 的面积的两倍和△BDE 与△ADF 的面积的2倍两种情况讨论，根据题意列出方程可求x 的值． 【详解】 解：（1）∵S △ABC =1

2

?AC×BC ∴S △ABC =

1

2

×4×4=8（cm 2） 故答案为：8

（2）如图：连接CD

∵AC=BC ，D 是AB 中点 ∴CD 平分∠ACB 又∵∠ACB=90°

∴∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45° ∴CD=BD 依题意得：BE=CF ∴在△CDF 与△BDE 中

BE CF B DCA BD CD =??

∠=∠??=?

∴△CDF ≌△BDE （SAS ） ∴DE=DF

（3）如图：过点D 作DM ⊥BC 于点M ，DN ⊥AC 于点

N ，

∵AD=BD ，∠A=∠B=45°，∠AND=∠DMB=90° ∴△ADN ≌△BDM （AAS ） ∴DN=DM 当S △ADF =2S △BDE ．

∴

12×AF×DN=2×1

2×BE×DM ∴|4-3x|=2x

∴x 1=4，x 2=

45 综上所述：x=4

5

或4 【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象，全等三角形的性质和判定，利用分类思想解决问题是本

题的关键．

3．已知：平面直角坐标系中，点A（a，b）的坐标满足|a﹣b|+b2﹣8b+16＝0．

（1）如图1，求证：OA是第一象限的角平分线；

（2）如图2，过A作OA的垂线，交x轴正半轴于点B，点M、N分别从O、A两点同时出发，在线段OA上以相同的速度相向运动（不包括点O和点A），过A作AE⊥BM交x轴于点E，连BM、NE，猜想∠ONE与∠NEA之间有何确定的数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图3，F是y轴正半轴上一个动点，连接FA，过点A作AE⊥AF交x轴正半轴于点E，连接EF，过点F点作∠OFE的角平分线交OA于点H，过点H作HK⊥x轴于点K，求

2HK+EF的值．

【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析（3）8

【解析】

【分析】

（1）过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M、N，则AN＝AM,

根据非负数的性质求出a、b的值即可得结论；

（2）如图2，过A作AH平分∠OAB，交BM于点H，则△AOE≌△BAH，可得AH＝OE，由已知条件可知ON=AM，∠MOE＝∠MAH，可得△ONE≌△AMH，∠ABH＝∠OAE，设BM 与NE交于K，则∠MKN＝180°﹣2∠ONE＝90°﹣∠NEA，即2∠ONE﹣∠NEA＝90°；（3）如图3，过H作HM⊥OF，HN⊥EF于M、N，可证△FMH≌△FNH，则FM＝FN，同理：NE＝EK，先得出OE+OF﹣EF＝2HK，再由△APF≌△AQE得PF＝EQ，即可得

OE+OF＝2OP＝8，等量代换即可得2HK+EF的值．

【详解】

解：（1）∵|a﹣b|+b2﹣8b+16＝0

∴|a﹣b|+（b﹣4）2＝0

∵|a﹣b|≥0，（b﹣4）2≥0

∴|a﹣b|＝0，（b﹣4）2＝0

∴a＝b＝4

过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M、N，则AN＝AM

∴OA平分∠MON

即OA是第一象限的角平分线

（2）过A作AH平分∠OAB，交BM于点H

∴∠OAH ＝∠HAB ＝45° ∵BM ⊥AE ∴∠ABH ＝∠OAE

在△AOE 与△BAH 中

OAE ABH

OA AB AOE BAH ＝＝∠∠??=??∠∠?

， ∴△AOE ≌△BAH （ASA ） ∴AH ＝OE

在△ONE 和△AMH 中

OE AH NOE MAH ON AM =??

∠∠??=?

＝， ∴△ONE ≌△AMH （SAS ） ∴∠AMH ＝∠ONE 设BM 与NE 交于K

∴∠MKN ＝180°﹣2∠ONE ＝90°﹣∠NEA ∴2∠ONE ﹣∠NEA ＝90° （3）过H 作HM ⊥OF ，HN ⊥EF 于

M 、N

可证：△FMH ≌△FNH （SAS ） ∴FM ＝FN 同理：NE ＝EK ∴OE+OF ﹣EF ＝2HK

过A 作AP ⊥y 轴于P ，AQ ⊥x 轴于Q 可证：△APF ≌△AQE （SAS ） ∴PF ＝EQ ∴OE+OF ＝2OP ＝8 ∴2HK+EF ＝OE+OF ＝8 【点睛】

本题考查非负数的性质，平面直角坐标系中点的坐标，等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质.

4．如图，在平面直角坐标系中，A、B坐标为()

6,0、()

0,6，P为线段AB上的一点．

（1）如图1，若P为AB的中点，点M、N分别是OA、OB边上的动点，且保持

AM ON

=，则在点M、N运动的过程中，探究线段PM、PN之间的位置关系与数量关系，并说明理由．

（2）如图2，若P为线段AB上异于A、B的任意一点，过B点作BD OP

⊥，交OP、OA分别于F、D两点，E为OA上一点，且PEA BDO

=∠

∠，试判断线段OD与AE的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）PM=PN，PM⊥PN，理由见解析；（2）OD=AE，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）连接OP．只要证明△PON≌△PAM即可解决问题；

（2）作AG⊥x轴交OP的延长线于G．由△DBO≌△GOA，推出OD=AG，∠BDO=∠G，再证明△PAE≌△PAG即可解决问题；

【详解】

（1）结论：PM=PN，PM⊥PN．理由如下：

如图1中，连接OP．

∵A、B坐标为（6，0）、（0，6），

∴OB=OA=6，∠AOB=90°，

∵P为AB的中点，

∴OP=

1

2

AB=PB=PA，OP⊥AB，∠PON=∠PAM=45°，

∴∠OPA=90°，

在△PON和△PAM中，

ON AM

PON PAM

OP AP

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△PON≌△PAM（SAS），

∴PN=PM，∠OPN=∠APM，

∴∠NPM=∠OPA=90°，

∴PM⊥PN，PM=PN．

（2）结论：OD=AE ．理由如下：

如图2中，作AG ⊥x 轴交OP 的延长线于G ． ∵BD ⊥OP ，

∴∠OAG=∠BOD=∠OFD=90°，

∴∠ODF+∠AOG=90°，∠ODF+∠OBD=90°， ∴∠AOG=∠DBO ， ∵OB=OA ， ∴△DBO ≌△GOA ， ∴OD=AG ，∠BDO=∠G ， ∵∠BDO=∠PEA ， ∴∠G=∠AEP ， 在△PAE 和△PAG 中，

AEP G PAE PAG AP AP ∠=∠??

∠=∠??=?

， ∴△PAE ≌△PAG （AAS ）， ∴AE=AG ， ∴OD=AE ．

【点睛】

考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

5．如图，在ABC ?中，903, 7C AC BC ∠=?==，，点D 是BC 边上的动点，连接

AD ，以AD 为斜边在AD 的下方作等腰直角三角形ADE ． （1）填空：ABC ?的面积等于 ；

（2）连接CE ，求证：CE 是ACB ∠的平分线；

（3）点O 在BC 边上，且1CO =， 当D 从点O 出发运动至点B 停止时，求点E 相应的运动路程．

【答案】（1）21

2

；（2）证明见解析；（3）32【解析】 【分析】

（1）根据直角三角形的面积计算公式直接计算可得；

（2）如图所示作出辅助线，证明△AEM ≌△DEN （AAS ），得到ME=NE ，即可利用角平分线的判定证明；

（3）由（2）可知点E 在∠ACB 的平分线上，当点D 向点B 运动时，点E 的路径为一条直线，再根据全等三角形的性质得出CN=1

()2

AC CD +，根据CD 的长度计算出CE 的长度即可． 【详解】

解：（1）903, 7C AC BC ∠=?==，

∴112137222ABC

S

AC BC =

?=??=， 故答案为：21

2

（2）连接CE ，过点E 作EM ⊥AC 于点M ，作EN ⊥BC 于点N ， ∴∠EMA=∠END=90°， 又∵∠ACB=90°， ∴∠MEN=90°， ∴∠MED+∠DEN=90°， ∵△ADE 是等腰直角三角形 ∴∠AED=90°，AE=DE ∴∠AEM+∠MED=90°， ∴∠AEM=∠DEN ∴在△AEM 与△DEN 中，

∠EMA=∠END=90°，∠AEM=∠DEN ，AE=DE ∴△AEM ≌△DEN （AAS ） ∴ME=NE

∴点E 在∠ACB 的平分线上， 即CE 是ACB ∠的平分线

（3）由（2）可知，点E 在∠ACB 的平分线上， ∴当点D 向点B 运动时，点E 的路径为一条直线， ∵△AEM ≌△DEN ∴AM=DN ， 即AC-CM=CN-CD

在Rt △CME 与Rt △CNE 中，CE=CE ，ME=NE ， ∴Rt △CME ≌Rt △CNE （HL ） ∴CM=CN ∴CN=

1

()2

AC CD +， 又∵∠MCE=∠NCE=45°，∠CME=90°， ∴CE=2

2()CN AC CD =

+， 当AC=3，CD=CO=1时， CE=

2

(31)222

+= 当AC=3，CD=CB=7时， CE=

2

(37)522

+= ∴点E 的运动路程为：522232-=，

【点睛】

本题考查了全等三角形的综合证明题，涉及角平分线的判定，几何中动点问题，全等三角形的性质与判定，解题的关键是综合运用上述知识点．

6．如图，在ABC ?中，5BC = ，高AD 、BE 相交于点O , 2

3

BD CD = ，且AE BE = . (1)求线段 AO 的长;

(2)动点P从点O出发，沿线段OA以每秒 1 个单位长度的速度向终点A运动，动点Q 从点B出发沿射线BC以每秒 4 个单位长度的速度运动，,P Q两点同时出发，当点P到达A点时，,P Q两点同时停止运动.设点P的运动时间为t秒，POQ

?的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围;

(3)在(2)的条件下，点F是直线AC上的一点且CF BO

=.是否存在t值，使以点

,,

B O P为顶点的三角形与以点,,

F C Q为顶点的三角形全等?若存在，请直接写出符合条件的t值; 若不存在，请说明理由.

【答案】（1）5；（2）①当点Q在线段BD上时，24

QD t

=-，t的取值范围是

1

2

t <<；②当点Q在射线DC上时，42

QD t

=-，，t的取值范围是

1

5

2

t<≤；（3）存在，1

t=或

5

3

.

【解析】

【分析】

（1）只要证明△AOE≌△BCE即可解决问题；

（2）分两种情形讨论求解即可①当点Q在线段BD上时，QD=2-4t，②当点Q在射线DC

上时，DQ=4t-2时；

（3）分两种情形求解即可①如图2中，当OP=CQ时，BOP≌△FCQ．②如图3中，当

OP=CQ时，△BOP≌△FCQ；

【详解】

解：（1）∵AD是高，∴90

ADC

∠=

∵BE是高，∴90

AEB BEC

∠=∠=

∴90

EAO ACD

∠+∠=，90

EBC ECB

∠+∠=，

∴EAO EBC

∠=∠

在AOE

?和BCE

?中，

EAO EBC

AE BE

AEO BEC

∠=∠

?

?

=

?

?∠=∠

?

∴AOE

?≌BCE

?

∴5

AO BC

==；

（2）∵2

3

BD CD =

，=5BC ∴=2BD ，=3CD ，

根据题意，OP t =，4BQ t =， ①当点Q 在线段BD 上时，24QD t =-，

∴21(24)22S t t t t =

-=-+，t 的取值范围是102t <<. ②当点Q 在射线DC 上时，42QD t =-，

∴21(42)22S t t t t =

-=-，t 的取值范围是1

52t <≤ （3）存在．

①如图2中，当OP=CQ 时，∵OB=CF ，∠POB=∠FCQ ，∴△BOP ≌△FCQ ．

∴CQ=OP ， ∴5-4t ═t ， 解得t=1，

②如图3中，当OP=CQ 时，∵OB=CF ，∠POB=∠FCQ ，∴△BOP ≌△FCQ ．

∴CQ=OP ， ∴4t-5=t ， 解得t=

53

． 综上所述，t=1或5

3

s 时，△BOP 与△FCQ 全等． 【点睛】

本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是

灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

7．如图，在边长为 4 的等边△ABC 中，点 D 从点A 开始在射线 AB 上运动，速度为 1 个单位/秒，点F 同时从 C 出发，以相同的速度沿射线 BC 方向运动，过点D 作 DE⊥AC，连结DF 交射线 AC 于点 G

(1)当 DF⊥AB 时，求 t 的值；

(2)当点 D 在线段 AB 上运动时，是否始终有 DG=GF?若成立，请说明理由。

(3)聪明的斯扬同学通过测量发现，当点 D 在线段 AB 上时，EG 的长始终等于 AC 的一半，他想当点D 运动到图 2 的情况时，EG 的长是否发生变化?若改变，说明理由；若不变，求出 EG 的长。

【答案】（1）4

3

；（2）见详解；（3）不变.

【解析】

【分析】

（1）设AD=x，则BD=4-x，BF=4+x．当DF⊥AB时，通过解直角△BDF求得x的值，易得t 的值；

（2）如图1，过点D作DH∥BC交AC于点H，构建全等三角形：△DHG≌△FCG，结合全等三角形的对应边相等的性质和图中相关线段间的和差关系求得DG=GF；

（3）过F作FH⊥AC，可证△ADE≌△CFH，得DE=FH，AC=EH，再证△GDE≌△GFH，可得EG=GH，即可解题．

【详解】

解：（1）设AD=x，则BD=4-x，BF=4+x．

当DF⊥AB时，∵∠B=60°，

∴∠DFB=30°，

∴BF=2BD，即4+x=2（4-x），

解得x=4

3

，

故t=4

3

；

（2）如图1，过点D作DH∥BC交AC于点H，则∠DHG=∠FCG．

∵△ABC 是等边三角形， ∴△ADH 是等边三角形， ∴AD=DH ． 又AD=CF ， ∴DH=FC ．

∵在△DHG 与△FCG 中，

DGH FGC DHG FCG DH FC ∠∠??

∠∠???

＝＝＝， ∴△DHG ≌△FCG （AAS ）， ∴

DG=GF ；

（3）如图2，过F 作FH ⊥AC ， 在△ADE 和△CFH 中，

90AED FHC A FCH AD CF ∠∠???

∠∠???

＝＝＝＝， ∴△ADE ≌△CFH （AAS ）， ∴DE=FH ，AE=CH ， ∴AC=EH ，

在△GDE 和△GFH 中，

DEG FHG DGE FGH DE FH ∠∠??

∠∠???

＝＝＝∴△GDE ≌△GFH （AAS ）， ∴EG=GH ， ∴EG=

12EH=1

2

AC ．

【点睛】

本题考查了三角形综合题，需要掌握全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△GDE≌△GFH 是解题的关键．

8．综合与实践：

我们知道“两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等”.但是，乐乐发现：当这两个三角形都是锐角三角形时，它们会全等. （1）请你用所学知识判断乐乐说法的正确性.

如图，已知ABC ?、111A B C ?均为锐角三角形，且11AB A B =，11BC B C =，1C C ∠=∠. 求证：111ABC A B C ??≌.

（2）除乐乐的发现之外，当这两个三角形都是______时，它们也会全等. 【答案】（1）见解析；（2）钝角三角形或直角三角形. 【解析】 【分析】

（1）过B 作BD ⊥AC 于D ，过B 1作B 1D 1⊥B 1C 1于D 1，得出

∠BDA=∠B 1D 1A 1=∠BDC=∠B 1D 1C 1=90°，根据SAS 证△BDC ≌△B 1D 1C 1，推出BD=B 1D 1，根据HL 证Rt △BDA ≌Rt △B 1D 1A 1，推出∠A=∠A 1，根据AAS 推出△ABC ≌△A 1B 1C 1即可．

（2）当这两个三角形都是直角三角形时，直接利用HL 即可证明；当这两个三角形都是钝角三角形时，与（1）同理可证. 【详解】

（1）证明：过点B 作BD AC ⊥于D ，过1B 作1111B D A C ⊥于1D ，

则11111190BDA B D A BDC B D C ∠=∠=∠=∠=?. 在BDC ?和111B D C ?中，

1C C ∠=∠，111BDC B D C ∠=∠，11BC B C =，

∴111BDC B D C ??≌， ∴11BD B D =.

在Rt BDA ?和111Rt B D A ?中，

11AB A B =，11BD B D =，

∴111Rt Rt (HL)BDA B D A ??≌， ∴1A A ∠=∠.

在ABC ?和111A B C ?中，

1C C ∠=∠，1A A ∠=∠，11AB A B =，

∴111(AAS)ABC A B C ??≌.

（2）如图，当这两个三角形都是直角三角形时，

∵11AB A B =，11BC B C =，190C C ∠==∠?. ∴Rt ABC ?≌111Rt A B C ?（HL ）；

∴当这两个三角形都是直角三角形时，它们也会全等；

如图，当这两个三角形都是钝角三角形时，作BD ⊥AC ，1111B D A C ⊥，

与（1）同理，利用AAS 先证明111BDC B D C ??≌，得到11BD B D =， 再利用HL 证明111Rt Rt BDA B D A ??≌，得到1A A ∠=∠， 再利用AAS 证明111ABC A B C ??≌；

∴当这两个三角形都是钝角三角形时，它们也会全等； 故答案为：钝角三角形或直角三角形. 【点睛】

本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的方法.

9．在平面直角坐标系中，直线AB 分别交x 轴，y 轴于A （a ，0），B （0，b ），且满足a 2+b 2+4a ﹣8b +20＝0．

（1）求a，b的值；

（2）点P在直线AB的右侧；且∠APB＝45°，

①若点P在x轴上（图1），则点P的坐标为；

②若△ABP为直角三角形，求P点的坐标．

【答案】（1）a＝﹣2，b＝4；（2）①（4，0）；②P点坐标为（4，2），（2，﹣2）．【解析】

【分析】

（1）利用非负数的性质解决问题即可．

（2）①根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．

②分两种情形：如图2中，若∠ABP=90°，过点P作PC⊥OB，垂足为C．如图3中，若∠BAP=90°，过点P作PD⊥OA，垂足为D．分别利用全等三角形的性质解决问题即可．【详解】

（1）∵a2+4a+4+b2﹣8b+16＝0

∴（a+2）2+（b﹣4）2＝0

∴a＝﹣2，b＝4．

（2）①如图1中，

∵∠APB＝45°，∠POB＝90°，

∴OP＝OB＝4，

∴P（4，0）．

故答案为（4，0）．

②∵a＝﹣2，b＝4

∴OA＝2OB＝4

又∵△ABP为直角三角形，∠APB＝45°

∴只有两种情况，∠ABP＝90°或∠BAP＝90°

①如图2中，若∠ABP＝90°，过点P作PC⊥OB，垂足为C．

∴∠PCB＝∠BOA＝90°，

又∵∠APB＝45°，

∴∠BAP＝∠APB＝45°，

∴BA＝BP，

又∵∠ABO+∠OBP＝∠OBP+∠BPC＝90°，

∴∠ABO＝∠BPC，

∴△ABO≌△BPC（AAS），

∴PC＝OB＝4，BC＝OA＝2，

∴OC＝OB﹣BC＝4﹣2＝2，

∴P（4，2）．

②如图3中，若∠BAP＝90°，过点P作PD⊥OA，垂足为D．

∴∠PDA＝∠AOB＝90°，

又∵∠APB＝45°，

∴∠ABP＝∠APB＝45°，

∴AP＝AB，

又∵∠BAD+∠DAP＝90°，

∠DPA+∠DAP＝90°，

∴∠BAD＝∠DPA，

∴△BAO≌△APP（AAS），

∴PD＝OA＝2，AD＝OB＝4，

∴OD＝AD﹣0A＝4﹣2＝2，

∴P（2，﹣2）．

综上述，P点坐标为（4，2），（2，﹣2）．

【点睛】

本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

10．已知：4590ABC A ACB ?∠=∠=，，，点D 是AC 延长线上一点，且

22AD =+，

，M 是线段CD 上一个动点，连接BM ，延长MB 到H ，使得HB MB =，以点B 为中心，将线段BH 逆时针旋转45，得到线段BQ ，连接AQ ． （1）依题意补全图形； （2）求证：ABQ AMB ∠=∠；

（3）点N 是射线AC 上一点，且点N 是点M 关于点D 的对称点，连接BN ，如果

QA BN =， 求线段AB 的长．

【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）22AB = 【解析】 【分析】

（1）根据题意可以补全图形； （2）根据三角形外角的性质即可证明； （3）作QE ⊥AB ，根据AAS 证得

QEB BCM ?，根据HL 证得

Rt QEA Rt BCN ?，设法证得2AB CD =，设AC BC x ==，则2AB x =，

2

2

CD x =

，结合已知22AD =+，构建方程即可求解. 【详解】

（1）补全图形如下图所示：

（2）解：∵∠ABH是ABM的一个外角，

∴ABH BAM AMB

∠=∠+∠

∵ABH HBQ ABQ

∠=∠+∠

又∵45

HBQ BAM

∠=∠=?

∴ABQ AMB

∠=∠

（3）过Q 作QE⊥AB，垂足为E，如下图：

∵⊥

QE AB

∴90

QEB BCM

∠=∠=?，

在QEB和BCM 中，

QEB BCM

QBE BMC

QB BM

∠=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

∴QEB BCM

?(AAS)

∴EB CM

=，QE BC

=，

在Rt QEA和Rt BCN中

∵QE BC

=，Q A BN

=

∴Rt QEA Rt BCN

? (HL)

∴AE CN CM MD DN

==++

∵点N是点M关于点D的对称点，

∴MD DN

=

∴22

AE CM MD EB MD

=+=+

∴()

2222 AB AE EB EB MD EB MD CD =+=+=+=

设AC BC x

==，则2

AB x

=，

2

CD x

=，

又∵22

AD=，

2

AD AC CD x x

=+=

∴

2

22

2

x x

+=

解得：2x = ∴ 22AB = 【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识点．熟悉全等三角形的判定方法以及正确作出辅助线、构建方程是解答的关键．

二、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）

11．如图，在等腰直角ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=?，点D 是ABC △ 内一点，连接 AD ，AE AD ⊥ 且 AE AD =，连接 BD 、CE 交于点 F . （1）如图 1，求BFC ∠的度数；

（2）如图 2，连接ED 交 BC 于点 G ，连接 AG ，若 AG 平分BAD ∠，求证：

2EAC EDF ∠=∠；

（3）如图 3，在（2）的条件下，BF 交 AG 、AC 分别于点M 、N ，DH AM ⊥，连接 HN ，若ADN ?的面积与DHN 的面积差为 6，6DF =，求四边形 AMFE 的面积.

【答案】（1）∠BFC =90°；（2）见解析；（3）20AMFE S =四边形. 【解析】 【分析】

（1）根据SAS 证明ABD ACE ≌，所以ABD ACF ∠=∠，所以

90BFC BAC ∠=∠=?.

（2）根据题意先求出180ABG ADG ∠+∠=?，在AB 上截取AK AD =，连接KG ，由AKG ADG ≌，180BKG AKG ∠+∠=?，可证得BKG KBG ∠=∠，GB GK DG ==，所以

DBG BDG EDF α∠=∠=∠=， 因为2CAE BAD α∠=∠=，所以2CAE EDF ∠=∠．

（3）根据题意和（2）中结论先证明AD AN AE ==，过 A 作BF 、CE 垂线，垂足分别为R 、T ， 连接AF ，证明ANR AET ≌，所以AR AT =，然后根据等腰三角形的性质可得出DM FN =，过点H 作HP FM ⊥，垂足为P ，所以HP PM DP ==，设DP x =，DR y =，

所以ADN DHN S S ??-=

11

22

DN AR DN HP ??-? ()6y x y =+=，226DF x y =+=，求出x ，y ，不难得到AEF ANF ADM S S S ???===4，然后可得20AMFE S =四边形. 【详解】

（1）因为ABC 是等腰直角三角形，所以AB AC =，90BAC DAE ∠=?=∠， 所以

新人教版八年级数学《三角形》重点、难点、培优训练习题集

三角形重难点培优突破 1、知：a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简︱a+b-c ︱+︱b-a-c ︱-︱c-a+b ︱ 2、知：a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简︱a-b-c ︱+︱b-c-a ︱-︱c+a-b ︱. 3、为△ABC 内任意一点，BP 延长线交AC 于D ，试说明： （1）AB+AC+BC>2BD （2）AB+AC>PB+PC 4、所示②③两条路线，哪一条比较近？为什么？ 5、三角形中，一腰上的中线把三角形的周长分为6cm 和15cm 的两部分，求此三角形的腰和底边的长. 6、所示，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63o， 求∠DAC 的度数． 7、图所示,已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠C=32°,∠D=28°,求∠P 的度数. A B C D P ② ③ A B C D E 2 1C A

8、已知BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个角为50°，则∠BAC的度数为。 9如图，把△ABC的纸片沿着DE折叠． （1）若点A落在四边形BCDE的内部点A′的位置．（如图1）且∠1=40°，∠2=24°，求：∠A′的度数； （2）若点A落在四边形BCDE的外部（BE的上方）点A′的位置（如图2），则∠A′与∠1，∠2有怎样的关系？请说明你的理由； （3）若点A落在四边形BCDE的外部（CD的下方）点A′的位置（如图3），∠A′与∠1，∠2又有怎样的关系？直接写出你的结论． 10、，∠MON=90°，点A、B分别在射线OM、ON上移动，BD是∠NBA的平分线，BD的反向延长线与∠BAO的平分线相交于点C．试猜想：∠ACB的大小是否随A、B的移动发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果随点A、B的移动发生变化，请给出变化范围．

八年级数学培优练习题及答案大全

八年级数学培优练习题及答案大全 1．如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN．若AB=?14，?AC=19，则MN的长为． A． B．2.C．D．3.2.如图，在周长为20cm的□ABCD 中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE 的周长为 4cm 6cm8cm 10cm AE O B C A F M DQ 3题 o B C N 3、如图，在平行四边形 ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45，且

AE+AF=ABCD的周长是 4、如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD，BC 的中点，把BC向上翻折，使点C恰好落在MN上的Ｆ点处，BQ为折痕，则∠FBQ＝ A 0° B 5° C 0° D 15° 5、如图所示,在正方形ABCD中,点E、F、G、H均在其内部，且DE＝EF＝FG＝GH＝HB＝2,∠E=∠F=∠G=∠H=60°,则正方形ABCD的边长为 A. B.2 C. D.32 6、如图是一块长、宽、高分别是6cm、4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从顶点A出发，沿长方体的表面爬到和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是． 7、已知一组数据10，10，x，8的众数与它的平均数相等，则这组数的中位数是． 8、如图OA、AB分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中s和t分别表示运动 路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法：①射线BA表示甲的路程与时间的函数关系；②甲的速度比乙快1.5米/秒；③甲让乙先跑12米；④秒钟后，甲超过了乙，其中正确的说法是。

八年级上册数学 三角形填空选择单元培优测试卷

八年级上册数学三角形填空选择单元培优测试卷 一、八年级数学三角形填空题（难） ∠=，边AB的垂直平分线交边BC于点D，边AC的垂直平分线1．在ABC中，BACα ∠的度数为______.(用含α的代数式表示) 交边BC于点E，连结AD，AE，则DAE 【答案】2α﹣180°或180°﹣2α 【解析】 分两种情况进行讨论，先根据线段垂直平分线的性质，得到∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，进而得到∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°－a，再根据角的和差关系进行计算即可． 解：有两种情况： ①如图所示,当∠BAC?90°时， ∵DM垂直平分AB， ∴DA=DB， ∴∠B=∠BAD， 同理可得，∠C=∠CAE， ∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°?α， ∴∠DAE=∠BAC?(∠BAD+∠CAE)=α?(180°?α)=2α?180°； ②如图所示,当∠BAC<90°时， ∵DM垂直平分AB， ∴DA=DB， ∴∠B=∠BAD， 同理可得，∠C=∠CAE， ∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°?α， ∴∠DAE=∠BAD+∠CAE?∠BAC=180°?α?α=180°?2α. 故答案为2α?180°或180°?2α. 点睛：本题主要考查垂直平分线的性质.根据题意准确画出符合题意的两种图形是解题的关键. 2．△ABC的两边长为4和3，则第三边上的中线长m的取值范围是_______．

【答案】 17 22 m << 【解析】 【分析】 作出草图，延长AD到E，使DE=AD，连接CE，利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，然后根据全等三角形对应边相等可得CE=AB，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之和小于第三边求出AE的取值范围，便不难得出m的取值范围． 【详解】 解：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接CE， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD， 在△ABD和△ECD中， AD DE ADB EDC BD CD = ? ? ∠=∠ ? ?= ? , ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴CE=AB， ∵AB=3，AC=4， ∴4-3＜AE＜4+3，即1＜AE＜7， ∴ 17 22 m <<． 故答案为： 17 22 m <<． 【点睛】 本题主要考查倍长中线法构造全等三角形和三边关系，解决本题的关键是要熟练掌握倍长中线法构造全等三角形. 3．如图,在平面直角坐标系xOy中,点A、B分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上移动,点M在第二象限，且MA平分∠BAO，做射线MB，若∠1=∠2，则∠M的度数是_______。

学而思初二数学上册培优辅导讲义(人教版新编)

第1讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译 1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行. 2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析 【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪 几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】 ⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角. ⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线. ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】 01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则： ⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. A B C D E F A C D E F P Q R

问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角. 【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ． ⑴求∠EOF 的度数； ⑵写出∠BOE 的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式 从而求解； 【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝21 ∠AOC ∴ ∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝2 1∠BOC ＋2 1 ∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21 又∵∠BOC ＋∠ AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21 ×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠ BOE 的补角是：∠AOE. 【变式题组】 01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ） A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80° C E F E A A C D O （第1题图） 1 4 3 2 （第2题图）

(完整版)八年级数学培优工作计划

2015——2016学年度第二学期 八（13）（14）数学培优计划 一、培优目标： 以全面提高学生素质为契机，全面贯彻和落实党的教育方针，进一步更新教育理念，以创新精神和实践能力的培养为重点，突出学生的发展，积极推进素质教育课程改革，以提高教学质量为核心，重视基础，狠抓培优，为培养更多的优秀合格人才做出新的贡献。 二、培优对象：邹晓雯，曾晓怡，黄静仪，欧韵梦，邹嘉怡，黄浩贤，刘智权，钟凤敏，陈精沅，唐振枫，李世河，成汝其，刁凌星，谢梦瑶，陈家乐，黄宇等 三、培优措施： 1、是要提醒他们人外有人，天外有天。在没有看到考题，考试结果未公布之前，任何自负都是虚的，并且有一定的危害性。应该做到自信而不自负，懂得自己只是与一流的学生站在了同一条起跑线上，并没有太大的优势。 2、是要让他们懂得在考场上只有认真、努力，再加上平和的心态才是取得成功的关键。我们可以轻松但不能轻视，可以在战略上轻视，却绝不能在战术与实战中有丝毫的轻视，恰恰相反，要加倍地重视才对。因为，没有取得的成功不是你的成功。西方也有句类似的格言，蛋还没孵，先不要数鸡，如意算盘打不得。所以，对于优秀生来说一定要做到自信而不自傲。 3、我们应该让他们知道，自己在考试之前已经尽了自己 最大的努力，至于成绩的好坏是由许多因素造成的。我们没必要过分地担心与自责。应该勇敢地面对，既然自己已经尽了最大的努力，只要在考试中做到简单的题得满分，有些难度的题也要搏它一搏争取满分，类似于古人的破釜沉舟和背水一战。激起他们的斗志，往往会考出意想不到的好成绩。 只要尽了自己最大的努力，无愧于自己，无愧于这次考试就可以了，没必要过多地担忧结果。而对于考试之前忽然感觉自己什么都不会的情况，我们不

人教版八年级数学上册 期末试卷培优测试卷

人教版八年级数学上册期末试卷培优测试卷 一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．（1）问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，先证明 △ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是； （2）探索延伸： 如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点， 且∠EAF＝1 2 ∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）结论应用： 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O 之间夹角∠EOF=70°，试求此时两舰艇之间的距离． （4）能力提高： 如图4，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且 ∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，试求出MN的长． 【答案】（1）EF＝BE＋FD；（2）EF＝BE＋FD仍然成立；（3）210；（4）MN10．【解析】 试题分析：（1）由△AEF≌△AGF，得EF=GF，又由BE=DG，得 EF=GF=DF+DG=DF+BE；（2）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，证明△ABE≌△ADG，再证△AEF≌△AGF，得EF=FG，即可得到答案；（3）连接EF，延长AE，BF相交于点C，根据探索延伸可得EF=AE+FB，即可计算出EF的长度；（4）在△ABC外侧作

苏科版八年级上册数学 三角形解答题(培优篇)(Word版 含解析)

苏科版八年级上册数学 三角形解答题（培优篇）（Word 版 含解析） 一、八年级数学三角形解答题压轴题（难） 1．如图1，直线MN 与直线AB 、CD 分别交于点E 、F ，1∠与2∠互补. (1)试判断直线AB 与直线CD 的位置关系，并说明理由. (2)如图2，BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ，EP 与CD 交于点G ，点H 是MN 上一点，且GH EG ⊥，求证：//PF GH . (3)如图3，在(2)的条件下，连接PH ，K 是GH 上一点使PHK HPK ∠=∠，作PQ 平分 EPK ∠，求HPQ ∠的度数. 【答案】(1)AB//CD ，理由见解析；(2)证明见解析；(3)45HPQ ∠=. 【解析】 【分析】 （1）利用对顶角相等、等量代换可以推知同旁内角∠AEF 、∠CFE 互补，即可证明； （2）利用（1）中平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理可得∠EPF=90°，即EG ⊥PF ，再结合GH ⊥EG ，即可证明; （3）利用三角形外角定理、三角形内角和定理求得∠A=90°-∠3=90°-2∠2；然后由邻补角的定义、角平分线的定义推知∠QPK=-1 2 ∠EPK=45°+∠2，最后根据角与角间的和差关系即可求解. 【详解】 (1)//AB CD ， 理由如下：如图1， 图1 ∵1∠与2∠互补， ∴12180∠+∠=?，

又∵1AEF ∠=∠，2CFE ∠=∠， ∴180AEF CFE ∠+∠=?， ∴//AB CD ； (2)如图2，由(1)知，//AB CD ， 图2 ∴180BEF EFD ∠+∠=?． 又∵BEF ∠与EFD ∠的角平分线交于点P ， ∴1 (2 )90FEP EFP BEF EFD ∠+∠= ∠+∠=?， ∴90EPF ∠=?，即EG PF ⊥． ∵GH EG ⊥， ∴//PF GH ； (3)如图3， ∵PHK HPK ∠=∠， 2PKG HPK ∴∠=∠. 又∵GH EG ⊥， ∴90902KPG PKG HPK ∠=-∠=-∠． ∴180902EPK KPG HPK ∠=-∠=+∠． ∵PQ 平分EPK ∠， ∴1 452 QPK EPK HPK ∠= ∠=+∠． ∴45HPQ QPK HPK ∠=∠-∠=．

八年级上数学培优及答案[最新]

一、填空题 1、设 ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，其中a ，b 满足0)2(42=+-+-+b a b a ， 则第三边的长c 的取值范围是 ． 2、函数34+-=x y 的图象上存在点P ，点P 到x 轴的距离等于4，则点P 的坐标是________。 3、在△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线相交于O ，若∠BOC=α，则∠A=_________。 4、直角三角形两锐角的平分线交角的度数是 。 5、已知直线()42-+--=a x x a y 不经过第四象限，则a 的取值范围是 。 6、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角度数为__ _________。 7、如图，折线ABCDE 描述了一辆汽车在某一直线上行驶过程中，汽车离出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了120km ；②汽车在行驶途中停留了0.5h ；③汽车在整个行驶过程中的平均速度为 80 3 km ；④汽车自出发后3h-4.5h 之间行驶的速度在逐渐减少。其中正确的说法有_______________. 8、放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，?两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工了28千克，你呢？”小丽思考了一会儿说：“我来考考，左图、右图分别表示你和我的工作量与工作时间关系，你能算出我加工了多少千克吗？”小明思考后回答：“你难不倒我，你现在加工了___D_____千克．” 二、选择题

) 1、等腰三角形腰上的高与底边的夹角为Cm °则顶角度数为( ) A.m ° B.2m ° C.(90-m)° D.(90-2m)° 2、药品研究所开发一种抗菌素新药，经过多年的动物实验之后，首次用于临床人体试验，测得 成人服药后血液中药物浓度y (微克/毫升)与服药后时间x (时)之间的函数关系如图所示，则 当1≤x ≤6时，y 的取值范围是（ ） A ． 8 3≤y ≤ 64 11 B ． 64 11≤y ≤8 C ． 8 3 ≤y ≤8 D ．8≤y ≤16 3、水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间的关系如图甲所示，出水口出水量与时间的关系如图乙所示．某天0点到 6点，该水池的蓄水量与时间的关系如图丙所示．下列论断：①0点到1点，打开两个进水口，关闭出水口；②1点到3点，同时关闭两个进水口和—个出水口；③3点到4点，关闭两个进水口，打开出水口；④5点到6点．同时打开两个进水口和一个出水口．其中，可能正确的论断是( ) A ．①③ B.①④ C.②③ D.②④ 4、将长为15cm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同 的截法有( ) A.5种 B. 6种 C. 7种 D.8种 5、在△ABC 中，适合条件C B A ∠=∠=∠4 1 31，则△ABC 中是 （ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 6、直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x ＋c 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于 x 的不等式k 1x ＋b ＜k 2x ＋c 的解集为（ ）． A .x ＞1 B .x ＜1 C .x ＞－2 D .x ＜－2 k 1x ＋b

数学八年级上册 全等三角形单元培优测试卷

数学八年级上册 全等三角形单元培优测试卷 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5，点 P 是 AD 上的一动点，则 PE+PF 的最小值是_____． 【答案】10 【解析】 利用正多边形的性质，可得点B 关于AD 对称的点为点E ，连接BE 交AD 于P 点，那么有PB=PF ，PE+PF=BE 最小，根据正六边形的性质可知三角形APB 是等边三角形，因此可知BE 的长为10，即PE+PF 的最小值为10. 故答案为10. 2．如图，ABC 中，ABC=45∠?，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连接DH 与BE 相交于点G ，下列结论： BF=AC ①；A=67.5∠?②；DG=DF ③；ADGE GHCE S S =四边形四边形④，其中正确的有 __________（填序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】

只要证明△BDF≌△CDA，△BAC是等腰三角形，∠DGF=∠DFG=67.5°，即可判断①②③正确，作GM⊥BD于M，只要证明GH＜DG即可判断④错误． 【详解】 解：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDC=∠ADC=∠AEB=90°， ∴∠A＋∠ABE=90°，∠ABE＋∠DFB=90°， ∴∠A=∠DFB， ∵∠ABC=45°，∠BDC=90°， ∴∠DCB=90°?45°=45°=∠DBC， ∴BD=DC， 在△BDF和△CDA中， ∠BDF=∠CDA，∠A=∠DFB，BD=CD， ∴△BDF≌△CDA（AAS）， ∴BF=AC，故①正确． ∵∠ABE=∠EBC=22.5°，BE⊥AC， ∴∠A=∠BCA=67.5°，故②正确， ∵BE平分∠ABC，∠ABC=45°， ∴∠ABE=∠CBE=22.5°， ∵∠BDF=∠BHG=90°， ∴∠BGH=∠BFD=67.5°， ∴∠DGF=∠DFG=67.5°， ∴DG=DF，故③正确． 作GM⊥AB于M．如图所示： ∵∠GBM=∠GBH，GH⊥BC， ∴GH=GM＜DG， ∴S△DGB＞S△GHB， ∵S△ABE=S△BCE， ∴S四边形ADGE＜S四边形GHCE．故④错误， 故答案为：①②③． 【点睛】 此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第五个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键，属于中考选择题中的压轴题．

新人教版八年级数学上册培优资料

新人教版八年级数学上册培优资料（中考题 型） 第16讲认识三角形经典·考题·赏析 【例１】若的三边分别为4，x，9，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________ ；当周长为奇数时，x＝______________. 【解法指导】运用三角形三边关系，即第三边小于两边之和而大于两边之差故5＜x＜13，18＜l＜26；周长为19时，x＝6，周长为21时，x ＝8，周长为23时，x＝10，周长为25时，x＝12， 【变式题组】 01．若△ABC的三边分别为4，x，9，且9为最长边，则x的取值范围 是______________，周长l的取 值范围是______________. 02．设△ABC三边为a，b，c的长度均为正整数，且a＜b＜c，a+b+c＝ 13，则以a，b，c为边的三角形， 共有______________个. 03．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全 部用完，能摆出不同形状的三角 形个数是( ). A．1 B．2 C．3 D．4 【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm，周长为58cm，试求三角形三边的长. 【解法指导】对等腰三角形，题目没有交代底边和腰，要给予讨论.当18cm为腰时，底边为58－18×2＝22，则三边为18，18，22. 当18cm为底边时，腰为 5818 2 ＝20，则三边为20，20，18.此两种情况都符合两边之和大于第三边. 解：18cm，18cm，22cm或18cm，20，20cm.

【变式题组】 01．已知等腰三角形两边长分别为6cm，12cm，则这个三角形的周长 是( ) A．24cm B．30cm C．24cm或30cm D．18cm 02．已知三角形的两边长分别是4cm 和9cm，则下列长度的四条线段中 能作为第三条边的是( ) A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm 03．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10 两部分，则此等腰三角形的腰长 为______________. 【例３】如图AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线，EF是△DEC的中线，FG是△EFC的中线，若S△GFC＝1cm2，则S△ABC＝______________. 【解法指导】中线将原三角形面积一分为二，由FG为△EFC的中线，知S△EFC＝2S△GFC＝2.又由EF为△DEC中线，S△DEC＝2S△EFC＝4.同理S△ADC＝8，S△ABC ＝16. 【变式题组】 01．如图，已知点D、E、F 分别是BC、AD、BE的中 点，S△ABC＝4，则S△EFC＝ ______________. 02．如图，点D是等腰△ABC底边BC 上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC 于F，若一腰上的高为4cm，则 DE+DF＝______________. 03．如图，已知四边形ABCD是矩形(AD ＞AB) ，点E在BC上，且AE＝AD， DF⊥AE于F，则DF与AB的数量 关系是______________. 【例４】已知，如图，则 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ ______________. 【解法指导】这是本章的一个基 本图形，其基本方法为构造三角形或 四边形内角和，结合八字形角的关系 (第2题图)

人教版八年级数学上册等腰三角形培优专题练习.doc

等腰三角形培优专题 等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有一般三角形的性质，同时，还具有自身的特殊性，这些特殊性使它比一般三角形应用更加广泛．等腰三角形的性质和判定为证明两个角相等和两条线段相等提供了依据．等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在直线是它的对称轴，对于某些含有（或隐含）等腰三角形条件的问题，可以作等腰三角形底边上的高或构建等腰三角形、等边三角形找到解决问题的途径． 练习 1．如图，已知△ A．7．5°ABC中， AB B．10° ＝AC ，AD ＝ C．12.5 ° AE ，∠ BAE D．18° ＝ 30 °，则 ∠ DEC 等于（）． 2．如图，AA′、 BB′分别是△ABC的外角∠C 在一直线上，则∠ACB的度数是多少？EAB 和∠CBD 的平分线，且AA′＝ AB ＝ B′Ｂ，A′、 B 、 3．如图，则∠ BDC 等腰三角形 ＝ ________ ABC ． 中，AB ＝AC ，∠ A ＝20 °． D 是AB 边上的点，且AD ＝ BC ，连 结 CD ， 例 2 如图， D 是等边三角形ABC 的 AB 边延长线上一点， E 是等边三角形ABC 的 AC 边延长线上一点，且EB ＝ ED ．那么CE 与 AD 相等吗？试说明理由． E

C A B D

练习 线交1．已知如图，在△ CA 的延长线于点 ABC中，AB＝CD，D是 F ，判断AD 与 AF 相等吗？ AB 上一点，DE⊥BC ， E 为垂足，ED? 的延长 2．如图，△ABC ＝ 15°，则 BD 与 A ． BD>BA 是等腰直角三角形，∠ BA 的大小关系是（ B ． BD

八年级数学培优教程含答案

等腰三角形 【知识精读】 （－）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 （二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 【分类解析】 例1. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE ＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。

人教版八年级数学培优试卷一

F E G 暑假数学培优二 1、如图，正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O，∠ACB 的角平分线分别交AB、BD 于M、N 两点．若AM＝2，则线段ON 的长为 . 2、如图，E为正方形ABCD 内一点，∠AEB=90°，CF⊥DE 于F，若EF=2，DF=6，则S△ADE 的面积为； AE 的长为 A D B C 3、如下图，在正方形ABCD 内有一折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，并且AE=6，EF=8，FC=1 0，则正方 形的边长为 4、如图，正方形ABCD 中，点E 在CD 的延长线上，点F 在AB 上，连接EF 交AD 于点G，EF=CE，若 BF=3，DG=2，则CE 的长为 E A D F B C

5、如图，正方形ABCD 的边长为4，点O 为对角线AC、BD 的交点，点E 为边AB 的中点，△BED 绕着点 B 旋转至△BD1E1，如果点D、E、D1 在同一直线上，那么EE1 的长为 6、如图，已知点E 在正方形ABCD 的边AB 上，以BE 为边向正方形ABCD 外部作正方形BEFG，连接 DF，M、N 分别是DC、DF 的中点，连接MN．若AB=7，BE=5，则MN= 7、如图，正方形ABCD 的边长为12，点E 在边AB 上，BE＝8，过点E 作EF∥BC，分别交BD、CD 于 G、F 两点．若点P、Q 分别为DG、CE 的中点，则PQ 的长为

M 8、如图，正方形 ABCD 中，点 E 是AB 边上一点，点F 是 BC 边上一点，连接 EF ，设∠EDF= . （1）如图 1，=45°，E 为 AB 的中点，则 CF ：BF 的值为 （2）如图 2，=30°，过点 E 作 EM ∥BC 交 DF 于M 点，问 AE+CF 与 EM 有何数量关系？ （3）如图 3，若 =60°，AD=4，直接写出 S △DEF 的最小值 A D A D A D E E E B F F F 9、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AB=8．点 P 从点A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿边 AB 向点 B 运动．过点 P 作PD ⊥AB 交折线 AC-CB 于点 D ，以 PD 为边在 PD 右侧做正方形PDEF ．设正方形PDEF 与△ABC 重叠部分图形的面积为 S ，点 P 的运动时间为 t 秒（0＜t ＜4）． （1）当点D 在边 AC 上时，正方形PDEF 的边长为 （用含 t 的代数式表示）． （2）当点E 落在边 BC 上时，求 t 的值． （3）当点D 在边 AC 上时，求S 与 t 之间的函数关系式． （4）作射线PE 交边 BC 于点G ，连结 DF ．当DF=4EG 时，直接写出 t 的值．

八年级上册数学 三角形填空选择单元培优测试卷

八年级上册数学 三角形填空选择单元培优测试卷 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．如图，ABC ?的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ，点,E F 分别在线段BD 、CD 上，点G 在EF 的延长线上，EFD ?与EFH ?关于直线EF 对称，若60,84,A BEH HFG n ???∠=∠=∠=，则n =__________. 【答案】78. 【解析】 【分析】 利用ABC ?的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D 得到 ∠DBC= 12∠ABC ，∠ACD=12(∠A+∠ABC)，根据三角形的内角和得到∠D=12 ∠A=30?，利用外角定理得到∠DEH=96?，由EFD ?与EFH ?关于直线EF 对称得到∠DEG=∠HEG=48?，根据外角定理即可得到∠DFG=∠D+∠DEG=78?. 【详解】 ∵ABC ?的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ∴∠DBC=12∠ABC ，∠ACD=12 (∠A+∠ABC)， ∵∠DBC+∠BCD+∠D=180?，∠A+∠ABC+∠ACB=180?， ∴∠D=12 ∠A=30?， ∵84BEH ?∠=, ∴∠DEH=96?, ∵EFD ?与EFH ?关于直线EF 对称， ∴∠DEG=∠HEG=48?，∠DFG=∠HFG n ?=, ∵∠DFG=∠D+∠DEG=78?， ∴n=78. 故答案为：78. 【点睛】 此题考查三角形的内角和定理、外角定理，角平分线性质，轴对称图形的性质，此题中求出∠D=12 ∠A=30?是解题的关键.

2．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。 【答案】45? 【解析】 【分析】 根据三角形内角与外角的关系可得2M MAB ∠∠∠=+ 由角平分线的性质可得MAB MAO ∠∠= 根据三角形内角和定理可得OBA OAB BOA 180∠∠∠++=? 易得∠M 的度数。 【详解】 在ABM 中，2∠是ABM 的外角 ∴2M MAB ∠∠∠=+ 由三角形内角和定理可得OBA OAB BOA 180∠∠∠++=? ∵BOA 90∠=? ∴OBA OAB 90∠∠+=? ∵MA 平分BAO ∠ ∴BAO 2MAB ∠∠= 由三角形内角与外角的关系可得12BAO BOA 90BAO ∠∠∠∠∠+=+=?+ ∵12∠∠= ∴2290BAO ∠∠=?+ 又∵2M MAB ∠∠∠=+ ∴222M 2MAB 2M BAO ∠∠∠∠∠=+=+ ∴90BAO 2M BAO ∠∠∠?+=+ 2M 90∠=? M 45∠=? 【点睛】 本题考查三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和。 3．某多边形内角和与外角和共1080°，则这个多边形的边数是__________． 【答案】6 【解析】 ∵多边形内角和与外角和共1080°，

八年级上数学培优及答案

八年级培优试卷 一、填空题 1、设?ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，其中a ，b 满足0)2(42=+-+-+b a b a ， 则第三边的长c 的取值范围是 ． 2、函数34+-=x y 的图象上存在点P ，点P 到x 轴的距离等于4，则点P 的坐标是________。 3、在△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线相交于O ，若∠BOC=α，则∠A=_________。 4、直角三角形两锐角的平分线交角的度数是 。 5、已知直线()42-+--=a x x a y 不经过第四象限，则a 的取值范围是 。 6、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角度数为__ _________。 7、如图，折线ABCDE 描述了一辆汽车在某一直线上行驶过程中，汽车离出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了120km ；②汽车在行驶途中停留了0.5h ；③汽车在整个行驶过程中的平均速度为 80 3 km ；④汽车自出发后3h-4.5h 之间行驶的速度在逐渐减少。其中正确的说法有_______________. 8、放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，?两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工了28千克，你呢？”小丽思考了一会儿说：“我来考考，左图、右图分别表示你和我的工作量与工作时间关系，你能算出我加工了多少千克吗？”小明思考后回答：“你难不倒我，你现在加工了________千克．” 二、选择题 1、等腰三角形腰上的高与底边的夹角为Cm °则顶角度数为( ) A.m ° B.2m ° C.(90-m)° D.(90-2m)° 2、药品研究所开发一种抗菌素新药，经过多年的动物实验之后，首次用于临床人体试验，测得 成人服药后血液中药物浓度y (微克/毫升)与服药后时间x (时)之间的函数关系如图所示，则 当1≤x ≤6时，y 的取值范围是（ ） A ． 8 3≤y ≤ 64 11 B ． 64 11 ≤y ≤8 C ． 8 3 ≤y ≤8 D ．8≤y ≤ 16

人教版八年级上册数学 全册全套试卷(培优篇)(Word版 含解析)

人教版八年级上册数学 全册全套试卷（培优篇）（Word 版 含解 析） 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．如图，ABC ?的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ，点,E F 分别在 线段BD 、CD 上，点G 在EF 的延长线上，EFD ?与EFH ?关于直线EF 对称，若 60,84,A BEH HFG n ???∠=∠=∠=，则n =__________. 【答案】78. 【解析】 【分析】 利用ABC ?的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D 得到∠DBC=12∠ABC ，∠ACD=1 2 (∠A+∠ABC)，根据三角形的内角和得到∠D= 1 2 ∠A=30?，利用外角定理得到∠DEH=96?，由EFD ?与EFH ?关于直线EF 对称得到∠DEG=∠HEG=48?，根据外角定理即可得到∠DFG=∠D+∠DEG=78?. 【详解】 ∵ABC ?的ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ∴∠DBC=12∠ABC ，∠ACD=1 2 (∠A+∠ABC)， ∵∠DBC+∠BCD+∠D=180?，∠A+∠ABC+∠ACB=180?， ∴∠D=1 2 ∠A=30?， ∵84BEH ?∠=, ∴∠DEH=96?, ∵EFD ?与EFH ?关于直线EF 对称， ∴∠DEG=∠HEG=48?，∠DFG=∠HFG n ?=, ∵∠DFG=∠D+∠DEG=78?， ∴n=78. 故答案为：78. 【点睛】 此题考查三角形的内角和定理、外角定理，角平分线性质，轴对称图形的性质，此题中求出∠D= 1 2 ∠A=30?是解题的关键.

八年级数学全等三角形(培优篇)(Word版 含解析)

八年级数学全等三角形（培优篇）（Word版含解析） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为______cm． - 【答案】10310 【解析】 解：连接BD，在菱形ABCD中， ∵∠ABC=120°，AB=BC=AD=CD=10，∴∠A=∠C=60°，∴△ABD，△BCD都是等边三角形，分三种情况讨论： ①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值PA=10； ②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP -； 最小，最小值为10310 ③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，故此种情况不存在； -（cm）． 综上所述，PA的最小值为10310 -． 故答案为：10310 点睛：本题考查菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

2．在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD=1 2 BC，则△ABC的顶角的度数为 _____． 【答案】30°或150°或90° 【解析】 试题分析：分两种情况；①BC为腰，②BC为底，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°，然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可． 解：①BC为腰， ∵AD⊥BC于点D，AD=1 2 BC， ∴∠ACD=30°， 如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°， 如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°， ②BC为底，如图3， ∵AD⊥BC于点D，AD=1 2 BC， ∴AD=BD=CD， ∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，

(完整word)初二上数学培优题(一)答案

初二数学培优题（一） 1．如图所示，已知△ABC中，点D为BC边上一点，∠1=∠2=∠3，AC=AE，（1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若AE∥BC，且∠E=∠CAD，求∠C的度数． 【分析】（1）由∠1=∠2=∠3，可得∠1+∠DAC=∠DAC+∠2，即∠BAC=∠DAE，又∠1+∠B=∠ADE+∠3，则可得∠B=∠ADE，已知AC=AE，即可证得：△ABC≌△ADE； （2）由题意可得，∠ADB=∠ABD=4x，在△ABD中，可得x+4x+4x=180°，解答处即可； 【解答】解：（1）∵∠1=∠2=∠3， ∴∠1+∠DAC=∠DAC+∠2，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）即∠BAC=∠DAE， 又∵∠1+∠B=∠ADE+∠3，则可得∠B=∠ADE， 在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE（AAS）； （2）∵AE∥BC， ∴∠E=∠3，∠DAE=∠ADB，∠2=∠C， 又∵∠3=∠2=∠1，令∠E=x， 则有：∠DAE=3x+x=4x=∠ADB， 又∵由（1）得AD=AB，∠E=∠C， ∴∠ABD=4x，

∴在△ABD中有：x+4x+4x=180°， ∴x=20°， ∴∠E=∠C=20°． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，判定三角形全等是证明线段或角相等的重要方式，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 2．如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC． （1）证明：BC=DE； （2）若AC=12，CE经过点D，求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）求出∠BAC=∠EAD，根据SAS推出△ABC≌△ADE，利用全等三角形的性质证明即可； （2）由△ABC≌△ADE，推出四边形ABCD的面积=三角形ACE的面积，即可得出答案； 【解答】（1）解：∵∠BAD=∠CAE=90°， ∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD， ∴∠BAC=∠EAD． 在△ABC和△ADE中，

数学八年级上册 全册全套试卷培优测试卷

数学八年级上册 全册全套试卷培优测试卷 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．如图，C 在直线BE 上，∠=?,∠A m ABC 与ACE ∠的角平分线交于点1A ，则 1A =_____?；若再作11A BE A CE ∠∠、的平分线，交于点2A ；再作22A BE A CE ∠∠、的 平分线，交于点3A ；依此类推，10A ∠= _________?． 【答案】（2m ） （1024 m ） 【解析】 【分析】 根据“角平分线定义”和“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”求出规律，直接利用规律解题． 【详解】 解：∵∠A 1=∠A 1CE-∠A 1BC=12∠ACE-12∠ABC=12（∠ACE-∠ABC ）=12∠A=2 m ° ． 依此类推∠A 2=224m m ??=，∠A 3=328m m ??=，…，∠A 10=1021024 m m ?? =． 故答案为：()2m ；()1024 m ． 【点睛】 此题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及角平分线的定义，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和． 2．如图，在△ABC 中，∠B=50°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC =_______°. 【答案】65 【解析】 如图，∵AE 平分∠DAC ，CE 平分∠ACF ，

∴∠1= 12∠DAC ，∠2=1 2 ∠ACF ， ∴∠1+∠2=1 2 （∠DAC+∠ACF ）， 又∵∠DAC+∠ACF=（180°-∠BAC ）+（180°-∠ACB ）=360°-（∠BAC+∠ACB ），且 ∠BAC+∠ACB=180°-∠ABC=180°-50°=130°， ∴∠1+∠2= 1 2 （360°-130°）=115°， ∴在△ACE 中，∠E=180°-（∠1+∠2）=180°-115°=65°. 3．如图，1BA 和1CA 分别是ABC ?的内角平分线和外角平分线，2BA 是1A BD ∠的角平分线， 2CA 是1A CD ∠的角平分线，3BA 是2A BD ∠的角平分线，3CA 是2A CD ∠的角平分线，若1A α∠=，则2018A ∠=_____________ 【答案】2017 2α 【解析】 【分析】 根据角平分线的定义可得∠A 1BC= 12∠ABC ，∠A 1CD=1 2 ∠ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1，整理即可得解，同理求出∠A 2，可以发现后一个角等于前一个角的1 2 ，根据此规律即可得解． 【详解】 ∵A 1B 是∠ABC 的平分线，A 1C 是∠ACD 的平分线， ∴∠A 1BC= 12∠ABC ，∠A 1CD=1 2 ∠ACD ， 又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1，