可逆矩阵

哈尔滨师范大学

学年论文

题目浅谈可逆矩阵的判定、求法

学生赵怀志

指导教师高鹤讲师

年级2010级

专业数学与应用数学

系别数学与应用数学系

学院数学科学学院

哈尔滨师范大学

2012年11月

论文提要

在高等代数中矩阵占有很重要的部分,而可逆矩阵又是矩阵比较重要的一类,在多项式理论、线性方程组理论、向量空间、线性变换、二次型理论等相关理论中具有极其重要的地位，为此本文从最基本的矩阵出发阐述了可逆的定义、性质及相关的应用，体现了数学的逻辑性及严密性的特点，从整体把握可逆矩阵的思想方法，希望对大家有所帮助。

浅谈可逆矩阵的判定、求法

赵怀志

摘 要：本文主要介绍了有关可逆矩阵的定义、判定、性质、求法，。对可逆矩阵相关知识做了一个较为详尽的总结。

关键词：可逆 单位矩阵 初等变换。

1 预备知识：

定义1 由 n m ?个实数ij a 排成的一个 m 行n 列的矩形数表

A =11

1212122212

mn n n m m a a a a a a a a a ??

? ? ? ? ??

?

称之为 n m ? 矩阵，位置（

i ,j ）上的元素，一般用ij

a 表示（强调两个足标的意义）。

矩阵可简记为n m A ?或}{ij a A =或n m ij a A ?=}{ .

特殊矩阵:

方矩阵 若 n m =，称A 为n 阶（方）矩阵，也可记作 n A . （强调矩阵的（主）对角线，）

而nn a a a ,,,2211 称之为对角元素；（反主对角线）。 当 1==n m 时，即 ()11a A =， 此时矩阵退化为一个数11a .

矩阵相等 若同型矩阵n m ij a A ?=}{和n m ij b B ?=}{在对应位置上的元素都相等

即,,,1;,,1,

n j m i b a ij ij ===

零矩阵 所有元素都为零的矩阵，称之为零矩阵。一般记作O ；或 n m O ? . 注意，不同型的零矩阵是不相等的。

负矩阵 设 n m ij a A ?=}{，称矩阵 }{ij a A -=- 为矩阵A 的负矩阵。

三角矩阵 设}{ij a A =是 n 阶矩阵。

1）若A 的元素满足 j i a ij >?=,0，称A 是上三角矩阵； 2）若A 的元素满足 j i a ij

0 ，称A 是下三角矩阵；

??

?

??

?

?

??=nn n n a a a a a a A 000222

112

11 和

??

?

??

??

??=nn n n a a a

a a a A

21222111000

。

对角矩阵 若元素满足 j i a ij ≠?=,

0；其形状是

??

??

?

??

??=nn a a a A

0000002211 ， 记作 }{},,{,2211ii nn a diag a a a diag A == .

单位矩阵 对角元素为1的对角矩阵，记作E 或n E （n 阶），即

1

00010001E ??

?

?

= ?

?

??

零矩阵和单位矩阵在矩阵运算中所起的作用类似于0和1在数的运算中所起的作用。

矩阵基本运算：

加法运算设 }{ij a A = 和 }{ij b B = 是 n m ? 的矩阵，A 与B 的加法（或称和），记作A+B ，定义为一个n m ? 的矩阵

B A c

C ij +==}{??

?

?

?

??

??+++++++++=mn mn m m m m n n n n b a b a b

a b a b a b

a b a b a b a

221122222221

211112

121111

矩阵的减法: )(B A B A -+=-??

?

?

?

??

??---------=mn mn m m m m n n n n b a b a b

a b a b a b a b a b a b a

2

2112222

2221211112

121111

由定义，容易验证矩阵的加法满足下列运算法则（其中O C B A ,,,为同型矩阵）。 （1） 交换律 A B B A +=+

（2） 结合律 )()(C B A C B A ++=++ （3） A O A =+ （4） O A A =-

数乘矩阵： 数λ与矩阵n m ij a A ?=}{的乘积（称之为数乘），记作A λ 或λA ，定义为一个n m ? 的矩阵

λλA A c C ij ===}{??

??

?

?

?

??=mn m m n n a a a

a a a

a a a λλλλλλλλλ 2

122221

112

11 。

由定义，数乘运算满足下列运算法则（设O B A ,,是同型矩阵，μλ,是数）： （1） 数对矩阵的分配律 B A B A λλλ+=+)( （2） 矩阵对数的分配律 A A A μλμλ+=+)( （3） 结合律 )()(A A μλλμ= （4） O A =?0

矩阵乘法： 设}{ij a A =是一个s m ?矩阵，}{ij b B =是一个n s ?矩阵，A 与B 的乘法，记作AB ，定义为一个n m ? 的矩阵 }{ij c AB C ==，其中

∑==+++=s

k kj ik sj is j i j i ij b a b a b a b a c 1

2211

),,2,1;

,,2,1(n j m i ==.

由定义，不难看出（强调）：

（1） 只有在左矩A 的列数和右矩阵B 的行数相等时，才能定义乘法AB ； （2） 矩阵C=A B 的行数是A 的行数，列数则是B 的列数； （3） 矩阵C=AB 在

),(j i 位置上的元素等于A 的第i 行元素与B 的第j 列对应元素

的乘积之和。

注: 矩阵乘法不满足交换律(对一般情况而言), 若两个矩阵A 和B 满足

BA AB =则称矩阵A 和B 是可交换的，如

1）单位矩阵与任何（同阶）矩阵可交换，即成立 IA AI =。 2）任何两个对角矩阵也都是可交换的。

3）一个矩阵与任何（同阶）矩阵可交换的当且仅当该矩阵为数量矩阵。

矩阵乘法也不满足消去律，但矩阵乘法仍满足分配律和结合律： （1） 分配律 AC AB C B A +=+)(； CA BA A C B +=+)(。 （2） 结合律 )()(BC A C AB =。

（3） 数乘结合律 )()()(B A B A AB λλλ==, 其中 λ 是一个数。 （4） A IA AI ==。 矩阵转置： 设

??

?

??

??

??=mn m m n n a a a

a a a a a a A 2

1222

21112

11 ，

??

?

?

?

?

?

??=mn n

n m m T a a a

a a a

a a a A 2122212

12111

将A 的行和列对应互换得到的m n ?矩阵，定义为的A 转置矩阵，记作T

A 。

由定义可知，ji ij T

A A )()(=，即T

A 在位置上的元素是矩阵A 在位置),(i j 上的元素。

2主要理论

一 定义 令A 是数域F 上一个n 阶矩阵，若是存在F 上n 阶矩阵B ，使得

E BA AB ==

那么A 叫作一个可逆矩阵（或非奇异矩阵），而B 叫作A 的逆矩阵。

注 若矩阵A 可逆，那么A 的逆矩阵由啊唯一决定。

二 判定（以下列出的均为充要条件，即可由这些定理判定矩阵A 是否为可逆矩阵）：定理1设矩阵A 为n 阶可逆矩阵,矩阵A 可逆的充要条件是存在n 阶矩阵B

E BA AB ==.

定理2 设矩阵A 为n 阶矩阵,则以下几个命题是等价的: (1)矩阵A 可逆;

(2)矩阵A 的行列式0A ≠; (3)矩阵的A 伴随矩阵*A 可逆;

(4)矩阵的A 伴随矩阵*

A 的行列式*0A ≠.

证 ()()12? 因为矩阵A 可逆,所以存在n 阶矩阵使AB BA E ==,因此1AB A B E ===,所以0A ≠.

()()21?当0A ≠时,因为*

*

AA A A A E ==,所以**

A A A E A A A

==,所以存在

*A A 使得**

A A A

E A A A

==,所以矩阵A 可逆. ()()23?因为**AA A A A E ==,所以*

**AA A A A E A ===,又因为

0A ≠,所以*0A ≠,由()()21?的过程可知矩阵A 的伴随矩阵*

A 可逆.

()()32?因为矩阵*

A 可逆,所以*0A ≠,且存在()1

*A -使()1*A A E -=成立,则

一定有0A ≠(否则假设0A ≠），

()()()111**

**0A A E A A A A A A A E A ---??=====????

,由此可以推得矩阵A 为零矩阵,从而可得*A 也为零矩阵,则*0A ≠.这与*0A ≠相矛盾,所以*0A ≠.

()()34?和()()43?与()()12?和()()21?的证明方法一样.

定理3 矩阵A 可逆的充要条件是存在n 阶矩阵B 使得()AB E BA E ==. 证 (必要性)矩阵A 可逆时,由定义可知存在n 阶矩阵B 使得AB BA E ==,所以存在n 阶矩阵B 使得AB E =.

(充分性)由AB E =两边同时取行列式可得1AB A B E ===,所以0A ≠,由定理2可知矩阵A 可逆.

定理4 矩阵A 可逆的充要条件是矩阵A 为满秩矩阵(即()r A n =).

证 因为矩阵A 为满秩矩阵等价于*0A ≠,而由定理2知0A ≠又等价于矩阵A 可逆,因此矩阵A 为满秩矩阵等价于矩阵A 可逆.

定理5 矩阵A 可逆的充要条件是矩阵A 与单位矩阵E 等价(对矩阵A 施行初等变换可以使矩阵A 转化为单位矩阵E ).

证 (必要性)因为矩阵可逆,所以0A ≠.由定理4知,又因为()r E n =,所以()()r E r E n ==,即矩阵A 与单位矩阵E 是等价的.

(充分性)由矩阵A 与单位矩阵E 等价可得()()r E r E n ==,所以由定理4知矩阵A 可逆.

定理6 矩阵A 为可逆矩阵的充要条件是以矩阵A 为系数矩阵的齐次线性方程组AX B =的解唯一.

证 齐次线性方程组AX B =的解唯一等价于0A ≠,又等价于矩阵A 可逆. 定理7 矩阵A 可逆的充要条件是以矩阵A 为系数矩阵的齐次线性方AX B =的解唯一.

定理8 矩阵A 可逆的充要条件是矩阵A 的特征值均不为0.

证 (必要性)假设矩阵A 有一个特征值为10λ=,则10E A λ-=,又因为

()11n

E A A A λ-=-=-,所以0A ≠;,由此可得矩阵A 不可逆这与矩阵A 可逆相矛盾,所以由矩阵A 可逆可得矩阵A 的特征值均不为0.

(充分性)设矩阵A 的全部特征值为12n λλλ 、、

(其中()0,1,2,,i i n λ≠= ,因为12n A λλλ= ,而120n λλλ≠ ,所以0A ≠,因此矩阵A 可逆.

三．性质：

性质1 设矩阵A 为n 阶可逆矩阵,若矩阵1A -可逆,且()1

1A A --=. 证明 因为矩阵A 可逆,所以11AA E A A --==,所以矩阵1A -可逆.设1B A -=则

E B A =-1,A B =-1,即()1

11A AA ---=.

性质2 设矩阵A 为n 阶可逆矩阵,当0k ≠时,则kA 可逆,且()1

1

1KA A K

--=

. 证明 因为矩阵A 可逆，所以存在矩阵B 使AB BA E ==，即1B A -=，又因

为0k ≠,所以kAB kBA kE ==,所以()()11kA B B kA E k k ????

?=?= ? ?????

,

所以kA 可逆,且()1

111kA A B k k

--=

=. 性质3 设矩阵A 为n 阶可逆矩阵,若矩阵T A 可逆,且()()11T

T A A --=.

证明 因为矩阵A 可逆,且()()11

T T T T A A A A E E --===,所以矩阵T A 可逆

且()()1

1T

T A A --=.

性质4 设矩阵A 为n 阶可逆矩阵,则1

1A A --=.

证明 因为矩阵A 可逆,所以1AA E -=,所以111AA A A E --===, 所以

11A A

-=

,即1

1A A --=.

性质5 设矩阵A 和B 均为n 阶可逆矩阵,若0AB =,则0B =.

证明 因为矩阵A 可逆,所以它的逆矩阵1A -存在,使0AB =两边都左乘1

A -可得1100A A

B A --==,又因为1AA E -=,所以0EB =,即0B =.

性质6 设矩阵A 和B 均为n 阶可逆矩阵,若AB AC =,则B C =.

证明 因为矩阵A 可逆,所以1A -存在,因为使AB AC =两边都左乘1A -可得11A AB A CA --=,所以EB EC =,即B C =.

性质7 若矩阵A 、B 均为可逆矩阵,则矩阵AB 可逆且()1

11AB B A ---=.

证明 因为矩阵A B 、为可逆矩阵,所以它们的逆矩阵11

A B --、均存在,又由于

1111111()()()()B A AB B A AB B A A B B B E -------====

111111

()()()()AB B A AB B A A B B A AA E ------==== 所以()

()()1

1

111AB B

A B A E -----==,所以矩阵AB 可逆且()1

11AB B A ---=.

推论 若矩阵12K A A A 、、

均为n 阶可逆矩阵,则矩阵12K A A A 可逆,且1111

1221

k k A A A A A A ----= （）.

性质8 可逆阵A 的乘方仍可逆且()()1

1m

m A A --=

证明 可借助性质7，令12k A A A A ==== ，即可得证。

四．求法：

方法1 定义法：设A 是数域p 上的一个n 阶方阵，如果存在p 上的n 阶方阵B ，使得E BA AB ==，则称A 是可逆的，又称B 为A 的逆矩阵.当矩阵A 可逆时，逆矩阵由A 惟一确定，记为1A -.

例1：设A 为n 阶矩阵，且满足22350A A E -+=，求1A -. 【解】

22 2 -12A - 3A + 5E = 02A - 3A = - 5E

23

-A - A =E

552323

A (- A - E) = - A - E = E

5555

23

A A = - A - E

55∴∴∴∴ 可逆且

方法 2 伴随矩阵法：1*

1A A A

-=

. 定理n 阶矩阵ij A α=为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且

1121112

2221121

n n n

n

nn A A A A A A A A A A A -?? ?

?= ?

?

??

其中ij A 是A 中元素ij α的代数余子式.矩阵1121112

22212n n n

n

nn A A A A

A A A A A ?? ?

?

? ?

??

称为矩阵A 的伴随矩阵，

记作*A ，于是有1*

1A A A

-=

. 注 ①对于阶数较低（一般不超过3阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵.注意()*ij A A n n =?元素的位置及符号.特别对于2阶方

阵11

1221

22a a A a a ??=

???，其伴随矩阵2212*

2111a a A a a -??= ?-??

,即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律.

②对于分块矩阵ij A B C D ??

???不能按上述规律求伴随矩阵.

例2：已知101210325A ??

?

= ? ?--??

，求1A -.

【解】 ∵| A | = 2 ≠ 0

∴A 可逆.由已知得

1112132122233132

33A = - 5, A = 10, A = 7A = 2, A

= - 2, A = - 2A = - 1, A = 2, A

= 1

1

*5

11

5212

211102*********

1122A A A -??-

- ?--?? ?

?==-=- ? ? ?

?-??- ?

??

方法3 初等变换法：()()1A E E A -????

→ 初等变换

注 ： ①对于阶数较高()3n ≥的矩阵，采用初等行变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便.在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换.

②也可以利用1A E E A -????

????

→ ? ?????

初等列变换求得A 的逆矩阵. ③当逆矩阵可逆可利用

()()1

1,A E A B E A B C CA --????????→????→ ? ?????

初等变换初等列变换

求得1A B -和CA -1.这一方法的优点是不需求出A 的逆矩阵和进行矩阵乘法，仅通过初等变换

即求出了1A B -或1CA -. 例3：求矩阵

121310102A -??

?= ? ?--??

的逆矩阵。

()121100,310010102001A E -?? ?= ? ?--??121100053310023101-??

?

→-- ? ?-??

1121005553

31010555912001555??- ?

? ?→-- ?

? ?--

??

?2411009

99211010

33312500199

9?

?- ? ? ?→-- ? ? ?-- ???

即求的1

2419992113331259

9

9A -??- ? ?

?→=-- ? ? ?-- ???

方法4 用分块矩阵求逆矩阵：设A 、B 分别为P 、Q 阶可逆矩阵，则：

1

1

1

11111111

11111A A 000B 0

C O A A A CB A O A O B

D B O B B DA B B O A O B B O A

O ----------------??????

-??

??

??

=== ? ? ? ? ? ?-????????????

????

= ? ?

????

例4：已知005200

2112001100A ??

?

?

= ?

-

???

，求1A -. 【解】 将A 分块如下：

120052002112001100O A A A O ?? ? ???

?==

? ???

- ? ???

其中15221A ??= ???，21211A -??= ???

可求得1*11112125A A A --??=

= ?-??，1*

222

1211113A A A -??== ?-??

从而1121

1

120033110

0033012002500A A A ---?

?

?

???

?-== ? ???

?- ? ?-??

方法5 用Caley hamilton -定理求逆矩阵： 设A 是数域P 上的n 阶方阵

()110n n n n f E A A a A a A a E λλ-=-=++++= 为A 的特征多项式，则：()110n n n n f E A A a A a A a E λλ-=-=++++=

于是()1

2111n n n A a A a E a

----+++ 因此

()1

2111n n n A a A a E a

---+++ 例5：已知224232111A -??

?

= ? ?--??

，求1A -.

【解】 A 的特征多项式()324710f E A λλλλλ=-=-++ 由Caley hamilton -定理知：()32470f A AE A A A =-=-+=

()1

25216147024105010A A A E ---??

?=-+= ? ?

??

方法6 三角矩阵的一种求逆法：

定理：如果n 阶矩阵1112

12221

2000

n n n n nn t t t t t t t t --??

? ?

=

?

???

可逆， 那么他的逆矩阵是1111111112

1111122222122210000

n n n n nn t t t t t t t T t ααααα---------??

? ?

= ? ? ??

?

其中()()1

111111

11,2,,11,2,2;3,4,,ii i i ii ij jj ij kj ik kk i k j t t i n t t t t i n j n ααα-

++++--+<

?=--=-=??

∑ 例6：求上三角阵13

1201

1300250002A ??

?-

?

= ?

???

的逆矩阵. 【解】 由定理知：

()1

1222121233323111

133313231222134443411

2444243423331111444142412223413333

1

2

2

5

2

14

12t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t αααααααααα--------=-?==-=-=--?=-=-=-

=--?=-

=--+=-

1

1132211012415002410002A -?

?-- ? ?

?

- ?= ?

?

- ? ? ???

3 结束语

本文关于可逆矩阵的判定本文给出了相应的判定方法，从整体上把握了可逆矩阵本身的性质，思路清晰，进而又详细介绍了可逆矩阵的若干求法并且每种求法都配以相应的例题，尽管如此，可逆矩阵的求法还有很多，由于本文篇幅及本人水平有限，在本文里不能一一列举。最后，衷心希望本文对大家用所帮助。

参考文献：

（1）高等代数（第三版）王萼芳、石生明高等教育出版社 2003年7月

（2）线性代数（数学专业用）李尚志编著高等教育出版社 2008年4月

（3）高等代数（第五版）张禾瑞郝鈵新高等教育出版社 2007年6月

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一般矩阵可逆的判定 Good （11统计数学与统计学院 1111060231） 摘要：作为一张表，矩阵的运算规则具有特殊性。在运算的过程中，逆矩阵则是作为矩阵乘法的逆运算而存在的。由于矩阵乘法的逆运算仅限于方阵，故而逆矩阵又作为一项特殊的矩阵除法运算而存在。对于矩阵的运算来说，逆矩阵是不可缺少的一部分。在以线性代数为基础的研究中，逆矩阵是解决实际问题的一个最直观，最实用的工具。然而在实际研究中，并不是所有方阵都存在逆矩阵，那么对于矩阵可逆的判定就显得极其重要了。 关键字：阶方阵；；；； 0 引言 逆矩阵是矩阵乘法逆运算的结果。这个逆运算的过程被作为矩阵运算的一部分而不可或缺。对于所有矩阵而言，只有方阵中可逆的那部分才存在逆矩阵；就好像四边形一样，只有当矩形的四边相等才能被叫做正方形。然而也就是这很特殊的一小部分，它的运用却充斥着所有与线性代数相关的领域。比如：物理学，经济学，统计学，数学，社会管理学等等。对于矩阵的运算来说，逆矩阵的运算至关重要。由于矩阵在实际运用中具有的重要作用，而逆矩阵对于矩阵来说又具有重要的作用。在以矩阵为研究对象的研究过程中，研究逆矩阵也就有了很重要的意义。 对于研究逆矩阵的过程中，“什么样的矩阵才可逆？”是值得深讨的问题。就像求四边形中的正方形一样，要求正方形，最基本的前提就是：四边形必须是矩形。只有四边形满足四个内角都是90度的时候，四边形才称的上是矩形。而对于矩形来说，只有满足矩形的四条边都相等时，这样的矩形才能被称为正方形。对于矩阵可逆来说，一个矩阵要可逆，最基本的前提：必须满足矩阵的行列相等，矩阵必须是一个方阵才行。研究方阵的可逆，对于实际

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important properties of the linear equations are reflected in its coefficient matrix and augmented matrix of nature, what`s more, the process of the solution performance of the process of transformation of these matrices. Invertible matrix multiplication as the inverse of the matrix is an important matrix operations,and plays an important role in solving the problem. master ring the method of Invertible matrix often can play a multiplier effect in solving practical problems.The following are the system summary of the commonly used reversible method for the evaluation of Invertible matrix, and further descripitions of several common application in the field of mathematics and simple communications. 【Key Words】Matrix Invertible matrix Communications

一般矩阵可逆的判定

一般矩阵可逆的判定 Good （11统计数学与统计学院 1111060231） 摘要：作为一张表，矩阵的运算规则具有特殊性。在运算的过程中，逆矩阵则是作为矩阵乘法的逆运算而存在的。由于矩阵乘法的逆运算仅限于方阵，故而逆矩阵又作为一项特殊的矩阵除法运算而存在。对于矩阵的运算来说，逆矩阵是不可缺少的一部分。在以线性代数为基础的研究中，逆矩阵是解决实际问题的一个最直观，最实用的工具。然而在实际研究中，并不是所有方阵都存在逆矩阵，那么对于矩阵可逆的判定就显得极其重要了。 关键字：n阶方阵A；A≠0；r A=n；?λn≠0；AB=BA=I n 0 引言 逆矩阵是矩阵乘法逆运算的结果。这个逆运算的过程被作为矩阵运算的一部分而不可或缺。对于所有矩阵而言，只有方阵中可逆的那部分才存在逆矩阵；就好像四边形一样，只有当矩形的四边相等才能被叫做正方形。然而也就是这很特殊的一小部分，它的运用却充斥着所有与线性代数相关的领域。比如：物理学，经济学，统计学，数学，社会管理学等等。对于矩阵的运算来说，逆矩阵的运算至关重要。由于矩阵在实际运用中具有的重要作用，而逆矩阵对于矩阵来说又具有重要的作用。在以矩阵为研究对象的研究过程中，研究逆矩阵也就有了很重要的意义。 对于研究逆矩阵的过程中，“什么样的矩阵才可逆？”是值得深讨的问题。就像求四边形中的正方形一样，要求正方形，最基本的前提就是：四边形必须是矩形。只有四边形满足四个内角都是90度的时候，四边形才称的上是矩形。而对于矩形来说，只有满足矩形的四条边都相等时，这样的矩形才能被称为正方形。对于矩阵可逆来说，一个矩阵要可逆，最基本的前提：必须满足矩阵的行列相等，矩阵必须是一个方阵才行。研究方阵的可逆，对于实际应用才存在实际意义。那么对于方阵来说，又需要满足什么样的条件，方阵才可逆呢？本文也就是从可逆矩阵的判定条件入手，着重分析可逆判定的充要条件。最后介绍几种常用的求解逆矩阵的方法。 1 矩阵的概念 1.0矩阵的定义 定义1：令F是一个数域，用F上的m×n个数a ij(i=1,2,?,m;j=1,2,?,n)排成m行n列的矩阵列，则称为m×n阵，也称为一个F上的矩阵，简记为A mn。 A=a11a12 a21a22 ?a1n ?a2n ?? a m1a m2 ?? ?a mn 1.1逆矩阵的定义 定义2：设A是数域F上的n阶方阵，若数域F上同时存在一个n阶方阵B,使得 AB=BA=I n 则称B是A的逆矩阵，记作：B=A?1。

可逆矩阵判定典型例题

典型例题（二）方阵可逆的判定 例1 设A 是n 阶方阵, 试证下列各式： （1）若0||≠A , 则 T T A A )()(11--=； （2）若A 、B 都是n 阶可逆矩阵, 则* **)(A B AB =； （3） T T A A )()(**=； （4）若0||≠A , 则* 11*)()(--=A A ； （5） * 1*)1()(A A n --=-； （6）若0||≠A , 则l l A A )()(11--=（l 为自然数）； （7） * 1*)(A k kA n -=. 证 （1）因为0||≠A , 故A 是可逆矩阵, 且 E AA =-1 两边同时取转置可得 E E A A AA T T T T ===--)()()(11 故由可逆矩阵的定义可知 T A )(1-是A T 的逆矩阵. 即 1 1)()(--=T T A A （2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有 E AB AB AB ||)()(*= （2-7） 另一方面 B I A B B A A B AB A B )|(|)())((*****== E AB E B A B B A |||| ||||*=== （2-8） 比较式（2-7）、（2-8）可知 ))(()()(***AB A B AB AB = 又因为A 、B 均可逆, 所以(AB )也可逆, 对上式两端右乘1 )(-AB 可得 ***)(A B AB = （3）设n 阶方阵A 为 ?????????? ????=nn n n n n a a a a a a a a a A 2 1 2222111211 于是可得A 的伴随矩阵* A 为

矩阵可逆的一个充分必要条件的几种讲法

矩阵可逆的一个充分必要条件的几种讲法 不论是在线性代数的教学中还是高等代数的教学中，矩阵的相关内容都是十分重要的。而其中矩阵可逆的部分又是要重点讲授的，因为逆矩阵在讨论研究矩阵问题时有重要作用。在矩阵可逆的这部分内容中，矩阵可逆及逆矩阵的定义是必然要介绍的，而矩阵可逆的条件中有一个充分必要条件即一个方阵可逆的充分必要条件是它的行列式不等于零是一定会讲授的，也是应用较多的，因此要求同学们一定理解掌握。 而就这一个充分必要条件不同的教师有不同的讲法，本文根据自己的体会，介绍了这一个充分必要条件的三种讲法并进行了一定的对比分析。 第一种讲法是非常常见的，很多教师都采用，特别是刚开始 教线性代数的新教师。我在第一次教这部分时也用的是这种讲法。首先介绍了矩阵可逆的定义[1]，即设A为n阶方阵，如果存在n阶方阵B,使得AB=BA=E（E是n阶单位矩阵），则称方阵A是可逆的，而B称为A的逆矩阵。在同学们知道理解了矩阵可逆及逆矩阵概念后，就引入介绍矩阵可逆的条件，我们主要介绍矩阵可逆的一个常用的充分必要条件。而为了介绍这个充分必要条件，首先需要介绍一个相关的内容，那就是伴随矩阵的相关概念[2] 。对于伴随矩阵首先介绍伴随矩阵的定义： 设矩阵A，则称矩阵为A的伴随矩阵，其中Aij是矩阵A中元素

aij 的代数余子式。 接着介绍伴随矩阵的一个重要性质：同时给出其证明：事实 上，由代数余子式的性质同理可得，所以。 这样准备工作已做好，就来讲最重要的矩阵可逆的充分必要条件。 定理（矩阵可逆的充分必要条件）矩阵 A 可逆的充分必要条 件是，且。 证明：（必要性）若，且，则，故 A 可逆且。 （充分性）若 A 可逆，，那么，因此。 以上是第一种讲法的基本过程，当然这其中还有很多教师的引导讲解，这里未体现。但这种讲法的讲授思路和顺序基本按照教材中给出的顺序来讲，其实就是直接教授给学生们概念和结论，让学生们去理解应用，缺乏探究这些结论的过程。而第二种讲法恰恰是由矩阵可逆的定义出发按照正常的推理过程得到了矩阵可逆的充分必要条件。 第二种讲法首先仍是介绍矩阵可逆的定义，接着就探究矩阵可逆的充分必要条件。探究过程如下： 由矩阵可逆的定义，要想方阵 A 可逆，首先得找出同阶方阵B,使得AB=E再看BA是否也等于E。那么我们假设A=, B=, 那么由矩阵乘法，AB的第i行第j列（i , j=1 , 2,…，n）元素应该是（1） 此时引导学生从已有知识中寻找与该问题类似或相关的内容来

矩阵可逆性总结

矩阵的可逆性 摘要：本文通过由矩阵的除法引出可逆矩阵，介绍了可逆 矩阵的定义，性质，算法及其判定方法等等，之后对可逆矩阵进行了推广，还有关于广义逆的介绍。 关键词：可逆矩阵；伴随矩阵；三角矩阵；广义逆矩阵 正文： 一、逆矩阵的定义： 因为数的除法a ÷b 是：已知两数的乘积b 及其中一个因数a 求另外一个因数x ，也就是解方程ax =b 。只要能求出除数a 的倒数a ?1使aa ?1=1，则除法b ÷a 可以转化为乘法b ×a ?1。而我们联想到矩阵的运算上，对矩阵A , B ,用B “除以”A 也就是要求一矩阵X 使AX =B 。在之前的学习过程中已经了解了矩阵的乘法不满足交换律，还应考虑求另一矩阵Y 满足YA =B 。如果能找到一个A ?1满足条件A ?1A =I ，在矩阵方程AX =B 两边左乘A ?1就得到A ?1AX =A ?1B 从而X =A ?1B 。如果这个A ?1还满足条件AA ?1=I ,则A (A ?1B )=B ,X =A ?1B 就是AX =B 的唯一解。类似地，如果上述A ?1存在，可知YA =B 有唯一解Y =BA ?1。 所以给逆矩阵下一个定义：对于矩阵Ａ，如果存在矩阵Ｂ满足条件ＡＢ＝且ＢＡ＝I （表示单位矩阵），就称Ａ可逆，并且称Ｂ是Ａ的逆。表示成B=A 1- 二、矩阵可逆的等价条件: 1、A 可逆?F ∈?B ,使得I AB =;（定义法） 2、若A 可逆，则A 是方阵且0≠A ; 3、若0≠A ，则方阵A 可逆; 4、n 级矩阵A 可逆?矩阵A 的秩为n,即r(A )=n ； 5、n 级矩阵A 可逆?A 的行向量组线性无关; 6、n 级矩阵A 可逆?A 的列向量组线性无关; 7、n 级矩阵A 可逆?A 可以表示成一系列初等矩阵的乘积； 8、n 级矩阵A 可逆?A 可以经过一系列初等行变换化为I ; 9、n 级矩阵A 可逆?A 可以经过一系列初等列变换化为I ； 10、n 级矩阵A 可逆?齐次线性方程组A x=0只有唯一零解. 三、逆矩阵的性质： 1、 逆的唯一性： 假如A 可逆，那么A 的逆B 是唯一的。

小度写范文【可逆矩阵判定典型例题】 矩阵可逆模板

【可逆矩阵判定典型例题】矩阵可逆典型例题（二）方阵可逆的判定 例1 设A是n阶方阵, 试证下列各式： （1）若|A|≠0, 则(AT)-1=(A-1)T ； （2）若A、B都是n阶可逆矩阵, 则 (AB)*=B*A* ；（3） (AT)*=(A*)T；（4）若|A|≠0, 则(A*)-1=(A-1)* ；（5） (-A)*=(-1)n-1A*；（6）若|A|≠0, 则(Al)-1=(A-1)l （l为自然数）；（7） (kA)*=kn-1A*. 证（1）因为|A|≠0,故A是可逆矩阵, 且 AA-1 =E两边同时取转置可得 (AA-1)T=(A-1)TAT=(E)T=E 故由可逆矩阵的定义可知 (A-1)T是AT的逆矩阵. 即 (A-1)T=(AT)-1 （2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有 (AB)*(AB)=|AB|E 另一方面

(B*A*)(AB)=B*(A*A)B=B*(|A|I)B =|A|B*B=|A| |B|E=|AB|E 比较式（2-7）、（2-8）可知 (AB)*(AB)=(B*A*)(AB) 又因为A、B均可逆, 所以(AB)也可逆, 对上式两端右乘(AB)-1 可得 (AB)*=B*A* （3）设 n 阶方阵A为 ?aa12 a?11 1n?A=?a??21a22 a2n?? ? ??aa? ?n1n2 ann? 于是可得A的伴随矩阵A* 为 ?AA?11 21 An1?A*=?A??12A22 An2?? ? ???AA?1n2n Ann注意到?A 的转置矩阵为 2-7）2-8）（ （ T 可推出A的伴随矩阵为 ?a11??a12

(完整版)逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)

逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵 定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且 （E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K 证明 因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K , 因A K = 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ， 因此E-A 是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K . 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K . 由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵. 例2 设 A =? ? ?? ? ???? ???0000 30000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证

A 2 =????????? ???0000000060000200， A 3=? ? ?? ? ? ? ?? ???00000000 00006000 ， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以 (E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3= ? ? ?? ? ???????1000 31006210 6211. 2.初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使 （1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得： （2） s p p p Λ21I= A 1- 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-. 用矩阵表示（A I ）??? →?初等行变换 为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵. 例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=???? ? ?????521310132. 解 [A I]→??????????100521010310001132→???? ? ?????001132010310100521 → ??????????--3/16/16/1100010310100521→???? ??????-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001

二阶行列式与逆矩阵

二阶行列式与逆矩阵 教学目标 1. 了解行列式的概念； 2.会用二阶行列式求逆矩阵。 教学重点及难点 用行列式求逆矩阵。 教学过程 一、复习引入 （1）逆矩阵的概念。 （2）逆矩阵的性质。 二、新课讲解. 例1 设A= ???43 ?? ?21， 问A 是否可逆？如果可逆，求其逆矩阵。 例2设A= ???43 ?? ?21，问A 是否可逆？如果可逆，求其逆矩阵。 思考：对于一般的二阶矩阵A=? ??b a ?? ?d c ，是否有：当0≠-bc ad 时，A 可逆；当0=-bc ad 时，A 不可逆？

结论：如果矩阵A=? ?? b a ?? ?d c 是可逆的，则0≠-bc ad 。 表达式 bc ad -称为二阶行列式，记作 c a d b ，即 c a d b =b c a d -。ad bc -也称为行列式a b c d 的展开式。符号记为：detA 或|A| ① 反之，当 ≠-bc ad 时，有 ??? ?? ?-A c det det A d ?? ?? ? ? det A a det A b -?? ?b a ?? ?d c = ?? ?b a ?? ?d c ?? ? ???-A c det det A d ? ??? ??det A a det A b -=1001?? ? ??? 。 【可逆矩阵的充要条件】 定理：二阶矩阵A=? ?? b a ?? ?d c 可逆，当且仅当0≠-bc ad 。 当矩阵A=? ?? b a ?? ?d c 可逆时，1-A =?? ? ???-A c det det A d ? ??? ??det A a det A b -。 1.计算二阶行列式： ① 31 42 ② 2 2 1 3 λλ-- 2.判断下列二阶矩阵是否可逆，若可逆，求出逆矩阵。 ①A ＝0110?? ?-?? ②B ＝1100?? ??? 三、课堂小结

矩阵可逆的若干判别方法.doc

山西师范大学本科毕业论文 矩阵可逆的若干判别方法 姓名郭晓平 院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学 班级0701班 学号0751010139 指导教师宋蔷薇 答辩日期 成绩

矩阵可逆的若干判别方法 内容摘要 对线性代数和代数学而言，矩阵是一个主要研究对象和重要工具，其中可逆矩阵又是矩阵运算理论的整体不可或缺的一部分。在矩阵理论，可逆矩阵所占的地位是不可替代的，在坐标轴旋转变换公式的矩阵表示、线性变换、线性方程组等理论研究中，它均有重要意义。而且由于在许多有关数学、物理，经济的实际问题中，常常需要通过建立合适的数学模型化为线性代数和代数学等的问题，因此可逆矩阵也是解决实际问题比较常用的工具之一。鉴于可逆矩阵具有重要的理论和实践意义，研究矩阵可逆的判别方法也就相当有必要了。 本文结合所学知识并查阅相关资料，系统地整理并归纳总结了十一种矩阵可逆的判别方法及其证明过程。其中，可逆矩阵判别方法主要包括定义判别法、伴随矩阵判别法、初等变换判别法、线性方程组法、矩阵向量组的秩判别法等。另外，本文还给出了十种特殊矩阵可逆性的相关结论，最后针对这些判别方法选取了典型的例题，以便我们更好的掌握矩阵可逆的判别方法。 【关键词】矩阵逆矩阵初等变换伴随矩阵线性方程组

Some Methods for Judging Invertible Matrix Abstract The matrix is a main research subject and an important tool in linear algebra and algebra. The invertible matrix, which plays the role of the invertible number in rational numbers, is an essential part of the matrix theory. The very important status ,which the invertible matrix holds in the matrix theory ,can not be replaced. It has the important meaning for solving linear equations, linear transformation theory problems, rotating coordinate transform formula of matrix representation theory. And In solving practical problems such as mathematics, physics, economic and other fields, it is often need to establish proper mathematical models into linear algebra and algebra issues. Therefore it also is a commonly used tool, which is widely applied in practical problem. In view of the fact that the invertible matrix has important significance in both theory and practice, the study of judging invertible matrix is quite necessary. Through combining with my knowledge, referring to the relevant materials, this paper systematically organizes and summarizes eleven kinds of methods for judging invertible matrix ,which contain definition method, the adjoin matrix method, elementary transformation method, linear equations method and so on ,and the proof process. This paper also gives ten special matrix invertible conclusions. Finally, this paper selects several typical examples aiming at these discriminate methods, so that we know the methods for judging invertible matrix. 【Key Words】matrix inverse matrix elementary transformation adjoin matrix Linear equations

关于矩阵的可逆性探讨(1)(可编辑修改word版)

上海大学2011～2012 学年冬季学期课程论文 课程名称：线性代数与几何课程编号：01014108 论文题目:关于矩阵的可逆性探讨 作者姓名: 学号: 成绩: 论文评语: 评阅人: 评阅日期:

关于矩阵的可逆性探讨 姓名：学号： 摘要：本文首先给出矩阵可逆的定义、性质，其次探讨矩阵可逆的判定方法、逆矩阵的求法以及矩阵可逆的应用，特别是在编码、解码方面的应用。最后，本文对可逆矩阵进行了相应的推广。 关键词：矩阵矩阵的逆秩广义逆 正文： 引言 在这篇文章中涉及到一些线性代数中的专有符号，在此做些说明。r（A） 是矩阵 A 的秩、A 是矩阵 A 的行列式。写这篇文章主要是对矩阵的可逆性由来及 定义、性质、应用等等进行探讨。这篇文章的其余部分是这么编排的，章节一是矩阵的定义，章节二主要是逆阵的性质，章节三是逆矩阵的判定方法，接下来的章节四是逆矩阵的求法，章节五就是逆矩阵的应用，最后一个章节是对矩阵逆的推广。 章节一：矩阵逆的定义 首先，迎面而来的问题是逆矩阵是什么呢，我们为何要映入逆矩阵的概念。从以前学到的知识中我们知道，矩阵和复数相仿，有加、减、乘三种运算，为了要完善矩阵的运算，我们因此引入了矩阵的逆这个概念。 对于 n 阶矩阵 A，如果有一个 n 阶矩阵 B，使得 AB=BA=I，则说矩阵 A 是可逆的，并把矩阵 B 称为A 的逆矩阵，A 的逆矩阵记为A-1 。 章节二：可逆矩阵的性质 1、若矩阵 A、B 均可逆，则矩阵 AB 可逆，其逆阵为 B -1 A -1 ，当然这一性质可以推广到多个矩阵相乘的逆。 2、若 A 可逆，则A-1也可逆，且(A-1)-1 =A；

一、逆矩阵与逆变换

逆 矩 阵 与 逆 变 换 教学目标 1.逆矩阵的概念； 2.逆矩阵的性质。 教学过程 探究：对于一个线性变换ρ，是否存在一个线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I ？对于一个二阶矩阵A ，是否存在一个二阶矩阵B,使得BA=AB=E 2？ 变换ρ：将向量α沿逆时针方向绕原点旋转30°；变换σ：将向量α沿顺时针方向绕原点旋转30°，则任意向量经上述两种变换后，仍得其本身。 1.逆变换：设ρ是一个线性变换，如果存在一个线性变换σ，使得 σρ＝ρσ＝I ，（I 是恒等变换），则称变换ρ可逆，其中σ是ρ的逆变换。 若变换变换ρ和变换σ对应的矩阵分别为A 、B ，则有BA=AB=E 2 2.逆矩阵：设Ａ是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵Ｂ，使得BA=AB=E 2,则称矩阵Ａ可逆，其中Ｂ为Ａ的逆矩阵。 符号、记法：1A -，读作Ａ的逆。 一般地，设A 是一个二阶可逆矩阵，对应的线性变换为ρ，由矩阵与线性变换的对应关系可以看出，A 的逆矩阵就是ρ的逆变换所对应的矩阵。 3.逆矩阵的性质: 性质1:若逆矩阵存在，则可以证明其具有唯一性。 性质2：设A 、B 是二阶矩阵，如果A 、B 都可逆，则AB 也可逆，且111()AB B A ---=。 课堂练习： 1.下列变换不存在逆变换的是 （ ） A.沿x 轴方向，向y 轴作投影变换。 B.60o R 变换。 C.横坐标不变，纵坐标增加横坐标的 两倍的切变变换。 D.以y 轴为反射变换 2.设A,B 可逆，下列式子不正确的是 （ ） A.111()AB A B ---= B. 111()AB B A ---= C.11 ()A A --= D. 2112()()A A --= 3.关于x 轴的反射变换对应矩阵的逆矩阵是 4.矩阵0111?? ??? 的逆矩阵为 5.A ＝1101-?? ???13223122??- ? ? ? ?? ?，则1A -=

可逆矩阵

§3 可逆矩阵 若方阵 A 的逆阵存在，则称 A 为非奇异方阵或可逆方阵。 一、可逆矩阵的定义及性质 定义3.1 设A ∈Mn （F ）, 若存在同阶矩阵B ，使AB=BA=E ，则称A 为可逆矩阵，B 为A 的逆矩阵，简称为A 的逆，记为B= A-1 。 如果A 是可逆矩阵，那么A 的逆是唯一的。这是因为当B ，C 都是A 的逆时，有AB=BA=E=AC=CA ， B=BE=B （AC ）= （BAC=EC=C 。 可逆矩阵的性质： 1 、 =A ； 2 、如果A 可逆，数λ≠0 ，那么( A)-1= A-1 ； 3 、如果A 可逆，那么,A T 也可逆，而且( AT )-1=( A-1)T ； 4 、如果A ，B 皆可逆，那么AB 也可逆，且(AB) -1=B-1A-1 。 两个n 阶矩阵A 与B 的乘积AB=E 时，一定有BA=E ，从而A ，B 互为逆矩阵。 二、矩阵的标准形 定义3.2 如果矩阵A 经过有限次行（列）初等变换变为矩阵B ，就称A 行（列）等价于 B 。如果矩阵 A 经过有限次初等变换变为 B ，就称矩阵 A 等价于矩阵 B ，记为 。 矩阵的行等价（列等价、等价）满足如下定律： 1 自反律； 2 对称律如果那么； 3 传递律如果，，那么，。 在数学中，把具有上述三条规律的关系称为等价关系。因此矩阵的等价是一种等价关系。定义3.3 一个矩阵中每个非零行的首元素（指该行第一个非零元素）出现在上一行首元素的右边，同时，没有一个非零行出现在全零行的下方，这样的矩阵称为阶梯形矩阵。 定理3.2 任何一个矩阵A 都行等价于一个阶梯形矩阵。 定义3.4 一个阶梯形矩阵，如果它的每一非零行的首元素是1 ，且首元素所在列的其余元素全是零，就称为简化阶梯形矩阵。 定理3.3 任何一个矩阵行等价于一个简化阶梯形矩阵。 定理3.4 任何一个非零矩阵A ∈Mm ×n （F ）可经过有限次初等变换化为下面形似

矩阵可逆的若干判别方法

矩阵可逆的若干判别方法 可逆矩阵是高等代数中不可缺少的一部分，也是矩阵运算中的重要组成部分，对解决数数学问题有重大意义，学习可逆矩阵，对我们解决一些代数问题有极大的帮助。 如何判断矩阵可逆，主要有以下十一种方法。 一、 矩阵可逆的基本概念 （1）对于n 阶矩阵A ，若存在n 阶矩阵B ，使得 AB=BA=I 则称矩阵A 为可逆矩阵（或非退化或非奇异或满秩矩阵），或A 可逆，称B 为A 的 逆矩阵，记作B= A -1 。 注：若矩阵可逆，则A 的逆矩阵由A 唯一确定。 （2）矩阵A 的行秩等于列秩。 （3）矩阵A 经过一系列初等变换得到矩阵B ，则A 与B 等价。 （4）记矩阵A 中元素a ij 的代数余子式为A ij ，则A*=（A ij ）T n ×n ，我们就称A*为A 的伴随矩阵。 二、矩阵可逆的性质 （1）若矩阵A 可逆，则A 的逆矩阵A -1也可逆，且（A -1）-1 =A 。 （2）若矩阵A,B 均可逆，则矩阵AB 也可逆，且(AB) -1=B -1A -1 。 （3）若矩阵A 可逆，则A T 也可逆，且（A T ）-1=（A -1）T 。 （4）若矩阵A 可逆，λ≠0，则λA 也可逆，且(A λ)= λ 1A -1 。 （5）若矩阵A 可逆，则|A -1 |= | |1A 。 （6）矩阵A 的逆矩阵A -1 = | |*A A 。 （7）若A 为m ×n 阶矩阵，P 为m 阶矩阵，Q 为n 阶矩阵，A,P,Q 均为可逆矩阵，则有r(PAQ)=r(PA)=r(AQ)=r(A)。 三、矩阵可逆的若干判别方法 （一）定义判别法 对于n 阶方阵A ，若存在n 阶方阵B ，使得AB=BA=I,则A 可逆，且B 为A 的逆， 记为B=A -1 。 例1. 判断矩阵A=??? ? ? ??010100001 是否可逆？ 证 存在矩阵B=????? ??010100001，使得AB=BA=??? ? ? ??100010001 所以矩阵A 可逆。 注：此方法大多适用于简单的矩阵。

n阶实矩阵可逆的一个判定条件

收稿日期:2004-03-16 作者简介:俱鹏岳(1975-),男,甘肃镇原人,主要从事基础数学的教学和研究。 n 阶实矩阵可逆的一个判定条件 俱鹏岳,徐宏武 (陇东学院数学系,甘肃庆阳745000) 摘要:文章通过对实方矩阵主对角线上元素的讨论,得出判别其可逆的一个条件。关键词:实矩阵;可逆 中图分类号:O151.1 文献标识码:A 文章编号:1671-5365(2004)06-0153-02 定理:设有n 阶实矩阵 a 11 a 12 a 1n a 21a 22 a 2n a n1 a n2 a nn 如果,|a ii |> i !j |a ij |,i=1,2, ,n,则A 可逆 ?分析:为证明A 可逆,只要证明|A|!0#证法一:对阶数n 用数学归纳法 当n=2时,根据题设有|a 11|>|a 12|,|a 22|>|a 21|对|A|=a 11a 22-a 12a 21两边取绝对值有|a 11a 22-a 12a 21| |a 11|?|a 22|-|a 12|?|a 21|>0%|A|!0 即A 可逆 假定对这样的n-1阶行列式结论成立,再证对n 阶也成立。 由于|a 11|>|a 12|+ +|a 1n | 0 故a 11!0 现对|A|进行以下变换:第一行分别乘-a 21a 11,-a 31 a 11, , -a n1 a 11 后依次加到第2,3, ,n 行,再按第一列展开,得|A|=a 11 b 22 b 23 b 2n b 32b 33 b 3n b n2 b n3 b nn =a 11D 其中b ij =a ij -a i1 a 11 a 1j ,i,j=2,3, ,n 且D 为n-1阶行列式,现证D 满足归纳假设条件,即有:| b i i |> j !i |b ij | i=2, 3, ,n 1 只证|b 22|>|b 23|+|b 24|+ +|b 2n |,其余同理 即要证|a 22- a 21a 11a 12|>|a 23-a 21a 11a 13|+ +|a 2n -a 21 a 11 a 1n | 两边乘以|a 11|有 |a 11a 22-a 21a 12|>|a 11a 23-a 21a 13|+ +|a 11a 2n -a 21a 1n |但由|a i i |> j !i |a ij |及不等式性质知|a 11a 23-a 21a 13|+|a 11a 24-a 21a 14|+ +|a 11a 2n -a 21a 1n | |a 11a 23|+|a 21a 13|+|a 11a 24|+|a 21a 14|+ |a 11a 2n |+|a 21a 1n |=|a 11|(|a 23|+ +|a 2n |)+|a 21|(|a 13|+ +|a 1n |)<|a 11|(|a 22|-|a 21|)+|a 21|(|a 11|-|a 12|)=|a 11a 22|-|a 12a 21| |a 11a 22-a 12a 21|%|b 22|>|b 23|+|b 24|+ +|b 2n | 于是由归纳假设D !0,从而|A |=a 11 D !0 即A 可逆证法二,反证法 若|A|=0,则A 的列向量 1, 2, , n 线形相关, (其 中 i =(a 1i ,a 2i , ,a ni )T ,故存在不全为零的实数k 1,k 2, ,k n 使:k 1 1+k 2 2+ +k n n =0 于是有: a 11k 1+a 12k 2+ +a 1n k n =0 a 21k 1+a 22k 2+ +a 2n k n =0 a n1k 1+a n2k 2+ +a nn k n =0 现在不妨设|k 1|=max (|k 1|,|k 2|, ,|k n |),于是| a 11k 1|=|-a 12k 2- -a 1n k n | 有|a 11||k 1| |a 12||k 2|+ +|a 1n ||k n | (|a 12|+ +|a 1n |)|k 1| 153 第6期 NO 6 宜宾学院学报 Journal of Yibin Un i versity DECEM LEI 2004

可逆矩阵判定典型例题

典型例题（二）方阵可逆的判定例1设A是n阶方阵, 试证下列各式： （1）若, 则； （2）若A、B都是n阶可逆矩阵, 则； （3）； （4）若, 则； （5）； （6）若, 则（l为自然数）； （7）. 证（1）因为, 故A是可逆矩阵, 且 两边同时取转置可得 故由可逆矩阵的定义可知是A T的逆矩阵. 即 （2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有 （2-7） 另一方面 （2-8） 比较式（2-7）、（2-8）可知 又因为A、B均可逆, 所以(AB)也可逆, 对上式两端右乘可得（3）设n阶方阵A为 于是可得A的伴随矩阵为 注意到A的转置矩阵为 可推出的伴随矩阵为 比较与可知 （4）因为, 故A可逆, A的逆矩阵为, 并且由可知 由于, 可逆且可得 另一方面, 由 由矩阵可逆的定义知, 可逆, 并且 （5）对于（3）给出的矩阵A, 有 即的代数余子式为 故 （6）因为, 故A可逆, 并且

? （7）对于（3）给出的矩阵A , 有 类似于（5）可知的代数余子式为, 故 例2 设A 是n 阶非零矩阵, 并且A 的伴随矩阵满足, 证明A 是可逆矩阵. 证 根据矩阵A 与其对应的伴随矩阵的关系式, 有 反证, 假设A 不可逆, 故有, 由上式及条件, 有 （2-6） 设矩阵A 为 由式（2-6）可知 比较上式两边矩阵对角线上的元素有 故 因此有A = O , 与A 是n 阶非零矩阵矛盾, 故A 是可逆矩阵. 例3 设A 、B 都是n 阶可逆矩阵, 证明： 的充要条件是 证 必要性：因为 因此 即 充分性：因为, 故 . 例4 设A 是一个n 阶方阵, n 为奇数, 且, 证明不可逆. 证 因为, 故 ? 因此有 所以 故是不可逆矩阵. 例5 设A 是n 阶方阵且对某个正整数k 满足, 证明是可逆矩阵, 并求. 证 由于 故对于方阵A 的多项式, 仍有 注意到, 故有 因此可逆, 并且 例6 设A 是阶方阵, 是A 的伴随矩阵的伴随矩阵, 证明： （1）； （2）. 证 （1）利用矩阵A 与矩阵A 的伴随矩阵的关系, 有 即 从而有 l 个 l 个

关于矩阵的可逆性探讨 (1)

上海大学2011～2012学年冬季学期课程论文 课程名称：线性代数与几何课程编号：01014108 论文题目: 关于矩阵的可逆性探讨 作者姓名: 学号: 成绩: 论文评语: 评阅人: 评阅日期:

关于矩阵的可逆性探讨 姓名：学号： 摘要：本文首先给出矩阵可逆的定义、性质，其次探讨矩阵可逆的判定方法、逆矩阵的求法以及矩阵可逆的应用，特别是在编码、解码方面的应用。最后，本文对可逆矩阵进行了相应的推广。 关键词：矩阵矩阵的逆秩广义逆 正文： 引言 在这篇文章中涉及到一些线性代数中的专有符号，在此做些说明。r（A） 是矩阵A的秩、A 是矩阵A的行列式。写这篇文章主要是对矩阵的可逆性由来 及定义、性质、应用等等进行探讨。这篇文章的其余部分是这么编排的，章节一是矩阵的定义，章节二主要是逆阵的性质，章节三是逆矩阵的判定方法，接下来的章节四是逆矩阵的求法，章节五就是逆矩阵的应用，最后一个章节是对矩阵逆的推广。 章节一：矩阵逆的定义 首先，迎面而来的问题是逆矩阵是什么呢，我们为何要映入逆矩阵的概念。从以前学到的知识中我们知道，矩阵和复数相仿，有加、减、乘三种运算，为了要完善矩阵的运算，我们因此引入了矩阵的逆这个概念。 对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，则说矩阵A是可逆的，并把矩阵B称为A的逆矩阵，A的逆矩阵记为1-A。 章节二：可逆矩阵的性质 1、若矩阵A、B均可逆，则矩阵AB可逆，其逆阵为B1-A1-，当然这一性质可以推广到多个矩阵相乘的逆。 2、若A可逆，则1-A也可逆，且()11--A =A；

3、若A 可逆，数λ0≠，则A λ可逆，且 ()111--=A A λλ； 4、若A 可逆，则T A 也可逆，且（T A ）1- =（A 1- ）T 。 5、A ()()'11'=--A . 6、逆矩阵还有一个性质，就是矩阵的逆是唯一的，下面给出相应证明： 这里运用反证法，如果A 是可逆矩阵，假设B,C 都是A 的逆，则有 AB=BA=E=AC=CA B=BE=B （AC ）=（BA ）C=EC=C （与B ≠C 矛盾） 所以是唯一的。 章节三：矩阵可逆的判定方法 矩阵可逆有如下若干充要条件：（A 为n 阶方阵） 1、存在B 为n 阶方阵，使得AB=I ； 2、对于PAQ=I 000r ??????，其中r （A ）=n ； 3、0A ≠； 4、A 的行向量组线性无关； 5、A 的列向量组线性无关； 6、A 可表示成一系列初等矩阵的乘积； 7、A 可经过一系列初等行变换化成单位矩阵I ； 8、A 可经过一系列初等列变换化成单位矩阵I ； 9、对于齐次线性方程组 AX=0只有零解； 10、A 是非奇异矩阵。 章节四：矩阵的逆的求法 1、从初等变换角度 1(I)(I )A A -????→ 行初等变换 具体方法是：欲求A 的逆矩阵时，首先由A 作出一个n n 2?矩阵，即)(E A ，其次对这个矩阵施以行初等变换(且只能用行初等变换)，将它的左半部的矩阵A 化为单位矩阵，那么原来右半部的单位矩阵就同时化为

可逆矩阵判定典型例题

. 典型例题（二）方阵可逆的判定 例1 设A 是n 阶方阵, 试证下列各式： （1）若, 则 ； （2）若A 、B 都是n 阶可逆矩阵, 则 ； （3） ； （4）若, 则 ； （5） ； （6）若, 则（l 为自然数）； （7） . 证 （1）因为, 故A 是可逆矩阵, 且 两边同时取转置可得 故由可逆矩阵的定义可知 是A T 的逆矩阵. 即 （2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有 （2-7） 另一方面 （2-8） 比较式（2-7）、（2-8）可知 又因为A 、B 均可逆, 所以(AB )也可逆, 对上式两端右乘可得 （3）设n 阶方阵A 为 于是可得A 的伴随矩阵为 注意到A 的转置矩阵为 0||≠A T T A A )()(11--=* **)(A B AB =T T A A )()(**=0||≠A *11*)()(--=A A * 1*)1()(A A n --=-0||≠A l l A A )()(11--=* 1*)(A k kA n -=0||≠A E AA =-1 E E A A AA T T T T ===--)()()(11T A )(1-1 1)()(--=T T A A E AB AB AB ||)()(*=B I A B B A A B AB A B )|(|)())((*****==E AB E B A B B A |||| ||||*===))(()()(***AB A B AB AB =1 )(-AB * **)(A B AB =??? ???????????=nn n n n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 * A ??? ???????????=nn n n n n A A A A A A A A A A ΛΛΛΛΛΛΛ212221212111 *