第4课时 因式分解

一、选择题(每题5分，共15分)

1．[2012·济宁]下列式子变形是因式分解的是

( B ) A ．x 2－5x ＋6＝x ()x －5＋6

B ．x 2－5x ＋6＝()x －2()x －3

C.()x －2()x －3＝x 2－5x ＋6

D ．x 2－5x ＋6＝()x ＋2()x ＋3

2．[2012·凉山州]下列多项式能分解因式的是

( C ) A ．x 2＋y 2

B ．－x 2－y 2

C ．－x 2＋2xy －y 2

D ．x 2－xy ＋y 2

3．[2013·佛山]分解因式a 3－a 的结果是

( C ) A ．a (a 2－1)

B ．a (a －1)2

C ．a (a ＋1)(a －1)

D ．(a 2＋a )(a ＋1)

【解析】 首先提取公因式a ，再利用平方差公式进行二次分解a 3－a ＝a (a 2－1)＝a (a ＋1)(a －1)，故选C.

二、填空题(每题5分，共25分)

4．[2013·广东]分解因式：x 2－9＝__(x ＋3)(x －3)__．

5．[2013·黄冈]分解因式：ab 2－4a ＝__a (b －2)(b ＋2)__．

6．[2013·南充]分解因式：x 2－4(x －1)＝__(x －2)2__．

7．[2013·北京]分解因式：ab 2－4ab ＋4a ＝__a (b －2)2__．

8．[2013·潍坊]分解因式：(a ＋2)(a －2)＋3a ＝__(a ＋4)(a －1)__．

三、解答题(共14分)

9．(6分)[2011·广州]分解因式：8(x 2－2y 2)－x (7x ＋y )＋xy .

解：8(x 2－2y 2)－x (7x ＋y )＋xy

＝8x 2－16y 2－7x 2－xy ＋xy

＝x 2－16y 2

＝(x ＋4y )(x －4y )．

10．(8分)[2011·三明]给出三个多项式：2a 2＋3ab ＋b 2，3a 2＋3ab ，a 2＋ab ，请你任选两个进行加(或减)法运算，再将结果分解因式．

解：本题答案不唯一；选择加法运算有以下三种情况：

(2a 2＋3ab ＋b 2)＋(3a 2＋3ab )＝5a 2＋6ab ＋b 2＝(a ＋b )(5a ＋b )；

(2a 2＋3ab ＋b 2)＋(a 2＋ab )＝3a 2＋4ab ＋b 2＝(a ＋b )(3a ＋b )；

(3a 2＋3ab )＋(a 2＋ab )＝4a 2＋4ab ＝4a (a ＋b )．

选择减法运算有六种情况，选三种供参考．

(2a 2＋3ab ＋b 2)－(3a 2＋3ab )＝b 2－a 2＝(b ＋a )(b －a )；

(2a 2＋3ab ＋b 2)－(a 2＋ab )＝a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2；

(3a 2＋3ab )－(a 2＋ab )＝2a 2＋2ab ＝2a (a ＋b )．

11．(4分)[2013·衡阳]已知a ＋b ＝2，ab ＝1，则a 2b ＋ab 2的值为__2__．

12．(4分)[2013·枣庄]若a 2－b 2＝16，a －b ＝13，则a ＋b 的值为__12__．

13．(4分)[2013·徐州]当m ＋n ＝3时，式子m 2＋2mn ＋n 2的值为__9__．

14．(15分)[2014·预测题]分解因式：(a ＋b )2－12(a ＋b )＋36.

【解析】 将a ＋b 看作一个整体，应用完全平方公式进行因式分解． 解：(a ＋b )2－12(a ＋b )＋36＝[(a ＋b )－6]2＝(a ＋b －6)2.

15．(9分)已知△ABC 的三边长a ，b ，c 满足等式a 2－c 2＋2ab －2bc ＝0，试说明△ABC 是等腰三角形．

解：∵a 2－c 2＋2ab －2bc ＝0，∴(a ＋c )(a －c )＋2b (a －c )＝0，∴(a －c )(a ＋c ＋2b )＝0.

∵a，b，c是△ABC的三边长，∴a＋c＋2b>0，

∴a－c＝0，∴a＝c，∴△ABC是等腰三角形．

16．(10分)已知x2－x－1＝0，求－x3＋2x2＋2 014的值．

解：∵－x3＋2x2＋2 014＝－x3＋x2＋x2＋2 014＝x(－x2＋x)＋x2＋2 014；①又∵x2－x－1＝0，

∴－x2＋x＝－1，②将②代入①，得

原式＝x(－1)＋x2＋2 014＝－x＋x2＋2014＝－(－x2＋x)＋2 014；③将②代入③，得原式＝－(－1)＋2 014＝2 015.

(完整版)北师大版本八年级数学下第四章因式分解全章教案

北师大版本八年级数学下第四章因式分解全章教案 1因式分解 【知识与技能】 使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念；通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力. 【过程与方法】 认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能利用这种关系寻求因式分解的方法；通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为用所学到的数学知识解决问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识. 【情感态度】 培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度. 【教学重点】 因式分解的概念. 【教学难点】 难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并利用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法. 一.情景导入，初步认知 下题简便运算怎样进行？ 问题1：736×95+736×5 问题2：-2.67×132+25×2.67+7×2.67 【教学说明】对乘法公式进行分析，为因式分解作铺垫. 二.思考探究，获取新知 问题：(1)993-99能被99整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的

想法与同学交流。 993-99 = 99×992-99 = 99(992-1) ∴993-99能被99整除. (2)993-99能被100整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。 小明是这样做的：993-99 = 99×992－99×1 = 99（992－1）= 99（99+1）（99-1）= 99×98×100 所以993-99能被100整除. 想一想： （1）在回答993-99能否被100整除时，小明是怎么做的？ （2）请你说明小明每一步的依据. （3）993-99还能被哪些正整数整除？为了回答这个问题，你该怎做？ 【教学说明】 老师点拨：回答这个问题的关键是把993-99化成了怎样的形式？ 【归纳结论】 以上三个问题解决的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式. 可以了解:993-99可以被98、99、100三个连续整数整除. 将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗? 学生探究发现：用a表示任意一个大于1的整数，则：a3-a=a×a2-a=a×(a2-1)=a ×(a+1)(a-1)=(a-1)×a×(a+1) ①能理解吗?你能与同伴交流每一步怎么变形的吗？ ②这样变形是为了达到什么样的目的？ 【教学说明】 经历从分解因数到分解因式的类比过程，探究概念本质属性. 【归纳结论】 把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式. 三.运用新知，深化理解 1.下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？ （1）4a（a+2b）=4a2+8ab；

因式分解第一课时教学设计蒙裕劲

14．3因式分解（14.3.1提公因式法）引入： 师：前几节课，我们学习了单项式乘以多项式；以及多项式乘以多项式的运算。请你快速地写出来。 生： 1．m a b ma mb； 2． a b p q ap aq bp bq； 师：看屏幕，你写对了吗？ 师：我们知道，单项式和多项式统称为整式！因此，这两个运算公式，我们可以统称为整式的乘法！同意吗？ 【环节一】：因式分解与整式乘法是互逆的变形 师：现在，老师把这两个公式倒过来，得到： 3．ma mb m a b ； 4．ap aq bp bq

a b p q ； 师：如果1和2式称为整式的乘法，那么请问，3和4称为什么运算呢？这种运算又是如何展开的呢？ ——这就是我们这节课要学习的知识！ （板书：14.3因式分解） 师：回到刚才的问题：如果1和2式称为整式的乘法，那么请问，3和4称为什么运算呢？ 生：因式分解！ 师：正确！这也正是我想告诉你们的！ 师：关于因式分解，现在我提出第一个问题：请你告诉我因式分解跟整式乘法的关系。 生：互逆关系！ 师：好，大家认同吗？ 师：本节课的第一个大问题已经解决，写一下： 3．ma mb m a b ；（在箭头上写因式分解，箭头下写整式乘法） 4．ap aq bp bq a b p q

；（在箭头上写因式分解，箭头下写整式乘法）——设计意图：关于因式分解的定义我认为有两大需要学生深入理解的：一是定义本身，二是因式分解这种运算跟其他运算之间的关系。先讲运算关系更加自然，同时也遵循由浅入深的认知规律。 【环节二】：因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 师：通过这个阶段的学习，我们知道了因式分解跟整式乘法是互逆的两种运算，那么，什么叫做因式分解呢？ 请你观察3和4这两式子，看看等号的左右两边的多项式有什么共同特征？生：等号的左边一个多项式，右边是两个多项式的乘积！ 师：对！用一句话就是：“把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。” 师：这就是因式分解的定义！ 板书：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 xx！ 课堂练习一、判断下列计算是不是因式分解： 1．6x4y32x3y3xy2 ； 2．x21x x 1 ；

第4课时 因式分解法

第4课时 因式分解法 教学目标 【知识与技能】 1.正确理解因式分解法的实质. 2.熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程. 【过程与方法】 通过新方法的学习，培养学生分析问题解决问题的能力及探索精神. 【情感态度】 通过因式分解法的学习使学生树立转化的思想. 【教学重点】 用因式分解法解一元二次方程. 【教学难点】 正确理解AB ＝0←→A ＝0或B ＝0. 教学过程 一、复习提问，导入新课 1.把下列各式因式分解 (1)2x 2－x ； (2)x 2－16y 2； (3)9a 2－24ab ＋16b 2. 2.解下列方程. (1)2x 2＋x ＝0(用配方法)； (2)3x 2＋6x ＝0(用公式法). 【教学说明】 (1)配方法将方程两边同除以2后，x 前面的系数应为12，12的一半 应为14，因此，应加上(14)2，同时减去(14)2. (2)直接用公式求解. 复习因式分解的基本方法和前面学过的一元二次方程的几种解法，为进入新课的学习做准备. 二、合作探究，探索新知 1.提问：怎样解方程x 2－x ＝0更简单？ 2.在解方程x 2－x ＝0时，将方程的左边因式分解，得到x (x －1)＝0， 而因式x 和x －1中必有一个为0，即x ＝0或x －1＝0 解得x 1＝0，x 2＝1.

3.小结：这样，解x 2－x ＝0就转化为解x ＝0或x －1＝0，从而达到降次的目的，同时也体现了数学中的转化思想.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 4.能用因式分解法解的一元二次方程须满足这样的条件： (1)方程的一边为0； (2)另一边能分解成两个一次因式的积. 【教学说明】 教师引导学生将方程左边的式子进行因式分解，从而将一元二次方程转化为两个一元一次方程，求得方程的解，然后总结方法，形成相应的知识点. 三、示例讲解，掌握新知 【例1】解方程：x 2－5x ＋6＝0 解：把方程左边分解因式，得 (x －2)(x －3)＝0. 因此，有x －2＝0或x －3＝0 解方程，得x 1＝2，x 2＝3. 【教学说明】 可以让学生尝试完成，体会用因式分解法解一元二次方程的一般步骤. 【例2】解方程：(x ＋4)(x －1)＝6 解：将原方程化为标准形式，得 x 2＋3x －10＝0 把方程左边分解因式，得 (x ＋5)(x －2)＝0 ∴x ＋5＝0或x －2＝0.解方程，得x 1＝－5，x 2＝2. 【教学说明】 提醒学生先化为一般形式，再考虑使用因式分解法解方程. 四、练习反馈，巩固提高 1.(1)方程x (x ＋2)＝2(x ＋2)的根是__x 1＝2，x 2＝－2__. (2)方程x 2－2x －3＝0的根是__x 1＝3，x 2＝－1__. 2.如果a 2－5ab －14b 2＝0，求2a ＋3b 5b 的值. 解：∵a 2－5ab －14b 2＝0， ∴(a －7b )(a ＋2b )＝0， ∴a ＝7b 或a ＝－2b . ∴2a ＋3b 5b ＝175或2a ＋3b 5b ＝－15

北师大版八年级下册第四章因式分解的常用方法(汇总)

因式分解常用方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方 法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下： 一、提公因式法. 如多项式),(c b a m cm bm am ++=++ 其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式． 二、运用公式法. 运用公式法，即用 ))((, )(2), )((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=-μ 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局 部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后 两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式=)()(bn bm an am +++ =)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++ 思考：此题还可以怎样分组？ 此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可 以提。 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102 解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。 第二、三项为一组。 解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a -- （二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：ay ax y x ++-22 分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继 续分解，所以只能另外分组。 解：原式=)()(22ay ax y x ++- =)())((y x a y x y x ++-+ =))((a y x y x +-+ 例4、分解因式：2 222c b ab a -+- 解：原式=222)2(c b ab a -+- =22)(c b a -- =))((c b a c b a +--- 练习：分解因式3、y y x x 3922--- 4、yz z y x 2222--- 练习：（1）3223y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-22

八年级第四章因式分解复习测试题

2014八年级下册数学第四章因式分解 一、选择题 1．下列从左到右的变形属于因式分解的是（ ） ( A )（x+3）（x-3）=x 2-9 ( B ) x 2-4x+3=x(x-4)+3 ( C )（x+3）（x-2）= x 2-5x+6 ( D ) a 2+3a=a(a+3) 2．下列因式分解错误的是（ ） A ．22()()x y x y x y -=+- B ．2269(3)x x x ++=+ C ．2()x xy x x y +=+ D ．222()x y x y +=+ 3．利用分解因式计算22011－22010，则结果是（ ）( A )2 ( B ) 1 ( C )22010 ( D ) 22011 4．把多项式－8a 2b 3c ＋16a 2b 2c 2－24a 3bc 3分解因式，应提的公因式是( )， A.－8a 2bc B. 2a 2b 2c 3 C.－4abc D. 24a 3b 3c 3 6．把－6(x －y)2－3y(y －x)2分解因式，结果是( )． A.－3(x －y)2(2＋y) B. －(x －y)2(6－3y) C. 3(x －y)2(y ＋2) D. 3(x －y)2(y －2) 7能用平方差公式分解因式的是（ ）A.22)(b a -+；B.mn m 2052-； C.22y x --； D.92+-x ； 8．分解因式a a -3的结果是( )A ．)1(2-a a B ．2)1(-a a C ．)1)(1(-+a a a D ．)1)((2-+a a a 9.边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形（a>b ）.把余下的部分剪拼成一个矩形（如图）. 通过计算图形（阴影部分）的面积,验证了一个等式，则这个等式是（ ） A.))((22b a b a b a -+=- B.2222)(b ab a b a ++=+ C.2222)(b ab a b a +-=- D.)(2b a a ab a -=- 10.如图，在边长为a 的正方形上剪去一个边长为b 的小正方形（a>b ），把剩下的部分剪拼成一个 梯形， 分别计算这两个图形阴影部分的面积，由此可以验证的等式是（ ） ( A )a 2-b 2=（a+b ）（a-b ） ( B )（a+b ）2=a 2+2ab+b 2 ( C )（a-b ）2=a 2-2ab+b 2 (D ) a 2-ab=a （ 11.A.))((22b a b a b a -+=- B.2222)(b ab a b a ++=+ C.2222)(b ab a b a +-=- D.)(2b a a ab a -=- 12.如果2592++kx x 是一个完全平方式，那么k=（ ）A.15 B.±5 C.30 D.±30； 13.下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是( )． A.4x 2－2x ＋1 B.4x 2 ＋4x －1 C.x 2－xy ＋y 2 D ．x 2－x ＋12

《公式法因式分解》教学设计

《公式法因式分解》教学设计 永年县第八中学——胡平亮 一、教学内容：冀教版七年级数学第十一章公式法分解因式 二、教学目标： 知识与技能 1、经历逆用平方差公式的过程． 2、会运用平方差公式，并能运用公式进行简单的分解因式． 过程与方法 1、在逆用平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力． 2、培养学生观察、归纳、概括的能力． 情感与价值观要求： 在分解过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美；让学生在合作探究的学习过程中体验成功的喜悦；培养学生敢于挑战；勇于探索的精神和善于观察、大胆创新的思维品质。 三、教学重点： 利用平方差公式进行分解因式 四、教学难点： 领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性。 五、教学准备： 深研课标和教材，分析学情，制作课件 六、教学过程； 一、知识回顾 1、根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？ （1）、(2x-1)2=4x2-4x+1 否 （2）、 3x2＋9xy－3x＝3x(x＋3y－1) 是 （3）、4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y) 否 2、把下列各式进行因式分解

（1）. a3b3-a2b-ab （2）(3x+y)(3x-y) （3）、（x+5)(x-5) 利用一组整式的乘法运算复习平方差公式，为探究运用平方差公式进行分解因式打下基础。 二、导入新课： 你能把多项式：x2 -25、9x2 -y2分解因式吗？ 利用一组运用平方差公式分解因式的习题，引导学生利用逆向思维去探究如何分解 a2- b2类的二次二项式。学生从对比整式的乘法去探索分解因式方法，可以感受到这种互逆变形以及它们之间的联系。 三、探究与交流 a2- b2=(a+b)(a-b) （1）用语言怎样叙述公式？ （2）公式有什么结构特征？ （3）公式中的字母a、b可以表示什么？引导学生观察平方差公式的结构特征， 学生在互动交流中，既形成了对知识的全面认识，又培养了观察、分析能力以及合作交流的能力。 判断：下列多项式能不能运用平方差公式分解因式？ (1) m2－1 (2)4m2－9 （3）(3)4m2+9 （4）(4)x2－25y + (5) －x2－25y2 (6) －x2－25y2 通过这一组判断，使学生加深理解和掌握平方差公式的结构特征，既突出了重点，也培养了学生的应用意识。 四、体验新知： （A）通过自学例1: 分解因式(1)25-16x2 (2)9a2 -1/4b2 引导学生得出分解因式的一般步骤，向学生渗透“化归”思想。 要让学生明确： （1）要先确定公式中的a和b； （2）学习规范的步骤书写。 （B）例2、分解因式9(m+n)2-(m-n)2

第四章 因式分解

第四章 因式分解 1.因式分解 一、基本知识点 1、因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫因式分解。 （1）.因式分解是恒等变形；（2）因式分解的对象是多项式；（3）结果是乘积形式；（4）分解后的每一个因式必须是整式；（5）分解到不能再分为止。 2、因式分解与整式乘法的关系：互逆过程。（整式乘法可以验证因式分解的正确与否） 二、知识拓展与应用 1、下列由左到右的变形属于因式分解的是（ ） 22221 (a+3)(3)9;1(1) ();2x 3)(32) A a a B x x x C a b a b D y -=-+=++=++-、、、、6xy-4x+9y-6=（ 2、已知多项式x 4+2x 3－x+m 能因式分解，且有因式x+1. (1)当x=－1时，求多项式x 4+2x 3－x+m 的值。 (2)求m 的值。 3、如图4.1.1是由一个正方形和两个长方形组成的一个大矩形， 根据图形，写出一个因式分解的等式。 4、证明：一个三位数的百位上的数字与个位上的数字交换位置， 则原数与新数之差能被99整除。 5、多项式x 2－3x －10因式分解的结果是（ ） A 、（ｘ＋２）（ｘ－5） B 、（ｘ＋２）（ｘ+5）C 、（ｘ－２）（ｘ－5）D 、（ｘ－２）（ｘ+5） 6、已知关于x 的二次三项式3x 2+mx －n=(x+3)(3x －5),求：m 、n 的值。 7、关于x 的多项式6x 2－11x+m 因式分解后有一个因式2x －3，试求m 的值。 8、试说明817－279－９１３ 能被４５整除。 ２．提起公因式法 一、基本知识点 １、公因式：多项式各项中都含有的相同的因式（包括数）。 ２、公因式的确定：（１）系数（第一项是负数时，提出负号）；确定数字因数；（２）找各项都有的字母；（３）各项都有的字母的最小指数。 ３、提公因式法分解因式：（１）确定公因式；（２）用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式；（３）把多项式写成这两个因式的积的形式。 二、知识拓展与应用 １、把下列各式分解因式 （１）8x 3y 2－12xy 3z; (2) 9x n+1－27x n (3) 6(a －ｂ）３ －9b(a －b)2 (4) －4m 3+16m 2－26m （5）6a(b －a)2－3(a －b)3 2、利用因式分解简化计算 4111 (1)67923937191919? ????、－－；（）、－133 20142014 20142015 2342014992015122?+-+-（）、；（）、（） 3、探讨32014－4×32013+8×32012 能被10以内的哪几个整数整除？ 4、分解因式：1+x+x （x+1)+x(x+1)2+……x （x+1)2014 m n n 4.1.1图

4.1因式分解教学设计

铁厂中学高效课堂数学教学设计 4.1 因式分解 铁厂中学李兴林 一．教材分析： 因式分解是代数的重要内容，它与整式和它在分式有密切联系，因式分解是在学习有理 数和整式四则运算上进行的，它为今后学习分式运算，解方程及方程组及代数式和三角函数 式恒等变形提供必要的基础。因此学好因式分解对于代数知识的后继学习具有相当重要的意 义． 本节是因式分解的第1小节，它主要让学生经历从分解因数到分解因式的过程，让学生 体会数学思想——类比思想，分解的思想，逆向思考的作用，体会数学思维之间的整体联系。 二．学情分析： 学生的技能基础：学生已经熟悉乘法的分配律及其逆运算，并且学习了整式的乘法运算， 因此，对于因式分解的引入，学生不会感到陌生，它为今天学习分解因式打下了良好基础．学生活动经验基础：由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维 对于八年级学生还比较生疏，接受起来还有一定的困难，再者本节还没有涉及因式分解的具 体方法，所以对于学生来说，寻求因式分解的方法是一个难点。 三．教学目标： 1.使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念。 2.认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形）。 3.通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，培养变形与化归的能力。 4.培养学生认识矛盾的对立统一，勇于探索的精神和实事求是的学习态度。 四．教学重点：因式分解的概念。 教学难点：难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系。 五．教学过程： 本节课设计了五个教学环节：复习回顾（整式乘法），自主探究概念，小组合作学习， 检测巩固，小结。 （一）复习回顾 1.整式乘法有几种形式? (1)单项式乘以单项式：3a?4ab= (2)单项式乘以多项式： a(m+n)=_______ (3)多项式乘以多项式: (a+b)(m+n)=_____________ 千教万教，教人求真

第四章因式分解复习

第四章因式分解 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生已经学习了因式分解的两种方法：提公因式法与公式法，逐步认识到了整式乘法与因式分解之间是一种互逆关系，但对因式分解在实际中的应用认识还不够深，应用不够灵活，对稍复杂的多项式找不出分解因式的策略．因此，教学难点是确定对多项式如何进行分解因式的策略以及利用分解因式进行计算及讨论. 学生活动经验基础：在本章内容的学习过程中，学生已经经历了观察、对比、类比、讨论、归纳等活动方法，获得了一些对多项式进行分解因式以及利用分解因式解决实际问题所必须的数学活动经验基础，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力． 二、教学任务分析 在前几节的学习中，学生已经掌握了提取公因式与公式法的用法，本课时安排让学生对本章内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用，因此，本节课的教学目标是： 1．知识与技能： （1）使学生进一步了解分解因式的意义及几种因式分解的常用方法； （2）提高学生因式分解的基本运算技能； （3）能熟练地综合运用几种因式分解方法． 2．过程与方法： （1）发展学生对因式分解的应用能力，培养寻求解决问题的策略意识，提高解决问题的能力； （2）注重学生对因式分解的理解，发展学生分析问题的能力和推理能力．3．情感与态度：通过因式分解综合练习和开放题练习，提高学生观察、分析问题的能力，培养学生的开放意识；通过认识因式分解在实际生活中的应用，培养

公开课因式分解教案、反思

教学案例：初中八年级代数 课题：13．5 因式分解（1） 教材：华师大出版社义务教育课程标准实验教科书 八年级第一学期第十三章第五节 授课教师：德化县第六中学林荣辉 【教学目标】 1．能区分整式的乘法与因式分解，会根据因式分解的意义来判定一个等式从左到右的变形是否为因式分解；会运用提公因式法分解因式．2．通过与算术中的因数分解相比较，渗透类比的数学思想方法；通过与多项式的乘法相比较，发展逆向思维能力。 3．通过因式分解在简化计算中的作用等，培养“用数学”的意识，增强求知欲和学好数学的自信心。 【教学重点与难点】 重点：提公因式法分解因式 难点：多项式因式分解和整式乘法的关系 【教学方法与教学手段】 教学方法：采用“引导类比讨论发现”的教学方法 教学手段：多媒体辅助教学 【教学过程】

教学反思：初中八年级代数 课题：13．5 因式分解（1） 教材：华师大出版社义务教育课程标准实验教科书 八年级第一学期第十三章第五节 授课教师：德化县第六中学林荣辉 【教学反思】 因式分解共二个课时，本节课为第一课时。为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体的指导思想，本节课以类比发现法为主，直观演示法、设疑诱导法为辅，并运用电教媒体化静为动，激发学生探究知识的欲望，逐步推导归纳得出结论，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养学生的思维能力。 1．在数学过程设计中，从学生身边的生活情景引入，从生活场景中提炼数学知识，设置疑问，使学生带着问题学习新知识，最后又运用新知解决疑问和生活中的问题。这样，体现了“数学源于生活，又为生活服务。” 2．设计问题化、发现化的“概念形成”、“探究新知”，通过“做一做”、“想一想”、“练一练”、“议一议”等活动，为学生提供充分从事数学活动的机会。利用数学情境，激发学生学习的积极性，鼓励学生参与探究、合作交流，让学生自我思考归纳总结，体会数学的价值。 3．现代教学理论认为：学习并非学生对于教师所授予知识的被动接受，而是以自身已有的知识和经验为基础的主动建构，强调学生学习的主动性、社会性和情景性。由此，本课组织学习因式分解概念与提公因式法时，让学生通过已学过的因数分解及整式乘法相类比，进行探索新知，自我小结归纳，再给出一系列辨析题。在最后的环节中，将学生可能会出现的错误问题全部展现，为学生提供经验与教训，让学生能更透彻地理解本节课的重点和化解难点。 4．本课教学流程图： 情境激趣 复旧孕新 自主小结

课时4因式分解

课时4 因式分解 【教学目标】 1． 理解因式分解的意义，并在实数范围内分解因式 【课前热身】 1.（06 温州）若x －y ＝3，则2x －2y ＝ ． 2.（08茂名）分解因式：3x 2－27= ． 3．若 , ),4)(3(2==-+=++b a x x b ax x 则． 4. 简便计算：2200820092008-? ＝ . 5. (08东莞) 下列式子中是完全平方式的是（ ） A ．22b ab a ++ B ．222++a a C ．222b b a +- D ．122++a a 【考点链接】 1. 因式分解：就是把一个多项式化为几个整式的 的形式．分解因式要进行到每一个 因式都不能再分解为止． 2. 因式分解的方法：⑴ ，⑵ ， ⑶ ，⑷ . 3. 提公因式法：=++mc mb ma __________ _________. 4. 公式法: ⑴ =-22b a ⑵ =++222b ab a ， ⑶=+-2 22b ab a . 5. 十字相乘法：()=+++pq x q p x 2 ． 6．因式分解的一般步骤:一“提”（取公因式），二“用”（公式）． 7．易错知识辨析 （1）注意因式分解与整式乘法的区别； （2）完全平方公式、平方差公式中字母，不仅表示一个数，还可以表示单项式、多项 式. 【典例精析】 例1 分解因式： ⑴（08聊城）3322 2ax y axy ax y +-=__________________. ⑵（08宜宾）3y 2－27＝___________________.

⑶（08福州）2 44x x ++=_________________. ⑷ (08宁波) 221218x x -+= ． 例2 已知5,3a b ab -==，求代数式32232a b a b ab -+的值. 【中考演练】 1．简便计算：= 2271.229.7－. 2．分解因式：=-x x 422____________________. 3．分解因式：=-942x ____________________. 4．分解因式：=+-442x x ____________________. 5.（08凉山）分解因式2232ab a b a -+= ． 6．（08泰安）将3214 x x x +-分解因式的结果是 ． 7.（08中山）分解因式am an bm bn +++=_____ _____； 8．(08安徽) 下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ） A ．x 2－xy B ．x 2＋xy C ．x 2－y 2 D ．x 2＋y 2 9．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ） A ．bx ax b a x -=-)( B ．222)1)(1(1y x x y x ++-=+- C ．)1)(1(12-+=-x x x D ．c b a x c bx ax ++=++)( ﹡10. 如图所示，边长为,a b 的矩形，它的周长为14，面积为10，求22a b ab +的值．

中考数学全效复习：第4课时 因式分解

第4课时 因式分解 分) 一、选择题(每题5分,共20分) 1．[2019·无锡]分解因式4x 2－y 2的结果是( ) A ．(4x ＋y)(4x －y) B ．4(x ＋y)(x －y) C ．(2x ＋y)(2x －y) D ．2(x ＋y)(x －y) 2．[2019·泸州]把2a 2－8分解因式,结果正确的是( ) A ．2(a 2－4) B ．2(a －2)2 C ．2(a ＋2)(a －2) D ．2(a ＋2)2 3．[2019·原创]把多项式x 2＋ax ＋b 分解因式,得(x ＋1)(x －3),则a,b 的值分别是( ) A ．2,3 B ．－2,－3 C ．－2,3 D ．2,－3 4．已知14m 2＋14n 2＝n －m －2,则1m －1n 的值等于 ( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－14 二、填空题(每题5分,共25分) 5．[2019·黄冈]分解因式：3x 2－27y 2＝________________. 6．[2018·株洲]分解因式：a 2(a －b)－4(a －b)＝________________. 7．[2019·广州]分解因式：x 2y ＋2xy ＋y ＝________________. 8．[2019·金华]当x ＝1,y ＝－13时,代数式x 2＋2xy ＋y 2的值是____________． 9．[2019·徐州]若a ＝b ＋2,则代数式a 2－2ab ＋b 2的值为________． 三、解答题(共25分) 10．(10分)[2018·大庆]已知：x 2－y 2＝12,x ＋y ＝3,求2x 2－2xy 的值． 11．(15分)[2018·临安区]阅读下列题目的解题过程： 已知a,b,c 为△ABC 的三边,且满足a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4,试判断△ABC 的形状． 解：∵a 2c 2－b 2c 2＝a 4－b 4,(A) ∴c 2(a 2－b 2)＝(a 2＋b 2)(a 2－b 2)．(B) ∴c 2＝a 2＋b 2.(C) ∴△ABC 是直角三角形．

2018新北师大版数学八年第四章因式分解附答案

第四章检测卷 时间：120分钟满分：120分 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为( ) A．x(a－b)＝ax－bx B．x2－1＋y2＝(x－1)(x＋1)＋y2 C．x2－1＝(x＋1)(x－1) D．ax＋bx＋c＝x(a＋b)＋c 2．下列四个多项式能因式分解的是( ) A．a－1 B．a2＋1 C．x2－4y D．x2－6x＋9 3．若多项式x2＋mx－28可因式分解为(x－4)(x＋7)，则m的值为( ) A．－3 B．11 C．－11 D．3 4．若a＋b＝3，a－b＝7，则b2－a2的值为( ) A．－21 B．21 C．－10 D．10 5．将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a＋1的是( ) A．a2－1 B．a2＋a C．a2＋a－2 D．(a＋2)2－2(a＋2)＋1 6．把代数式3x3－12x2＋12x因式分解，结果正确的是( ) A．3x(x2－4x＋4) B．3x(x－4)2 C．3x(x＋2)(x－2) D．3x(x－2)2 7．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a＞b)，再沿虚线剪开，如图①，然后拼成一个梯形，如图②，根据这两个图形的面积关系下列式子成立的是( ) A．a2－b2＝(a＋b)(a－b) B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 D．a2－b2＝(a－b)2 8．已知x，y满足2x＋x2＋x2y2＋2＝－2xy，则x＋y的值为( ) A．－1 B．0 C．2 D．1 9．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘为x2－4，乙与丙相乘为x2＋15x－34，则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？( ) A．2x＋19 B．2x－19 C．2x＋15 D．2x－15 10．已知a＝2018x＋2017，b＝2018x＋2018，c＝2018x＋2019，则多项式a2＋b2＋c2－ab－bc－ac的值为( ) A．0 B．3 C．2 D．1 二、填空题(每小题3分，共15分)

分组分解法因式分解(5课时)讲课教案

（一）复习 把下列多项式因式分解 (1)2x2+10x (2)a(m+n)+b(m+n) (3)2a(x-5y)+4b(5y-x) (4)(x+y)2-2(x+y) （二）新课讲解 1．引入提问：如何将多项式am+an+bm+bn因式分解？ 分析：很显然，多项式am+an+bm+bn中既没有公因式，也不好用公式法。怎么办呢？由于am+an=a(m+n),bm+bn=b(m+n),而a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).这样就有： am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b) 利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。 说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。 练习： 把下列各式分解因式 (1)20(x+y)+x+y (2)p-q+k(p-q) (3)5m(a+b)-a-b (4)2m-2n-4x(m-n) 2．应用举例 例1．把a2-ab+ac-bc分解因式 分析:把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，分别提出公因式a与c后，另一个因式正好都是a-b，这样就可以继续提公因式。 解：a2-ab+ac-bc=（a2-ab）+（ac-bc）=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c) 例2：把2ax-10ay+5by-bx分解因式 分析：把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从两组中分别提出公因式2a与-b，这时另一个因式正好都是x-5y，这样就可继续提公因式。解：2ax-10ay+5by-bx=（2ax-10ay）+（5by-bx） =2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b) 提问：这两个例题还有没有其他分组解法？请你试一试。如果能，请你看一下结果是否相同？练习：把下列各式分解因式 (1)ax+bc+3a+3b (2)a2+2ab-ac-2bc (3)a-ax-b+bx (4)xy-y2-yz+xz (5)2x3+x2-6x-3 (6)2ax+6bx+5ay+15by (7)mn+m-n-1 (8)mx2+mx-nx-n (9)8m-8n-mx+nx (10)x2-2bx-ax+2ab (11)ma2+na2-mb2-nb2 四、课外作业把下列各式分解因式 1．a(m＋n)－b(m＋n) ⒉xy(a－b)＋x(a－b) 3．n(x＋y)＋x＋y ⒋a－b－q(a－b) 5．p(m－n)－m＋n ⒍2a－4b－m(a－2b) 7．a2＋ac－ab－bc ⒏3a－6b－ax＋2bx 9．2x3－x2＋6x－3 ⒑2ax＋6bx＋7ay＋21by ⒒xy＋x－y－1 ⒓ax2＋bx2 －ay2－by2 ⒔x3－2x2y－4xy2＋8y3 ⒕3m－3y－ma＋ay ⒖4x3＋4x2y－9xy2－9y3⒗x3y－3x2－2x2y2＋6xy

新浙教版数学七年级下册第四章《因式分解》培优题

新浙教版数学七年级下册第四章《因式分解》培优题 一．选择题（共6小题） 1．下列各式，能直接运用完全平方公式进行因式分解的是（） A．4x2+8x+1 B．x2y2﹣xy+1 C．x2﹣4x+16 D．x2﹣6xy﹣9y2 2．已知x2+ax﹣12能分解成两个整数系数的一次因式的积，则整数a的个数有（） A．0 B．2 C．4 D．6 3．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n=p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算．例如：12=1×12=2×6=3×4，则． 那么以下结论中：①；②；③若n是一个完全平方数，则F（n）=1；④若n是一个完全立方数（即n=a3，a是正整数），则．正确的个数为（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值时，可以设另一个因式为x+n，则x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）． 即x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n． ∴解得，n=﹣7，m=﹣21， ∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21． 类似地，二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x﹣5，则它的另一个因式以及k 的值为（） A．x﹣1，5 B．x+4，20 C．x，D．x+4，﹣4 5．现有一列式子：①552﹣452；②5552﹣4452；③55552﹣44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（） A．1.1111111×1016 B．1.1111111×1027 C．1.111111×1056D．1.1111111×1017

因式分解(第一课时)教学设计

14.3.1《提公因式法分解因式》教学设计 汉滨区河东九年制学校 韩飞 【学习目标】 1、了解因式分解的意义，并能够理解因式分解与多项式乘法的区别与联系。 2、会用提公因式法进行因式分解。 3、经历因式分解的过程，提高学生的观察能力、逆向思维能力。 【学习重点】 用提取公因式法进行因式分解。 【学习难点】正确理解因式分解的概念，准确找公因式， 【学习过程】 一、情景导入 上一节我们已经学习了整式的乘法，知道可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式，反过来，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式，本节课我们一起来探究这种变形：《因式分解》 二、学生自学 出示自学指导（投影），完成以下问题： 1、 回忆：运用前两节所学的知识填空： （1）2（x ＋3）＝___________________； （2）x 2（3＋x ）＝_________________； （3）m （a ＋b ＋c ）＝_______________________. 2、探索：你会做下面的填空吗？ （1）2x ＋6＝（ ）（ ）； （2）3x 2＋x 3＝（ ）（ ）； （3）ma ＋mb ＋mc ＝（ ）2. 3.归纳：“回忆”的是已熟悉的 运算，而要“探索”的问题，其过程正好与“回忆” ，它是把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这就是 因式分解 （也叫做把这个多项式 分解因式 ） 4、下列各式从左到右的变形，哪是因式分解? （1）4a(a ＋2b)＝4a 2＋8ab ； （2）6ax －3ax 2＝3ax(2－x)； （3）a 2－4＝(a ＋2)(a －2)； （4）x 2－3x ＋2＝x(x －3)＋2． （5）36ab a b a 1232?= （6）??? ??+=+x a b x a bx

因式分解(第一课时)

因式分解（第1课时） 教学目标：(1)了解因式分解的意义；会用平方差公式分解因式 (2)经历通过整式乘法逆向得出因式分解方法的过程 发展学生的逆向思考问题的能力和推理能力 教学重点：运用平方差公式分解因式 教学难点：掌握分解因式与整式的乘法的区别 教学方法：练习法 教具准备：投影仪 教学过程： 1：情境创设：由问题：992-1是100的倍数吗？你是怎么想的？请说说你的想法。 2：探究活动： 问题一：为什么992-1可以写成（99+1）（99-1）？依据是什么？ 问题二：992-1还可以是哪些正整数的倍数？ 问题三：我们已能把“992-1”化成几个因数的积的形式，你能把“a2-1” 化成几个整式的积的形式吗？（让学生能实现从数到式的过渡， 培养学生类比“992-1”与“a2-1”） 问题四：你能把“a2-4”“a2-b2”“9a2-b2”化成几个整式的积的形式吗？如 果你有困难，请你先“做一做”。 3：由“做一做”让学生比较练习一和练习二的区别与联系，教师并总结： 事实上，把乘法公式 （a+b）（a-b）=a2-b2 反过来，就得到 a2-b2=（a+b）（a-b） 像这样，把一个多项式写成几个整式积的形式叫做多项式的因式分解 （因式分解的三个要点：①分解的结果必须是积的形式②每个因式必须是整式③每个因式必须分解到不能再分解为止） 4：例题讲解： 例1：把下列各式分解因式： （1）36-25b2 （2）16a2-9b2 (3)9(a+b)2-4(a-b)2 分析：（1）（2）两题可直接使用平方差公式分解，可让学生说出公式中的 a,b分别在题中代表什么？第（3）题先要引导学生逆用积的乘方法 则，将9(a+b)2写成[3（a+b）]2, 4(a-b)2写成[2（a-b）]2，再运用平 例2：如图：求圆环形绿化区的面积： 分析：运用因式分解解决实际问题，在 计算时，先逆用分配律后，再运用平方差 公式进行分解。

八年级第四章因式分解 提公因式(一)

第四章因式分解 2．提公因式法（一） 武定香水中学起正厅 总体说明 本节是因式分解的第2小节，占两个课时，这是第一课时，它主要让学生经历从乘法的分配律的逆运算到提取公因式的过程，让学生体会数学的主要思想——类比思想， 运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握．如学生在接受提取公因式法时，由整式的乘法的逆运算到提取公因式的概念，由提取的公因式是单项式到提取的公因式是多项式时的分解方法，都是利用了类比的数学思想，从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然，容易理解，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系． 一、学生知识状况分析 学生的技能基础：在上一节课的基础上，学生基本上了解了分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系，能通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，这为今天的深入学习提供了必要的基础． 学生活动经验基础：学生有了上一节课的活动基础，由于本节课采用的活动方法与上节课很相似，依然是观察、对比等，学生对于这些活动方法较熟悉，有较好的活动经验． 二、教学任务分析 根据学生在上一节课的经验，学生只是对因式分解有了一个初步的印象和判断，而对于怎样把一个多项式进行因式分解还很茫然，相应的数学能力还有待于

进一步加强和巩固．因此，本课时的教学目标是： 1.使学生了解因式分解的意义，了解因式分解和整式的乘法是整式的两种相反方向的变形。 2.让学生会确定多项式中各项的公因式，会用提公因式法进行因式分解。 3.通过与质因数分解的类比，让学生感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想；通过对公因式是多项式时的因式分解的教学，培养“换元”的意识。 教学重点：因式分解的概念及提公因式法的应用。 教学难点：正确找出多项式中各项的公因式和当公因式是多项式时的因式分解。 三、教学过程分析 本节课设计了七个教学环节：温故知新——想一想——议一议——试一试——做一做——想一想——反馈练习． 第一环节 温故知新 活动内容：计算：28 59851585?+??-采用什么方法？依据是什么？ 活动目的：旨在让学生通过乘法分配律的逆运算这一特殊算法，使学生通过类比的思想自然地过渡到理解提公因式法的概念上，从而为提公因式法的掌握埋下伏笔。 第二环节 想一想 活动内容： 多项式 ab+ac 中，各项有相同的因式吗？多项式 3x 2+x 呢？多项式mb 2+nb –