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八年级数学培优资料.doc

八年级数学培优资料

第 1 讲全等三角形的性质与判定(P2---- 11)

第 2 讲角平分线的性质与判定(P12 ----16)

第 3 讲轴对称及轴对称变换(P17 ---- 24)

第 4 讲等腰三角形 (P25---- 36)

第 5 讲等边三角形 (P37---- 42)

第 6 讲实数(P43---- 49)

第 7 讲变量与函数 (P50---- 54)

第 8 讲一次函数的图象与性质(P55 ----63)

第 9 讲一次函数与方程、不等式(P64---- 68)

第 10 讲一次函数的应用 (P69 ----80)

第11讲幂的运算（ P81---- 86)

第 12 讲整式的乘除 ((P87---- 93)

第 13 讲因式分解及其应用 (P94---- 100)

第 14 讲分式的概念 ?性质与运算 (P101----108)

第 15 讲分式的化简求值与证明 (P109---- 117)

第 16 讲分式方程及其应用 (P118---- 125)

第 17 讲反比例函数的图像与性质(P126---- 138)

第 18 讲反比例函数的应用 (P139---- 146)

第 19 讲勾股定理 (P147----- 157)

第 20 讲平行四边形 (P158----- 166)

第 21 讲菱形矩形 (P167----- 178)

第 22 讲正方形 (P179----- 189)

第 23 讲梯形 (P190----- 198)

第 24 讲数据的分析 (P199----- 209)

模拟测试一

模拟测试二

模拟测试三

第 01 讲全等三角形的性质与判定

考点·方法·破译

1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 全等三角形的形状和大小完全相同；

2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；

3．全等三角形判定方法有： SAS, ASA, AAS, SSS，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有 HL 法；

4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找

出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们

进行证明；

5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需

要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等 .

经典·考题·赏析

【例１】如图， AB ∥EF ∥DC , ∠ ABC＝90°,AB ＝CD，那么图中有全等三角形（）

A．5 对B．4 对C．3 对D．2 对

A 【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一

E 形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第

形. 这种逐步推进的方法常用到 .

解：⑴∵ AB∥ EF∥DC , ∠ ABC＝90. ∴∠ DCB＝90.

在△ ABC 和△ DCB 中 B F AB DC

∠ ABC ∠ DCB ∴△ ABC≌∴△ DCB（ SAS ）∴∠ A

BC CB

对全等三角三对

全等三角

＝∠ D

⑵在△ ABE 和△ DCE 中

∠A ∠ D

∠AED ∠ DEC

AB DC

∴△ ABE≌∴△ DCE∴ BE＝CE

⑶在 Rt△ EFB 和 Rt△ EFC 中

BE CE

EF EF

∴R t△ EFB ≌ Rt△EFC （ HL ）故选 C.

【变式题组】

01．（天津）下列判断中错误的是（）

A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等

B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等

C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等

D．有一边对应相等的两个等边三角形全等

02．（丽水）已知命题：如图，点A、D 、B、 E 在同一条直线上，且AD＝ BE，∠ A＝∠ FDE ，则△ ABC≌△DEF . 判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适

当条件使它成为真命题，并加以证明 .

A D B

03． ( 上海 ) 已知线段 AC 与 BD 相交于点 O, 连接 AB、 DC ， E 为 OB 的中点， F 为 OC 的中点，连接EF （如图所示） . F

⑴添加条件∠ A＝∠ D ，∠ OEF ＝∠ OFE ，求证： AB＝ DC ；

⑵分别将“∠ A＝∠ D ”记为①，“∠ OEF ＝∠ OFE ”记为②，“ AB＝DC ”记为③，添加①、③，以②为

结论构成命题 1；添加条件②、③，以①为结论构成命题 2.命题 1 是 ______命题，命题 2 是 _______命题（选择“真”或“假”A D 填入空格） .

B E F

【例２】已知 AB＝ DC ， AE＝ DF ，CF＝ FB. 求证： AF ＝ DE.

【解法指导】想证 AF＝DE ，首先要找出 AF 和 DE 所在的三角形CDE 和△ DEF 中，因而只需证明△ ABF ≌△ DCE 或△ AEF ≌△ DFE

. AF 在△ AFB 和△ AEF 中，而 DE 在△即可 .然后再根据已知条件找出证明它们

全等的条件 .

证明：∵ FB＝ CE ∴ FB＋ EF＝ CE＋ EF，即 BE＝ CF

A D

AB DC

在△ ABE 和△ DCF 中 , AE DF

BE CF

∴△ ABE≌△ DCF （ SSS）∴∠ B＝∠ C

C E F B DC

在△ ABF 和△ DCE 中 , ∠ B ∠ C ∴△ABF≌△DCE ∴AF＝DE

BF CE

【变式题组】

01．如图， AD、 BE 是锐角△ ABC 的高，相交于点O，若

A． 2 B． 3 C． 4 D． 5

O E

B D C

第 1题图第 2题图BO＝ AC， BC＝ 7， CD ＝ 2，则 AO 的长为（）

2.如图，在△ ABC 中， AB＝ AC，∠ BAC＝ 90°，AE 是过 A 点的一条直线， AE⊥ CE 于 E，BD⊥ AE 于 D， DE

＝4cm， CE＝ 2cm，则 BD＝ __________.

03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB＝ 90°，CD ⊥ AB 于点 D，点 E 在 AC 上， CE＝ BC，过点 E 作AC 的垂线，交 CD 的延长线于点 F . 求证： AB＝ FC.

A E C

【例３】如图①，△ ABC≌△ DEF ，将△ ABC 和△ DEF 的顶点 B 和顶点 E 重合，把△ DEF 绕点 B 顺时

针方向旋转，这时AC 与 DF 相交于点 O.

⑴当△ DEF 旋转至如图②位置，点B（ E）、 C、 D 在同一直线上时，∠AFD 与∠ DCA 的数量关系是________________;

⑵当△ DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.

A A

C A

E F

B F O

D F B(E) C D

B（ E） C

图①

图② D

图③

【解法指导】⑴∠ AFD ＝∠ DCA

⑵∠ AFD ＝∠ DCA 理由如下：由△ ABC≌△ DEF ，∴ AB＝ DE ，BC＝ EF, ∠ ABC＝∠ DEF , ∠ BAC ＝∠ EDF

∴∠ ABC － ∠FBC ＝∠ DEF －∠ CBF , ∴∠ ABF ＝∠ DEC

AB DE 在△ ABF 和△ DEC 中 ,

∠ ABF

∠ DEC

∴△ ABF ≌△ DEC ∠ BAF ＝∠ DEC ∴∠ BAC －∠ BAF ＝∠ EDF －∠ EDC , ∴∠ FAC ＝∠ CDF ∵∠ AOD ＝∠ FAC ＋∠ AFD ＝∠ CDF ＋∠ DCA

∴∠ AFD ＝∠ DCA 【变式题组】

01．（绍兴）如图， D 、 E 分别为△ ABC 的 AC 、BC 边的中点，将此三角形沿

DE 折叠，使点 C 落在 AB 边上

的点 P 处 . 若∠ CDE ＝ 48°，则∠ APD 等于（） A ． 42°B ． 48°C ． 52°D ． 58°

02．如图， Rt △ ABC 沿直角边 BC 所在的直线向右平移得到△

DEF ，下列结论中错误的是（

）

A ．△ ABC ≌△ DEF

B ．∠ DEF ＝ 90°

C ． AC ＝DF

D ．EC ＝ CF

D E

P B

第 1题图

第2题图

03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点

B 、

F 、C 、 D 在同一条直线上 . ⑴求证： AB ⊥ ED ；

⑵若 PB ＝ BC ，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.

C D

【例４】（第 21 届江苏竞赛试题）已知，如图， BD 、 CE 分别是△ ABC 的边 A C 和 AB 边上的高，点 P 在 BD 的延长线， BP ＝ AC ，点 Q 在 CE 上， CQ ＝ AB. 求证：⑴ AP ＝ AQ ；⑵ AP ⊥AQ

【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等 . 经观察，证 AP ＝ AQ, 也就是证△ APD 和△ AQE ，或△ APB 和△ QAC 全等 , 由已知条件 BP ＝ AC ， CQ ＝ AB ，应该证△ APB ≌△ QAC ，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠ 1＝∠ 2 即可 . 证 AP ⊥ AQ ，即证∠ PAQ ＝ 90°，∠ PAD ＋∠ QAC ＝90°就可以.

证明：⑴∵ BD 、 CE 分别是△ ABC 的两边上的高， A P

∴∠ BDA ＝∠ CEA ＝ 90°,

∴∠ 1＋∠ BAD ＝ 90°，∠ 2＋∠ BAD ＝ 90°，∴∠ 1＝∠ 2.

F AB QC

在△ APB 和△ QAC 中, ∠1 ∠ 2 ∴△ APB ≌△ QAC ，

BP CA

∴ AP ＝AQ

⑵∵△ APB ≌△ QAC ，∴∠ P ＝∠ CAQ, ∴∠ P ＋∠ PAD ＝90° C

∵∠ CAQ ＋∠ PAD ＝90°，∴ AP ⊥ AQ

【变式题组】

01．如图，已知 AB ＝ AE ，∠ B ＝∠ E ， BA ＝ ED ，点 F 是 CD 的中点，求证：

AF ⊥ CD.

02．（湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离

MA 为 am ，

C F D

此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离

NB 为 bm ，梯子倾斜角为 45°，这间房子的宽度是（）

a b a b A ．

B ．

C ． bm

D ． am

75° 45°

A C

第 2题图

第3题图

03．如图，已知五边形 ABCDE 中，∠ ABC ＝∠ AED ＝ 90°， AB ＝ CD ＝ AE ＝ BC ＋ DE ＝ 2，则五边形 ABCDE

的面积为 __________

演练巩固·反馈提高

01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠

α度数是（

）

A ． 72°

B ． 60°

C ． 58°

D ． 50°

50° A /

C P

58°

72° α

/ O

第1题图

第 2题图

第 3题图

/ / /

，∠ BCB /

的度数是（

）

02．如图，△ ACB ≌△ A C B ＝ 30°，则∠ ACA A ． 20°B ． 30°C ． 35°D ． 40°

03．（牡丹江）尺规作图作∠ AOB 的平分线方法如下：以

O 为圆心，任意长为半径画弧交 OA 、 OB 于 C 、 D ，

再分别以点 C 、 D 为圆心，以大于

P ，作射线 OP ，由作法得△ OCP ≌

CD 长为半径画弧，两弧交于点

△ ODP 的根据是（

）

A ． SAS

B ． ASA

C ．AAS

D ． SSS

04．（江西）如图，已知 AB ＝ AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△

ABC ≌△ ADC 的是（

）

A. CB ＝ CD

B.∠ BAC ＝∠ DAC

C. ∠ BCA ＝∠ DCA

D.∠ B ＝∠ D ＝ 90°

1 A

B A

第 5题图 B

N 第4题图

第6题图

05．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC 和△ BDE ，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A、 B、 D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（）

A. △ ABE≌△ CBD

B. ∠ ABE＝∠ CBD

C. ∠ ABC＝∠ EBD ＝ 45° D . AC∥ BE

06．如图，△ABC 和共顶点A，AB＝ AE，∠ 1＝∠ 2，∠ B＝∠ E. BC 交 AD 于 M，DE 交 AC 于 N，小华说：“一定有△ ABC≌△ AED.”小明说：“△ ABM≌△ AEN.”那么（）

A. 小华、小明都对

B. 小华、小明都不对

C. 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对

07．如图，已知AC ＝ EC, BC ＝ CD , AB ＝ ED ,如果∠ BCA ＝ 119°，∠ ACD ＝ 98° ,那么∠ ECA 的度数是___________.

08．如图，△ ABC≌△ ADE，BC 延长线交DE 于 F，∠ B＝ 25° ,∠ ACB＝ 105°，∠ DAC ＝ 10°，则∠ DFB 的度数为 _______.

09．如图，在Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°, DE ⊥ AB 于 D, BC＝ BD . AC＝ 3，那么 AE＋ DE＝ ______

E D D

C D B

D A EC

A EC

第7题图 A 第 8题图 B 第 9题图第 10题图

10．如图， BA⊥AC , CD∥ AB. BC＝ DE，且 BC⊥DE ，若 AB＝ 2, CD ＝6，则 AE＝ _____.

11．如图 , AB＝ CD , AB∥ CD. BC＝ 12cm，同时有 P、 Q 两只蚂蚁从点 C 出发，沿 CB 方向爬行， P 的速度是

0.1cm/s, Q 的速度是0.2cm/s. 求爬行时间 t 为多少时，△ APB≌△ QDC .

A B

. P

C D

12．如图 ,△ ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过作 BD⊥ BC 交 CF 的延长线于 D .

⑴求证： AE＝ CD ；

⑵若 AC＝ 12cm,求BD的长. D

13．（吉林）如图， AB＝ AC， AD⊥BC 于点 D， AD 等于 AE， AB 平 B 于点 F, 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.

F C 作 CF⊥ AE，垂足为F，过 B

分∠DAE交DE A

14．如图，将等腰直角三角板 ABC 的直角顶点 C 放在直线 l 上，B

D C 从另两个顶点

A、B 分别作 l 的垂线，垂足分别为 D 、E.

⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； D C E l

⑵若 DE＝ a，求梯形 DABE 的面积 . （温馨提示：补形法）

15．如图， AC⊥BC, AD ⊥ BD , AD ＝BC ，CE⊥ AB， DF ⊥ AB，垂足

A E F B

16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们

会全等？

⑴阅读与证明：

对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；

对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）；对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；

已知△ ABC 、△ A 1B 1C 1 均为锐角三角形， AB ＝ A 1B 1， BC ＝ B 1C 1，∠ C ＝∠ C 1 . 求证：△ ABC ≌△ A 1B 1C 1.

（请你将下列证明过程补充完整）

B B 1

C A C 1

A 1

D D 1

⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论

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01．如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，E 、 F 分别是 AB 、 AC 上的点，且

AE ＝AF ， BF 、CE 相交于点 O ，连接

AO 并延长交 BC 于点 D ，则图中全等三角形有（）

A ．4 对

B ．5 对

C ．6 对

D ．7 对

A E

E F

1 A

O C B

第1题图

第2题图

第 3题图

第 6题图

02．如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， OC ＝OD ，下列结论中：①∠ A ＝∠ B ②DE ＝ CE ，③连接 DE , 则 OE 平

分∠ AOB ，正确的是（）

A ．①②

B ．②③

C ．①③

D ．①②③

03．如图， A 在 DE 上， F 在 AB 上，且 AC ＝ CE ,

∠ 1=∠ 2= ∠3, 则 DE 的长等于（）

A ． DC B. BC

C. AB

D.AE ＋AC

04．下面有四个命题，其中真命题是（

）

A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等

B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等

C. 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等 D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等

05．在△ ABC 中，高 AD 和 BE 所在直线相交于 H 点 , 且 BH ＝ AC ，则∠ ABC ＝ _______.

06．如图， EB 交 AC 于点 M, 交 FC 于点 D, AB 交 FC 于点 N ，∠E ＝∠ F ＝ 90°，∠ B ＝∠ C, AE ＝ AF. 给出下

列结论：①∠ 1＝∠ 2；② BE ＝ CF ; ③△ ACN ≌△ ABM ; ④CD ＝ DB ，其中正确的结论有 ___________.（填序号）

07．如图， AD 为在△ ABC 的高， E 为 AC 上一点， BE 交 AD 于点 F, 且有 BF ＝ AC ， FD ＝ CD. ⑴

求证： BE ⊥ AC ；

⑵若把条件“ BF ＝ AC ”和结论“ BE ⊥ AC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定 .

08．如图， D 为在△ ABC 的边 BC 上一点，且CD ＝AB，∠ BDA ＝∠ BAD ， AE 是△ ABD 的中线 . 求证： AC＝2AE.

E D C

09．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ ACD 内一点，满足 AC＝ AD ，AB＝ AE, ∠ BAE＋∠ BCE＝ 90°, ∠ BAC ＝∠ EAD . 求证：∠ CED ＝ 90°.

10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC 和 DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝∠ DEB ＝ 90°，∠ A＝∠ D ＝30°，点 E 落在 AB 上， DE 所在直线交 AC 所在直线于点 F.

⑴求证： AF＋ EF＝ DE ;

⑵若将图①中△ DBE 绕点 B 顺时针方向旋转角α，且 0°＜α＜ 60°，其他条件不变，请在图②中画

出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；

⑶若将图①中△ DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180° ,其他条件不变，如图③你认

为（ 1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、 EF 与 DE 之间的关系，并说明理由。 D

B B E

CF AC A F

图①图②

D 图③

11．（嵊州市高中提前招生考试）⑴阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在△AB ＝ 5， AC＝ 13, 求 BC 边上的中线 AD 的取值范围 .

A 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长

得 DE＝ AD ，再连接 BE，把 AB、 AC、 2AD 集中在△ ABE 中，

的三边关系可得 2＜AE ＜8，则 1＜AD＜ 4.

ABC 中，

AD 到 E，使利用三角形

感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可 B 加

倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集三角形中 .

⑵问题解决：受到⑴的启发，请你证明下面命题：如图，

D是 BC 边上的中点， DE ⊥ DF ， DE 交 AB 于点 E，DF 交 AC 于点 F，连接求

证： BE＋ CF ＞EF ；

B D

⑶问题拓展：如图，在四边形ABDC 中，∠ B＋∠ C＝ 180°，

∠ BDC =120°，以 D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、 A

连接 EF，探索线段BE、CF 、EF 之间的数量关系，并加以证明.

D C以考虑中线中到同一个

在△ ABC 中，

EF .

DB＝DC，

AC 于 E、F 两点，

12．（北京）如图，已知△ABC.

⑴请你在 BC 边上分别取两点 D 、E（ BC 的中点除外），连接 AD 、 AE，写出使此图中只存在两对面积

相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；

⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明：AB＋ AC＞ AD ＋ AE.

13．如图， AB＝AD ， AC＝ AE，∠ BAD＝∠ CAE＝ 180°. AH ⊥ AH 于 H， HA 的延长线交C

DE 于 G. 求证： GD

＝GE.

B H C

14．已知，四边形ABCD 中， AB⊥ AD， BC⊥ CD， BA＝BC ，∠ ABC＝ 120°，∠ MBN ＝ 60°, ∠ MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交AD、 DC（或它们的延长线）于E、 F.

当∠ MBN 绕 B 点旋转到 AE＝ CF 时，如图1，易证： AE＋ CF＝ EF ；（不需证明）

当∠ MBN 绕 B 点旋转到 AE≠ CF 时，如图 2 和图 3 中这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，线段AE 、CF 、EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.

A A

M B B

E M

C F

D C F D F C

图 2

图 1 N 图 3 M

第 02 讲角平分线的性质与判定

考点·方法·破译

1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.

2．角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.

3．有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.

经典·考题·赏析

【例１】如图，已知OD 平分∠ AOB，在 OA、 OB 边上截取OA ＝OB， PM⊥ BD ， PN⊥AD . 求证： PM ＝PN

【解法指导】由于 PM ⊥ BD ， PN ⊥AD. 欲证的△ OBD 与△ OAD 全等即可 .

证明：∵ OD 平分∠ AOB ∴∠ 1＝∠ 2

OB OA

在△ OBD 与△ OAD 中，

1 2

OD OD

PM ＝ PN 只需∠ 3＝∠ 4，证∠ 3＝∠ 4，只需∠ 3 和∠ 4 所在

B M

P 4

∴△ OBD ≌△ OAD

1 N

∴∠ 3＝∠ 4

∵PM ⊥BD ，PN ⊥ AD

所以 PM ＝PN

【变式题组】

01．如图， CP 、BP 分别平分△ ABC 的外角∠ BCM 、∠ CBN. 求证：点

P 在∠ BAC 的平分线上 .

A B N

02．如图， BD 平分∠ ABC ， AB ＝ BC ，点 P 是 BD 延长线上的一点，

PM ⊥AD ， PN ⊥ CD . 求证： PM ＝ PN

A M

D N

【例２】（天津竞赛题）如图，已知四边形

ABCD 中， AC 平分∠ BAD ， CE ⊥ AB 于点 E ，且 AE ＝ 1

( AB

＋AD ) ，如果∠ D ＝120°，求∠ B 的度数

【解法指导】由已知∠ 1＝∠ 2， CE ⊥ AB ，联想到可作 CF ⊥AD 于 F ，得 CE ＝ CF ， AF ＝ AE ，又由 AE ＝

( AB ＋ AD ) 得 DF ＝ EB ，于是可证△ CFD ≌△ CEB ，则∠ B ＝∠ CDF ＝ 60° . 或者在 AE 上截取 AM

＝

AD 从而构造全等三角形 .

解：过点 C 作 CF ⊥AD 于点 F. ∵ AC 平分∠ BAD ， CE ⊥ AB ，点 C 是 AC 上一点，

∴CE ＝CF

在 Rt △CFA 和 Rt △ CEA 中，

CF CE A

E B

∴Rt △ ACF ≌ Rt △ACE ∴ AF

＝AE

又∵ AE ＝ 1

( AE ＋BE ＋AF －DF ) ， 2AE ＝ AE ＋ AF ＋ BE － DF ，∴ BE ＝DF

∵ CF ⊥ AD ，CE ⊥ AB ，∴∠ F ＝∠ CEB ＝ 90°

CE CF

在△ CEB 和△ CFD 中，F

CEB ，∴△ CEB ≌△ CFD

DF BE

∴∠ B ＝∠ CDF 又∵∠ ADC ＝120°，∴∠ CDF ＝ 60°，即∠ B ＝60° . E

【变式题组】 01．如图，在△

ABC 中， CD 平分

∠ ACB ， AC ＝ 5， BC ＝ 3. 求

ACD

CBD

10/16

02． ( 河北竞赛 ) 在四边形 ABCD 中，已知 AB ＝ a ， AD ＝ b. 且 BC ＝ DC ，对角线 AC 平分∠ BAD ，问 a 与 b 的大

小符合什么条件时，有∠ B ＋∠ D ＝ 180°，请画图并证明你的结论 .

【例３】如图，在△ ABC 中，∠ BAC ＝ 90°, AB ＝ AC ， BE 平分∠ ABC ， CE ⊥ BE. 求证： CE ＝ 1

【解法指导】由于 BE 平分∠ ABC ，因而可以考虑过点 D 作 BC 的垂线或延长 CE 从而构造全等三角形 .

证明：延长 CE 交 BA 的延长线于 F ，∵∠ 1＝∠ 2， BE ＝ BE ，∠ BEF ＝∠ BEC

∴△ BEF ≌△ BEC( ASA) ∴ CE ＝ EF ，∴ CE ＝ 1

∵∠ 1＋∠ F ＝∠ 3＋∠ F ＝ 90°，

∴∠ 1＝∠ 3

1 3

在△ ABD 和△ ACF 中，

AB AC

，∴△ ABD ≌△ ACF

BADCAF

∴CE ＝

B C

∴ BD ＝ CF

【变式题组】

01．如图，已知 AC ∥ BD ， EA 、EB 分别平分∠ CAB 、∠ DBA ， CD 过点 E ，求证： AB ＝ AC ＋ BD .

A 02．如图，在△ ABC 中，∠

B ＝ 60°， AD 、CE 分别是∠ BA

C 、∠ BCA 的平分线， ⑴请你判断 FE 和 F

D 之间的数量关系，并说明理由；

⑵求证： AE ＋ CD ＝ AC.

AD 、 CE 相交于点 F.

演练巩固·反馈提高

01．如图，在 Rt △ ABC 中，∠ C ＝ 90°， BD 平分∠ ABC 交 AC 于 D ，若 CD ＝ n ，AB ＝m ，则△ ABD 的面积

是（

）

1 1 C ． mn

D ．2 mn

A ． mn

B ． mn

02．如图，已知 AB ＝ AC ， BE ＝ CE ，下面四个结论：① BP ＝CP ；② AD ⊥ BC ；③ AE 平分∠ BAC ；④∠ PBC

＝∠ PCB. 其中正确的结论个数有（）个 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4

03．如图，在△ ABC 中， P 、Q 分别是 BC 、 AC 上的点，作 PR ⊥ AB ，PS ⊥ AC ，垂足分别是 R 、S.若 AQ ＝ PQ ，

PR ＝ PS ，下列结论：① AS ＝ AR ；② PQ ∥ AR ；③△ BRP ≌△ CSP.其中正确的是（）

A ． ①③

B ．②③

C ．①②

D ．①②③

B A

B D

B 第1题图C

QS C

第 2题图

第 3题图

04．如图，△ ABC 中，

B AB ＝ A

C ， A

D 平分∠

第5题图

第4题图

BAC ， DE ⊥ AB ， DF ⊥

AC ，垂足分别是 E 、 F ，则下列四个结论中：① AD 上任意一点到 B 、C 的距离相等；② AD 上任意一点到 AB 、 AC 的距离相等；③ AD ⊥ BC 且 BD ＝CD ；④∠ BDE ＝∠ CDF . 其中正确的是（）

A ．②③

B ．②④

C ．②③④

D ．①②③④

05．如图，在 Rt△ ABC 中，∠ ACB＝ 90°，∠ CAB＝ 30°，∠ ACB 的平分线与∠ ABC 的外角平分线交于 E 点，则∠ AEB 的度数为（）

A． 50°B． 45°C． 40°D． 35°

06．如图， P 是△ ABC 内一点， PD ⊥AB 于 D， PE⊥ BC 于 E， PF ⊥AC 于 F，且 PD＝ PE＝ PF，给出下列结论：① AD＝ AF ；② AB＋ EC＝ AC＋ BE；③ BC＋ CF＝ AB＋ AF ；④点 P 是△ ABC 三条角平分线的交点 . 其中正确的序号是（）

A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④

07．如图，点P 是△ ABC 两个外角平分线的交点，则下列说法中不正确的是（）

A．点 P 到△ ABC 三边的距离相等B．点 P 在∠ ABC 的平分线上

1 C．∠ P 与∠ B 的关系是：∠ P＋

2 ∠ B＝90° D ．∠ P 与∠ B 的关系是：∠ B＝

∠ P

A E

D A

F P

B E

C B 第7题图

第6 题图

08．如图，

CE BD 平分∠B

第8题图

D B B

第10题图C M

第9题图

ABC，CD 平分∠ ACE，BD 与 CD 相交于

D . 给出下列结论：①点 D 到 AB、AC 的距离相等；②∠BAC＝2∠ BDC；③ DA ＝ DC ；④ DB 平分∠ ADC .

其中正确的个数是（）

A．1 个B．2个C．3个D．4个

09．如图，△ ABC 中，∠ C＝ 90° AD 是△ ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于 E，下列结论中：①AD 平分∠ CDE；

②∠ BAC＝∠ BDE ；③DE 平分∠ ADB ；④ AB＝ AC＋ BE. 其中正确的个数有（）

A．3 个B．2个C．1个D．4个

10．如图，已知BQ 是∠ ABC 的内角平分线，CQ 是∠ ACB 的外角平分线，由Q 出发，作点Q 到 BC、 AC 和AB 的垂线 QM 、 QN 和 QK，垂足分别为M、 N、 K，则 QM 、 QN、 QK 的关系是 _________

11．如图， AD 是∠ BAC 的平分线， DE⊥ AB 于 E， DF ⊥ AC 于 F，且 DB＝ DC. 求证： BE＝ CF

A F C

12．如图，在△ABC 中， AD 是∠ BAC 的平分线， DE ⊥ AB 于点 E， DF ⊥ AC 于点 F . 求证： AD⊥EF .

B D C

培优升级·奥赛检测

01．如图，直线l 1、l2、 l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（）

A．一处B．二处C．三处D．四处

02．已知 Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°， AD 平分∠ BAC 交 BC 于 D ，若 BC＝ 32，且 BD: CD ＝9:7 ，则 D 到 AB 边的距离为（）

A． 18 B． 16 C． 14 D． 12

03．如图，△ ABC 中，∠ C＝ 90°，AD 是△ ABC 的平分线，有一个动点P 从 A 向 B 运动 . 已知： DC＝ 3cm，DB ＝ A E B B 4cm，AD＝8cm. DP的

G D

第4 题图

C第5题图 D

长为 x( cm) ，那么 x 的范围是 __________

l 1

l 2

l 3

A P B

，PF ⊥BD ， PG ⊥ CD ，垂足分

第1题图

第3题图

04．如图，已知 AB ∥ CD ，PE ⊥AB 别为 E 、 F 、G ，且 PF ＝ PG ＝ PE ，则∠ BPD ＝ __________

05．如图，已知 AB ∥CD ，O 为∠ CAB 、∠ ACD 的平分线的交点， OE ⊥ AC ，且 OE ＝ 2，则两平行线 AB 、CD

间的距离等于 __________ 06．如图， AD 平分∠ BAC ， EF ⊥ AD ，垂足为 P ， EF 的延长线于 BC 的延长线相交于点 G. 求证：∠G

＝

(∠ ACB －∠ B)

07．如图 , 在△ ABC 中 , AB ＞AC , AD 是∠ BAC 的平分线 , P 为 AC 上任意一点 . 求证 : AB － AC ＞DB －DC

08．如图，在△ ABC 中，∠ BAC ＝ 60°，∠ ACB ＝ 40°， P 、 Q 分别 B

并且 AP 、 BQ 分别为∠ BAC 、∠ ABC 的角平分线上 . 求证： BQ ＋ AQ ＝ AB ＋ BP

B P

在 BC 、 AC 上，

第 3 讲

轴对称及轴对称变换

考点·方法·破译

1．轴对称及其性质

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫对称轴 .

轴对称的两个图形有如下性质：①关于某直线对称的两个图形是全等形；②对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 .

2．线段垂直平分线线段垂直平分线也叫线段中垂线，它反映了与线段的两种关系：①位置关系——垂直；②数量关系—— 平分 .

性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 . 判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

3．当已知条件中出现了等腰三角形、角平分线、高（或垂线）

、或求几条折线段的最小值等情况时，通

常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件 .

经典·考题·赏析

【例１】（兰州）如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打

3 个洞，则纸片展开后是（

）

【解法指导】对折问题即是轴对称问题，折痕就是对称轴. 故选 D.

【变式题组】

01．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（）

02．（荆州）如图，将矩形纸片ABCD 沿虚线 EF 折叠，使点 A 落在点 G 上，点 D 落在点 H 上；然后再沿虚线 GH 折叠，使 B 落在点 E 上，点 C 落在点 F 上，叠完后，剪一个直径在BC 上的半圆，再展开，则展开后的图形为（）

【例 2】（襄樊）如图，在边长为 1 的正方形网格中，将△ ABC 向右平移两个单位长度得到△A’B’ C’，则与点 B’关于 x 轴对称的点的坐标是（）

A．（0，－ 1）B．（ 1， 1）C．（ 2，－ 1）D．（1，－ 1）

【解法指导】在△ ABC 中，点 B 的坐标为（－1， 1），将△ABC 向右平移两个单位长度得到△ A’B’C’，由点的坐标平移规律可得B’（－ 1 ＋ 2，1），即 B’（1， 1） . 由关于 x 轴对称的点的坐标的规律可得点B’关于 x 轴对称的点的坐

标是（ 1，－ 1），故应选 D.

【变式题组】

01．若点 P（－ 2， 3）与点 Q（ a， b）关于 x 轴对称，则 a、 b 的值分别是（）A．－ 2， 3 B．2，3 C．－ 2，－ 3 D．2，－ 3

02．在直角坐标系中，已知点P（－ 3， 2），点 Q 是点 P 关于 x 轴的对称点，将点Q 向右平移 4 个单位得到点 R，则点 R 的坐标是 ___________.

03．（荆州）已知点P（ a＋ 1， 2a－ 1）关于 x 轴的对称点在第一象限，则a的取值范围为 ___________.

【例 3】如图，将一个直角三角形纸片ABC（∠ ACB＝ 90°），沿线段CD折叠，使点 B 落在 B1处，若∠ ACB1＝70°，则∠ ACD ＝（）

A． 30°B． 20°C． 15°D． 10°

【解法指导】由折叠知∠BCD ＝∠ B1CD . 设∠ ACD ＝ x，则∠BCD ＝∠ B1CD ＝∠ ACB1＋∠ ACD＝ 70°＋ x. 又∠ ACD ＋∠ BCD＝∠ ACB，即 x＋（ 70°＋ x）＝ 90°，故 x＝ 10°. 故选 D.

【变式题组】

01．（东营）如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D、C 分别落在点D’、 C’的位置 . 若∠ EFB ＝ 65°，则∠ AED’等于（）

A． 70°B． 65°C． 50°D． 25°

02．如图，△ ABC 中，∠ A＝ 30°，以 BE 为边，将此三角形对折，其次，又以BA 为边，再一次对折， C 点落在 BE 上，此时∠ CDB ＝ 82°，则原三角形中∠B＝ ___________.

03．（江苏）⑴观察与发现：小明将三角形纸片ABC（ AB＞ AC）沿过点 A 的直线折叠，使得AC 落在 AB 边上，折痕为AD ，展平纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点 A 和点 D 重合，折痕为EF ，展平纸片后得到△AEF （如图②） . 小明认为△ AEF 是等腰三角形，你同意吗？请说明理由.

⑵实践与运用：

将矩形纸片ABCD 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处，折痕为BE（如图③）；再沿过点 E 的直线折叠，使点 D 落在 BE 上的点 D ’处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）. 求图

⑤中∠ α的大小 .

【例 4】如图，在△ ABC 中， AD 为∠ BAC 的平分线， EF 是 AD 的垂直平分线， E 为垂足， EF 交 BC 的延长线于点 F，求证：∠ B＝∠ CAF ．

【解法指导】∵EF 是 AD 的中垂线，则可得△ AEF≌△ DEF，∴∠EAF ＝∠ EDF ．从而利用角平分线的定义与三角形的外角转化即可．

证明：∵ EF 是 AD 的中垂线，∴ AE＝ DE ，∠ AEF＝∠ DEF，EF ＝EF ，∴△ AEF ≌△ DEF ，∴∠ 2＋∠ 4＝∠ 3，∴∠ 3＝∠ B＋∠1，∴∠2＋∠ 4＝∠ B＋∠ 1，∵∠ 1＝∠ 2，∴∠ B＝∠ 4

【变式题组】

01．如图，点 D 在△ ABC 的 BC 边上，且 BC＝ BD＋AD ，则点D在__________ 的垂直平分线上．

02．如图，△ ABC 中，∠ ABC＝ 90°，∠ C＝ 15°， DE ⊥ AC 于 E，且AE＝ EC ，若AB＝ 3cm，则DC ＝___________ cm．

03．如图，△ ABC 中，∠ BAC＝ 126°， DE 、 FG 分别为 AB、 AC 的垂直平分线，则∠EAG＝ ___________ ．4.△ ABC 中， AB＝ AC， AB 边的垂直平分线交 AC 于 F，若 AB＝ 12cm，△ BCF 的周长为 20cm，则△ ABC 的周

长是 ___________cm．

【例 5】（眉山）如图，在3× 3 的正方形格点图中，有格点△ABC 和△ DEF ，且△ ABC 和△ DEF 关于某直线成轴对称，请在下面的备用图中画出所有这样的△DEF ．

【解法指导】在正方形格点图中，如果已知条件中没有给对称轴，在找对称轴时，通常找图案居中的水

平直线、居中的竖直直线或者斜线作为对称轴．若以图案居中的水平直线为对称轴，所作的△DEF 如图①②③所示；若以图案居中的竖直直线为对称轴，所作的△DEF 如图④所示；若以图案居中的斜线为对称轴，所

作的△ DEF 如图⑤⑥所示．

【变式题组】

01．（泰州）如图，在2× 2 的正方形格点图中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格点图中所有

与△ ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有___________ 个．

02．（绍兴）如图甲，正方形被划分成 16 个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件：

⑴涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；

⑵涂黑部分成轴对称图形．

如图乙是一种涂法，请在图1－ 3 中分别设计另外三种涂法．（在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种不同涂法，如图乙与图丙）

【例 6】如图，牧童在 A 处放牛，其家在 B 处，若牧童从 A 处出发牵牛到河岸 CD 处饮水后回家，试问在何处饮水，所求路程最短？

【解法指导】⑴所求问题可转化为CD 上取一点M，使其AM＋BM为最小；

⑵本题利用轴对称知识进行解答．

解 : 先作点 A 关于直线CD 的对称点A’，连接A’B 交 CD 于点M，则点M 为所求，下面证明此时的AM ＋BM 最小．

证明：在CD 上任取与M 不重合的点M’，

∵ AA ’关于 CD 对称，∴ CD 为线段 AA’的中垂线，

∴AM＝A’M，M’＝ A’M’, 在△ A’M’B 中，有A’B＜A’M’＋BM’，

∴A’M＋BM ＜A’M’＋ BM ’，∴ AM ＋BM＜AM ’＋ BM ’，

即 AM＋ BM 最小．

新人教版八年级数学上册培优资料

新人教版八年级数学上册培优资料（中考题型）第16讲认识三角形经典·考题·赏析【例１】若的三边分别为4，x，9，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________ ；当周长为奇数时，x＝______________. 【解法指导】运用三角形三边关系，即第三边小于两边之和而大于两边之差故5＜x＜13，18＜l＜26；周长为19时，x＝6，周长为21时，x ＝8，周长为23时，x＝10，周长为25时，x＝12，【变式题组】 01．若△ABC的三边分别为4，x，9，且9为最长边，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________. 02．设△ABC三边为a，b，c的长度均为正整数，且a＜b＜c，a+b+c＝ 13，则以a，b，c为边的三角形，共有______________个. 03．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是( ). A．1 B．2 C．3 D．4 【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm，周长为58cm，试求三角形三边的长. 【解法指导】对等腰三角形，题目没有交代底边和腰，要给予讨论.当18cm为腰时，底边为58－18×2＝22，则三边为18，18，22. 当18cm为底边时，腰为 5818 2 ＝20，则三边为20，20，18.此两种情况都符合两边之和大于第三边. 解：18cm，18cm，22cm或18cm，20，20cm.

【变式题组】 01．已知等腰三角形两边长分别为6cm，12cm，则这个三角形的周长是( ) A．24cm B．30cm C．24cm或30cm D．18cm 02．已知三角形的两边长分别是4cm 和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是( ) A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm 03．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10 两部分，则此等腰三角形的腰长为______________. 【例３】如图AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线，EF是△DEC的中线，FG是△EFC的中线，若S△GFC＝1cm2，则S△ABC＝______________. 【解法指导】中线将原三角形面积一分为二，由FG为△EFC的中线，知S△EFC＝2S△GFC＝2.又由EF为△DEC中线，S△DEC＝2S△EFC＝4.同理S△ADC＝8，S△ABC ＝16. 【变式题组】 01．如图，已知点D、E、F 分别是BC、AD、BE的中点，S△ABC＝4，则S△EFC＝ ______________. 02．如图，点D是等腰△ABC底边BC 上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC 于F，若一腰上的高为4cm，则 DE+DF＝______________. 03．如图，已知四边形ABCD是矩形(AD ＞AB) ，点E在BC上，且AE＝AD， DF⊥AE于F，则DF与AB的数量关系是______________. 【例４】已知，如图，则 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ ______________. 【解法指导】这是本章的一个基本图形，其基本方法为构造三角形或四边形内角和，结合八字形角的关系 (第2题图)

学而思初二数学上册培优辅导讲义(人教版新编)

第1讲与相交有关概念及平行线的判定考点·方法·破译 1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行. 2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？【解法指导】 ⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角. ⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线. ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】 01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则： ⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角；当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. A B C D E F A C D E F P Q R

问：当有100条直线相交于一点时共有对顶角. 【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ． ⑴求∠EOF 的度数； ⑵写出∠BOE 的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝21 ∠AOC ∴ ∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝2 1∠BOC ＋2 1 ∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21 又∵∠BOC ＋∠ AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21 ×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠ BOE 的补角是：∠AOE. 【变式题组】 01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（） A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80° C E F E A A C D O （第1题图） 1 4 3 2 （第2题图）

八年级数学培优练习题及答案大全

八年级数学培优练习题及答案大全 1．如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN．若AB=?14，?AC=19，则MN的长为． A． B．2.C．D．3.2.如图，在周长为20cm的□ABCD 中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE 的周长为 4cm 6cm8cm 10cm AE O B C A F M DQ 3题 o B C N 3、如图，在平行四边形 ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45，且

AE+AF=ABCD的周长是 4、如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD，BC 的中点，把BC向上翻折，使点C恰好落在MN上的Ｆ点处，BQ为折痕，则∠FBQ＝ A 0° B 5° C 0° D 15° 5、如图所示,在正方形ABCD中,点E、F、G、H均在其内部，且DE＝EF＝FG＝GH＝HB＝2,∠E=∠F=∠G=∠H=60°,则正方形ABCD的边长为 A. B.2 C. D.32 6、如图是一块长、宽、高分别是6cm、4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从顶点A出发，沿长方体的表面爬到和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是． 7、已知一组数据10，10，x，8的众数与它的平均数相等，则这组数的中位数是． 8、如图OA、AB分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中s和t分别表示运动路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法：①射线BA表示甲的路程与时间的函数关系；②甲的速度比乙快1.5米/秒；③甲让乙先跑12米；④秒钟后，甲超过了乙，其中正确的说法是。

八年级上数学培优及答案汇编

八年级培优试卷一、填空题 1、设?ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，其中a ，b 满足0)2(42=+-+-+b a b a ，则第三边的长c 的取值范围是． 2、函数34+-=x y 的图象上存在点P ，点P 到x 轴的距离等于4，则点P 的坐标是________。 3、在△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线相交于O ，若∠BOC=α，则∠A=_________。 4、直角三角形两锐角的平分线交角的度数是。 5、已知直线()42-+--=a x x a y 不经过第四象限，则a 的取值范围是。 6、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角度数为__ _________。 7、如图，折线ABCDE 描述了一辆汽车在某一直线上行驶过程中，汽车离出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了120km ；②汽车在行驶途中停留了0.5h ；③汽车在整个行驶过程中的平均速度为 80 3 km ；④汽车自出发后3h-4.5h 之间行驶的速度在逐渐减少。其中正确的说法有_______________. 8、放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，?两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工了28千克，你呢？”小丽思考了一会儿说：“我来考考，左图、右图分别表示你和我的工作量与工作时间关系，你能算出我加工了多少千克吗？”小明思考后回答：“你难不倒我，你现在加工了________千克．” 二、选择题 1、等腰三角形腰上的高与底边的夹角为Cm °则顶角度数为( ) A.m ° B.2m ° C.(90-m)° D.(90-2m)° 2、药品研究所开发一种抗菌素新药，经过多年的动物实验之后，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y (微克/毫升)与服药后时间x (时)之间的函数关系如图所示，则当1≤x ≤6时，y 的取值范围是（） A ． 8 3≤y ≤ 64 11 B ． 64 11 ≤y ≤ 8

初二数学上册培优辅导讲义(人教版)

第12讲与相交有关概念及平行线的判定考点·方法·破译 1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行. 2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、同旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？【解法指导】 ⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角. ⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线. ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】 01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则： ⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角；当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有对顶角. 【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ． ⑴求∠EOF 的度数； ⑵写出∠BOE 的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝2 1 ∠BOC ，∠FOC ＝ 21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋2 1∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21 又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE . 【变式题组】 01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（） A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80° 02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ . 【例３】如图，直线l 1、l 2相交于点O ，A 、B 分别是l 1、l 2上的点，试用三角尺完成下列作图： ⑴经过点A 画直线l 2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l 1的垂线段. 【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段. 【变式题组】 01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（） A B C D E F A B C D E F P Q R A B C E F O E A B C D O （第1题图） 1 4 3 2 （第2题图） l 2

超级资源：(合集)八年级数学培优和竞赛讲义附练习及答案(15套)

超级资源：（合集）八年级数学培优和竞赛讲义附练习及答案（15套） 1、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】 1. 把下列各式因式分解（1）-+--+++a x abx acx ax m m m m 2 2 13 （2）a a b a b a ab b a ()()()-+---3 2 2 22 分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。解：-+--=--+++++a x abx acx ax ax ax bx c x m m m m m 2 2 1323() （2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，() ()()()a b b a a b b a n n n n -=--=----222121；，是在因式分解过程中常用的因式

变换。解：a a b a b a ab b a ()()()-+---32222 ) 243)((] 2)(2))[(() (2)(2)(222 223b b ab a b a a b b a a b a b a a b a ab b a a b a a ++--=+-+--=-+-+-= 2. 利用提公因式法简化计算过程例：计算1368 987 521136898745613689872681368987123?+?+?+? 分析：算式中每一项都含有987 1368 ，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。解：原式)521456268123(1368987 +++?= = ?=987 1368 1368987 3. 在多项式恒等变形中的应用例：不解方程组23 532 x y x y +=-=-?? ?，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。分析：不要求解方程组，我们可以把2x y +和53x y -看成整体，它们的值分别是3和-2，观察代数式，发现每一项都含有2x y +，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x y +和53x y -的式子，即可求出结果。解：()()()()()()()223322233253x y x y x x y x y x y x x y x y +-++=+-+=+- 把2x y +和53x y -分别为3和-2带入上式，求得代数式的值是-6。 4. 在代数证明题中的应用例：证明：对于任意自然数n ，3 2322 2n n n n ++-+-一定是10的倍数。分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。 3 23233222 222n n n n n n n n ++++-+-=+-- =+-+=?-?33122110352 22n n n n ()() 对任意自然数n ，103?n 和52?n 都是10的倍数。 ∴-+-++3 2322 2n n n n 一定是10的倍数 5、中考点拨：

八年级上数学培优试题及标准答案

八年级上数学培优试题及答案

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第十一章三角形 11.1与三角形有关的线段专题一三角形个数的确定 1．如图，图中三角形的个数为（） A．2 B．18 C．19 D．20 2．如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依此类推，则第6个图中共有三角形__________个． 3．阅读材料，并填表：在△ABC中，有一点P1，当P1、A、B、C没有任何三点在同一直线上时，可构成三个不重叠的小三角形（如图）．当△ABC内的点的个数增加时，若其他条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样？完成下表： △ABC内点的个数 1 2 3 (1007) 构成不重叠的小三角形的个数 3 5 … 专题二根据三角形的三边不等关系确定未知字母的范围 4．三角形的三边分别为3，1－2a，8，则a的取值范围是（） A．－6＜a＜－3 B．－5＜a＜－2 C．2＜a＜5 D．a＜－5或a＞－2 5. 在△ABC中，三边长分别为正整数a、b、c，且c≥b≥a＞0，如果b=4，则这样的三角形共有______个． 6．若三角形的三边长分别是2、x、8，且x是不等式 2 2 x+ ＞ 12 3 x - -的正整数解，试求第三边x的长．

状元笔记【知识要点】 1．三角形的三边关系三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边． 2．三角形三条重要线段 (1)高：从三角形的顶点向对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高． (2)中线：连接三角形的顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线． (3)角平分线：三角形内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 3．三角形的稳定性三角形具有稳定性．【温馨提示】 1．以“是否有边相等”，可以将三角形分为两类：三边都不相等的三角形和等腰三角形．而不是分为三类：三边都不相等的三角形、等腰三角形、等边三角形，等边三角形是等腰三角形的一种． 2．三角形的高、中线、角平分线都是线段，而不是直线或射线．【方法技巧】 1．根据三角形的三边关系判定三条线段能否组成三角形时，要看两条较短边之和是否大于最长边． 2．三角形的中线将三角形分成两个同底等高的三角形，这两个三角形面积相等．参考答案: 1．D 解析：线段AB上有5个点，线段AB与点C组成5×（5－1）÷2=10个三角形；同样，线段DE上也有5个点，线段DE与点C组成5×（5－1）÷2=10个三角形，图中三角形的个数为20个．故选D． 2．21 解析：根据前边的具体数据，再结合图形，不难发现：后边的总比前边多4，若把第一个图形中三角形的个数看作是1=4－3，则第n个图形中，三角形的个数是4n－3．所以当n=6时，原式=21． 3．解：填表如下： △ABC内点的个数 1 2 3 (1007) 构成不重叠的小三角形的个数 3 5 7 (2015) 解析：当△ABC内有1个点时，构成不重叠的三角形的个数是3=1×2＋1；当△ABC内有2个点时，构成不重叠的三角形的个数是5=2×2＋1；参考上面数据可知，三角形的个数与点的个数之间的关系是：三角形内有n个点时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是2n+1，故当有3个点时，三角形的个数是3×2＋1=7；当有1007个点时，三角形的个数是1007×2＋1=2015． 4．B 解析：根据题意，得8－3＜1－2a＜8＋3，即5＜1－2a＜11，解得－5＜a＜－2．故选B． 5．10 解析：∵在△ABC中，三边长分别为正整数a、b、c，且c≥b≥a＞0，∴c＜a+b．∵b=4，

八年级数学培优作业

河南省固始县第三中学八年级数学培优作业（考查内容:整式的乘除与因式分解）命题人：吴全胜一、选择题 1、化简23()a -的结果是（） A ．5a - B ．5a C ．6a - D ．6 a 2、下列计算错误的是 ( ) A ．2m + 3n=5mn B ．4 26a a a =÷ C ．632)(x x = D ．32a a a =? 3、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（）. A 、2222)1(xy y x x xy -=-； B 、)3)(3(92-+=-x x x ； C 、222)1)(1(1y x x y x ++-=+-； D 、c b a x c bx ax ++=++)(. 4、下面是某同学在一次作业中的计算摘录： ①ab b a 523=+； ②n m mn n m 33354-=-； ③5 236)2(4x x x -=-?； ④a b a b a 2)2(423-=-÷； ⑤523)(a a =； ⑥2 3)()(a a a -=-÷- 其中正确的个数有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）（A ）22)(b a -+ （B ）mn m 2052- （C ）22y x -- （D ）92+-x 6、下列各式能用完全平方公式分解因式的是（） A 、4x 2+1 B 、4x 2－4x －1 C 、x 2+xy +y 2 D 、x 2 －4x +4 7、△ABC 的三边长分别a 、b 、c ，且a+2ab ＝c+2bc ，△ABC 是（） A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 8、把（－2）2009＋（－2）2010分解因式的结果是（）. A. 22008 B. －2 2008 C. －2 2009 D. 22009 9、一个正方形的边长增加了2cm ，面积相增加了32cm 2 ，则这个正方形的边长为（） A 、6cm B 、5cm C 、8cm D 、7cm 二、填空题

八年级数学上册培优讲义(人教版)

2016年最新人教版八年级上册数学培优讲义第一讲认识三角形考点·方法·破译 1．了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)，会画出任意三角形的高、中线、角平分线. 2．知道三角形两边的和大于第三边，两边之差小于第三边. 3．了解与三角形有关的角(内角、外角) . 4．掌握三角形三内角和等于180°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 5．会用方程的思想解与三角形基本要素相关的问题. 6．会从复杂的图形中找到基本图形，从而寻求解决问题的方法. 经典·考题·赏析【例１】若的三边分别为4，x，9，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________；当周长为奇数时，x＝______________. 【解法指导】运用三角形三边关系，即第三边小于两边之和而大于两边之差故5＜x＜13，18＜l＜26；周长为19时，x＝6，周长为21时，x ＝8，周长为23时，x＝10，周长为25时，x＝12，【变式题组】 01．若△ABC的三边分别为4，x，9，且9为最长边，则x的取值范围是______________，周长l的取值范围是______________. 02．设△ABC三边为a，b，c的长度均为正整数，且a＜b＜c，a+b+c＝13，则以a，b，c 为边的三角形，共有______________个. 03．用9根同样长的火柴棒在桌面上摆一个三角形（不许折断）并全部用完，能摆出不同形状的三角形个数是() A．1 B．2 C．3 D．4 【例２】已知等腰三角形的一边长为18cm，周长为58cm，试求三角形三边的长. 【解法指导】对等腰三角形，题目没有交代底边和腰，要给予讨论.当18cm为腰时，底边为 58－18×2＝22，则三边为18，18，22. 当18cm为底边时，腰为5818 2 ＝20，则三边为20， 20，18.此两种情况都符合两边之和大于第三边. 解：18cm，18cm，22cm或18cm，20，20cm. 【变式题组】 01．已知等腰三角形两边长分别为6cm，12cm，则这个三角形的周长是() A．24cm B．30cm C．24cm或30cm D．18cm 02．已知三角形的两边长分别是4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三条边的是() A．13cm B．6cm C．5cm D．4cm 03．等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分，则此等腰三角形的腰长为______________. 【例３】如图AD是△ABC的中线，DE是△ADC的中线，EF是△DEC的中线，FG是△EFC 的中线，若S△GFC＝1cm2，则S△ABC＝______________.

已整理八年级数学培优资料word版(全年级全章节培优)

目录第1讲全等三角形的性质与判定(P2----11) 第2讲角平分线的性质与判定(P12----16) 第3讲轴对称及轴对称变换(P17----24) 第4讲等腰三角形(P25----36) 第5讲等边三角形(P37----42) 第6讲实数(P43----49) 第7讲变量与函数(P50----54) 第8讲一次函数的图象与性质(P55----63) 第9讲一次函数与方程、不等式(P64----68) 第10讲一次函数的应用(P69----80) 第11讲幂的运算（P81----86) 第12讲整式的乘除((P87----93) 第13讲因式分解及其应用(P94----100) 第14讲分式的概念?性质与运算(P101----108) 第15讲分式的化简求值与证明(P109----117)第16讲分式方程及其应用(P118----125) 第17讲反比例函数的图像与性质(P126----138) 第18讲反比例函数的应用(P139----146) 第19讲勾股定理(P147-----157) 第20讲平行四边形(P158-----166) 第21讲菱形矩形(P167-----178) 第22讲正方形(P179-----189) 第23讲梯形(P190-----198) 第24讲数据的分析(P199-----209) 模拟测试一模拟测试二模拟测试三

B A C D E F 第01讲全等三角形的性质与判定考点·方法·破译 1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等； 3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法； 4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明； 5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等. 经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到. 解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中 AB DC ABC DCB BC CB =?? =??=? ∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D ⑵在△ABE 和△DCE 中 A D AED DEC AB DC =?? =??=? ∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中 BE CE EF EF =?? =? ∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C . 【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（） A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等

八年级数学培优讲义下册

第十六章分式测试1 从分数到分式学习要求掌握分式的概念，能求出分式有意义，分式值为0、为1的条件．课堂学习检测一、填空题 1．用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成的形式，如果除式B 中，该分式的分式． 2．把下列各式写成分式的形式：（1）5÷为. （2）（3x ＋2y ）÷（x －3y ）为. 3．甲每小时做x 个零件，做90个零件所用的时间，可用式子表示成小时． 4．n 公顷麦田共收小麦m 吨，平均每公顷的产量可用式子表示成吨． 5．轮船在静水中每小时走a 千米，水流速度是b 千米／时，轮船在逆流中航行s 千米所需要的时间可用式子表示成小时． 6．当x ＝时，分式 1 3-x x 没有意义． 7．当x ＝时，分式1 1 2--x x 的值为0． 8．分式 y x ，当字母x 、y 满足时，值为1；当字母x ，y 满足时值为－1．二、选择题 9．使得分式 1 +a a 有意义的a 的取值范围是（） A ．a ≠0 B ．a ≠1 C ．a ≠－1 D ．a ＋1＞0 10．下列判断错误．．的是（） A ．当32 =/x 时，分式2 31-+x x 有意义 B ．当a ≠b 时，分式2 2b a ab -有意义 C ．当2 1- =x 时，分式x x 41 2+值为0 D ．当x ≠y 时，分式x y y x --2 2有意义 11．使分式 5 +x x 值为0的x 值是（） A ．0 B ．5 C ．－5 D ．x ≠－5 12．当x ＜0时， x x | |的值为（） A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．不确定 13．x 为任何实数时，下列分式中一定有意义的是（ ) A ．x x 12+ B ． 1 1 2--x x C ． 1 1 +-x x D ． 1 1 2+-x x

八年级上数学培优练习

C B A 初二数学综合练习（5）班级姓名学号等第 1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为（） A B C ．3 D 第1题图第2题图第3题图 2．如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为（） A ．90° B ．60° C ．45° D ．30° 3．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC,E 是BC 的中点， AD=5，BC=12，C=0 45，点P 是BC 边上一动点，设PB 长为x. (1)当x 的值为时，以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为直角梯形. (2)当x 的值为时，以点P 、A 、D 、E 为顶点的四边形为平行四边形. 4．Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC 为一边，在△ABC 外部作等腰直角三角形 ACD ，则线段BD 的长为。 5．如图①，在等腰梯形ABCD ，AD//BC ，AE⊥BC 于点E ，DF⊥BC 于点F ，AD=2cm ，BC=6cm ，AE=4cm ，点P 、Q 分别在线段AE 、DF 上，顺次连接B 、P 、Q 、C ，线段BP 、PQ 、QC 、CB 所围攻成的封闭图形记为M ，若点P 在线段AE 上运动时，点Q 也随之在线段DF 上运动，使图形M 的形状发生改变，但面积始终．．为10cm 2 ，设EP=xcm ，FQ=ycm ，解答下列问题：（1）直接写出当x=3时y 的值；（2）用含x 的代数式表示y ；（3）当x 取何值是，图形M 成为等腰梯形？图形M 成为三角形？（4）直接写出线段PQ 在运动过程中所能扫过的区域的面积。 A E P B C 图① 备用图备用图

八年级数学下册培优讲义(人教版)

2016年最新人教版八年级数学下册培优辅导讲义第1讲二次根式的概念及性质考点·方法·破译 1.二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．非负性：a a ()≥0是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. ()( )a aa 20 =≥ 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥() ()20 3. a a a a a a 200==≥-3 B 、x ≥3 C 、 x>4 D 、x ≥3且x ≠4 2x 的取值范围是 -4 3 --x x

3、如果代数式mn m 1+ -有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限【例3】若y=++2009，则x+y= 解题思路：式子（a ≥0），，y=2009，则x+y=2014 【变式题组】 1、，则x －y 的值为（） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 2、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值 3、当a 1+取值最小，并求出这个最小值。 4、已知a b 是1 2 a b + +的值。 5、若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 。 6、若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求 y x 1 2+ 的值 . 【例4】若则．【变式题组】 1、若0)1(32 =++-n m ，则m n +的值为。 2、已知y x ,为实数，且()02312 =-+-y x ，则y x -的值为（） A ．3 B ．– 3 C ．1 D ．– 1 3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2 －4｜＋652+-y y ＝0，则第三边长为 . 4、若 1 a b -+() 2005 _____________ a b -=。【例5】化简：的结果为（）A 、4—2a B 、0 C 、2a —4 D 、4 【变式题组】 1、在实数范围内分解因式: 2 3x -= ；4244m m -+= 429__________,2__________x x -=-+= 2、 1-＝ 5-x x -5a 50 ,50x x -≥??-≥? 5x =2 ()x y =+()2 240a c --=，= +-c b a 21a -+

八年级数学培优讲义

三角形全等之类比探究（讲义）知识点睛 1. 类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单情形到复杂情形）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主． 2. 解决类比探究问题的一般方法：（1）根据题干条件，结合_______________先解决第一问；（2）用解决_______的方法类比解决下一问，整体框架照搬．整体框架照搬包括_________________，________________，_________________． 3. 常见几何特征及做法：见中点，___________________________．精讲精练 1. 在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，直线MN 经过点C ，AD ⊥ MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE =AD +BE ．（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE =AD BE ．（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，请直接写出DE ，AD ，BE 之间的数量关系． 2. 如图1，四边形ABCD 是正方形，AB =BC ，∠B =∠BCD =90°，点E 是边BC 的中点，∠AEF =90°，EF 交正方形外角∠DCG 的平分线CF 于点F ．（1）求证：AE =EF （提示：在AB 上截取BH =BE ，连接HE ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决）．（2）如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立吗？说明理由．（3）如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”是否成立？说明理由．图1 B N E C D M A 图2 A C D E M N B G A B C D F E 图1 图3 A B C D E M N

人教版八年级上册数学全册全套试卷培优测试卷

人教版八年级上册数学全册全套试卷培优测试卷一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．取一副三角板按图()1拼接，固定三角板60,()30ADC D ACD ∠=∠=，将三角板 45()ABC BAC BCA ∠=∠=绕点A 依顺时针方向旋转一个大小为a 的角00) 45(a ≤≤得到ABM ，图()2所示．试问： ()1当a 为多少时，能使得图()2中//AB CD ？说出理由， ()2连接BD ，假设AM 与CD 交于,E BM 与CD 交于F ，当00 )45(a ≤≤时，探索 DBM CAM BDC ∠+∠+∠值的大小变化情况，并给出你的证明．【答案】（1）15°；（2）DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105，证明见解析．【解析】【分析】（1）由//AB CD 得到30BAC C ∠=∠=，即可求出a ；（2）DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105?,由FEM CAM C ∠=∠+∠， 30C ∠=?， EFM BDC DBM ∠=∠+∠， 45M ∠=?，即可利用三角形内角和求出答案. 【详解】 ()1当a 为15时，//AB CD ，理由：由图()2，若//AB CD ，则30 BAC C ∠=∠=， 453015a CAM BAM BAC ∴=∠=∠-∠=-?=?，所以，当a 为15时，//AB CD ．注意：学生可能会出现两种解法：

第一种：把//AB CD 当做条件求出a 为15，第二种：把a 为15当做条件证出//AB CD ，这两种解法都是正确的． ()2DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105? 证明： ,30FEM CAM C C ∠=∠+∠∠=?, 30FEM CAM ∴∠=∠+?, EFM BDC DBM ∠=∠+∠, DBM CAM BDC EFM CAM ∴∠+∠+∠=∠+∠, 180,45EFM FEM M M ∠+∠+∠=∠=?, 3045180BDC DBM CAM ∴∠+∠+∠+?+?=?, 1803045105DBM CAM BDC ∴∠+∠+∠=?--=?, 所以，DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105. 【点睛】此题考查旋转的性质，平行线的性质，三角形的外角定理，三角形的内角和，（2）中将角度和表示为三角形的外角是解题的关键. 2．已知：在平面直角坐标系中，A 为x 轴负半轴上的点，B 为y 轴负半轴上的点. (1)如图1，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC ?，若2OA =，4OB =，试求C 点的坐标； (2)如图2，若点A 的坐标为() 23,0-，点B 的坐标为()0,m -，点D 的纵坐标为n ，以 B 为顶点，BA 为腰作等腰Rt ABD ?.试问：当B 点沿y 轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，整式2253m n +-化，请说明理由； (3)如图3，E 为x 轴负半轴上的一点，且OB OE =，OF EB ⊥于点F ，以OB 为边作等边OBM ?，连接EM 交OF 于点N ，试探索：在线段EF 、EN 和MN 中，哪条线段等于EM 与ON 的差的一半？请你写出这个等量关系，并加以证明.

八年级下册数学培优训练资料

目录 1 二次根式 (1) 2 复习二次根式 (10) 3 勾股定理及其逆定理 (13) 4 勾股定理复习提高 (17) 5 平行四边形 (31) 6 菱形与矩形 (40) 7 正方形 (52) 8 梯形 (66) 9 变量与函数 (74) 10 一次函数的图象与性质 (81) 11 一次函数与方程、不等式 (93) 12 一次函数的应用 (101) 13 数据的分析 (119) ●复习模拟试题（一） (123) ●复习模拟试题（二） (132)

第01讲二次根式 ● 知识点梳理（一） 1、二次根式的定义. 一般地，式子 a （a ≥0）叫做二次根式，a 叫做被开方数。两个非负数：（1）a ≥0 ；（2） a ≥0 2、二次根式的性质：（1）.()0≥a a 是一个________ 数；（2）()=2a __________（a ≥0）（3）()()()?? ????=?==0_______0_______ 0_______2a a a a a 3、二次根式的乘除：积的算术平方根的性质：)0,0(≥≥?=b a b a ab ，二次根式乘法法则：__________=?b a （a ≥0,b ≥0）商的算术平方根的性质： b a b a =).0,0(>≥b a 二次根式除法法则：)0,0(>≥=b a b a b a 1．被开方数不含分母； 4、最简二次根式 2．分母中不含根号； 3. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．分母有理化：是指把分母中的根号化去，达到化去分母中的根号的目的．二、典型例题：例1：当x 是怎样实数时，下列各式在实数范围内有意义？ ⑴ 2-x ⑵x x -+2)1(0 ⑶13-+-x x ⑷12+x （5）1 2-+x x

八年级上数学培优及标准答案

八年级上数学培优及答案

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3 八年级数学---培优精品教案◆◆◆ 认真解答,一定要细心哟! 一、填空题 1、设?ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，其中a ，b 满足0)2(42=+- +-+b a b a ，则第三边的长c 的取值范围是． 2、函数34+-=x y 的图象上存在点P ，点P 到x 轴的距离等于4，则点P 的坐标是________。 3、在△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线相交于O ，若∠BOC=α，则∠A=_________。 4、直角三角形两锐角的平分线交角的度数是。 5、已知直线()42-+--=a x x a y 不经过第四象限，则a 的取值范围是。 6、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角度数为__ _________。 7、如图，折线ABCDE 描述了一辆汽车在某一直线上行驶过程中，汽车离出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了120km ；②汽车在行驶途中停留了0.5h ；③汽车在整个行驶过程中的平均速度为 80 3 km ；④汽车自出发后3h-4.5h 之间行驶的速度在逐渐减少。其中正确的说法有_______________. 8、放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，?两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已加工了28千克，你呢？”小丽思考了一会儿说：“我来考考，左图、右图分别表示你和我的工作量与工作时间关系，你能算出我加工了多少千克吗？”小明思考后回答：“你难不倒我，你现在加工了___D_____千克．” 二、选择题 1、等腰三角形腰上的高与底边的夹角为Cm °则顶角度数为( )A.m B.2mC.(90-m) D.(90-2m) 2、药品研究所开发一种抗菌素新药，经过多年的动物实验之后，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y (微克/毫升)与服药后时间x (时)之间的函数关系如图所示，则当1≤x ≤6时，y 的取值范围是（） A ． 8 3≤y ≤ 64 11 B ． 64 11 ≤y ≤8

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