(完整版)垂直平分线角平分线培优提高练习

垂直平分线角平分线培优提高练习

一．选择题（共6小题）

1．如果三角形内有一点到三边距离相等，且到三顶点的距离也相等，那么这个三角形的形状是（）

A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形

2．下列各语句中不正确的是（）

A．全等三角形的周长相等B．全等三角形的对应角相等

C．到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上

D．线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等

3．如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：

（甲）作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；

（乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求．

对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（）

A．两人都正确B．两人都错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确

4．如图，在四边形ABCD中，M、N分别是CD、BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC，已知∠MAN=74°，∠DBC=41°，则∠ADC度数为（）

A．45°B．47°C．49°D．51°

5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（）

A．B．C．D．6

6．如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF 的周长最小时，∠EAF的度数为（）

A．50°B．60°C．70°D．80°

二．填空题（共5小题）

7．△ABC中，DF是AB的垂直平分线，交BC于D，EG是AC的垂直平分线，交BC于E，若∠DAE=30°，则∠BAC等于．

8．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥AC交AC于F，AC=12，BC=8，则AF=．

9．在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E．若BC=10，DE=4，则AD+AE=．10．△ABC中，∠C=90°，DE是AB的中垂线，AB=2AC，且BC=18cm，则BE的长度是．11．如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时，△PMN的周长为．

三．解答题（共6小题）

12．如图，△ABC中，∠A=60°，∠ACB的平分线CD和∠ABC的平分线BE交于点G．求证：GE=GD．

13．已知如图，CD是RT△ABC斜边上的高，∠A的平分线交CD于H，交∠BCD的平分线于G，求证：HF∥BC．

14．在△ABC中，AB边的垂直平分线交直线BC于点D，垂足为点F，AC边的垂直平分线交直线BC于点E，垂足为点G．

（1）当∠BAC=100°（如图）时，∠DAE=°；

（2）当∠BAC为一任意角时，猜想∠DAE与∠BAC的关系，并证明你的猜想．

15．△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，点D在AB边上（不与点A、B重合），以CD为腰作等腰直角△CDE，∠DCE=90°．

（1）如图1，作EF⊥BC于F，求证：△DBC≌△CFE；

（2）在图1中，连接AE交BC于M，求的值；

（3）如图2，过点E作EH⊥CE交CB的延长线于点H，过点D作DG⊥DC，交AC于点G，连接GH．当点D在边AB上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化请说明理由．

三角形培优训练100题集锦

E D F C B A 三角形培优训练专题 【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 【常见辅助线的作法有以下几种】 1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。 7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。 1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围. 2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

(完整word版)垂直平分线角平分线培优提高练习

垂直平分线角平分线培优提高练习 一．选择题（共6小题） 1．如果三角形内有一点到三边距离相等，且到三顶点的距离也相等，那么这个三角形的形状是（） A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形 2．下列各语句中不正确的是（） A．全等三角形的周长相等B．全等三角形的对应角相等 C．到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 D．线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点的距离相等 3．如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP=2CP．甲、乙两人想在AB上取两点D、E，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下： （甲）作∠ACP、∠BCP之角平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求； （乙）作AC、BC之中垂线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求． 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（） A．两人都正确B．两人都错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确 4．如图，在四边形ABCD中，M、N分别是CD、BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC，已知∠MAN=74°，∠DBC=41°，则∠ADC度数为（） A．45°B．47°C．49°D．51° 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（） A．B．C．D．6 6．如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF 的周长最小时，∠EAF的度数为（）

A．50°B．60°C．70°D．80° 二．填空题（共5小题） 7．△ABC中，DF是AB的垂直平分线，交BC于D，EG是AC的垂直平分线，交BC于E，若∠DAE=30°，则∠BAC等于． 8．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥AC交AC于F，AC=12，BC=8，则AF=． 9．在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E．若BC=10，DE=4，则AD+AE=．10．△ABC中，∠C=90°，DE是AB的中垂线，AB=2AC，且BC=18cm，则BE的长度是．11．如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时，△PMN的周长为． 三．解答题（共6小题） 12．如图，△ABC中，∠A=60°，∠ACB的平分线CD和∠ABC的平分线BE交于点G．求证：GE=GD． 13．已知如图，CD是RT△ABC斜边上的高，∠A的平分线交CD于H，交∠BCD的平分线于G，求证：HF∥BC． 14．在△ABC中，AB边的垂直平分线交直线BC于点D，垂足为点F，AC边的垂直平分线交直线BC于点E，垂足为点G． （1）当∠BAC=100°（如图）时，∠DAE=°；

培优专题等腰三角形含答案

9、等腰三角形【知识精读】 （－）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 （二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 【分类解析】 例1. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC 延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。 分析：欲证M是BE的中点，已知DM⊥BC，所以想到连结BD，证 1∠ABC，而由CE＝CD，BD＝ED。因为△ABC是等边三角形，∠DBE＝ 2 1∠ACB，所以∠1＝∠E，从而问题得证。 又可证∠E＝ 2 证明：因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点

七年级三角形的内角与外角角平分线培优练习题

三角形的内角与外角角平分线 1、如图１，点D是△ABC两个内角平分线的交点。 （1）∠ABC=50°，∠ACB=80°则∠D= . （2）∠A=100°，则∠D= . （3）∠D=150°，则∠A= . （4）写出∠D和∠A的关系 2、如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点， （1）∠ABC=50°，∠A=80°则∠D= . （2）∠A=100°，则∠D= . （3）∠D=50°，则∠A= . （4）写出∠D和∠A的关系 3、如图所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O， （1）∠1=80°，∠2=50°则∠O= . （2）∠A=100°，则∠O= . （3）∠D=50°，则∠A= . （4）设∠BOC=a，则∠A等于 . 4、如图已知△ABC中，∠A=39°，∠B和∠C的三等分线分别 交于D、E两点，则∠BDC度数是（） A．133°B．86°C．°D．88°

5、如图所示，已知△ABC中，∠A=84°，点B、C、M在一条直线上，∠ABC和∠ACM 两角的平分线交于点P1，∠P1BC和∠P1CB两角的平分线交于点P2，∠P2BC和∠P2CB两角的平分线交于点P3，则∠P3的度数是 . 6、如图△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依次类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5，则∠A5的度数为（） 7、如图所示，已知△ABC中，∠A=84°，点B、C、M在一条直线上，∠ABC和∠ACM两角的平分线交于点P1，∠P1BC和∠P1CM 两角的平分线交于点P2，∠P2BC和∠P2CM两角的平分线交于点P3，则∠P3的度数 是 . 8、如图所示,∠ABC,∠ACB的内角平分线交于点O,∠ABC 的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D,∠ABC 与∠ACB的相邻外角平分线交于点E,且∠A=60°, 则∠BOC=_______,∠D=_____,∠E=_______. A P3 P2 P1 C B

1.4 角平分线同步培优练习题(含答案解析)

1.4 角平分线同步培优练习题 一．选择题（共10小题） 1．如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC，垂足为D，且OD＝4．若△ABC的面积是34，则△ABC的周长为（） A．8.5B．15C．17D．34 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线．若AC＝6，AB＝10，则点D到AB边的距离为（） A．2B．2.5C．3D．4 3．如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，若点P 到直线AC的距离为4，则点P到直线AB的距离为（） A．4B．3C．2D．1 4．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB＝20，CD＝6，若∠C＝90°，则△ABD面积是（） A．120B．80C．60D．40 5．如图，BP为∠ABC的平分线，过点D作BC、BA的垂线，垂足分别为E、F，则下列结

论中错误的是（） A．∠DBE＝∠DBF B．DE＝DF C．2DF＝DB D．∠BDE＝∠BDF 6．如图，PM＝PN，∠BOC＝30°，则∠AOB的度数（） A．30°B．45°C．60°D．50° 7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（） A．2B．3C．4D．无法确定 8．在△ABC内部取一点P，使得点P到△ABC的三边距离相等，则点P是△ABC的（）A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三边的垂直平分线的交点 9．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE＝2，AC＝3，则△ADC 的面积是（） A．3B．4C．5D．6 10．如图所示，△ABC的两条外角平分线AP、CP相交于点P，PH⊥AC于H．若∠ABC＝60°，则下面的结论：

中考培优竞赛专题经典讲义第1讲角平分线

第1讲角平分线 1. 角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 定理的数学表示：如图，已知0E是/ AOB的平分线，F是0E上一点，若CF 点C, DF OB 于点D，则CF = DF. 逆定理：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上 角平分线除了简单的平分角以外，结合其它的条件，一般可产生以下三种常见模型! 模型讲解 模型1-BD平分/ ABC,且DC BC 理由：角平分线的性质 结论：△ DCB2 △ DEB 模型 2 一BD 平分/ ABC, 且CD BD 理由：等腰三角形三线合一 结论：△ BDC BDE 模型3-BD 平分/ ABC, AD// BC 理由：平行线的性质 结论：△ ABD为等腰三角形OA于

【例题讲解】 例题1、如图所示，在四边形ABCD 中，DC// AB，/ DAB =90 °, AC BC, AC=BC, BF / ABC的平分线交AD , AC于点E、F，贝U BS的值是 EF BF EF 值得一试. 【解答】解：如图，作FG AB于点G QAC BC，/ ACB =90° 又QBF 平分/ ABC，FG = FC 在Rt A BGF 和Rt A BCF 中 BF BF AC =16，贝U DE的长度为_________ 【分析】有AE平分/ BAC，且AE EC，套用模型2，即可解决该题 △ BGF BCF ( HL) ，BC = BG Q AC = :BC，/ CBA =45°，AB = 2 BC BF BG BC BC1 . 2 . EF AG AB BG.2BC BC、2 I CF GF 例题2、如图，D是厶ABC的BC边的中点, 当过点F作FG AB时，即可将转化为竺，又会出现模型 EF AG 1，所以这个辅助线与思路Q / DAB-90°，FG/AD， BF EF BG AG AE 平分/ BAC，AE CE 于点E，且AB =10，【分析】要求B匚的值，一般来说不会直接把 EF BF和EF都求出来，所以需要转化

线段的垂直平分线与角的平分线训练专题培优

线段的垂直平分线与角的平分线专题 一、选择题： 1．如图1，在△ABC 中，AD 平分∠CAE ，∠B=30? ，∠CAD=65? ，则∠ACD 等于 （ ） A ．50? B ．65? C ．80? D ．95? 2．如图2，在△ABD 中，AD=4，AB=3，AC 平分∠BAD ，则:ABC ACD S S ??= （ ） A ．3:4 B ．4:3 C ．16:19 D ．不能确定 3．如图3，在△ABC 中，∠C=90? ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，则下列结论：①AD 平分∠CDE ；②∠BAC=∠BDE ；③DE 平分∠ADB ；④BE+AC=AB 。其中正确的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个 4．如图4，AD ∥BC ，∠D=90? ，AP 平分∠DAB ，PB 平分∠ ABC ，点P 恰好在CD 上，则PD 与PC 的大小关系是 （ ） A ．PD>PC B ．PD

八年级垂直平分线和角平分线不得不做的培优题

第2讲垂直平分线与角平分线 我们一起回顾 重点： 垂直平分线 性质——垂直平分线上一点到线段两端距离相等 判定——到线段两端距离相等的点在其垂直平分线上 角平分线 性质——角平分线上一点到角两边距离相等 判定——到角两边距离相等的点在角平分线上 重难点易错点 垂直平分线 1：AC=AD，BC=BD，则有（） A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB 角平分线 2：如图，OP平分∠AOB，P A⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（） A．P A=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP 例题精讲 1：在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，∠ABC，∠ACB的平分线交于P点，PE⊥BC 于E点，求PE的长．

2：如图，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的角平分线．求证：AC+CD=AB． 3：如图，AD为△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点E、交BC的延长线于点F，AC于EF交于点O． （1）求证：∠3=∠B；（2）连接OD，求证：∠B+∠ODB=180°． 4：已知：∠DAB=120°，AC平分∠DAB，∠B+∠D=180°． （1）如图1，当∠B=∠D时，求证：AB+AD=AC； （2）如图2，当∠B≠∠D时，猜想（1）中的结论是否发生改变？说明理由． 拓展题 5：小明做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD． （1）小芳同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥BD，垂足为点E，并且BE=ED，你同意小德的判断吗？为什么？ （2）设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．

角平分线的性质与判定培优讲义

授课教案 教学标题 角平分线的性质 教学目标 熟练了解角是轴对称图形和角平分线的定义，会用尺规作一个角的平分线；掌握角平分线的性质和判定；综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题。 教学重难点 重点：角平分线的性质和判定.难点：角平分线的性质和判定的综合应用. 上次作业检查 授课内容： 一．作业讲解 二．知识梳理 知识点一 角平分线的定义 知识点二 作角平分线（尺规作图，四弧一线） 知识点三 角平分线的性质 角平分线上的点到角的两边的距离相等。 符号语言：∵OP 平分∠AOB ，AP ⊥OA ，BP ⊥OB ，∴AP=BP. 知识点四 角平分线的判定 到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 符号语言：∵ AP ⊥OA ，BP ⊥OB ，AP=BP ，∴点P 在∠AOB 的平分线上. 知识点五 角平分线的综合应用 三．典型例题 例1：如图，已知点C 为直线AB 上一点，过C 作直线CM ，使CM AB ⊥于C 。 分析：由于AB 是直线，要求作CM AB ⊥，实际上就是要作平角ACB ∠的平分线。根据角平分线的尺规作图法就可以作出直线CM. 例2：如图，AD 是ABC ?的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是,E F 。连接EF ，交AD 于点G 。说出AD 与EF 之间有什么关系？证明你的结论。 分析：两条线段之间的关系有长度和位置两种关系，因此我们可以从这两方面去猜测判断。 角是以其平分线为对称轴的轴对称图形，此题可以利用这一点进行判断. 例3：如图，BE CF =，DF AC ⊥于F ，DE AB ⊥于E ，BF 和CE 交于点D 。求证：AD 平分BAC ∠。 O A B P

等腰三角形中垂线角平分线培优题

1．如图，已知：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OB ，ED ⊥OA ，C 、D 是垂足，连接CD ，且交OE 于点F ． （1）求证：OE 是CD 的垂直平分线． （2）若∠AOB=60°，请你探究OE ，EF 之间有什么数量关系？并证明你的结论． 1 2 3 2、如图，BD 是四边形ABCD 中∠ABC 的平分线，∠A＋∠C＝180°，求证：DA ＝CD 3、如图，在△ABC 中，∠BAC ＝α＞90°，PM 、QN 分别垂直平分AB 、AC ，垂足分别为M 、N ，交BC 于P 、Q ，求∠PAQ 的度数。 4、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，FE 垂直平分AD ，E 为垂足，EF 交BC 的延长线于F ，求证：∠CAF ＝∠B 4 5 5、已知：如图，在Rt △ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD 的延长线于E . 求证：BD =2CE . 6、已知，如图，等边△ABC ，AB ＝6㎝，点M 从点B 开始沿BA 边向点A 以1㎝/秒的速度运动，点N 从点C 开始沿AC 的延长线以1㎝/秒的速度运动，M 、N 分别从B 、C 同时出发，当点M 到达端点A 时，停止运动。（1）设线段MN 与线段BC 交于点P ，试判断点P 与线段MN 的位置关系，并证明你的结论。（2）当M 、N 运动几秒时，△AMN 为直角三角形？ （3）过点P 作MN 的垂线交∠BAC 的平分线AD 于Q 点，在M 、N 两点的运动过程中，给出下列两个结论：①Q 点为AD 上的一个定点；②线段PQ 的长度不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论是正确的，证明正确的结论并求出其值。 7.如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD 、CE 相交于O 点，求证：AE ＋CD=AC. A B C D A B C P Q M N A B C D E F A C B P M N A C B P M N Q D

第二讲 角平分线培优训练

第二讲 角平分线及垂直平分线、轴对称培优试题 1. 如图2-1，BO 平分CBA ∠，CO 平分ACB ∠,且MN ∥BC ,设AB =12， BC =24，AC =18，则AMN 的周长为＿＿＿. 图 2-1 图 2-2 2. 如图2-2,菱形D ABC 两条対角线分别长6和8，点P 是対角线AC 上的一个动点，点M 、N 分别是边AB 、BC 的中点，则PM PN +的最小值是＿＿＿. 3. 在R t ABC 中，90BAC ∠=，AB =3，M 为边BC 上的点，连结AM （如图2-3所示）.如果将ABM 沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是＿＿＿ . 图 2-3 图 2-4 C 4. 如图2-4，将矩形D ABC 纸片沿对角线D B 折叠，使点C 落在C ’，BC ’ 交D A 于E ，若22.5D BC ∠=，则在不添加任何辅助线的情况下，图中的45角（虚线也视为角的边）有＿＿＿个.

5. 如图2-5，C P 、B P 分别是ABC 的外角BCM ∠、CBN ∠的平分线，求证：A P 平分BAC ∠. 图 2-5 6.如图2-6，直线m 、n 、o 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有＿处. o n m 图 2-6 O 图2-7 7.如图2-7，F 、G 是OA 上两点，M 、N 是OB 上两点，且FG=MN ， PFG PMN =S S ，试问，点P 是否在AOB ∠的平分线上？ 8.如图2-8，BD=DC ，ED BC ⊥交BAC ∠的平分线于E ，作EM AB ⊥， EN AC ⊥.求证：BM=CN . 图 2-8 B

三角形的内角与外角角平分线培优练习题

三角形的内角与外角角平分线培优练习题集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]

三角形的内角与外角角平分线 1、如图１，点D是△ABC两个内角平分线的交点。 （1）∠ABC=50°，∠ACB=80°则∠D=. （2）∠A=100°，则∠D=. （3）∠D=150°，则∠A=. （4）写出∠D和∠A的关系 2、如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点， （1）∠ABC=50°，∠A=80°则∠D=. （2）∠A=100°，则∠D=. （3）∠D=50°，则∠A=. （4）写出∠D和∠A的关系 3、如图所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O， （1）∠1=80°，∠2=50°则∠O=. （2）∠A=100°，则∠O=. （3）∠D=50°，则∠A=. （4）设∠BOC=a，则∠A等于. 4、如图已知△ABC中，∠A=39°，∠B和∠C的三等分线分别 交于D、E两点，则∠BDC度数是（） A．133°B．86°C．109.5°D．88°5、如图所示，已知△ABC中，∠A=84°，点B、C、M在一条直线上，∠ABC和∠ACM两角的平分线交于点P1，∠P1BC和∠P1CB两角的平分线交于点P2，∠P2BC和∠P2CB两角的平分线交于点P3，则∠P3的度数是. 6、如图△ABC中，∠A=96°，延长BC到D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1∠A1BC 与∠A1CD的平分线相交于点A2，依次类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5，则 ∠A5的度数为（） 7、如图所示，已知△ABC中，∠A=84°，点B、C、M在一条直线上，∠ABC和∠ACM 两角的平分线交于点P1，∠P1BC和∠P1CM两角的平分线交于点P2，∠P2BC和∠ P2CM两角的平分线交于点P3，则∠P3的度数是. 8、如图所示,∠ABC,∠ACB的内角平分线交于点O,∠ABC的 内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D,∠ABC与∠ACB的 相邻外角平分线交于点E,且∠A=60°,则∠BOC=_______,∠ D=_____,∠E=_______. P3 P2 P1 C B

好题共享_角平分线培优专题30题

根据题意，先准确地画出图形，是解几何题的一项基本功 第 1 页 共 4 页 角平分线培优专题 1、如图，BD 是四边形ABCD 中∠ABC 的平分线，∠A ＋∠C ＝180°，求证：DA ＝CD 2、如图，在四边形ABCD 中，BD 是∠ABC 的角平分线，若CD ＝AD ，过D 点作DE ⊥AB ，求证：AB ＋BC ＝2BE 3、如图在△ABC 中，AB ＞AC ，点O 是∠A 的平分线上一点，过O 点作OE ⊥AB 于E ，作OF ⊥AC 交AC 的延长线于F ，且BE ＝CF ，若AB ＝12，AC ＝5，求BE 长。 4、如图，在△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，若AQ ＝PQ ，RP ＝PS ，你能得到哪些结论？并证明。 5、如图，已知BF 是∠DBC 的平分线，CF 是∠ECB 的平分线，求证：点F 在∠BAC 的平分线上。 6、如图，已知OD 平分∠AOB ，在OA 、OB 边上取OA ＝OB ，点P 在OD 上，且PM ⊥BD ，PN ⊥AD ，求证：PM ＝PN 7、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，且BD ＝DF ，求证：CF ＝EB 8、如图在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，∠ADC ＋∠ABC ＝180度，CE ⊥AD 于E ，猜想AD 、AE 、AB 之间的数量关系，并证明你的猜想， 9、如图，已知△ABC 中，CE 平分∠ACB ，且AE ⊥CE ，∠AED ＋∠CAE ＝180度，求证：DE ∥BC 10、如图，已知△ABC 中，∠BAC ＝90度，AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，FM ⊥AC ，∠ABE ＝∠CBE ，求证：FM ＝FD A B C D A B C D E A C B E F O A C B P R S Q A B C F E D A O B D P M N A B C D E F E B A C 图2 D A C D E B A B C D E F M A B C D E A B C D E

线段的垂直平分线与角的平分线训练专题培优

线段的垂直平分线与角的平分线专题 一、选择题： 1．如图1，在△ABC 中，AD 平分∠CAE ，∠B=30?，∠CAD=65? ，则∠ACD 等于 （ ） A ．50? B ．65? C ．80? D ．95? 2．如图2，在△ABD 中，AD=4，AB=3，AC 平分∠BAD ，则:ABC ACD S S ??= （ ） A ．3:4 B ．4:3 C ．16:19 D ．不能确定 3．如图3，在△ABC 中，∠C=90? ，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，则下列结论：①AD 平分∠CDE ；②∠BAC=∠BDE ；③DE 平分∠ADB ；④BE+AC=AB 。其中正确的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个 4．如图4，AD ∥BC ，∠D=90? ，AP 平分∠DAB ，PB 平分∠ ABC ，点P 恰好在CD 上，则PD 与PC 的大小关系是 （ ） A ．PD>PC B ．PD

12角平分线培优题

图形认识初步 【角】 ?角平分线 【培优练习】 1.已知∠AOB=60°，其角平分线为OM，∠BOC=20°，其角平分线为ON，则∠MON的大小为 （） A．20°B．40°C．20°或40°D．30°或10° 2.已知直线AB上有一点O，射线OC和射线OD在直线AB的同侧，∠BOC=46°，∠COD=110°， 则∠BOC和∠AOD的平分线的夹角的度数是（） A．145°B．135°C．35°D．160° 3.如图：已知∠AOB与∠BOD互为余角，OC是∠BOD的角平分线，∠AOB=29.66°，∠COD 的度数是（） A．30°17'B．30.67°C．30°10′12″D．30°10'

4.如图所示，AB，CD相交于M，ME平分∠BMC，且∠AME=104°，则∠AMC的度数为（） A．38°B．32°C．28°D．24° 5.如图，OB表示秋千静止时的位置，当秋千从OC荡到OA时，OB平分∠AOC，∠BOC=60°， 则秋千从OC到OA转动的角度∠AOC的度数是（） A．30°B．60°C．90°D．120° 6.如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF=34°，求 ∠BOD的度数． 7.如图，已知直线AB、CD交于点O，OE平分∠BOC，∠COE：∠COA=3：2，求∠AOD的度数．

8.如图，O为直线AB上一点，∠AOC=50°，OD平分∠AOC，∠DOE=90度． （1）请你数一数，图中有多少个角； （2）求出∠BOD的度数； （3）请通过计算说明OE是否平分∠BOC． 9.如图所示，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线．如果∠AOB=50°，∠DOE=35°， 那么∠BOD是多少度？ 10.把一副三角板的直角顶点O重叠在一起． （1）如图左图，当OB平分∠COD时，则∠AOD和∠BOC的和是多少度？ （2）如图右图，当OB不平分∠COD时，则∠AOD和∠BOC的和是多少度？直线AB、CD 相交于点O，OE平分∠AOD，∠FOC=90°，∠1=40°，求∠2与∠3的度数。

中考培优竞赛专题经典讲义 第1讲 角平分线

中考培优专题——第1讲角平分线 1．角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 定理的数学表示：如图，已知OE是∠AOB的平分线，F是OE上一点，若CF⊥OA于点C，DF⊥OB于点D，则CF =DF． 逆定理：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上． 角平分线除了简单的平分角以外，结合其它的条件，一般可产生以下三种常见模型！ 模型讲解 模型1-BD平分∠ABC，且DC⊥BC 理由：角平分线的性质 结论：△DCB≌△DFB 模型2-BD平分∠ABC，且CD⊥BD 理由：等腰三角形三线合一 结论：△BDC≌△BDE 模型3-BD平分∠ABC，AD//BC 理由：平行线的性质 结论：△ABD为等腰三角形

【例题讲解】 例题1．如图所示，在四边形ABCD 中，DC //AB ，∠DAB =90°，AC ⊥BC ，AC =BC ，∠ABC 的平分线交AD ，AC 于点E 、F ，则 BF EF 的值是___________． 【分析】要求 BF EF 的值，一般来说不会直接把BF 和EF 都求出来，所以需要转化BF EF ，当过点F 作FG ⊥AB 时，即可将 BF EF 转化为BG AG ，又会出现模型1，所以这个辅助线与思路值得一试． 【解答】解：如图，作FG ⊥AB 于点G Q ∠DAB -90°，∴FG /AD ，∴BF EF = BG AG Q AC ⊥BC ，∴∠ACB =90° 又Q BF 平分∠ABC ，∴FG =FC 在Rt △BGF 和Rt △BCF 中 BF BF CF GF =?? =? ∴△BGF ≌△BCF （HL ），∴BC =BG Q AC =BC ，∴∠CBA =45°，∴AB BC 1 BF BG BC EF AG AB BG ∴ =====- 例题2．如图，D 是△ABC 的BC 边的中点，AE 平分∠BAC ，AE ⊥CE 于点E ，且AB =10，AC =16，则DE 的长度为________ 【分析】有AE 平分∠BAC ，且AE ⊥EC ，套用模型2，即可解决该题．

八上培优：角平分线有关的辅助线

八上培优：角平线专题 三角形内外角平分线的概念是处理与角相关问题的基本依据和方法，在中考题中经常利用角平分线的性质去证明线段、角相等或三角形全等.随着课改的深入，中考的题型也发生了变化.利用角平分线的对称性把图形翻折，再进行推理计算；以及与角平分线有关的探究题、综合题成为近几年中考的热点题型. [例1]把一副学生用三角板（30°、60°、90°和45°、45°、90°）如图（1）放置在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，直角边AC与y轴重合，斜边AD与y轴重合，直角边AE交x轴于F，斜边AB交x 轴于G，O是AC中点，AC＝8． （1）把图1中的Rt△AED绕A点顺时针旋转α度（0≤α＜90°）得图2，此时△AGH的面积是10，△AHF的面积是8，分别求F、H、B三点的坐标； （2）如图3，设∠AHF的平分线和∠AGH的平分线交于点M，∠EFH的平分线和∠FOC的平分线交于点N，当改变α的大小时，∠N+∠M的值是否会改变？若改变，请说明理由；若不改变，请求出其值．

[例2]如图（1），Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB 于点F. （1）求证：CE＝CF． （2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论． [例3]如图，Rt△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，∠B的平分线交AC于D，从C点向BD的延长线作垂线，垂足为E．求证：BD＝2CE．

[例4]如图1，在△ABC中，∠A的外角平分线交BC的延长线于点D． （1）线段BC的垂直平分线交DA的延长线于点P，连接PB，PC． ①利用尺规作图补全图形1，不写作法，保留痕迹； ②求证：∠BPC＝∠BAC； （2）如图2，若Q是线段AD上异于A，D的任意一点，判断QB+QC与AB+AC的大小，并予以证明．

人教版八年级第5讲角平分线培优训练

人教版八年级第5讲角平分线培优训练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，OP 平分∠MON ，PA ⊥ON 于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若PA ＝2，则PQ 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．如图，在ABC ?中，90C ∠=?，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，DE AB ⊥于点E ，下列结论中正确的个数是（ ）. ①AD 平分CDE ∠：②BAC BDE ∠=∠；③DE 平分ADB ∠；④AB AC BE =+. A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．4个 3．如图所示，P 是BAC ∠的平分线上一点，PM AB ⊥于点M ，PN AC ⊥于点N .有下列结论：①PM PN =；②AM AN =；③APM ?与APN ?面积相等；④90PAN APM ∠+∠=?，其中正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．如图，在ABC ?中，90C ∠=?，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，若32BC =，且:9:7BD CD =，则点D 到AB 边的距离为（ ）.

A ．18 B ．16 C ．14 D ．12 5．如图，已知ABC ?的面积为28cm ，BP 为ABC ∠的平分线，AP BP ⊥于点P ，则PBC ?的面积为（ ）. A ．23.5cm B ．23.9cm C ．24cm D ．24.2cm 6．如图，已知AC 平分BAD ∠，C E AD ⊥于点E ，BC CD =.有下列结论：①180ABC ADC ∠+∠=?；②CBD CAB ∠=∠；③2AB AD AE +=；④2AD AB DE -=.其中正确结论的个数是（ ）. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二、解答题 7．如图，C 为线段AE 上的一点，分别以AC ，CE 为边在AE 的同侧作等边三角形ABC 和等边三角形CDE ，连接AD ，BE 交于点F . （1）求证：AD BE =. （2）求证：FC 平分AFE ∠. 8．如图，在ABC ?中，AD 是BAC ∠的平分线，点E ，F 分别为AB ，AC 上的点，且180EDF BAF ∠+∠=?. （1）求证：DE DF =. （2）若把最后一个条件改为：AE AF ＞，且180AED AFD ∠+∠=?，那么（1）中结论还成立吗？

3--全等三角形中的动点问题专题培优、角平分线题型大全

全等三角形中的动点问题 1、如图，已知△ABC中，∠BAC=90゜，AB=AC，点P为BC边上一动点（BP＜CP），分别过 B、C作BE⊥AP于E，CF⊥AP于F． （1）求证：EF=CF-BE． （2）若点P为BC延长线上一点，其它条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论． 2、在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE= 度； （2）设∠BAC=α，∠DCE=β． ①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接写出此时α与β之间的数量关系

3、在等边△ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1米的速度由A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处，请问： （1）如图1，在爬行过程中，CD和BE始终相等吗？ （2）如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”，改为“沿着AB和CA的延长线爬行”，EB与CD交于点Q，其他条件不变，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小保持不变，请利用图2说明：∠CQE=60°； （3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，如图3，则爬行过程中，DF始终等于EF是否正确？ 图1 图2 图3 4、如图，已知△ABC，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点。 ①如果点p在线段BC上以3厘米|秒的速度由B点向c点运动，同时，点Q在线段CA上由c点A点运动 （1）如点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由 （2）若点Q的运动速度与点p的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△COD全等? ②如点Q以（2)中的运动速度从点C出发，点P以原来的速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇?