立体几何精选练习(线面关系、二面角、线面夹角)

立体几何精选练习（一）

1. 【热身】如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，求证：A 1C ∥平面AB 1D （用两

种方法，一是线线平行，二是面面平行）

2. 【热身】如图，四棱椎P-ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点，

求证：AF ∥平面PCE （同上，用两种方法）

P F E D C B A 备用图 备用图

3. 【热身】如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求证：BD 1⊥面AB 1C

4. 【热身】在四棱椎P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面

ABCD ，M 、N 分别为PC 、

AB 的中点，若∠PDA=45°，求证：MN ⊥面PCD （两种方法，一是平移判定，二是直接判定）

B 1 A 1 D C

A B C 1 D 1 A B C D P M N 备用图

5. 【热身】如图，在四棱椎P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，且PD=AB ，

E 是PB 的中点，问：在平面PAD 内求一点

F ，使得EF ⊥平面PBC

6. 【小试牛刀】如图，ABC 为正三角形，AE 和CD 都垂直于平面ABC ，且AE=AB=2，CD=1，

F 为BE 的中点，求DB 与平面ABE 所成角的正弦值。

C D P E A C D E F

7. 【小试牛刀】如图，四棱椎P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，BC=PD=2，

E 为PC 中点，BG=2CG 。

（1）求三棱椎C-DEG 的体积。

（2）AD 边上是否存在着一点M ，使得PA ∥平面MEG ，若存在，求AM 的长；否则，说明理由。

8. 【小试牛刀】如图，直三棱柱ABC-A ’B’C’，

∠BAC=90°，AB=AC=2，AA’=1，点M 、N 分别为A’B 和B’C’的中点，

（1）证明：MN ∥平面A’ACC’

（2）求三棱椎A ’-MNC 的体积

C

D P

E

G

A C

A’ B’ C’

M

N

9. 【大杀四方】如图，四棱椎S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2

倍，P 为侧棱SD 上的点，

（1）若SD ⊥平面PAC ，求二面角P-AC-D 的大小

（2）在(1)的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC ，若存在，求SE:EC 的值；若不存在，请说明理由

10. 【热身】如图，在三棱椎V-ABC 中，AB=AC=VB=VC=√，BC=2，VA=2√（1）求证：平面VBC ⊥平面ABC

（2）求直线VC 与平面ABC 所成角的余弦值

A B

C D S P 备用图

B A

C V

11. 【热身】如图，在三棱椎P-ABC 中，∠ACB=90°，PA ⊥平面ABC ，AC=BC=PA ，M 是PB 的

中点，求AM 与平面PBC 所成角的正切值。

12. 【中场休息】在空间四边形ABCD 中，点E 在AB 上，点F 在CD 上，且

BE EA =DF FC =13，若AC=BD=4，且直线AC 与BD 成60°的角，求EF 的长。

B P

A

C M A B C

D E

F

13. 【响鼓重捶】如图，在四棱椎P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，ABCD 是边长为2的菱形，

∠BAD=π3，PD=2k(k>0)，E 为AB 中点。 （1）求证：ED ⊥平面PDC

（2）设二面角P-EC-D 的大小为π6，①求k 的值；②求直线BC 与平面PEC 所成角的正弦值。

B A

C

D P

E 备用图

14. 【国之重器】如图，在四棱椎P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PB ⊥BC ，

PD ⊥CD ，且PA=2，E 为PD 的中点。

（1）求证：PA ⊥平面ABCD

（2）求二面角E-AC-D 的正切值

（3）在线段BC 上是否存在一点Q ，使得点E 到平面PAQ 的距离为

2√55？如果存在，确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由。

A B

C D P

E 备用图

15. 【终场加时】如图，已知四棱椎P-ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC=60°，

E 、

F 分别是BC 、PC 的中点，若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为

√62，求二面角E-AF-C 的余弦值。

A B

C D E P F

高中数学-立体几何-线面角知识点

WORD文档 立体几何知识点整理 一．直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行 2. 线面相交 3. 线在面内 l l A l α α α 二．平行关系： 1. 线线平行： 方法一：用线面平行实现。 l l // l l // m m m 方法二：用面面平行实现。 // l l l // m β m γ m α 方法三：用线面垂直实现。 若l ,m ，则l // m 。 方法四：用向量方法： 若向量l 和向量m 共线且l、m 不重合，则l // m 。 2. 线面平行： 方法一：用线线平行实现。 l // m m l // l

l β// l // α l 方法三：用平面法向量实现。n l 若n为平面的一个法向量，n l 且l,则l // 。 α 2.面面平行： 方法一：用线线平行实现。 l // // , m ', m l l 且相交 且相交 // α l βm l' m' 方法二：用线面平行实现。l // // m // β l m l ,m 且相交 α三．垂直关系： 3.线面垂直：

l AC l l AC AC, A l A α C B 方法二：用面面垂直实现。 β l m l m l m,l α

3.面面垂直： 方法一：用线面垂直实现。 l βl C θ l α A B 方法二：计算所成二面角为直角。 4.线线垂直： 方法一：用线面垂直实现。 l l m l m α m 方法二：三垂线定理及其逆定理。 P PO l OA l PA l A O l α 方法三：用向量方法： 若向量l 和向量m 的数量积为0，则l m 。 三．夹角问题。 （一）异面直线所成的角： （1）范围：(0 ,90 ] （2）求法： 方法一：定义法。 步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。 步骤2：解三角形求出角。（常用到余弦定理） 余弦定理： a c cos 2 a 2 b 2ab 2 c θ b （计算结果可能是其补角）

立体几何——点线面位置关系

点线面的位置关系 （1）四个公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ? ∈且。 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 ② 经过两条相交直线，有且只有一个平面 ③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面 它给出了确定一个平面的依据。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。 符号语言：,,P P l P l αβα β∈∈?=∈且。 公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。 符号语言：//,////a l b l a b ?且。 （2）空间中直线与直线之间的位置关系 1.概念 异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的角（或直角）叫异面直线,a b 所成的夹角。 （易知：夹角范围090θ<≤?） 公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。 符号语言：//,////a l b l a b ?且。 定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。（注意：会画两个角互补的图形） 2.位置关系：???? ??? ?相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点; 共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点; 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 （3）空间中直线与平面之间的位置关系

高中数学必修2立体几何专题线面角典型例题求法总结

线面角的求法 1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。 例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。（2）SC 与平面ABC 所成的角。 B M H S C A 解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι 其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 A 1 C 1 D 1 H 4 C B 1 23 B A D 解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h ，∵V B ﹣AB 1C 1 =V A ﹣BB 1C 1 ∴1／3 S △AB 1C 1 ·h= 1／3 S △BB 1C 1 ·AB，易得h=12／5 ，

专题08 立体几何第二十讲 空间点线面的位置关系(原卷版)

专题08立体几何 第二十讲空间点线面的位置关系 2019年 1.(2019全国III文8）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD， M是线段ED的中点，则 A．BM=EN，且直线BM、EN是相交直线 B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C．BM=EN，且直线BM、EN是异面直线 D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线 2.（2019全国1文19）如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点. （1）证明：MN∥平C1DE； （2）求点C到平面C1DE的距离． 3.（2019全国II文7）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行 C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面

4.（2019北京文13）已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α． 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． 5.（2019江苏16）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1； （2）BE ⊥C 1E ． 6.（2019全国II 文17）如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1. （1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1； （2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积．

立体几何之点线面之间位置关系

C B A l 3 l 2 l 1 第六讲 立体几何之点线面之间的位置关系 考试要求： 1、 熟练掌握点、线、面的概念； 2、 掌握点、线、面的位置关系，以及判定和证明过程； 3、 掌握点、线、面垂直、平行的性质 知识网络： 知识要点： 1、公理 （1）公理 1：对直线 a 和平面α，若点 A 、B ∈a , A 、B ∈α，则 （2）公理 2：若两个平面α、β有一个公共点P ，则α、β有且只有一条过点P 的公共直线 a （3）公理 3： 不共线的三点可确定一个平面 推论：① 一条直线和其外一点可确定一个平面 ②两条相交直线可确定一个平面 ③两条平行直线可确定一个平面 （4）公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等． 2、空间两条不重合的直线有三种位置关系：相交、平行、异面 3、异面直线所成角θ的范围是 00<θ≤900 例1、已知直线1l 、2l 和3l 两两相交，且三线不共点. 求证：直线1l 、2l 和3l 在同一平面上. 空间图形的关系 空间基本关系与公理 平行关系 垂直关系 公理 点、线、面的位置关系 判定 性质 应用 应用 性质 判定

例2、三个平面将空间分成k个部分,求k的可能取值. 分析: 可以根据三个平面的位置情况分类讨论，按条件可将三个平面位置情况分为5种: （1）三个平面相互平行 （2）两个平面相互平行且与第三个平面相交 （3）三个平面两两相交且交线重合 （4）三个平面两两相交且交线平行 （5）三个平面两两相交且交线共点 例3、已知棱长为a的正方体中，M、N分别为CD、AD中点。 求证：四边形是梯形。 例4、如图，A是平面BCD外的一点,G H分别是, ABC ACD ??的重心， 求证：// GH BD． 例5、如图，已知不共面的直线,, a b c相交于O点，, M P是直线a上的两点，,N Q分别是,b c上的一点求证：MN和PQ是异面直线 例6、已知正方体ABCD－A 1B 1 C 1 D 1 的棱长为a，则棱A 1 B 1 N M H G D C B A α c b a Q P N M O A1 C1 D1

新课标高考立体几何线面角的计算归类分析知识分享

新课标高考立体几何——线面角的计算归类分析 深圳市第二实验学校 李平 作者简介 李平，男，1970年12月生，硕士研究生，高级教师，现任深圳市第二实验学校总务处副主任。深圳市“技术创新能手”称号、深圳市高考先进个人。在教材教法、高考研究、教材编写等方面成效显著。主持和参与省、市级课题多项，主编和参编教育类书籍多部，发表教研论文多篇，辅导学生参加各类竞赛有多人次获奖。 摘 要 求线面角的基本思想方法是将空间角的计算转化为计算平面内的角, 然后再用代数、三角的方法求解，这种将空间问题向平面问题转化的思想方法, 是立体几何中十分重要的思想方法, 同时它也体现了等价转化、数形结合的思想, 充分地展示了平移法、射影法、补形法这些立体几何特有方法的威力. 关键词 线面角 空间角 平移法 等体积法 空间向量方法 线面角——直线和平面所成的角 1．定义: 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这条斜线和这个平面所成的角. 若直线l ⊥平面α, 则l 与α所成角为90?; 若直线l //平面α或直线l ?平面α, 则l 与α所成角为0?. 2．线面角的范围: [0]2 π ，. 3．线面角的求法： (1)定义法(垂线法)． (2)虚拟法(等体积法). (3)平移法． (4)向量法. 线面角是立体几何中的一个重要概念, 它是空间图形的一个突出的量化指标, 是空间位置关系的具体体现, 是培养学生逻辑推理能力, 树立空间观念的重要途径, 故线面角一直以高频率的姿态出现在历年高考试题中. 求解线面角问题一般遵循(找)、证、算三个步骤, 并多以棱锥与棱柱作为考查的载体. 求解线面角的方法主要有两种: 一是利用传统几何方法; 二是利用空间向量方法. 总之, 求线面角的基本思想方法是将空间角的计算转化为计算平面内的角, 然后再用代数、三角的方法求解, 这种将空间问题向平面问题转化的思想方法, 是立体几何中十分重要的思想方法, 同时它也体现了等价转化、数形结合的思想, 充分

立体几何空间点线面关系题

立体几何空间点线面关系题1 / 10 立体几何空间点线面关系题 1、（08天津）：设,a b 是两条直线，,a b 是两个平面，则a b ^的一个充分条件是（ ）。 A 、,//,a b a b a b ^^ B 、,,//a b a b a b ^^ C 、,,//a b a b a b 蘜 D 、,//,a b a b a b 蘜 2、（08安徽）已知,m n 是两条不同的直线，,,a b g 是三个不同的平面，下列命题正确的是 （ ） A 、//,//,m//n m n a a 若则 B 、,//a g b g a b ^^若，则 C 、//,//,//m m a b a b 若则 D 、,,//m n m n a a ^^若则 3、（08江西）设直线m 与平面a 相交但不垂直，则下列说法正确的是（ ） A 、在平面a 内有且只有一条直线与直线m 垂直 B 、过直线m 有且只有一个平面与平面a 垂直 C 、与直线m 垂直的直线不可能与平面a 平行 D 、与直线m 平行的平面不可能与平面a 垂直 4、（08湖南）已知直线m,n 和平面,a b 满足,,m n m a a b ^^^，则（ ） A 、n b ^ B 、//n b b ì或n C 、n a ^ D 、//n a a ì或n 5、对于两条不相交的空间直线,a b ,必存在平面a ，使得（ ） A 、,a b a a 烫 B 、,//a b a a ì C 、,a b a a ^^ D 、,a b a a 蘜 6、平面//a b 的一个充分条件是（ ） A 、存在一条直线,//,//a a a a b B 、存在一条直线,,//a a a a b ì C 、存在两条平行直线,,,,//,//a b a b a b a b b a 烫 D 、存在两条异面直线,,,,//,//a b a b a b a b b a 烫 7、（07浙江）：若P 是两条异面直线,l m 外任意一点，则（ ）

立体几何线面关系的常见规律解剖

立体几何线面关系的常见规律 规律一：线线平行与线线垂直的判定 1、直线与直线平行的判定方法： 公理4：平行与同一条直线的两条直线互相平行 直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线垂直与同一个平面，那么这两条直线平行 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两交线平行 2、直线与直线垂直的判定方法： 利用直线与平面垂直的定义来判定：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就与平面内的任意一条直线垂直 例题1：(2012·南通调研)如图，在六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1∥CC1，A1B ＝A1D，AB＝AD.求证： (1)AA1⊥BD； (2)BB1∥DD1. 证明(1)取BD的中点M，连结AM，A1M.因为A1D＝A1B，AD＝AB，所以BD ⊥AM，BD⊥A1M.又AM∩A1M＝M，AM，A1M?平面A1AM， 所以BD⊥平面A1AM. 因为AA1?平面A1AM，所以AA1⊥BD. (2)因为AA1∥CC1，AA1?平面D1DCC1，CC1?平面D1DCC1，所以AA1∥平面 D1DCC1. 又AA1?平面A1ADD1，平面A1ADD1∩平面D1DCC1＝DD1，所以AA1∥DD1.

同理可得AA 1∥BB 1，所以BB 1∥DD 1. 例题2：（13泰州期末）在三棱锥S-ABC 中，SA ⊥平面ABC ，SA=AB=AC= 3 BC ,点D 是BC 边的中点，点E 是线段AD 上一点，且AE=4DE,点M 是线段SD 上一点，求证：BC ⊥AM 方法小结： （1）要证明线线垂直有两条思路：第一条：把其中一条直线平移，使得两条直线在同一个平面，然后用平面几何的知识证明垂直即可；第二条：通过证明线面垂直证明。即证明其中一条直线垂直另一个直线所在的平面。第二条思路用的较多，要熟练，第一条用的较少，但也不能忘 （2）证明线线垂直也主要有两条思路，第一条：证明其中一条直线平行另一条直线所的平面，在用线面平行的性质；第二条：先证明两条直线所在的平面平行，再证明这两条直线为第三个平面与两平行平面所交的交线，即运用面面平行的性质定理。面面平行与线面平行的性质定理在证明过程中容易被学生忽视，所以教学过程中应引起重视 同步练习1：在如图所示的多面体中，11//AA BB ，11CC AC CC BC ⊥⊥，． （1）求证：1CC AB ⊥； A 1A

立体几何点线面位置关系习题精选

同步练习 第I 卷（选择题） 1.已知,m n 是两条不同直线,,,αβγ是三个不同平面,则下列命题正确的是（ ）. A 、若m ∥,n α∥α,则m ∥n B 、若,αγβγ⊥⊥,则α∥β C 、若n ∥,n α∥β,则α∥β D 、若,m n αα⊥⊥,则m ∥n 2.已知,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面， 则下列命题中正确的是 （ ） A ．//,//m n αα，则//m n B ．,m m αβ⊥⊥，则//αβ C ．//,//m n m α，则//n α D ．,αγβγ⊥⊥，则//αβ 3.已知m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若α∥β，m ∥α，则m ∥β B ．若α⊥β，m ⊥β，则m ⊥α C ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β D ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α 4.已知l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面， 则下列命题正确的是（ ） A ．若l α⊥，m α?，则l m ⊥ B ．若l m ⊥，m α?，则l α⊥ C ．若l ∥α，m α?，则l ∥m D ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 5.设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若l α⊥，l m //，则m α⊥ B ．若l m ⊥，m α?，则l α⊥ C ．若l α//，m α?，则l m // D ．若l α//，m α//，则l m // 6.设b a ,表示直线，γβα,,表示不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若α⊥a 且b a ⊥，则α//b B ．若αγ⊥且βγ⊥，则βα// C ．若α//a 且β//a ，则βα// D ．若αγ//且βγ//，则βα// 7.关于空间两条直线a 、b 和平面α，下列命题正确的是（ ） A ．若//a b ，b α?，则//a α B ．若//a α，b α?，则//a b C ．若//a α，//b α，则//a b D ．若a α⊥，b α⊥，则//a b 8.给定空间中的直线l 及平面，条件“直线l 与平面 内无数条直线都垂直”是“直线l 与平面 垂直”的（ ）条件 A ．充要 B ．充分非必要 C ．必要非充分 D ．既非充分又非必要 9.设m n 、是两条不同的直线， αβ、是两个不同的平面,下列命题中为真命题的个数（ ） ①若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ ②若αβ⊥,m α?,m β⊥,则//m α ③若m β⊥,m α?,则αβ⊥ ④若αβ⊥,m α?,n β?,则m n ⊥ A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个

立体几何线面平行垂直,线面角二面角的证明方法

A P B C E D 一：线面平行的证明方法： 1、用“近似平行法”先找到面上与已知直线平行的直线（一般为表示面的三角形的边界直线，或三角形某边上的中线） 看找到的这条线与已知线的长度关系，1）若相等应该构造平行四边形；2）若不相等一般利用三角形中位线的性质（将这两个不相等的线段的端点连结并延长即会出现关键三角形）。 2、若既不能构造平行四边形也不能性用中位线性质，则应再构造一个此直线所在的平面，证明此平面与已知平面平行（先证面面平行，推出线面平行） 例一：如图，已知菱形ABCD ，其边长为2， 60BAD ∠= ，ABD ?绕着BD 顺时针旋转120 得到PBD ?，M 是PC 的中点． （1）求证：//PA 平面MBD ； （2）求直线AD 与平面PBD 所成角的正弦值． 例二：已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是 60=∠A 、 边 长为a 的菱形，又ABCD PD 底⊥，且PD=CD ，点M 、N 分别是 棱AD 、PC 的中点． （1）证明：DN//平面PMB ； （2）证明：平面PMB ⊥平面PAD ； （3）求点A 到平面PMB 的距离． 例三：如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点， 上的点且PE EA BF FD =∶∶，求证：EF //平面PBC ． 二：线面垂直的证明方法： 通过线线垂直，证明线面垂直 1） 利用勾股定理逆定理及三角形中两个角和为90°； 2） 利用等边、等腰三角形（中线即高线），正方形、矩形邻边垂直，正方形菱形对角线垂 直等； 3） 通过线面垂直，反推线线垂直； 4） 利用面面垂直的性质，证明垂直于交线即垂直于另一个平面。 例四：如图,四边形ABCD 为矩形，CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， AB=4a ，BC= CF=2a,P 为AB 的中点. (1)求证：平面PCF ⊥平面PDE ； (2)求四面体PCEF 的体积. C

2018高三高考数学专题复习17+立体几何中线面位置关系

1.【2017课标1，文6】如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是 A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【考点】空间位置关系判断 【名师点睛】本题主要考查线面平行的判定定理以及空间想象能力，属容易题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面． 2.【2017课标3，文10】在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则（ ） A ．11A E DC ⊥ B ．1A E BD ⊥ C ．11A E BC ⊥ D ．1A E AC ⊥ 【答案】C 【解析】根据三垂线逆定理，平面内的线垂直平面的斜线，那也垂直于斜线在平面内的射影，A.若11A E DC ⊥，那么11D E DC ⊥，很显然不成立；B.若1A E BD ⊥，那么BD AE ⊥，显然不成立；C.若11A E BC ⊥，那么11BC B C ⊥，成立，反过来11BC B C ⊥时，也能推出11BC A E ⊥,所以C 成立，D.若1A E AC ⊥，则AE AC ⊥，显然不成立，故选C.

【考点】线线位置关系 【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.学~ 3.【2014高考广东卷.文.9】若空间中四条直线两两不同的直线...,满足12l l ⊥,23//l l ,34l l ⊥,则下列结论一定正确的是( ) A .14l l ⊥ B .14//l l C ..既不平行也不垂直 D ..的位置关系不确定 【答案】D 【考点定位】本题考查空间中直线的位置关系的判定,属于中等题. 【名师点晴】本题主要考查的是空间点、线、面的位置关系，属于中等题．解题时一定要注意选“正确”还是选“错误”， 否则很容易出现错误．解决空间点、线、面的位置关系这类试题时一定要万分小心，除了作理论方面的推导论证外，利用特殊图形进行检验，也可作必要的合情推理． 4.【2016高考山东文数】已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面相交”的（ ） （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 试题分析： “直线和直线相交”?“平面α和平面β相交”，但“平面α和平面β相交”?“直线和直线相交”，所以“直线和直线相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件，故选A ．

高三立体几何大题线面角专题

高三立体几何专题 1.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，， （Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值. 1.解析 （Ⅰ）连接，易知，.又由， 故，又因为平面，平面，所以平面. （Ⅱ）取棱的中点，连接.依题意，得，又因为平面平面，平面平面，所以平面，又平面，故. 又已知，，所以平面. （Ⅲ）连接，由（Ⅱ）中平面，可知为直线与平面所成的角， 因为为等边三角形，且为的中点，所以 又， 故在中，. 所以，直线与平面所成角的正弦值为 . 2.如图 ，已知三棱柱，平面平面,， 分别是AC ，A 1 B 1的中点. （1）证明：； （2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值. P ABCD -ABCD PCD PAC ⊥PCD PA CD ⊥2CD =3AD =G H ，PB AC ，GH ∥PAD PA ⊥PCD AD PAC BD AC BD H =BH DH =BG PG =GH PD ∥GH ?PAD PD ?PAD GH ∥PAD PC N DN DN PC ⊥PAC ⊥PCD PAC PCD PC =DN ⊥PAC PA ?PAC DN PA ⊥PA CD ⊥CD DN D =PA ⊥PCD AN DN ⊥PAC DAN ∠AD PAC PCD △2CD =N PC DN =DN AN ⊥Rt AND △sin 3 DN DAN AD ∠= =AD PAC 3 111ABC A B C -11A ACC ⊥ABC 90ABC ∠=?11 30,,,BAC A A AC AC E F ∠=?==EF BC ⊥

立体几何中二面角和线面角

立体几何中的角度问题 一、 异面直线所成的角 1、如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，⊥PA 底面ABCD ，E 是PC 的中点，已知2=AB ，22=AD ，2=PA ，求： （1）三角形PCD 的面积； （2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小。 2、如图６，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为２，点Ｅ是正方形11BCC B 的中心，点Ｆ、Ｇ分别是棱111,C D AA 的中点．设点11,E G 分别是点Ｅ，Ｇ在平面11DCC D 内的正投影． （１）求以Ｅ为顶点，以四边形FGAE 在平面11DCC D 内的正投影为底面边界的棱锥的体积； （２）证明：直线11FG FEE ⊥平面； （３）求异面直线11E G EA 与所成角的正弦值

二、直线与平面所成夹角 1、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，//AD BC ， 90BAD ∠=，PA ⊥ 底面ABCD ，且2P A A D A B B C ===，M N 、分别为PC 、PB 的中点。 求CD 与平面ADMN 所成的角的正弦值。 2、长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角的正弦值。 三、二面角与二面角的平面角问题 1、如图5．在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形， 且∠DAB=60?，PA PD == E,F 分别是BC,PC 的中点． （1） 证明：AD ⊥平面DEF; （2） 求二面角P-AD-B 的余弦值．

2、如图5，?AEC 是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为?AC 的中点，点B 和点C 为线 段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FB FD ==，EF =。 （1）证明：EB FD ⊥； （2已知点,Q R 为线段,FE FB 上的点，23FQ FE =，2 3 FR FB =，求平面BED 与平面RQD 所成二面角的正弦值。

高中数学立体几何线面关系经典

立体几何线面关系 一、柱、锥、球图形画法、基本性质、表面积及体积公式 概念基本性质表面积

二、线面关系及判定 1、线线平行的判断： （1）、平行于同一直线的两直线平行。 （2）、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 （3）、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 （4）、垂直于同一平面的两直线平行。 2、线线垂直的判断： （1）在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。 （2）在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直那么它和这条斜线的射影垂直。 （3）、若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。 3、线面平行的判断： （1）、如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 （2）、两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。 4、线面垂直的判断：（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。 （3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 （4）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。 5、面面平行的判断： （1）一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。（2）垂直于同一条直线的两个平面平行。 6、面面垂直的判断： （1）一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。

立体几何——点线面的位置关系

点线面的位置关系 （１）四个公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈ ? ∈且。 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 ② 经过两条相交直线,有且只有一个平面 ③ 经过两条平行直线,有且只有一个平面 它给出了确定一个平面的依据。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线(两个平面的交线)。 符号语言:,,P P l P l αβα β∈∈?=∈且。 公理4:（平行线的传递性)平行与同一直线的两条直线互相平行。 符号语言：//,////a l b l a b ?且。 (2)空间中直线与直线之间的位置关系 1.概念 异面直线及夹角:把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 已知两条异面直线,a b ,经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把 a '与 b '所成的角(或直角)叫异面直线,a b 所成的夹角。（易知：夹角范围 090θ<≤?） 公理4：(平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。 符号语言://,////a l b l a b ?且。 定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补。(注意:会画两个角互补的图形) 2.位置关系：???? ??? ?相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点; 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 （3）空间中直线与平面之间的位置关系

立体几何线面角专题

立体几何线面角专题(五十八) 1.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱B 1C 1，C 1D 1 的中点．试求： (1)AD 1与EF 所成角的大小； (2)AF 与平面BEB 1所成角的余弦值； (3)二面角C 1－DB －B 1的正切值． 答案 (1)60° (2)223 (3)22 思路 解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则B 1(0，0，0)，A(1，0， 1)，B(0，0，1)，D 1(1，1，0)，E(0，12，0)，F(12 ，1，0)，D(1，1，1)． (1)因为AD 1→＝(0，1，－1)，EF →＝(12，12，0)， 所以cos AD 1→，EF →＝（0，1，－1）·（12，12，0）2×22＝12， 即AD 1与EF 所成的角为60°. (2)FA →＝(12，－1，1)，由图可得，BA →＝(1，0，0)为平面BEB 1的一个法向量，设AF 与平面BEB 1所成的角为θ， 则sin θ＝|cos BA →，FA →|＝|（1，0，0）·（12，－1，1）1×（12）2＋（－1）2＋12|＝13，所以cos θ＝223. (3)设平面DBB 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，

DB →＝(－1，－1，0)，B 1B →＝(0，0，1)， 由?????n 1⊥DB →，n 1⊥B 1B →，得?????n 1·DB →＝－x －y ＝0， n 1·B 1B →＝z ＝0， 令y ＝1，则n 1＝(－1，1，0)． 同理，可得平面C 1DB 的一个法向量为n 2＝(－1，1，1)． 则cos n 1，n 2＝（－1，1，0）·（－1，1，1）2×3＝63. 所以tan n 1，n 2＝22. 2.如图所示，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC. (1)求证：BC ⊥平面PAC ； (2)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的余弦值； (3)是否存在点E 使得二面角A －DE －P 为直二面角？并说明理由． 答案 (1)略 (2)144 (3)存在点E 解析 方法一：(1)∵PA ⊥底面ABC ， ∴PA ⊥BC.又∠BCA ＝90°， ∴AC ⊥BC ，∴BC ⊥平面PAC. (2)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ， ∴DE ＝12 BC. 又由(1)知，BC ⊥平面PAC ， ∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E. ∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角． ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AB. 又PA ＝AB ，∴△ABP 为等腰直角三角形． ∴AD ＝12 AB. 在Rt △ABC 中，∠ABC ＝60°.∴BC ＝12 AB.

立体几何的点线面的关系

立体几何的点线面的关系 [键入文字] 课题教学目标立体几何的点线面的关系证明题目的方法教学内容立体几何热身训练：1.若直线a与b是异面直线，直线b与c是异面直线，则直线a与c 的位置关系是. 2.给出下列命题：①若平面?内的直线a与平面?内的直线b为异面直线，直线c是?与?的交线，那么直线c至多与a、b中的一条相交；②若直线a与b为异面直线，直线b与c平行，则直线a与c异面；③一定存在平面?和异面直线a、b同时平行. 其中正确命题的序号是. 3.已知a，b 是异面直线，直线c∥直线a,则c与b的位置关系. ①一定是异面直线③不可能是平行直线②一定是相交直线④不可能是相交直线 4.若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则说法错误的有. ①过点P有且仅有一条直

线与l、m都平行②过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直③过点P有且仅有一条直线与l、m都相交④过点P有且仅有一条直线与l、m都异面 5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线有条. 6.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为. 7.如图所示，在三棱锥C—ABD 中，E、F分别是AC和BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角是. 8.已知a、b为不垂直的异面直线,?是一个平面，则a、b在?上的射影可能是①两条平行直线；③同一条直线；②两条互相垂直的直线； ④一条直线及其外一点. 则在上面的结论中，正确结论的编号是. 9.下列命题中，正确命题的个数是. ①若直线l上有无数个点不在平面?内，则l∥?;②若直线l与平面?平行，则l与平面?内的

立体几何中线面平行地经典方法经典的题目(附详细解答).doc

实用标准文案 高中立体几何证明平行的专题( 基本方法 ) 立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为线 线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法： (1)通过“平移”。(2) 利用三角形中位线的性质。 (3) 利用平行四边形的性质。 (4)利用对应线段成比例。 (5) 利用面面平行，等等。 (1)通过“平移”再利用平行四边形的性质 1．如图，四棱锥 P－ ABCD的底面是平行四边形，点 E、F 分别为棱 AB、 PD 的中点．求 证： AF∥平面 PCE； 分析：取 PC的中点 G，连 EG.，FG，则易证 AEGF是平行四边形P F E A D B C （第 1 题图） 2、如图，已知直角梯形ABCD中， AB∥ CD，AB⊥ BC，AB＝ 1，BC＝ 2， CD＝ 1＋ 3 ， 过 A 作 AE⊥ CD，垂足为E， G、 F 分别为 AD、CE 的中点，现将△A DE沿 AE 折叠，使得DE ⊥EC. （Ⅰ）求证：BC⊥面 CDE；（Ⅱ）求证：FG∥面BCD； 分析：取DB的中点 H，连 GH,HC则易证 FGHC是平行四边形 D D E F C G F C G E A B A B 3、已知直三棱柱ABC－ A B C 中， D, E, F 分别为 AA, CC , AB 的中点， 1 1 1 1 1 M为 BE的中点 , AC ⊥ BE. 求证： （Ⅰ） C1D⊥BC；（Ⅱ） C1D∥平面 B1FM. C1 分析：连 EA，易证 C1EAD是平行四边形，于是MF//EA B1 E A 1 M D

实用标准文案 4、如图所示 , 四棱锥 P 底面是直角梯形, ABCD BA AD ,CD AD , CD=2AB,E为PC的中 点, 证 明: EB //平面PAD ; 分析 : ：取 PD的中点 F，连 EF,AF 则易证 ABEF是平行四边形 (2)利用三角形中位线的性质 5、如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD 、 CD 、 BD 、 BC 的中点，求证：AM ∥平面 EFG 。 A 分析：连 MD交 GF于 H，易证 EH是△ AMD的中位 线 E B G D M F C 6、如图， ABCD是正方形， O是正方形的中心， E 是 PC的 中点。求证： PA ∥平面 BDE 7．如图，三棱柱ABC— A1B1C1中， D 为 AC的中点 . 求证： AB1// 面 BDC1； 分析：连B1C 交 BC1于点 E，易证 ED是 △ B1AC的中位线 8、如图，平面ABEF 平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD都是直角梯形， BADFAB 900 , BC // 1 AD ，BE// 1 AF ， G, H 分别为 FA, FD 的中点2 2 （Ⅰ）证明：四边形BCHG 是平行四边形；（Ⅱ） C , D , F , E 四点是否共面？为什么？

文科立体几何线面角二面角专题_带答案

文科立体几何线面角二面角专题 学校: ___________ 姓名：____________ 班级：____________ 考号： ___________ 一、解答题 1 .如图，在三棱锥，「中，肚一二/,举一厂：- H-钗-化为的中点. (1)证明：卜「"-L平面； (2)若点鮎在棱吃上，且二面角材-PA弋为剜，求PC与平面P3所成角的正弦值. 2 ?如图，在三棱锥|P"BC中，嗣訂0 2辽，""，卩＜："04,0为蚯的中点. (1)证明：P°丄平面 (2 )若点皿在棱比上，且MC = 2^B,求点匕到平面P°何的距离. 3 . (2018 年浙江卷)如图，已知多面体ABCAiBiCi , AiA , BiB , CiC均垂直于平 面ABC，/ ABC=120 ° , AiA=4 , CiC=1 , AB=BC=B iB=2 . (I)证明：ABi丄平面A1B1C1 ; (H)求直线ACi与平面ABB i所成的角的正弦值. 4 .如图，在三棱柱ABC_A i B i C i中，点p, G分别是& 叽的中点，已知吗丄平面 AAJ B#] A.B, A#」 ABC , = =3 , = =2. (I)求异面直线与AB所成角的余弦值；

(II)求证：丄平面吆匚』i; (III )求直线吒丄与平面BCG%所成角的正弦值

5 ?如图，四棱锥P-AB8,底面ABCO是正方形，PA = PD"E = 1 , PAPO型，E ,卜分 别是阳，8的中点? (1)求证； (2)求二面角匚的余弦值. 6 ?如图，三棱柱ABC-A i B i C i中，侧棱吗丄底面ABC ,且各棱长均相等D , E , F分别为 棱’?，, 的中点? (1)证明：?平面’ ; (2)证明：平面珀8」平面气曾； (3)求直线I町I与直线所成角的正弦值? 7 .如图，在四边形ABCD 中，AB//CD ，/ AB D=30 ° , AB = 2CD = 2AD = 2 , DE 丄平面ABCD , EF// BD，且BD = 2EF . (I)求证：平面ADE丄平面BDEF ; (H)若二面角C BF D的大小为60。，求CF与平面ABCD所成角的正弦值. P-A0CD 中PA 丄平面A9CD PA = AB = BC = AD = CD = 1 8 .如图，在四棱锥

高三数学立体几何专题

立体几何专题 【命题趋向】高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上，着重考查空间点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算．既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形式出现的试题．选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间几何量的简单计算求解，考查画图、识图、用图的能力；解答题一般以简单几何体为载体，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及空间几何量的求解问题，综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．试题在突出对空间想象能力考查的同时，关注对平行、垂直关系的探究，关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究． 【考点透析】立体几何主要考点是柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、三视图、直观图，表面积体积的计算，空间点、直线、平面的位置关系判断与证明，（理科）空间向量在平行、垂直关系证明中的应用，空间向量在计算空间角中的应用等． 【例题解析】 题型1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算 例1（2008高考海南宁夏卷）某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a b +的最大值为 A ． 22 B ． 32 C ． 4 D ． 52 分析：想像投影方式，将问题归结到一个具体的空间几何体中解决． 解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的高宽高分别为,,m n k ， =1n ?=， a = b =，所以22(1)(1)6a b -+-= 228a b ?+=，22222()282816a b a ab b ab a b +=++=+≤++=∴4a b ?+≤当且仅当2a b ==时取等号．