微分方程期末考试卷与答案

《 常微分方程 》期末考试试卷（3）

班级 学号 姓名 成绩

一、填空（每格3分，共30分） 1、方程

(,)(,)M x y d x N x y d y +=有只

含

y

的积分因子的充要条件是

___________________。

２、_____________称为黎卡提方程，它有积分因子______________。 ３、__________________称为伯努利方程，它有积分因子_________。 ４、若

12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是

__________________________。

５、形如___________________的方程称为欧拉方程。 ６、若

()t φ和()t ψ都是'()x A t x

=的基解矩阵，则

()t φ和()t ψ具有的关系是

_____________________________。

７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为_________时，零解是稳定的，对应的奇点称为___________。

二、 计算题(每题10分,共60分) 8、3()0ydx x y dy -+=

9、sin cos2x x t t ''+

=-

10、若2114A ??=??

-??，试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t η??ηη??==????

并求expAt 。 11、32(

)480dy dy

xy y dx dx

-+=。 12、求伯努利方程

的通解。

26xy x

y

dx dy -= 13、求方程

2dy

x y dx

=+经过（0，0）的第三次近似解。 三、证明.（10分）

14、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。

《 常微分方程 》期末考试试卷（4）

班级 学号 姓名 成绩

一、填空（每格5分，共30分）

1、 形如 的方程，称为变量分离方程，这里.)().(y x f ?分别为x.y 的连续函数。

2、 形如 的方程，称为伯努利方程，这里x x Q x P 为)().(的连续函

数.n 0.1≠是常数。引入变量变换 ,可化为线性方程。

3、 如果存在常数使得不等式,0 L 对于所有

称为利普希兹常都成立，（L R y x y x ∈),(),,21函数),(y x f 称为在R 上关于y 满

足利普希兹条件。

4、 形如 的方程，称为欧拉方程，这里是常数。,,21a a

5、 设是的基解矩阵，是)()(t Ax x t ?φ=')()(t f x t A x +='的某一解，则它的任一解

可表为)(t γ 。

二、 计算题(每题10分,共40分)

6、 求方程

的通解。

26xy x y

dx dy -= 7、 求方程xy e x

y

dx dy =+的通解。

8、 求方程t

e x x x 25'6''=++的隐式解。 9、求方程

）的第三次近似解。

、通过点（002y x dx

dy

+= 三、证明.（30分）

10、试验证()t Φ=??????122t t t 是方程组x '

=???

?????-t t 22

102

x,x=???

???21x x ，在任何不包含原点的区

间a b t ≤≤上的基解矩阵。

11、设()t Φ为方程x '

=Ax （A 为n ?n 常数矩阵）的标准基解矩阵（即Φ（0）=E ），证明:

()t Φ1-Φ(t 0)=Φ(t- t 0)其中t 0为某一值.

试卷（1）答案

一、填空（每格3分，共30分） 1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +

=有只与x 有关的积分因子的充要条件

是

)(x N

x

N

y M ?=??-??。 2、若12(),(),,()n x t x t x t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件 是12[(),(),,()]0n w x t x t x t ≠。

3、若

()t Φ和()t ψ都是'()x A t x

=的基解矩阵，则

()t Φ和()t ψ具有的关系是

()()t t C ψ=Φ，)(b t a ≤≤C 为非奇异常数矩阵。

4、函数),(y x f 称为在矩形域Ｒ上关于y 满足利普希兹条件，如果 存在常数Ｌ>0，对于所有

R y x y x ∈)(),,(2,211

212,211)(),(y y L y x f y x f -≤-成立。

5、当

x

N

y M ??=??时，方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程，或称全微分方程。 6、若()t Φ是x t A x )(='的基解矩阵，则x t A x )(=')(t f =满足η=)(0t x

的解0

110()()()()()()t

t x t t t t s f s ds η--=ΦΦ+ΦΦ?

。

7、若()(1,2,

,)i x t i n =为n 阶齐线性方程()()1()()0n n n x a t x a t x ++

+=的n 个线性无关解，

则这一齐线性方程的通解可表为)()(1

t x c t x i

n

i i ∑==

，其中n c c c

,,2

,1 是任意常数。

8、求dx dy =f(x,y)满足00()y x y =的解等价于求积分方程y=y 0+?x

x dx y x f 0

),(的解。

9、如果),(y x f 在R 上 连续 且关于y 满足李普希兹条件，则方程

),(y x f dx

dy

=存在唯一的

解)(x y ?=，定义于区间h x x ≤-0上，连续且满足初始条件00)(y x =?，其中

),

m i n (M

b

a h =，),(max ),(y x f M R y x ∈=。

二、计算题(每题10分,共50分)

10、求方程 2

21dy y dx xy x y

+=+ 的解。 解：原式可化为 2

21()dy y dx y x x +=

+

分离变量得

21(1)y d y d x

y x x =++

两边积分后 2

11ln 1ln ln 12

y x x c +=-++

即222

(1)(1)y x cx ++=

故原方程的通解为 2

2

2(1)(1)y x c x ++

=

11、求方程

2dy

x y dx

=-通过点(1,0)的第二次近似解。 解：令0)(0=x ? 则 221001

1

11()()22

x x

x y x y dx xdx x ?=+-==

-??

2222532011

1

1

1111111

()[()][()]22

2206430

x

x

x y x x dx x x dx x x x x ??=+-=--=

-+--?? 12、求非齐线性方程sin x x t ''+=的特解。

解：线性方程0x x ''+

=的特征方程210λ+=，故特征根i λ=±。

又

()sin f t t =， i λ=是特征单根，所以原方程有特解(cos sin )x t A t B t =+，将其

代入原方程得1

2A =-

， B=0 。故原方程的特解为1cos 2

x t t =-。 13、求解恰当方程0)4()3(2

=---dy x y dx x y 。

解：

1=??y M ，1=??x

N

. 则

x

N

y M ??=?? . 所以此方程为恰当方程。

凑微分，0432

=--+ydy dx x xdy ydx

得 C y xy x =+-2

3

2

14、 求伯努利方程

的通解。

26xy x

y

dx dy -= 解：这是n=2时的伯努利不等式，令z=1

-y

,算得

dx

dy

y dx dz 2

--= 代入原方程得到x z x dx dz +-=6

，这是线性方程，求得它的通解为z=826x x c +

带回原来的变量y ，得到y 1=826x x

c

+或者c x y x =-886，这就是原方程的解。 此外方程还有解y=0. 三、证明.（20分）

15、1)试验证初值问题

2114x x ??'=??

-??

，

12(0)η?ηη??

==??

??

的解为:

1123212()()()t

t t e t ηηη?ηηη+-+??

=??

+-+??

; 2）求该微分方程组的expAt 。

1）证明：

22

1

()69014

p λλλλλ--=

=-+=-解得1,23λ=此时 k=112n =

12v ηηη??==???? 111123322120()()(3)()!i

t i t i t t t e A E e t i ηηηη?ηηηη=??+-+????=-=??????

+-+??

????∑ 2）解：由公式expAt=

10

()!

i

n t

i

i t e

A E i λλ-=-∑得

[]33310111exp (3)01111t

t

t t t At e E t A E e t e t t ?-?-??????

=+-=+=????????

--+????????

试卷（2）答案

一、填空（每格3分，共30分） 1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +

=有只与y 有关的积分因子的充要条件

是

()M N

y x

y M

???-??=-。 2、若12(),(),,()n x t x t x t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性相关的充要条件 是12[(),(),,()]0n w x t x t x t ≡。

3、若

()t Φ和()t ψ都是'()x A t x

=的基解矩阵，则

()t Φ和()t ψ具有的关系是

()()t t C ψ=Φ，)(b t a ≤≤C 为非奇异常数矩阵。

4、函数),(y x f 称为在矩形域Ｒ上关于y 满足利普希兹条件，如果 存在常数Ｌ>0，对于所有

R y x y x ∈)(),,(2,211

212,211)(),(y y L y x f y x f -≤-成立。

5、当

x

N

y M ??=??时，方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程，或称全微分方程。 6、若()t Φ是x t A x )(='的基解矩阵，则x t A x )(=')(t f =满足η=)(0t x

的解0

1()()

()()t

t x t t s f s ds -=ΦΦ?

。

7、若)(t x i （i=1,2,┄,n ）是对应齐线性方程的一个基本解组，()x t 为非齐线性方程的一个特解，

则非齐线性方程的所有解可表为 1

()()()n

i i i x t c x t x t ==

+∑ 。

8、求dx dy =f(x,y)满足00()y x y =的第一次近似解的表达式为 0

100()(,)x

x x y f x y dx ?=+?。

9、如果),(y x f 在R 上连续且关于y 满足李普希兹条件，则方程

),(y x f dx

dy

=存在唯一的解)(x y ?=，定义于区间h x x ≤-0上，连续且满足初始条件00)(y x =?，其中

),

min(M

b

a h =，),(max ),(y x f M R y x ∈=。

二、 计算题(每题10分,共50分)

10、求方程 2

21dy y dx xy x y

+=+ 的解。 解：原式可化为 2

21()dy y dx y x x +=

+

分离变量得

2

1(1)y d y d x

y x x =++ 两边积分后 2

11ln 1ln ln 12

y x x c +=-++

即222

(1)(1)y x cx ++=

故原方程的通解为 2

2

2(1)(1)y x c x ++

=

11、 求伯努利方程

的通解。

26xy x

y

dx dy -= 解：这是n=2时的伯努利不等式，令z=1

-y

,算得

dx

dy

y dx dz 2

--= 代入原方程得到x z x dx dz +-=6

，这是线性方程，求得它的通解为z=826x x c +

带回原来的变量y ，得到y 1=826x x

c

+或者c x y x =-886，这就是原方程的解。 此外方程还有解y=0. 12、求常系数非齐线性方程cos x x t ''+=的特解。

解：线性方程0x x ''+

=的特征方程210λ+=，故特征根i λ=±。

又

()sin f t t =， i λ=是特征单根，所以原方程有特解(cos sin )x t A t B t =+，将其

代入原方程得0A =， B=1

2。所以原方程的特解为

1sin 2

x t t =。 13、求解恰当方程

22(1)0xydx x dy ++=。

解：因为（2xydx+ x 2dy ）+dy=0

即d( x 2y)+dy=0 也即d(x 2y+y)=0 故方程的解为x 2

y+y=C 。 14、求方程

2dy

x y dx

=-通过点(1,0)的第二次近似解。 解：令0)(0=x ? 则 2

21001

1

11()()22

x

x

x y x y dx xdx x ?=+-==

-??

2222532011

1

1

1111111

()[()][()]22

2206430

x

x

x y x x dx x x dx x x x x ??=+-=--=

-+--??

三、证明.（20分）

15、1)试验证初值问题

2102x x ??'=??

??

，

12(0)η?ηη??

==??

??

的解为:

1123212()()()t

t t e t ηηη?ηηη+-+??

=??

+-+??

; 2）求该微分方程组的expAt 。

1）证明：

22

1

()(2)002

p λλλλ--=

=-=-解得1,22λ=此时 k=112n =

12v ηηη??==???? []1122222()(2)t

t t t e E t A E e ηηη?ηη+????=+-=????

????

2）解：由公式expAt=

10

()!

i

n t

i

i t e

A E i λλ-=-∑得 []22210011exp (2)010001t

t

t t At e E t A E e t e ????????

=+-=+=????????????????

。

试卷3答案

一、填空题

１、()M N

y x y M

???-??=-

２、

2()()()dy

p x y Q x y R x dx

=++

y y z =+

３、

()()n dy

p x y Q x y dx

=+

(1)()(,)n p x dx

n u x y y e --?

=

４、12[(),(),

,()]0n w x t x t x t ≠

５、1

11

10n n n

n n n

n d y d dy

x a a a y dx

dx dx

---++++= ６、()()t t C ψφ= ７、零 稳定中心

二、计算题

8、解：因为

1,1M N

y x ??==-??，所以此方程不是恰当方程，方程有积分因子

2

2

ln 21

()dy

y y y e

e

y

μ--?===，两边同乘2

1y

得3

20dx x y dy y y +-=

所以解为

32

1x x y y dx dy c y y y

?

????-++-=?????????

?? 2

2

x y c y +=即22()x y y c =+另外y=0也是解 9、线性方程0x x ''+

=的特征方程210λ+=故特征根i λ=±

1()sin f t t = i λ=是特征单根，原方程有特解(cos sin )x t A t B t =+代入原方程

A=-

12

B=0

2()cos 2f t t

=-

2i

λ=不是特征根，原方程有特解

cos2sin 2x A t B t =+代入原方程1

3

A =

B=0 所以原方程的解为1211

cos sin cos cos223

x c t c t t t t =+-+

10、解：

22

1

()69014

p λλλλλ--=

=-+=-解得1,23λ=此时 k=112n =

12v ηηη??==???? 111123322120()()(3)()!i

t i t i t t t e A E e t i ηηηη?ηηηη=??+-+????=-=??????

+-+??

????∑ 由公式expAt=

10

()!i

n t

i i t

e

A E i λλ-=-∑得 []33310111exp (3)01111t

t

t t t At e E t A E e t e t t ?-?-??????

=+-=+=????????

--+????????

11、解：方程可化为3

2

84dy y dx x dy y dx

??+ ???=

令dy

p dx

=则有3284p y x yp +=

（*）

（*）两边对y 求导：3

22322(4)

(8)4dp

y p

y p y p y p dy

-+-= 即32(4)(2)0dp p y y p dy --=由20dp y p dy -=得1

2p cy =即2()p y c

=将y 代入（*）

2224c p x c =+即方程的 含参数形式的通解为：222

24()c p

x c p y c ?=+???

?=??

p 为参数

又由3

2

40p y -=得1

23(4)p

y =代入（*）得：

3427

y x =也是方程的解

12、解： 002

100225

200410725118

3000

2

()4220()4400202204400160

x

x x y x y xdx x x x y x dx x x x x x x x y x dx ????===+=

=++=+

=++++=+++

??? 13、解：由1050x y x y --+=??--=?解得奇点（3，-2）令X=x-3,Y=y+2则dx

x y dt

dy x y

dt

?=--????=-??

因为11

11

---=1+1 ≠0故有唯一零解（0，0）

由

221

1

21122011

λλλλλλ+=+++=++=-+得1i λ=-±故（3，-2）为稳定焦点。

三、 证明题

14、由解的存在唯一性定理知：n 阶齐线性方程一定存在满足如下条件的n 解：

10200''1020011

1

10200()1,()0,

,()0()0,()1,

,()0

()0,()0,

,()1

n n n n n n x t x t x t x t x t x t x t x t x t ---========

=

考虑102001

0010[(),(),,()]100

1

n w x t x t x t =

=≠

从而()(1,2,)i x t i n =是线性无关的。

试卷（4）答案

一、填空题（每格5分） 1

)()(y x f dx dy ?= 2、n y x Q y x P dx

dy )()(+= z=n y -1 3)

,(),(21y x f y x f -2

1y y L -≤

4、011

1

11=++++----y a dx dy x a dx

y d x a dx y d x n n n n n n n n

5、)()()(t t t ?φγ+= 二、计算题（每题10分）

6、这是n=2时的伯努利不等式，令z=1

-y

,算得

dx

dy

y dx dz 2

--= 代入原方程得到x z x dx dz +-=6

，这是线性方程，求得它的通解为z=826x x c +

带回原来的变量y ，得到y 1=826x x

c

+或者c x y x =-886，这就是原方程的解。 此外方程还有解y=0.

7、解：x

y xe xy e dx dy xy xy

-=-=

dx y xe xdy xy )(-= dx xe ydx xdy xy =+ dx xe dxy xy =

xdx e

dxy

xy = 积分：c x e

xy

+=

--2

2

1 故通解为：

02

12

=++-c e x xy 8、解：齐线性方程05'6''=++x x x 的特征方程为0562

=++λλ，

5,121-=-=λλ，故通解为t t e c e c t x 521)(--+=

2=λ不是特征根，所以方程有形如t Ae t x 2)(=

把)(t x 代回原方程 t t t t

e Ae Ae Ae

22225124=++

211=A 于是原方程通解为t t

t

e e c e c t x 252121

1)(++=-- 9、解 0)(0=x ?

?=+=x

x dx x x x 0

2

2

012)]([)(??

202)]([)(5

22

12x x dx x x x x

+=+=???

4400160202)]([)(11

850

22

23x x x x dx x x x x

+++=+=???

三、证明题（每题15分）

10、证明：令()t Φ的第一列为1?(t)=???

? ??t t 22 ,这时'1?(t)=????

??22t =???

?

??-t t 22102 1?(t)故1?(t)是一个解。

同样如果以2?(t)表示()t Φ第二列，我们有2?(t)=???

?

??01=

???

?

??-t t 221022?(t)这样2?(t)也是一个解。因此()t Φ是解矩阵。又因为det ()t Φ=-t 2故()t Φ是基解矩阵。 11、证明：（1）()t Φ,Φ(t- t 0)是基解矩阵。

（2）由于()t Φ为方程x '=Ax 的解矩阵，所以()t Φ1-Φ(t 0)也是x '=Ax 的解矩阵，而当t= t 0时，Φ(t 0)1-Φ(t 0)=E, Φ(t- t 0)=Φ（0）=E. 故由解的存在唯一性定理，得

()t Φ1-Φ(t 0)=Φ(t- t 0)

《常微分方程》期末试卷

《常微分方程》期末试卷(16) 班级 学号 姓名 得分 评卷人 一、填空题（每小题5分，本题共30分） 1．方程x x y x y e sin d d =+的任一解的最大存在区间必定是 ． 2．方程04=+''y y 的基本解组是 ． 3．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的________________条件是在区间I 上它们的朗斯基行列式0)(=x W ． 4．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件． 5．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间． 6．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈． 得分 评卷人 二、计算题（每小题8分，本题共40分） 求下列方程的通解 7. x y x y 2e 3d d =+ 8. 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x 9．0e =-'+'x y y 10．求方程x y y 5sin 5='-''的通解． 11．求下列方程组的通解． ???????+=+=y x t y y x t x 4d d d d 得分 评卷人 三、证明题（每小题15分，本题共30分）

12．设)(1x y ?=和)(2x y ?=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数． 13．设)(x ?在区间),(∞+-∞上连续．试证明方程 y x x y sin )(d d ?= 的所有解的存在区间必为),(∞+-∞．

常微分方程第三版答案

常微分方程第三版答案 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】

习题 1． dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解： y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2 y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1 =-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y= | )1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31 x x + y y 21+dy=31 x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为： tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2 e x 3 2 e x 3-3e 2 y -=c.

常微分方程期中考试题

常微分方程期中测试试卷(1) 一、填空 1 微分方程 ) (2 2= + - +x y dx dy dx dy n 的阶数是____________ 2 若 ) , (y x M和) , (y x N在矩形区域R内是) , (y x的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则 方程 ) , ( ) , (= +dy y x N dx y x M有只与y有关的积分因子的充要条件是 _________________________ 3 _________________________________________ 称为齐次方程. 4 如果 ) , (y x f___________________________________________ ,则 ) , (y x f dx dy = 存在唯 一的解 ) (x y? =,定义于区间h x x≤ - 0上,连续且满足初始条件 ) ( x y? = ,其中 = h_______________________ . 5 对于任意的 ) , ( 1 y x,) , ( 2 y x R ∈ (R为某一矩形区域),若存在常数)0 (> N N使 ______________________ ,则称 ) , (y x f在R上关于y满足利普希兹条件. 6 方程 2 2y x dx dy + = 定义在矩形区域R:2 2 ,2 2≤ ≤ - ≤ ≤ -y x上 ,则经过点)0,0(的解 的存在区间是 ___________________ 7 若 ) ,..... 2,1 )( (n i t x i = 是齐次线性方程的n个解,)(t w为其伏朗斯基行列式,则)(t w满足 一阶线性方程 ___________________________________ 8若 ) ,..... 2,1 )( (n i t x i = 为齐次线性方程的一个基本解组, )(t x为非齐次线性方程的 一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为 _________________________ 9若 ) (x ?为毕卡逼近序列{})(x n?的极限，则有≤ -) ( ) (x x n ? ? __________________ 10 _________________________________________ 称为黎卡提方程，若它有一个特解 ) (x y，则经过变换___________________ ，可化为伯努利方程． 二求下列方程的解 １ 3 y x y dx dy + = ２求方程 2 y x dx dy + = 经过 )0,0(的第三次近似解 ３讨论方程 2 y dx dy = ， 1 )1(= y的解的存在区间 4 求方程 1 ) (2 2= - +y dx dy 的奇解

常微分方程试题(卷)

一单项选择题(每小题2分, 共40分) 1. 下列四个微分方程中, 为三阶方程的有( )个. (1) (2) (3) (4) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 为确定一个一般的n阶微分方程=0的一个特解, 通常应给出的初始条件是( ). A. 当时, B. 当时, C. 当时, D. 当时, 3. 微分方程的一个解是( ). A. B. C. D.

4. 下列方程中, 既是齐次方程又是线性方程的是( ). A. B. C. D. 5. 若方程是恰当方程, 则（）. A. B. C. D. 6. 若方程有只与y有关的积分因子, 则可取为( ). A. B. C. D. 7. 可用变换( )将伯努利方程化为线性方程. A. B. C. D. 8. 是满足方程和初始条件( )的唯一解. A. B. C. D. 9. 设是n阶齐线性方程的解,

其中是某区间中的连续函数. 如下叙述中, 正确的是( ). A.若的伏朗斯基行列式为零, 则线性无关 B.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性相关 C.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性无关 D.由的伏朗斯基行列式是否为零, 不能确定的线性相关性 10. 设线性无关的函数和是方程的解,则方程 的通解是( ) A.(是任意常数, 下同) B. C. D. 11. 三阶系数齐线性方程的特征根是( ). A. 0, 1, 1 B. 0, 1, -1 C. 1, D. 1, 12. 方程的基本解组是( ).

A. B. C. D. 13. 方程的待定特解可取如下( )的形式: A. B. C. D. 14. 已知是某一三阶齐线性方程的解, 则 和 的伏朗斯基行列式( ). A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 15. 可将三阶方程化为二阶方程的变换为( ). A. B. C. D. 16. 方程组满足初始条件的解为( ). A. B. C. D. 17. n阶函数方阵在上连续, 方程组有基解矩阵,

常微分方程期末考试题大全东北师大

证明题： 设()x f 在[)+∞,0上连续，且()b x f x =+∞ →lim ，又0>a ，求证：对于方程 ()x f ay dx dy =+的一切解()x y ，均有()a b x y x =+∞→lim 。 证明 由一阶线性方程通解公式，方程的任一解可表示为 ()()?? ????+=?-x at ax dt e t f C e x y 0， 即 ()()ax x at e dt e t f C x y ?+= 。 由于b x f x =+∞ →)(lim ，则存在X ，当X x >时，M x f >)(。因而 ()dt e M dt e t f dt e t f x X at X at x at ??? +≥0 )( ())(0 aX ax X at e e a M dt e t f -+ = ? ， 由0>a ，从而有()∞=?? ????+?+∞→x at x dt e t f C 0lim ，显然+∞=+∞ →ax x e lim 。 应用洛比达法则得 ()()ax x at x x e dt e t f C x y ?+=+∞ →+∞ →0 lim lim ()ax ax x ae e x f +∞→=lim ()a b a x f x ==+∞ →lim 。 证明题：线性齐次微分方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解，其中)(t A 是定义在区间b t a ≤≤上的n n ?的连续矩阵函数。 证 要证明方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解，首先要证明它有n 个线性无关的解，然后再证明任意1+n 个解都线性相关。

《常微分方程》期末模拟试题

《常微分方程》模拟练习题及参考答案 一、填空题（每个空格4分，共80分） 1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。 2、一阶微分方程 2=dy x dx 的通解为 2=+y x C （C 为任意常数） ，方程与通过点（2，3）的特解为 2 1=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 2 4=+y x ，满足条件3 3ydx =?的解为 22=-y x 。 3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。 4、对方程 2()dy x y dx =+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。 5、方程过点共有 无数 个解。 6、方程 ''2 1=-y x 的通解为 42 12122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为 4219 12264 =-++x x y x 。 7、方程 无 奇解。 8、微分方程2260--=d y dy y dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 9、方程 的奇解是 y=0 。 10、35323+=d y dy x dx dx 是 3 阶常微分方程。 11、方程 22dy x y dx =+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 。 12、微分方程22450d y dy y dx dx --=通解为 512-=+x x y C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方程组 45?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 2 1d d y x y -=)1,2 (πx x y x y +-=d d y x y =d d

常微分方程练习题及答案复习题)

常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.

常微分方程期末考试练习题及答案

一，常微分方程的基本概念 常微分方程： 含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F（x，y，y，.....y(n)）=0 (n≠0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。 2.若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。 3.含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F（t，x（3））=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。 4.满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。 5.常微分方程之线性及非线性：对于F（x，y，y，......y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，......y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。（方程线性与否与自变量无关）。如：xy（2）-5y，+3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。 注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。 二.可分离变量的方程 A.变量分离方程

1.定义：形如 dx dy =f （x)φ(y)的方程，称为分离变量方程。这里f （x ），φ（x ）分别是x ，y 的连续函数。 2.解法：分离变量法? ? +=c dx x f y dy )()(?. （*） 说明： a 由于（*）是建立在φ（y ）≠0的基础上，故而可能漏解。需视情况补上φ（y ）=0的特解。（有时候特解也可以和通解统一于一式中） b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。 例1.0)4(2=-+dy x x ydx 解：由题意分离变量得：04 2=+-y dy x dx 即： 0)141(41=+--y dy dx x x 积分之，得：c y x x =+--ln )ln 4(ln 4 1 故原方程通解为：cx y x =-4)4( （c 为任意常数），特 解y=0包含在通解中（即两者统一于一式中）。 *例2.若连续函数f （x ）满足 2 ln )2 ()(20 +=? dt t f x f x ，则f （x ）是？ 解：对给定的积分方程两边关于x 求导，得： )(2)('x f x f = （变上限求积分求导） 分离变量，解之得：x Ce x f 2)(= 由原方程知： f （0）=ln2， 代入上解析式得： C=ln2， B.可化为分离变量方程的类型。 解决数学题目有一个显而易见的思想：即把遇到的新问题，结合已知

常微分方程作业答案

1.第1题 设就是n 阶齐次线性方程的线性无关的解, 其中就是连续函数、则 A、的朗斯基行列式一定就是正的; B、的朗斯基行列式一定就是负的; C、的朗斯基行列式可有零点, 但不恒为零; D、的朗斯基行列式恒不为零、 A、A B、B C、C D、D 您的答案:B 题目分数:2 此题得分:2、0 2.第2题 满足初始条件与方程组的解为 ( )、 A、; B、 ; C、 ; D、、

A、、 B、、 C、、 D、、 您的答案:B 题目分数:2 此题得分:2、0 3.第6题 下列四个微分方程中, 三阶常微分方程有( )个、 (i) , (ii) , (iii) , (iv) 、 A、1 B、2 C、3 D、4 您的答案:C 题目分数:2 此题得分:2、0 4.第8题 就是某个初值问题的唯一解,其中方程就是, 则初始条件应该就是( )、 A、,

B、, C、, D、、 A、A B、B C、C D、D 您的答案:A 题目分数:2 此题得分:2、0 5.第9题 可将一阶方程化为变量分离方程的变换为 A、; B、 ; C、; D、、 A、、 B、、 C、、 D、、 您的答案:C 题目分数:2 此题得分:2、0 6.第15题

可将六阶方程化为二阶方程的变换就是( )、 A、; B、 ; C、 ; D、、 A、、 B、、 C、、 D、、 您的答案:B 题目分数:2 此题得分:2、0 7.第16题 设,及就是连续函数,与就是二阶变系数齐次线性方程 的两个线性无关的解, 则以常数变易公式 作为唯一解的初值问题就是

A、B、 C、D、 A、、 B、、 C、、 D、、 您的答案:B 题目分数:2 此题得分:2、0 8.第18题 设与就是方程组的两个基解矩阵, 则 A、存在某个常数方阵C使得, 其中; B、存在某个常数方阵C使得, 其中 ; C、存在某个常数方阵C使得, 其中; D、存在某个常数方阵C使得, 其中、 A、、 B、、

《常微分方程》考试参考答案(A卷)

《常微分方程》考试参考答案（A 卷） 一、填空题（每空2分，共30分） 1、()dy y g dx x = ln y x c x =+ 2、()()dy f x y dx ?= 2x y e = 3、2222M N y x = 4、1212(,)(,)f x y f x y L y y -≤- 5、存在不全为0的常数12,k c c c ，使得恒等式11()()0k k c x t c x t +=对于所有[,]t a b ∈ 都成立 ()0w t ≡ 6、412341011i i λλλλλ-===-==- 1234cos sin t t x c e c e c t c t -=+++ 7、322x xy y c -+= 二、判断题（每题2分，共10分） 1、√ 2、× 3、× 4、√ 5、√ 三、计算题（每题15分，共60分） 1、解：231()dy y dx x x y +=+ 变量分离23 1y dx dy y x x =++ 两边积分2221(1)1211y x dx dx y x x λ+=-++??? 2211ln 1ln ln 122 y x x +=-+ 22ln(1)(1)2ln ||y x x ++= 从而解得通解为：222(1)(1)x y cx ++=

2、解：先求30dx x dt +=的通解：33dt t x ce ce --?== 利用常数变易法，令原方程解为3()t x c t e -= 解得：3223551()5 dt t t t t t c t e e dt c e e dt c e dt c e c --?=+=+=+=+??? ∴原方程的通解为：533211()55 t t t t x e c e ce e --=+=+ 3、解：先求对应齐线性方程：(4)20x x x ''-+=的通解 特征函数42()210F λλλ=-+= 123411λλ==- 从而通解为：1234()()t t x c c t e c c t e -=+++ 现求原方程一个特解，这里：2()30f t t λ=-= 0λ=不是特征根，即原方程有形如：2x At Bt c =++的特解 把它代入原方程有：2243A At Bt C t -+++=- 解得101A B C === 21x t =+ ∴原方程通解为：21234()()1t t x e c c t e c c t t -=+++++ 4、解：令cos sin y p t x t '==?= 2cos dy pdx tdt == 原方程的通解为：11sin 242 y t t c =++ 5、解：由111x y +≤≤得112011a b x y ==-≤≤-≤≤ 从而()(,)4222x y R f M max f x y y y L y -∈?===-=≤=?

常微分方程期末历年考试(B)

广西师范大学漓江学院试卷 课程名称：常微分方程课程序号：开课院系：理学系 任课教师： 年级、专业：07数学考试时间：120分钟 考核方式：闭卷 ■ 开卷 □试卷类型：A 卷□B 卷■ 一、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) (请在每小题地空格中填上正确答案，错填、不填均无分). 1、当_______________时，方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=称为恰当方程. 2、求(,)dy f x y dx =满足00()y x y =地解等价于求积分方程地连续解． 3、函数组t t t e e e 2,,-地朗斯基行列式值为． 4、二阶齐次线性微分方程地两个解)(),(21x y x y 为方程地基本解组充分必要条件是． 5、若矩阵A 具有n 个线性无关地特征向量n v v v ,,,21Λ，它们对应地特征值分别为n λλλΛ,,21，那么常系数线性方程组Ax x ='地一个基解矩阵)(t Φ=. 6、方程tan dy x y dx =地所有常数解是． 7、如果存在常数0L >,使得不等式对于所有12,),(,)x y x y R ∈（都成立，称函数),(y x f 在R 上关于y 满足利普希茨条件，其中L 为利普希茨常数． 8、)()(x Q y x P dx dy += 称为一阶线性方程，它有积分因子 ?-dx x P e )( ，其通解为 _________ . 9、方程22y x dx dy +=定义在矩形域R:-222,2≤≤-≤≤y x 上，则经过点（0，0）地解地存在区间是． 10、若(),()t t Φψ是齐次线性方程组()X A t X '=地基解矩阵，则()t Φ与()t ψ具有关系． 年 级 ： 专 业： 装订密封线 考 生 答 题 不 得 出 现 红 色字 迹 ， 除 画 图 外 ， 不 能 使用 铅笔答 题；答题 留 空 不 足 时 ， 可 写到 试卷 背面 ；请 注意 保 持试 卷完 整.

常微分方程课后答案(第三版)王高雄

习题2.2 求下列方程的解。 1．dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 2 1e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。 2．dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ?-dt 3 (?e t 2 e -? -dt 3c dt +) =e t 3- (5 1e t 5+c) =c e t 3-+5 1e t 2 是原方程的解。 3．dt ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ?-tdt cos (t 2sin 2 1?e dt dt ?3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解.

5． dx dy +1212--y x x =0 解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x x ?=-dx x x e y 1 2(c dx e dx x x +?-221) )21(ln 2+=x e )(1 ln 2?+--c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 234xy x x += 解：dx dy 234xy x x += =23y x +x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u +=2u x 21u dx du = dx du u =2 c x u +=33 1 c x x u +=-33 （*） 将x y u =带入 （*）中 得：3433cx x y =-是原方程的解.

常微分方程作业答案

1．第1题 设是n 阶齐次线性方程的线性无关的解, 其中是连续函数. 则 A. 的朗斯基行列式一定是正的; B. 的朗斯基行列式一定是负的; C. 的朗斯基行列式可有零点, 但不恒为零; D. 的朗斯基行列式恒不为零. 您的答案：B 题目分数：2 此题得分： 2．第2题 满足初始条件和方程组的解为 ( ). A. ; B. ; C. ; D. . A.. B.. C.. D.. 您的答案：B 题目分数：2 此题得分： 3．第6题 下列四个微分方程中, 三阶常微分方程有( )个. (i) , (ii) ,

(iii) , (iv) . 您的答案：C 题目分数：2 此题得分： 4．第8题 是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ). A. , B. , C. , D. . 您的答案：A 题目分数：2 此题得分： 5．第9题 可将一阶方程化为变量分离方程的变换为 A. ； B. ； C. ； D. . A..

B.. C.. D.. 您的答案：C 题目分数：2 此题得分： 6．第15题 可将六阶方程化为二阶方程的变换是( ). A.; B. ; C.; D.. A.. B.. C.. D.. 您的答案：B 题目分数：2 此题得分： 7．第16题 设，及是连续函数，和是二阶变系数齐次线性方程的两个线性无关的解, 则以常数变易公式作为唯一解的初值问题是 A. B. C. D. A.. B.. C.. D.. 您的答案：B 题目分数：2

此题得分： 8．第18题 设和是方程组的两个基解矩阵, 则 A. 存在某个常数方阵C使得, 其中; B. 存在某个常数方阵C使得, 其 中; C. 存在某个常数方阵C使得, 其中; D. 存在某个常数方阵C使得, 其中. A.. B.. C.. D.. 您的答案：A 题目分数：2 此题得分： 9．第20题 微分方程的一个解是( ). A. , B. , C. , D. . A.. B.. C.. D.. 您的答案：D 题目分数：2 此题得分： 10．第22题 设有四个常微分方程： (i) , (ii) , (iii) , (iv) .

常微分方程末考试试卷

常微分方程期末考试试卷 学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______ 一． 填空题 （30分） 1．)()(x Q y x P dx dy += 称为一阶线性方程，它有积分因子 ? -dx x P e )( ，其通解为 _________ 。 2．函数),(y x f 称为在矩形域R 上关于y 满足利普希兹条件，如果 _______ 。 3． 若)(x ?为毕卡逼近序列{})(x n ?的极限，则有)()(x x n ??-≤ ______ 。 4．方程22y x dx dy +=定义在矩形域22,22:≤≤-≤≤-y x R 上，则经过点（0，0）的解的存在区间是 _______ 。 5．函数组t t t e e e 2,,-的伏朗斯基行列式为 _______ 。 6．若),,2,1)((n i t x i K =为齐线性方程的一个基本解组，)(t x - 为非齐线性方 程的一个特解，则非齐线性方程的所有解可表为 ________ 。 7．若)(t Φ是x t A x )('=的基解矩阵，则向量函数)(t ?= _______是 )()('t f x t A x +=的满足初始条件0)(0=t ?的解；向量函数)(t ?= _____ 是)()('t f x t A x +=的满足初始条件η?=)(0t 的解。 8．若矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量n v v v ,,,21Λ，它们对应的特征值分别为n λλλΛ,,21，那么矩阵)(t Φ= ______ 是常系数线性方程组 Ax x ='的一个基解矩阵。 9．满足 _______ 的点),(**y x ，称为驻定方程组。 二． 计算题 （60分） 10．求方程0)1(24322=-+dy y x dx y x 的通解。

常微分方程期末试题B答案

2005——2006学年第二学期 常微分方程课程试卷（B） 一、填空题（每空2 分，共16分）。 1．李普希滋条件是初值问题存在唯一解的充分条件． 2. 一阶微分方程的一个特解的图像是二 维空间上的一条曲线． 3．线性齐次微分方程组Y A Y ) ( d d x x =的一个基本解组的个数不能多于n个，其中R ∈ x，n R Y∈． 4．二阶线性齐次微分方程的两个解) ( 1 x y? =,) ( 2 x y? =成为其基本解组的充要条件是线性无关． 5．方程2 sin() y xy y '' =+的通解是 6．变量可分离方程()()()()0= +dy y q x p dx y N x M的积分因子是()() x P y N 1 7．性齐次微分方程组的解组) ( , ), ( ), ( 2 1 x x x n Y Y Y 为基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式0 ) (≠ x W． 8．方程540 y y y ''' ++=的基本解组是x x e e4 ,- - 二、选择题（每小题3 分，共15分）。 9．两个不同的线性齐次微分方程组（ D ）的基本解组． (A) 一定有相同(B) 可能有相同 (C) 一定有相似(D) 没有相同 10．方程组 ? ? ? ?? ? ? + = + = y x t y y x t x 4 3 d d 2 d d 的奇点)0,0(的类型是（D ）． （A）稳定焦点（B）不稳定焦点（C）鞍点（D）不稳定结点11．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（ C ）． (A) 1± = x(B)1± = y

(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）． （A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程4d d +-=x y x y （ A ）奇解． (A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有 三、计算题（每小题8分，共48分） 。 14．求方程 x y x y x y tan d d +=的通解 解：令x y u =，则u x u y '+='， u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时，等号两边积分 1d tan d C x x u u +=?? C x u ln ln sin ln += 0≠C Cx x y =sin 15．求方程0d d )1(2=+--y x x y x 的通解 解：积分因子21)(x x =μ， 则 0d 1d 122=+--y x x x y x 为全微分方程．取10=x ，00=y ，于是通积分为 1012 2d d 1C y x x y x y x =+--?? 即 C x x x y =++1 16．求方程2221)(x y x y y + '-'=的通解 解:令 p y ='，得到2 2 2x xp p y +-= （*） ，两端同时关于求导，

(完整版)常微分方程期末考试试卷(6)

常微分方程期末考试试卷(6) 学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______ 一． 填空题 （共30分，9小题，10个空格，每格3分）。 1.当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全 微分方程。 2、________________称为齐次方程。 3、求dx dy =f(x,y)满足00)(y x =?的解等价于求积分方程____________________的连续解。 4、若函数f(x,y)在区域G 内连续，且关于y 满足利普希兹条件，则方程),(y x f dx dy = 的解 y=),,(00y x x ?作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是__________。 5、若)(),...(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。 6、方程组x t A x )(/=的_________________称之为x t A x )(/=的一个基本解组。 7、若)(t φ是常系数线性方程组Ax x =/的基解矩阵，则expAt =____________。 8、满足___________________的点（**,y x ），称为方程组的奇点。 9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定 的，对应的奇点称为___________。 二、计算题（共6小题，每题10分）。 1、求解方程：dx dy =3 12+++-y x y x 2.解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0

2020最新-《常微分方程》作业参考答案

《常微分方程》作业参考答案 一．求解下列方程 1．x c y cos = 2 3 4 5. 6789. 解为 .)3(3x x y -= 10. 通解为 .2 sin 2 22c y x y x =++ 11．方程为 .01 12 22=+- y x dx dy x dx y d 12．通解为 ).tan(21c x c y +=

13. 通解为x Ce y =ln 14. 通解为 22x y Cy -= 15. 方程的通积分为C dy y xydx y x =-+??)(20 20 ,即C y y x =-323 16 . 通解为C e e x y += 二． 1 2. 3.4. u 5.)(2 122 y x v += ) (*dt dv )(22s x +-≤∠0 02 2≠+s x ∴（0.0）渐近稳定

6.一次近似方程为：?????+=--=y x dt dy y x dt dx 32 特征方程为：012=++λλ 3-=∴?＜0 P ＝1＞0 ∴ )Re(0)Re(21<<λλ, 则（0.0）局部渐过稳定. 7. 01032=--λλ 5,221=-=λλ x B x B x A x A y o 2sin )(2cos )(101* 1 +++= 为x x y y y 2cos 10'3"=-- 之特解,±2λ不是特征根 5=a 是特征方程的单根 x o e c x c x c x y 52122 )(++=∴* 故其通解为： 215221y y e c e c y x x +++=- 8. 特征根为：2.1.1321==-=λλλ 11-=λ所属的特征向量为：??? ?? ??-=532α 12=λ所属的特征向量为：??? ?? ??=111β 13=λ所属的特征向量为：γ??? ? ? ??=101 通解为：t t t e c e c e c z y x 2321101111531???? ? ??+????? ??+????? ??-=????? ??- 9.0:)0(=o y y 2121x y = 5 2220 121x x y -=

常微分方程期末复习提要(1)

常微分方程期末复习提要 中央电大 顾静相 常微分方程是广播电视大学本科开放教育数学与应用数学专业的统设必修课程．本课程的主要任务是要使学生掌握常微分方程的基本理论和方法，增强运用数学手段解决实际问题的能力．本课程计划学时为54，3学分，主要讲授初等积分法、基本定理、线性微分方程组、线性微分方程、定性理论简介等内容。本课程的文字教材是由潘家齐教授主编、中央电大出版社出版的主辅合一型教材《常微分方程》．现已编制了28学时的IP 课件供学生在网上学习． 一、复习要求和重点 第一章 初等积分法 1．了解常微分方程、常微分方程的解的概念，掌握常微分方程类型的判别方法． 常微分方程与解的基本概念主要有：常微分方程，方程的阶，线性方程与非线性方程，解，通解，特解，初值问题。 2．了解变量分离方程的类型，熟练掌握变量分离方程解法． （1）显式变量可分离方程为： )()(d d y g x f x y = ； 当0≠g 时，通过积分??+=C x x f y g y d )()(d 求出通解。 （2）微分形式变量可分离方程为： y y N x M x y N x M d )()(d )()(2211=； 当0)()(21≠x M y N 时，通过积分 ??+=C x x M x M y y N y N d ) ()(d )()(2112求出通解。 3．了解齐次方程的类型，熟练掌握齐次方程（即第一类可化为变量可分离的方程）的解法． 第一类可化为变量可分离方程的一阶齐次微分方程为： )(d d x y g x y = ； 令x y u =，代入方程得x u u g x u -=)(d d ，当0)(≠-u u g 时，分离变量并积分，得?=-u u g u x C )(d 1e ，即)(e u C x ?=，用x y u =回代，得通解)(e x y C x ?=. 4．了解一阶线性方程的类型，熟练掌握常数变易法，掌握伯努利方程的解法． （1）一阶线性齐次微分方程为： 0)(d d =+y x p x y 通解为：?=-x x p C y d )(e 。 （2）一阶线性非齐次微分方程为： )()(d d x f y x p x y =+； 用常数变易法可以求出线性非齐次方程的通解：??+?=-]d e )([e d )(d )(x x f C y x x p x x p 。 （3）伯努利方程为：)1,0()()(d d ≠=+n y x f y x p x y n ，

常微分方程期中考试试卷(2015)

13级常微分方程期中考试试卷 班级__________姓名__________学号________得分__________ 一、填空题（102?'） 1、微分方程0)( 22=+-+x y dx dy dx dy n 的阶数是________________________。 2、微分方程x dx dy 2=与直线32+=x y 相切的解是_____________________。 3、x e y dx dy +=的通解为___________________________________________。 4、若),(y x M 和),(y x N 在矩形区域R 内是),(y x 的连续函数，且有连续的一阶偏导数，则方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只与y 有关的积分因子的充要条件是__________________________________________。 5、对于任意的),(1y x ，R y x ∈),(2（R 为某一矩形区域），若存在常数 )0(>N N 使_________________， 则称),(y x f 在R 上关于y 满足利普希兹条件。 6、如果),(y x f 在有界区域G 中连续，在G 内满足利普希兹条件，则方程),(y x f dx dy =的通过G 内任一点),(00y x 的解)(x y ?=可以向左右延拓，直到__________________________________________。 7、方程3 1-++-=y x y x dx dy 经过代换__________________后，可化为齐次方程。 8、若),(y x f 在矩形区域R 上___________________且________________则方程),(y x f dx dy =存在唯一解。 9、微分方程dy dx dx dy x y +=的奇解为_______________________________。 10、若函数组),,2,1)((n i t x i =在],[b a 上线性相关，则=)(t w ___________。

常微分方程习题及答案.[1]

第十二章 常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2 ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 2 2 1xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是 。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。 ③x y y dx dy x ln ?=是 。 ④x x y y x sin 2+='是 。 ⑤02=-'+''y y y 是 。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是 。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是 。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是 阶微分方程。

7．x y 1 =所满足的微分方程是 。 8．x y y 2='的通解为 。 9． 0=+ x dy y dx 的通解为 。 10． ()25 11 2+=+- x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为 。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为 。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为 。 三、选择题 1．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程32 3y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ． 上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．22x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?=