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高三数学-高考知识点-分段函数复习题教师版

高三数学分段函数复习题

一、单选题

1．设函数，则满足的x的取值范围是

A. B. C. D.

2．已知函数，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.

3．已知函数，函数有四个不同的零点，且满足：，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

4．已知函数，那么函数的值域为（）

A. B. C. D.

5．设函数，若，则实数a的值为（）

A. B. C. 或 D.

6．已知函数，若函数恰好有两个零点，则实数等于（为自然对数的底数）（）

A. B. C. D.

7．已知函数（是自然对数底数），方程有四个实数根，则的取值范围为（）

A. B. C. D.

8．已知上的奇函数满足：当时，，则（）

A. B. C. D.

9．定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为（）

A. B. C. D.

10．设函数，，若对任意实数，

恒成立，则实数的取值范围为（）

A. B. C. D.

二、填空题

11．函数满足，且在区间上，则

的值为

________．

12．已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．

13．已知a∈R，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．

14．（2017新课标全国Ⅲ理科）设函数则满足的x的取值范围是____________.

19．已知函数

（1）若的值域为R，求实数a的取值范围；（2）若，解关于x的不等式.

参考答案

1．D

【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有成立，一定会有，从而求得结果.

详解：将函数的图像画出来，

观察图像可知会有，解得，

所以满足的x的取值范围是，故选D.

点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.

2．A

【解析】分析：判断分段函数两段的单调性，当时，

为指数函数，可判断函数在上为减函数；第二段函数的图像开口向下，对称轴为，可得函数在区间上为减函数。时，两段函数值相等。进而得函数在上为减函数。根据单调性不等式可变为。解得。

详解：函数在上为减函数，

函数的图像开口向下，对称轴为，

所以函数在区间上为减函数，

且。

所以函数在上为减函数。

由得。解得。

故选A。

点睛：（1）分段函数的单调性，应考虑各段的单调性，且要注意分解点出的函数值的大小；（2）抽象函数不等式，应根据函数的单调性去掉“”，转化成解不等式，要注意函数定义域的运用。

3．B

【解析】分析：函数有四个不同的零点，等价于的图象与的图象有四个不同的交点，画出的图象与的图象，结合函数图像，可得，=，利用单调性求解即可.

详解：

由二次函数的对称性可得

由可得，

函数有四个不同的零点，

等价于的图象与的图象有四个不同的交点，

画出的图象与的图象，由图可得，

∴

∴=

令，∴，故选B.

点睛：本题主要考查函数的图象与性质以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．

4．B

【解析】分析：先求出分段函数的每段所在范围的值域，然后两段值域求并集即可.

详解：的值域为，y=的值域为：故函数的值域为，选B

点睛：考查分段函数的值域求法，明白先求出分段函数的每段所在范围的值域，然后两段值域求并集是关键，属于基础题.

5．B

【解析】分析：根据分段函数分成两个方程组求解，最后求两者并集.

详解：因为，所以

所以

选B.

点睛：求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. 6．C

【解析】试题分析：根据分段函数的解析式画出函数图像，得到函数的单调性，由图像知道函数和函数第一段相切即可，进而转化为方程的解得问题, 根据导数的几何意义得到

,解出方程即可.

详解：

根据分段函数的表达式画出函数图像得到函数是单调递增的，由图像知道函数和函数

第一段相切即可，设切点为（x,y）则根据导数的几何意义得到解得，k=e.

故答案为：C.

点睛:这个题目考查了导数的几何意义，本题中还涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.

7．B

【解析】分析：函数，通过求导分析得到函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，在（-∞，-1）上为增函数，在（-1，0）上为减函数，求得函数f（x）在（-∞，0）上，

当x=-1时有一个最大值，所以，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，f （x）的值一个要在（0，）内，一个在（，+∞）内，然后运用二次函数的图象及二次方

程根的关系列式求解t的取值范围．

详解：

函数，

当x≥0时，f′（x）=e x+xe x≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数；

当x＜0时，f′（x）=-e x-xe x=-e x（x+1），

由f′（x）=0，得x=-1，当x∈（-∞，-1）时，f′（x）=-e x（x+1）＞0，f（x）为增函数，

当x∈（-1，0）时，f′（x）=-e x（x+1）＜0，f（x）为减函数，

所以函数f（x）在（-∞，0）上有一个最大值为f（-1）= -（-1）e-1=，要使方程f2（x）+tf （x）+1=0（t∈R）有四个实数根，

令f（x）=m，则方程m2+tm+1=0应有两个不等根，且一个根在（0，）内，

一个根在（，+∞）内，再令g（m）=m2+tm+1，因为g（0）=1＞0，

则只需g（）＜0，即（）2+t+1＜0，解得：t＜．

所以，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根的t的取值范围是（-∞，）．

选B.

点睛：本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，解答此题的关键是分析出方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根时f（x）的取值情况，此题属于中高档题

8．C

【解析】分析：根据函数为上的奇函数，求出，进而可求出.

详解：函数为上的奇函数，

，

，故选C.

点睛：本题主要结合函数奇偶性，考查复合函数求值的问题，复合函数在求解定义域问题时遵循“由外向内”的原则，在求值时遵循“由内向外”的策略；另外本题也可以利用函数奇偶性求出函数的解析式，再进行求解.

9．C

【解析】

当时，

又是奇函数，画出函数的图象，由函数图象可知：

，有个零点，其中有两个零点关于对称，还有两个零点关于对称，所以这四个零点的和为零，第五个零点是直线与函数，交

点的横坐标，即方程的解，，故选C.

【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质、函数的零点以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．10．D

【解析】分析：由题意，分别以和讨论，分类参数求最值，即可求解实数的取值范围．

详解：由题意，当时，，则，

所以，所以，

当时，，则，所以，所以，

综上可得实数的取值范围是，故选D．

点睛：本题主要考查了分段函数的应用，同时涉及到函数的单调性和不等式的恒成立问题的求解和运用，着重考查了不等式恒成立的分离参数思想和最值的转化思想的应用，试题属于中档试题．

11．

【解析】分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.

详解：由得函数的周期为4，所以因此

点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.

12．(1,4)

【解析】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围.

详解：由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是

当时，，此时，即在上有两个零点；当时，

，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.

点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

13．［，2］

【解析】分析：由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.

详解：分类讨论：①当时，即：，

整理可得：，

由恒成立的条件可知：，

结合二次函数的性质可知：

当时，，则；

②当时，即：，整理可得：，

由恒成立的条件可知：，

结合二次函数的性质可知：

当或时，，则；

综合①②可得的取值范围是.

点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一

般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．

14．

【解析】由题意得：当时，恒成立，即；当时，

恒成立，即；当时，，即.综上，x的取

值范围是.

【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值. 19．（1）或.（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）当时，的值域为, 当时，的值域为,如满足题意则，解之即可；

（2）当时，，即恒成立，当时，

即,分类讨论解不等式即可.

试题解析：

（1）当时，的值域为当时，的值域为，的值域为，解得或的取值范围是或.（2）当时，，即恒成立，当时，

即

（ⅰ）当即时，无解：

（ⅱ）当即时，；

（ⅲ）当即时

①当时，

②当时，

综上（1）当时，解集为（2）当时，解集为

（3）当时，解集为（4）当时，解集为

(完整版)高一数学分段函数练习题

高一数学函数的定义与分段函数测试题 1、给出函数?????<+≥=)4()1()4()21()(x x f x x f x ，则=)3(f （） A.823- B. 111 C. 19 1 D. 241 2、若f(x)=???≥)0()0(2πx x x x ???<-≥=) 0()0()(2x x x x x ?，则当x<0时，f[?(x)]=( ) A. －x B. －x 2 C.x D.x 2 3、下列各组函数表示同一函数的是( ) ①f(x)=|x|，g(x)=???<-≥) 0()0(x x x x ② f(x)=242--x x ，g(x)=x+2 ③f(x)=2x ，g(x)=x+2 ④f(x)=1122-+ -x x g(x)=0 x ∈{－1，1} A.①③ B.① C.②④ D.①④ 4、设f(x)=?????>+≤--1||111||,2|1|2x ，x x x ，则f[f(21)]=( ) A. 21 B.134 C. －59 D.4125 5、设函数3,(10)()((5)),(10)x x f x f f x x -≥?=?+≤+)2(,2)2(,22x x x x 则f(－4)=___________,若f(x 0)=8，则x 0=________ 6.、函数y ＝＋的定义域为( ) A ． {x |x ≤1} B ． {x |x ≥0} C ． {x |x ≥1或x ≤0} D ． {x |0≤x ≤1} 7、.函数f (x )＝的定义域为( ) A ． [1,2)∪(2，＋∞) B ． (1，＋∞) C ． [1,2) D ． [1，＋∞) 8、函数的定义域是（） A ． B ． C ． D ．

高中数学函数知识点总结

高中数学函数知识点总结（1）高中函数公式的变量：因变量，自变量。在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。（2）一次函数：①若两个变量 ,间的关系式可以表示成（为常数，不等于0）的形式，则称是的一次函数。②当 =0时，称是的正比例函数。（3）高中函数的一次函数的图象及性质 ①把一个函数的自变量与对应的因变量的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 ②正比例函数 =的图象是经过原点的一条直线。 ③在一次函数中，当 0， O，则经2、3、4象限；当 0， 0时，则经1、 2、4象限；当 0， 0时，则经1、 3、4象限；当 0， 0时，则经1、2、3象限。 ④当 0时，的值随值的增大而增大，当 0时，的值随值的增大而减少。（4）高中函数的二次函数： ①一般式： ( )，对称轴是顶点是； ②顶点式： ( )，对称轴是顶点是； ③交点式： ( )，其中（），（）是抛物线与x轴的交点（5）高中函数的二次函数的性质 ①函数的图象关于直线对称。 ②时，在对称轴（）左侧，值随值的增大而减少；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而增大。当时，取得最小值

③时，在对称轴（）左侧，值随值的增大而增大；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而减少。当时，取得最大值 9 高中函数的图形的对称（1）轴对称图形：①如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。②轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。（2）中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

高中数学三角函数基础知识点及答案

高中数学三角函数基础知识点及答案 1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 3. 终边相同的角的表示： (1)α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。弧度：一周的弧度数为2πr/r=2π，360°角=2π弧度，因此，1弧度约为57.3°，即57°17'44.806''， 1°为π/180弧度，近似值为0.01745弧度，周角为2π弧度，平角（即180°角）为π弧度，直角为π/2弧度。（答：25-；5 36 π- ） (2)α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?()k k αθπ=+∈Z . (3)α终边与θ终边关于x 轴对称?2()k k αθπ=-+∈Z . (4)α终边与θ终边关于y 轴对称?2()k k απθπ=-+∈Z . (5)α终边与θ终边关于原点对称?2()k k απθπ=++∈Z . (6)α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2 k k Z π α=∈. 如α的终边与 6 π 的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。（答：Z k k ∈+ ,3 2π π） 4、α与2α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象限角，则2 α 是第_____象限角（答：一、三） 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：211||22 S lR R α==，1弧度 (1rad)57.3≈. 如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：22cm ） 6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离是220r x y =+>，那么 s i n ,c o s y x r r αα==，()tan ,0y x x α=≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r x α=()0x ≠， ()csc 0r y y α=≠。三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。

分段函数的几种常见题型和解法

函数的概念和性质考点分段函数分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的围, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 本文就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下： 1．求分段函数的定义域和值域例1．求函数1222[1,0]; ()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈??∈+∞? 的定义域、值域. 2．求分段函数的函数值例2．已知函数2 |1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤?? =?>?+?求12[()]f f . 3．求分段函数的最值

例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值. 4．求分段函数的解析式例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（） 222(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤? 222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 226(12) .()3(24) x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? 5．作分段函数的图像

高中数学三角函数知识点归纳总结

《三角函数》【知识网络】一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα<

,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号

高中数学-分段函数的几种常见题型及解法

分段函数常见题型及解法【解析】 3 ?求分段函数的最值 4x 3 (x 0) 例3?求函数f(x) x 3 (0 x 1)的最大值 x 5 (x 1) 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内有不同的对应法则的函数它是一个函数，却又常常被学生误认为是几个函数；它的定义域是各段函数定义域的并集，其值域也是各段函数值域的并集 ?由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用，时常在高考试题中“闪亮”登场，笔者就几种具体的题型做了一些思考，解析如下： 1 ?求分段函数的定义域和值域例1.求函数f(x) 值域? 【解析】 2x 2 x [ 1,0]; 1 x x (0,2);的定义域、 3 x [2，)；作图，利用“数形结合”易知f (x)的定义域为 [1，)，值域为(1,3]. 2 ?求分段函数的函数值 |x 1| 2，(|x| 例2 . ( 05年浙江理)已知函数 f(x) 1 1 x 2 (|x| 1) 1) 求f[? 因为 f(i) 11 1| 2 所以 f[f(b] f( 1 4 1 ( i) 2 13

【解析】当 X 0 时,f max (X ) f(0) 3,当 0 X 1 时，f max (X ) f(1) 4, 当 X 1 时, X 5 15 4,综上有 f max (x) 4. 4 ?求分段函数的解析式例4 .在同一平面直角坐标系中，函数y f (X )和y g(X )的图象关于直线 y X 对称，现将y g(x)的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线(如图所示) ，则函数f (x)的表达式为() 5 ?作分段函数的图像例5?函数y e IM |X 1|的图像大致是() 2x 2 (1 X 0) A. f(x) 2 X 2 (0 X 2) 2x 2 (1 X 0) B. f(x) 2 X 2 (0 X 2) 2x 2 (1 X 2) C. f(x) X 2 1 ( 2 X 4) 2x 6 (1 X 2) D. f(x) X 2 3 (2 X 4) 【解析】将其图象沿X 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下平移 1 个单位得解析式为y 今(x 2) 1 1 4 1 f(x) 2x 2 (x [ 1,0]),当 x [0,1]时, y 2x 1,将其图象沿x 轴向右平移2 个单位，再沿y 轴向下平移 1个单位, 得解析式y 2(x 2) 1 1 2x 4, 所以 f(x) 2x 2 (x [0,2]) 综上可得f(x) 2x 2 ( 1 x 0) ■2 2 (0 x 2) 故选A 当 X [ 2,0]时，y 1 x 1

高考数学三角函数知识点总结及练习

三角函数总结及统练一. 教学内容：三角函数总结及统练（一）基础知识 1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ 2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值 3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。 4. 三角函数线正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线AT=αtan 5. 同角三角函数的关系平方关系：商数关系：倒数关系：1cot tan =?αα 1c s c s i n =?αα 1s e c c o s =?αα 口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。 6. 诱导公式——口诀：奇变偶不变，符号看象限。 α απ+k 2 α- απ- απ+ απ-2 α π -2 α π +2

正弦 αsin αsin - αsin αsin - αsin - αcos αcos 余弦 αcos αcos αcos - αcos - αcos αsin αsin - 正切 αtan αtan - αtan - αtan αtan - αcot αcot - 余切 αcot αcot - αcot - αcot αcot - αtan αtan - 7. 两角和与差的三角函数 ?????? ? ?+-=-?-+=+?????????+?=-?-?=+?-?=-?+?=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαt a n t a n 1t a n t a n )t a n (t a n t a n 1t a n t a n )t a n (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n s i n c o s c o s )c o s (s i n c o s c o s s i n )s i n (s i n c o s c o s s i n )s i n ( 8. 二倍角公式——代换：令αβ= ??????? -= -=-=-=?=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin 降幂公式?????? ?+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα 半角公式： 2cos 12 sin αα -± =；2cos 12cos αα+±=； αα αcos 1cos 12tan +-± = αα ααα cos 1sin sin cos 12 tan += -= 9. 三角函数的图象和性质函数 x y sin = x y cos = x y tan =

历年高考数学真题精选08 分段函数

历年高考数学真题精选（按考点分类）专题八分段函数（学生版）一．选择题（共19小题） 1．（2010?天津）设函数2()2g x x =-，()4,() ()(),()g x x x g x f x g x x x g x ++?是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．1(0,)3 C ．11[,)73 D ．1[,1)7 5．（2006?山东）设12 3 2,2 ()log (1),2x e x f x x x -?的解集为( ) A ．(1，2)(3?，) +∞ B ．，)+∞ C ．(1，2)?)+∞ D ．(1,2) 6．（2005?山东）函数21sin(),10 (),0x x x f x e x π-?-<<=?? 若f （1）f +（a ）2=，则a 的所有可能

高考数学必修一函数知识点总结

高考数学必修一函数知识点总结设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数fx和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数.记作：y=fx，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{fx|x∈A}叫做函数的值域. 注意：2如果只给出解析式y=fx，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：1分式的分母不等于零;2偶次方根的被开方数不小于零;3对数式的真数必须大于零;4指数、对数式的底必须大于零且不等于1.5如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.6指数为零底不可以等于零6实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再注意：1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等或为同一函数2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同;②定义域一致两点必须同时具备见课本21页相关例2 1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.2.应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。 4.函数图象知识归纳 1定义：在平面直角坐标系中，以函数y=fx,x∈A中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点Px，y的集合C，叫做函数y=fx,x∈A的图象. C上每一点的坐标x，y均满足函数关系y=fx，反过来，以满足y=fx的每一组有序实数对x、y为坐标的点x，y，均在C上.即记为C={Px,y|y=fx,x∈A} 图象C一般的是一条光滑的连续曲线或直线,也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。 2画法

高中数学常见函数图像

高中数学常见函数图像1. 2.对数函数：

3.幂函数：定义形如αx y=（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. 图像性质过定点：所有的幂函数在(0,) +∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．单调性：如果0 α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,) +∞上为增函数．如果0 α<，则幂函数的图象在(0,) +∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．

函数 sin y x = cos y x = tan y x = 图象定义域 R R ,2x x k k ππ??≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值当 22 x k π π=+ () k ∈Z 时， max 1y =；当22 x k π π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π =∈Z 时， max 1y =；当2x k π π=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在 2,222k k ππππ? ?-+???? ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k π πππ??++???? ()k ∈Z 上是减函数．在[]() 2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在 []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数．在,2 2k k π ππ π? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心 ()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心 (),02k k ππ??+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π =∈Z 对称中心(),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴

高中数学-分段函数及题型

高中数学-分段函数及题型【经典例题赏析】例1．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值. 【解析】当0x ≤时, max ()(0)3f x f ==, 当01x < ≤时, max ()(1)4f x f ==, 当1x >时, 5154x -+<-+=, 综上有max ()4f x =. 例2．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿 y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（）答案A. 222(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤? 222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 2 26(12) .()3(24)x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? 例3．判断函数2 2(1)(0) ()(1)(0) x x x f x x x x ?-≥?=?-+时, 0x -<, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---+=-=, 当0x =时, (0)(0)0f f -==, 当0x <, 0x ->, 22()()(1)(1)()f x x x x x f x -=---=-+=因此, 对于任意x R ∈都有()()f x f x -=, 所以()f x 为偶函数. 例4．判断函数3 2 (0) ()(0)x x x f x x x ?+≥?=?-

高中数学函数知识点总结(经典收藏)

高中数学函数知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}C B A x y y x C x y y B x y x A 、、，，，如：集合lg |),(lg |lg |====== 中元素各表示什么？ A 表示函数y=lgx 的定义域， B 表示的是值域，而 C 表示的却是函数上的点的轨迹 2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况注重借助于数轴和文氏图解集合问题。空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||22301 若，则实数的值构成的集合为 B A a ? （答：，，）-? ?? ???1013 显然，这里很容易解出A={-1,3}.而B 最多只有一个元素。故B 只能是-1或者3。根据条件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是，这里千万小心，还有一个B 为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。 3. 注意下列性质： {}（）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n 要知道它的来历：若B 为A 的子集，则对于元素a 1来说，有2种选择（在或者不在）。同样，对于元素a 2, a 3,……a n ,都有2种选择，所以，总共有 2n 种选择，即集合A 有2n 个子集。当然，我们也要注意到，这2n 种情况之中，包含了这n 个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为21n -，非空真子集个数为22n - （）若，；2A B A B A A B B ??== （3）德摩根定律： ()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==，有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂

高三数学三角函数专题训练

高三数学三角函数专题训练 1.为得到函数πcos 23y x ?? =+ ?? ? 的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（） A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12 个长度单位 C ．向左平移 5π6 个长度单位 D ．向右平移 5π6 个长度单位 2.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则M N 的最大值为（） A ．1 B ． 2 C ． 3 D ．2 3.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3 π 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是( ) A .sin(2)3 y x π =-，x R ∈ B.sin( ) 2 6 x y π =+ ，x R ∈ C.s in (2)3 y x π =+，x R ∈ D.sin(2) 3 2y x π=+ ，x R ∈ 4.设5sin 7 a π=，2cos 7 b π=，2tan 7 c π=，则( ) A.c b a << B.a c b << C.a c b << D.b a c << 5.将函数sin(2)3 y x π =+ 的图象按向量α 平移后所得的图象关于点(,0) 12 π - 中心对称，则向量α的坐标可能为（） A ．(,0)12π - B ．(,0)6 π - C ．( ,0)12 π D ．( ,0)6 π 6.函数2 ()sin 3sin cos f x x x x =+ 在区间 ,42ππ?? ???? 上的最大值是( ) A.1 B.13 2 + C. 3 2 D.1+ 3 7.若,5sin 2cos -=+a a 则a tan =( ) A.2 1 B. 2 C.2 1- D.2-

高中数学分段函数的几个问题-新人教版

分段函数的几个问题分段函数在教材中是以例题的形式出现的，并未作深入说明。学生对此认识比较肤浅，本文就分段函数的有关问题整理、归纳如下： 1、分段函数的含义所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。对它应有以下两点基本认识：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。[来源:学_科_网Z_X_X_K] 2、求分段函数的函数值例1 已知函数1 3 2(0)()1)log (1) x x f x x x x ?<=≤≤>??,求{[()]}f f f a (a <0)的值。[来源:https://www.wendangku.net/doc/ac7881153.html,] 分析求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应法则求值。()f x 是分段函数，要求{[()]}f f f a ，需要确定[()]f f a 的取值范围，为此又需确定()f a 的取值范围，然后根据所在定义域代入相应的解析式，逐步求解。解 ∵a <0, ∴()2a f a =, ∵0<2a <1, ∴[()]f f a =(2)a f =3, ∵3>1, ∴{[()]}f f f a =f =1 3 log =－2 1, 3、求分段函数的解析式[来源:学科网] 例2 已知奇函数()f x (x R ∈)，当x >0时，()f x =x (5－x )+1.求()f x 在R 上的表达式。解 ∵()f x 是定义域在R 上的奇函数， ∴(0)f =0.[来源:学科网ZXXK] 又当x ＜0时，－x >0, 故有()f x -=－x [5－(－x )]+1=－x (5+x )+1。[来源:学科网ZXXK]

高考数学函数知识点汇总2020

高考数学函数知识点汇总2020 高中数学的知识点有很多,高考数学要想那高分就对知识点进行总结,下面就是小编给大家带来的高考数学知识点汇总2020，希望大家喜欢！集合一、集合概念 (1)集合中元素的特征:确定性，互异性，无序性。 (2)集合与元素的关系用符号=表示。 (3)常用数集的符号表示:自然数集;正整数集;整数集;有理数集、实数集。 (4)集合的表示法:列举法，描述法，韦恩图。 (5)空集是指不含任何元素的集合。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。函数一、映射与函数: (1)映射的概念:(2)一一映射:(3)函数的概念: 二、函数的三要素: 相同函数的判断方法:①对应法则;②定义域(两点必须同时具备) (1)函数解析式的求法: ①定义法(拼凑):②换元法:③待定系数法:④赋值法: (2)函数定义域的求法: ①含参问题的定义域要分类讨论; ②对于实际问题，在求出函数解析式后;必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。 (3)函数值域的求法: ①配方法:转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值;常转化为型如:的形式; ②逆求法(反求法):通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围;常用来解，型如:; ④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想; ⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域; ⑥基本不等式法:转化成型如:，利用平均值不等式公式来求值域;

⑦单调性法:函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。五、反函数: (1)定义: (2)函数存在反函数的条件: (3)互为反函数的定义域与值域的关系: (4)求反函数的步骤:①将看成关于的方程，解出，若有两解，要注意解的选择;②将互换，得;③写出反函数的定义域(即的值域)。 (5)互为反函数的图象间的关系: (6)原函数与反函数具有相同的单调性; (7)原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数;原函数为偶函数，它一定不存在反函数。七、常用的初等函数: (1)一元一次函数: (2)一元二次函数: 一般式两点式顶点式二次函数求最值问题:首先要采用配方法，化为一般式，有三个类型题型: (1)顶点固定，区间也固定。如: (2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。 (3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数. 等价命题在区间上有两根在区间上有两根在区间或上有一根注意:若在闭区间讨论方程有实数解的情况，可先利用在开区间上实根分布的情况，得出结果，在令和检查端点的情况。 (3)反比例函数: (4)指数函数: 指数函数:y=(a>o,a≠1)，图象恒过点(0，1)，单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1和0 (5)对数函数:

高中数学函数知识点(详细)

第二章函数一．函数 1、函数的概念：（1）定义：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y =)(x f ，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{)(x f | x ∈A }叫做函数的值域．（2）函数的三要素：定义域、值域、对应法则（3）相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备) 2、定义域：（1）定义域定义：函数)(x f 的自变量x 的取值范围。（2）确定函数定义域的原则：使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。（3）确定函数定义域的常见方法： ①若)(x f 是整式，则定义域为全体实数 ②若)(x f 是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数例:求函数x y 111+ = 的定义域。 ③若)(x f 是偶次根式，则定义域为使被开方数不小于零的全体实数例1．求函数 () 2 14 34 3 2 -+--=x x x y 的定义域。例2．求函数()0 2112++-= x x y 的定义域。 ④对数函数的真数必须大于零 ⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于1 ⑥若)(x f 为复合函数，则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定⑦指数为零底不可以等于零，如)0(10 ≠=x x ⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. （4）求抽象函数（复合函数）的定义域已知函数)(x f 的定义域为[0,1]求)(2 x f 的定义域已知函数)12(-x f 的定义域为[0,1）求)31(x f -的定义域 3、值域 : （1）值域的定义：与x 相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。（2）确定值域的原则：先求定义域（3）常见基本初等函数值域：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数（正余弦、正切）

高中数学三角函数知识点总结(珍藏版)

高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化： ,23600π= ,1800 π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 (1)弧长公式：r l .α= α----是圆心角且为弧度制 (2)扇形面积公式:S=r l .2 1 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号：记忆口诀：一全正，二正弦，三两切，四余弦

sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系：（1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1 （2）商数关系：ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式：记忆口诀：把2 k π α±的三角函数化为α的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ．口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． x y O — + + — + y O — + + —

高一数学分段函数1

第九课时分段函数【学习导航】知识网络分段函数?? ???分段函数图象分段函数定义域值域分段函数定义学习要求 1、了解分数函数的定义； 2、学会求分段函数定义域、值域； 3、学会运用函数图象来研究分段函数；自学评价： 1、分段函数的定义在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫做分段函数； 2、分段函数定义域，值域；分段函数定义域各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集(填“并”或“交”) 3、分段函数图象画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象；【精典范例】一、含有绝对值的解析式例1、已知函数y=|x －1|+|x+2| (1)作出函数的图象。 (2)写出函数的定义域和值域。【解】： (1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的分段点x=1，第二个绝对值的分段点x=－2，这样数轴被分为三部分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，+∞) 所以已知函数可写为分段函数形式： y=|x －1|+|x+2|=?? ???>+≤<--≤--)1(12)12(3)2(12x x x x x 在相应的x 取值范围内，分别作出相应函数的图象，即为所求函数的图象。（图

象略） (2)根据函数的图象可知：函数的定义域为R ，值域为[3，+∞）二、实际生活中函数解析式问题例2、某同学从甲地以每小时6千米的速度步行2小时到达乙地，在乙地耽搁1小时后，又以每小时4千米的速度步行返回甲地。写出该同学在上述过程中，离甲地的距离S(千米)和时间t(小时)的函数关系式，并作出函数图象。【解】：先考虑由甲地到乙地的过程： 0≤t ≤2时，y=6t 再考虑在乙地耽搁的情况： 2-∈-+-≤≤---<+) 2(52)22(23)2(522 a a a a a a 利用分段函数图象易得：g(a)max =3