线性规划在经济发展中的作用

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第２１卷第３期 ２００９年９月
Ｊｏｍ＇ｎａｌ
郑州铁路职业技术学院学报
ｏｆ Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ Ｒａｉｌｗａｙ Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ＆Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ
Ｖ０１．２１
Ｎｏ．３
Ｓｅｐ．２００９
线性规划在经济发展中的作用
聂天霞
（郑州铁路职业技术学院 河南郑州４５００５２） 的充分发挥。比如甲电子学分数最高，分配做电工 最能发挥特长，从事木工就不能很好施展才能。因 此，将各人担任工种对应课程考分的总和作为评判 分配方案的标准是合理的。我们把这样的考分总和 称为能力利用指标，这就是目标函数。能力利用指 标利用最大的方案就是最优方案。在前面的分配方 案中，能力利用指标为５０＋６０＋５０＝１６０分。如果 将方案改为：让甲从事电器维修、乙做木工、丙任图 书管理员，则能力利用指标可达８０＋１００＋７０＝２５０ 分。当然也可采用其它分配方案，但是可以算出，所 有其它方案能力利用指标都不能达到２５０分。因 此，从工厂整体利益看，采用能力利用指标达到２５０ 分的方案为最优。 上面的例子是用直观算得的。如果职务数和聘 用人的数目都很大时，直接估算将不可能，这时就得
数学与经济的结合由来已久。从经济学作为一 门学科的发展看，数学在其中的位置越来越重要，它
不仅帮助人们在经营中获利，而且给予人们以能力，
包括直观思维、逻辑思维、精确计算等等，以至于今
天，不懂数学就无法研究经济。前苏联数学家坎托
罗维奇因对物资最优调拨理论的贡献获１９７５年诺
贝尔奖，他被公认为最优规划理论的创始人，经济数 学理论的奠基人。坎托罗维奇创造的线性规划方法
被广泛地应用于经济领域并为经济发展作出了卓越
贡献。本文就线性规划在经济发展中的作用谈一些 体会。 一般地说，线性规划的意义是指：有ｎ个变数
ｘ。，ｘ：，…ｘ。，满足ｍ（ｍｓｎ）个不等式或等式，求某一
线性函数ｆ（ｘ。，ｘ２，…ｘ。）的最大值或最小值。
下面让我们来看一个线性规划在人尽其才中的
应用。
借助一般的数学方法——线性规划。
对上例来说，如果令ｘ。（ｉ，ｊ＝１，２，３）表示第ｉ个 人是否分配第ｊ个工作。ｘ；；＝ｌ表示第ｉ个人恰好分 配做第ｊ项工作，ｘ。＝０表示不这样分配，于是可得
总分
２００ ２１０ ２２０

设某工厂有三个工种分别需要一个人：电器维
修、图书管理和木模。为了量才录用合理安排，有针
对性地举行了－－ｐ－ｊ课程的考试，得分如下：
电子学
甲 乙
８０ ８０ ５０
语文
７０ ６０ １００
制图
５０ ７０ ７０
出下列关系式：
ｘ１１＋ｘ１２＋ｘ１３＝１
１
Ｘ２１＋ｘ２２＋如：ｌ
２ ｌ Ｘ３１十Ｘ３２十Ｘ３３
丙
．”。１只分配一件工作）
Ｊ
ｌ（表示每个人分配一件且 ｌ（表示每一件工作分配一人
从事电器维修工作需要比较高的文化知识，图 书管理员次之，木模工更次之．按照通常依总分从高 到低录用的方法，派甲从事木模工，派乙任图书管理 员，派丙做电器维修。但是这种分配方案并不科学。 因为丙的电子学知识只有５０分，乙的语文只有６０
ｘＩｌ＋ｘ２ｌ＋ｘ３ｌ＝１ ｘ怕＋ｘ丝＋ｘ啦：１ “
…
１
．Ｉ且只分配一人）
Ｊ
Ｘ１３＋Ｘ２３＋Ｘ３３＝Ｉ
其中ｘ。的取值只能是０或１，在上述约束条件 下，我们求下列目标函数８０ｘｌｌ＋７０ｘ１２＋５０ｘ１３＋８０ｘ２ｌ
分，甲的制图只有５０分，并没有发挥各人的特长。 一个好的分配方案应该符合人尽其才的原则。也就 是说，分配给每个人的工作，都应该有利于各自特长
＋６０ｘ２２＋７０ｘ芍＋５０ｘ３１＋ｌＯＯｘ３２＋７０ｘ３３的极大值。前
面已求得，当ｘ１１＝Ｘ２３
２
ｘ鲍＝１，ｘ１２＝ｘ１３＝ｘ２ｌ
２砀２
ｘ，，＝Ｘ３３＝０时，目标函数即能力利用指标达到最大
收稿日期：２００８一ｌｌ一１９ 作者简介：聂天霞（１９６２一）女，河南郑州人，郑州铁路职业技术学院高级讲师。
２０
万 方数据
值２５０。
因为直线
４０００ｘ１＋５０００ｘ２＝ｋ
含两个变量的线性规划问题可用图解法，我们
再来看一个合理安排生产的例子： 某工厂生产Ａ、Ｂ两种产品，已知生产Ａ产品需 要甲原料３千克，乙原料５千克；生产Ｂ产品需要甲 原料５千克，乙原料４千克；生产ｌ千克Ａ产品的利 润为４０００元，Ｂ产品为５０００元，如果甲乙两种原料的 库存量分别是２０千克和２８千克，Ｂ产品至少需生产１ 千克，问需要生产Ａ、Ｂ产品各多少时，获得最大利润？ 分析：设Ａ、Ｂ两种产品分别生产ｘ。，Ｘ２千克，则 甲乙两种原料的用量分别是３ｘＩ＋５ｘ２千克和５ｘ。＋
（３）
上每一点（ｘ。，Ｘ２）都有相同的目标函数值ｋ，因此问 题的关键在

于从（３）式所表示的一族平行直线中，找 出一条与多边形区域经ｘ相交并且有最大值。 从图形中可看出，最优方案应在直线族（３）中离 坐标原点最远的一条上。当ｋ为２６０００时，直线（３） 与ｘ交于顶点（４，２），当ｋ大于２６０００时，直线（３） 与Ｘ不再相交。因此顶点（４，２）就是ｘ中使目标函 数取得最大值的点。所以，当生产Ａ产品４千克、Ｂ 产品２千克时可获最大利润２６０００元。这一结果有 明显的直观意义。确定最优方案的点（４，２）是直线 ３ｘｌ＋５ｘ２＝２０与５ｘｌ＋４ｘ２＝２８的交点。这两个直线 的方程可由（１）式中的两个不等式将不等号用等号 代替得到。这意味着两种原料恰好用完，当然所得 利润就最大。
．
４ｘ２千克。且ｘ，和磁应受到一些条件的限制： 首先ｘｌ≥Ｏ，ｘ２≥１；其次，甲乙两种原料的用量
不能超过库存数量，于是有下列的不等式关系成立：
Ｘｌ≥Ｏ， ｘ２≥ｌ－
．。
３ｘ１＋５ｘ２≤２０， ５ｘｌ＋４ｘ２ Ｓ２８．
（１） 一
对于含多个变量的线性规划，都可以用类似的 方法求解．一个含两个变量的线性不等式代表平面 上的一个半平面；一个含三个变量的线性不等式则 代表一个三维空间的半平面；在多于三个变量时，虽 然超过了普通几何的意义，但可以把ｎ（ｎ≥４）维空 间Ｒ８想象成一个“超空间”，一个ｎ个变量的线性不
这就是Ｘ．和】【２必须满足的约束条件。我们的目标
是求最大利润。 当Ａ、Ｂ两种产品的产量分别为Ｘ，，）【２千克时， 总利润为： ４０００Ｘ１＋５０００ｘ２元 （２） 这就是目标函数。需要我们解决的问题是：从
等式代表Ｒ“的一个半超空间。设半平面，半空间，
半超空间的交集是Ｘ。ｎ＝２时，ｘ是一个凸多边形； ｎ＝３时，是一个凸多面体；而对一般的ｎ，也应是一
满足不等式组（１）的全体可能的实数对（ｘ。，Ｘ２）中，
找出使（２）式达到最大值的一对（Ｘ。，Ｘ２）来。 （１）式中的不等式是线性的，每一个这样的不等 式都表示一个闭半平面，例如，ｘ。≥０，表示右闭半平 面，】【２≥ｌ表示在直线Ｘ２＝ｌ上面的闭半平面，３ｘ。＋ ５ｘ２ｓ２０表示位于直线３ｘｌ＋５ｘ２＝２０左下方的闭半 平面（包括直线在内），５ｘ。＋４ｘ２≤２８表示位于直线
个“凸集”。对于任何线性规划，只要存在最优解，则
一定在ｘ的某个“顶点”处有最优解。当然，也可以 在“非顶点”处取得最优解。一般说来，ｘ集中的点
有无

限多个，而“顶点”只有有限个。这样，就可使寻 找最优解的范围从无限多个点减少为有限多个，从
而使解题得到简化。 线性规划中使用最普遍的最有效的方法是单纯 形法。它能以确定的步骤，花费最少的计算时间，得 到最好的结果。 线性规划的标准形式是 ｍｉｎｆ（ｘ）＝ｃｌ石ｌ＋ｃ２茗２＋…＋ＣｎＸ。． 使满足约束条件
口１Ｉ茗ｌ＋ａ１２ｘ２＋…＋Ｄｌ＾石＾＝ｂｌ， ａ２１ｘｌ＋ｎ２２戈２＋…＋口２ｎ茗ｎ＝６２，
５ｘ，＋４ｘ２＝２８左下方的闭半平面。设这四个闭半平
面的交集是ｘ，贝Ⅱｘ就是平面上以点（ｏ，１）、（Ｏ，４）、
，＇Ａ
（４，２）、（竿，１）为顶点的，包括边界在内的闭凸多边
Ｊ
形，即图中的阴影部分区域，目标函数４０００ｘ。＋
５０００ｘ２的取值范围就是集合ｘ。于是问题转化为，
（１）
从凸多边形的无穷多个点中，找出一个能使目标函
数取最大值的点。
＼铀“自．葺
（２）
漆，．
＼｜＼＼
＼７
４０００ｘｔ
。．
ａｍ／ｘｌ＋ａｍ，２ｘ２＋…＋ａｍｍ．茁ｎ＝ｂｍ．
其中Ｘ１≥０，Ｘ２≥Ｏ，…，ｘ。≥Ｏ．
（３）
我们把方程组（２）的满足不等式组（３）的非负
解叫做可行解。使目标函数（１）取最小值的可行解 称为最优解。 求解上面的问题时，可能出现如下五种情况：
２ｌ
’ｌ氏＼
３ａｉ＋５而?
４－ＳＫｌｏｒ＋－２６Ｗ０
万 方数据
ｌｏ方程组（２）没有解； ２０方程组（２）没有可行解，即方程组没有一组 解能同时满足不等式组（３）； ３０方程组（２）有无穷多组可行解，但目标函数 无下界，因此在可行解中无最优解； ４０方程组（２）只有一个可行解； ５０方程组（２）有无穷多组可行解，且目标函数 有下界。 对于情况ｌｏ、２０、３０，（１）一（３）所表述的线性规
单纯形法的计算过程很容易程序化，一切计算 都可以交给电子计算机完成。这样，现实中含有成 千上万个变量的线性规划问题的解决就不再困难。 从而为在经济中广泛使用数学方法奠定了基础。 参考文献
【１］张奠宙，朱成杰．现代数学思想讲话［Ｍ］．南京：江苏教育 出版社． 【２］解恩泽，徐本顺．数学思想方法［Ｍ］．济南：山东教育出版 社． 【３］方延明．数学文化导论［Ｍ］．南京：南京大学出版社．
划问题无解。在情况（４），唯一的可行解即为最优
解。在情况（５），需要从无穷多组可行解中选择最优 解。因为

现实的线性规划问题都归结为这种情况， 因此对它的研究最有意义。 （上接第１８页） １．３区间 端点站名称；线路标志；里程长度；闭塞类型；行 车性质；闭塞分区信号机位置。 １．４列车运行径路 １．５运行时分
［责任编辑：赵伟］
路图；动车组运用（客车车底）交路图；技术站作业图 表。 五、客运专线条件下列车运行图编制的技术关 键和相关措施 客运专线列车运行图的编制与既有线相比有其
不同特点，技术上也有其特定要求。主要表现在以
下几个方面：
机车类型、列车重量；基本运转时分；起停车附
加时分；慢性附加时分。 １．６列车种类 起始、终止车次编码；列车种类名称及简称；列 车等级编号。 １．７列车运行参数
１．客运专线客流具有与既有线不同的特点，应
尽可能考虑上下班时的客流高峰期，列车开行数量
具有按时段的波动性和规律性。
２．列车开行数量受动车组能力的制约，应尽可 能提高动车组的上线率。 ３．对于跨线列车和本线高速列车，需要明确其 优先原则和列车等级。 ４．跨线列车运行图布局方案应尽可能考虑客运 专线的能力，并为本线列车的开行创造条件。
列车车次；列车始发、终到车站；编图范围内的 列车起始、到达站名；列车运行径路；列车运行种类；
列车慢行种类；停站及停车时间；列车长度及牵引重 量。 １．８列车运行间隔时间 追踪间隔时间包含发车时间、到达间隔时间、追 踪间隔时间、连发间隔时间；车站间隔时间，包含不 同时到达间隔时间、会车间隔时间、车站敌对间隔时 间。 １．９机车交路参数 机车运转交路；牵引列车及时刻集合；本务、折 返段站名称；技术作业时问标准。 １．１０动车组运用参数 动车组运用交路；担当列车及时刻集合；动车组 检修段、站名称；技术作业时间标准。 １．１１运行图站名显示参数 分段序号；车站名。 ２客运专线条件下列车运行图的编制结果 列车时刻表；列车运行图；客车编组表；机车交
５．客运专线天窗方案对跨线列车的开行具有制
约作用。 ６．客运专线运行图的编制要考虑相关运行线的
紧密接续，方便旅客的换乘。
７．客运专线条件下全路直通客车方案与既有客 车架子相比变化较大，制约因素多，必须依靠科学技 术进步，研制开发适应客运专线条件下的、智能化程
度较高的路网编图软件，采用计算机编图。
参考文献
［１］铁道部统计中心．全国铁路统计资料汇编［ｚ］．北京：铁 道部统计中心，１９９１—１９９９． 【２］李，｛ｒｑ

ｌ。祁新娥．统计学原理［Ｍ］．上海：复旦大学出版 社，１９９５．
［责任编辑：赵伟］
万 方数据
线性规划在经济发展中的作用
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 聂天霞 郑州铁路职业技术学院,河南郑州,450052 郑州铁路职业技术学院学报 JOURNAL OF ZHENGZHOU RAILWAY VOCATIONAL AND TECHNICAL COLLEGE 2009,21(3)
参考文献(3条) 1.张奠宙,朱成杰.现代数学思想讲话[M].南京:江苏教育出版社. 2.解恩泽,徐本顺.数学思想方法[M].济南:山东教育出版社. 3.方延明.数学文化导论[M].南京:南京大学出版社.
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